AMS-TeX (verzia 2.0)
Späť | Kapitola 4. ,,Matematický'' mód | Ďalej

# 4.3. TeXové matematické výrazové prostriedky

## 4.3.1. Exponenty

sa píšu pomocou ^ alebo \sp. Pokiaľ má byť v exponente viac než 1 znak alebo nie základné kontrolslovo, je nutné exponent uzavrieť do {}. `Napr. $2^3, 2^{1991}$` dáva

Nie je možné písať $2^y^z$, lebo to je možné chápať ako

alebo

Preto je nutné presne špecifikovať, o ktorý prípad sa jedná. `Napr. $2^{y^z}$` dáva

zatiaľ čo `${2^y}^z$` dáva

## 4.3.2. Indexy

sa píšu pomocou _ alebo \sb a platí pre ne všetko analogicky ako v predchádzajúcom prípade. Exponenty a indexy je možné písať v ľubovoľnom poradí, `napr. $2^y_z$` i `$2_z^y$` dáva v oboch prípadoch

Pokiaľ chceme písať indexy a exponenty tak, aby neboli priamo nad sebou, je nutné oddeliť ich prázdnou skupinou {}. `Napr. $R_i{}^{ij}{}_k$` dáva

Pokiaľ chceme písať exponent (index) pred znak, je dobré použiť pred ^ (_) prázdnu skupinu {}.

## 4.3.3. Operátory s dolnou a hornou hranicou

Dolná i horná hranica pre operátory sa píše analogicky ako indexy a exponenty. `Napr. $\sum_{i=1}^{i=10}x_i$` dáva

Hranice je možné používať s nasledujúcimi operátormi:

- \sum |  | \prod |  | \coprod |
  \bigvee |  | \bigcap |  | \bigodot |
  \bigwedge |  | \bigcup |  | \bigsqcup |
  \biguplus |  | \bigoplus |  | \bigotimes |

- integrálmi

  \int |  | \oint |  | \iint |
  \iiint |  | \iiiint |  | \idotsint |

  (\int \int má príliš veľké medzery medzi sebou)

- štandardnými matematickými funkciami (Pozri odsek nazvaný Štandardné matematické funkcie)

TeX pri formulkách písaných do riadku umiestňuje hranice vpravo od symbolu, pri centrovaných formulkách (presnejšie formulkách písaných v d-size, vzťahuje sa teda i na riadkové formulky sádzané v d-size) pod i nad symbol. Výnimku tvoria integrály, kde TeX v riadkových i centrovaných formulkách umiestňuje hranice vpravo od symbolu. `Napr. $\dsize\sum _{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}n$` dáva

ale vynechaním \dsize dostávame `$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}n$`, čo dáva

- \nolimits spôsobuje, že tam, kde by sa hranice písali normálne nad i pod symbol, budú písané do riadku; \limits naopak spôsobuje, že hranice štandardne písané vpravo budú písané nad i pod symbol. `Napr. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}n$` dáva

- \NoLimitsOnSums spôsobuje, že vo všetkých centrovaných formulkách sa od napísania tohto kontrolslova budú hranice pri sume písať vpravo od tohto symbolu; \LimitsOnSums opäť zapína normálnu konvenciu písania hraníc pre sumu. Možno prepínať kdekoľvek v texte. \NoLimitsOnInts a \LimitsOnInts funguje analogicky pre integrály. Podobne fungujú tiež kontrolslová \LimitsOnNames a \NoLimitsOnNames pre operátory definované pomocou \operatornamewithlimits (vrátane \max,\min, ...).

- Pokiaľ niektorá hranica je viacriadková, môžeme ju písať nasledovne: medzi \Sb...\\...\endSb umiestňujeme všetko, čo patrí pod operátor, jednotlivé riadky oddeľujeme pomocou \\; \Sp ...\\...\endSp je analógia pre hornú hranicu. `Napr. $\sum \Sb 0<j<m\\0<i<n \endSb \Sp k= \infty\\ l= \infty \endSp$` dáva

- TeX pridáva zvláštnu medzeru nad i pod sčítacie (integračné, ...) hranice. Toto je dôležité uvedomiť si pri používaní \left a \right. Tomuto pridávaniu miesta je možné zabrániť napísaním \shave hneď za \left. Kontrolslovo \topshave, resp. \botshave zabraňuje pridávaniu medzery hore, resp. dole. Veľkosť pridávaného miesta je možné tiež meniť pomocou \ChangeBuffer{vzdialenosť} -- táto hodnota zostane takto nastavená, pokiaľ ju opäť nepredefinujeme. Kontrolslovo \ResetBuffer nastaví veľkosť pridávaného miesta na štandardnú hodnotu. `Napr. $\left(\frac{\dsize1+\sum_{i=1}^Na_i}{\dsize1+ \sum_{j=1}^{M}b_j}\right) \qquad \left(\frac{\dsize1+\botshave {\sum_{i=1}^N}a_i}{\dsize1+\topshave{\sum_{j=1} ^{M}b_j}} \right)$` dáva

## 4.3.4. Derivácia

píše sa pomocou ' (ale pozor, len v matematickom móde) alebo \prime. Pokiaľ chceme písať derivácie pomocou \prime, správne sa píše `$f^\prime$`, čo dáva

Viacnásobné derivácie môžeme písať buď `$f_2'''$` alebo `$f_2^{\prime\prime\prime}$`, oboje dáva

Podobne nie je rozdiel, či napíšeme `$g^{\prime2}$`, alebo `$g'{}^2$`, oboje dáva

## 4.3.5. Odmocniny

\sqrt{...} je znak pre druhú odmocninu, pokiaľ sa vzťahuje len na 1 znak, je možné zátvorky vynechať, `napr. $\sqrt{a+\sqrt{1+d}+\sqrt z}+\sqrt y$` dáva

- Pokiaľ by sme chceli mať všetky znaky odmocnín rovnakej veľkosti, použijeme \mathstrut (,,mathstrut'' je neviditeľný symbol, ktorého výška je rovná maximálnej výške písmen, pri ktorých je použitý). `Napr. $\sqrt a +\sqrt d +\sqrt y+\sqrt {\mathstrut a} +\sqrt{\mathstrut d} +\sqrt{\mathstrut y}.$` dáva

- Vyššie odmocniny môžeme písať pomocou \root<\uproot{číslo}\leftroot{číslo} ... \of {...}. Kontrolslová \uproot (pohyb odmocniteľa vo vertikálnom smere) a \leftroot (pohyb odmocniteľa v horizontálnom smere) sú nepovinné. `Napr. $\root\uproot 3\leftroot{-2}\alpha+\beta \of{1+\frac ab}; \root\alpha+\beta\of{1+\frac ab}$` dáva

## 4.3.6. Kongruencie

- \bmod píše len slovo mod a nedodáva zátvorky okolo; `napr. $\gcd(m,n)=\gcd(n,m\bmod n)$` dáva

- \pmod píše slovo mod a dodáva okrúhle zátvorky okolo; `napr. $x\equiv y+1\pmod{m^2}$` dáva

- \mod rovnaké ako \pmod, ale nedodáva zátvorky; `napr. $x\equiv y+1\mod{m^2}$` dáva

- \pod dodáva samo zátvorky okolo, ale nepíše slovo mod; `napr. $x\equiv y+1\pod{m^2}$` dáva

## 4.3.7. Zlomky

píšu sa pomocou \frac{...}{...}. Ak je čitateľ alebo menovateľ len 1 znak, je možné zátvorky vynechať. TeX automaticky upravuje veľkosť zlomkov podľa toho, či sú písané v texte alebo v centrovaných formulkách. Meniť tieto veľkosti je možné prepínaním ,,size'' (viď size) (Pozri bližšie) Navyše \tfrac je skratka za \tsize\frac; \dfrac je skratka za \dsiz\frac.

- \thickfrac je zlomok s hrubšou zlomkovou čiarou. `Napr. \dsize\frac x{y+1};\dsize\thickfrac x{y+1}$` dáva

  Okrem toho pomocou \thickness{číslo} je možné meniť hrúbku zlomkovej čiary, `napr. $\dsize\thickfrac\thickness{2.3}x{y+1}$` dáva zlomkovú čiaru 2.3 krát hrubšiu ako pri \thickfrac:

- Ak chceme urobiť zlomkovú čiaru dlhšiu, vsunieme napr. do čitateľa i menovateľa z obidvoch strán úzku medzeru veľkosti \,. `Napr. $\frac ab=\dfrac{\,\frac ac\,}{\,\frac bc\,}$` čím dostávame

- Ak potrebujeme nejaké zátvorky okolo zlomku, je výhodné použiť \fracwithdelims<ľav.zátv.><pr.zátv.>, `napr. $\fracwithdelims(>12$` dáva

  V takýchto prípadoch môžeme použiť tiež \left ...\right okolo \frac 12 (Pozri odsek nazvaný Veľkosti zátvoriek a oddeľovačov). TeX ale dáva potom odlišné medzerovanie. Navyše \left a \right nemôžeme použiť v akejkoľvek obecnej konštrukcii. Existuje tiež \thickfracwithdlims pre zlomky s nami špecifikovanou hrúbkou zlomkovej čiary a zátvorkami okolo. `Napr. $\thickfracwithdelims<>\thickness0nk$` dáva

- Pre reťazové zlomky sa používajú konštrukcie, ktoré sa líšia umiestnením výrazov v čitateli: \cfrac -- centrovanie, \lcfrac -- výrazy vľavo a \rcfraci -- výrazy vpravo; výrazy v menovateli sú vždy centrované; reťazový zlomok ako celok musí byť vždy ukončený s \endcfrac. `Napr. $\cfrac 1\\ a_1+\cfrac 2\\ a_2+... +\cfrac n \\ a_n \endcfrac\qquad \lcfrac 1\\ a_1+\lcfrac 2\\ a_2+... +\lcfrac n \\ a_n \endcfrac\qquad \rcfrac 1\\ a_1+\rcfrac 2\\ a_2+... +\rcfrac n \\ a_n \endcfrac$` nám dáva

## 4.3.8. Binomické koeficienty

\binom{...}{...} píše binomické koeficienty, `napr. $\binom{i-1}{j+1}$` dáva

Čo sa týka zmeny veľkostí, \dbinom, \tbinom funguje rovnako ako pri zlomkoch.

## 4.3.9. Matice

\matrix ... \endmatrix slúži k písaniu matíc (bez zátvoriek). Jednotlivé riadky sa oddeľujú pomocou \\, jednotlivé položky v riadku pomocou &. (Pokiaľ by v niektorom riadku bolo menej položiek než v ostatných riadkoch, riadok je doplnený sprava medzerami). Medzi stĺpcami je štandardná vzdialenosť \quad, stĺpce sú centrované. Pokiaľ chceme maticu so zátvorkami, môžeme ju písať pomocou \left i \right, alebo použiť niektoré preddefinované typy matíc. `Napr. $\left( \matrix 1+\beta & 0 & 1-\alpha \\ 1 & 2 & 3-\alpha \\ \alpha & 2 & 3 \endmatrix \right)$` dáva

- \pmatrix ...\endpmatrix je matica ohraničená okrúhlymi

  zátvorkami.

- \bmatrix ... \endbmatrix je matica ohraničená hranatými

  zátvorkami.

- \vmatrix ...\endvmatrix je matica ohraničená kolmými čiarami (ako determinant).

- \Vmatrix ...\endVmatrix je matica ohraničená dvoma zvislými čiarami (ako norma).

- Ak chceme zmeniť úpravu matice (vzdialenosti medzi stĺpcami, centrovanie), je možné zvoliť si vlastnú úpravu matice, pomocou \format. `Napr. $\left\{\matrix\format \c &\qquad \c &\qquad \r & \l \\ a+1 & xxxx & 11 & .13 \\ 1 & 8 & & .13 \\ & & 148 & \endmatrix\right\}$` dáva

  pričom \c znamená, že daný stĺpec bude centrovaný, \r, resp. \l zarovnávaný vpravo, resp. vľavo. Vo formátovacej matici je maximálny počet stĺpcov určený počtom & vo formátovacom riadku. Pokiaľ napíšeme vo formátovacom riadku miesto jedného znaku \& dva znaky \&\&, potom to, čo nasleduje, je opakované ľubovoľnekrát. Podobne jeden znak \& hneď za \format znamená periodickú štruktúru. `Napr.\format \r &&\quad \l \\` znamená, že prvý stĺpec bude zarovnaný podľa pravého kraja a potom ľubovoľný počet stĺpcov podľa ľavého kraja, pred ktorými predchádza medzera.

- Ak chceme zväčšiť vertikálnu vzdialenosť medzi riadkami matice, použijeme \spreadmatrixlines{<vzd>} pred \matrix. Vzťahuje sa na všetky matice použité v danom $$...$$. Kdekoľvek za \\ môžeme použiť \vspace{<vzd>}, čo zväčší vertikálnu vzdialenosť medzi riadkami iba na danom mieste.

- Ak píšeme maticu do textu, veľkosť matice sa nezmenšuje automaticky. V tomto prípade je dobré použiť \smallmatrix ... \endsmallmatrix. `Napr. $\left(\smallmatrix a & b \\ c+1 & d \endsmallmatrix\right)$` dáva

  V týchto maticiach možno používať \format i \vspace, ale nie \spreadmatrixlines.

- \hdots, \vdots, \ddots sú po rade vodorovné, zvislé a diagonálne bodky pre bodkovanie v maticiach, nepresahujúce príslušné hranice stĺpca alebo riadku. Ak chceme špecifikovať horizontálne bodky presahujúce cez stĺpce, môžeme použiť \hdotsfor<počet stĺpcov> pre bodky začínajúce v prvom stĺpci a \innerhdotsfor<počet stĺpcov> \after ... pre bodky začínajúce v ľubovoľnom inom stĺpci, kde namiesto ... sa udáva vzdialenosť začiatku bodiek od predchádzajúceho stĺpca. `Napr. $\pmatrix a_1 & a_2 & \hdots & a_n \\ b_1 & b_2 & \hdots & b_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_1 & d_2 & \hdots & d_n \endpmatrix \qquad \pmatrix a_1 & a_2 & \hdots & a_n \\ b_1 & b_2 & \hdots & b_n \\ \hdotsfor 3& 2 \\ d_1 & \innerhdotsfor 2\after\quad & d_n \endpmatrix \qquad$` dáva

  Je možnosť tiež meniť medzery medzi bodkami. Namiesto \hdotsfor môžeme použiť \spacedots<vzd> \for ... kde vzdialenosť udáva veľkosť medzery medzi bodkami; udáva sa bez jednotiek a rozumejú sa štandardné jednotky pt. Pre \hdotsfor je to 1.5pt. Analogicky môžeme použiť \spaceinnerhdots<vzd> \for... \after... namiesto \innerhdots ... .

## 4.3.10. Vektory a šípky písané nad a pod znaky

- Vektory sa píšu pomocou \overrightarrow (alebo skrátene \overarrow), `napr. \overarrow{x+y}` dáva

  Okrem toho je možné používať nasledujúce ,,vektorové'' symboly:

  \overrightarrow{x+y} alebo tiež\overarrow |
  \overleftarrow{x-y} |
  a^{\overleftrightarrow{x+y}} |
  \overline{x+y} |
  \underrightarrow{x-y} alebo tiež \underarrow |
  \underleftarrow{x+y} |
  \underrightarrow{x+y} |
  \underleftrightarrow{x+y} |
  \underline{x+y} |

## 4.3.11. Šípky a znaky písané nad a pod šípky

- Šípka sa najjednoduchšie píše pomocou \to, `napr. $f\:X \to Y$` dáva

  Zoznam ostatných šípiek je uvedený v prílohe (Pozri odsek nazvaný Šípky v Kapitola 5).

- Zo základných šípiek sú navyše poskladané šípky, \dashrightarrow (alebo len \dasharrow), čo odpovedá

  a \dashleftarrow odpovedajúce

  ktoré nie sú základnými znakmi fontov.

- Ak chceme nad či pod jednoduchú šípku

  niečo umiestňovať, je lepšie použiť @>>>, resp.@<<<. To, čo je medzi prvým a druhým, resp.druhým a tretím znakom < alebo >, sa píše nad či pod šípku. Dĺžka šípky sa zväčšuje automaticky. Ak by sme do výrazu nad, či pod šípku potrebovali umiestniť < alebo >, je nutné dať celý výraz do zložených zátvoriek. `Napr. $x @>>{3<4}>$` dáva

- Konštrukcia \underset ... \to{...} umiestňuje to, čo je za \underset, centrovane pod výraz, ktorý nasleduje za \to. Podobne je možné použiť tiež \overset ... \to{...}. Toto nie je možné použiť k umiestňovaniu výrazov pod i nad šípku vytvorenú s \to. Ak umiestňujeme niečo nad, či pod binárny operátor, bude sa to opäť správať ako binárny operátor (medzerovanie), ale výrazy nad, či pod by nemali byť príliš dlhé. `Napr. $\overset\text{def}\to =$`, resp. `$\overset h\to{\underset A\to d}$` dáva

- \oversetbrace... \to{...} je analogické ako predchádzajúce, navyše so svorkovými zátvorkami, podobne \undersetbrace ... \to{...} `Napr. $\oversetbrace\text{$k$ times}\to{x +...+ x} \text{, resp.} \undersetbrace >\,0\to{x+y+z}$` dáva

- Vodorovné svorky je tiež možné dosiahnuť pomocou \overbrace a \underbrace a prípadný text sa píše analogicky ako pri operátoroch s hranicami. `Napr. $\overbrace{x+y+z}^{k\text{-times}}_{<5}$` napíše

## 4.3.12. Komutatívne diagramy

Komutatívne diagramy sa vytvárajú pomocou \CD a \endCD. Medzi týmito symbolmi sa vytvárajú horizontálne šípky spôsobom popísaným v predchádzajúcej časti. Vertikálne šípky sa vytvárajú analogicky, ale používajú sa znaky @VVV pre šípky dole a @AAA pre šípky hore. Symbol \\ sa používa k oddeľovaniu riadkov, alebo k vloženiu prázdneho riadku. `Napr. $\CD G@>\alpha>> H\\ @VfVV @AAgA \\G'@<<\beta< H'\endCD$` dáva

V rohoch, kde neuvádzame žiadny výraz, píšeme buď {}alebo nič. Na miestach, kde majú byť vynechané šípky, píšeme @. . `Napr. $\CD G @>\alpha>> H \\@. @AAgA \\@. H'\endCD$` dáva

- Je možné tiež použiť @=, resp. @| pre dlhé vodorovné, resp. zvislé znamienko =.

- \minCDarrowwidth<vzd>uvedené pred diagramom (vo vnútri $$...$$) zmení dĺžky šípiek v diagrame na uvedený rozmer; dlhšie budú len v prípade, že text uvedený nad či pod nimi bude dlhší než uvedený rozmer. V tomto prípade však nebudú všetky šípky v príslušnom stĺpci upravené na rovnakú dĺžku: \pretend ...\haswidth ... umožňuje nastaviť dĺžku šípky podľa dĺžky textu. `Napr. $\define \bottomarrow{@<<\pretend\beta \haswidth{ \text{ Clifford multiplication}}<} \CD G @>\text{Clifford multiplication}>>H \\ @VfVV @AAgA \\G'\bottomarrow H'\\@|@.\\ G*@=H*\endCD` dáva

Komutatívne diagramy so šikmými čiarami sa v AmSTeXu jednoducho písať nedajú.

## 4.3.13. Veľkosti zátvoriek a oddeľovačov

Ak chceme, aby TeX dosadil správnu veľkosť zátvoriek okolo výrazu, použijeme \left a \right s presným udaním druhu zátvoriek. `Napr. $\left( \dfrac xy\right]$` dáva

Uvedené sa vzťahuje na nasledujúce typy zátvoriek a oddeľovačov:

| ( |  | ) |  | }, \rbrace
| {, \lbrace |  | |, \vert |  | |, \Vert
| ], \rbrack |  | [, \lbrack |  | \rfloor
| \lfloor |  | \rceil |  | \lceil
| \langle |  | \rangle |  |
| / |  | \backslash |  | \uparrow
| \Uparrow |  | \downarrow |  | \Downarrow
| \updownarrow |  | \Updownarrow |  |

- \left i \right sú párové, preto ak nechceme jednu zo zátvoriek uviesť, treba uviesť bodku namiesto tejto zátvorky. `Napr. $\left\{ \dfrac xy \right.$` dáva

- Podľa \left i \right sa určuje i medzerovanie okolo. Pretože znaky [ a ] berie TeX ako znaky nie ako zátvorky, kvôli správnemu medzerovaniu je nutné tieto znaky písať s \left i \right i v základnej veľkosti. Analogicky i pri

  ak ich používame v zmysle zátvoriek.

- Zväčšovanie pomocou \left i \right poskytuje ľubovoľne veľké symboly.

- \left <je skratka za \left \langle, \right>je skratka za \right\rangle.

- Niekedy sa ovšem stane, že zátvorka (oddeľovač), ktorú TeX sám vyberie je väčšia (menšia), ako by sme my chceli. V tom prípade máme možnosť explicitne špecifikovať veľkosť zátvorky (oddeľovača) v preddefinovaných veľkostiach: \big, \Big (asi 1,5 krát väčšie ako \big), \bigg a \Bigg (asi 2,5 krát väčšie ako \bigg). `Napr. $\left(\sum^k_{i=1}x_i\right), \biggl(\sum^k_{i=1}x_i\biggr)$` dáva

  Kvôli správnemu medzerovaniu je dobré špecifikovať otváracie zátvorky s koncovkou l a zatváracie s koncovkou r (nemusia už byť párové). Ak chceme dosiahnuť medzery ako okolo binárneho operátora, pridáva sa koncovka m. Pokiaľ neuvedieme žiadnu koncovku, medzerovanie okolo je rovnaké ako okolo každého základného symbolu. `Napr. $x \big/y , x\bigm/y, x\Big/y, x \bigg/y,x\Bigg/y$` dáva

- Uvedené sa vzťahuje aj na nasledujúce špeciálne oddeľovače, ktoré sa používajú len s \left ...\right alebo s udaním presnej veľkosti pomocou \big, ....

  | \big\arrowvert |  | \big\Arrowvert |  | \big\bracevert
  | \Big\lgroup |  | \Big\rgroup |  | \big\s lmoustache
  | \big\rmoustache |  |  |  |

  \arrowvert a \Arrowvert na rozdiel od \vert a \Vert majú rozdielne medzery medzi čiarami, inú hrúbku čiar a iné medzerovanie okolo. Kontrolslová \lgroup a \rgroup je možné použiť len vo veľkostiach \Big a väčších. `Napr. $\dots \bigg\vert \dots \bigg\arrowvert \dots \bigg \Vert \dots \bigg \Arrowvert \dots$` dáva

Späť | Obsah | Ďalej
Základné pravidlá písania ,,matematického'' textu | Hore | Texty a fonty v matematickom móde