%% Fuzzy logika, p�edn�ky.     Mirko Navara, Petr Ol��k
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chyph % pou�ijte form�t csplain

\exhyphenpenalty=10000
\lineskiplimit = -2.5pt

\font\bbf=csbx12
\font\bigf=csbx12 scaled\magstep3
\font\logocvut=lev

\newif\iftwoside 
\newcount\kapnum \newcount\secnum \newcount\rcenum \newcount\numlink
\newcount\objnum
\newdimen\kapdimen
\newwrite\fileref \newwrite\fileidx \newread\testin

\def\beglink#1{}
\def\endlink{}
\def\aimlink#1{}
\def\urllink#1{{\tt#1}}
\def\zalozka#1{} \let\kapzalozka=\zalozka
\def\Brown{}\def\Black{}\def\Blue{}

%%%%%%%%%% Kapitola, z�hlav�, sekce %%%%%%%%%%%%%%%

\def\ifnextchar#1#2#3{\let\tznak=#1\def\bodyA{#2}\def\bodyB{#3}%
    \futurelet\znak\testuj}
\def\testuj{\ifx\znak\tznak\let\next=\bodyA\else\let\next=\bodyB\fi\next}
\def\kapitola{\advance\kapnum by 1 \secnum=0 \rcenum=0 \objnum=0
    \ifnextchar[{\kaplabel}{\def\dolink{}\inkapitola}}
\def\inkapitola #1 | #2 \par {\vfil\break
    \bigskip
    \xdef\headtext{#1}\mark{}\global\headline={\hfil\starthead}
    \immediate\write\fileref{\string\refkapitola{\the\pageno}{#1}}
    \noindent\raise15pt\hbox{\kapzalozka{#2}\dolink}%
    \kreslinadpis{\llap{\bbf\the\kapnum.\hskip.7em}\bbf #1}\bigskip}
\def\kaplabel[#1] {\expandafter\ifx\csname c:#1\endcsname\relax
      \expandafter\xdef\csname c:#1\endcsname {\the\kapnum}%
      \def\dolink{\aimlink{c:#1}}%
   \else\errmassage{duplikace labelu [#1]}%
   \fi \inkapitola}
\def\kreslinadpis #1{\setbox0=\hbox{#1\vphantom{y}}\kapdimen=\wd0\box0\par
    \nobreak\Blue\medskip\hrule height2pt width\kapdimen\relax\Black}
\def\starthead{\global\headline={\vbox{%
   \iftwoside\ifodd\pageno
      \line{\it \hfil\firstmark}%
   \else
      \line{\it \headtext\hfil}%
   \fi\else
      \line{\it \headtext\hfil\firstmark}%
   \fi
   \medskip\hrule}}}

\def\sekce{\advance\secnum by1
   \ifnextchar [{\seclabel}{\def\dolink{}\isekce}}
\def\isekce #1\par{\removelastskip\bigskip\penalty-1000
   \mark{\the\kapnum.\the\secnum. #1\unskip}
   \write\fileref{ \space\string\refsekce{\the\pageno}{#1}}
   \noindent\raise15pt\hbox{\zalozka{#1}\dolink}%
   {\bf \llap{\the\kapnum.\the\secnum.\hskip.7em}#1}\par
   \nobreak\medskip}
\def\seclabel[#1] {\expandafter\ifx\csname c:#1\endcsname\relax
     \expandafter\edef\csname c:#1\endcsname {\the\kapnum.\the\secnum}%
     \def\dolink{\aimlink{c:#1}}%
   \else\errmassage{duplikace labelu [#1]}%
   \fi \isekce}

%%%%%%%%%% Obsah %%%%%%%%%

\def\tocfill{\leaders\hbox{ . }\hfill}
\def\refkapitola#1#2{\advance\kapnum by1 \secnum=0
  \medskip
  \line{{\bf\the\kapnum. #2} \tocfill\space#1}}
\def\refsekce#1#2{\advance\secnum by1
  \line{\hskip3em \the\kapnum.\the\secnum. #2 \tocfill\space#1}}
\def\softinput #1 {\let\next=\relax \openin\testin=#1
  \ifeof\testin \message{VAROV�N�: prove�te "csindex -s \jobname.icf
  -z il2 \jobname" a TeXujte je�t� jednou.}%
  \else \closein\testin \def\next{\input #1 }\fi
  \next}  
\def\delejobsah{\bgroup \kapnum=0 \mark{}
  \noindent \raise15pt\hbox{\kapzalozka{OBSAH}}%
  \kreslinadpis{\bbf Obsah}\bigskip
  \softinput \jobname.ref
  \ifx\nooutput\undefined \immediate\openout\fileref\jobname.ref
  \else \gdef\fileref{-1}\fi
  \egroup}

%%%%%%%%%% ��slovan� objekty (definice, v�ta, d�kaz, p��klad) %%%%%%%%%%

\def\numero{\global\advance\objnum by1 \the\kapnum.\the\objnum}
\def\dalsiodstavec#1{\removelastskip\medskip\goodbreak
   \noindent{\bf #1. }\barva
   \ifnextchar[{\ulozlabel}{\ignorespaces}}
\def\ulozlabel[#1]{\expandafter\ifx\csname c:#1\endcsname\relax
     \expandafter\edef\csname c:#1\endcsname {\the\kapnum.\the\objnum}%
     \raise15pt\hbox{\aimlink{c:#1}}%
   \else\errmassage{duplikace labelu [#1]}%
   \fi \ignorespaces}
\def\definice{\def\konec{\removelastskip\medskip}\dalsiodstavec{Definice~\numero}}
\def\tabulka{\def\konec{\removelastskip\medskip}\dalsiodstavec{Tabulka~\numero}}
\def\poznamka{\let\konec=\medskip\dalsiodstavec{Pozn�mka~\numero}}
\def\veta{\let\konec=\endveta\def\barva{\Blue}%
   \ifnextchar({\nazvanaveta}{\dalsiodstavec{V�ta~\numero}}}
\def\nazvanaveta(#1) {\dalsiodstavec{V�ta \numero~(#1)}}
\def\dukaz{\def\konec{\noindent\hfill\ctverecek\medskip}%
   \removelastskip\medskip\noindent{\bf D�kaz. }}
\def\priklad{\let\konec=\medskip\dalsiodstavec{P��klad~\numero}}
\def\res{\removelastskip\medskip\noindent{\bf �e�en�. }}
\def\dusledek{\let\konec=\endveta\def\barva{\Blue}\dalsiodstavec{D�sledek~\numero}}
\def\endveta{\par\nobreak \removelastskip
   \vskip-\baselineskip \hbox{\Black} \def\barva{}\medskip}
\def\ctverecek{%
   \vbox{\hrule\hbox to6pt{\vrule height5pt\hfil\vrule}\hrule}}
\let\tvrzeni=\veta

%%%%%%%%%% Odkazy %%%%%%%%%%%%%

\def\barva{}
\def\zvednicil#1{\vbox to0pt{\vss\hbox{\raise15pt\hbox{#1}}}}
\def\rce(#1){\expandafter\ifx\csname r:#1\endcsname\relax
     \global\advance\rcenum by1
     \expandafter\xdef\csname r:#1\endcsname {\the\kapnum.\the\rcenum}%
     \zvednicil{\aimlink{r:#1}}%
   \else\errmassage{duplikace labelu rce(#1)}%
   \fi  \eqno (\the\kapnum.\the\rcenum)}
\def\lab(#1){\expandafter\ifx\csname r:#1\endcsname\relax
     \global\advance\rcenum by1
     \expandafter\xdef\csname r:#1\endcsname {#1}%
     \zvednicil{\aimlink{r:#1}}%
   \else\errmassage{duplikace labelu rce(#1)}%
   \fi {\rm(#1)}}
\def\bod(#1){({\rm#1})&\quad}
\let\em=\it
\def\cite{\ifnextchar({\citerce}{\citeodst}}
\def\citeodst[#1]{\expandafter\ifx\csname c:#1\endcsname\relax ~??%
   \else ~\beglink{c:#1}\csname c:#1\endcsname\endlink\fi}
\def\citerce(#1){\expandafter\ifx\csname r:#1\endcsname\relax ~(??)%
   \else ~\beglink{r:#1}(\csname r:#1\endcsname)\endlink\fi}

%%%%%%%%%%% Rejst��k %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\immediate\openout\fileidx=\jobname.idx
\def\inl[#1]{\doinl#1,,}
\def\doinl#1,{\if?#1?\let\next=\relax\else
   \def\next{\bezmezery#1<<}\fi \next}
\def\bezmezery #1#2<<{\leavevmode\toidxfile[#1#2]\topdfklik[#1#2]\doinl}
\def\toidxfile[#1]{\write\fileidx{\string\idx{#1}{\the\pageno}}}
\def\topdfklik[#1]{\def\tmp{}\ignorujdd#1::}
\def\ignorujdd#1:{\if?#1?\let\nnext=\realizujcil
   \else\let\nnext=\ignorujdd\edef\tmp{\tmp#1}\fi\nnext}
\def\realizujcil{\expandafter\ifx\csname\tmp\endcsname\relax
   \zvednicil{\aimlink{i:\tmp}}%
   \expandafter\edef\csname\tmp\endcsname{}\fi}

\def\delejrejstrik{\vfil\break
   \global\headline={\hfil}%
   \noindent \raise15pt\hbox{\kapzalozka{REJSTRIK}}%
   \kreslinadpis{\bbf Rejst��k}\bigskip
   \begmulti 3
   \rightskip=0pt plus 6em 
   \softinput \jobname.ind 
   \endmulti}
\def\ind#1, {\def\bodyind{#1}\def\bodyindp{#1}%
   \ifnextchar\subind{}{\normalind#1, }}
\def\normalind#1, {\par\noindent\hangpar
   \beglink{i:#1}\trind{#1}\endlink\nobreak\enspace}
\def\subind#1, {\def\subbody{#1}\def\subbodyp{#1}%
   \ifnextchar\subsubind{}{\normalsubind#1, }}
\def\normalsubind#1, {\par\noindent\hangpar
   \beglink{i:\bodyindp\space#1}\trind{\bodyind}\space\trind{#1}\endlink
   \def\bodyind{---}\nobreak\enspace}
\def\subsubind#1, {\par\noindent\hangpar
   \beglink{i:\bodyindp\space\subbodyp\space#1}%
   \trind{\bodyind}\space\trind{\subbody}\space\trind{#1}\endlink
   \def\bodyind{---}\def\subbody{---}\nobreak\enspace}
\def\hangpar{\hangindent=2em}
\def\trind#1{\expandafter\ifx\csname x:#1\endcsname\relax #1\else
   \csname x:#1\endcsname\fi}
\def\trindef#1#2{\expandafter\def\csname x:#1\endcsname{#2}}

\trindef{Lukasiewiczova}{\luk ova}
\trindef{Goedelova}{G\"odelova}

\newdimen\colsep  \colsep=2em % horiz. mezera mezi sloupci 
\newcount\tempnum             % pracovn� prom�nn�
\splittopskip=\baselineskip
\def\roundtolines #1{%% zaokrouhl� na cel� n�sobky vel. ��dku
   \divide #1 by\baselineskip \multiply #1 by\baselineskip}
\def\corrsize #1{%% #1 := #1 + \splittopskip - \topskip
   \advance #1 by \splittopskip \advance #1 by-\topskip}
\def\begmulti #1 {\par\bigskip\penalty0 \def\Ncols{#1}
   \setbox0=\vbox\bgroup\penalty0
   %% \hsize := ���ka sloupce = (\hsize+\colsep) / n - \colsep
   \advance\hsize by\colsep
   \divide\hsize by\Ncols  \advance\hsize by-\colsep}
\def\endmulti{\vfil\egroup \setbox1=\vsplit0 to0pt
   %% \dimen1 := velikost zbyl�ho m�sta na str�nce
   \ifdim\pagegoal=\maxdimen \dimen1=\vsize \corrsize{\dimen1}
   \else \dimen1=\pagegoal \advance\dimen1 by-\pagetotal \fi
   \ifdim \dimen1<2\baselineskip
     \vfil\break \dimen1=\vsize \corrsize{\dimen1} \fi
   %% \dimen0 := v��ka n sloupcov� sazby po rozd�len� do sloupc�
   %% = (\ht0 + (n-1)\baselineskip) / n, zaokruhleno na ��dky
   \dimen0=\Ncols\baselineskip \advance\dimen0 by-\baselineskip
   \advance\dimen0 by \ht0 \divide\dimen0 by\Ncols
   \roundtolines{\dimen0}
   %% Rozd�lit sazbu n sloupc� do str�nek nebo nerozd�lit ?
   \ifdim \dimen0>\dimen1 \splitpart  
   \else \makecolumns{\dimen0} \fi
   \ifvoid0 \else \errmessage{ztracen� text ve sloupc�ch?} \fi
   \bigskip}
\def\makecolumns#1{\setbox1=\hbox{}\tempnum=0
   \loop \ifnum\Ncols>\tempnum
      \setbox1=\hbox{\unhbox1 \vsplit0 to#1 \hss}
      \advance\tempnum by1
   \repeat
   \hbox{}\nobreak\vskip-\splittopskip \nointerlineskip
   \line{\unhbox1\unskip}}
\def\splitpart{\roundtolines{\dimen1}
   \makecolumns{\dimen1} \advance\dimen0 by-\dimen1
   %% \dimen0 := v��ka _zbyl�_ n sloupcov� sazby
   %% \dimen1 := pr�zdn� m�sto na str�nce = (cca) \vsize
   \vfil\break
   \dimen1=\vsize \corrsize{\dimen1}
   %% Rozd�lit zbylou sazbu n sloupc� do v�ce str�nek ?
   \ifvoid0 \else
      \ifdim \dimen0>\dimen1 \splitpart
      \else \makecolumns{\dimen0} \fi \fi}


%%%%%%%%%%% makra pro pdfTeX %%%%%%%%%%%%%%%%

\ifx\pdfoutput\undefined \else 
\pdfcompresslevel=9
\def\pdfsetcmykcolor#1{\special{PDF:#1 k}}
\def\Blue{\pdfsetcmykcolor{0.9 0.9 0.1 0}}
\def\Red{\pdfsetcmykcolor{0.1 0.9 0.9 0}}
\def\Brown{\pdfsetcmykcolor{0 0.85 0.87 0.5}}
\def\Green{\pdfsetcmykcolor{0.9 0.1 0.9 .3}}
\def\Black{\pdfsetcmykcolor{0 0 0 1}}
\def\restorebarva{\ifx\barva\empty\Black\else\barva\fi}
\def\em{\leavevmode\aftergroup\restorebarva\Red\it}
\pdfinfo{/Author (Mirko Navara, Petr Olsak)
         /CreationDate (/\the\month/\the\year) 
         /ModDate (\the\day. \the\month. \the\year)
         /Creator (TeX)
         /Producer (pdfTeX)
         /Title (Zaklady fuzzy mnozin - prednasky)
         /Subject (ucebni text)
         /Keywords (fuzzy logika)
}
\def\beglink#1{%          % Za��tek textu odkazu, #1 je kl�� odkazu
   \Green \pdfannotlink height9pt depth3pt 
     attr{/Border[0 0 0]} goto name{#1}\relax}
\def\endlink{\pdfendlink\ifx\barva\empty\Black\else\barva\fi}  
\def\aimlink#1{%          % M�sto c�le odkazu, #1 je kl�� odkazu
   \pdfdest name{#1} fith\relax}
\def\urllink#1{\pdfannotlink height 10pt depth 3pt 
   user{/Border[0 0 0]/Subtype/Link/A << /Type/Action/S/URI/URI(#1)>>}\relax
   \Green{\tt #1}\Black\pdfendlink}
\def\zalozka#1{\global\advance\numlink by1
   \pdfdest num\numlink fith\relax
   {\let~=\space\pdfoutline goto num\numlink {\space\space#1}}}
\def\kapzalozka#1{\global\advance\numlink by1
   \pdfdest num\numlink fith\relax
   {\let~=\space\pdfoutline goto num\numlink {#1}}}  
\pdfcatalog{/PageMode /UseOutlines}\relax


\fi %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% konec maker pro pdfTeX %%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%% Matematick� zkratky %%%%%%%%%%%%%%%%%

\let\subs=\subseteq
\def\P{{\cal P}}
\def\kde{:\;}
\def\je{:\enspace}
\def\dop#1{\overline{#1\,}}
\let\AND=\wedge \let\OR=\vee \let\NOT=\neg
\let\IMPL=\Rightarrow  \let\EQ=\Leftrightarrow
\def\carky{\thinmuskip=\thickmuskip}
\def\lint{\langle}
\def\rint{\rangle}
\def\ui{\lint 0,1\rint }
\def\fu{fuzzy mno�in}
\def\F{{\cal F}}
\def\supp{\mathop{\rm Supp}}
\def\core{\mathop{\rm core}}
\def\R{{\bf R}} \def\N{{\bf N}} \def\Z{{\bf Z}}
\def\indexf#1{\if.#1{\vbox to 2pt{\kern-2pt\hbox{.}\vss}}\else
   {\vbox to0pt{\vss\hbox{$\scriptscriptstyle#1$}\kern1.7pt}}\fi}
\def\indexu#1{\if.#1{\textstyle.}\else
   {\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle#1$}\kern-1pt}}\fi}
\def\notf#1{\mathop{\NOT}\limits_\indexf{#1}}
\def\capf#1{\mathbin{\mathop{\cap}\limits_\indexf{#1}}}
\def\cupf#1{\mathbin{\mathop{\cup}\limits^\indexu{#1}}}
\def\orf#1{\mathbin{\mathop{\OR}\limits^\indexu{#1}}}
\def\andf#1{\mathbin{\mathop{\AND}\limits_\indexf{#1}}}
\def\circf#1{\mathbin{\mathop{\circ}\limits_\indexf{#1}}}
\def\bigwedgedot{\mathop{\vbox{\hbox
   {$\displaystyle\bigwedge_\indexf{.}$}\kern-9pt}}\nolimits}
\def\bigveedot{\mathop{\vbox{\kern-5pt\hbox
   {$\displaystyle\bigvee^\indexu{.}$}}}\nolimits}
\def\bigveeS{\mathop{\vbox{\kern-5pt\hbox
   {$\displaystyle\bigvee^\indexu{S}$}}}\nolimits}
\def\luk{\L ukasiewicz}
\def\implf#1#2{\mathbin
   {\mathop{{\rightarrow}\vphantom{\vee}}%
   \limits^\indexu{#1}_{\indexf{#2}\kern3pt}}}
\def\eqf#1#2{\mathbin
   {\mathop{{\leftrightarrow}\vphantom{\vee}}\limits^\indexu{#1}_\indexf{#2}}}
\let\epsilon=\varepsilon
\def\bodik{{}\par\noindent\hbox to\parindent{\hss$\bullet$\hss\hss}}
\let\begitems=\medskip \let\enditems=\medskip

\def\ctvr #1{\mathbin{% ctvere�ek jako bin�rn� operace
   \mkern 2mu
   \vbox{\hrule\hbox to#1{\vrule height#1\hss\vrule}\hrule}}
   \mkern 2mu }
\def\sq{\mathchoice {\ctvr{4.3pt}}   {\ctvr{4.3pt}}
                    {\ctvr{2.6pt}} {\ctvr{2pt}}}
\def\incirc#1{\setbox0=\hbox{$\bigcirc$}\dimen0=\wd0
   \mathbin{\box0\kern-\dimen0 \hbox to\dimen0
      {\hss$\if.#1\cdot\else#1\fi$\hss}}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Tituln� str�nka %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\nopagenumbers \parindent=0pt
\null\vskip3cm
\centerline{\bigf Mirko Navara, Petr Ol��k}
\vskip2cm
\centerline{\bigf Z�klady fuzzy mno�in}% -- p�edn�ky}
\vskip2cm
\centerline{\bbf Praha, 2001}
\vskip2cm
\centerline{\logocvut E}

\vfil\break

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Copyright %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\null
\vskip2cm
Text je ���en voln� podle licence
\urllink{ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/fuzzy/licence.txt}.

Text ve form�tech \TeX{} (csplain), PostScript, {\tt dvi}, PDF najdete na
adrese\hfil\break
\urllink{ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/fuzzy/}.

\bigskip
Verze textu: \the\day. \the\month. \the\year

\vfill
Copyright \copyright{} Doc. Ing. Mirko Navara, DrSc., RNDr. Petr Ol��k, 2001
\vskip2cm
\break

\vfill\break

}

\delejobsah

\pageno=1

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola Z�kladn� pojmy | ZAKLADNI POJMY
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\sekce Z�kladn� pojmy z teorie mno�in
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

V~t�to kapitole zopakujeme z�kladn� skute�nosti z~teorie mno�in,
kter� budeme pozd�ji zobec�ovat. Nen� zde m�sto na podrobnou v�stavbu
z�klad� teorie mno�in, kter� b�v� �asto nahrazov�na intuitivn�m
ch�p�n�m pojmu mno�ina. Z~p�edchoz�ch kurs� byste m�li v�d�t, �e
nap�. ke ka�d� mno�in� $A$ existuje mno�ina v�ech jej�ch podmno�in,
budeme ji zna�it $\P(A)$. Zato v�ak neexistuje mno�ina v�ech mno�in,
nebo� takov� pojem vede ke sporu. T�mto probl�m�m se snadno vyhneme
tak, �e se omez�me na studium podmno�in jedn� (libovoln�, ale pevn�
dan�) 
\inl[univerz�ln� mno�ina, univerzum]tzv.~{\em univerz�ln� mno�iny} 
(univerza), kterou budeme zna�it~$X$.

P�ipome�me n�kter� pojmy:

\inl[kardinalita mno�iny, mohutnost mno�iny]{\em Kardinalitou} 
(t� {\em mohutnost�}) kone�n� mno�iny rozum�me
jej� po�et prvk�. Zobecn�n� na nekone�n� mno�iny je obt��n�js�, ale
pro tento kurs nen� podstatn�.

\inl[kart�zsk� sou�in]{\em Kart�zsk� sou�in} 
dvou mno�in $A$, $B$, zna��me $A\times B$, je
mno�ina v�ech uspo��dan�ch dvojic, v~nich� prvn� prvek je z~prvn�
mno�iny, druh� z~druh�, tedy
$$
  \carky
  A\times B = \bigl\{(a,b) \kde a\in A, b\in B\bigr\}.
$$

Mno�inov� operace pr�nik a sjednocen� m��eme snadno zav�st pomoc�
v�rokov�ch operac� konjunkce ($\AND$) a disjunkce ($\OR$).

\inl[pr�nik mno�in]{\em Pr�nik:} 
$A\cap B = \{x \kde (x\in A) \AND (x\in B)\}$.

\inl[sjednocen� mno�in]{\em Sjednocen�:} 
$A\cup B = \{x \kde (x\in A) \OR (x\in B)\}$.

\inl[dopln�k mno�iny]{\em Dopl�kem} 
mno�iny $A$, zna��me $\dop A$, m� b�t mno�ina v�ech
prvk�, kter� do n� nepat��. Aby takov� definice byla korektn�, mus�me
se omezit na prvky univerz�ln� mno�iny, tedy
$$
  \carky
  \dop A = \{x \kde x\in X, x\not\in A\}.
$$

\inl[inkluze mno�in]{\em Inkluzi} 
(tj. vlastnost \uv{b�ti podmno�inou}), $A\subs B$,
lze zav�st n�kolika ekvivalentn�mi zp�soby, nap�.
$$
  \eqalign {
  \bod(1) \forall x\in A \je x\in B, \cr
  \bod(2) \forall x\in X \je (x\in A \IMPL x\in B), \cr
  \bod(3) A \cap B = A,\cr
  \bod(4) A \cup B = B. 
  }
$$
Posledn� dva vztahy charakterizuj� inkluzi pomoc� mno�inov�ch operac�.

Pov�imn�me si je�t�, �e naopak lze v�echny mno�inov� operace zav�st
pomoc� inkluze (a z~n� p�irozen� odvozen�ch operac� maxima a minima
souboru mno�in):
$$
  \carky
  \eqalign {
  A\cap B &= \max\{C\subs X \kde C\subs A, C\subs B\}, \cr
  A\cup B &= \min\{C\subs X \kde A\subs C, B\subs C\}, \cr
  \dop A &= \max \{C\subs X \kde C\cap A = \emptyset\} % \cr &
        = \min \{C\subs X \kde C\cup A = X \}.
  }
$$

Dopln�k je tak� jednozna�n� charakterizov�n vztahy
$$
  A\cap \dop A = \emptyset, \qquad A\cup \dop A = X.
$$

Dopln�k nedosta�uje k~ur�en� inkluze, spl�uje v�ak n�sleduj�c�
ekvivalenci:
$$
  A\subs B \;\EQ\; \dop B \subs \dop A.
$$

\sekce Charakteristick� funkce
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Alternativn� lze mno�inu $A$ popsat jej� 
\inl[charakteristick� funkce]{\em charakteristickou funkc�} 
$\mu_A: X \to \{0,1\}$,
$$
  \mu_A (x) = \cases{1 & pro $x\in A$, \cr 0 & pro $x\not\in A$.}
$$
(Zde je op�t d�le�it� univerz�ln� mno�ina $X$ jako defini�n� obor
charakteristick� funkce.)
%
Takto b�n� reprezentujeme mno�iny na po��ta�i, nap�. v~Pascalu.
%
Mno�ina $A$ je svou charakteristickou funkc� $\mu_A$ jednozna�n�
ur�ena:
$$
  A = \{x\in X\kde \mu_A(x) = 1\} = \{x\in X\kde \mu_A(x) > 0\}.
$$
%
I~kdy� charakteristick� funkce neb�v� prost�, budeme pro ni
(podobn� jako pro jin� zobrazen�) pou��vat
zna�en� pro inverzi $\mu_A^{-1}$, kter� mno�in� obraz� $M\subseteq\{0,1\}$ p�i�ad�
mno�inu v�ech odpov�daj�c�ch vzor�, tj.
$$
  \mu_A^{-1} (M) = \{x\in X\kde \mu_A(x) \in M\}.
$$
S~t�mto zna�en�m lze ps�t
$$
  A = \mu_A^{-1} \bigl(\{1\}\bigr) = \mu_A^{-1} \bigl( (0,1\rint \bigr).
$$
%
Je-li v~argumentu $\mu_A^{-1}$ jednoprvkov� mno�ina, �asto p��eme
pouze tento prvek, tedy $\mu_A^{-1} (1)$ znamen�
$\mu_A^{-1} \bigl(\{1\}\bigr)$.

Inkluzi a mno�inov� operace lze pomoc� charakteristick�ch funkc�
vyj�d�it n�sledovn�:
$$
  \eqalign{
  A\subs B &\EQ \mu_A \leq \mu_B, \cr
  \mu_{A\cap B} (x) &= \mu_A (x)\cdot\mu_B(x) = 
  \min\bigl(\mu_A(x),\mu_B(x)\bigr) = \mu_A(x)\AND\mu_B(x), \cr
  \mu_{A\cup B} (x) &= 
  \max\bigl(\mu_A(x),\mu_B(x)\bigr) = \mu_A(x)\OR\mu_B(x), \cr
  \mu_{\dop{A\!}\,} (x) &= 1 - \mu_A(x) = \NOT \mu_A(x).
  }
$$
kde $\NOT$ zna�� logickou negaci.

\sekce Z�kladn� pojmy teorie fuzzy mno�in

Zat�mco zobecn�n� pojmu mno�iny v~p�vodn�m tvaru je t�ko
p�edstaviteln�, charakteristickou funkci lze snadno zobecnit na funkci
nab�vaj�c� v�ce (pravdivostn�ch) hodnot. Zde se a� na v�jimky omez�me
na p��pad, kdy mno�inou pravdivostn�ch hodnot bude interval re�ln�ch
��sel $\ui$.

Op�t budeme p�edpokl�dat pevn� zvolenou univerz�ln� mno�inu $X$. 
\inl[fuzzy: podmno�ina, fuzzy: mno�ina]{\em Fuzzy podmno�inou} 
$A$ univerza~$X$ (stru�n� {\em fuzzy mno�inou})
budeme rozum�t objekt popsan� (zobecn�nou) 
\inl[charakteristick� funkce]charakteristickou funkc�
$$
  \mu_A: X \to\ui
$$
(naz�vanou t� 
\inl[funkce p��slu�nosti]{\em funkce p��slu�nosti}).

Ka�d� funkce z~$X$ do $\ui$ ur�uje jednozna�n� n�jakou \fu{}u.
I~kdy� se v~n�kter�ch u�ebnic�ch d�sledn� rozli�uj� \fu{}y od jejich
funkc� p��slu�nosti, zde budeme tyto pojmy ztoto��ovat; zjednodu�� se
t�m z�pis a nehroz� nedorozum�n�. Podle t�to konvence tedy budeme
\fu{}ou rozum�t jakoukoli funkci $A:X\to\ui$. Pro ka�d� prvek $x\in X$
hodnota $A(x)\in\ui$ ��k�, do jak� m�ry je $x$ prvkem \fu{}y $A$.
  
Z�pis $x\in A$ nebudeme pro \fu{}y pou��vat, proto�e ztr�c� p�vodn�
v�znam. Vyhrad�me jej pouze pro \uv{klasick�} mno�iny (kter� nejsou
fuzzy); t�m budeme pro odli�en� ��kat 
\inl[ostr� mno�ina, crisp set]{\em ostr� mno�iny} (angl. 
{\em crisp}). Naproti tomu z�pis $A(x)$ budeme pou��vat jak pro
\fu{}y, tak pro ostr� mno�iny jako speci�ln� p��pad (op�t vyu��v�me
dohodu o~ztoto�n�n� \fu{}y s~jej� funkc� p��slu�nosti). Je-li tedy $A$
ostr� mno�ina a $x\in X$, pak $A(x)$ je pravdivostn� hodnota v�roku
$x\in A$.

V�echny fuzzy podmno�iny univerza $X$ tvo�� mno�inu, kterou budeme
zna�it $\F(X)$.

Abychom si zvykli na nov� p��stup, p�ep��eme v~t�to notaci vlastnosti
charakteristick�ch funkc� (tj. funkc� p��slu�nosti ostr�ch mno�in)
z~p�edchoz� kapitoly; n�kter� z~nich se t�m zjednodu��:

$$
  \eqalign{
    A\subs B &\EQ A\leq B, \cr
    (A\cap B)(x) &= A(x) \AND B(x) = A(x)\cdot B(x) = 
    \min\bigl(A(x),B(x)\bigr), \cr
    (A\cup B)(x) &= A(x) \OR B(x) = 
    \max\bigl(A(x),B(x)\bigr), \cr
    \dop A(x) & = \NOT A(x) = 1 - A(x).
}
$$
Zde $A$, $B$ byly ostr� mno�iny.

Pozd�ji uvid�me, �e tyto vztahy lze p�irozen�m zp�sobem pou��t i pro
\fu{}y. Nejd��ve v�ak zavedeme n�kolik z�kladn�ch pojm� pro libovolnou
\fu{}u $A$ na univerzu $X$.

\inl[obor hodnot fuzzy mno�iny]{\em Obor hodnot\/}: 
$\mathop{\rm Range}(A) = 
\bigl\{\alpha\in\ui\kde (\exists x\in X\kde A(x)=\alpha)\bigr\}$

\inl[v��ka fuzzy mno�iny]{\em V��ka\/}: 
$h(A) = \sup\,\mathop{\rm Range}(A)$

Je-li \fu{}a v��ky 1, naz�v� se 
\inl[fuzzy: mno�ina: norm�ln�, norm�ln� fuzzy mno�ina]{\em norm�ln�}; v~opa�n�m p��pad� j�
��k�me 
\inl[fuzzy: mno�ina: subnorm�ln�, subnorm�ln� fuzzy mno�ina]{\em subnorm�ln�}.

\inl[nosi� fuzzy mno�iny, support]{\em Nosi�} 
(angl. {\em support\/}) je ostr� mno�ina
$$
   \supp(A) = \bigl\{x\in X\kde A(x)>0\bigr\}, \qquad
  \hbox{neboli} \qquad 
% $$ neboli $$
   \supp(A) = A^{-1}\bigl((0,1\rint \bigr).
$$
(Aby se nosi� nepletl se supremem, p��eme zde velk� \uv{S} a
dv�~\uv{p}.)

\inl[j�dro fuzzy mno�iny, core]{\em J�dro} (angl. {\em core}) 
je ostr� mno�ina
$$
  \core(A) = \bigl\{x\in X\kde A(x) = 1\bigr\}, \qquad
  \hbox{tj.} \qquad 
  \core(A) = A^{-1}(1).
$$

Fuzzy mno�ina se naz�v� 
\inl[fuzzy: mno�ina: kone�n�, kone�n� fuzzy mno�ina]{\em kone�n�}, 
m�-li kone�n� nosi�. V~tom p��pad� definujeme 
\inl[skal�rn� kardinalita]tzv.~{\em skal�rn� kardinalitu} p�edpisem
$$
  \mathop{\rm card}(A) = \sum_{x\in X} A(x).
$$
Je z�ejm�, �e sta�� s��tat p�es $x\in\supp(A)$ a �e pro kone�n� ostr�
mno�iny tento pojem spl�v� s~klasickou kardinalitou.

\sekce Popis \fu{} pomoc� �ez�
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Nyn� uk�eme i jin� zp�sob ur�en� \fu{}y ne� pomoc� jej� funkce
p��slu�nosti. Ten bude mnohde v�hodn�, proto bude ��eln� nau�it se oba
popisy navz�jem p�ev�d�t.

\definice
%%%%%%%%%
Nech� $A\in\F(X), \alpha\in\ui$. Pak 
\inl[alfa-hladina, alpha-level, hladina]{\em $\alpha$-hladina\/}
(angl. {\em $\alpha$-level\/}) \fu{}y $A$ je ostr� mno�ina
$$
  A^{-1}(\alpha) = \bigl\{x\in X\kde A(x) = \alpha\bigr\}.
$$
\inl[syst�m: �ez�]{\em Syst�m �ez�\/} \fu{}y $A$ je zobrazen�
$$
  R_A: \ui\to\P(X),
$$
kter� ka�d�mu $\alpha\in\ui$ p�i�azuje 
\inl[alfa-�ez, �ez, alpha-cut]tzv.~{\em $\alpha$-�ez\/}
(angl. {\em $\alpha$-cut\/})
$$
  R_A(\alpha) = A^{-1}\bigl(\lint \alpha,1\rint \bigr) = 
  \bigl\{x\in X\kde A(x) \geq\alpha\bigr\}.
  \rce(df-�ez)
$$

Pou�ijeme-li v~p�edchoz�m vztahu ostrou nerovnost, dostaneme 
\inl[syst�m: ost�ch �ez�]{\em syst�m ostr�ch �ez�\/} 
$S_A:\ui\to\P(X)$, kde 
\inl[ostr� �ez]{\em ostr� $\alpha$-�ez\/} je 
$$
  S_A(\alpha) = A^{-1} \bigl((\alpha,1\rint \bigr) =
  \bigl\{x\in X\kde A(x)>\alpha\}.
$$
\konec


\poznamka
%%%%%%%%%
V~literatu�e se setk�v�me s~mnoha jin�mi zp�soby zna�en� $\alpha$-�ezu
\fu{}y $A$, nap�. $[A]_\alpha$, ${}^\alpha A$,  ${}_\alpha A$ atd.
\konec

�ezy a hladiny \fu{} maj� n�sleduj�c� vztah k~d��ve zaveden�m pojm�m:
$$
  \eqalign{
   \mathop{\rm Range}(A) &= 
     \bigl\{\alpha\in\ui\kde A^{-1}(\alpha) \not= \emptyset\bigr\}, \cr
    h(A) &= 
     \sup \bigl\{\alpha\in\ui\kde R_A(\alpha) \not=\emptyset\bigr\}, \cr
    \supp(A) &= S_A(0), \cr
    \core(A) &= R_A(1). \cr
}
$$

Trivi�ln� plat� pro v�echna $A\in\F(X)$:
$$
   R_A(0) = X, \qquad S_A(1) = \emptyset.
$$

\veta (o~syst�mu �ez�)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\bf A.}  Nech� $M:\ui\to\P(X)$ je syst�m �ez� \fu{}y $A\in\F(X)$,
tj. $M=R_A$. Pak $M$ spl�uje podm�nky
$$
  \eqalignno{
  & M(0) = X, & \lab(R1) \cr
  & 0\leq\alpha<\beta\leq1 \IMPL 
           M(\alpha)\supseteq M(\beta), & \lab(R2) \cr
  & 0<\beta\leq1 \IMPL 
           M(\beta) = \bigcap_{\alpha<\beta} M(\alpha). & \lab(R3) \cr
}
$$
(Pr�nik v~(R3) je p�es v�echna $\alpha\in\lint 0,\beta)$.)

{\bf B.} Naopak, ka�d� zobrazen� $M:\ui\to\P(X)$ spl�uj�c� 
podm�nky\cite(R1),\cite(R2),\cite(R3) je syst�mem �ez� 
n�jak� \fu{}y $A\in\F(X)$, tj.~$M=R_A$.
\konec

\dukaz
%%%%%%
$$
  \eqalign{
{\bf A.}\ \hbox{\cite(R1)}:\quad&  M(0) = R_A(0) = X \qquad\hbox{(0-�ez)}.\cr
   \hbox{\cite(R2)}:\quad&  \hbox{Je-li}\quad x\in M(\beta) = R_A(\beta),
                            \quad\hbox{znamen� to, �e}\cr
                         &  A(x) \geq \beta > \alpha, \quad\hbox{tedy}\quad
                            x\in R_A(\alpha) = M(\alpha). \cr
   \hbox{\cite(R3)}:\quad&  \hbox{Pro rovnost dvou mno�in je pot�eba
                            dok�zat dv� inkluze.}\cr
                         &  \hbox{Podle\cite(R2) pro v�echna 
                            $\alpha\in\lint 0,\beta)$ plat�}\quad
                            M(\beta)\subs M(\alpha), \cr
                         &  \hbox{proto}\quad 
                            M(\beta)\subs\bigcap_{\alpha<\beta} M(\alpha).\cr
                         &  \hbox{Pro d�kaz obr�cen� inkluze
                            p�edpokl�dejme, �e}\quad
                            x\in\bigcap_{\alpha<\beta} M(\alpha). \cr
                         & \hbox{To znamen�, �e pro v�echna 
                            $\alpha\in\lint 0,\beta)$ plat�}\quad
                            A(x)\geq\alpha, \cr
                         &  \hbox{tedy}\quad A(x)\geq\beta,
                            \quad\hbox{neboli}\quad 
                            x\in R_A(\beta) = M(\beta). \cr
\noalign{\medskip}
{\bf B.}\ \hphantom{\hbox{~(R1)}:}\quad& \hskip-3em \vtop{\hsize=.94\hsize
         \noindent 
         Hledanou \fu{}u $A$ lze definovat v ka�d�m bod� takto:
         $$
           A(x) = \sup\bigl\{\alpha\in\ui\kde x\in M(\alpha)\bigr\}.
           \rce(horizont2vertik)
         $$
         (Supremum existuje, proto�e podle\cite(R1) je p��slu�n� mno�ina
         nepr�zdn�.) Dok�eme, �e syst�m �ez� $R_A$ je roven
         $M$. D�kaz op�t rozlo��me na dv� inkluze.
         \hfil\break\indent
         Pokud $x\in M(\beta)$, pak p��mo z definice $A$ vypl�v�
         $A(x)\geq\beta$, tj. $x\in R_A(\beta)$.
         \hfil\break\indent
         Nech� $x\in R_A(\beta)$, tj. 
         $A(x) = \sup\bigl\{\alpha\in\ui\kde x\in M(\alpha)\bigr\}
         \geq\beta$. Vzhledem k\cite(R2) to znamen�, �e pro v�echna 
         $\alpha\in\lint 0,\beta)$ plat� $x\in M(\alpha)$, a tedy
         s~vyu�it�m\cite(R3) 
         $$
           x\in\bigcap_{\alpha<\beta} M(\alpha) = M(\beta).
         $$
         }\cr
}
$$
\vskip-2\baselineskip
\konec

\poznamka
%%%%%%%%%
Krom� vztahu\cite(R3) plat� trivi�ln� tak�
$$
  \eqalign{
  R_A(\beta) &= \bigcap_{\alpha\leq\beta} R_A(\alpha), \cr
  R_A(\beta) &= \bigcup_{\alpha\geq\beta} R_A(\alpha),
}
$$
ale neplat�
$$
  R_A(\beta) = \bigcup_{\alpha>\beta} R_A(\alpha).
$$
Za protip��klad sta�� vz�t $X=\{x,y\}$,
$A(x)=1$, $A(y)=0$. Pro $\beta=0$ dost�v�me $R_A(0)=X$,
$\bigcup\limits_{\alpha>0} R_A = \{x\}$.
\konec

V�ta o~reprezentaci pomoc� �ez� n�m zaji��uje, �e ka�d� \fu{}a je
jednozna�n� ur�ena sv�m syst�mem �ez�. Popisu \fu{}y pomoc� syst�mu
�ez� ��k�me 
\inl[horizont�ln� reprezentace, reprezentace: horizont�ln�]{\em horizont�ln� reprezentace}, 
na rozd�l od 
\inl[vertik�ln� reprezentace, reprezentace: vertik�ln�]{\em vertik�ln� reprezentace\/} 
pomoc� funkce p��slu�nosti. Vz�jemn�
p�evod obou reprezentac� zaji��uj� vztahy\cite(df-�ez) 
a\cite(horizont2vertik). Ty budeme pot�ebovat, nebo� pro n�kter� ��ely
je jedna z~reprezentac� vhodn�j�� ne� druh�. P�evod z~horizont�ln�
reprezentace na vertik�ln� uvedeme je�t� v~jin�m tvaru s~vyu�it�m
n�sobku fuzzy mno�iny skal�rem.

\definice
%%%%%%%%%
Nech� $A\in\F(X)$, $\alpha\in\ui$. Definujeme $\alpha\,A\in\F(X)$
p�edpisem 
$$
  (\alpha\,A)(x) = \alpha\cdot A(x).
$$
\konec

\veta [druha-reprezentace]
%%%%%
Nech� $A\in\F(X)$. Pak 
$$
  A(x) = \sup\bigl\{\alpha\in\ui\kde x\in R_A(\alpha)\bigr\}, \qquad
  A = \sup_{\alpha\in\ui} \alpha\,R_A(\alpha) = 
       \sup_{\alpha\in\mathop{\rm Range}(A)} \alpha\,R_A(\alpha),
$$
kde supremum v~posledn�m vztahu po��t�me po bodech, tj.
$$
  A(x) = \sup_{\alpha\in\ui} \bigl(\alpha\,R_A(\alpha)\bigr)(x).
$$
(S~t�mto supremem se pozd�ji setk�me jako se standardn�m fuzzy sjednocen�m.)
\konec

\dukaz
%%%%%%
Prvn� vztah se vyskytl ji� v~d�kazu v�ty o~reprezentaci
�ez�\cite(horizont2vertik). Dal�� jsou jen jeho ekvivalentn� formulace.
%
\konec

Jako p��klad vyu�it� horizont�ln� reprezentace uva�ujme, jak
reprezentovat v~po��ta�i \fu{}u re�ln�ch ��sel. Vertik�ln�
reprezentace vy�aduje zadat re�lnou funkci. Jej� hodnoty mohou b�t
ur�eny s~velkou p�esnost�, ale ta nemus� b�t u�ite�n�. Jeliko� u� sama
vyjad�uje v�gnost, vysta��me �asto s~pom�rn� mal�m po�tem stup��
p��slu�nosti. V~horizont�ln� reprezentaci pak sta�� ke ka�d�mu z~nich
ur�it p��slu�n� �ez. �asto b�v� �ezem interval, k~jeho� ur�en� sta��
dvojice ��sel. Pozd�ji uvid�me, �e tato reprezentace je vhodn� i pro
n�kter� operace.

\priklad
Na univerzu $X = \{a,b,c,d\}$ je d�na \fu{}a 
$A=\bigl\{(a,0.3),(b,1),(c,0.5)\bigr\}$. 
Najd�te jej� horizont�ln� reprezentaci.

\res
$$
  R_A(\alpha) = \cases{X         & pro $\alpha=0$, \cr
                       \{a,b,c\} & pro $\alpha\in(0,0.3\rint $, \cr
                       \{b,c\}   & pro $\alpha\in(0.3,0.5\rint $, \cr
                       \{b\}     & pro $\alpha\in(0.5,1\rint $. }
$$

\priklad
Fuzzy mno�ina $A$ m� horizont�ln� reprezentaci
$$
  R_A(\alpha) = \cases{\{a,b,c,d\} & pro $\alpha\in\lint 0,1/3\rint $, \cr
                       \{a,d\}     & pro $\alpha\in(1/3,1/2\rint $, \cr
                       \{d\}       & pro $\alpha\in(1/2,2/3\rint $, \cr
                       \;\emptyset & pro $\alpha\in(2/3,1\rint $. }
$$
Najd�te jej� vertik�ln� reprezentaci.

\res
$$
  \eqalign{
   A(a) &= \sup\bigl\{\alpha\in\ui\kde a\in R_A(\alpha)\bigr\} =
           \sup\lint 0,1/2\rint  = 1/2, \cr
   \hbox{podobn� } \quad
   A(b) &= 1/3, \quad A(c) = 1/3, \quad A(d) = 2/3, \quad\hbox{tedy}\cr
   A &= \bigl\{(a,1/2), (b,1/3), (c,1/3), (d,2/3)\bigr\}.
}
$$

\priklad
Fuzzy mno�ina $A$ m� horizont�ln� reprezentaci
$$
  R_A(\alpha) = \cases{ \{a,b,c\} & pro $\alpha = 0$, \cr
                        \{a\}     & pro $\alpha\in(0,1/2\rint $, \cr
                        \{a,b\}   & jinak. }
$$
Najd�te jej� vertik�ln� reprezentaci.

\res
Zad�n� nen� horizont�ln� reprezentac� ��dn� \fu{}y, proto�e nen�
spln�na podm�nka\cite(R2). Nap��klad
$R_A(1/2) \not\subs R_A(1)$. Dost�v�me 
$A(b)= \sup\bigl\{\alpha\in\ui\kde b\in R_A(\alpha)\bigr\} 
= \sup \bigl(\{0\}\cup(1/2,1\rint \bigr) = 1$, ale $b\not\in R_A(1/2)$.

\priklad
Fuzzy mno�ina $A$ m� horizont�ln� reprezentaci
$$
  R_A(\alpha) = \cases{ \{a,b\} & pro $\alpha = 0$, \cr
                        \{a\}   & pro $\alpha\in(0,1/2)$, \cr
                        \;\emptyset & jinak. }
$$
Najd�te jej� vertik�ln� reprezentaci.

\res
Zad�n� nen� horizont�ln� reprezentac� ��dn� \fu{}y, proto�e nen�
spln�na podm�nka\cite(R3). Dost�v�me 
$A(a) = \sup\bigl\{\alpha\in\ui\kde a\in R_A(\alpha)\bigr\} = 
      \sup \lint 0,1/2) = 1/2$, ale $a\not\in R_A(1/2)$.

\priklad
Na univerzu $X=\R$ je d�na \fu{}a $A$:
$$
  A(x) = \cases{ x    & pro $x\in\ui$, \cr
                 2-x  & pro $x\in(1,1.5\rint $, \cr
                 0    & jinak. }
$$
Najd�te jej� horizont�ln� reprezentaci.

\res
$$
  R_A(\alpha) = \cases { \R                 & pro $\alpha=0$, \cr
                         \lint \alpha,1.5\rint        & pro $\alpha\in(0,0.5\rint $, \cr
                         \lint \alpha, 2-\alpha\rint  & pro $\alpha\in(0.5,1\rint $. }
$$

\priklad
Je d�na horizont�ln� reprezentace \fu{}y $A$:
$$
  R_A(\alpha) = \cases { \R           & pro $\alpha=0$, \cr
                         \lint \alpha^2,1) & jinak. }
$$
Najd�te jej� vertik�ln� reprezentaci.

\res
$$
  A(X) = \cases { \sqrt{x} & pro $x\in(0,1)$, \cr
                   0       & jinak. }
$$

\priklad
Je d�na horizont�ln� reprezentace \fu{}y $A$:
$$
  R_A(\alpha) = \cases { \R           & pro $\alpha=0$, \cr
                        (\alpha^2,1) & jinak. }
$$
Najd�te jej� vertik�ln� reprezentaci.

\res
Zad�n� nen� horizont�ln� reprezentac� ��dn� \fu{}y, proto�e nen�
spln�na podm�nka\cite(R3). Dost�v�me nap��klad 
$A(1/4) = \sup\bigl\{\alpha\in\ui\kde 1/4\in R_A(\alpha)\bigr\} =
          \sup \lint 0,1/2) = 1/2$, ale $1/4 \not\in R_A(1/2)$.


\sekce Fuzzy inkluze
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\definice
%%%%%%%%%
Nech� $A$, $B\in\F(X)$. ��k�me, �e $A$ je 
\inl[fuzzy: podmno�ina]{\em podmno�inou\/}~$B$ a
p��eme $A\subs B$, jestli�e plat�
$\forall x\in X\je A(x)\leq B(x)$.
\konec

Proto�e takto je definov�na i nerovnost re�ln�ch funkc�, kter�mi
\fu{}y jsou, m��eme ekvivalentn� ps�t t� $A\leq B$.

\poznamka
%%%%%%%%%
Nem��eme pou��t z�pis $\forall x\in A\je x\in B$, nebo� pro \fu{}u~$A$
nem�me dosud definov�n v�znam kvantifik�toru $\forall x\in A$.

\veta
%%%%%
Nech� $A$, $B\in\F(X)$. Pak $A\subs B$ pr�v� tehdy, kdy� 
$$
  \forall\alpha\in\ui\je R_A(\alpha)\subs R_B(\alpha).
  \rce(e-inkluze)
$$
\konec

\dukaz
%%%%%%
1. P�edpokl�dejme, �e $A\subs B$, $x\in R_A(\alpha)$. 
Pak $\alpha\leq A(x)\leq B(x)$, tedy $x\in R_B(\alpha)$ a 
$R_A(\alpha)\subs R_B(\alpha)$.

2. P�edpokl�dejme, �e plat�\cite(e-inkluze). Nech� $x\in X$. 
Podle v�ty\cite[druha-reprezentace] je
$$
  A(x) = \sup\bigl\{\alpha\in\ui\kde x\in R_A(\alpha)\bigr\}.
$$
Proto�e $\bigl\{\alpha\in\ui\kde x\in R_A(\alpha)\bigr\} \subs
\bigl\{\alpha\in\ui\kde x\in R_B(\alpha)\bigr\}$, plat� nerovnost
$A(x) \leq \sup \bigl\{\alpha\in\ui\kde x\in R_B(\alpha)\bigr\} =B(x)$.
\konec

D�ky t�to v�t� m�me dv� ekvivalentn� formulace fuzzy inkluze; jednu
pro vertik�ln� a jednu pro horizont�ln� reprezentaci.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola Operace s fuzzy mno�inami | OPERACE S FUZZY MNOZINAMI
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\sekce Ostr� mno�iny
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Za�neme p�ehledem situace pro ostr� mno�iny a zam���me se na vztah
mezi mno�inov�mi a v�rokov�mi operacemi. V�rokov�mi operacemi v~tomto
speci�ln�m p��pad� m�n�me operace Booleovy algebry, dan� zn�m�mi
tabulkami hodnot.

\bigskip
\hbox to\hsize{\hss\vbox{\offinterlineskip
\halign{#\ \hfil&$#$\hfil\enspace\vrule height 12pt depth5pt\enspace
  &#\ \hfil&$#$\hfil\enspace\vrule\enspace &$#$\hfil  \cr
  \hbox to0pt{mno�inov� operace\hss}& & 
  \hbox to0pt{v�rokov� operace\hss}& &\hbox{vztah} \cr
  \noalign{\hrule}
  dopln�k& \dop{\phantom{A}}: \P(X) \to\P(X) &
  negace&     \NOT: \{0,1\} \to \{0,1\} &
  \dop A~= \bigl\{x\in X\kde \NOT(x\in A)\bigr\} \cr
  pr�nik&     \cap: \P(X)^2 \to\P(X) &
  konjunkce&  \AND: \{0,1\}^2 \to \{0,1\} &
  A\cap B = \bigl\{x\in X\kde (x\in A)\AND(x\in B)\bigr\} \cr
  sjednocen�& \cup: \P(X)^2 \to\P(X) &
  disjunkce&  \OR:  \{0,1\}^2 \to \{0,1\} &
  A\cup B = \bigl\{x\in X\kde (x\in A)\OR(x\in B)\bigr\} \cr
}}\hss}
\bigskip

Podle �mluvy o~ztoto�n�n� mno�in s~jejich charakteristick�mi funkcemi
lze p�edchoz� vzorce ps�t:
$$
  \dop A(x) = \NOT A(x), \qquad (A\cap B)(x) = A(x) \AND B(x), \qquad
  (A\cup B)(x) = A(x) \OR B(x).
$$

D�le�itost uveden�ch vzorc� tkv� mj. v~tom, �e zat�mco defini�n� obor
mno�inov�ch operac� m��e b�t r�zn� v~z�vislosti na volb� univerz�ln�
mno�iny, v�rokov� operace z�st�vaj� stejn�. Sta�� tedy zn�t v�rokov�
operace, aby bylo mo�n� zav�st mno�inov� operace na libovoln�m
univerzu.

Dal��m d�sledkem je, �e mno�inov� operace spl�uj� stejn� vlastnosti
jako odpov�daj�c� v�rokov� operace (nap�. komutativitu, asociativitu,
distributivitu), jmenovit� z�kony Booleovy algebry. Ty lze vyj�d�it
nap�. n�sledovn� (nen� to nej�sporn�j�� soustava axiom�, n�kter� lze
odvodit z~ostatn�ch):
$$
  \halign{#:\hfil\quad&\hfil$#$&${}#$\hfil\qquad&\hfil$#$&${}#$\hfil\cr 
  involuce&  \dop{\dop A} &= A, \cr
  komutativita&  A\cup B &= B\cup A, & A\cap B &= B\cap A, \cr
  asociativita& (A\cup B)\cup C &= A\cup(B\cup C), &
  (A\cap B)\cap C &= A\cap(B\cap C), \cr 
  distributivita& A\cap(B\cup C) &= (A\cap B)\cup(A\cap C), &
   A\cup(B\cap C) &= (A\cup B)\cap(A\cup C), \cr
  idempotence& A\cup A &= A, & A\cap A &= A, \cr
  absorpce& A\cup(A\cap B) &= A, & A\cap(A\cup B) &= A, \cr
  absorpce s univerzem a $\emptyset$& A\cup X &= X, & 
   A\cap\emptyset &= \emptyset, \cr
  neutr�ln� prvky& A\cup \emptyset &= A, & A\cap X &= A, \cr 
  z�kon kontradikce& && A\cap \dop A &= \emptyset,  \cr
  z�kon vylou�en�ho t�et�ho& A\cup \dop A &= X, \cr
  de Morganovy z�kony& \dop{A\cap B} &= \dop A \cup \dop B, &
   \dop{A\cup B} &= \dop A \cap \dop B. \cr
}
$$

\sekce Analogie pro operace s fuzzy mno�inami
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Rovn� pro operace s~\fu{}ami budou z�kladem operace fuzzy v�rokov�ho
po�tu, tedy operace s~pravdivostn�mi hodnotami, tentokr�t z~intervalu
$\ui$.

\poznamka
%%%%%%%%%
Vych�z�me z~p�edpokladu, �e stupe� p��slu�nosti bodu $x\in X$
k~v�sledku operace z�vis� {\it jen\/} na jeho stupn�ch p��slu�nosti
k~operand�m a je jimi jednozna�n� ur�en (tomu ��k�me, �e fuzzy logika
je \inl[funkcion�ln� fuzzy logika]{\em funkcion�ln�}).

V~p��pad� ostr�ch mno�in nebyl tento p�edpoklad v�bec p�ekvapiv�.
V~p��pad� \fu{} je nutno tento princip zd�raznit, nebo� mnohdy neb�v�
spr�vn� pochopen. Jeho prvn� ��st ��k�, �e v�sledek je nez�visl� na
hodnot�ch p��slu�nosti v~ostatn�ch bodech.

Druh� ��st ��k�, �e stupn� p��slu�nosti bodu k~operand�m poskytuj�
{\it dostate�nou\/} informaci pro ur�en� stupn� p��slu�nosti
k~v�sledku. Tedy, �e stupe� spln�n� konjunkce \uv{je chladno a pr��}
je pln� ur�en t�m, nakolik je chladno a nakolik pr��.

To je �pln� jin� situace ne� u~pravd�podobnostn�
neur�itosti. Kdybychom definovali {\it ostr�\/} krit�ria pro jevy
\uv{je chladno} a \uv{pr��}, mohli bychom stanovit (ostrou)
pravdivostn� hodnotu v�roku \uv{dnes je chadno a pr��}. Mohli bychom
tak� hovo�it o~pravd�podobnosti jev� \uv{z�tra bude chladno a bude
pr�et}. Ta {\it nen�\/} jednozna�n� ur�ena pravd�podobnost� v�rok�
\uv{z�tra bude chladno} a \uv{z�tra bude pr�et}; z�le�� zde nav�c na
z�vislosti zkouman�ch jev�.

Je tedy t�eba p�ipomenout, �e fuzzy neur�itost se li�� od
pravd�podobnostn� mj. v~tom, �e je funkcion�ln�.

\konec

Jeliko� fuzzy mno�inov� i v�rokov� operace vesm�s zobec�uj�
odpov�daj�c� klasick� operace, budeme pro n� pou��vat tot� zna�en�:
$\dop{\phantom{A}}, \cap, \cup, \ldots, \NOT, \AND, \OR, \ldots$
a tut� terminologii, pouze s~p��vlastkem \uv{fuzzy}.
Jak ov�em uvid�me, toto zobecn�n� lze zav�st v�ce zp�soby, kter�
budeme rozli�ovat indexy, nap�. $\notf S, \capf S, \cupf L, \ldots$
Index nahrad�me te�kou, chceme-li hovo�it o~n�jak� (bl��e
nespecifikovan�) fuzzy operaci p��slu�n�ho typu, nap�.~$\capf.$ bude
znamenat libovoln� fuzzy pr�nik. Operandy bez index� vyhrad�me jen pro
dva ��ely:

\item - operace klasick� logiky a teorie mno�in,
\item - pro spojky pou�it� v~logice pro vytv��en� formul�, pln�c� tedy
roli �ist� syntaktickou.

\noindent
Spojky $\IMPL$, $\EQ$ vyhrazujeme pouze pro klasickou implikaci a
ekvivalenci ostr�ch v�rok�.


\sekce Fuzzy negace
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\definice
%%%%%%%%%
\inl[fuzzy: negace]{\em Fuzzy negace\/} je un�rn� operace $\notf.: \ui\to\ui$, spl�uj�c�
n�sleduj�c� axiomy:
$$
  \eqalignno{
  \alpha\leq\beta &\IMPL \notf.\beta \leq \notf.\alpha, & \lab(N1) \cr
  \notf.\notf.\alpha &= \alpha. &                         \lab(N2) \cr
}
$$
\konec

Podle\cite(N1) je fuzzy negace nerostouc�, podle\cite(N2)
je \inl[involuce]{\em involutivn�\/}.

\priklad
%%%%%%%%
\inl[standardn�: fuzzy: negace]{\em Standardn� fuzzy negace\/} $\notf S$ je definov�na vztahem
$ \notf S \alpha = 1 - \alpha$.
\konec

Z~axiom�\cite(N1),\cite(N2) vypl�vaj� mnohem p��sn�j�� podm�nky:

\veta
%%%%%
Ka�d� fuzzy negace $\notf.$ je spojit�, klesaj�c�, bijektivn� a
spl�uje okrajov� podm�nky
$$
  \notf.1 = 0, \qquad \notf.0 = 1. \eqno \lab(N0)
$$
Jej� graf je symetrick� podle osy 1. a 3. kvadrantu, 
tj.~$\notf.{}^{-1}=\notf.$ (neboli $\notf.$ je sama k~sob� inverzn�).
\konec

\dusledek
%%%%%%%%%
Pro ka�dou fuzzy negaci $\notf.$ existuje pr�v� jedna hodnota
$e\in(0,1)$, pro kterou $\notf.e=e$. Naz�v�me ji
\inl[rovnov�n� hodnota, equilibrium]{\em rovnov�nou hodnotou} 
(angl. {\em equilibrium}).
\konec

\dukaz
%%%%%%
Funkce $f(\beta) = \notf.\beta - \beta$ spl�uje $f(0)=1$,
$f(1)=-1$. Proto�e je spojit�, m� podle v�ty o~st�edn� hodnot�
v~intervalu $(0,1)$ nulov� m�sto, kter� je rovnov�nou
hodnotou. Jednozna�nost plyne z~toho, �e $f$ je klesaj�c�.
\konec

\veta (o~reprezentaci fuzzy negac�)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\bf A.} Nech� $i:\ui\to\ui$ je rostouc� bijekce. Pak funkce 
$$
  \notf i = i^{-1}\circ\mathord{\notf S} \circ i, \quad\hbox{tj.}\quad
  \notf i \alpha = i^{-1}\bigl(\notf S i(\alpha)\bigr)
$$
je fuzzy negace. 

{\bf B.} Naopak, ka�d� fuzzy negace $\notf.$ je uveden�ho tvaru pro
n�jakou rostouc� bijekci $i$; ta se naz�v� 
\inl[gener�tor: fuzzy: negace]{\em gener�tor fuzzy negace $\notf.$}.
\konec

\dukaz (Dle [Nguyen-Walker].)
%%%%%%
{\bf A.} \cite(N1): Nech� $\alpha,\beta\in\ui$, $\alpha\leq\beta$.
Jeliko� $i$, $i^{-1}$ uspo��d�n� zachov�vaj� a $\notf S$ obrac�,
dost�v�me postupn� 
$$
  i(\alpha)\leq i(\beta), \qquad
  \notf S i(\alpha) \geq \notf S i(\beta), \qquad
  i^{-1}\bigl(\notf S i(\alpha)\bigr) \geq 
  i^{-1}\bigl(\notf S i(\beta)\bigr),
$$
tedy $\notf i \alpha \geq \notf i \beta$.

\cite(N2):\quad $\notf i \circ \notf i = 
i^{-1} \circ {\notf S} \circ i \circ i^{-1} \circ {\notf S} \circ i =
i^{-1} \circ {\notf S} \circ {\notf S} \circ i =
i^{-1} \circ i = {\rm id}$,
kde id je identita na $\ui$.

%! mezera
{\bf B.} Definujeme zobrazen� $i$ p�edpisem
$$
  i(\alpha) = {\alpha + \notf S \notf. \alpha \over 2}
$$
a dok�eme, �e je gener�torem fuzzy negace $\notf.$. Je z�ejm�, �e $i$
je rostouc�, spojit� a spl�uje $i(0) = 0$, $i(1) = 1$. Je to tedy
bijekce na $\ui$. D�le plat�
$$
  \notf S i(\alpha) = 1 - {\alpha + \notf S \notf. \alpha \over 2}
  = {1 - \alpha + 1 - \notf S \notf. \alpha \over 2}
  = {\notf S \alpha + \notf S \notf S \notf. \alpha \over 2}
  = {\notf S \alpha + \notf. \alpha \over 2} 
  = {\notf S \notf. \notf. \alpha + \notf. \alpha \over 2}
  = i (\notf. \alpha).
$$
T�m jsme dok�zali, �e ${\notf S} \circ i = i\circ\notf.$, neboli
$i^{-1}\circ{\notf S}\circ i = \notf.$.
\konec

\poznamka
%%%%%%%%%
Pro rozli�en� od jin�ch reprezentac� se n�kdy tomuto typu gener�toru
fuzzy negace ��k� 
\inl[rostouc� gener�tor, gener�tor: rostouc�]{\em rostouc� gener�tor}.
\konec

\poznamka
%%%%%%%%%
Rostouc� gener�tor fuzzy negace nen� jednozna�n� ur�en. V~p�edchoz�m
d�kazu jsme zkonstruovali jeden z~mo�n�ch rostouc�ch gener�tor�. Zcela
jinou konstrukci lze naj�t v~[Klir], je v�ak mnohem komplikovan�j��.
\konec

V�ta o~reprezentaci fuzzy negac� m� n�kolik d�sledk�. Rostouc� bijekci
$i$ lze interpretovat jako zm�nu m���tka na intervalu $\ui$; m�n� se
ozna�en� pravdivostn�ch hodnot, ale z�st�v� zachov�no jejich
uspo��d�n�. 

Podle reprezenta�n� v�ty lze libovolnou fuzzy negaci dostat ze
standardn�. To ov�em neznamen�, �e by standardn� negace m�la n�jak�
v�sadn� postaven�; naopak na jej�m m�st� bylo mo�no pou��t libovolnou
jinou fuzzy negaci, v�ta plat� i pro ni.

R�zn� fuzzy negace se mohou jevit odli�n� z~hlediska u�ivatele, kter�
jimi chce popsat v�gnost informac�, ale z~matematick�ho hlediska mezi
nimi nen� (zat�m) ��dn� podstatn� rozd�l. Dal�� text tedy neztrat�
p��li� na obecnosti, kdy� se v~n�m omez�me na jedinou -- standardn� -- fuzzy
negaci.

\poznamka
%%%%%%%%%
N�kdy se uva�uje (a jako fuzzy negace ozna�uje) 
\inl[zobecn�n�: fuzzy: negace, fuzzy: negace: zobecn�n�]{\em zobecn�n� fuzzy negace}, 
co� je operace $\notf.: \ui\to\ui$
spl�uj�c� pouze\cite(N0) a\cite(N1). Ta nemus� b�t involutivn� ani spojit�.
V tom p��pad� se fuzzy negaci v na�em smyslu (spl�uj�c� (N1),(N2))
��k� siln� fuzzy negace.

\priklad
%%%%%%%%
\inl[Goedelova: zobecn�n� fuzzy negace]{\em G\"odelova zobecn�n� fuzzy negace\/}:
$$
  \notf G \alpha = \cases {1 & pro $\alpha=0$,\cr 0 & jinak.}
$$

\definice
%%%%%%%%%
\inl[fuzzy: dopln�k]{\em Fuzzy dopln�k} 
je operace na fuzzy mno�in�ch definovan� pomoc� fuzzy
negace:
$$
  \dop A^. (X) = \notf.\bigl(A(x)\bigr).
$$
P�itom $\dop{\phantom A}^.$ znamen� obecn� fuzzy dopln�k. Jednotliv�
typy budeme rozli�ovat stejn�mi indexy, jako u~fuzzy negac�.
Nap��klad $\dop{\phantom A}^{{}_S}$ je standardn� fuzzy dopln�k odpov�daj�c�
standardn� fuzzy negaci $\notf S$.
\konec


\sekce Fuzzy konjunkce (troj�heln�kov� normy)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\definice
%%%%%%%%%
\inl[fuzzy: konjunkce, troj�heln�kov�: norma, t-norma, triangular norm]{\em Fuzzy konjunkce}, 
({\em troj�heln�kov� norma}, {\em t-norma\/}, angl. {\em triangular norm\/})
je bin�rn� operace $\andf.: \ui^2\to\ui$, spl�uj�c� n�sleduj�c� axiomy
pro v�echna $\alpha,\beta,\gamma\in\ui$:
%! zde jsem vyznacil, kde si to jeste preji zarovnat:
$$
\tabskip=\centering \halign to\displaywidth{
  \hfil$\displaystyle{#}$\tabskip=0pt &$\displaystyle{{}#}$\hfil&
  $\displaystyle{{}#}$\hfil \tabskip=\centering&
  \llap{$#$}\tabskip=0pt\cr
  \alpha \andf. \beta &= \beta \andf. \alpha 
  \qquad & \hbox{(komutativita)}              & \lab(T1) \cr
  \alpha\andf.(\beta\andf.\gamma) &= (\alpha\andf.\beta)\andf.\gamma
  \qquad & \hbox{(asociativita)}              & \lab(T2) \cr
  \beta\leq\gamma &\IMPL \alpha\andf.\beta \leq \alpha\andf.\gamma
  \qquad & \hbox{(monotonie)}                 & \lab(T3) \cr
  \alpha \andf. 1 &= \alpha                  
  \qquad & \hbox{(okrajov� podm�nka)}         & \lab(T4) \cr
}
$$

\priklad [p-fk]
%%%%%%%%
\bodik \inl[fuzzy: konjunkce: standardn�, standardn�: fuzzy: konjunkce]%
{\em Standardn�\/} fuzzy konjunkce 
\inl[fuzzy: konjunkce: min, min: fuzzy: konjunkce]({\em min}, 
\inl[fuzzy: konjunkce: Goedelova, Goedelova: fuzzy: konjunkce]{\em G\"odelova}, 
\inl[fuzzy: konjunkce: Zadehova, Zadehova: fuzzy: konjunkce]{\em Zadehova} 
\dots): 
$$
  \alpha\andf S \beta = \min (\alpha,\beta).
$$

\bodik \inl[fuzzy: konjunkce: Lukasiewiczova, Lukasiewiczova: fuzzy: konjunkce]% 
{\em \luk ova\/} fuzzy konjunkce 
\inl[Gilesova: fuzzy: konjunkce, fuzzy: konjunkce: Gilesova]({\em Gilesova}, 
angl. \inl[bold: fuzzy: conjunction, fuzzy: conjunction: bold]{\em bold}, 
\inl[bounded: difference]{\em bounded difference}, \dots):
$$
  \alpha \andf L \beta = 
  \cases {\alpha + \beta - 1 & pro $\alpha + \beta - 1  > 0$, \cr
          0                  & jinak. }
$$

\bodik \inl[fuzzy: konjunkce: sou�inov�, sou�inov�: fuzzy: konjunkce]%
{\em Sou�inov�\/} fuzzy konjunkce
\inl[produktov�: fuzzy: konjunkce, fuzzy: konjunkce: produktov�]({\em produktov�}, 
\inl[pravd�podobnostn�: fuzzy: konjunkce, fuzzy: konjunkce: pravd�podobnostn�]%
{\em pravd�podobnostn�}, 
angl. \inl[algebraic product]{\em algebraic product}, \dots):
$$
  \alpha \andf P \beta = \alpha\cdot\beta.
$$

\bodik  \inl[fuzzy: konjunkce: drastick�, drastick�: fuzzy: konjunkce]%
{\em Drastick�\/} fuzzy konjunkce
\inl[slab�: fuzzy: konjunkce, fuzzy: konjunkce: slab�]({\em slab�}, 
angl. \inl[weak: fuzzy: conjunction, fuzzy: conjunction: weak]{\em weak}, \dots):
$$
  \alpha \andf D \beta = \cases {\alpha & pro $\beta = 1$, \cr
                                 \beta  & pro $\alpha = 1$, \cr
				 0      & jinak.}
$$

\veta
%%%%%
Pro ka�dou fuzzy konjunkci $\andf.$ a $\alpha\in\ui$ plat�
$\alpha\andf.0 = 0$.
\konec

\dukaz
%%%%%%
Podle\cite(T3) a\cite(T4) plat�:\quad 
$\alpha \andf. 0 \buildrel {\rm(T3)} \over \leq 1\andf. 0 
  \buildrel {\rm(T4)} \over = 0 $.
\konec

Mezi fuzzy konjunkcemi m��eme uva�ovat stejn� uspo��d�n�, jak� zn�me
u~funkc�, tj. $\andf1 \leq \andf2$, jestli�e 
$\forall \alpha,\beta\in\ui\je \alpha\andf1 \beta \leq \alpha \andf2 \beta$.

\veta
%%%%%
Mezi v�emi fuzzy konjunkcemi je standardn� nejv�t�� a drastick�
nejmen��, tj. pro libovolnou fuzzy konjunkci $\andf.$ plat�
$$
  \forall \alpha,\beta\in\ui\je \alpha\andf D\beta \leq 
  \alpha \andf. \beta \leq \alpha\andf S \beta.
$$
\konec

\dukaz
%%%%%%
Je-li $\alpha = 1$ nebo $\beta = 1$, pak podm�nka\cite(T4) d�v� stejn�
v�sledek pro v�echny fuzzy konjunkce. P�edpokl�dejme (bez �jmy na
obecnosti) $\alpha\leq\beta<1$. Pak
$$
  \alpha \andf D \beta = 0 \leq \alpha \andf. \beta 
  \leq \alpha \andf. 1 = \alpha = \alpha \andf S \beta.
$$
\par\nobreak\vskip-1.5\baselineskip\konec

\veta
%%%%%
Standardn� fuzzy konjunkce je jedin�, kter� spl�uje
$\alpha\andf S \alpha = \alpha$ pro v�echna
$\alpha\in\ui$.\penalty-200 
(T�to vlastnosti bin�rn�ch operac� ��k�me 
\inl[idempotence]{\em idempotence}.)
\konec

\dukaz
%%%%%%
Nech� $\andf.$ je idempotentn� fuzzy konjunkce. Dok�eme, �e je
standardn�. 
%
P�edpokl�dejme $\alpha,\beta\in\ui$,
$\alpha\leq\beta$. Pak
$$
  \alpha = \alpha\andf.\alpha \buildrel {\rm(T3)} \over \leq 
  \alpha\andf.\beta \buildrel{\rm(T3)}\over \leq \alpha\andf.1 
  \buildrel {\rm(T4)}\over= \alpha,
$$
tedy $\alpha\andf.\beta = \alpha = \alpha\andf S \beta$. Pro
$\alpha>\beta$ zam�n�me $\alpha,\beta$ a stejn�m postupem
dostaneme $\alpha\andf.\beta = \beta = \alpha\andf S \beta$.
\konec

D�le se zam���me p�edev��m na {\it spojit�\/} fuzzy konjunkce. 
Z fuzzy konjunkc� z~p��kladu\cite[p-fk] pouze drastick� je nespojit�.

\definice
%%%%%%%%%
Nech� $\andf.$ je spojit� fuzzy konjunkce. �ekneme, �e $\andf.$ je 
\begitems
\bodik 
\inl[archimedovsk�: fuzzy: konjunkce, fuzzy: konjunkce: archimedovsk�]%
{\em archimedovsk�\/} 
\inl[archimedean: fuzzy: conjunction, fuzzy: conjunction: archimedean]%
(angl. {\em archimedean\/}), jestli�e
$$
  \forall \alpha \in (0,1)\je \alpha\andf.\alpha < \alpha 
  \eqno \lab(TA)
$$
\bodik 
\inl[fuzzy: konjunkce: striktn�, striktn�: fuzzy: konjunkce]{\em striktn�\/}, 
(angl. \inl[strict: fuzzy: conjunction, fuzzy: conjunction: strict]%
{\em strict\/}), jestli�e
$$
  \forall \alpha\in(0,1\rint \ \forall \beta,\gamma\in\ui\je \beta<\gamma \IMPL 
  \alpha\andf.\beta < \alpha\andf.\gamma
  \eqno \lab(T3+)
$$
\bodik 
\inl[fuzzy: konjunkce: nilpotentn�, nilpotentn�: fuzzy: konjunkce]{\em nilpotentn�\/}
(angl. \inl[nilpotent: fuzzy: conjunction, fuzzy: conjunction: nilpotent]%
{\em nilpotent\/}), jestli�e je archimedovsk� a nen� striktn�.
\enditems
\konec

\poznamka
%%%%%%%%%
V~n�kter�ch pramenech jsou jako archimedovsk� ozna�ov�ny v�echny~-- i
nespojit�~-- fuzzy konjunkce, kter� spl�uj�\cite(TA). Je nutno se v�dy
p�esv�d�it, v~jak�m v�znamu autor tento term�n pou��v�.
\konec

\priklad
%%%%%%%%
Sou�inov� fuzzy konjunkce je striktn�, \luk ova je nilpotentn�,
standardn� a drastick� nejsou archimedovsk� (standardn� 
nespl�uje\cite(TA), drastick� nen� spojit�).
V~dal��m uvid�me, �e tyto p��klady jsou typick� a v~jist�m smyslu
univerz�ln�.
\konec

\poznamka
%%%%%%%%%
Podm�nka\cite(T3+) je siln�j�� ne�\cite(TA); sta�� v~n� dosadit 
$\beta := \alpha$, $\gamma := 1$.
Tedy ka�d� striktn� fuzzy konjunkce je archimedovsk�; archimedovsk� fuzzy konjunkce se
d�l� na dv� disjunktn� podt��dy, striktn� a nilpotentn�.
\konec

\definice
%%%%%%%%%
Chceme-li aplikovat fuzzy konjunkci $\andf.$ na $n$ argument�
$\alpha_i$, pou�ijeme z�pis 
$$
  \bigwedgedot_{k=1}^n \alpha_k =
  \alpha_1\andf.\cdots\andf.\alpha_n.
$$
\konec

\veta
%%%%%
Nech� $\andf.$ je archimedovsk� fuzzy konjunkce. Pak pro ka�d�
$\alpha\in(0,1)$ a $\epsilon>0$ existuje $n\in\N$ takov�, �e
$$
 \bigwedgedot_{k=1}^n \alpha < \epsilon
$$
\konec


Pro striktn� fuzzy konjunkce nelze p�edchoz� v�tu zes�lit, pro
nilpotentn� ano:

\veta
%%%%%
Nech� $\andf.$ je nilpotentn� fuzzy konjunkce. Pak pro ka�d�
$\alpha\in(0,1)$ existuje $n\in\N$ takov�, �e
$$
 \bigwedgedot_{k=1}^n \alpha = 0
$$
\konec

\veta (o~reprezentaci striktn�ch fuzzy konjunkc�)
%%%%%
{\bf A.} Nech� $i:\ui\to\ui$ je rostouc� bijekce. Pak operace 
$\andf i: \ui^2\to\ui$, definovan� vztahem 
$$
  \alpha \andf i \beta = i^{-1}\bigl(i(\alpha)\cdot i(\beta)\bigr),
$$
je striktn� fuzzy konjunkce.

{\bf B.} Naopak, ka�d� striktn� fuzzy konjunkce $\andf.$ je uveden�ho
tvaru pro n�jakou rostouc� bijekci $i$, kterou naz�v�me {\em
multiplikativn� gener�tor}.
\konec

\poznamka
%%%%%%%%%
Nech� $i$ je multiplikativn� gener�tor fuzzy konjunkce $\andf
i$. Definujeme funkci $h:\ui\to\lint 0,\infty\rint $ p�edpisem 
$$
  h(\alpha)=-\ln i(\alpha) \qquad (\hbox{klademe } \ln 0 = -\infty).
$$
Pak inverzn� funkce je $h^{-1}(t) = i^{-1}(e^{-t})$ a pro v�echna
$\alpha,\beta\in\ui$ plat�
$$
  \alpha \andf i \beta = h^{-1} \bigl(h(\alpha)+h(\beta)\bigr),
$$
nebo� 
$h^{-1} \bigl(h(\alpha)+h(\beta)\bigr) = 
 i^{-1} \left( e^{-\left(-\ln i(\alpha)-\ln i(\beta)\vphantom{{}^2}\right)}\right) =
 i^{-1} \left(e^{\ln i(\alpha)\cdot i(\beta)}\right) =
 i^{-1} \bigl(i(\alpha)\cdot i(\beta)\bigr) = \alpha \andf i \beta$.

Funkci $h$ naz�v�me 
\inl[aditivn� gener�tor, gener�tor: aditivn�]{\em aditivn� gener�tor\/} 
fuzzy konjunkce $\andf
i$, nebo� n�m dovoluje vyj�d�it tuto operaci pomoc� sou�tu re�ln�ch
��sel.
Na rozd�l od multiplikativn�ho gener�toru, aditivn� gener�tor je {\it
klesaj�c�\/} funkce a jeho obor hodnot je nekone�n� interval $\lint 0,\infty\rint $.
Proto zde budeme p�ednostn� pracovat s~multiplikativn�m gener�torem, na rozd�l od nap�.~[Schweizer-Sklar].

\veta (o~reprezentaci nilpotentn�ch fuzzy konjunkc�)
%%%%%
{\bf A.} Nech� $i:\ui\to\ui$ je rostouc� bijekce. Pak operace 
$\andf i: \ui^2\to\ui$, definovan� vztahem 
$$
  \alpha \andf i \beta = i^{-1}\bigl(i(\alpha)\andf L i(\beta)\bigr),
$$
je nilpotentn� fuzzy konjunkce.

{\bf B.} Naopak, ka�d� nilpotentn� fuzzy konjunkce $\andf.$ je uveden�ho
tvaru pro n�jakou rostouc� bijekci $i$, kterou naz�v�me {\em
\luk �v gener�tor}.
\konec

\definice
%%%%%%%%%
\inl[fuzzy: pr�nik]{\em Fuzzy pr�nik} 
je operace na fuzzy mno�in�ch definovan� pomoc� fuzzy
konjunkce:
$$
  (A \capf. B)(x) = A(x)\andf.B(x).
$$
P�itom $\capf.$ znamen� obecn� fuzzy pr�nik. Jednotliv�
typy budeme rozli�ovat stejn�mi indexy jako u~fuzzy konjunkc�.
\konec


\sekce Fuzzy disjunkce (troj�heln�kov� konormy)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\definice
%%%%%%%%%
\inl[fuzzy: disjunkce, troj�heln�kov�: konorma, t-konorma, triangular conorm]{\em Fuzzy disjunkce}, 
({\em troj�heln�kov� konorma}, {\em t-konorma\/}, angl. {\em triangular conorm\/})
je bin�rn� operace $\orf.: \ui^2\to\ui$, spl�uj�c� n�sleduj�c� axiomy
pro v�echna $\alpha,\beta,\gamma\in\ui$:
%! zde jsem vyznacil, kde si to jeste preji zarovnat:
$$
\tabskip=\centering \halign to\displaywidth{
  \hfil$\displaystyle{#}$\tabskip=0pt &$\displaystyle{{}#}$\hfil&
  $\displaystyle{{}#}$\hfil \tabskip=\centering&
  \llap{$#$}\tabskip=0pt\cr
  \alpha \orf. \beta &= \beta \orf. \alpha 
  \qquad & \hbox{(komutativita)}              & \lab(S1) \cr
  \alpha\orf.(\beta\orf.\gamma) &= (\alpha\orf.\beta)\orf.\gamma
  \qquad & \hbox{(asociativita)}              & \lab(S2) \cr
  \beta\leq\gamma &\IMPL \alpha\orf.\beta \leq \alpha\orf.\gamma
  \qquad & \hbox{(monotonie)}                 & \lab(S3) \cr
  \alpha \orf. 0 &= \alpha                  
  \qquad & \hbox{(okrajov� podm�nka)}         & \lab(S4) \cr
}
$$

\priklad [p-fd]
%%%%%%%%
\bodik \inl[standardn�: fuzzy: disjunkce, fuzzy: disjunkce: standardn�]%
{\em Standardn�\/} fuzzy disjunkce 
\inl[max: fuzzy: disjunkce, fuzzy: disjunkce: max]({\em max}, 
\inl[Goedelova: fuzzy: disjunkce, fuzzy: disjunkce: Goedelova]%
{\em G\"odelova}, 
\inl[Zadehova: fuzzy: disjunkce, fuzzy: disjunkce: Zadehova]{\em Zadehova} 
\dots): 
$$
  \alpha\orf S \beta = \max (\alpha,\beta).
$$

\bodik \inl[fuzzy: disjunkce: Lukasiewiczova, Lukasiewiczova: fuzzy: disjunkce]%
{\em \luk ova\/} fuzzy disjunkce 
\inl[fuzzy: disjunkce: Gilesova, Gilesova: fuzzy: disjunkce]({\em Gilesova}, 
angl. \inl[fuzzy: disjunction: bold, bold: fuzzy: disjunction]{\em bold}, 
\inl[bounded: sum]{\em bounded sum}, \dots):
$$
  \alpha \orf L \beta = 
  \cases {\alpha + \beta & pro $\alpha + \beta < 1$, \cr
          1                  & jinak. }
$$

\bodik \inl[fuzzy: disjunkce: sou�inov�, sou�inov�: fuzzy: disjunkce]%
{\em Sou�inov�\/} fuzzy disjunkce
\inl[fuzzy: disjunkce: produktov�, produktov�: fuzzy: disjunkce]%
({\em produktov�}, 
\inl[fuzzy: disjunkce: pravd�podobnostn�, pravd�podobnostn�: fuzzy: disjunkce]%
{\em pravd�podobnostn�}, \dots):
$$
  \alpha \orf P \beta = \alpha + \beta - \alpha\cdot\beta.
$$

\bodik \inl[fuzzy: disjunkce: drastick�, drastick�: fuzzy: disjunkce]%
{\em Drastick�\/} fuzzy disjunkce
\inl[fuzzy: disjunkce: slab�, slab�: fuzzy: disjunkce]({\em slab�}, 
angl. \inl[fuzzy: disjunction: weak, weak: fuzzy: disjunction]{\em weak}, \dots):
$$
  \alpha \orf D \beta = \cases {\alpha & pro $\beta = 0$, \cr
                                 \beta  & pro $\alpha = 0$, \cr
				 1      & jinak.}
$$

\veta
%%%%%
Pro ka�dou fuzzy disjunkci $\orf.$ a $\alpha\in\ui$ plat�
$\alpha\orf.1 = 1$.
\konec

\dukaz
%%%%%%
Podle\cite(S3) a\cite(S4) plat�:\quad 
$\alpha \orf. 1 \buildrel {\rm(S3)} \over \geq 0\orf. 1 
  \buildrel {\rm(S4)} \over = 1 $.
\konec

Mezi fuzzy disjunkcemi uva�ujeme stejn� uspo��d�n� jako u~funkc�.

\veta
%%%%%
Mezi v�emi fuzzy disjunkcemi je standardn� nejmen�� a drastick�
nejv�t��, tj. pro libovolnou fuzzy disjunkci $\orf.$ plat�
$$
  \forall \alpha,\beta\in\ui\je \alpha\orf S\beta \leq 
  \alpha \orf. \beta \leq \alpha\orf D \beta.
$$
\konec

\dukaz
%%%%%%
Je-li $\alpha = 0$ nebo $\beta = 0$, pak podm�nka\cite(S4) d�v� stejn�
v�sledek pro v�echny fuzzy disjunkce. P�edpokl�dejme (bez �jmy na
obecnosti) $0<\alpha\leq\beta$. Pak
$$
  \alpha \orf S \beta = \beta = 0 \orf. \beta \leq \alpha \orf. \beta 
  \leq 1 = \alpha \orf D \beta.
$$
\par\nobreak\vskip-1.5\baselineskip\konec

\veta
%%%%%
Standardn� fuzzy disjunkce je jedin�, kter� je idempotentn�, tj.
$\alpha\orf S \alpha = \alpha$ pro v�echna $\alpha\in\ui$.\penalty-200
\konec

% \dukaz
% %%%%%%
% Nech� $\orf.$ je idempotentn� fuzzy disjunkce. Dok�eme, �e je
% standardn�. 
% 
% P�edpokl�dejme $\alpha,\beta\in\ui$,
% $\alpha\leq\beta$. Pak
% $$
%   \alpha = \alpha\orf.\alpha \buildrel {\rm(S3)}\over \leq 
%   \alpha\orf.\beta \buildrel{\rm(S3)}\over \leq \alpha\orf.1 
%   \buildrel {\rm(S4)}\over= \alpha,
% $$
% tedy $\alpha\orf.\beta = \alpha = \alpha\orf S \beta$. Pro
% $\alpha>\beta$ zam�n�me $\alpha,\beta$ a stejn�m postupem
% dostaneme $\alpha\orf.\beta = \beta = \alpha\orf S \beta$.
% \konec

\veta
%%%%%
Nech� $\notf.$ je fuzzy negace.

{\bf A.} Je-li $\andf.$ fuzzy konjunkce, pak de Morganova formule 
$\alpha \orf.\beta = \notf. (\notf.\alpha \andf.\notf.\beta)$
definuje fuzzy disjunkci $\orf.$ 
\inl[du�ln�: fuzzy: disjunkce]{\em du�ln�\/} k~$\andf.$ vzhledem
k~$\notf.$.

{\bf B.} Je-li $\orf.$ fuzzy disjunkce, pak de Morganova formule 
$\alpha \andf.\beta = \notf. (\notf.\alpha \orf.\notf.\beta)$
definuje fuzzy konjunkci $\andf.$ 
\inl[du�ln�: fuzzy: konjunkce]{\em du�ln�\/} k~$\orf.$ vzhledem 
k~$\notf.$.
\konec

\poznamka
%%%%%%%%%
Pokud u~duality neuvedeme, vzhledem k~jak� negaci je ch�p�na, pak
automaticky p�edpokl�d�me standardn� fuzzy negaci.
\konec

\priklad
%%%%%%%%
\bodik \luk ovy operace $\andf L, \orf L$ jsou du�ln� vzhledem ke
standardn� negaci.

\bodik Sou�inov� operace $\andf P, \orf P$ jsou du�ln� vzhledem ke
standardn� negaci.

\bodik Standardn� operace $\andf S, \orf S$ jsou du�ln� vzhledem
k~jak�koli fuzzy negaci.

\bodik Drastick� operace $\andf D, \orf D$ jsou du�ln� vzhledem
k~jak�koli fuzzy negaci.
\konec

D�le se zam���me p�edev��m na {\it spojit�\/} fuzzy disjunkce. 
Z fuzzy disjunkc� z~p��kladu\cite[p-fd] pouze drastick� je nespojit�.

\definice
%%%%%%%%%
Nech� $\orf.$ je spojit� fuzzy disjunkce. �ekneme, �e $\orf.$ je 
\begitems
\bodik 
\inl[fuzzy: disjunkce: archimedovsk�, archimedovsk�: fuzzy: disjunkce]%
{\em archimedovsk�\/} (angl.
\inl[fuzzy: disjunction: archimedean, archimedean: fuzzy: disjunction]%
{\em archimedean\/}), jestli�e
$$
  \forall \alpha \in (0,1)\je \alpha\orf.\alpha > \alpha 
  \eqno \lab(SA)
$$
\bodik 
\inl[fuzzy: disjunkce: striktn�, striktn�: fuzzy: disjunkce]{\em striktn�\/}, 
(angl. 
\inl[fuzzy: disjunction: strict, strict: fuzzy: disjunction]{\em strict\/}), 
jestli�e
$$
%! opraveno
  \forall \alpha\in\lint 0,1)\ \forall \beta,\gamma\in\ui\je \beta<\gamma \IMPL 
  \alpha\orf.\beta < \alpha\orf.\gamma
  \eqno \lab(S3+)
$$
\bodik 
\inl[fuzzy: disjunkce: nilpotentn�, nilpotentn�: fuzzy: disjunkce]%
{\em nilpotentn�\/}
(angl. 
\inl[fuzzy: disjunction: nilpotent, nilpotent: fuzzy: disjunction]%
{\em nilpotent\/}), jestli�e je archimedovsk� a nen� striktn�.
\enditems
\konec

\poznamka
%%%%%%%%%
V~n�kter�ch pramenech jsou jako archimedovsk� ozna�ov�ny v�echny~-- i
nespojit�~-- fuzzy disjunkce, kter� spl�uj�\cite(SA).
\konec

\priklad
%%%%%%%%
Sou�inov� fuzzy disjunkce je striktn�, \luk ova je nilpotentn�,
standardn� a drastick� nejsou archimedovsk� (standardn� 
nespl�uje\cite(SA), drastick� nen� spojit�).
% V dal��m uvid�me, �e tyto p��klady jsou typick� a v jist�m smyslu
% univerz�ln�.
\konec

\poznamka
%%%%%%%%%
Podm�nka\cite(S3+) je siln�j�� ne�\cite(SA); sta�� v~n� dosadit 
$\gamma := \alpha$, $\beta := 0$.
% Tedy ka�d� striktn� fuzzy disjunkce je archimedovsk�; archimedovsk� se
% d�l� na dv� disjunktn� podt��dy, striktn� a nilpotentn�.
\konec

\definice
%%%%%%%%%
Chceme-li aplikovat fuzzy disjunkci $\orf.$ na $n$ argument�
$\alpha_i$, pou�ijeme z�pis 
$$
  \bigveedot_{k=1}^n \alpha_k = \alpha_1\orf.\cdots\orf.\alpha_n.
$$
\konec

\veta
%%%%%
Nech� $\orf.$ je archimedovsk� fuzzy disjunkce. Pak pro ka�d�
$\alpha\in(0,1)$ a $\epsilon>0$ existuje $n\in\N$ takov�, �e
$$
 \bigveedot_{k=1}^n \alpha > 1 - \epsilon
$$
\konec


Pro striktn� fuzzy disjunkce nelze p�edchoz� v�tu zes�lit, pro
nilpotentn� ano:

\veta
%%%%%
Nech� $\orf.$ je nilpotentn� fuzzy disjunkce. Pak pro ka�d�
$\alpha\in(0,1)$ existuje $n\in\N$ takov�, �e
$$
 \bigveedot_{k=1}^n \alpha = 1
$$
\konec

\veta (o~reprezentaci striktn�ch fuzzy disjunkc�)
%%%%%
{\bf A.} Nech� $i:\ui\to\ui$ je rostouc� bijekce. Pak operace 
$\orf i: \ui^2\to\ui$, definovan� vztahem 
$$
  \alpha \orf i \beta = i^{-1}\bigl(i(\alpha)\orf P i(\beta)\bigr),
$$
je striktn� fuzzy disjunkce.

{\bf B.} Naopak, ka�d� striktn� fuzzy disjunkce $\orf.$ je uveden�ho
tvaru pro n�jakou rostouc� bijekci $i$.
\konec

% \poznamka
% %%%%%%%%%
% Nech� $i$ je gener�tor fuzzy disjunkce $\orf
% i$ ve smyslu p�edchoz� v�ty. Definujeme funkci $h:\ui\to\lint 0,\infty\rint $ p�edpisem 
% $$
%   h(\alpha)=-\ln i(\alpha) \qquad (\hbox{klademe } \ln 0 = -\infty).
% $$
% Pak inverzn� funkce je $h^{-1}(t) = i^{-1}(e^{-t})$ a pro v�echna
% $\alpha,\beta\in\ui$ plat�
% $$
%   \alpha \orf i \beta = h^{-1} \bigl(h(\alpha)+h(\beta)\bigr),
% $$
% nebo� 
% $h^{-1} \bigl(h(\alpha)+h(\beta)\bigr) = 
%  i^{-1} \left( e^{-\left(-\ln i(\alpha)-\ln i(\beta)\vphantom{{}^2}\right)}\right) =
%  i^{-1} \left(e^{\ln i(\alpha)\cdot i(\beta)}\right) =
%  i^{-1} \bigl(i(\alpha)\cdot i(\beta)\bigr) = \alpha \orf i \beta$.
% 
% Funkci $h$ naz�v�me {\em aditivn� gener�tor\/} fuzzy disjunkce $\orf i$.

\veta (o~reprezentaci nilpotentn�ch fuzzy disjunkc�)
%%%%%
{\bf A.} Nech� $i:\ui\to\ui$ je rostouc� bijekce. Pak operace 
$\orf i: \ui^2\to\ui$, definovan� vztahem 
$$
  \alpha \orf i \beta = i^{-1}\bigl(i(\alpha)\orf L i(\beta)\bigr),
$$
je nilpotentn� fuzzy disjunkce.

{\bf B.} Naopak, ka�d� nilpotentn� fuzzy disjunkce $\orf.$ je uveden�ho
tvaru pro n�jakou rostouc� bijekci $i$, kterou naz�v�me {\em
aditivn� gener�tor}.
\konec

\definice
%%%%%%%%%
\inl[fuzzy: sjedocen�]{\em Fuzzy sjednocen�} je operace 
na fuzzy mno�in�ch definovan� pomoc� fuzzy
disjunkce:
$$
  (A \cupf. B)(x) = A(x)\orf.B(x).
$$
P�itom $\cupf.$ znamen� obecn� fuzzy sjednocen�. Jednotliv�
typy budeme rozli�ovat stejn�mi indexy jako u~fuzzy disjunkc�.
\konec




\sekce Fuzzy v�rokov� algebry
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Dosud jsme zavedli 3 z�kladn� logick� spojky~-- negaci, konjunkci a
disjunkci. Pomoc� nich lze vytv��et dal�� logick� formule. V~t�to
kapitole porovn�me, jak� z�kony tyto operace spl�uj�. V�chodiskem bude
tabulka z�kon� Booleov�ch algeber.

\tabulka [zakony-operaci] Z�kony Booleov�ch algeber.
%%%%%%%%
$$
  \advance\baselineskip by2pt \lineskiplimit=-6pt
  \halign{#:\hfil\quad&\hfil$#$&${}#$\hfil\qquad&\hfil$#$&${}#$\hfil\cr 
  \inl[involuce]%
  involuce&  \notf.(\notf.\alpha) &= \alpha, \cr
  \inl[komutativita]%
  komutativita&  \alpha\orf.\beta &= \beta\orf.\alpha, & 
    \alpha\andf.\beta &= \beta\andf. \alpha, \cr
  \inl[asociativita]%
  asociativita& 
    (\alpha\orf. \beta)\orf. \gamma &= \alpha\orf.(\beta\orf.\gamma), &
    (\alpha\andf. \beta)\andf.\gamma &= \alpha\andf.(\beta\andf.\gamma), \cr
  \inl[distributivita]%
  distributivita& \alpha\andf.(\beta\orf.\gamma) 
    &= (\alpha\andf. \beta)\orf.(\alpha\andf.\gamma), &
    \alpha\orf.(\beta\andf.\gamma) 
    &= (\alpha\orf. \beta)\andf.(\alpha\orf.\gamma), \cr
  \inl[idempotence]%
  idempotence& \alpha\orf.\alpha &= \alpha,& \alpha\andf.\alpha&= \alpha, \cr
  \inl[absorpce]%
  absorpce& \alpha\orf.(\alpha\andf. \beta) &= \alpha, 
    & \alpha\andf.(\alpha\orf. \beta) &= \alpha, \cr
  absorpce s jedni�kou a nulou& \alpha\orf.1 &= 1, & 
    \alpha\andf.0 &= 0, \cr
  \inl[neutr�ln� prvky]%
  neutr�ln� prvky& \alpha\orf.0 &= \alpha, & \alpha\andf.1 &= \alpha, \cr
  \inl[z�kon: kontradikce]%
  z�kon kontradikce& &&\alpha\andf. \notf.\alpha &= 0,  \cr
  \inl[z�kon: vylou�en�ho t�et�ho]%
  z�kon vylou�en�ho t�et�ho& \alpha\orf. \notf. \alpha &= 1, \cr
  \inl[z�kony: de Morganovy, de Morganovy z�kony]%
  de Morganovy z�kony& 
   \notf.(\alpha\orf.\beta) &= \notf.\alpha\andf.\notf.\beta, & 
   \notf.(\alpha\andf. \beta) &= \notf.\alpha \orf. \notf.\beta. \cr
}
$$
\konec

\veta [zaklad]
%%%%%
Pro libovolnou fuzzy negaci, fuzzy konjunkci a fuzzy disjunkci plat�
n�sleduj�c� z�kony z~tabulky\cite[zakony-operaci]: involuce,
komutativita, asociativita, absorpce s~jedni�kou a nulou, neutr�ln� prvky.
\konec

\veta
%%%%%
Standardn� fuzzy operace $\notf S, \andf S, \orf S$ spl�uj� v�echny
z�kony z~tabulky\cite[zakony-operaci] krom� z�kona kontradikce a
z�kona vylou�en�ho t�et�ho.
\konec

\priklad
%%%%%%%%
Pro $\alpha=1/3$ dost�v�me
$$
  \eqalign{
  \notf S \alpha \andf S \alpha &= 
      \textstyle{2\over3} \andf S {1\over3} = 1/3 \not= 0, \cr
  \notf S \alpha \orf S  \alpha &= 
      \textstyle{2\over3} \orf S  {1\over3} = 2/3 \not= 1. \cr
}
$$
V�dy v�ak plat� $\notf S \alpha \andf S \alpha < 1$, 
$\notf S \alpha \orf S \alpha > 0$.
\konec

\poznamka
%%%%%%%%%
Speci�ln� upozor�ujeme, �e standardn� operace spl�uj� oba
distributivn� z�kony.
\konec

\veta 
%%%%%
{}\luk ovy operace $\notf S, \andf L, \orf L$ spl�uj� v�echny vztahy 
z~tabulky\cite[zakony-operaci] krom� distributivity, idempotence a
z�kon� absorpce.
\konec

\poznamka
%%%%%%%%%
Zd�razn�me, �e \luk ovy operace spl�uj� z�kon kontradikce a z�kon vylou�en�ho
t�et�ho.
\konec

\veta
%%%%%
Sou�inov� operace $\notf S, \andf P, \orf P$ spl�uj� pouze vztahy
z~v�ty\cite[zaklad] a de Morganovy z�kony.
\konec

Mohlo by se zd�t, �e vhodnou volbou fuzzy operac� by mohlo b�t spln�no
je�t� v�ce z�kon� klasick� logiky, p��padn� v�echny. To v�ak nen�
mo�n�, proto�e tyto z�kony definuj� Booleovy algebry a nemohou tud��
v�echny platit pro netrivi�ln� zobecn�n�, jak�m fuzzy operace
jsou. Uvedeme je�t� konkr�tn� p��klad rozporu, jemu� se nelze vyhnout
p�i zobecn�n� v�rokov�ch operac� na $\ui$.

\veta
%%%%%
Spl�uj�-li fuzzy operace $\notf., \andf., \orf.$ na $\ui$ de Morganovy
z�kony, z�kon kontradikce a z�kon vylou�en�ho t�et�ho, pak nespl�uj�
distributivitu.
\konec

\dukaz
%%%%%%
Nech� $e\in(0,1)$ je rovnov�n� hodnota fuzzy negace $\notf.$,
tj.~$\notf. e = e$. Pak 
$$
\eqalign{
    e\orf. e &= \notf. e \orf. e = 1, \cr
    e\andf. e &= \notf. e \andf. e = 0. \cr
}
$$    
Z~distributivity by plynulo nap��klad
$$
  e \andf. (e \orf. e) = (e \andf. e) \orf. (e \andf. e).
$$
Podle p�edchoz�ho se v�ak lev� strana rovn� $e \andf. 1 = e$, zat�mco
prav� je $0\orf. 0 = 0$, co� je spor.
Nen� tedy mo�n�, aby byly v�echny uveden� vlastnosti spln�ny sou�asn�.
\konec

\poznamka
%%%%%%%%%
Z~reprezenta�n�ch v�t pro fuzzy negace a pro striktn� a nilpotentn�
fuzzy konjunkce (resp. disjunkce) by se mohlo zd�t, �e sta�� zm�nit
m���tko pomoc� vhodn� rostouc� bijekce $i\colon\ui\to\ui$, abychom
mohli m�sto obecn�ch operac� pracovat se standardn� fuzzy negac� a
sou�inovou nebo \luk ovou fuzzy konjunkc�. Takov� zjednodu�en� nen�
obecn� mo�n�.
Probl�m je v~tom, �e rostouc� gener�tor p��slu�n� fuzzy negace
nemus� b�t multiplikativn� �i \luk �v gener�tor uva�ovan� fuzzy
konjunkce.

Zm�nou m���tka lze proto splnit jen jeden c�l~-- bu� m�t \uv{p�knou}
(rozum�j standardn�) fuzzy negaci a obecnou fuzzy konjunkci, nebo m�t
\uv{p�knou} (rozum�j sou�inovou nebo \luk ovu) fuzzy konjunkci a obecnou
negaci.

Oboj� najednou splnit obvykle nelze. Zde se klon�me k~prvn�mu p��padu,
nebo� ka�d� fuzzy negace je a� na zm�nu m���tka izomorfn� se
standardn� fuzzy negac�, kde�to reprezenta�n� v�ty pro fuzzy konjunkce
nejsou tak univerz�ln�.

Stejn� �vaha plat� i pro fuzzy disjunkce m�sto konjunkc�.


\sekce Fuzzy implikace
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Na rozd�l od p�edchoz�ch operac� pro tuto nen� ust�len� axiomatick�
definice. Proto budeme za 
\inl[fuzzy: implikace]{\em fuzzy implikaci\/} 
pova�ovat jakoukoli operaci 
$\implf..: \ui^2 \to \ui$, kter� se na $\{0,1\}^2$ shoduje s~klasickou
implikac�. M�sto podrobn�j�� axiomatiky uvedeme p��mo zp�soby, kter�mi
jsou nejd�le�it�j�� fuzzy implikace konstruov�ny z~jin�ch fuzzy
operac�. Zam���me se na 2 nej�ast�ji pou��van� typy implikac�:
$$
\eqalignno{
  \alpha \implf S. \beta &= \notf S \alpha \orf. \beta & \lab(SI) \cr
  \alpha \implf R. \beta &= 
  \sup\{\gamma\kde \alpha\andf.\gamma \leq \beta\}   & \lab(RI) \cr
}
$$
V~Boolov� algeb�e oba vzorce definuj� tut� klasickou implikaci. Ve
fuzzy logice se obecn� li�� a vedou na 2~t��dy fuzzy implikac�. Dal��
�len�n� z�vis� na volb� fuzzy operac� na prav�ch stran�ch vzorc�.

\definice
%%%%%%%%%
Vzorec\cite(RI) definuje 
\inl[fuzzy: implikace: reziduovan�, reziduum, R-implikace]%
{\em reziduovanou fuzzy implikaci\/} ({\em reziduum\/},
{\em R-implikaci\/}) p��slu�nou fuzzy konjunkci $\andf.$. Doln� index pou�ijeme
stejn� jako u~odpov�daj�c� fuzzy konjunkce.
\konec

\priklad
%%%%%%%%
Od standardn� fuzzy konjunkce $\andf S$ je odvozena 
\inl[fuzzy: implikace: Goedelova, Goedelova: fuzzy: implikace]%
{\em G\"odelova fuzzy implikace}
$$
 \alpha \implf RS \beta = \cases{1 & pro $\alpha\leq\beta$,\cr \beta&jinak.}
$$
Tato fuzzy implikace je po ��stech line�rn� a spojit� s~v�jimkou bod�
$(\alpha,\alpha)$, $\alpha<1$.
\konec

\priklad
%%%%%%%%
Od \luk ovy fuzzy konjunkce $\andf L$ je odvozena 
\inl[fuzzy: implikace: Lukasiewiczova, Lukasiewiczova: fuzzy: implikace]%
{\em \luk ova fuzzy implikace}
$$
 \alpha \implf RL \beta = \cases{1& pro $\alpha\le\beta$,\cr 
                                 1-\alpha+\beta &jinak.}
$$
Tato fuzzy implikace je po ��stech line�rn� a v�ude spojit�.
\konec

\priklad
%%%%%%%%
Od sou�inov� fuzzy konjunkce $\andf P$ je odvozena 
\inl[fuzzy: implikace: Goguenova, Goguenova: fuzzy: implikace]%
{\em Goguenova\/} (t� 
\inl[fuzzy: implikace: Gainesova, Gainesova: fuzzy: implikace]%
{\em Gainesova\/}) {\em fuzzy implikace}
$$
 \alpha \implf RP \beta = \cases{1 & pro $\alpha\leq\beta$,\cr 
                                 \beta\over\alpha &jinak.}
$$
Tato fuzzy implikace m� jedin� bod nespojitosti $(0,0)$.
\konec

\veta
%%%%%
Ka�d� reziduovan� implikace $\implf R.$ spl�uje n�sleduj�c� podm�nky:
$$
\eqalignno{
 & \alpha \implf R.\beta = 1, \hbox{ pr�v� kdy� } \alpha\leq\beta,
 & \lab(I1) \cr
 & 1 \implf R. \beta = \beta, & \lab(I2) \cr
 & \implf R. \hbox{ je nerostouc� v 1. argumentu a neklesaj�c� v 2. argumentu.} 
 & \lab(I3) 
}
$$
\konec

\veta
%%%%%
Nech� $\andf i$ je striktn� fuzzy konjunkce s~multiplikativn�m
gener�torem $i$ (dle v�ty\cite[...]). Pak pro p��slu�nou reziduovanou
implikaci $\implf Ri$ plat� 
$$
  \alpha \implf Ri \beta = \cases { 1 & pro $\alpha\leq\beta$, \cr
                                    i^{-1}\left(i(\beta)\over i(\alpha)\right) &jinak.}
$$
\konec

\veta
%%%%%
Nech� $\andf i$ je nilpotentn� fuzzy konjunkce
s~\luk ov�m gener�torem $i$ (dle v�ty\cite[...]). Pak pro p��slu�nou reziduovanou
implikaci $\implf Ri$ plat� 
$$
  \alpha \implf Ri \beta = \cases { 1& pro $\alpha\le\beta$, \cr
                                    i^{-1}\bigl(1-i(\alpha)+i(\beta)\bigr) & jinak.}
$$
\konec

\dusledek
%%%%%%%%%
Reziduovan� fuzzy implikace p��slu�n� spojit� fuzzy konjunkci $\andf.$
je spojit�, pr�v� kdy� $\andf.$ je nilpotentn�.
\konec

\definice
%%%%%%%%%
Vzorec\cite(SI) definuje 
\inl[S-implikace]{\em S-implikaci} 
odpov�daj�c� fuzzy disjunkci
$\orf.$ a fuzzy negaci $\notf S$. P�i konstrukci S-implikace zde uva�ujeme
v�dy pouze standardn� fuzzy negaci a doln� index S-implikace bude
ozna�ovat pou�itou fuzzy disjunkci.
\konec

\priklad
%%%%%%%%
Ze standardn� fuzzy disjunkce dost�v�me 
\inl[fuzzy: implikace: Kleeneova-Dienesova, Kleeneova-Dienesova: fuzzy: implikace]%
{\em Kleeneovu-Dienesovu\/}
fuzzy implikaci
$$
  \alpha \implf SS \beta = \max (1-\alpha, \beta).
$$
\konec

\priklad
%%%%%%%%
Z~\luk ovy fuzzy disjunkce dost�v�me 
\inl[fuzzy: implikace: Lukasiewiczova, Lukasiewiczova: fuzzy: implikace]%
{\em \luk ovu\/}
fuzzy implikaci, kter� se shoduje s~\luk ovou reziduovanou fuzzy implikac�.
\konec

\priklad
%%%%%%%%
Ze sou�inov� fuzzy disjunkce dost�v�me 
\inl[fuzzy: implikace: Reichenbachova, Reichenbachova: fuzzy: implikace]%
{\em Reichenbachovu\/}
fuzzy implikaci
$$
  \alpha \implf SP \beta = 1 - \alpha + \alpha\beta.
$$
\konec

Na fuzzy implikace je mo�no kl�st i dal�� po�adavky. Krom� ji�
uveden�ch\cite(I1),\cite(I2),\cite(I3) se �asto po�aduje:
$$
\eqalignno{
  &\alpha \implf.. \beta = \notf. \beta \implf.. \notf.\alpha, & \lab(I4) \cr
  &\alpha \implf.. (\beta \implf.. \gamma) = \beta
  \implf.. (\alpha\implf.. \gamma), & \lab(I5) \cr
  &\hbox{spojitost}. & \lab(I6) \cr
}
$$

V�echny po�adavky  (I1)--(I6) spl�uj� ze zde prob�ran�ch fuzzy implikac� pouze
ty reziduovan�, kter� odpov�daj� nilpotentn�m fuzzy konjunkc�m
dle v�ty\cite[...]. P��kladem je \luk ova fuzzy implikace.

Vzorec pro S-implikaci pou��v� fuzzy negaci, kter� mus� b�t p�edem
d�na. Naopak reziduovanou implikaci lze pou��t pro definici 
\inl[zobecn�n�: fuzzy: negace, fuzzy: negace: zobecn�n�]%
{\em zobecn�n� fuzzy negace\/} $\notf.$ p�edpisem
$$
  \notf. \alpha = \alpha \implf R. 0.
$$
%
Pou�ijeme-li na prav� stran� nap��klad G\"odelovu nebo
Goguenovu fuzzy implikaci ($\implf RS$ nebo $\implf RP$), dostaneme G\"odelovu
zobecn�nou fuzzy negaci $\notf G$. \luk ova fuzzy implikace 
$\implf RL$ d�v� t�mto zp�sobem standardn� fuzzy negaci $\notf S$.

\poznamka
%%%%%%%%%
Pojem fuzzy implikace nen� dosud ust�len�. N�kte�� auto�i [H�jek, Turunen]
uva�uj� pouze reziduovan� fuzzy implikace. Naopak v~n�kter�ch
pramenech jsou jako fuzzy implikace ozna�ov�ny i operace, kter� se ani
na $\{0,1\}^2$ neshoduj� s~klasickou implikac�. Nap��klad standardn�
konjunkce $\andf S$ je n�kdy nevhodn� ozna�ov�na jako \uv{Mamdaniho implikace}.
\konec

\sekce [biimplik] Fuzzy biimplikace (ekvivalence)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Od implikace $\implf..$ se odvozuje komutativn� operace $\eqf..$,
obvykle definovan� vztahem
$$
  \alpha \eqf.. \beta = (\alpha\implf..\beta)\andf.(\beta\implf..\alpha).
$$
Pokud $\implf..$ spl�uje\cite(I1) (nap��klad pro reziduovanou implikaci),
je v�dy aspo� jedna ze z�vorek na prav� stran� rovna jedn�, tak�e
nez�le�� na volb� fuzzy konjunkce $\andf.$. V�sledn� operace $\eqf..$
b�v� ozna�ov�na jako 
\inl[fuzzy: ekvivalence]{\em fuzzy ekvivalence}. 
Proto�e v�ak pojem
ekvivalence ozna�uje i speci�ln� relaci (viz d�le), d�v�me zde
p�ednost (rovn� �ast�mu) pojmu 
\inl[fuzzy: biimplikace]{\em fuzzy biimplikace}. 
Indexujeme ji stejn� jako fuzzy implikaci, z~n�� vznikla.

\priklad
%%%%%%%%
\inl[fuzzy: biimplikace: Lukasiewiczova, Lukasiewiczova: fuzzy: biimplikace]%
{\em \luk ova\/} fuzzy biimplikace: 
$\qquad \alpha\eqf RL \beta = 1-|\alpha-\beta|$.

\inl[fuzzy: biimplikace: Goedelova, Goedelova: fuzzy: biimplikace]%
{\em G\"oedelova\/} fuzzy biimplikace: 
$$
\alpha\eqf RS \beta = \cases { 1 & pro $\alpha=\beta$, \cr
                               \alpha \andf S \beta & jinak. }
$$

\inl[fuzzy: biimplikace: sou�inov�, sou�inov�: fuzzy: biimplikace]%
{\em Sou�inov�\/} fuzzy biimplikace:
$$
\alpha\eqf RP \beta = \cases { 1 & pro $\alpha=\beta=0$,\cr
                             {\alpha \andf S \beta \over \alpha \orf S \beta}
                               & jinak.}
$$
\konec

\veta
%%%%%
Pro reziduovanou fuzzy implikaci $\implf R.$ a j� p��slu�nou fuzzy
biimplikaci plat�
$$
  \alpha \eqf R. \beta = (\alpha \orf S \beta) \implf R. 
  (\alpha \andf S \beta).
$$
\konec


\sekce Agrega�n� oper�tory
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Dosud uveden� fuzzy logick� operace se sna�ily o~zobecn�n� operac�
klasick� logiky. Pro zpracov�n� v�gn�ch informac� v�ak b�vaj� u�ite�n�
i operace, kter� ��dnou analogii v~Booleov�ch algebr�ch nemaj�. Jako
p��klad uva�ujme sdru�en� informac�, kter� n�m o~t�e ot�zce poskytne
skupina expert�. Z~jejich �daj� chceme vypo��tat jeden \uv{kolektivn�
n�zor}, jak�si druh pr�m�ru. K~tomu ��elu se nab�zej� agrega�n�
oper�tory a jejich podt��da, fuzzy pr�m�ry. (Zde prezentovan� p��stup
poch�z� z~[Klir-Yuan].)

V~t�to kapitole se budeme zab�vat oper�tory, jejich po�et argument�
(arita) nen� pevn� dan�, ale m��e j�m b�t libovoln� cel� ��slo
$n\geq2$. 
\inl[agrega�n� oper�tor, oper�tor: agrega�n�]{\em Agrega�n� oper�tor\/} (angl. 
\inl[aggregation operator]{\em aggregation operator\/}) 
je zobrazen� $h$, kter� ka�d� $n$-tici hodnot z~$\ui$
($n\geq 2$) p�i�ad� ��slo z~$\ui$ v~souladu s~n�sleduj�c�mi
podm�nkami:
$$
\eqalignno{
  & h(0,\ldots,0) = 0,\quad h(1,\ldots,1) = 1, & \lab(A1) \cr
  & (\forall i=1,\ldots,n: \alpha_i \leq \beta_i) \IMPL 
    h(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) \leq h(\beta_1,\ldots,\beta_n), & \lab(A2) \cr
  & h \hbox{ je spojit�.} & \lab(A3) \cr
}
$$
Agrega�n� oper�tor se naz�v� 
\inl[fuzzy: pr�m�r]{\em fuzzy pr�m�r\/} (angl. 
\inl[averaging operator]{\em averaging operator\/}), 
spl�uje-li nav�c podm�nky 
$$
\eqalignno{
  &\hbox{pro ka�dou permutaci $p$ ��sel $1,\ldots,n$ je}\quad
  h(\alpha_{p(1)},\ldots,\alpha_{p(n)}) = h(\alpha_1,\ldots,\alpha_n),
  & \lab(A4) \cr
  & \forall \alpha\in\ui\je h(\alpha,\ldots,\alpha) = \alpha.
  & \lab(A5) \cr
}
$$
(Podm�nka\cite(A5) je zes�len�m podm�nky\cite(A1).)

\priklad
%%%%%%%%
V�echny fuzzy konjunkce a disjunkce spl�uj� 
podm�nky\cite(A1)--\unskip\cite(A4),
tak�e to jsou agrega�n� oper�tory. Standardn� fuzzy konjunkce a disjunkce
spl�uj� i idempotenci\cite(A5), jsou to tedy fuzzy pr�m�ry.
\konec

\veta
%%%%%
Pokud $h$ spl�uje podm�nky\cite(A2),\cite(A5), pak $\min \leq h \leq \max$ (ve
smyslu uspo��d�n� funkc�).
\konec

\poznamka
%%%%%%%%%
N�kdy budeme p�ipou�t�t i agrega�n� oper�tory, kter� nejsou definov�ny
na cel�m oboru $\ui^n$.
\konec

\priklad
%%%%%%%%
\inl[zobecn�n�: pr�m�r, pr�m�r: zobecn�n�]{\em Zobecn�n� pr�m�r\/} 
\inl[generalized means](angl. {\em generalized means\/}) $h_\lambda$ je
pro $\lambda\in\R$, $\lambda\not=0$, definov�n vzorcem
$$
  h_\lambda(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = 
  \left({1\over n} \sum_{i=1}^n \alpha_i^\lambda\right)^{1\over\lambda}.
$$
(Pro $\lambda<0$ je definov�n jen pro $\alpha_i$ kladn�.)
Je to fuzzy pr�m�r.

Speci�ln� dost�v�me:

\begitems
\bodik pro $\lambda=1$ aritmetick� pr�m�r,
\bodik pro $\lambda=2$ kvadratick� pr�m�r,
\bodik pro $\lambda=-1$ harmonick� pr�m�r,
\bodik pro $\lambda\to0$ geometrick� pr�m�r,
\bodik pro $\lambda\to+\infty$ maximum,
\bodik pro $\lambda\to-\infty$ minimum.
\enditems
\konec

\priklad
%%%%%%%%
\inl[v�en� pr�m�r, pr�m�r: v�en�]{\em V�en� pr�m�r} 
$h_w$ je pro $n\in\N$ ur�en vektorem vah 
$w=(w_1,\ldots,w_n)\in\ui^n$ spl�uj�c�m $\sum_{i=1}^n w_n = 1$:
$$
  h_w(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \sum_{i=1}^n w_i\alpha_i.
$$
Spl�uje\cite(A1)--\unskip\cite(A3) a\cite(A5), je to tedy agrega�n� oper�tor, kter� je
aditivn�; tj. spl�uje
$$
  h(\alpha_1+\beta_1,\ldots,\alpha_n+\beta_n) = 
  h(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) + h(\beta_1,\ldots,\beta_n).
$$
(Aditivita je slab�� forma linearity.)
\konec

\priklad
%%%%%%%%
\inl[uspo��dan� v�en� pr�m�r, pr�m�r: uspo��dan� v�en�]%
{\em Uspo��dan� v�en� pr�m�r\/} (ang. 
\inl[ordered weighted averaging operator]%
{\em ordered weighted averaging operator}, 
\inl[OWA-operator]{\em OWA-operator\/}) $\dop h_w$ je ur�en vektorem vah 
$w=(w_1,\ldots,w_n)\in\ui^n$ spl�uj�c�m $\sum_{i=1}^n w_n = 1$:
$$
  \dop h_w(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \sum_{i=1}^n w_i\alpha_{p(i)},
$$
kde $p$ je permutace index� takov�, �e 
$$
  \alpha_{p(1)} \leq \alpha_{p(2)} \leq \cdots \leq \alpha_{p(n)}.
$$
%
Od v�en�ho pr�m�ru se li�� t�m, �e nejprve argumenty se�ad�me podle
velikosti, a teprve pak jim p�i�ad�me v�hy (podle jejich po�ad�
v~uspo��dan� posloupnosti). D�ky tomu je spln�na i podm�nka\cite(A4) a
dost�v�me fuzzy pr�m�r.

Speci�ln� dost�v�me

\begitems
\bodik pro $w = (1,0,\ldots,0)$ minimum,
\bodik pro $w = (0,\ldots,0,1)$ maximum,
\bodik pro $w = (1/n,1/n,\ldots,1/n)$ aritmetick� pr�m�r.
\bodik pro $w = (0,1/(n-2),1/(n-2),\ldots,1/(n-2),0)$ oper�tor, pou��van� nap�. v hodnocen� krasobrusla�� --- nap�ed se vy�krtne nejv�t�� a nejmen�� prvek, pak se ze zb�vaj�c�ch vypo�te aritmetick� pr�m�r.
\enditems
\konec

Mnoho dal��ch p��klad� lze zkonstruovat pomoc� n�sleduj�c� v�ty.

\veta
%%%%%
Nech� $h, h_1, \ldots, h_k$ jsou agrega�n� oper�tory (resp. fuzzy
pr�m�ry). Pak zobrazen�
$$
  H (\alpha_1,\ldots\alpha_n) = 
  h\bigl( h_1(\alpha_1,\ldots\alpha_n),\ldots,h_k(\alpha_1,\ldots\alpha_n)\bigr)
$$
je agrega�n� oper�tor (resp. fuzzy pr�m�r).
\konec


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola Fuzzy relace | FUZZY RELACE
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

V~t�to kapitole se budeme zab�vat fuzzifikac� bin�rn�ch
relac�. Nejprve p�ipomene pot�ebn� pojmy pro ostr� mno�iny.


\sekce Bin�rn� relace v klasick� teorii mno�in
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\definice
%%%%%%%%%
Nech� $X$, $Y$ jsou mno�iny. Bin�rn� 
\inl[relace, relace: bin�rn�, bin�rn�: relace]{\em relace}~$R$ z~$X$ do~$Y$
je (jak�koli) podmno�ina kart�zsk�ho sou�inu $X\times Y$. Ve vztahu
k~relaci~$R\subs X\times Y$ ozna�ujeme $X$ jako mno�inu~{\em vzor�} a
$Y$ jako mno�inu~{\em obraz�}. 
\inl[relace: inverzn�, inverzn� relace]{\em Inverzn� relace} k~$R$ je relace
$R^{-1}$ z~$Y$ do~$X$
$$
  R^{-1} = \bigl\{(y,x)\in Y\times X \kde (x,y)\in R\bigr\}.
$$
\konec

\definice
%%%%%%%%%
Nech� $X$, $Y$, $Z$ jsou mno�iny. 
\inl[relace: slo�en�, slo�en�: relace]{\em Slo�en� relace\/} z~relac�
$R\subs X\times Y$, $S\subs Y\times Z$ je relace $R\circ S$ z~$X$ 
do~$Z$
$$
  R\circ S = \Bigl\{(x,z)\in X\times Z\kde 
  \bigl(\exists y\in Y: (x,y)\in R, (y,z)\in S\bigr)\Bigr\}.
$$
\konec

Pokud je stejn� mno�ina $X$ mno�inou vzor� i mno�inou obraz�, pak mezi
podmno�inami kart�zsk�ho sou�inu $X\times X$ rozli�ujeme n�sleduj�c� 
{\it speci�ln� relace\/}:

\definice
%%%%%%%%%
Nech� $X$ je mno�ina. \inl[relace: rovnosti]{\em Rovnost\/} na $X$ 
je relace
$$
  \delta = \bigl\{ (x,x)\kde x\in X\bigr\}.
$$
Pro $R\subs X\times X$ definujeme

\begitems
\bodik
\inl[reflexivita]{\em reflexivitu\/}: 
$ \forall x\in X\kde (x,x)\in R$, tj. $\delta\subs R$,
\bodik
\inl[symetrie]{\em symetrii\/}: 
$ (x,y)\in R \IMPL (y,x)\in R$, tj. $R=R^{-1}$,
\bodik
\inl[antisymetrie]{\em antisymetrii\/}:
$ \bigl( (x,y)\in R\bigr)\AND \bigl((y,x)\in R\bigr) \IMPL x = y$, tj. $R\cap R^{-1}\subs\delta$,
\bodik
\inl[tranzitivita]{\em tranzitivitu\/}:
$ \bigl( (x,y)\in R\bigr)\AND \bigl((y,z)\in R\bigr) \IMPL (x,z)\in R$, 
tj. $R\circ R \subs R$,
\bodik
\inl[��ste�n� uspo��d�n�]{\em ��ste�n� uspo��d�n�\/}:
relace antisymetrick�, reflexivn� a tranzitivn�,
\bodik
\inl[ekvivalence]{\em ekvivalenci\/}:
relace symetrick�, reflexivn� a tranzitivn�.
\enditems
\konec

\poznamka
%%%%%%%%%
Zde pou��van� term�n ekvivalence pro {\it bin�rn� relaci\/} nem� nic
spole�n�ho s~biimplikac� (rovn� naz�vanou ekvivalence) 
z~odstavce\cite[biimplik]. Biimplikace je {\it bin�rn� operace}, 
tedy {\it tern�rn� relace}.
\konec

V~duchu zde pou��van� konvence ztoto��ujeme mno�iny s~jejich
charakteristick�mi funkcemi (funkcemi p��slu�nosti). P�elo��me
p�edchoz� pojmy do t�to symboliky. Ostr� relace $R$ z~$X$ do~$Y$ je
funkce $R: X\times Y\to\{0,1\}$. Inverzn� relace 
$R^{-1}: Y\times X\to\{0,1\}$ spl�uje 
$$
  R^{-1} (y,x) = R(x,y).
$$
Slo�en� relace z~relac� $R: X\times Y\to\{0,1\}$ a $S: Y\times Z\to\{0,1\}$ 
je $R\circ S: X\times Z \to \{0,1\}$
$$
  (R\circ S)(x,z) = \sup_{y\in Y}\bigl\{R(x,y)\AND S(y,z)\bigr\},
$$
kde $\AND$ je klasick� konjunkce.

Rovnost na $X$ je $\delta: X\times X\to \{0,1\}$
$$
  \delta(x,y) = \cases{1& pro $x=y$, \cr 0 & pro $x\not=y$,}
$$
tedy jedn� se o~bin�rn� operaci zn�mou jako 
\inl[Kroneckerovo delta]{\em Kroneckerovo delta}.

Ostatn� speci�ln� relace ji� byly charakterizov�ny i ve tvarech, jak�
pot�ebujeme pro dal�� zobecn�n�.


\sekce Fuzzifikace bin�rn�ch relac�
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\definice
%%%%%%%%%
Nech� $X$, $Y$ jsou ostr� mno�iny. 
\inl[fuzzy: relace, relace: fuzzy]{\em Fuzzy relace\/}~$R$ z~$X$ do~$Y$
je (jak�koli) fuzzy podmno�ina kart�zsk�ho sou�inu $X\times Y$, tedy
$R\in\F(X\times Y)$, neboli $R: X\times Y\to\ui$.
\inl[fuzzy: relace: inverzn�, inverzn�: fuzzy: relace]{\em Inverzn� relace\/} 
k~$R$ je $R^{-1}\in\F(Y\times X)$ takov�, �e 
$\forall x\in X\;\forall y\in Y: R^{-1}(y,x) = R(x,y)$.
\konec

\definice
%%%%%%%%%
Nech� $X$, $Y$, $Z$ jsou ostr� mno�iny, $R\in\F(X\times Y)$,
$S\in\F(Y\times Z)$. Pak 
\inl[slo�en�: relace, fuzzy: relace: slo�en�]{\em $\cdot$-slo�en� relace}
$R\circf.S\in\F(X\times Z)$ je definov�na vztahem
$$
  \forall x\in X\ \forall z\in Z: 
  (R\circf.S)(x,z) = \bigveeS_{\!\!y\in Y} R(x,y)\andf.S(y,z),
  \advance\belowdisplayskip by4pt
$$
kde $\andf.$ je pevn� zvolen� fuzzy konjunkce. Dost�v�me r�zn� typy
skl�d�n�, kter� ozna�ujeme stejn�m indexem jako p��slu�nou fuzzy
konjunkci a hovo��me o~$S$-skl�d�n� (standardn�m skl�d�n�) apod.

\poznamka [nestandardni_disjunkce]
%%%%%%%%%
Roli existen�n�ho kvantifik�toru z~definice skl�d�n� ostr�ch relac�
zde p�eb�r� standardn� fuzzy disjunkce p�es v�echny hodnoty $y\in
Y$. I~zde bychom si mohli p�edstavit jinou fuzzy disjunkci, ale takov�
zobecn�n� by m�lo podstatnou vadu: Uva�me, �e mno�ina $Y$ m��e b�t
velk�, nap��klad nespo�etn�. P�i pou�it� jin� (nap��klad
archimedovsk�) fuzzy disjunkce by v�sledek byl velmi �asto jednotkov�
a nenesl by u�ite�nou informaci o~argumentech takov� operace.
\konec

\poznamka
%%%%%%%%%
Pro kone�n� mno�iny $X$, $Y$, $Z$ lze fuzzy relace reprezentovat
maticemi a slo�enou relaci po��tat obdobn� jako sou�in matic, kde
m�sto sou�inu prvk� aplikujeme fuzzy konjunkci $\andf.$ a m�sto sou�tu
standardn� fuzzy disjunkci $\orf S$.
\konec

Speci�ln� fuzzy relace lze zav�st zcela analogicky jako pro ostr�
relace:

\definice
%%%%%%%%%
Nech� $X$ je ostr� mno�ina. Pro $R\in\F(X\times X)$ definujeme

\begitems
\bodik
\inl[reflexivita]{\em reflexivitu\/}: 
$ \delta\subs R$,
\bodik
\inl[symetrie]{\em symetrii\/}: 
$ R=R^{-1}$,
\bodik
\inl[fuzzy: antisymetrie, antisymetrie]{\em $\cdot$-antisymetrii\/}:
$ R\capf. R^{-1}\subs\delta$,
\bodik
\inl[fuzzy: tranzitivita, tranzitivita]{\em $\cdot$-tranzitivitu\/}:
$R\circf.R \subs R$,
\bodik
\inl[fuzzy: ��ste�n� uspo��d�n�, ��ste�n� uspo��d�n�]%
{\em $\cdot$-��ste�n� uspo��d�n�\/}:
fuzzy relace $\cdot$-antisymetrick�, reflexivn� a $\cdot$-tranzitivn�,
\bodik
\inl[fuzzy: ekvivalence, ekvivalence]{\em $\cdot$-ekvivalenci\/}:
fuzzy relace symetrick�, reflexivn� a $\cdot$-tranzitivn�.
\enditems
\konec

Je t�eba m�t na pam�ti, �e posledn� �ty�i pojmy z�vis� na volb� fuzzy
konjunkce $\andf.$, vyskytuj�c� se v~p��slu�n�ch vztaz�ch. Pro ostr�
mno�iny v�echny tyto pojmy maj� sv�j obvykl� v�znam z~klasick� teorie
mno�in.

\veta (vlastnosti skl�d�n� fuzzy relac�)
%%%%%
Nech� $R$, $S$ a $T$ jsou fuzzy relace s~takov�mi defini�n�mi obory,
aby n�sleduj�c� rovnosti (postupn�, ne v�echny sou�asn�) m�ly smysl. 
Plat�:
$$
\eqalignno{
  R\circf.(S\circf.T) &= (R\circf.S)\circf.T 
  & \hbox{(asociativita)} \cr
  (R\cupf S S)\circf.T &= (R\circf.T)\cupf S (S\circf.T) 
  & \hbox{(distributivita zprava)} \cr
  R\circf.(S\cupf S T) &= (R\circf.S)\cupf S (R\circf.T) 
  & \hbox{(distributivita zleva)} \cr
}
$$
kde $\circf.$ zna�� $\cdot$-skl�d�n� vzhledem k~libovoln� pevn� zvolen�
fuzzy konjunkci $\andf.$. U~distributivity m��eme tak� nahradit
sjednocen� $\cupf S$ pr�nikem $\capf S$.
{\lineskiplimit=-8pt\advance\baselineskip by2pt\par}
\konec


\sekce Konzistence fuzzy relac�
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

V~t�to ��sti pod�me n�kter� vlastnosti fuzzy mno�in, zejm�na fuzzy
relac�, kter� nemaj� adekv�tn� obdobu v~ostr�ch mno�in�ch. Nejprve
vezmeme na v�dom� n�sleduj�c� skute�nost.

\tvrzeni
%%%%%%%%
Vytvo�en� $\alpha$-�ezu fuzzy mno�iny (kde $\alpha\in\ui$) lze
interpretovat jako specifick� zp�sob defuzzifikace: Uva�ujme zobrazen� 
$r_\alpha: \F(X)\to\P(X)$ vznikl� aplikac� skokov� funkce $r_\alpha$
bod po bodu, kde 
$$
  r_\alpha(\beta) = \cases{1 & pro $\beta\geq\alpha$, \cr 0 & pro $\beta<\alpha$.}
$$
Plat� $R_A(\alpha)(x) = r_\alpha\bigl(A(x)\bigr)$, kde
$A\in\F(X)$, $x\in X$.
\konec

\definice
%%%%%%%%%
Vlastnost \fu y se naz�v� 
\inl[konzistence]{\em konzistentn�\/} 
(angl. \inl[cutworthy]{\em cutworthy\/}),
jestli�e ka�d� fuzzy mno�ina $A$ m� tuto vlastnost, pr�v� kdy� tut�
vlastnost maj� v�echny $\alpha$-�ezy $R_A(\alpha)$ pro $\alpha>0$.
\konec

\poznamka
%%%%%%%%%
Trivi�ln� 0-�ez $R_A(0)=X$ zde z�m�rn� neuva�ujeme.
\konec

\priklad
%%%%%%%%
Uva�ujme n�sleduj�c� vlastnost \fu y $A$ 
\inl[zes�len� forma normality](tzv.~{\em zes�lenou formu normality\/}): 
$\exists x\in X\kde A(X)=1$. Tato vlastnost je konzistentn�. 
(Pro ostr� mno�iny se tato vlastnost shoduje s~nepr�zdnost�.)
Naproti tomu \uv{ostrost mno�iny} nen� konzistentn�, nebo� v�echny �ezy
\fu y jsou ostr�, i kdy� tato fuzzy mno�ina ostr� nen�.
\konec

\veta
%%%%%
N�sleduj�c� vlastnosti fuzzy relac� jsou konzistentn�:

\begitems
\bodik \uv{b�ti rovnost�} ($R=\delta$),
\bodik reflexivita,
\bodik symetrie,
\bodik standardn� antisymetrie,
\bodik standardn� tranzitivita,
\bodik standardn� ��ste�n� uspo��d�n�,
\bodik standardn� ekvivalence.
\enditems
\konec

\poznamka
%%%%%%%%%
Konzistenci lze vyu��t nap��klad k~testov�n�, zda dan� fuzzy relace je
standardn� ekvivalence apod. V�e lze p�ev�st na klasick� postup
uplatn�n� pro v�echny �ezy.

Jin� ne� standardn� druhy antisymetrie a tranzitivity (nap��klad
sou�inov� tranzitivita) nejsou konzistentn�, co� komplikuje jejich
ov��ov�n� a pou�it�.
\konec


\sekce Projekce a cylindrick� roz���en�
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Zde se sezn�m�me s~dal��mi konstrukcemi, jejich� analogie pro ostr�
mno�iny bu� neexistuj�, nebo jsou trivi�ln�.

\definice
%%%%%%%%%
Nech� $X$, $Y$ jsou ostr� mno�iny, $R\in\F(X\times Y)$.
\inl[projekce: lev�, projekce: prvn�, lev�: projekce]%
{\em Lev� (prvn�) projekce} 
$R$ je $P_1(R)\in\F(X)$, kde
$$
  P_1(R)(x) = \bigveeS_{y\in Y} R(x,y).
$$
\inl[projekce: prav�, projekce: druh�, prav�: projekce]%
{\em Prav� (druh�) projekce} $R$ je $P_2(R)\in\F(Y)$, kde
$$
  P_2(R)(y) = \bigveeS_{x\in X} R(x,y).
$$
Vzhledem ke geometrick� analogii se projekce n�kdy naz�v� 
\inl[st�n]{\em st�n}.
\konec

\poznamka
%%%%%%%%%
Standardn� fuzzy disjunkce v~t�to definici znamen� supremum. Zobecn�n�
na jin� fuzzy disjunkce nelze doporu�it ze stejn�ch d�vod�, jako
v~pozn�mce\cite[nestandardni_disjunkce].
\konec


V~jist�m omezen�m smyslu je opa�nou operac� k~projekci cylindrick�
roz���en�:

\definice [cylindr]
%%%%%%%%%
Nech� $X$, $Y$ jsou ostr� mno�iny, $A\in\F(X)$, $B\in\F(Y)$. 
\inl[roz���en�: cylindrick�, cylindrick� roz���en�]%
{\em Cylindrick� roz���en�} $A$ a $B$ 
(t� 
\inl[kart�zsk� sou�in fuzzy mno�in]{\em kart�zsk� sou�in\/} 
fuzzy mno�in) je $A\times B\in\F(X\times Y)$, kde 
$$
  (A\times B)(x,y) = A(x)\andf S B(y).
$$
\konec

\tvrzeni
%%%%%%%%
Cylindrick� roz���en� $A\times B$ je maxim�ln� fuzzy relace 
$R\in\F(X\times Y)$ takov�, �e $P_1(R)\leq A$ a $P_2(R)\leq B$.
\konec

\poznamka
%%%%%%%%%
V~p�edchoz�m tvrzen� nelze obecn� po�adovat rovnost. K~tomu by musely
$A$ i $B$ m�t stejnou v��ku.
\konec


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola Princip roz���en� | PRINCIP ROZSIRENI
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Princip roz���en� je jednou ze z�kladn�ch my�lenek, kterou obohatil
teorii L.~Zadeh. Umo��uje aplikovat na fuzzy mno�iny funkce a operace,
definovan� p�vodn� pro jednodu��� objekty, nap�. ��sla.


\sekce Roz���en� bin�rn�ch relac� na ostr� mno�iny
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Zde uk�eme, jak�m zp�sobem se nap��klad aritmetick� operace na
re�ln�ch ��slech roz�i�uj� na ostr� mno�iny re�ln�ch ��sel. Dostaneme
tak mj. tzv.~intervalovou aritmetiku. Cel� postup uvedeme obecn�ji.

P�ipome�me, �e \inl[zobrazen�]{\em zobrazen�\/} je takov� bin�rn� relace 
$R\subs X\times Y$, pro kterou plat�: pro ka�d� prvek z~$X$ 
existuje pr�v� jeden prvek $y=r(x)\in Y$ takov�, �e $(x,y)\in R$.
Na zobrazen� $r:X\to Y$ tedy m��eme pohl��et jako na relaci 
$R\subs X\times Y$ s~uvedenou vlastnost�. Z�pis $(x,y)\in R$ je
ekvivalentn� s~$y=r(x)$. Tak� je 
$R=\bigl\{\bigl(x,r(x)\bigr)\kde x\in X\bigr\}$.

\definice
%%%%%%%%%
Nech� $R\subs X\times Y$ je libovoln� relace (nemus� b�t nutn�
zobrazen�m). Zobrazen� $r:\P(X)\to\P(Y)$, kter� ka�d� mno�in� 
$A\subs X$ p�i�ad� mno�inu $B\subs Y$ podle p�edpisu
$$
  r(A) = 
  \bigl\{y\in Y\kde\bigl(\exists x\in A: (x,y)\in R\bigl)\bigr\}
  \rce(rozsireni)
$$
naz�v�me \inl[roz���en�: relace]{\em roz���en�m\/} 
relace $R$.
\konec

Analogicky zobrazen� $r^{-1}: \P(Y)\to\P(X)$ definovan� vzorcem
$$
   r^{-1}(B) = 
   \bigl\{x\in X\kde\bigl(\exists y\in B: (x,y)\in R\bigr)\bigr\}
  \rce(rozsireni-1)
$$
je roz���en�m relace $R^{-1}$.

\poznamka
%%%%%%%%%
Roz���en� $r$ a $r^{-1}$ z~p�vodn� definice jsou zobrazen�, i kdy�
p�vodn� relace $R$ zobrazen� nen�. Nejsou v�ak navz�jem inverzn�, 
tj.~$r\circ r^{-1}$ nemus� b�t identita, jak uk�eme v~p��kladech.

Pokud v�choz� relace $R$ je nav�c zobrazen�, pak ji budeme t� ps�t ve
tvaru $r:X\to Y$ a podle kontextu pozn�me, zda p�smeno $r$ zna�� p�vodn�
robrazen�, nebo jeho roz���en�. Vzorce\cite(rozsireni) 
a\cite(rozsireni-1) pak nab�vaj� jednodu��� tvar
$$
  \eqalign{
  r(A) &= \bigl\{ r(x)\kde x\in X\bigr\}, \cr
  r^{-1}(B) &= \bigl\{ x\in X\kde r(x)\in B\bigr\}.
}
$$

Pou�it� stejn�ho symbolu pro dv� form�ln� r�zn� zobrazen�
$r:X\to Y$ a $r:\P(X)\to\P(Y)$ lze ospravedlnit t�m, �e prvn� z~nich
spl�uje rovnost $r(x)=y$ pr�v� tehdy, kdy� druh� spl�uje 
$r(\{x\}) = \{y\}$. 
\konec

\priklad
%%%%%%%%
Nech� $R=\{(x,\sin x)\kde x\in\R\}$, tj. uva�ujeme funkci (zobrazen�, relaci)
sinus. Inverzn� relace $\sin^{-1}$ nen� zobrazen�. Roz����me relace
$\sin, \sin^{-1}$ na zobrazen� z~podmno�in re�ln�ch ��sel do podmno�in
re�ln�ch ��sel a p��slu�n� roz���en� zna��me stejn�. Pak nap��klad
$$
\let\displaystyle=\relax
\eqalign{
  \sin\left(\left\lint {\pi\over4},2\right\rint \right) &= 
  \left\lint {1\over\sqrt2},1\right\rint , \cr
  \sin^{-1}\left(\left\{1\over2\right\}\right) &=
  \left\{{\pi\over4} + 2k\pi\kde k\in\Z\right\} \cup
  \left\{{3\pi\over4} + 2k\pi\kde k\in\Z\right\},
}
$$
kde $\Z$ zna�� mno�inu v�ech cel�ch ��sel. Zde $\sin\circ\sin^{-1}$ je
identick� zobrazen� (na $\lint -1,1\rint $), ale $\sin^{-1}\circ\sin$ nikoli.
\konec

Pou��v�me-li roz���en� operace na jednobodov� mno�iny, mno�inov�
z�vorky pro zjednodu�en� vynech�v�me; zejm�na
$$
  r^{-1}(y) = r^{-1}(\{y\}) = \bigl\{x\in X\kde r(x)=y\bigr\}.
$$
Tento z�pis jsme ji� d��ve pou�ili, nap��klad v~definici hladiny.

\priklad
%%%%%%%%
Nech� $X=\{a,b,c\}$, $Y=\{1,2\}$, $R=\{(a,1), (b,1), (c,2)\}$. Pak
nap��klad
$$
\eqalign{
   r(\{a\}) &= r(\{b\}) = r(\{a,b\}) = \{1\}, \cr
   r(\{a,c\}) &= r(\{b,c\}) = r(X) = Y, \cr
   r^{-1}(\{1\}) &= \{a,b\} , \cr
   r^{-1}(\{2\}) &= \{c\}, \cr
   r^{-1}(Y) &= X, \cr
   r^{-1}\bigl(r(\{a\})\bigr) &= \{a,b\}, \cr
}
$$
tak�e $r^{-1}$ nen� inverzn� k~$r$.
\konec


\poznamka
%%%%%%%%%
Zapi�me si vzorec\cite(rozsireni) tak, �e pou�ijeme
funkci p��slu�nosti:
$$
 \eqalign{
   r(A)(y) &= \cases{1 & pokud $\exists x\in A: (x,y)\in R$ \cr
                   0 & jinak} = 
             \cases{1 & pokud $\exists x\in X: (R(x,y)\AND A(x)=1)$ \cr
                    0 & jinak} = \cr
   &=  \sup_{x\in X} R(x,y)\AND A(x).
}
$$
Podobn� vych�z�:
$$
  r^{-1}(B)(x) = \sup_{y\in Y} R(x,y)\AND B(y).
$$
P�ipome�me, �e zat�m pracujeme s~ostr�mi mno�inami, tak�e funkce
p��slu�nosti nab�v� pouze hodnot 0 nebo 1. P�esn�ji 
$A(x) = 1$ pro $x\in A$ a $A(x)=0$ jinak. Stejn� tak $R(x,y)=1$ 
pro $(x,y)\in R$ a $R(x,y)=0$ jinak. Tato pozn�mka je jen p��pravnou
�vahou pro n�sleduj�c� definici.
\konec

\sekce Princip roz���en� bin�rn�ch relac� na fuzzy mno�iny
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\definice [rozsireni]
%%%%%%%%%
Nech� $R\subs X\times Y$ je ostr� relace. Definujeme 
\inl[roz���en�: relace, princip roz���en�]{\em roz���en�\/} t�to relace
$r:\F(X)\to\F(Y)$ p�edpisem
$$
  r(A)(y) = \bigveeS_{x\in X} R(x,y)\andf. A(x),
  \rce(furozsireni)
$$
kde $A\in\F(X)$, $y\in Y$. Podobn� roz���en� relace 
$R^{-1}$ je zobrazen� $r^{-1}:\F(Y)\to\F(X)$ dan� vzorcem
$$
  r^{-1}(B)(x) = \bigveeS_{y\in Y} R(x,y)\andf.B(y),
  \advance\abovedisplayskip by4pt
$$
kde $B\in\F(Y)$, $x\in X$.
\konec

\poznamka
%%%%%%%%%
Proto�e $R$ je ostr� relace, na volb� fuzzy konjunkce $\andf.$
nez�le��. Symbol $\bigveeS$ ve vzorc�ch z~definice odpov�d� supremu.
Proti pou�it� jin� ne� standardn� fuzzy disjunkce lze vzn�st stejnou
n�mitku, jako v~pozn�mce\cite[nestandardni_disjunkce].

Uveden� postup, zaveden� Zadehem [Zadeh] a naz�van� 
\inl[princip roz���en�]{\em princip roz���en�}, 
dovoluje aplikovat na fuzzy mno�iny z~$\F(\R)$ funkce, 
kter� jsou p�vodn� definov�ny jako funkce re�ln� prom�nn�.
\konec

\priklad [-AA2]
%%%%%%%%
Nech� $A\in\F(\R)$,
$$
\advance\baselineskip by3pt \let\normalbaselines=\relax
  A(x) = \cases{{x+1\over2} & pro $x\in\lint -1,1\rint $, \cr
                {3-x\over2} & pro $x\in(1,3\rint $, \cr
                 0          & jinak. }
$$
Zobrazme $A$ n�sleduj�c�mi funkcemi:

a) un�rn� $-$,

b) druh� mocnina.

\noindent Jin�mi slovy, najd�me \fu y $-A$ a $A^2$.

\res
Ad a) Zde $R=\bigl\{(x,-x)\kde x\in\R\bigr\}$, tedy 
$R(x,y)=\delta(x,-y)$. Podle\cite(furozsireni) je
$$
  (-A)(y) = \bigveeS_{x\in X} R(x,y)\andf.A(x) = 
  \bigveeS_{x\in X} \delta(x,-y)\andf.A(x) = A(-y)
$$
Zd�vodn�me posledn� rovnost: v�raz $\delta(x,-y)\andf.A(x)$ d�v�
nenulov� v�sledek jen tehdy, kdy� $x=-y$ a tud�� po��t�me supremum 
z~jednobodov� mno�iny 
$\{\delta(-y,-y)\andf.A(-y)\} = \{1\andf.A(-y)\} = \{A(-y)\}$.

Dost�v�me v�sledek
$$
\advance\baselineskip by3pt \let\normalbaselines=\relax
  (-A)(y) = A(-y) = \cases {{3+y\over2} & pro $y\in\lint -3,-1)$, \cr
                            {1-y\over2}  & pro $y\in\lint -1,1\rint $, \cr
                             0           & jinak. }
$$

Ad b) Zde $R=\bigl\{(x,x^2)\kde x\in\R\bigr\}$, tak�e $R(x,y)=1$ pr�v�
tehdy, kdy� $x=\pm\sqrt y$. Podle\cite(furozsireni) dost�v�me pro $y\geq0$:
$$
  A^2(y) = \bigveeS_{x\in X} R(x,y)\andf.A(x) = 
  A(\sqrt y)\orf S A(-\sqrt y) = \max\bigl(A(\sqrt y), A(-\sqrt y)\bigr).
  \advance\belowdisplayskip by4pt 
  \advance\abovedisplayskip by2pt
$$
Pro $y>0$ je hodnota $R(x,y)\andf.A(x)$ nenulov� pro $x=\pm\sqrt y$,
tak�e se n�m supremum p�es $x\in X$ redukuje na uveden� maximum ze dvou
hodnot. Pro $y<0$ je $R(x,y)=0$ pro v�echna $x\in\R$, tak�e 
v~tomto p��pad� je $A(y)=0$.

Pro na�i konkr�tn� mno�inu $A$ m�me tento v�sledek:
$$
\advance\baselineskip by3pt \let\normalbaselines=\relax
  A(y) = \cases{{\sqrt y+1\over2} & pro $y\in\lint 0,1\rint $, \cr
                {3-\sqrt y\over2} & pro $y\in\lint 1,9\rint $, \cr
                 0                & jinak. }
$$
\konec

\veta [vlastnosti-r]
%%%%%
Roz���en� $r:\F(X)\to\F(Y)$ bin�rn� relace $R\subs X\times Y$ m�
n�sleduj�c� vlastnosti
$$
\eqalign{
  r(\emptyset) &= \emptyset, \cr
  A_1\subs A_2 &\IMPL r(A_1) \subs r(A_2),  \cr
  r\Bigl({\bigcup^\indexu{.}}_i A_i \Bigr) &= 
  {\bigcup^\indexu{.}}_i r(A_i), \cr
  r\Bigl({\bigcap_\indexf{.}}{\vphantom{\bigcap}}_i A_i \Bigr) &\subs
  {\bigcap_\indexf{.}}{\vphantom{\bigcap}}_i r(A_i) 
  \quad (\hbox{nemus� platit rovnost}). \cr
}
$$
Stejn� vzorce plat� i pro $r^{-1}:\F(Y)\to\F(X)$.
\konec

\veta
%%%%%
Pokud je $R$ nav�c zobrazen�, pak plat�
$$
  r^{-1}\Bigl({\bigcap_\indexf{.}}{\vphantom{\bigcap}}_i A_i \Bigr) =
  {\bigcap_\indexf{.}}{\vphantom{\bigcap}}_i r^{-1}(A_i) .
$$
\konec

\veta
%%%%%
Pro v�echna $\alpha\in\ui$ plat�
$$
\eqalign{
  r\bigl(R_A(\alpha)\bigr) &\subs R_{r(A)}(\alpha), \cr  
  r\bigl(S_A(\alpha)\bigr) &= S_{r(A)}(\alpha), \cr  
}
$$
Pro kone�n� mno�iny plat� rovnost i v~prvn�m vztahu.
\konec


\sekce Konvexn� fuzzy mno�iny
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\definice
%%%%%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor. Ostr� podmo�ina $A\subs L$ se naz�v� 
\inl[mno�ina: konvexn�, konvexn�: mno�ina]{\em konvexn�}, 
jestli�e pro v�echna $x,y\in A$ a pro v�echna 
$\lambda\in(0,1)$ plat� $\lambda x + (1-\lambda)\,y \in A$.
\konec

Ztoto�n�me-li $A$ s~jej� funkc� p��slu�nosti, bylo by mo�n� defini�n�
vztah ps�t
$$
  \min \bigl(A(x),A(y)\bigr) \leq A\bigl(\lambda x + (1-\lambda)\,y\bigr).
$$
To n�m umo��uje zobecn�n� na fuzzy mno�iny.

\definice
%%%%%%%%%
Nech� $X$ je ostr� konvexn� podmno�ina line�rn�ho prostoru. Fuzzy mno�ina
$A\in\F(X)$ se naz�v� 
\inl[fuzzy: mno�ina: konvexn�, konvexn�: fuzzy: mno�ina]{\em konvexn�}, 
jestli�e 
$$
  \forall x, y \in X \quad \forall \lambda\in (0,1): \quad
  A\bigl(\lambda x + (1-\lambda)\,y\bigr) \geq A(x)\andf S A(y).
$$
\konec

\veta [v_konvexita_konzistentni]
%%%%%
Konvexita je konzistentn� vlastnost.
\konec

Konvexn� fuzzy mno�iny tedy snadno pozn�me podle toho, �e maj� v�echny
�ezy konvexn�.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola Fuzzy ��sla a fuzzy intervaly | FUZZY CISLA A FUZZY INTERVALY
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\sekce Zaveden� pojm� a z�kladn� vlastnosti
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\definice
%%%%%%%%%
\inl[fuzzy: interval]{\em Fuzzy interval\/} je takov� mno�ina 
$A\in\F(\R)$, kter� spl�uje n�sleduj�c� podm�nky:

\begitems
\bodik $\supp A$ je omezen� mno�ina,
\bodik Pro v�echna $\alpha\in(0,1\rint $ je $R_A(\alpha)$ uzav�en� interval,
\bodik $R_A(1)\not=\emptyset$ (tj.~$R_A(1)$ je nepr�zdn� uzav�en� interval).
\enditems

Je-li nav�c $R_A(1)$ jednobodov� mno�ina, naz�v� se $A$ 
\inl[fuzzy: ��slo]{\em fuzzy ��slo}.
\konec

\poznamka
%%%%%%%%%
Toto je p�evl�daj�c�, nikoli v�ak jedin� definice fuzzy ��sla, s~jakou
se lze setkat v~literatu�e. Pro fuzzy intervaly a fuzzy ��sla se
pou��v� term�n 
\inl[fuzzy: kvantita]{\em fuzzy kvantity}.
\konec

Podle v�ty\cite[v_konvexita_konzistentni] jsou fuzzy intervaly konvexn�.

Jednoprvkov� mno�iny re�ln�ch ��sel jsou zvl�tn�m p��padem fuzzy
��sel, odpov�daj�c� p�vodn�m re�ln�m ��sl�m (\uv{ostr� fuzzy ��sla}).

\veta [rostouci-klesajici]
%%%%%
Je-li $A$ fuzzy ��slo a $A(x)=1$, pak $A$ je neklesaj�c� na 
$(-\infty,x\rint $ a nerostouc� na $\lint x,+\infty)$.
\konec

Rozmyslete si, jak modifikovat 
v�tu\cite[rostouci-klesajici] pro $A$ fuzzy interval.

\definice
%%%%%%%%%
Fuzzy ��slo 
\inl[fuzzy: ��slo: opa�n�]{\em opa�n�} k~fuzzy ��slu $A$ je mno�ina $-A$ definovan�
vztahem
$$
  (-A)(x) = A(-x)
$$
\konec

Fuzzy ��slo opa�n� je definov�no podle principu roz���en� bin�rn�ch
relac� uplatn�n�mu na un�rn� minus, viz p��klad\cite[-AA2]. 
Speci�ln� pro v�echna
$\alpha\in\ui$ je
$$
  R_{-A}(\alpha) = -R_A(\alpha).
$$


\sekce Bin�rn� operace s fuzzy ��sly
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Nyn� roz����me bin�rn� operace $+, -, \cdot, :$ z~re�ln�ch ��sel na
fuzzy intervaly. Pou�ijeme k~tomu princip roz���en�. Je v�ak t�eba jej
kombinovat s~dal�� konstrukc�, toti� s~cylindrick�m roz���en�m. Tento
obrat je v~mnoh�ch knih�ch p�ehl��en, proto se tomuto kroku budeme
v�novat podrobn�ji.

Chceme roz���it bin�rn� aritmetickou operaci $\sq\in\{+, -, \cdot,:\}$.
Jeliko� $\sq:\R^2\to\R$, m��eme na $\sq$ pohl��et t� jako na relaci,
konkr�tn� jako na podmno�inu $\R^2\times\R$. Tu m��eme podle ji�
zaveden�ho principu roz���en� pro {\it bin�rn� relace\/} roz���it na
operaci $\F(\R^2)\to\F(\R)$ (definice\cite[rozsireni]). 
Tu pot�ebujeme je�t� slo�it se zobrazen�m
$\F(\R)\times\F(\R)\to\F(\R^2)$, kter� z�sk�me z~cylindrick�ho
roz���en� (definice\cite[cylindr]). T�m dost�v�me pot�ebnou 
bin�rn� operaci nad fuzzy ��sly
$\incirc\sq: \F(\R)\times\F(\R)\to\F(\R)$.

Pro odli�en� pou��v�me pro roz���enou operaci jin� symbol,
tj. p�vodn� operace na re�ln�ch ��slech je $\sq$ a roz���en� operace
na fuzzy ��slech je $\incirc\sq$. Konkr�tn�ji, roz���en� aritmetick�ch
operac� $+, -, \cdot$ budeme zapisovat takto:
$\incirc+,\incirc-,\incirc.,\incirc:$.

Popsanou ideu roz���en� bin�rn� operace na fuzzy ��sla up�esn�me 
v~n�sleduj�c� definici:

\definice
%%%%%%%%%
Nech� $A,B$ jsou fuzzy intervaly, $\sq\in\{+, -, \cdot,:\}$.
Pak $A\incirc\sq B$ je fuzzy mno�ina definovan� p�edpisem
$$
  (A\incirc\sq B)(x) = 
  \sup\bigl\{\min\bigl(A(y),B(z)\bigr)\kde 
  y,z\in\R, % \hbox{ takov�, �e } 
y\sq z = x\bigr\} =
  \bigveeS_y \bigveeS_{z,\, y\sq z=x} A(y)\andf S B(z).
$$
\konec

Uplatn�me-li tuto definici na ostr� intervaly, dostaneme 
\inl[intervalov� aritmetika]tzv.~{\em intervalovou aritmetiku}. 
Viz n�sleduj�c� p��klad.

\priklad [iaritmetika]
%%%%%%%%
Uva�ujme ostr� intervaly $\lint a,b\rint $, $\lint c,d\rint $. Pak plat�
$$
\eqalign{
  \lint a,b\rint \incirc+\lint c,d\rint  &= \lint a+c,b+d\rint , \cr
  \lint a,b\rint \incirc-\lint c,d\rint  &= \lint a-d,b-c\rint , \cr
  \lint a,b\rint \incirc.\lint c,d\rint  &= 
     \bigl\lint \min(ac,ad,bc,bd), \max(ac,ad,bc,bd)\bigr\rint , \cr
  \lint a,b\rint \incirc:\lint c,d\rint  &= 
     \bigl\lint \min(a/c,a/d,b/c,b/d), \max(a/c,a/d,b/c,b/d)\bigr\rint .
}
$$
Posledn� rovnost plat� pouze tehdy, kdy� $0\not\in\lint c,d\rint $. V~opa�n�m
p��pad� v�sledkem nen� interval.
\konec  

Pr�v� popsan� intervalov� aritmetika n�m umo�n� v�po�et bin�rn�ch
operac� s fuzzy intervaly p�eveden�m do horizont�ln� reprezentace, 
nebo� plat� tato v�ta:

\veta
%%%%%
Pro libovoln� fuzzy intervaly $A$, $B$ a $\alpha\in\ui$ plat�
$$
  R_{A\bigcirc\kern-6.3pt\sq\, B}(\alpha) =
  R_A(\alpha)\incirc\sq R_B(\alpha).
$$
\konec

\poznamka
%%%%%%%%%
V�sledek n�soben� $A\incirc.A$ nemus� b�t nez�porn�, tj. m��e nab�vat
nenulov�ch stup�� p��slu�nosti i pro z�porn� ��sla, pokud $\supp A$
obsahuje z�porn� i kladn� ��sla. T�m se tato operace li�� od un�rn� $A^2$
popsan� v~p��kladu\cite[-AA2].
\konec

\veta
%%%%%
Sou�et, rozd�l a sou�in fuzzy ��sel (resp. interval�) je fuzzy ��slo
(resp. interval).
\konec

D�len� fuzzy ��sel a interval� se zav�d� odli�n�, abychom se vyhnuli
probl�m�m s~d�len�m nulou:
$$
\eqalign{
  (A\incirc:B)(x) &= \sup\bigl\{\min\bigl(A(y),B(z)\bigr)\kde
  y,z\in\R, y=z\cdot x\bigr\} = \cr\noalign{\medskip}
  &= \bigveeS_y\bigveeS_{z,\,y=z\cdot x} A(y)\andf S B(z) = 
  \bigveeS_z A(z\cdot x)\andf S B(z).
}
$$

Podle tohoto vzorce lze d�lit i \uv{nulou}. Je-li $B=\{0\}$, pak 
$(A\incirc:B)(x) = A(0)$, co� je konstantn� fuzzy mno�ina.

I~p�i d�len� jin�mi fuzzy intervaly, obsahuj�c�mi nulu (s~nenulov�m
stupn�m p��slu�nosti) vych�zej� fuzzy mno�iny, kter� nejsou fuzzy
intervaly. Jejich nosi� je neomezen� a �ezy nemus� b�t konvexn�.

\veta (vlastnosti operac� s~fuzzy ��sly)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Pro fuzzy ��sla $A$, $B$, $C$ plat�
$$
  \advance\baselineskip by4pt
  \halign{\qquad\hfil$#$&${}#$\hfil&\qquad\hfil$#$&${}#$\hfil\cr
  \{0\}\incirc+A &= A, &  \{0\}\incirc.A &= \{0\}, \qquad\qquad\qquad
  \{1\}\incirc.A = A, \cr
  A\incirc+B &= B\incirc+A, & A\incirc.B &= B\incirc.A, \cr
  A\incirc+(B\incirc+C) &= (A\incirc+B)\incirc+C, &
  A\incirc.(B\incirc.C) &= (A\incirc.B)\incirc.C, \cr
  A\incirc+(-B) &= A\incirc-B, &
  (-A)\incirc.B &= -(A\incirc.B) = A\incirc.(-B), \cr
  -(-A) &= A, \cr
  A\incirc:B &= A\incirc.(\{1\}\incirc:B), \quad
  \rlap{je-li prav� strana fuzzy interval}, \cr
  A\incirc.(B\incirc+C) &\leq (A\incirc.B) \incirc+ (A\incirc.C) \quad
  \rlap{(nemus� platit rovnost)}.\cr
}
$$
Pokud je v~posledn�m vztahu $A$ ostr� ��slo ($A=\{x\}$), pak nast�v� rovnost.
\konec

\poznamka
%%%%%%%%%
N�sleduj�c� vztahy {\it nemus�\/} platit pro fuzzy ��sla:
$$
\eqalign{
  A\incirc-A &= \{0\}, \cr
  (A\incirc+B)\incirc-B &= A, \cr
  A\incirc:A &= \{1\}, \cr
  (A\incirc:B)\incirc.B &= A, \cr
  A\incirc.(B\incirc+C) &= A\incirc.B \incirc+ A\incirc.C.
}
$$
\konec

\inl[fuzzy: mno�ina]

\delejrejstrik

\bye
