% analyse1.tex --- analyse, niveau secondaire
% !TeX program = lualatex
% Compilation : lualatex --shell-escape (les calculs formels exécutent Python)
\documentclass[marges=20, taille=11, precision=3]{texecole}
\begin{document}

soit h1 = <bleu marine gras section num>
soit h2 = <bleu italique sous-section>

<h1>Analyse — lycée


<h2>Opérateurs indexés

Une somme : $somme(k=1;n) k = (n(n+1))/2$, un produit :
$produit(k=1;n) k$, une intégrale : $intégrale(x=0;1) x^2 = 1/3$ et une réunion indexée $réunion de(i=1;n) A_i$.

<h2>Limites en ligne

$lim(x->0) sin(x)/x = 1$, $lim(n->+infini) (1 + 1/n)^n = e$ et
$lim(x->0^+) ln(x) = -infini$.

<h2>Trigonométrie

$cos(x)^2 + sin(x)^2 = 1$, $tan(x) = sin(x)/cos(x)$, les réciproques
$arccos(x)$, $arcsin(x)$, $arctan(x)$ et les hyperboliques $cosh(x)$,
$sinh(x)$, $tanh(x)$.

<h2>Tableaux de signes

<Soit>une fonction f(x) = (x+2)(x-3)

<Dresse>le tableau de signes de f

<Soit>une fonction g(x) = (x+1)/(x-2)

<Dresse>le tableau de signes de g

La forme bloc reste la forme générale, pour les lignes que le moteur ne sait pas dériver :

<Dresse>le tableau de signes x:{0 | pi/2 | pi} {
	cos(x) : + | 0 | -
}

<h2>Tableau de variations

<Soit>une fonction q(x) = -x^4 + 2x^2 + 1

<Dresse>le tableau de variations de q

<Calcule>la dérivée de q

<Calcule>la dérivée seconde de q

<Détermine>les zéros de q

<Représente>graphiquement la fonction q sur [-2 ; 2], en ordonnée [-3 ; 3], en bleu, avec 200 échantillons

<h2>La droite graduée

<Représente>graphiquement la droite graduée sur [-3 ; 4], d'intervalle {[-2, 3)} et de points {1}, en rouge

<h2>Aires et intégrales

<On pose>une fonction p(x) = -x^2/4 + 3

<On pose>une fonction v(x) = x/2

L'aire sous la courbe de $p$ entre 1 et 3 :

<Représente>graphiquement la fonction p sur [-1 ; 4], en ordonnée [-1 ; 4], avec l'aire entre 1 et 3

L'aire entre les courbes de $u$ et $v$ sur $[0 ; 3]$ :

<Représente>graphiquement la fonction p sur [-1 ; 4], en ordonnée [-1 ; 4], avec l'aire jusqu'à v et area:{0, 3}

<h2>Intégrale numérique

<Soit>une fonction m(x) = exp(-x^2)

<Calcule>l'intégrale numérique de m entre 0 et 1

<h2>Calcul formel du lycée

<Factorise>x^2 - 5x + 6

<Développe>et réduis (x+1)^3

<Détermine>la forme canonique de x^2 - 4x + 1

<Résous>l'équation x^2 - 5x + 6 = 0

<h2>Convexité

<Soit>une fonction h(x) = x^3 - 3x^2 + 2

<Étudie>la convexité de h

<Soit>une fonction d(x) = exp(x) / x

<Étudie>la convexité de d

<h2>Asymptotes

<Soit>une fonction e(x) = (2x^2 + 1) / (x - 1)

<Détermine>les asymptotes de e

<Soit>une fonction k(x) = (3x + 1) / (x + 2)

<Détermine>les asymptotes de k

<h2>Équations trigonométriques

<Résous>l'équation trigonométrique cos(x) = 1/2

<Résous>l'équation trigonométrique sin(x) = racine(2)/2

<Résous>l'équation trigonométrique tan(x) = racine(3)

<h2>Dérivées en ligne

$f'(x)$, $f''(x)$, la forme de Leibniz $dd(f)/dd(x)$ et la dérivée partielle $partielle(f)/partielle(x)$.

<h2>Suites récurrentes

<Soit>une fonction h(x) = racine(2x+3)

L'escalier de $p_(n+1) = h(p_n)$ depuis $p_0 = 0,2$, convergeant vers le point fixe $l = 3$ :

<Représente>graphiquement la fonction h sur [0 ; 4], en ordonnée [0 ; 4], avec le diagramme en escalier depuis 0,2 sur 10 termes

<page suivante h2>Primitive, limites, développement limité

<Soit>une fonction w(x) = 1/(x^2 + 1)

<Calcule>la primitive de w

<Calcule>la limite de w en +infini

<Soit>une fonction q2(x) = 1/(x-1)

<Calcule>la limite de q2 en 1 à droite

<Calcule>la limite de q2 en 1 à gauche

<Soit>une fonction s(x) = exp(x)

<Calcule>le développement limité de s en 0 à l'ordre 4

<h2>Valeur absolue et partie entière

La valeur absolue s'écrit entre barres, la partie entière $E(x)$ ; toutes deux se posent, s'évaluent et se dérivent à gauche comme à droite :

<Soit>une fonction k2(x) = |x - 2|

<Calcule>l'image de 5 par k2

<Résous>l'équation |x - 2| = 3

<Soit>une fonction pe(x) = E(x)

<Calcule>l'image de 2,7 par pe

<Calcule>la limite de pe en 2 à gauche

<Calcule>la limite de pe en 2 à droite

<h2>Le tracé, complet d'office

Le tracé d'une courbe embarque ce que dit le tableau de variations : tangentes en tirets fléchés aux extremums et aux points à tangente verticale, asymptotes en tirets — et les marches de la partie entière sans faux traits verticaux.

<Soit>une fonction tc(x) = x^3 - 3x^2 + 2

<Trace>dans un repère où l'abscisse appartient à [-2 ; 4] et l'ordonnée à [-3 ; 4] {
	la courbe de la fonction tc
}

<Trace>dans un repère où l'abscisse appartient à [-4 ; 8] et l'ordonnée à [-6 ; 8] {
	la courbe de la fonction g
}

<Trace>dans un repère où l'abscisse appartient à [-3 ; 4] et l'ordonnée à [-4 ; 5] {
	la courbe de la fonction pe
}

La racine cubique montre la tangente verticale à l'origine :

<Soit>une fonction cr(x) = racine[3](x)

<Trace>dans un repère où l'abscisse appartient à [-5 ; 5] et l'ordonnée à [-5 ; 5] {
	la courbe de la fonction cr
}

\end{document}
