%% Line�rn� algebra // �vod do algebry, zejm�na line�rn�     
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Petr Ol��k

% Zmeny zde by mohly vest ke druhemu vydani

% Toto je zdrojov� text ke skriptu "�vod do algebry, zejm�na line�rn�"
% (\booktrue) i k ve�ejn�mu textu "Line�rn� algebra" (\bookfalse).

\nonstopmode

\hoffset=-4mm
\chyph % pou�ijte form�t csplain
\advance\vsize by12pt
\font\mathbf=cmmib10
\newfam\bfmath
\textfont\bfmath=\mathbf
\font\bbf=csbx12
\font\bigf=csbx12 scaled\magstep3
\font\logocvut=lev
\def\vcerejsiverze{\advance\day by-1 }

\newcount\kapnum \newcount\odstnum \newcount\rcenum \newcount\numlink
\newcount\okrajnum \newcount\tempnum
\newdimen\colwidth
\newif\ifladeni
\newif\iftwoside
\newwrite\fileref \newread\testin
\newif\ifbook     
\newif\ifcviceni  
\newif\ifpouzereseni

%\ladenitrue %%%%%%%%%%% tiskne odkazovac� slova k jednotliv�m objekt�m
%\vcerejsiverze %%%%%%%% text jsem p�ipravil doma ve�er a TeXuji r�no v pr�ci
%\twosidetrue %%%%%%%%%% pro oboustrann� tisk
%\booktrue      %%%%%%%% text vcetne cviceni pro tistena skripta
%\cvicenitrue   %%%%%%%% pouze tisk cviceni vcetne reseni
%\pouzeresenitrue %%%%%% tisk pouze reseni bez textu cviceni

\def\resenilist {\reseni 1 \reseni 2 
  \reseni 3 \reseni 4 \reseni 5 \reseni 6 \reseni 7 \reseni 8 \reseni 10 
  \reseni 11 
}

\def\nazevskripta {�vod do algebry, zejm�na line�rn�}
\ifbook
   \let\nazevdila=\nazevskripta
   \mag 970 % skripta nejsou presne formatu A4, ale mensi
   \def\offsetvalue{7mm}
   \let\orimakeheadline=\makeheadline 
   \def\makeheadline{\orimakeheadline\medskip\nointerlineskip}
\else
   \def\nazevdila {Line�rn� algebra}
   \def\offsetvalue{4mm}
\fi

\def\beglink#1{}
\def\endlink{}
\def\aimlink#1{}
\def\urllink#1{{\tt#1}}
\def\zalozka#1{} \let\kapzalozka=\zalozka
\def\Brown{}\def\Black{}

\def\ifnextchar#1#2#3{\let\tznak=#1\def\bodyA{#2}\def\bodyB{#3}%
    \futurelet\znak\testuj}
\def\testuj{\ifx\znak\tznak\let\next=\bodyA\else\let\next=\bodyB\fi\next}
\def\ignorechar#1#2 {#1}

\def\kapitola{\advance\kapnum by 1 \odstnum=0 \rcenum=0 \okrajnum=0
     \ifnextchar[{\kaplabel}{\def\dolink{}\def\kaplabelik{}\inkapitola}}
\def\inkapitola #1 | #2 \par {\vfil\break
    \bigskip\noindent\raise15pt\hbox{\kapzalozka{#2}\dolink}%
    {\bbf\ifnum\kapnum=0\else\the\kapnum. \fi#1}\par\nobreak\bigskip
    \xdef\headtext{\ifnum\kapnum=0 \else\the\kapnum. \fi#1}\xdef\lmark{}
    \immediate\write\fileref{\string\refkapitola{\the\pageno}{\headtext}}
    \ifx\kaplabelik\empty \else
      \immediate\write\fileref { \space\space\space
         \string\refodstavec [\kaplabelik]{\the\kapnum}}\fi
   \global\headline={\hfil\starthead}}
\def\kaplabel[#1] {%\expandafter\ifx\csname c:#1\endcsname\relax
   \def\kaplabelik{#1}\def\dolink{\aimlink{c:#1}}%
   \inkapitola}
\def\starthead{\ifodd\pageno\else\xdef\lmark{\firstmark}\fi
   \global\headline={\vbox{%
   \iftwoside\ifodd\pageno
      \line{\strut\it \hfil\nazevodstavcu}%
   \else
      \line{\strut\it \xdef\lmark{\firstmark}\headtext\hfil}%
   \fi\else
      \line{\strut\it \nazevdila\hfil\headtext}%
   \fi
   \smallskip\hrule}}}
\def\dalsiodstavec#1{%
   \ifnextchar*{\def\nazevodstavce{#1.\kern-2pt*}\ignorechar\doodstavec}%
               {\def\nazevodstavce{#1.}\doodstavec}}
\def\doodstavec{\endpar \advance\odstnum by 1
   \def\start{\noindent\leftsymbol
    {\bf\the\kapnum.\the\odstnum. \nazevodstavce}\space\barva}
   \aimlink{o:\the\kapnum.\the\odstnum}%
   \ifnextchar[{\ulozlabel}{\start}}
\def\normalendpar{\par\removelastskip \penalty-200\bigskip}
\let\endpar=\normalendpar
\def\barva{} \def\leftsymbol{}
\def\ulozlabel[#1]{\aimlink{c:#1}%
     \immediate\write\fileref { \space\space\space
         \string\refodstavec [#1]{\the\kapnum.\the\odstnum}}%
   \ifladeni \noindent\llap{[#1]\ \ifcviceni\quad\fi}\fi
   \start\ignorespaces}
\def\rce(#1){\expandafter\ifx\csname r:#1\endcsname\relax
     \global\advance\rcenum by1
     \expandafter\xdef\csname r:#1\endcsname {\the\kapnum.\the\rcenum}%
     \aimlink{r:#1}%
   \else\errmessage{duplikace labelu rce(#1)}%
   \fi  \eqno (\the\kapnum.\the\rcenum)}
\def\pozn{\dalsiodstavec{Pozn�mka}}
\let\poznamka=\pozn
\def\priklad{\dalsiodstavec{P��klad}}
\def\cviceni{\dalsiodstavec{Cvi�en�}}
\def\pozorovani{\dalsiodstavec{Pozorov�n�}}
\def\algoritmus{\ifnextchar({\nazvanyalgoritmus}{\dalsiodstavec{Algoritmus}}}
\def\nazvanyalgoritmus(#1) {\dalsiodstavec{Algoritmus (#1)}}
\def\shrnuti{\dalsiodstavec{Shrnut�}}
\def\definice{\dalsiodstavec{Definice}}
\def\veta{\ifnextchar({\nazvanaveta}{\dalsiodstavec{V�ta}}}
\def\nazvanaveta(#1) {\ifnextchar*{\ignorechar{\dalsiodstavec{V�ta* (#1)}}}%
                                  {\dalsiodstavec{V�ta (#1)}}}
\def\dukaz{\removelastskip\bigskip\noindent{\bf D�kaz.}\space\ignorespaces}
\def\exdukaz{\removelastskip\bigskip\noindent
     {\bf D�kaz }(pro hloubav� �ten��e).\space\ignorespaces}
\let\nodukaz=\relax
\def\bod(#1){({\rm#1})&\quad}
\let\em=\it
\def\eng{\medskip\hrule width .15\hsize\medskip\noindent\llap*}
\def\eng#1\par{}
\def\ncite{\ifnextchar({\citerce}{\citeodst}}
\def\lcite[#1]{~/\ncite[#1]/}
\def\kcite#1{~\let\patvar=#1\citeodst}
\def\cite{~\ncite}
\def\citeodst[#1]{\expandafter\ifx\csname c:#1\endcsname\relax ??%
   \message{odkaz [#1] neni deklarovan.}%
   \else \beglink{c:#1}\patvar{\csname c:#1\endcsname}\endlink\fi
   \let\patvar=\relax}
\def\citerce(#1){\expandafter\ifx\csname r:#1\endcsname\relax (??)%
   \else \beglink{r:#1}(\csname r:#1\endcsname)\endlink\fi}
\def\okraj #1 | #2 \par {\par
   \global\advance\okrajnum by 1
   \global\setbox0=\hbox to0pt{\def\hb{\break}\line
      \iftwoside
      \ifodd 0\csname ok:\the\kapnum:\the\okrajnum\endcsname    
         {\hfil\rlap{\hskip1em\vtop
         {\hsize=.8in\noindent\raise15pt\hbox{\zalozka{#2}}\raggedright
          \it\Brown#1\Black}}}%
      \else {\llap{\vtop
          {\hsize=.8in
          \leftskip=0pt plus4em \parfillskip=0pt 
          \noindent\raise15pt\hbox{\zalozka{#2}}%
          \it\Brown#1\Black}\hskip1em}\hfil}%
      \fi\else
         {\hfil\rlap{\hskip1em\vtop
         {\hsize=.8in\noindent\raise15pt\hbox{\zalozka{#2}}\raggedright
          \it\Brown#1\Black}}}%
      \fi          
          \hss}%
   \ht0=3.5pt\dp0=3.5pt
   \global\everypar={\setbox2=\lastbox
       \write\fileref{ \space\string\refokraj{\the\pageno}{#1}}%
       {\def\uv##1{\clqq##1\crqq}\def\hb{\space}\mark{#1}}%
       \global\everypar={}\strut\box0\box2 }
   }
\def\nazevodstavcu{\edef\rmark{\botmark}%
   \ifx\lmark\empty \let\lmark=\rmark \fi
   \ifx\lmark\rmark 
       \ifx\lmark\empty \else \lowerfirst\lmark \lmark \fi
   \else 
       \lowerfirst\lmark \lowerfirst\rmark
       {\lmark} --- {\rmark}\fi
}
\def\lowerfirst#1{\def\temp{#1}\expandafter\sejmiprvni#1::}
\def\sejmiprvni#1#2::{\expandafter\def\temp{\lowercase{#1}#2}}

\def\ktere#1{\ifcase#1 nult�\or prvn�\or druh�\or t�et�\or 
   �tvrt�\or p�t�\or �est�\or sedm�\or osm�\or dev�t�\or des�t�\or 
   jeden�ct�\or dvan�ct�\or t�in�ct�\or �trn�ct�\or patn�ct�\or
   �estn�ct�\or sedmn�ct�\or osmn�ct�\else ??\fi}
\def\ktera#1{\ifcase#1 nult�\or prvn�\or druh�\or t�et�\or 
   �tvrt�\or p�t�\or �est�\or sedm�\or osm�\or dev�t�\or des�t�\or 
   jeden�ct�\or dvan�ct�\or t�in�ct�\or �trn�ct�\or patn�ct�\or
   �estn�ct�\or sedmn�ct�\or osmn�ct�\else ??\fi}
\let\patvar=\relax

\def\hb{\space}
\def\R{{\bf R}}
\def\N{{\bf N}}
\def\A{{\bf A}}
\def\B{{\bf B}}
\def\C{{\bf C}}
\def\D{{\bf D}}
\def\E{{\bf E}}
\def\G{{\bf G}}
\def\H{{\bf H}}
\def\O{{\bf O}}
\def\P{{\bf P}}
\def\L{{\bf L}}
\def\U{{\bf U}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\X{{\bf X}}
\def\Y{{\bf Y}}
\def\Z{{\bf Z}}
\let\phi=\varphi
\let\oodot=\odot \def\odot{{\oodot}}
\def\Circ{\mathbin{\raise.1em\hbox{$\scriptscriptstyle\bigcirc$}}}
\def\konv{\mathbin{\ast}}
\let\impl=\Rightarrow
\let\equiv=\Leftrightarrow
\def\lob<#1>{\langle#1\rangle}
\def\lobr<#1>{\langle\hbox{\rm r:}\,#1\rangle}
\def\lobb<#1>{\bigl\langle#1\bigr\rangle}
\def\hod{\mathop{\rm hod}}
\def\sgn{\mathop{\rm sgn}}
\def\diag{\mathop{\rm diag}}
\def\a{{\cal A}}
\def\b{{\cal B}}
\def\c{{\cal C}}
\def\m{{\cal M}}
\def\i{{\cal I}}
\def\d{{\rm d}}
\def\ker{\mathop{\rm Ker}}
\def\nullsp{\mathop{\rm Null}}
\def\defekt{\mathop{\rm def}}
\def\kolmy{\mathbin{\bot}}
\def\df#1{\buildrel\hbox{\sevenrm df}\over#1}
\let\vector\overrightarrow
\def\vec#1{{\fam\bfmath#1}}
\def\vecc #1_#2{\vec#1_1, \vec#1_2, \ldots, \vec#1_{#2}}
\def\lkvecc #1.#2_#3{#1_1\,\vec#2_1+#1_2\,\vec#2_2+\cdots+#1_#3\,\vec#2_#3}
\def\odsun{\hskip4em{}}
\def\teckacarka{\mathcode`\.="013B }
\def\soustava#1{\vcenter{\bigspaces\def\1{\hphantom1}\def\.{\rlap.}%
   \ialign{&\hfil${}##{}$\cr#1\crcr}}}
\def\bigspaces{\thickmuskip=10mu\medmuskip=7mu\relax}
\def\nobigspaces{\let\bigspaces=\relax}
\def\matice#1{\left(\kern-3pt\vcenter
  {\tabskip=5pt\halign{&\strut\hfil$##$\cr#1\crcr}}\kern-3pt\right)}
\def\bb#1 {\par\indent\llap{#1 }\hang\ignorespaces}
\def\+{\phantom+}
\def\dotfill{\cleaders\hbox to.5em{\hfil.\hfil}\hfill}
{\catcode`\:=13 \gdef:{\,\mathchar"003A\;}}
\mathcode`\:="8000

\input epsf
\def\noendpar{\def\endpar{\let\endpar=\normalendpar}}%
\def\obrazek #1+#2 #3 #4 #5{\endpar 
% #1 [zlomek \hsize] = sirka obrazku + #2 = okraj, #3 = vyska obrazku v radcich
% #4 = nazev souboru bez pripony, #5 = sada prikazu \p
   \colwidth=\hsize
   \advance\colwidth by-#1\hsize
   \nointerlineskip\moveright\colwidth\vbox to0pt{\offinterlineskip 
       \ifx\endpar\normalendpar \else \bigskip\fi    
       \kern4pt
       \kern\shiftpic
       \vbox to0pt{\pic{#1\hsize}{#4}\vss}#5\vss}
   \def\shiftpic{0pt}\noendpar   
   \colwidth=#1\hsize
   \advance\colwidth by#2\hsize
   \hangindent-\colwidth \hangafter=-#3
   \nobreak}
\def\p #1 #2 #3 {\vbox to0pt{\kern#1pt
   \setbox0=\hbox to0pt{\kern #2pt $#3$\hss}\ht0=0pt \dp0=0pt \box0\vss}}
\def\ha #1 {\hangindent=-\colwidth \hangafter=-#1 }
\def\dolu #1 {\def\shiftpic{#1}}
\def\shiftpic{0pt}

\ifx\pdfoutput\undefined 
  \def\pic #1#2{\epsfxsize=#1\hbox{\epsfbox{#2.eps}}}
\else
  \def\pic #1#2{\pdfximage width#1{#2.pdf}\pdfrefximage\pdflastximage}
\fi

\def\tocfill{\leaders\hbox{ . }\hfill}
\def\refkapitola#1#2{\advance\kapnum by1
  \bigskip\line{#2 \tocfill\space#1}\nobreak}
\def\refokraj#1#2{\advanceokraj
  \expandafter\xdef\csname ok:\the\kapnum:\the\okrajnum\endcsname{#1}%
  \line{\hskip3em #2 \tocfill\space#1}}
\def\refodstavec [#1]#2{%
  \expandafter\ifx\csname c:#1\endcsname\relax
     \expandafter\gdef\csname c:#1\endcsname {#2}%
   \else\errmessage{duplikace labelu [#1]}%
   \fi} 
\def\pocetokraju{
   \expandafter\ifx \csname kapokraj:\the\kapnum \endcsname \relax
      0\else \csname kapokraj:\the\kapnum \endcsname \fi}
\def\advanceokraj{\okrajnum=\pocetokraju
  \advance \okrajnum by1
  \expandafter \xdef \csname kapokraj:\the\kapnum \endcsname{\the\okrajnum}}
\def\softinput #1 {\let\next=\relax \openin\testin=#1
  \ifeof\testin \message{\warninginput}%
  \else \closein\testin \def\next{\input #1 }\fi
  \next}  
\def\delejobsah{\bgroup \kapnum=-1
%  \advance\vsize by-4\baselineskip
  \noindent {\bbf Obsah} %\bigskip
  \def\warninginput{VAROV�N�: pro vytvo�en� obsahu TeXujte je�t� jednou.}%
  \softinput \jobname.ref
  \immediate\openout\fileref\jobname.ref
  \egroup}
\output={\iftwoside
  \ifodd\pageno \hoffset=-4mm \else \hoffset =\offsetvalue \fi\fi
  \let\uv=\relax \let~=\relax \let\lobr=\relax \plainoutput}

\ifbook            %%%%%%%%%%% makra pro cteni cviceni.tex %%%%%%%%%%%%%%
  \def\icviceni #1 {\okraj Cvi�en� | Cviceni \par
    \immediate\write\fileref{\string\startcviceni{\the\kapnum}{\the\odstnum}}
    \long\def\skipcv ##1\cvikap #1{}
    \expandafter \skipcv \input cviceni }
\else
  \def\icviceni #1 {} % cviceni nejsou ve verejne verzi textu k dispozici
\fi
\def\startcviceni#1#2{\expandafter\gdef\csname cv:#1\endcsname{#2}}

\let\ekap=\endinput
\long\def\vy #1\evy {}
\let\epar=\relax

\def\za#1){\par\indent\llap{#1) }\ignorespaces}
\def\diza#1){\hbox{#1)}\ }
\def\nza#1){ #1)~\ignorespaces}

\newif\ifipage  \ipagetrue                 %%%%%%%%%%%%%% rejstrik
\newwrite\fileidx
\ifcviceni \else 
\ifpouzereseni \else \immediate\openout\fileidx=\jobname.idx \fi\fi
\def\inl[#1]{\ifhmode\unskip\fi\doinl#1,,}  
\def\doinl#1,{\if?#1?\let\next=\relax\else
   \def\next{\bezmezery#1<<}\fi \next}
\def\bezmezery #1#2<<{\toidxfile[#1#2]\doinl}
\def\toidxfile[#1]{\ifipage\else \immediate\fi 
   \write\fileidx{\string\idx{#1}{\ifipage \the\pageno\else \the\kapnum\theodstnum\fi}}}
\def\theodstnum{\ifnum\odstnum<10 0\fi\ifnum\odstnum<100 0\fi\the\odstnum}

\def\trindef#1#2{\expandafter\def\csname x:#1\endcsname{#2}}

% line�rn� prostor: viz t� prostor

\trindef{R9n}{$\R^n$}
\trindef{R}{$\R$}
\trindef{R2}{$\R^2$}
\trindef{R3}{$\R^3$}
\trindef{v Rn}{v~$\R^n$}
\trindef{v R3}{v~$\R^3$}
\trindef{UO}{$U_O$}
\trindef{C}{$\C$}
\trindef{C0n}{$\C^n$}
\trindef{Z2}{$\Z_2$}
\trindef{GF2}{${\rm GF}(2)$}
\trindef{Z9p}{$\Z_p$}
\trindef{Z2n}{$\Z_2^n$}
\trindef{GFp}{${\rm GF}(p)$}
\trindef{GFpm}{${\rm GF}(p^m)$}
\trindef{0sim}{$\sim$}
\trindef{detA}{$\det\A$}
\trindef{rA}{$\hbox{r:}\,\A$}
\trindef{rA0lobrA}{$\lobr<\A>$}
\trindef{0lobM}{$\lob<\,.\,>$}
\trindef{1AT}{$\A^T$}
\trindef{1A1}{$\A^{-1}$}
\trindef{0MveeN}{$\vee$}
\trindef{0kolm}{$\kolmy$}
\trindef{1a}{$\a$}
\trindef{KerA}{$\ker\a$} 
\trindef{defA}{$\defekt\a$}
\trindef{hodA}{$\hod\A$}
\trindef{hoda}{$\hod\a$}
\trindef{0circ}{$\circ$}
\trindef{0normx}{$\|\,.\,\|$}
\trindef{E3}{$\E_3$}
\trindef{V3}{$V_3$}
\trindef{Vietovy}{Vi\`etovy}
\trindef{dimL}{$\dim L$}
\trindef{0times}{$\times$}
\trindef{0to}{$\to$}
\trindef{lp}{$l_p$}
\trindef{Lp}{$L_p$}

\immediate\write\fileidx{\string\idx{line�rn�: prostor}{11333}}
\trindef{11333}{viz t� {\it prostor}}

\def\delejrejstrik{\kapitola [rejstrik] Rejst��k | Rejstrik \par
  \pozn Na rozd�l od b�n�ch rejst��k� tento neodkazuje na ��sla
  stran, ale na ��sla odstavc�. To by m�lo �ten��i umo�nit rychleji
  naj�t slovo z rejst��ku v textu, proto�e c�l odkazu je p�esn�j��: 
  text odstavce je typicky men�� ne� text cel� strany.
  \par
  A� na v�jimky nejsou v rejst��ku
  pojmy odkazov�ny na v�echna m�sta, kde se vyskytuj�. Nap��klad pojem
  \uv{line�rn� prostor} nebo \uv{matice} by asi musel obsahovat 
  odkazy na skoro v�echny odstavce. To by ztratilo smysl. 
  �asto pou��van� pojmy jsou tedy v~rejst��ku odkazov�ny jen na m�sta, 
  kde jsou definov�ny nebo kde jsou uvedeny jejich d�le�it� vlastnosti.
  \par
  \def\warninginput{VAROV�N�: pro vytvo�en� rejst��ku pou�ijte \space
      csindex -s linal.icf -z il2 linal .}
  \begmulti 2
  \softinput \jobname.ind 
  \endmulti
}

\def\ind#1, {\def\bodyind{#1}\def\bodyindp{#1}%
   \ifnextchar\subind{}{\normalind#1, }}
\def\normalind#1, {\par\noindent\mark{\trind{\bodyindp}}\hangpar
   \trind{#1}\nobreak\enspace\printnums}
\def\subind#1, {\def\subbody{#1}\def\subbodyp{#1}%
   \ifnextchar\subsubind{}{\normalsubind#1, }}
\def\normalsubind#1, {\par\noindent\mark{\trind{\bodyindp}}\hangpar
   \trind{\bodyind}\space\trind{#1}%
   \def\bodyind{---}\nobreak\enspace\printnums}
\def\subsubind#1, {\par\noindent\mark{\trind{\bodyindp}}\hangpar
   \trind{\bodyind}\space\trind{\subbody}\space\trind{#1}%
   \def\bodyind{---}\def\subbody{---}\nobreak\enspace\printnums}
\def\hangpar{\hangindent=2em}
\def\trind#1{\expandafter\ifx\csname x:#1\endcsname\relax #1\else
   {\csname x:#1\endcsname}\fi}

\def\printnums{\afterassignment\printonenum\tempnum=}
\def\printonenum{\shownum\ifnextchar,%
    {, \afterassignment\printnums\let\temp=}{\ifnextchar-{\printft}{}}}
\def\shownum{%
  \expandafter \ifx \csname x:\the\tempnum\endcsname \relax
  \ifnum\tempnum<1000 (str.~\the\tempnum)%
  \else \odstnum=\tempnum \divide\tempnum by1000
        \edef\tmp{\the\tempnum}%
        \multiply\tempnum by1000 \advance\odstnum by-\tempnum
        \beglink{o:\tmp.\the\odstnum}\tmp.\the\odstnum\endlink
  \fi
  \else
     \csname x:\the\tempnum\endcsname
  \fi}
\def\printft--{--\afterassignment\onlyodstnum\odstnum=}
\def\onlyodstnum{\advance\odstnum by-\tempnum \the\odstnum
   \ifnextchar,{, \afterassignment\printnums\let\temp=}{}}

\newdimen\colsep  \colsep=2em % horiz. mezera mezi sloupci 
\newcount\tempnum             % pracovn� prom�nn�
\splittopskip=\baselineskip
\def\roundtolines #1{%% zaokrouhl� na cel� n�sobky vel. ��dku
   \divide #1 by\baselineskip \multiply #1 by\baselineskip}
\def\corrsize #1{%% #1 := #1 + \splittopskip - \topskip
   \advance #1 by \splittopskip \advance #1 by-\topskip}
\def\begmulti #1 {\par\bigskip\penalty0 \def\Ncols{#1}
   \setbox0=\vbox\bgroup\penalty0
   %% \hsize := ���ka sloupce = (\hsize+\colsep) / n - \colsep
   \advance\hsize by\colsep \rightskip=0pt plus 2em
   \divide\hsize by\Ncols  \advance\hsize by-\colsep}
\def\endmulti{\vfil\egroup \setbox1=\vsplit0 to0pt
   %% \dimen1 := velikost zbyl�ho m�sta na str�nce
   \ifdim\pagegoal=\maxdimen \dimen1=\vsize \corrsize{\dimen1}
   \else \dimen1=\pagegoal \advance\dimen1 by-\pagetotal \fi
   \ifdim \dimen1<2\baselineskip
     \vfil\break \dimen1=\vsize \corrsize{\dimen1} \fi
   %% \dimen0 := v��ka n sloupcov� sazby po rozd�len� do sloupc�
   %% = (\ht0 + (n-1)\baselineskip) / n, zaokruhleno na ��dky
   \dimen0=\Ncols\baselineskip \advance\dimen0 by-\baselineskip
   \advance\dimen0 by \ht0 \divide\dimen0 by\Ncols
   \roundtolines{\dimen0}
   %% Rozd�lit sazbu n sloupc� do str�nek nebo nerozd�lit ?
   \ifdim \dimen0>\dimen1 \splitpart  
   \else \makecolumns{\dimen0} \fi
   \ifvoid0 \else \box0\message{ERROR: ztracen� text ve sloupc�ch?} \fi
   \bigskip}
\def\makecolumns#1{\setbox1=\hbox{}\tempnum=0
   \xdef\smark{}
   \loop \ifnum\Ncols>\tempnum
      \setbox1=\hbox{\unhbox1 \vsplit0 to#1 \hss
               \ifx\smark\empty\xdef\smark{\splitfirstmark}\fi}
      \advance\tempnum by1
   \repeat
   \hbox{}\nobreak\vskip-\splittopskip \nointerlineskip
   \line{\unhbox1\unskip\mark{{}\smark}\mark{{}\splitbotmark}}}
\def\splitpart{\roundtolines{\dimen1}
   \makecolumns{\dimen1} \advance\dimen0 by-\dimen1
   %% \dimen0 := v��ka _zbyl�_ n sloupcov� sazby
   %% \dimen1 := pr�zdn� m�sto na str�nce = (cca) \vsize
   \vfil\break
   \dimen1=\vsize \corrsize{\dimen1}
   %% Rozd�lit zbylou sazbu n sloupc� do v�ce str�nek ?
   \ifvoid0 \else
      \ifdim \dimen0>\dimen1 \splitpart
      \else 
        \dimen0=\Ncols\baselineskip \advance\dimen0 by-.5\baselineskip
        \advance\dimen0 by \ht0 \divide\dimen0 by\Ncols
        \roundtolines{\dimen0}
        \makecolumns{\dimen0} \fi \fi}

\newcount\bibnum \newwrite\filebr
\def\bibitem#1#2{\expandafter\def\csname br:#1\endcsname{#2}}
\def\warninginput{VAROV�N�: kv�li odkaz�m na literaturu TeXujte je�t� jednou.}
\softinput \jobname.br
\ifcviceni \else 
\ifpouzereseni \else \immediate\openout\filebr=\jobname.br \fi\fi
\def\bib [#1]{\advance\bibnum by1
  \immediate\write\filebr{\string\bibitem{#1}{\the\bibnum}}%
  \smallskip\hangindent\parindent\indent\llap{[\the\bibnum]\enspace}\ignorespaces}
\def\bcite[#1]{\expandafter\ifx\csname br:#1\endcsname \relax
  \message{bib.odkaz [#1] nen� deklarov�n.}~[??]%
  \else ~[\csname br:#1\endcsname]\fi}

    %%%%%%%%%%% makra pro sazbu soustav ve cviceni.tex %%%%%%%%%%%%%%%
\def\sous {\vcenter\bgroup \def\hhead{}\sousa}
\def\sousa #1 {\ifx\\#1\relax
    \expandafter\sousb
  \else
    \ifx\hhead\empty 
       \def\hhead{\hfil${}\param#1$&}%
    \else
       \expandafter\def\expandafter\hhead
       \expandafter{\hhead ${}\param\hfil#1$&}%
    \fi
       \expandafter\sousa
  \fi
}
\def\sousb #1 \esous{\def\param{########}%
   \edef\hhead{\hhead}%
   \halign{\span\hhead ${}=\hfil##$\cr \\ #1 \crcr}\egroup}
\def\\ #1 {\if=#1%
    \expandafter \sousc
  \else \if!#1\else   % je mozne psat !\multispan4\dotfill\cr nebo tak neco
    \if0#1\expandafter\omit\else
      \def\tmp{#1}%
      \ifx\tmp\plusjedna+\else 
      \ifx\tmp\minusjedna-\else 
      \ifx\tmp\normaljedna \else #1\fi\fi\fi\fi
  &\fi\expandafter\expandafter\expandafter\\\expandafter\space
  \fi
}
\def\sousc #1 {#1 \cr}
\def\0{\phantom0}
\def\plusjedna{+1}
\def\minusjedna{-1}
\def\normaljedna{1}

\def\mmaticei#1{\vcenter{\baselineskip=.7\baselineskip
   \lineskip=0pt
   \halign{\hfil$\scriptstyle##$\hfil&&\enspace
   \hfil$\scriptstyle##$\hfil\crcr#1\crcr}}}
\def\mmatice#1{\left(\mmaticei{#1}\right)}
\def\dmmatice#1{\left|\mmaticei{#1}\right|}
\def\setbar{\catcode`|=13 }
{\setbar \gdef|{\kern-2pt&\vrule height1.35ex depth.6ex&\kern-2pt}}

\ifx\pdfoutput\undefined \else %%%%%%%%%%% makra pro pdfTeX %%%%%%%%%%%%%%%%
\pdfcompresslevel=9
\ifx\pdfannotlink\undefined  % Verze pdfTeXu >= 14
   \let\pdfannotlink=\pdfstartlink
\fi
\def\pdfsetcmykcolor#1{\special{PDF:#1 k}}
\def\Blue{\pdfsetcmykcolor{0.9 0.9 0.1 0}}
\def\Red{\pdfsetcmykcolor{0.1 0.9 0.9 0}}
\def\Brown{\pdfsetcmykcolor{0 0.85 0.87 0.5}}
\def\Green{\pdfsetcmykcolor{0.9 0.1 0.9 0}}
\def\Black{\pdfsetcmykcolor{0 0 0 1}}
\def\definice{\dalsiodstavec{\Blue Definice\Black}}
\def\veta{\def\barva{\Blue}%
   \ifnextchar({\nazvanaveta}{\dalsiodstavec{\Red V�ta\Black}}}
\def\nazvanaveta(#1) {\dalsiodstavec{\Red V�ta\Black\ (#1)}}
\def\em{\leavevmode\aftergroup\Black\Red\it}
\def\dukaz{\removelastskip\bigskip
   \noindent\Black\def\barva{}{\bf D�kaz.}\space\ignorespaces}
\def\exdukaz{\removelastskip\bigskip
   \noindent\Black\def\barva{}%
   {\bf D�kaz }(pro hloubav� �ten��e).\space\ignorespaces}
\def\nodukaz{\Black\def\barva{}}
\pdfinfo{/Author (Petr Olsak)
         /CreationDate (/\the\month/\the\year) 
         /ModDate (\the\day. \the\month. \the\year)
         /Creator (TeX)
         /Producer (pdfTeX)
         /Title (Linearni algebra)
         /Subject (ucebni text)
         /Keywords (linearita, algebra)
}
\def\beglink#1{%          % Za��tek textu odkazu, #1 je kl�� odkazu
   \Green \pdfannotlink height9pt depth3pt 
     attr{/Border[0 0 0]} goto name{#1}\relax}
\def\endlink{\pdfendlink\ifx\barva\empty\Black\else\barva\fi}  
\def\aimlink#1{%          % M�sto c�le odkazu, #1 je kl�� odkazu
   \pdfdest name{#1} fith\relax}
\def\urllink#1{\pdfannotlink height 10pt depth 3pt 
   user{/Border[0 0 0]/Subtype/Link/A << /Type/Action/S/URI/URI(#1)>>}\relax
   \Green{\tt #1}\Black\pdfendlink}
\def\zalozka#1{\global\advance\numlink by1
   \pdfdest num\numlink fith\relax
   {\let~=\space\pdfoutline goto num\numlink {#1}}}
\def\kapzalozka#1{\global\advance\numlink by1
   \pdfdest num\numlink fith\relax
   {\let~=\space\pdfoutline goto num\numlink count-\pocetokraju {#1}}}  
\pdfcatalog{/PageMode /UseOutlines}\relax

\fi %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% konec maker pro pdfTeX %%%%%%%%%%%%%%%


\def\poznamkakreseni{
\noindent V�en� studenti,

tento dokument obsahuje �e�en� ke cvi�en�m, kter� najdete ve skriptu
{\it �vod od algebry, zejm�na line�rn�}. Zat�m nejsou uvedena �e�en�
v�echna, ov�em postupn� b�hem semestru budu p�id�vat dal��. V~textu se
znovu neopakuje zad�n� cvi�en�, abychom u�et�ili m�sto na pap�ru. V
p��pad�, �e byste si to cht�li tisknout, jist� uv�t�te, �e je str�nek
co nejm�n�. Ze stejn�ho d�vodu je text ps�n velmi stru�n�
a \uv{hust�}, tak�e v ��dn�m p��pad� nem��e slou�it jako uk�zka, jak
m� vypadat dobr� typografie. �lo mi skute�n� hlavn� o �sporu m�sta.

Po prav� stran� ka�d�ho ��sla p��kladu (jako horn� index) je uveden 
��seln� �daj v rozsahu 0--5, kter�m nazna�uji d�le�itost tohoto 
p��kladu v na�em p�edm�tu {\it �vod do algebry}. P�tka znamen� p��klad z�sadn�
d�le�itosti a nula znamen�, �e p��klad m��ete ignorovat. Pro� jsou ve
skriptech p��klady \uv{nulov� d�le�itosti}? 
Skripta toti� obsahuj� v�ci, kter� se daj� pou��t pozd�ji v dal��ch
p�edm�tech souvisej�c�ch s algebrou, ale nejsou sou��st� osnovy na�eho
�vodn�ho p�edm�tu. 

��sla ozna�uj�c� d�le�itost p��kladu v sob� zahrnuj� do jist� m�ry
i obt��nost p��kladu. Lapid�rn� se d� ��ci, �e pokud neum�te samostatn�
odpov�d�t na cvi�en� ozna�en� ��slem 5, pak je zbyte�n� chodit na
zkou�ku. S~��ast� na zkou�ce byste si to m�li rozmyslet i p�i
probl�mech se cvi�en�mi ozna�en�mi ��slem~4. Cvi�en� s ��sly 3 a 2
by nem�la uniknout Va�� pozornosti, pokud chcete z�skat v�t�� p�ehled 
o~p�edm�tu a chcete u zkou�ky dos�hnout na lep�� zn�mku ne� 3.

Tento text (narozd�l od skript samotn�ch) nepro�el redak�n� �pravou. 
D� se bohu�el tedy p�edpokl�dat, �e v n�m budou i n�jak� chyby a
p�eklepy. Pros�m o toleranci k t�mto jev�m a o p��padn� upozorn�n� na
chyby, abych je pak mohl v dal�� verzi textu opravit.
\medskip
\noindent Verze textu: \the\day. \the\month. \the\year \hfill Petr Ol��k
\bigskip
}

\ifpouzereseni
  \hoffset=4mm
  \global\headline={\vbox{%
      \line{\strut\it \nazevskripta \hfil �e�en� cvi�en�}%
      \smallskip\hrule}}
  \def\skippar #1#2{\advance\odstnum by1
    \long\def\doskippar ##1#1{}
    \def\next{#2}\expandafter\next\doskippar}
  \def\cviceni {\skippar\vy\vy}
  \def\veta {\skippar\epar\relax}
  \def\definice {\skippar\epar\relax}
  \def\priklad {\skippar\epar\relax}
  \def\poznamka {\skippar\epar\relax}
  \def\vy#1 {\bgroup
     \def\za##1){\par\noindent\llap{$\rightarrow$ }(##1)}
     \def\nza##1){(##1)~\ignorespaces}
     \medskip\noindent
     \llap{\bf\the\kapnum.\the\odstnum.$^{#1}$\enspace}%
     {\bf �e�en�.} }
  \def\du#1{${}^#1$}
  \def\evy{\egroup}
  \let\ekap=\endinput
  \def\okraj #1 \par {} 
  \def\write#1#2{}\let\immediate=\relax
  \def\refkapitola#1#2{}
  \def\refokraj#1#2{}{}
  \softinput \jobname.ref
  \def\reseni #1 {
    \kapnum=#1 \odstnum=\csname cv:#1\endcsname
    \long\def\skipcv ##1\cvikap #1{}
    \expandafter \skipcv \input cviceni }
  \poznamkakreseni
  \resenilist
  \expandafter \end
\fi

\ifcviceni  
  \def\cvikap #1 {\bigskip 
     {\bf KAPITOLA #1}\par\nobreak\medskip
     \kapnum=#1 \odstnum=\csname cv:#1\endcsname
  }
  \def\vy #1 {\bgroup
     \def\za##1){\par\noindent\llap{$\rightarrow$ }(##1)}
     \def\nza##1){(##1)~\ignorespaces}
     \medskip\noindent\llap{(#1) }{\bf �e�en�.} }
  \def\du#1{${}^#1$}
  \def\evy{\egroup}
  \let\ekap=\relax
  \def\okraj #1 \par {}
  \def\leftsymbol{\llap{$\bullet\bullet$\kern5pt}}
  \def\write#1#2{}\let\immediate=\relax
  \def\refkapitola#1#2{}
  \def\refokraj#1#2{}{}
  \softinput \jobname.ref
  \input cviceni 
  \expandafter \end
\fi


\let\veta=\veta

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% zacina text %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\nopagenumbers \parindent=0pt
\null\vskip3cm
\centerline{\bigf Petr Ol��k}
\vskip2cm
\centerline{\bigf \nazevdila}
\vskip2cm
\ifbook
   \centerline{\bbf FEL �VUT Praha, 2007}
\else
   \centerline{\bbf Praha, druh� vyd�n� 2010}
\fi
\vskip2cm
\centerline{\logocvut E}

\vfil\break

\null
\vskip2cm

\ifbook %%%%%%% text pro tistena skripta

V�znamn� ��st tohoto textu je od roku 2000
���ena voln� pod jm�nem {\em Line�rn� algebra} podle licence
\urllink{ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/licence.txt}.

Na rozd�l od voln� ���en� p�edlohy je zde dopln�na rozs�hl� sb�rka �loh pro
ka�dou kapitolu a d�le je p�id�na kapitola o~polynomech.

\vskip 3cm

\input epsf

\hbox{\epsfysize=13.25mm \lower.25mm\hbox{\epsfbox{esf.eps}}\kern1.5mm
      \epsfysize=13mm \epsfbox{eu.eps}\kern2mm
      \epsfysize=13mm \epsfbox{praha.eps}\kern2mm
      \epsfysize=13mm \epsfbox{vlajka.eps}}

\medskip\noindent
P��prava tohoto u�ebn�ho textu byla spolufinancov�na evropsk�m
soci�ln�m fondem, st�tn�m rozpo�tem~�R a rozpo�tem hl. m. Prahy.


\vfill
Lektor: prof. RNDr. Pavel Pt�k, DrSc.

\bigskip
Toto skriptum vy�lo n�kladem Fakulty elektrotechnick� �VUT. 
%nikoli v nakladatelstv�~�VUT. 
%Citace:
%
%\bigskip
%Petr Ol��k, {\it �vod do algebry, zejm�na line�rn�.} FEL �VUT, Praha 2007.

\bigskip
Autor upozor�uje nakladatelstv� �VUT, �e dnes je zcela obvykl� krom�
kni�n�ho vyd�n� d�la zve�ejnit k~voln�mu pou�it� t�eba i doslovn� text d�la na
internetu. Pokud to edi�n� rada �VUT p�ehl�dla, m��eme
uv�st t�eba\bcite[beezer],\bcite[hefferon],\bcite[zahradnik],\bcite[TBN]. P��klad� paraleln�ho vyd�n�
pap�rov�ho a internetov�ho by se na�lo v�ce.
\bigskip
Za jazykovou a v�cnou spr�vnost obsahu odpov�d� autor.

\bigskip\bigskip
Copyright \copyright{} RNDr. Petr Ol��k, 2007
\bigskip
ISBN 978-80-01-03775-1
\vskip1cm
\break

{\parskip=\bigskipamount
\input predmluva
\vfil\break
}

\else %%%%%%%% text pro volne siritelnou variantu

Text je ���en voln� podle licence
\urllink{ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/licence.txt}.

Text ve form�tech \TeX{} (csplain), PostScript, {\tt dvi}, PDF najdete na
adrese\hfil\break
\urllink{ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/}.

\bigskip
Verze textu: \the\day. \the\month. \the\year\ (beta verze druh�ho vyd�n�)
\bigskip
{\bf Upozorn�n�:} Tento dokument je v rozpracovan�m stavu. Bude se
je�t� b�hem roku 2010 v�razn� m�nit.

\bigskip
Text vznikal postupn� od roku 2000 a je od t� doby voln� ���en
na uveden�ch str�nk�ch. Nov� partie jsem a� do roku 2007 p�ipojoval na
konce st�vaj�c�ch kapitol, abych neporu�il ��slov�n� ji� existuj�c�ch
odstavc�. V �ervnu 2007 jsem tento text pou�il ve skriptech\bcite[olsak-ua]. 
Tam je nav�c ke ka�d� kapitole p�ipojena rozs�hl� sb�rka
cvi�en� a je p�id�na kapitola o polynomech. Tyto v�ci ve verzi voln�
���en� na internetu nejsou.

\bigskip
V roce 2010 jsem za�al pracovat na \uv{druh�m vyd�n�} tohoto textu,
kter� se v�razn� li�� od p�edchoz�ho. V n�kter�ch parti�ch jsem za�al
pou��vat (domn�v�m se) u�ite�n�j�� zna�en�, ale p�edev��m jsem text
roz�lenil do kapitol v�razn� jin�m zp�sobem a opustil jsem od zp�tn�
kompatibility ��slov�n� odstavc� s prvn� verz�. Druh� vyd�n� m�
zdrojov� soubor {\tt linal2.tex}.

K teoretick�mu �vodu (line�rn� prostor, line�rn� z�vislost, obaly,
b�ze) p�id�v�m pojem sou�adnice vzhledem k b�zi a v n�sleduj�c�
kapitole o zobrazen�ch uk�u, �e sou�adnice vzhledem k b�zi jsou
izomorfismem na $\R^n$. T�m vytvo��m motivaci podrobn�ji studovat
vlastnosti v $\R^n$ v�etn� popisu algoritm�. Tak�e a� pot� p�ich�zej�
na �adu kapitoly o matic�ch. K line�rn�m zobrazen�m se pak vrac�m
podruh�, abych uvedl jejich souvislost s maticemi.

V druh�m vyd�n� jsem zcela p�epracoval kapitoly o line�rn�ch zobrazen�ch
a d�le jsem p�idal mnoho dal��ch parti�, kter� souvisej� s praktick�mi
aplikacemi: vy�et�ov�n� line�rn�ch obal�, LU rozklad, blokov� maticov�
sou�in, Strassen�v 
algoritmus, geometrick� interpretace mno�iny �e�en� soustavy rovnic,
matice afinn�ho zobrazen� v homogenn�ch sou�adnic�ch. 
Na konec ka�d� kapitoly 
jsem p�ipojil odstavec \uv{shrnut�}, kter� lapid�rn�m jazykem shrnuje,
co bylo v kapitole �e�eno.

N�kter� odstavce jsem nov� ozna�il hv�zdi�kou. T�m je �e�eno, �e
odstavec obsahuje d�le�it� v�sledek line�rn� algebry, kter� rozhodn�
stoj� za pov�imnut�. To umo�n� �ten��i se rychleji orientovat v tom,
kter� partie textu obsahuj� skute�n� z�sadn� informace a ur�it� 
by je nem�l p�esko�it.


\vfill
Copyright \copyright{} RNDr. Petr Ol��k, 2000, 2001, 2002, 2003, 2005,
                                         2006, 2007, 2010
\vskip2cm
\break

\fi %%%%%%%%% konec \ifbook

\delejobsah

\vfill\break
\ifodd\pageno \else \null\vfill\break \fi

}

%\ifbook \else \pageno=1 \fi
\kapnum=-1


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola [GEM] Gaussova elimina�n� metoda | Gaussova eliminacni metoda
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Ne� se pust�me do studia line�rn�ch prostor� a podprostor�, z�vislosti
a nez�vislosti vektor�, b�z� a line�rn�ch obal�, uvedeme si v t�to
�vodn� kapitole metodu, kter� se n�m bude �asto hodit. Proto�e se 
k~�e�en� soustav vr�t�me podrobn�ji v kapitole\kcite\ktere[soustavy], �ekneme
si zde jen to nejnutn�j�� a budeme se v~n�kter�ch p��padech vyjad�ovat
mo�n� pon�kud t�kop�dn�. V�e naprav�me v\kcite\ktere[soustavy] kapitole.

{\em Gaussova elimina�n� metoda\/} je metoda usnad�uj�c� �e�en� soustav
line�rn�ch rovnic. {\em Soustava line�rn�ch rovnic\/} je jedna nebo
(obvykle) v�ce line�rn�ch rovnic, kter� maj� b�t spln�ny v�echny
sou�asn�. {\em Line�rn� rovnice\/} je rovnice, ve kter� se jedna nebo
(obvykle) v�ce nezn�m�ch vyskytuje pouze v prvn� mocnin�. Nezn�m�
mohou b�t n�soben� r�zn�mi konstantami a tyto n�sobky se v sou�tu maj�
rovnat dan� konstant�, tzv.~{\em prav� stran�}. {\em �e�it soustavu
rovnic\/} znamen� naj�t �e�en�, tj.~naj�t takov� re�ln� ��sla, kter� po
dosazen� za nezn�m� v rovnic�ch spl�uj� v�echny rovnice
sou�asn�. Takov� �e�en� m��e existovat pro danou soustavu jedin�, m��e se
ale st�t, �e je takov�ch �e�en� v�ce nebo nen� ��dn�.
\inl[GEM, Gaussova: elimina�n� metoda, metoda: elimina�n�: Gaussova]
\inl[elimina�n� metoda: Gaussova]
\inl[soustava: line�rn�ch: rovnic]

\okraj �vodn�\hb p��klad | Uvodni priklad

Metodu si nejprve vysv�tl�me na jednoduch�m p��klad� n�sleduj�c�
soustavy dvou line�rn�ch rovnic o~dvou nezn�m�ch $x$, $y$:
$$
  \soustava{ 2x - 5y =& 16 \cr
           {-}x + 2y =&\!\! {-}7 }
$$
Ze st�edn� �koly asi zn�te dv� metody, jak takov� soustavy �e�it: bu�
postupn�m dosazen�m, nebo n�soben�m rovnic konstantami a vz�jemn�m 
s��t�n�m rovnic. Metoda postupn�ho dosazen� by mohla vypadat takto:
$$\nobigspaces \let\en=\enspace
  \soustava{2x-5y =& 16&                &
       \impl\en 2(2y+7)-5y = 14-y = 16 \en\impl\en \underline{y=-2} & \cr 
          {}-x+2y =&\!-7&{}\en\impl\en x = 2y+7 &&
               \impl\en x = 2(-2) + 7 \underline{\vphantom y=3}, }
$$
ale nem� s Gaussovou elimina�n� metodou moc spole�n�ho. Pro
rozs�hlej�� soustavy (mnoho rovnic, mnoho nezn�m�ch) se moc nehod�.
Zam���me se proto na druhou metodu \uv{s��t�n� rovnic}. V t�to metod�
m�n�me postupn� soustavu rovnic na jinou soustavu se stejn�m
�e�en�m. Zm�ny soustavy, kter� nem�n� �e�en�, jsou n�sleduj�c�:

\medskip
\bb (1) Prohozen� rovnic mezi sebou.\par
\bb (2) Vyn�soben� rovnice nenulovou konstantou.\par
\bb (3) P�i�ten� libovoln�ho n�sobku n�jak� rovnice k jin�.
\medskip

Pomoc� t�chto �prav p�evedeme soustavu rovnic na jinou soustavu, ze
kter� je ji� �e�en� snadno �iteln�. Jednotliv� modifikace na��
soustavy od sebe odd�lujeme znakem \uv{$\sim$}.\inl[0sim]
$$\nobigspaces\def\en{\kern2.5pt}
  \soustava{ 2x - 5y =& 16 \cr
           {}-x + 2y =&\! -7 } \en\sim
  \soustava{ 2x - 5y =& 16 \cr
          {}-2x + 4y =&\!\! -14 } \en\sim\en
  \soustava{ 2x - 5y =& 16 \cr
             0x -\1y =&  2 } \en\sim\en
  \soustava{ 2x - 5y =& 16 \cr
                   y =&\! -2 } \en\sim\en
  \soustava{ 2x + 0y =& 6 \cr
                   y =&\! -2 } \en\sim\en
  \soustava{ x =& 3 \cr
             y =&\! -2 }
$$
Nejprve jsme vyn�sobili druhou rovnici dv�ma, pak jsme ob� rovnice
se�etli a v�sledek napsali na m�sto druh� rovnice, d�le jsme druhou
rovnici vyn�sobili ��slem $-1$, pak jsme p�tin�sobek druh� rovnice
p�i�etli k prvn� a nakonec jsme prvn� rovnici vyn�sobili ��slem 
$1/2$. Z posledn� soustavy �teme p��mo �e�en�.

Gaussova elimina�n� metoda je vlastn� shodn� s pr�v� pou�itou metodou
\uv{s��t�n� rovnic}. Nav�c Gaussova metoda up�es�uje postup, jak
rovnice n�sobit a s��tat mezi sebou, abychom se c�len� dobrali 
k v�sledku i u rozs�hl�ch soustav mnoha rovnic s mnoha nezn�m�mi. 
Ne� tento postup pop��eme, zamysl�me se nad t�m, jak stru�n� m��eme
soustavy rovnic zapisovat. V soustav� rovnic nen� p�i
hled�n� �e�en� podstatn�, zda se nezn�m� jmenuj� $x,y,z$ nebo t�eba
$\alpha,\beta,\gamma$. Podstatn� jsou jen koeficienty, kter� n�sob�
jednotliv� nezn�m�, a samoz�ejm� je�t� hodnoty na prav�ch stran�ch
rovnic. Odd�l�me tedy \uv{zrno od plev} a vyp��eme z na�� soustavy jen
to podstatn� (koeficienty u nezn�m�ch a hodnoty prav�ch stran) 
do tabulky ��sel, kter� budeme ��kat {\em matice}:
\inl[matice]
$$
  \def\|{\kern3pt\strut\vrule}
  \matice{2 & -5 \|& 16 \cr -1 & 2 \|& -7}
$$
Pokud chceme prohodit rovnice, v nov�m zna�en� to znamen� prohodit ��dky
matice. Vyn�soben� rovnice nenulovou konstantou odpov�d� vyn�soben�
��dku matice touto konstantou. Kone�n� p�i�ten� n�sobku jedn� rovnice
k druh� je toto�n� s p�i�ten�m n�sobku jednoho ��dku ke
druh�mu. Postup �e�en� na�eho p��kladu tedy m��eme zapsat takto:
$$
\def\+{\kern3pt} \def\|{\kern3pt\strut\vrule}
  \matice{2 & -5 \|&\+16 \cr -1 & 2 \|& -7} \sim
  \matice{2 & -5 \|&  16 \cr -2 & 4 \|& -14} \sim
  \matice{2 & -5 \|&  16 \cr  0 &-1 \|&   2} \sim
  \matice{2 & -5 \|&  16 \cr  0 & 1 \|&  -2} \sim
  \matice{2 &  0 \|&   6 \cr  0 &\+1\|&  -2} \sim
  \matice{1 &  0 \|&   3 \cr  0 &\+1\|&  -2}
$$

\okraj Dal�� p��klad | Dalsi priklad

P�ed v�kladem Gaussovy elimina�n� metody na obecn�
soustav� line�rn�ch rovnic si uk�eme postup je�t� na jednom
p��kladu, kter� bude m�t �ty�i rovnice a p�t nezn�m�ch.
P��klad je zvolen z�m�rn� tak, aby vych�zela mal� cel� ��sla, tak�e se
n�m to bude dob�e po��tat bez pou�it� v�po�etn� techniky. To je
obvykl� v~tzv. {\em modelov�ch p��kladech}, 
kter� maj� za �kol ilustrovat obecn� algebraick� postupy a se kter�mi
se setk�te p�i �e�en� �loh ze skript. Jakmile se ale dostanete k �loh�m
z praxe, budete postaveni p�ed soustavy t�eba s~tis�ci rovnicemi a se zhruba 
stejn�m po�tem nezn�m�ch. Na mal� cel� ��sla budete muset zapomenout.
Bez v�po�etn� techniky se to pak �e�it ned�. Pamatujte tedy, �e 
�e�en� modelov�ch p��klad� ze skript nen� kone�n�m c�lem na�� teorie,
ale jen pom�ckou k pochopen� rozs�hlej��ch souvislost�.
\inl[p��klad: modelov�, modelov� p��klad]

M�me �e�it n�sleduj�c� soustavu line�rn�ch rovnic
$$
  \soustava{ -4 x_1 + 4 x_2 -\1 x_3 &+\1 x_4 &- 7 x_5 =& {-11} \cr  
              2 x_1 - 2 x_2 +\1 x_3 &        &+ 3 x_5 =& 4  \cr
              4 x_1 - 4 x_2 + 5 x_3 &+\1 x_4 &+ 7 x_5 =& -3 \cr
             -6 x_1 + 6 x_2 - 4 x_3 &+\1 x_4 &-12 x_5 =& {-7} }
$$ 
Koeficienty t�to soustavy p�ep��eme do matice a matici budeme
upravovat pomoc� tzv. krok� Gaussovy elimina�n� metody, mezi kter�
pat�� prohozen� ��dk� mezi sebou, vyn�soben� ��dku nenulovou
konstantou nebo p�i�ten� libovoln�ho n�sobku n�jak�ho ��dku k jin�mu.
$$
  \def\text#1\nl{&\vcenter{\normalbaselines\hsize=.6\hsize\noindent #1}%
      \cr\noalign{\medskip}}
  \def\+{\kern6pt}\def\|{\kern3pt\strut\vrule}
  \halign to\hsize{\hfil$#$\hfil\tabskip=10pt plus 1fil&$#$\tabskip=0pt\cr
  \hphantom{\sim}
  \matice{-4 & 4 &-1 &\+1 & -7 \|& -11 \cr
           2 &-2 & 1 &  0 &  3 \|&  4 \cr
           4 &-4 & 5 &  1 &  7 \|& -3 \cr
          -6 & 6 &-4 &  1 &-12 \|& -7} \sim
  \text 
     Nejprve pot�ebujeme s��t�n�m n�sobk� ��dk� dostat nulu pod
     prvn� prvek v~prvn�m sloupci. Aby se n�m to l�pe d�lalo,
     prohod�me prvn� ��dek s druh�m. 
  \nl \sim
  \matice{ 2 &-2 & 1 &  0 &  3 \|&  4 \cr
          -4 & 4 &-1 &\+1 & -7 \|& -11 \cr
           4 &-4 & 5 &  1 &  7 \|& -3 \cr
          -6 & 6 &-4 &  1 &-12 \|& -7} \sim
  \text 
     Pod dvojkou v prvn�m sloupci budeme postupn� vytv��et nuly.
     Vezmeme dvojn�sobek prvn�ho ��dku a p�i�teme jej ke druh�mu.
  \nl \sim
  \matice{ 2 &-2 & 1 &  0 &  3 \|&  4 \cr
           0 & 0 & 1 &\+1 & -1 \|& -3 \cr
           4 &-4 & 5 &  1 &  7 \|& -3 \cr
          -6 & 6 &-4 &  1 &-12 \|& -7} \sim
  \text
     Zat�m nem�me v prvn�m sloupci pod dvojkou v�ude nuly. Budeme si
     st�le \uv{pom�hat} n�sobky prvn�ho ��dku, kter� op��eme.
     Minus dvojn�sobek prvn�ho ��dku p�i�teme ke t�et�mu a trojn�sobek
     prvn�ho ��dku p�i�teme ke �tvrt�mu.
  \nl \sim
  \matice{ 2 &-2 & 1 &  0 &  3 \|&  4 \cr
           0 & 0 & 1 &\+1 & -1 \|& -3 \cr
           0 & 0 & 3 &  1 &  1 \|& -11 \cr
           0 & 0 &-1 &  1 & -3 \|& 5} \sim
  \text
     Nyn� bychom m�li vytv��et nuly ve druh�m sloupci. To se v~tomto
     p��pad� stalo (v�jime�n�) samo, tak�e se zam���me na t�et�
     sloupec. Tam pod prvn� jedni�kou v druh�m ��dku vytvo��me nuly takto:
     minus trojn�sobek druh�ho ��dku p�i�teme ke t�et�mu a d�le druh�
     ��dek p�i�teme ke �tvrt�mu. Prvn� a druh� ��dek opisujeme.
  \nl \sim
  \matice{ 2 &-2 &\+1 &  0 &  3 \|&  4 \cr
           0 & 0 &  1 &  1 & -1 \|& -3 \cr
           0 & 0 &  0 & -2 &  4 \|& -2 \cr
           0 & 0 &  0 &  2 & -4 \|&  2} \sim
  \text
     Znovu se p�esuneme na dal�� sloupec (tentokr�t �tvrt�) a
     vytvo��me nulu pod minus dvojkou ze t�et�ho ��dku. K tomu sta��
     se��st t�et� ��dek se �tvrt�m a v�sledek napsat na m�sto
     �tvrt�ho ��dku.
  \nl \sim
  \matice{ 2 &-2 &\+1 &  0 &  3 \|&  4 \cr
           0 & 0 &  1 &  1 & -1 \|& -3 \cr
           0 & 0 &  0 & -2 &  4 \|& -2 \cr
           0 & 0 &  0 &  0 &  0 \|&  0} \sim
  \text
     T�et� ��dek je�t� (sp��e pro par�du) vyn�sob�me ��slem $-1/2$.
     �tvrt� ��dek nemus�me ps�t, proto�e tento ��dek odpov�d� rovnici
     $0x_1+0x_2+0x_3+0x_4+0x_5 = 0$, kter� je z�ejm� spln�na pro
     libovoln� $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$.
  \nl \sim
  \matice{ 2 &-2 &\+1 &  0 &  3 \|&  4 \cr
           0 & 0 &  1 &\+1 & -1 \|& -3 \cr
           0 & 0 &  0 &  1 & -2 \|&  1} \hphantom{\sim}
  \text
     Dost�v�me tzv. {\em schodovitou\/} matici, kter� m� ve sv�m \uv{doln�m lev�m kout�}
     nuly. P�esn�ji: ka�d� dal�� ��dek m� zleva aspo� o jednu nulu
     v�ce ne� p�ede�l�. To je c�lem tzv. {\em p��m�ho chodu\/} Gaussovy
     elimina�n� metody, kter� jsme pr�v� ukon�ili.%
     \inl[matice: schodovit�, schodovit� matice]%
     \inl[p��m� chod GEM]
  \nl}
$$
Na�i matici koeficient� p�vodn� soustavy jsme p�evedli pomoc� Gaussovy
elimina�n� metody na matici odpov�daj�c� nov� soustav�, kter� m�
stejnou mno�inu �e�en�, jako p�vodn�. Sta�� se proto d�le zab�vat
touto novou soustavou. Pro n�zornost si ji zde zap��eme
$$
  \soustava{ 2x_1 - 2x_2 + x_3 &       & + 3x_5 = & 4    \cr
                           x_3 & + x_4 & -\1x_5 = & \!-3 \cr
                               &   x_4 & - 2x_5 = & 1 }
$$
Ka�d� rovnice umo�n� spo��tat hodnotu jedn� nezn�m�, pokud jsou d�ny hodnoty
ostatn�ch. M�me t�i rovnice o p�ti nezn�m�ch, um�me tedy spo��tat jen
t�i nezn�m�. Pomoc� posledn� rovnice budeme po��tat nap��klad $x_4$,
pomoc� p�edposledn� rovnice budeme po��tat $x_3$ a z prvn� rovnice
spo��t�me nap��klad $x_1$. Ostatn� nezn�m� nejsou t�mito rovnicemi
ur�eny a mohou nab�vat libovoln�ch hodnot. To d�me najevo nap��klad
takto: $x_5=u$, $x_2=v$, $u\in\R$, $v\in\R$. 
Nyn� budeme po��tat hodnoty ostatn�ch nezn�m�ch
dosazovac� metodou, postupujeme od posledn� rovnice k prvn�:
$$\def\qimpl{\quad\impl\quad} \def\\{\hfill\cr}
  \soustava{ && x_5 =& u \\ && x_2 =& v \\
             x_4 - 2u =& 1 &\qimpl x_4 =& 1 + 2u \\
             x_3 + (1 + 2u) - u =& \!\!\!-3 &\qimpl x_3 =& {-4} - u \\
             2x_1 - 2v + (-4 - u) + 3u =& 4 &\qimpl x_1 =& 4 - u + v }
$$
�e�en� jsme zapsali pomoc� dvou parametr� $u,v$, kter� mohou nab�vat
libovoln�ch hodnot. V�imneme si, �e po�et parametr�, kter�mi pop��eme
�e�en� libovoln� soustavy line�rn�ch rovnic je roven po�tu nezn�m�ch
m�nus po�et nenulov�ch rovnic, kter� z�sk�me po p��m�m chodu Gaussovy elimina�n�
metody. V na�em p��pad�: po�et parametr� $= 5 - 3$. Zadan� soustava m�
sice �ty�i rovnice, ale po eliminaci se n�m soustava redukovala na 
pouh� t�i nenulov� rovnice.

Pokud bychom se rozhodli nap��klad z prvn� rovnice po��tat $x_2$, pak
by nezn�m� $x_1$ mohla nab�vat libovoln�ch hodnot a v�sledek by byl
form�ln� zaps�n pon�kud jinak: $x_1=w$, $x_2=-8+2u+2w$, $x_3=-4-u$,
$x_4=1+2u$, $x_5=u$, $u\in\R$, $w\in\R$. Vid�me tedy, �e neexistuje 
jednozna�n� z�pis v�sledku. Oba z�pisy popisuj� stejnou mno�inu 
�e�en�, ka�d� trochu jin�m zp�sobem. 

\medskip

\okraj Popis\hb metody | Popis metody

Nyn� se pust�me do v�kladu Gaussovy elimina�n� metody pro obecnou
soustavu line�rn�ch rovnic. Nejprve vysv�tl�me proceduru, kterou
budeme v t�to metod� s prvky matice mnohokr�t opakovat. Tato
procedura vytvo�� nuly v $s$-t�m sloupci pod nenulov�m prvkem matice 
v $r$-t�m ��dku. N�zorn�:
$$\def\p{\raise1.2pt\hbox{$\scriptstyle\bullet$}}
  \def\|{\kern3pt\strut\vrule}
  \def\Vdots{\hfill\vdots\hfill}\lineskip=0pt 
  \lineskip=0pt\let\normalbaselines=\relax
  \vrule height69pt width 0pt
  \pmatrix{\p& \cdots & \p & 
           \vbox to 0pt{\vss\hbox to0pt{\hss sloupec $s$\hss}
                            \hbox to 0pt{\hss$\downarrow$\hss}\kern10pt}
                 \kern-1.7pt \p & \p & \cdots \|& \p \cr
             & \vdots &    &    &    & \Vdots \|& \p \cr
 \llap{��dek $r\to\quad$ }
           0 & \cdots &  0 &  a & \p & \cdots \|& \p \cr
           0 & \cdots &  0 & b_1& \p & \cdots \|& \p \cr
             & \vdots &    & \vdots& & \Vdots \|&    \cr
           0 & \cdots &  0 & b_k& \p & \cdots \|& \p \cr} \enspace\sim\enspace
  \pmatrix{\p& \cdots & \p & 
           \vbox to 0pt{\vss\hbox to0pt{\hss sloupec $s$\hss}
                            \hbox to 0pt{\hss$\downarrow$\hss}\kern10pt}
                 \kern-1.7pt \p & \p & \cdots \|& \p \cr
             & \vdots &    &    &    & \Vdots \|& \p \cr
           0 & \cdots &  0 &  a & \p & \cdots \|& \p 
 \rlap{ $\quad\leftarrow$ ��dek $r$} \cr
           0 & \cdots &  0 &  0 & \p & \cdots \|& \p \cr
             & \vdots &    &\vdots & & \Vdots \|&    \cr
           0 & \cdots &  0 &  0 & \p & \cdots \|& \p \cr}
$$
Te�kami jsou v tomto obr�zku vyzna�eny prvky matice, jejich� hodnoty
n�s moment�ln� nezaj�maj�. Prvek $a$ mus� b�t nenulov�. Procedura
\uv{vytvo�en� nul pod prvkem $a$} se provede takto: 

\medskip
\bb K1. ��dky~1 a� $r$ op��eme beze zm�ny.
\bb K2. K~��dku $r+1$ p�i��t�me 
       $(-b_1/a)$~n�sobek ��dku $r$, k
       ��dku $r+2$ p�i��t�me $(-b_2/a)$~n�sobek ��dku~$r$, atd., 
       a� kone�n� k ��dku posledn�mu p�i��t�me $(-b_k/a)$~n�sobek ��dku $r$. 
\medskip

T�mto �konem se neporu�� nulov� prvky ve sloupc�ch vlevo od sloupce
$s$ a vzniknou nov� nuly pod prvkem $a$ ve sloupci $s$.

Nyn� pop��eme p��m� chod Gaussovy elimina�n� metody,
kter� p�evede libovolnou matici na schodovitou matici, kter� m� 
\uv{v lev�m doln�m rohu} nuly. Matice bude m�t v ka�d�m
��dku zleva aspo� o~jednu nulu v�ce v souvisl� �ad� nul, ne�
v p�edchoz�m ��dku. V algoritmu se pracuje s prom�nnou $r$ ozna�uj�c�
aktu�ln� ��dek a s~prom�nnou $s$, kter� znamen�
sloupec, ve kter�m v dan�m okam�iku vytv���me nuly. 
Pokud se v algoritmu zv�t�uje $r$, a p�itom $r$ ji� ozna�uje 
posledn� ��dek matice, ukon��me �innost. Pokud by se m�lo zv�t�it $s$, a
p�itom $s$ u� ozna�uje posledn� sloupec matice, ukon��me �innost.
V t�chto p��padech je u� matice p�evedena do po�adovan�ho tvaru.

\medskip
\bb G1. Nastav�me $r=1$, $s=1$.
\bb G2. Nech� $a$ je prvek matice z $s$-t�ho sloupce a $r$-t�ho ��dku.
       Pokud je $a=0$ a v�echny prvky pod prvkem $a$ v $s$-t�m
       sloupci jsou tak� nulov�,
       zv�t��me $s$ o jedni�ku a opakujeme krok G2.
\bb G3. Je-li $a=0$, a p�itom existuje nenulov� prvek pod prvkem
       $a$ v $s$-t�m sloupci na ��dku $r_1$, prohod�me ��dek $r$ s
       ��dkem $r_1$. Od t�to chv�le je v~nov� matici prvek na $r$-t�m 
       ��dku a $s$-t�m sloupci nenulov�.
\bb G4. Vytvo��me nuly pod nenulov�m prvkem $a$ z~$r$-t�ho ��dku a 
       $s$-t�ho sloupce
       zp�sobem, popsan�m v~kroc�ch K1 a K2.  
\bb G5. Existuj�-li v matici ��dky cel� nulov�, z matice je odstran�me. 
\bb G6. Zv�t��me $r$ o jedni�ku a $s$ o jedni�ku a celou �innost
       opakujeme od kroku~G2 znova.
\par\penalty-200
\medskip 

P�i elimina�n� metod� jsme p�evedli matici koeficient� soustavy na
jinou matici odpov�daj�c� jin� soustav�, ale se stejnou 
mno�inou �e�en�, proto�e p�i �prav�ch jsme pou�ili jen tyto
element�rn� kroky:

\medskip
\bb (1) Prohozen� ��dk� matice.
\bb (2) Pron�soben� ��dku nenulovou konstantou.
\bb (3) P�i�ten� n�sobku ��dku k jin�mu.
\bb (4) Odstran�n� nulov�ho ��dku.
\medskip

\okraj Diskuse po p�eveden� matice | Diskuse po prevedeni matice

Ji� d��ve jsme vysv�tlili, �e t�m dost�v�me modifikovanou matici
odpov�daj�c� nov� soustav� se stejnou mno�inou �e�en�. Sta�� se tedy
zam��it na tuto novou soustavu.
Nejprve rozhodneme, zda soustava m� v�bec n�jak� �e�en�. 
Pokud je posledn� ��dek ve tvaru:
$$
   (0\quad 0\quad\cdots\quad 0 \enspace|\enspace c), \quad c\not=0
$$
soustava nem� �e�en�. Tento ��dek toti� odpov�d� rovnici
$$
   0x_1 + 0x_2 + \cdots + 0x_n = c, \quad c\not=0,
$$
kterou nelze splnit pro ��dn� $x_1, x_2, \ldots, x_n$.

Pokud posledn� ��dek obsahuje nenulov� prvek mezi koeficienty
soustavy (vlevo od svisl� ��ry), soustava m� �e�en�. V takov�m p��pad�
m��eme ��ci, kolik t�ch �e�en� bude:
pokud m� soustava (po �prav� elimina�n� metodou) stejn� po�et rovnic,
jako nezn�m�ch, m� jedin� �e�en�. Je-li po�et rovnic men��, ne� po�et
nezn�m�ch, je �e�en� nekone�n� mnoho. 

Po�et rovnic po eliminaci nem��e nikdy
p�es�hnout po�et nezn�m�ch, vylou��me-li p��pad ��dku
$(0\;\cdots\;0\;|\;c)$, $c\not=0$. Rozmyslete si, pro�.
Zadan� soustava m��e m�t podstatn� v�ce rovnic ne� nezn�m�ch, ale po
eliminaci se v takov�m p��pad� z�konit� po�et rovnic zmen��.

M�-li soustava �e�en�, pak pro ka�dou rovnici rozhodneme, kterou
nezn�mou budeme pou�it�m t�to rovnice po��tat (v dan� rovnici mus�
b�t tato nezn�m� n�sobena nenulov�m koeficientem). 
V~ka�d� rovnici je nejprve zleva skupina 
nulov�ch koeficient� a pak existuje n�jak� prvn� nenulov�
koeficient. Doporu�ujeme po��tat tu nezn�mou, 
kter� je n�sobena t�mto prvn�m nenulov�m koeficientem. 
Nezn�m�, kter� nebudeme po��tat pomoc� ��dn� rovnice, 
mohou nab�vat libovoln�ch
hodnot. Takov� nezn�m� d�le pova�ujeme za parametry. Pro po�et
parametr� tedy plat�:
$$
  \hbox{po�et parametr�} = \hbox{po�et nezn�m�ch celkem} - 
  \hbox{po�et rovnic po eliminaci}
$$
Spo��t�me nejprve nezn�mou z posledn� rovnice a v�sledek 
dosad�me do ostatn�ch rovnic. Pak spo��t�me dal�� nezn�mou 
z p�edposledn� rovnice atd. a� se dostaneme k prvn� rovnici.
T�m m�me vyj�d�ena v�echna �e�en� dan� soustavy line�rn�ch rovnic.  

\okraj P��klad, kdy soustava nem� �e�en� | Priklad, kdy soustava nema reseni

\medskip\noindent{\bf P��klad.}
Gaussovou elimina�n� metodou budeme �e�it n�sleduj�c� soustavu �ty�
rovnic o �ty�ech nezn�m�ch $\alpha, \beta, \gamma, \delta$.
$$
  \soustava {  \alpha &+ 2\beta +&  3\gamma &+\1\delta =& 1 \cr
              2\alpha &+ 4\beta +&  7\gamma &+ 7\delta =& 4 \cr
               \alpha &         +&  2\gamma &          =& \!\! -2 \cr
              3\alpha &+ 7\beta +& 10\gamma &+ 6\delta =& 7}
$$
Zap��eme koeficienty soustavy a hodnoty prav�ch stran do matice a
za�neme tuto matici eliminovat zp�sobem popsan�m v��e.
$$
  \def\+{\kern6pt}\def\|{\kern6pt\strut\vrule\kern2pt}\jot=0pt
\displaylines{
  \matice {1 &\+2 &\+3 &\+1 \|&  1 \cr
           2 & 4 & 7 & 7 \|&  4 \cr
           1 & 0 & 2 & 0 \|& -2 \cr
           3 & 7 &10 & 6 \|&  7} \buildrel (1)\over \sim
  \matice {1 & 2 & 3 & 1 \|&  1 \cr
           0 & 0 & 1 & 5 \|&  2 \cr
           0 &-2 &-1 &-1 \|& -3 \cr
           0 & 1 & 1 & 3 \|&  4} \buildrel (2)\over \sim
  \matice {1 & 2 & 3 & 1 \|&  1 \cr
           0 & 1 & 1 & 3 \|&  4 \cr
           0 &-2 &-1 &-1 \|& -3 \cr
           0 & 0 & 1 & 5 \|&  2} \buildrel (3)\over\sim \cr
                                 \noalign{\medskip} \sim
  \matice {1 & \+2 & \+3 & \+1 \|&  1 \cr
           0 & 1 & 1 & 3 \|&  4 \cr
           0 & 0 & 1 & 5 \|&  5 \cr
           0 & 0 & 1 & 5 \|&  2} \buildrel (4)\over \sim
  \matice {1 & \+2 & \+3 & \+1 \|&  1 \cr
           0 & 1 & 1 & 3 \|&  4 \cr
           0 & 0 & 1 & 5 \|&  5 \cr
           0 & 0 & 0 & 0 \|&  3}}
$$
V �prav� (1) jsme vytvo�ili nuly pod jedni�kou z prvn�ho sloupce a
prvn�ho ��dku. V �prav� (2) jsme p�ehodili druh� ��dek se �tvrt�m 
v souladu s krokem G3 na�eho algoritmu (na druh�m ��dku a druh�m
sloupci toti� byl nulov� prvek). V �prav� (3) jsme vytvo�ili nuly pod
jedni�kou z druh�ho ��dku v druh�m sloupci. V posledn� �prav� (4) jsme
vytvo�ili nulu pod jedni�kou v t�et�m sloupci z t�et�ho ��dku. T�m
m�me matici v po�adovan�m tvaru. Pohledem na posledn� ��dek okam�it�
vid�me, �e soustava nem� �e�en�.

\ipagefalse


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola Line�rn� prostor | Linearni prostor
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\pozn[dvd] {\it O~form� definice-v�ta-d�kaz.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
V~tomto textu naraz�te na t�i z�kladn� \uv{slohov� �tvary}: definice,
v�ta a d�kaz. Vesm�s ka�d� solidn� matematick� sd�len� pou��v� tyto
pojmy. P�itom je mo�n�, �e s~takto systematick�m pou�it�m pojm�
definice, v�ta, d�kaz se setk�v�te poprv�. Proto si tyto pojmy
vysv�tl�me.


\okraj Definice | Co je definice

{\em Definice} vysv�tluje (definuje) nov� pojem, kter� bude d�le
v~teorii pou��v�n. Definice se op�r� o~pojmy, kter� byly definov�ny
v~p�edchoz�ch definic�ch.  V~p��sn� exaktn�ch teori�ch bychom museli na
za��tku vyjmenovat pojmy, kter� nedefinujeme, ale budeme s~nimi
pracovat, proto�e jinak bychom nebyli schopni zapsat prvn� definici.
V~tomto textu nebudeme takto p��sn� exaktn� a budeme se op�rat o~mate�sk�
jazyk a o~pojmy zn�m� ze st�edn� �koly (p�edpokl�d�me, �e jsou zn�m� 
pojmy mno�ina, re�ln� ��slo apod.). Nov� definovan� pojem bude 
v~definici vyzna�en kurz�vou.
\inl[definice]

\okraj V�ta | Co je veta

{\em V�ta} je tvrzen�, kter� n�m sd�luje n�jakou vlastnost t�kaj�c� se
definovan�ch pojm�. Dosti �asto se v�ta d� form�ln� roz�lenit na
p�edpoklady a vlastn� tvrzen�. P�edpoklady b�vaj� uvozeny slovy
\uv{nech�}, \uv{budi�}, \uv{jestli�e}, \uv{p�edpokl�dejme} atd. 
Vlastn� tvrzen� obvykle za��n� slovem \uv{pak} nebo \uv{potom}. V�ta
se mus� dok�zat. Proto se hned za v�tu p�ipojuje dal�� slohov� �tvar:
d�kaz. Po dok�z�n� v�ty se v~n�sleduj�c�m textu d� v�ta {\it
pou��t}. To b�v� obvykle provedeno tak, �e se ov��� v~dan�m kontextu
platnost p�edpoklad� v�ty a na z�klad� toho se prohl�s�, �e plat�
vlastn� tvrzen� v�ty.
\inl[v�ta]

\okraj D�kaz | Co je dukaz

{\em D�kaz} je obhajoba platnosti v�ty. P�i t�to obhajob� m��eme
pou��t p�edchoz� definice (zam�n�me pou�it� pojem ve v�t� skupinou
pojm�, kter�mi je pojem definov�n) a d�le m��eme pou��t d��ve dok�zan�
v�ty (ov���me p�edpoklady d��ve dok�zan� v�ty a pou�ijeme pak jej�
vlastn� tvrzen�). D�le se v~d�kazech pou��v� logick�ch obrat�, kter�
byste m�li zn�t ze st�edn� �koly (nap��klad v�rok \uv{nen� pravda, �e
existuje prvek, pro kter� plat� tvrzen�~$A$} lze p�eformulovat na toto�n�
v�rok: \uv{pro v�echny prvky neplat� tvrzen�~$A$}).
\inl[d�kaz]

V~exaktn�ch teori�ch se ke skupin� nedefinovan�ch pojm� na
za��tku teorie p�ipojuje i n�kolik tvrzen�, kter� nelze prost�edky
teorie dok�zat, ale pro d�kazy dal��ch v�t je nutn� jejich platnost
p�edpokl�dat. Takov�m tvrzen�m se ��k� axiomy. V~na�em textu nebudeme
teorii stav�t jen na axiomech, ale n�kdy pou�ijeme sp��e intuitivn�
p��stup. Nen� nutn� b�t za ka�dou cenu p��sn� exaktn�.

Pro matematick� sd�len� nov�ch poznatk� je obvykle �len�n� textu
na definice, v�ty a d�kazy dosta�uj�c�. V~t�to u�ebnici si nav�c budeme
ilustrovat novou problematiku na {\em p��kladech} a ob�as prohod�me
n�jakou {\em pozn�mku}. Dokladem toho je i tato pozn�mka\cite[dvd].
\inl[p��klad, pozn�mka, axiomy]

\pozn
%%%%%
V~n�sleduj�c� definici line�rn�ho prostoru\cite[dlp]
se pracuje
s~mno�inami bl��e nespecifikovan�ch objekt�. Jedin�, co s~t�mi objekty
um�me d�lat, je vz�jemn� objekty s��tat a n�sobit objekt re�ln�m
��slem. P�itom tyto operace (s��t�n� a n�soben� re�ln�m ��slem) je
pot�eba pro konkr�tn� mno�iny objekt� definovat. Pro ka�dou mno�inu
objekt� mohou tyto operace vypadat jinak. Skute�nost, �e nen� �e�eno,
jak objekty a operace s~nimi konkr�tn� vypadaj�, m��e b�t pro n�kter�
�ten��e pon�kud frustruj�c�. Proto p�ed definic� uvedeme p��klady
mno�in objekt�, kter� lze s��tat a n�sobit konstantou.

\priklad [dvojice]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Nech� $\R^2$ je mno�ina v�ech uspo��dan�ch dvojic re�ln�ch ��sel.
Uspo��danou dvojici zapisujeme ve tvaru $(a,b)$. 
Vyzna�ujeme ji tedy kulatou z�vorkou a
jej� slo�ky $a,b$ p��eme odd�leny ��rkou. Tak�e
$\R^2 = \{(a,b);\, a\in\nobreak\R,\penalty0 b\in\nobreak\R\}$. 
Symbol $\R$ zna�� re�ln� ��sla a z�pisem
$\{X;\, \hbox{vlastnost $X$}\}$ zna��me mno�inu objekt� $X$,
kter� maj� specifikovanou vlastnost. 
Definujme s��t�n� dvou uspo��dan�ch dvojic:
$$
  (a, b) \oplus (c, d) \df= (a+c, b+d) \rce(plusdvojice)
$$
a n�soben� uspo��dan� dvojice re�ln�m ��slem $\alpha\in\R$: 
$$
  \alpha\odot(a, b) \df= (\alpha\,a, \alpha\,b).\rce(kratdvojice)
$$ 

V�imneme si, �e jsme definovali operaci $\oplus$ s��t�n� objekt� tak,
�e v�sledek s��t�n� je zase uspo��dan� dvojice. Stejn� sou�in $\odot$
re�ln�ho ��sla s~uspo��danou dvojic� je zase uspo��dan� dvojice, tedy
prvek mno�iny $\R^2$. Na�e s��t�n� je tedy operace, do kter� vstupuj�
dva prvky mno�iny $\R^2$ a vystupuje z~n� prvek mno�iny $\R^2$. Na�e
n�soben� je operace, do kter� vstupuje re�ln� ��slo a prvek z~$\R^2$ a
vystupuje z~n� prvek z~$\R^2$. Tuto skute�nost zap��eme pomoc�
kart�zsk�ho sou�inu mno�in: 
$$\oplus: \R^2\times\R^2 \to \R^2, \qquad  
  \odot: \R\times\R^2 \to \R^2 . \rce(pluskratdomena)
$$
\par\inl[dvojice: uspo��dan�, uspo��dan�: dvojice]
\inl[0times, 0to]

V�imneme si d�le, �e jsme definovali nov� operace $\oplus$ a $\odot$
prost�ednictv�m operac� s��t�n� a n�soben� re�ln�ch ��sel,
tj. prost�ednicv�m operac�, jejich� vlastnosti jsou zn�my ze st�edn�
�koly. P��kladem takov� vlastnosti je komutativn� z�kon (pro
re�ln� ��sla $x$ a $y$ plat�: $x+y = y+x$). Na�e nov� definovan� operace
$\oplus$ m� tak� tuto vlastnost: 
$$
  (a, b) \oplus (c, d) = (c, d) \oplus (a, b), 
$$
proto�e podle definice je $(a, b) \oplus (c, d) = (a+c, b+d)$ a
$(c, d) \oplus (a, b) = (c+a, d+b)$, ov�em dv� uspo��dan� dvojice se
rovnaj�, pokud se rovnaj� odpov�daj�c� slo�ky. V~tomto p��pad� prvn�
slo�ka prvn� dvojice $a+b$ se rovn� prvn� slo�ce druh� dvojice $b+a$,
nebo� pro s��t�n� re�ln�ch ��sel plat� komutativn� z�kon. Podobn�
ov���me i druhou slo�ku.

Uv�dom�me si, �e nen� v�bec automaticky zaru�eno, �e nov� definovan�
operace musej� tyto z�kony spl�ovat. Pokud bychom nap��klad definovali
jin� s��t�n� dvou uspo��dan�ch dvojic p�edpisem:
$$
  (a, b) \mathbin{\underline\oplus} (c, d) \df= (2a + d, b + c),
  \rce(plusdvojicejinak)
$$
pak se d� snadno uk�zat, �e pro $\underline\oplus$ nen� spln�n
komutativn� z�kon (ov��te si sami).

\priklad [polynomy]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Ozna�me $P$ mno�inu v�ech re�ln�ch polynom�, tedy funkc� $p: \R\to\R$,
kter� pro $x\in\R$ maj� hodnotu danou vzorcem:
$$ 
  p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots+ a_1 x + a_0, \quad
  (a_n, a_{n-1},\ldots, a_1, a_0 \hbox{ jsou n�jak� re�ln� ��sla}).
  \rce(polynom)
$$
Na t�to mno�in� polynom� definujeme s��t�n� $\oplus: P\times P \to P$
a n�soben� $\odot: \R\times P \to P$ takto: pro ka�d� $p\in P$,
$q\in P$, $\alpha\in\R$ je 
$$\eqalign{
      (p\oplus q) (x) &\df= p(x) + q(x) \qquad \forall x\in\R, \cr
  (\alpha\odot p) (x) &\df= \alpha\, p(x) \qquad \forall x\in\R. \cr }
$$
�e�eno pe�liv�ji: v~definici jsme zavedli novou funkci $p\oplus q: \R\to\R$
tak, �e jsme �ekli, jakou bude tato funkce m�t hodnotu v~ka�d�m bod�
$x$ jej�ho defini�n�ho oboru. Tuto hodnotu podle definice po��t�me
jako sou�et hodnoty funkce $p$ a hodnoty funkce $q$ v~bod� $x$. Tyto
hodnoty jsou re�ln� ��sla, tak�e s��t�n� funkc� (nov� s��t�n� nov�ch
objekt�) vlastn� definujeme pomoc� s��t�n� re�ln�ch ��sel (s��t�n�,
kter� zn�me ze st�edn� �koly). Podobn� definujeme n�sobek funkce
re�ln�m ��slem.
\inl[polynom, s��t�n�: polynom�, n�sobek: polynomu]

D� se ov��it, �e pro $p\in P$, $q\in P$, $\alpha\in\R$ je $p\oplus q$
zase polynom a $\alpha\odot p$ je tak� polynom. Rovn� se d� ov��it, �e
pro operaci $\oplus$ plat� komutativn� z�kon.

\pozn[pretezovani]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
V~p�edchoz�ch dvou p��kladech jsme definovali na mno�in� n�jak�ch
objekt� s��t�n� a n�soben� re�ln�m ��slem. Pro v�t�� p�ehlednost jsme
nov� definovan� operace zapisovali do krou�ku, abychom je odli�ili od
operac� s��t�n� a n�soben� re�ln�ch ��sel. To ale nen�
pot�eba. Sta�� pou��vat tyt� znaky, proto�e podle typu objekt�, kter�
do operace vstupuj�, okam�it� pozn�me, jakou operaci m�me pou��t (zda
nov� definovanou nebo zn�mou operaci na re�ln�ch ��slech). Takov�
automatick� p�izp�soben� operace podle typu operand� znaj�
program�to�i objektov� orientovan�ch jazyk�. Tam se tomu ��k�
\uv{p�et�ov�n� oper�tor�}.
\inl[p�et�ov�n� oper�tor�]

Definici s��t�n� uspo��dan�ch dvojic tedy sta�� zapsat takto: 
Pro v�echna $(a,b)\in\R^2, (c,d)\in\R^2$ je 
$(a, b) + (c, d) \df= (a+c, b+d)$. P�itom pozn�me, �e prvn� znak
\uv{$+$} v~uveden�m vzorci ozna�uje s��t�n� uspo��dan�ch dvojic a 
ostatn� dva znaky~\uv{$+$} znamenaj� s��t�n� re�ln�ch ��sel.
{\lineskiplimit=-10pt \par}

V~dal��m textu budeme skoro v�dy pou��vat znaky \uv{$+$} a
\uv{$\cdot$} i pro nov� definovan� operace, proto�e podle typu
operand� nem��e doj�t k~nedorozum�n�. Tak� znak n�soben� 
\uv{$\cdot$} budeme n�kdy vynech�vat, jako jsme zvykl� jej vynech�vat
p�i z�pisu n�soben� re�ln�ch ��sel.

\okraj Definice\hb line�rn�ho prostoru | Definice linearniho prostoru

\definice* [dlp]
%%%%%%%%%%%%%%
{\em Line�rn�m prostorem} naz�v�me ka�dou nepr�zdnou mno�inu $L$, 
na kter� je definov�no s��t�n�  $+: L\times L \to L$ a n�soben�
re�ln�m  ��slem $\cdot: \R\times L \to L$ a tyto operace spl�uj� pro ka�d� 
$\vec x\in L, \vec y\in L, \vec z\in L, \alpha\in\R, \beta\in\R$ vlastnosti:
$$\null\indent\vcenter{\openup\jot
  \ialign{\strut$#$&\quad$\displaystyle{#}$\hfil&\quad#\unskip\hfil\cr
  (1)  &  \vec x + \vec y = \vec y + \vec x  & (komutativn� z�kon s��t�n�), \cr
  (2)  &  (\vec x + \vec y) + \vec z = \vec x + (\vec y + \vec z) 
                     & (asociativn� z�kon s��t�n�), \cr
  (3)  &  \alpha\cdot(\beta\cdot\vec x) = (\alpha\beta)\cdot\vec x
                     & (asociativn� z�kon n�soben�), \cr
  (4)  &  \alpha\cdot(\vec x + \vec y) = \alpha\cdot\vec x + \alpha\cdot\vec y
             & (distributivn� z�kon pro s��t�n� prvk� z $L$), \cr
  (5)  &  (\alpha+\beta)\cdot\vec x = \alpha\cdot\vec x + \beta\cdot\vec x
             & (distributivn� z�kon pro s��t�n� ��sel), \cr 
  (6)  &  1 \cdot\vec x = \vec x     & (vlastnost re�ln�ho ��sla 1), \cr 
  (7)  &  \hbox{existuje $\vec o\in L$, �e pro ka�d� $\vec x\in L$ je }
              0\cdot\vec x = \vec o
                            & (existence nulov�ho prvku). \cr 
}}
$$
Prvky line�rn�ho prostoru naz�v�me {\em vektory}. Re�ln�mu ��slu
v~kontextu n�soben� $\cdot: \R\times L \to L$ ��k�me {\em skal�r}.
Prvku $\vec o\in L$ z~vlastnosti (7) ��k�me {\em nulov� prvek} nebo 
{\em nulov� vektor}. 
\inl[prostor: line�rn�, line�rn�: prostor] 
\inl[axiomy: line�rn�ho prostoru]
\inl[vektor: nulov�, nulov�: vektor, prvek: nulov�, nulov�: prvek]
\inl[z�kon: asociativn�, asociativn�: z�kon]
\inl[z�kon: komutativn�, komutativn�: z�kon]
\inl[z�kon: distributivn�, distributivn�: z�kon]
\inl[vektor, skal�r]

\veta [nulprvek]
%%%%%%%%%%%%%%%%
Pro nulov� prvek $\vec o$ line�rn�ho prostoru $L$ plat� vlastnosti:
$$\eqalign{
\bod (1) \vec x + \vec o = \vec x   \qquad \forall\, \vec x \in L, \cr
\bod (2) \alpha\cdot\vec o = \vec o \qquad \forall\, \alpha\in\R, \cr
\bod (3) \hbox{Nech� $\vec x\in L$}. \quad
         \hbox{Je-li}\quad \alpha\cdot\vec x = \vec o
         \quad\hbox{a}\quad \alpha\ne0, \quad
         \hbox{pak}\quad \vec x = \vec o. \cr}
$$

\dukaz
Pou�ijeme vlastnosti z~definice\cite[dlp]. Pro p�ehlednost p��eme nad
rovn�tka ��slo pou�it� vlastnosti.
$$\eqalign{
\bod (1)  \vec x + \vec o \buildrel(7)\over= \vec x + 0\cdot\vec x
     \buildrel(6)\over= 1\cdot\vec x +  0\cdot\vec x
     \buildrel(5)\over= (1 + 0) \cdot\vec x = 1 \cdot\vec x 
     \buildrel(6)\over= \vec x. \cr
\bod (2) \alpha\cdot\vec o \buildrel(7)\over= 
     \alpha\cdot(0\cdot\vec x)
     \buildrel(3)\over= (\alpha\cdot0)\cdot\vec x = 0\cdot\vec x
     \buildrel(7)\over= \vec o. \cr
\bod (3) \vec x \buildrel(6)\over= 1 \cdot \vec x =
     \left({1\over\alpha}\,\alpha\right)\cdot \vec x \buildrel(3)\over=
     {1\over\alpha}\cdot(\alpha\cdot\vec x) 
     \buildrel\rm(z~p�edpokladu)\over= {1\over\alpha}\cdot \vec o
     \buildrel\hbox{\the\scriptfont0(vlastnost~(2)~v�ty\cite[nulprvek])}
     \over= \vec o.
     \cr}
$$

\poznamka
%%%%%%%%%
Ve vlastnostech (1) a� (7) v~definici\cite[dlp] se pracuje se znaky
\uv{$+$} a \uv{$\cdot$} v~souladu s~pozn�mkou\cite[pretezovani] 
ve dvoj�m v�znamu. Bu� to jsou operace s~prvky mno�iny $L$ nebo operace
s~re�ln�mi ��sly. Nap��klad ve vlastnosti (5) je prvn� symbol \uv{$+$}
pou�it ve v�znamu s��t�n� na mno�in� re�ln�ch ��sel, zat�mco druh�
symbol \uv{$+$} je pou�it ve v�znamu s��t�n� na mno�in� $L$. Jako cvi�en�
zkuste o~ka�d� pou�it� operaci ve vzorc�ch (1) a� (7) rozhodnout,
jak�ho je druhu.

\poznamka
%%%%%%%%%
Proto�e line�rn� prostor obsahuje vektory, v literatu�e se �asto
setk�v�me s pojmem {\em vektorov� prostor}, kter� je pou�it v naprosto
stejn�m smyslu, jako zde pou��v�me pojem {\em line�rn� prostor}.
Je t�eba si uv�domit, �e {\em vektory} v tomto pojet� nejsou
jen \uv{�ipky}, ale jak�koli matematick� objekty, kter� um�me mezi
sebou s��tat a n�sobit skal�rem tak, �e tyto operace spl�uj� {\em axiomy
linearity}~(1) a�~(7) z definice\cite[dlp]. N�sleduj�c� p��klady ukazuj�, �e lze
v~matematice naj�t skute�n� rozli�n� p��pady line�rn�ch (vektorov�ch)
prostor�.  
\inl[prostor: vektorov�, vektorov� prostor]
\inl[axiomy: linearity]

\okraj Prostor $\R^2$ | Prostor R2

\priklad [LPdvojice]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Uk�eme, �e mno�ina $\R^2$ z~p��kladu\cite[dvojice] se s��t�n�m a
n�soben�m skal�rem podle definic\cite(plusdvojice) a\cite(kratdvojice)
tvo�� line�rn� prostor. M�sto znak� \uv{$\oplus$} a \uv{$\odot$}
budeme nad�le pou��vat znaky\uv{$+$}~a~\uv{$\cdot$}.
\inl[dvojice: uspo��dan�, uspo��dan�: dvojice]
\inl[prostor: R2, R2]

Nejprve je t�eba zjistit, zda operace \uv{$+$}~a~\uv{$\cdot$} jsou skute�n�
definov�ny zp�sobem, jak po�aduje definice\cite[dlp], 
tj.~zda plat� $+: \R^2\times\R^2 \to \R^2$ a $\cdot: \R\times\R^2 \to \R^2$.
To jsme ale u� ov��ili d��ve, viz\cite(pluskratdomena).

D�le zjist�me platnost vlastnost� (1) a� (7) z~definice\cite[dlp].
Vlastnost (1) jsme podrobn� ov��ovali v~p��kladu\cite[dvojice].
Pokra�ujeme tedy vlastnost� (2). Pro ka�d� $a,b,c,d,e,f\in\R$ plat�:
$$\eqalign{
  \bigl( (a, b) + (c, d)\bigr) + (e, f) &=
  (a+c, b+d) + (e, f) = \bigl((a+c)+e, (b+d)+f\bigr) = \cr
  &=  \bigl(a+(c+e), b+(d+f)\bigr) = (a, b) + (c+e, d+f) =
  (a, b) + \bigl( (c,d) + (e,f) \bigr). \cr}
$$
P�i �prav�ch jsme nejprve dvakr�t pou�ili definici\cite(plusdvojice),
pak jsme v~jednotliv�ch slo�k�ch vyu�ili toho, �e pro s��t�n� re�ln�ch
��sel plat� asociativn� z�kon a kone�n� jsme zase dvakr�t pou�ili
definici\cite(plusdvojice). Nyn� dok�eme dal�� vlastnosti. Pro ka�d� 
$a,b,c,d,\alpha,\beta\in\R$ plat�:
$$\eqalign{
\bod (3) \alpha\cdot\bigl(\beta\cdot(a,b)\bigr) = 
      \alpha\cdot\bigl(\beta\,a,\beta\,b\bigr) =
      \bigl(\alpha\,(\beta\,a), \alpha\,(\beta\,b)\bigr) =
      \bigl((\alpha\,\beta)\,a, (\alpha\,\beta)\,b\bigr) =
      (\alpha\,\beta)\,(a,b), \cr
\bod (4) \alpha\cdot\bigl((a,b) + (c,d)\bigr) =
      \alpha\cdot (a+c, b+d) = 
      \bigl(\alpha\,(a+c), \alpha\,(b+d)\bigr) =
      (\alpha\,a+\alpha\,c, \alpha\,b+\alpha\,d) = \cr &\odsun=
      (\alpha\,a, \alpha\,b) + (\alpha\,c, \alpha\,d) =
      \alpha\,(a,b) + \alpha\,(c,d), \cr
\bod (5) (\alpha+\beta)\cdot(a,b) = 
     \bigl((\alpha+\beta)\,a, (\alpha+\beta)\, b\bigr) =
     (\alpha\,a + \beta\,a, \alpha\,b + \beta\,b) =
     (\alpha\,a, \alpha\,b) + (\beta\,a, \beta\,b) =\cr &\odsun=
     \alpha\,(a, b) + \beta\,(a, b), \cr
\bod (6) 1\cdot(a,b) = (1\,a, 1\,b) = (a, b), \cr
\bod (7) \hbox{dvojice $(0, 0)$ spl�uje: } (0, 0) = 0 \cdot (a, b),
     \hbox{proto�e } 0 \cdot (a, b) = (0\,a, 0\,b) = (0, 0).
\cr}
$$
Pou�ili jsme nejprve definice\cite(plusdvojice)
a\cite(kratdvojice), pak jsme vyu�ili vlastnosti re�ln�ch ��sel
v~jednotliv�ch slo�k�ch dvojice. Nakonec jsme znovu pou�ili
definice\cite(plusdvojice) a\cite(kratdvojice).   

Vid�me, �e nulov�m vektorem line�rn�ho prostoru $\R^2$ je dvojice
$(0,0)$. Podle konvence ze z�v�ru definice\cite[dlp] jsme opr�vn�ni uspo��dan�m
dvojic�m se s��t�n�m a n�soben�m podle definic\cite(plusdvojice) 
a\cite(kratdvojice) ��kat vektory.

\priklad
%%%%%%%%
Mno�ina $\R^2$ se s��t�n�m $\underline\oplus$ podle 
definice\cite(plusdvojicejinak) a n�soben�m $\odot$
podle\cite(kratdvojice) netvo�� line�rn� prostor. Nen� toti� spln�na
nap��klad vlastnost (1) z~definice\cite[dlp].

\okraj Prostor $\R^n$ | Prostor Rn

\priklad* [LPRn]
%%%%%%%%%%%%%%%
Znakem $\R^n$ ozna��me mno�inu v�ech uspo��dan�ch $n$-tic re�ln�ch
��sel, ($n$ je n�jak� p�irozen� ��slo, $n\geq1$). Jin�mi slovy:
$$\R^n=\{(a_1,a_2,\ldots,a_n); \,a_1\in\R,\,a_2\in\R,\ldots,\,a_n\in\R\}.$$
Definujme $+: \R^n\times\R^n \to \R^n$, $\cdot: \R\times\R^n \to
\R^n$ takto: pro ka�d� $(a_1,\ldots,a_n)\in\R^n$,
$(b_1,\ldots,b_n)\in\R^n$, $\alpha\in\R$ je
$$\eqalign{
(a_1,\ldots,a_n) + (b_1,\ldots,b_n) &\df= (a_1+b_1,\ldots,a_n+b_n),\cr
\alpha\cdot (a_1,\ldots,a_n) &\df= (\alpha\,a_1,\ldots,\alpha\,a_n).\cr}
$$
Mno�ina $\R^n$ s~takto definovan�mi operacemi tvo�� line�rn� prostor.
\inl[prostor: R9n, R9n]

D�kaz bychom provedli analogicky jako v~p��kladu\cite[LPdvojice],
ale pro �sporu m�sta to ji� nebudeme opakovat. Vid�me tedy, �e
uspo��dan� $n$-tice s~takto definovan�m s��t�n�m a n�soben�m skal�rem
m��eme naz�vat vektory. Speci�ln� v p��pad� uspo��dan�ch $n$-tic
mluv�me o {\em aritmetick�ch vektorech}. ��slo $a_i$ 
naz�v�me {\em $i$-tou slo�kou vektoru\/} $\vec a=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$.
\inl[vektor: aritmetick�, aritmetick�: vektor, slo�ka: vektoru]

\priklad [LPR]
%%%%%%%%
Mno�ina $\R$ s~obvykl�m s��t�n�m re�ln�ch ��sel a n�soben�m re�ln�ho
��sla re�ln�m ��slem tvo�� line�rn� prostor. To je z�ejm�. S��t�n� a
n�soben� re�ln�ch ��sel toti� spl�uje vlastnosti (1) a� (7)
z~definice\cite[dlp]. Tento poznatek si jist� p�in��te ze st�edn� �koly.
V~tomto textu jsme jej u� pou�ili, kdy� jsme ov��ovali, �e $\R^2$ nebo $\R^n$ 
je line�rn� prostor.
\inl[prostor: R, R]

Nulov�m prvkem line�rn�ho prostoru $\R$ je ��slo~$0$. V~kontextu
s��t�n� a n�soben� m��eme tedy ��kat re�ln�m ��sl�m vektory, ale obvykle to
ned�l�me.

\okraj Prostor orientovan�ch �se�ek | Prostor orientovanych usecek

\priklad [lpvv]
%%%%%%%%%%%%%%%
Zvolme jeden bod v~prostoru, kter� n�s obklopuje, a ozna�me jej
p�smenem $O$. Ud�l�me to t�eba tak, �e nakresl�me na pap�r k���ek a
prohl�s�me jej za bod $O$. Uva�ujme v�echny
orientovan� �se�ky, kter� za��naj� v~bod� $O$ a kon�� v~n�jak�m jin�m
bod� v~prostoru. P�idejme k~tomu \uv{degenerovanou} �se�ku, kter� za��n� i kon��
v~bod� $O$ a ozna�me mno�inu v�ech t�chto �se�ek znakem~$U_O$.
\inl[prostor: UO, prostor: orientovan�ch �se�ek]

Definujme nyn� s��t�n� $+: U_O \times U_O \to U_O$ ryze konstruktivn�
takto: �se�ky $\vec u\in U_O$, $\vec v\in U_O$ dopln�me na rovnob�n�k.
�hlop���ku, kter� za��n� v~bod� $O$ a kon�� v~prot�j��m bod�
rovnob�n�ka, prohl�s�me za sou�et �se�ek $\vec u$ a $\vec v$, tedy
$\vec u + \vec v$. D�le definujme n�soben� skal�rem $\cdot: \R\times
U_O \to U_O$ takto: �se�kou $\vec u$ prolo��me p��mku, na kterou
nekresl�me ��selnou osu s nulou v bod� $O$ a jedni�kou v~koncov�m bod�
�se�ky $\vec u$. Na ose najdeme bod (��slo) $\alpha$. �se�ka, kter� kon�� 
v tomto bod� je vektor $\alpha\cdot\vec u$. Je-li $\vec u$ degenerovan�
�se�ka kon��c� v~bod�~$O$, pak $\alpha\cdot\vec u$ definujeme jako stejnou
degenerovanou �se�ku kon��c� v~bod�~$O$.

Mno�ina $U_O$ s~takto konstruktivn� definovan�m s��t�n�m a n�soben�m
re�ln�m ��slem tvo�� line�rn� prostor. Je z�ejm�, �e sou�et
orientovan�ch �se�ek je orientovan� �se�ka a $\alpha$ n�sobek
orientovan� �se�ky je orientovan� �se�ka. Je�t� ov���me
vlastnosti (1) a� (7) z~definice\cite[dlp].  (1)~$\vec
u+\vec v = \vec v+\vec u$, proto�e v~obou p��padech dopl�ujeme na
stejn� rovnob�n�k.  (2)~$(\vec u+\vec v) + \vec w = \vec u + (\vec v +
\vec w)$, proto�e postupn� dopln�n� �hlop���ky rovnob�n�ku $\vec u,
\vec v$ a �se�ky $\vec w$ na rovnob�n�k vede ke stejn�mu v�sledku,
jako kdy� nejprve sestav�me �hlop���ku rovnob�n�ku $\vec v, \vec w$ a
tu dopln�me na rovnob�n�k s~�se�kou $\vec u$ (ud�lejte si n��trek).
V�sledn� sou�et je t�lesov� �hlop���ka rovnob�nost�nu, kter� je
vymezen �se�kami $\vec u$, $\vec v$ a $\vec w$.
(3)~$\alpha\cdot(\beta \vec u) = (\alpha\,\beta)\cdot \vec u$, proto�e
na lev� stran� rovnosti se pracuje s m���tkem, kter� je $\beta$kr�t
v�t�� ne� p�vodn� m���tko. Na p�vodn�m m���tku se hled� bod
$\alpha\beta$ a na $\beta$kr�t v�t��m m���tku se hled� bod $\alpha$. 
(4)~$\alpha\cdot(\vec u+\vec v) = \alpha\cdot\vec u + \alpha\cdot\vec v$, 
proto�e p��slu�n� rovnob�n�ky pro s��t�n� jsou podobn� a druh� je
$\alpha$~kr�t v�t�� ne� prvn�. Proto t� jeho �hlop���ka bude
$\alpha$~kr�t v�t��. 
(5)~$(\alpha+\beta)\cdot\vec u = \alpha\cdot\vec u + \beta\cdot\vec u$,
proto�e se�ten� vektor� $\alpha\cdot\vec u + \beta\cdot\vec u$ prob�h�
v~\uv{degenerovan�m} rovnob�n�ku, kter� se cel� vejde do p��mky. Na
n� se s��taj� �se�ky o velikostech $\alpha$ a $\beta$, tak�e
dost�v�me na m���tku bod $\alpha+\beta$. 
(6)~$1\cdot\vec u = \vec u$, proto�e jedni�ka na m���tku le�� 
v~koncov�m bod� vektoru~$\vec u$.
(7)~$0\cdot\vec u$ je v�dy �se�ka ko��c� v~bod�~$O$, proto�e tam je
nula pomysln�ho m���tka. Degenerovan� �se�ka za��naj�c� i kon��c� 
v~bod�~$O$ je tedy nulov�m prvkem na�eho line�rn�ho prostoru.

Vid�me, �e orientovan� �se�ky s~v��e definovan�m geometrick�m s��t�n�m
a n�soben�m skal�rem m��eme v~souladu s~definic�\cite[dlp] naz�vat
vektory. Zat�mco v p��kladu\cite[LPRn] jsme definovali s��t�n� vektor�
a n�soben� konstantou numericky (v jednotliv�ch slo�k�ch s��t�me
re�ln� ��sla), v p��pad� line�rn�ho prostoru $U_O$ jsou tyto operace
definov�ny zcela jinak: geometricky.


%V\kcite\ktere[analgeom] kapitole 
%jim budeme ��kat v�zan� vektory (v�zan� bodem~$O$).

\okraj Prostor\hb funkc� | Prostor funkci

\priklad [LPfunkci]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Uva�ujme mno�inu $F_D$ v�ech re�ln�ch funkc� re�ln� prom�nn�
definovan�ch na n�jak� mno�in� $D\subseteq\R$, 
tj.~$F_D = \{f;\, f: D\to \R\}$. Pro libovoln� funkce 
$f\in F_D$, $g\in F_D$ a pro libovoln� re�ln� ��slo $\alpha$ definujme
sou�et $f+g$ a n�sobek skal�rem $\alpha\cdot f$ takto:
$$\let\eqno=\relax\eqalignno{
      (f+ g) (x) &\df= f(x) + g(x) \qquad \forall x\in D & \rce(plusf) \cr
  (\alpha\cdot f) (x) &\df= \alpha\, f(x) \qquad \forall x\in D&\rce(kratf)\cr}
$$
(srovnejte s~definic� $\oplus$ a $\odot$ v~p��kladu\cite[polynomy]). 
Uk�eme, �e mno�ina $F_D$ s~takto definovan�m s��t�n�m a n�soben�m
skal�rem tvo�� line�rn� prostor.
\inl[prostor: funkc�]

Pot�ebujeme ov��it, zda sou�et funkc� z~mno�iny $F_D$ je op�t funkce
z~mno�iny $F_D$ a skal�rn� n�sobek je tak� funkce z~$F_D$. To ale plat�,
proto�e s��t�n�m funkc� ani n�soben�m funkce konstantou podle na��
definice se nem�n� defini�n� obor a v�sledkem operac� je znovu re�ln�
funkce re�ln� prom�nn�. 

D�le pot�ebujeme ov��it vlastnosti (1) a� (7) z~definice\cite[dlp].
Pro libovoln� $\relpenalty=10000 f\in F_D, g\in  F_D, h\in F_D,\penalty0 \alpha\in\R, \beta\in\R$ a
pro v�echna $x\in D$ plat�:
$$\eqalignno{
\bod (1)    (f+g) (x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g+f) (x), \cr
\bod (2)    \bigl((f+g) + h\bigr) (x) = (f+g)(x) + h(x) = 
            \bigl( f(x) + g(x)\bigr) + h(x) = 
            f(x) + \bigl( g(x) + h(x) \bigr) = \cr &\odsun =  
            f(x) + (g+h)(x) = \bigl(f + (g+h)\bigr) (x), \cr
\bod (3)   \bigl(\alpha\cdot(\beta\cdot f)\bigr)(x) =
           \alpha\,\bigl((\beta\cdot f)(x)\bigr) =
           \alpha\,\bigl(\beta\,f(x)\bigr) =
           (\alpha\,\beta) f(x) = \bigl((\alpha\,\beta)\cdot f) (x), \cr
\bod (4)   \bigl(\alpha\cdot(f+g)\bigr)(x) = 
           \alpha\,\bigl((f+g)(x)\bigr) =
           \alpha\,(f(x) + g(x)) =
           \alpha\,f(x) + \alpha\,g(x) = \cr &\odsun =
           (\alpha\cdot f)(x) + (\alpha\cdot g)(x) =
           (\alpha\cdot f + \alpha\cdot g) (x), \cr
\bod (5)   \bigl((\alpha+\beta)\cdot f\bigr)(x) = 
           (\alpha+\beta)\,f(x) = \alpha\,f(x) + \beta\,f(x) =
           (\alpha\cdot f)(x) + (\beta\cdot f)(x) =
           (\alpha\cdot f + \beta\cdot f) (x), \cr
\bod (6)   (1\cdot f)(x) = 1\cdot f(x) = f(x), \cr
\bod (7)   (0\cdot f)(x) = 0\cdot f(x) = o(x), \hbox{ kde funkce $o$ m� pro
           v�echna $x\in D$ hodnotu 0.} \cr
}
$$
A�koli tyto vzorce vypadaj� na prvn� pohled jen jako \uv{hran� se
z�vorkami}, mus�me si uv�domit, �e rovnost funkc� zde dokazujeme na
z�klad� rovnosti jejich hodnot v~ka�d�m bod� $x\in D$ a �e p�i d�kazu
pou��v�me nejprve rozeps�n� operac� podle vzorc�\cite(plusf)
a\cite(kratf). T�m probl�m p�ev�d�me na s��t�n� a n�soben� re�ln�ch
��sel, kde jsou vlastnosti (1) a� (7) zaru�eny. Jako cvi�en� si zkuste
p�epsat tyto vzorce tak, �e odli��te operace s��t�n� funkc� a n�soben�
funkce skal�rem od b�n�ch operac� \uv{$+$} a \uv{$\cdot$} pro
re�ln� ��sla. Pou�ijte nap��klad symbol� $\oplus$ a $\odot$, jako
v~p��kladu\cite[polynomy]. 

Vid�me, �e mno�ina $F_D$ s~definic� s��t�n� a n�soben� skal�rem 
podle vzorc�\cite(plusf) a\cite(kratf) je line�rn�m prostorem. Funkce z~$F_D$
jsme tedy podle definice\cite[dlp] opr�vn�ni naz�vat vektory. Nulov�m
vektorem je v~tomto p��pad� funkce, kter� m� pro v�echna~$x\in D$
nulovou hodnotu.

\okraj Prostor\hb polynom� | Prostor polynomu

\priklad [LPpolynomu]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Uk�eme, �e mno�ina $P$ v�ech polynom� s~definicemi s��t�n� a n�soben�
skal�rem podle p��kladu\cite[polynomy] tvo�� line�rn� prostor. 
\inl[prostor: polynom�, polynom]

P�edev��m sou�et dvou polynom� je polynom a skal�rn� n�sobek polynomu
je polynom, tak�e plat�, �e $+: P\times P \to P$ a $\cdot: \R\times P
\to P$. To je ale v�e, co pot�ebujeme dok�zat. Ov��ov�n�m vlastnost�
(1) a� (7) se nemus�me zdr�ovat, proto�e jsme definice s��t�n� a
n�soben� polynom� p�evzali z~prostoru funkc� $F_D$, o~n�m� jsme
dok�zali v~p��kladu\cite[LPfunkci], �e se jedn� o~line�rn� prostor
(vol�me $D=\R$). P�i ov��ov�n� vlastnost�~(1) a� (7) bychom 
d�lali vlastn� to sam� jako v~p��kladu\cite[LPfunkci], 
jen na podmno�in� $P\subseteq F_D$.

\priklad [NeLPpolynomu]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Nech� $n\in \N,\, n\geq0$ (symbolem $\N$ zna��me mno�inu p�irozen�ch ��sel).
Mno�ina $P_n$ v�ech polynom� pr�v� $n$-t�ho stupn� s~definicemi
s��t�n� a n�soben� skal�rem podle p��kladu\cite[polynomy] {\it netvo��}
line�rn� prostor. P�ipomeneme, �e {\em stupe� polynomu} se definuje
jako nejv�t�� $k\in\N$ takov�, �e $a_k$
je ve vzorci\cite(polynom) nenulov�. Jsou-li v�echna $a_k$ nulov�,
definujeme stupe� takov�ho polynomu jako $-1$.
\inl[stupe�: polynomu]

Pro� nen� mno�ina $P_n$ line�rn�m prostorem? Se�teme-li toti� dva
polynomy $n$-t�ho stupn�, nap��klad $x^n + 2$ a $-x^n - 2$, dost�v�me
nulov� polynom, co� je polynom stupn� $-1$. Tento
protip��klad ukazuje, �e neplat� vlastnost $+:P_n\times P_n \to P_n$.
Dokonce neplat� ani $\cdot:\R\times P_n \to P_n$ (zkuste n�sobit
polynom $n$-t�ho stupn� nulou).

\okraj Line�rn� podprostor | Linearni podprostor

\pozn [vllpp]
%%%%%
P��klady\cite[LPpolynomu] a \cite[NeLPpolynomu] ukazuj�, �e m��eme
vymezit podmno�inu $M\subseteq L$ line�rn�ho prostoru $L$ a p�evz�t
pro ni operace s��t�n� a n�soben� konstantou z~$L$. 
Za jist�ch okolnost� mno�ina $M$ s~p�evzat�mi operacemi
m��e b�t line�rn�m prostorem, ale nemus� b�t v�dy. 
Z~p��kladu\cite[LPpolynomu] nav�c vid�me, �e sta�� ov��it vlastnosti
$+: M\times M\to M$ a $\cdot: \R\times M\to M$, abychom mohli
prohl�sit, �e $M$ je line�rn� prostor. Vlastnosti (1) a� (7) nen�
t�eba znovu ov��ovat, proto�e operace nem�n�me. 
Podmo�inu line�rn�ho prostoru, kter� je sama
line�rn�m prostorem p�i pou�it� stejn�ch operac�, naz�v�me line�rn�m
podprostorem. P�esn�ji viz n�sleduj�c� definici.

\definice [dlpp]
%%%%%%%%%%%%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor s~operacemi \uv{$+$} a \uv{$\cdot$}.
Nepr�zdnou mno�inu $M\subseteq L$ naz�v�me 
{\em line�rn�m podprostorem prostoru $L$}, 
pokud pro v�echna $\vec x\in M, \vec y\in M$ a $\alpha\in\R$ plat�:
$$\eqalign{
\bod (1)  \vec x + \vec y \in M, \cr
\bod (2)  \alpha\cdot\vec x \in M. \cr }
$$
\par\inl[podprostor: line�rn�, line�rn�: podprostor]

\priklad
%%%%%%%%
Mno�ina v�ech polynom� $P$ z~p��kladu\cite[LPpolynomu] je line�rn�m 
podprostorem mno�iny v�ech funkc� $F_D$ z~p��kladu\cite[LPfunkci], kde
vol�me $D=\R$. Mno�ina $P_n$ v�ech polynom� pr�v� $n$-t�ho stupn�
z~p��kladu\cite[NeLPpolynomu] nen� line�rn�m podprostorem line�rn�ho
prostoru $F_D$ ani line�rn�ho prostoru $P$.
\inl[prostor: polynom�, polynom, podprostor: prostoru funkc�]

\priklad [lpPnn]
%%%%%%%%
Mno�ina $P_{\leq n}$ v�ech polynom� nejv��e $n$-t�ho
stupn� je line�rn�m podprostorem line�rn�ho prostoru v�ech polynom�
$P$ i line�rn�ho prostoru v�ech re�ln�ch funkc� $F_D$. Je to d�no t�m, �e
(1)~sou�tem polynom� nejv��e $n$-t�ho stupn� dost�v�me polynom
nejv��e $n$-t�ho stupn� a (2)~vyn�soben�m polynomu nejv��e $n$-t�ho stupn�
re�ln�m ��slem dostaneme zase polynom nejv��e $n$-t�ho stupn�.
\inl[podprostor: polynom�, polynom]

\priklad [LPPRn]
%%%%%%%%%%%%%%%%
Uva�ujme $M\subseteq\R^n$, $M=\{(a,a,\ldots,a);\,\,
a\in\R\}$. P�edpokl�d�me tedy, �e mno�ina $M$ 
obsahuje takov� $n$-tice, ve kter�ch se v�echny
slo�ky vz�jemn� rovnaj�. Uk�eme, �e $M$ je line�rn� podprostor
line�rn�ho prostoru $\R^n$.

Sta�� pro mno�inu $M$ dok�zat vlastnosti (1) a (2) 
z~definice\cite[dlpp]. Plat� (1)~sou�et dvou uspo��dan�ch $n$-tic, ve
kter�ch se slo�ky rovnaj�, je uspo��dan� $n$-tice, ve kter�ch se
slo�ky rovnaj�. (2)~vyn�soben�m uspo��dan� $n$-tice, ve kter� se
slo�ky rovnaj�, re�ln�m ��slem, dost�v�me zase uspo��danou $n$-tici, ve
kter� se slo�ky rovnaj�.
\inl[podprostor: R9n, R9n]

\priklad [LPPR3]
%%%%%%%%%%%%%%%%
Uva�ujme mno�iny $M\subseteq \R^3$, $N\subseteq \R^3$ a $S\subseteq
\R^3$, kter� jsou definov�ny takto:
$$\eqalign{
  M &= \{(x,y,z);\, x + 2y = 0, \, z \hbox{ libovoln�}\,\}, \cr
  N &= \{(x,y,z);\, 2x + y - z = 0\}, \cr
  S &= \{(x,y,z);\, 2x + y - z = 3\}. \cr }
$$
Uk�eme, �e $M$ a $N$ jsou line�rn�mi podprostory line�rn�ho prostoru
$\R^3$, zat�mco $S$ nen� line�rn�m podprostorem line�rn�ho prostoru~$\R^3$.
\inl[podprostor: R9n]

Ov���me vlastnost (1) z~definice\cite[dlpp]: Nech�
$(x_1,y_1,z_1)\in M$ a $(x_2,y_2,z_2)\in M$. Pak plat� 
$x_1 + 2y_1 = 0$ a $x_2 + 2y_2 = 0$. Pro sou�et 
$(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$ plat� $x_1 + 2y_1 + x_2 + 2y_2 = 0$
(se�etli jsme p�edchoz� rovnice), tj. $(x_1 + x_2) + 2(y_1 + y_2) =
0$, tak�e i sou�et le�� v~mno�in� $M$. Nyn� vlastnost (2):
Jestli�e $(x,y,z)\in M$, $\alpha\in\R$, pak plat�  $x + 2y =
0$. Vyn�soben�m rovnice ��slem $\alpha$ dost�v�me, �e t�
$\alpha\,x + 2\alpha\,y = 0$, co� ale znamen�, �e i trojice
$\alpha\cdot(x,y,z)$ le�� v~mno�in� $M$. Ov��en�, �e mno�ina 
$N$ je line�rn�m podprostorem, lze prov�st podobn�.

Mno�ina $S$ nen� line�rn�m podprostorem, proto�e nap��klad 
$0\cdot(x,y,z) = (0,0,0)$, co� je ale prvek, kter� nele�� v~$S$.
Neplat� toti� $2\cdot0 + 0 - 0 = 3$.

\okraj Pr�nik\hb prostor� | Prunik prostoru

\veta* [pruniklpp]
%%%%%%%%%%%%%%%%%
Nech� $M\subseteq L$ a $N\subseteq L$ jsou line�rn� podprostory 
line�rn�ho prostoru $L$. Pak plat�:
$$\eqalign{
\bod (1) M\cap N \hbox{ je line�rn� podprostor line�rn�ho prostoru $L$}.\cr
\bod (2)  M\cup N 
     \hbox{ nemus� b�t line�rn� podprostor line�rn�ho prostoru $L$}.\cr}
$$
\par\inl[pr�nik: prostor�, sjednocen�: prostor�]

\dukaz
(1) Z~p�edpoklad� v�ty a definice\cite[dlpp] v�me, �e pro 
$\vec x\in M$, $\vec y\in M$, $\alpha\in\R$ je $\vec x + \vec y \in M$
a $\alpha\cdot\vec x \in M$. Tot� plat� pro mno�inu $N$. Pokud nyn� 
$\vec x\in M\cap N$, $\vec y\in M\cap N$, pak $\vec x$ i $\vec y$ le��
sou�asn� v~$M$ i $N$, tak�e plat�, �e 
$\vec x + \vec y \in M$, $\alpha\cdot\vec x \in M$ a sou�asn�
$\vec x + \vec y \in N$, $\alpha\cdot\vec x \in N$. 
Prvky $\vec x + \vec y$ a $\alpha\cdot\vec x$ le�� v~obou mno�in�ch
$M$ a $N$ sou�asn� a to nen� jinak mo�n�, ne� �e le�� v~pr�niku t�chto
mno�in. 

(2) Abychom uk�zali, �e sjednocen� $M\cup N$ nemus� b�t line�rn�m
podprostorem, sta�� naj�t vhodn� p��klad. Nech�
$M=\{(a,0);\,a\in\R\}$, $N=\{(0,b);\,b\in\R\}$. Je z�ejm�, �e
$M$ a $N$ jsou line�rn�mi podprostory line�rn�ho prostoru $\R^2$.
Sjednocen�m t�chto mno�in je mno�ina uspo��dan�ch dvojic, pro kter� je
prvn� nebo druh� slo�ka nulov�. Vezmeme nyn� $(1,0)\in M\cup N$ a 
$(0,1)\in M\cup N$.
Sou�et $(1,0)+(0,1)=(1,1)$ je uspo��dan� dvojice, kter� nele�� ve
sjednocen� $M\cup N$.

\priklad
%%%%%%%%
Uva�ujme podprostory $M$ a $N$ z~p��kladu\cite[LPPR3]. Podle 
v�ty\cite[pruniklpp] je tak� $M\cap N$ line�rn�m podprostorem
line�rn�ho prostoru $\R^3$. 


\priklad
%%%%%%%%
Nech� $U_O$ je line�rn� prostor orientovan�ch �se�ek zaveden� v
p��kladu\cite[lpvv] a d�le nech� 
$M\subset U_O$ jsou jen takov� �se�ky, kter� le�� ve stejn�
rovin�, jako le�� n� pap�r, na kter� jsme v~p��kladu\cite[lpvv]
nakreslili k���ek. Vid�me, �e $M\not=U_O$, proto�e nap��klad �se�ka
nenulov� velikosti kolm� na n� pap�r nele�� v~$M$. Uk�eme, �e
mno�ina~$M$ je line�rn� podprostor line�rn�ho prostoru~$U_O$. 
Skute�n�, sou�et libovoln�ch dvou �se�ek le�� ve stejn� rovin�
(proto�e tam le�� cel� rovnob�n�k) a n�sobek �se�ky le�� dokonce na
stejn� p��mce, jako p�vodn� �se�ka, tak�e nutn� z�st�v� ve stejn�
rovin�.
\inl[prostor: UO, prostor: orientovan�ch �se�ek]

Ka�d� rovina, kter� proch�z� bodem $O$,
obsahuje podmno�inu �se�ek z~$U_O$, kter� tvo�� line�rn� podprostor line�rn�ho
prostoru $U_O$.

Uva�ujme nyn� dv� roviny, kter� maj� spole�n� bod $O$, ale nejsou
toto�n�. Jejich pr�nik je n�jak� p��mka, proch�zej�c� bodem $O$.
V�echny orientovan� �se�ky z~$U_O$, kter� le�� v~t�to p��mce, tvo��
podle v�ty\cite[pruniklpp] rovn� line�rn� podprostor line�rn�ho
prostoru $U_O$.

\okraj Prostor posloupnost� | Prostor posloupnosti

\priklad [LPposloupnosti]
%%%%%%%%
Nekone�n� posloupnosti re�ln�ch ��sel lze s��tat tak, �e s��t�me
odpov�daj�c� prvky jednotliv�ch posloupnost�. A m��eme je n�sobit konstantou tak,
�e v�echny prvky posloupnosti jsou vyn�sobeny touto konstantou. Tedy:
$$
  \eqalign{
  (a_1,a_2,a_3,a_4,\ldots) + (b_1,b_2,b_3,b_4,\ldots) &=
  (a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3,a_4+b_4,\ldots), \cr
  \alpha\cdot (a_1,a_2,a_3,a_4,\ldots) &= 
  (\alpha a_1,\alpha a_2,\alpha a_3,\alpha a_4,\ldots).
}
$$
Mno�ina nekone�n�ch posloupnost� $S$ s takto zaveden�mi operacemi s��t�n�
a n�soben� konstantou tvo�� line�rn� prostor. Argumentuje se stejn�, jako
v p��kladu\cite[LPRn].
\inl[line�rn�: prostor: posloupnost�]

Podmno�ina $C\subseteq S$ nekone�n�ch posloupnost�, kter� jsou konvergentn�, tvo��
line�rn� podprostor line�rn�ho prostoru $S$, nebo� sou�et 
konvergentn�ch posloupnost� je konvergentn� posloupnost a 
n�sobek konvergentn� posloupnosti je konvergentn� posloupnost. 

Podmno�ina $N\subseteq S$ nekone�n�ch posloupnost�, kter� maj� limitu nula, tvo��
line�rn� podprostor lien�rn�ho prostoru $S$, nebo� sou�et 
posloupnost� maj�c�ch limitu nula je
posloupnost maj�c� limitu nula a n�sobek posloupnosti s limitou nula
je posloupnost s limitou nula. Dokonce $N$ je line�rn�m podprostorem line�rn�ho
prostoru $C$.

Nekone�n� posloupnosti, kter� maj� jen kone�n� mnoho nenulov�ch prvk�, se naz�vaj�
{\em posloupnosti s~kone�n�m nosi�em}. 
Podmno�ina $K\subseteq S$ posloupnost� s kone�n�m nosi�em
tvo�� line�rn� podprostor, nebo� sou�et posloupnost�
s kone�n�m nosi�em je posloupnost s kone�n�m nosi�em a 
n�sobek posloupnosti s kone�n�m nosi�em je posloupnost s kone�n�m
nosi�em. Dokonce $K$ je line�rn�m podprostorem line�rn�ho prostoru~$N$. 

Stru�n�: $K$ je podprostorem $N$ je podprostorem $C$ je podprostorem $S$.


\okraj Trivi�ln� prostor | Trivialni prostor

\pozn [trivprostor]
%%%%%
Zamysleme se, jak m��e vypadat line�rn� prostor s~nejmen��m po�tem
prvk�. Podle definice\cite[dlp] je line�rn� prostor v�dy nepr�zdn�
mno�ina, tak�e mus� obsahovat aspo� jeden prvek. Ukazuje se,
�e jednobodov� mno�ina $L=\{\vec o\}$ je skute�n� nejmen�� mo�n�
line�rn� prostor.  P�itom $\vec o$ je nulov� prvek z~vlastnosti
(7). S��t�n� je definov�no p�edpisem $\vec o + \vec o = \vec o$ a
n�soben� skal�rem $\alpha$ p�edpisem $\alpha\cdot\vec o = \vec o$.
Takov� line�rn� prostor naz�v�me {\em trivi�ln�}.
\inl[prostor: trivi�ln�, trivi�ln�: prostor]

\pozn [dvoubodovy]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Uk�eme, �e kone�n� mno�ina obsahuj�c� aspo� dva prvky nem��e 
b�t line�rn�m prostorem. Znamen� to, �e se n�m pro takovou
mno�inu $L$ nepovede naj�t operace $+:L\times L\to L$ a 
$\cdot:\R\times L\to L$ takov�, aby sou�asn�
spl�ovaly vlastnosti (1) a� (7) z~definice\cite[dlp]. 

Jeden z~prvk� mno�iny $L$
mus� b�t nulov� prvek (ozna�me jej~$\vec o$) a jin� prvek ozna�me
t�eba $\vec x$. Dal�� prvky ozna�ovat nemus�me.
Uva�ujme mno�inu $K=\{\alpha\cdot\vec x;\, \alpha\in\R\}$.
Proto�e $K\subseteq L$, je i $K$ kone�n� mno�ina.
Proto�e re�ln�ch ��sel je nekone�n� mnoho, a p�itom $K$ je kone�n�, musej� 
existovat dv� r�zn� re�ln� ��sla
$\beta\ne\gamma$ takov�, �e $\beta\cdot\vec x = \gamma\cdot\vec x$.
Z~definice line�rn�ho prostoru\cite[dlp] dost�v�me:

$$
  \vec o = 0\cdot\vec x = (\beta-\beta)\cdot \vec x =
  \beta\cdot\vec x  + (-\beta)\cdot\vec x =
  \gamma\cdot\vec x + (-\beta)\cdot\vec x =
  (\gamma-\beta)\cdot\vec x.
$$
Nyn� m�me spln�ny p�edpoklady vlastnosti (3) v�ty\cite[nulprvek]
(vol�me $\alpha=\gamma-\beta$). Dost�v�me tedy $\vec x=\vec o$.
To je ale spor s p�edpokladem, �e jsme vybrali prvek $\vec x$ jin� ne�
nulov�. Kone�n� mno�ina obsahuj�c� aspo� dva prvky tedy nem��e
b�t line�rn�m prostorem.

Existuje tedy jednobodov� line�rn� prostor a pak dlouho nic
\dots~a v�echny ostatn� line�rn� prostory musej� m�t nekone�n�
mno�stv� prvk�.

\priklad [ObskurniLP]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Uk�eme si jeden p��klad pon�kud exotick�ho
line�rn�ho prostoru. Jedn� se o~mno�inu kladn�ch re�ln�ch ��sel $\R^+$,
na kter� je definov�no \uv{s��t�n�} $\oplus: \R^+ \times \R^+ \to \R^+$  
a \uv{n�soben�} re�ln�m ��slem $\odot: \R\times \R^+ \to \R^+$ takto:
pro $x\in\R^+$, $y\in\R^+$, $\alpha\in\R$ je
$$ x \oplus y \df= x\cdot y, \quad \alpha\odot x \df= x^\alpha, $$
kde znakem \uv{$\cdot$} je m�n�no b�n� n�soben� re�ln�ch ��sel a 
$x^\alpha$ je re�ln� mocnina o~kladn�m z�kladu.

V~tomto p��klad� jsme se pokorn� vr�tili ke krou�kov�n� nov�ch operac�
s��t�n� a n�soben� skal�rem, proto�e bychom je velmi t�ko odli�ovali
od b�n�ho s��t�n� a n�soben� re�ln�ch ��sel. Nov� s��t�n� vlastn�
definujeme jako b�n� n�soben� a nov� n�soben� jako b�nou mocninu.

Aby $\R^+$ s~operacemi $\oplus$ a $\odot$ byl line�rn�m protorem, mus�
spl�ovat vlastnosti (1) a� (7) z~definice\cite[dlp]. Pro 
$x\in\R^+$, $y\in\R^+$, $z\in\R^+$, $\alpha\in\R$, $\beta\in\R$ je
$$\eqalign{
\bod (1)   x\oplus y = x\cdot y = y\cdot x = y\oplus x, \cr
\bod (2)   (x\oplus y) \oplus z = (x \cdot y)\cdot z =
           x \cdot (y \cdot z) = x \oplus (y \oplus z), \cr
\bod (3)   \alpha\odot(\beta\odot x) = (\beta\odot x)^\alpha =
           (x^\beta)^\alpha = x^{\alpha\cdot\beta} = 
           (\alpha\,\beta)\odot x, \cr
\bod (4)   \alpha\odot(x\oplus y) = (x\oplus y)^\alpha =
           (x\cdot y)^\alpha = x^\alpha \cdot y^\alpha =
           (\alpha\odot x) \cdot (\alpha\odot y) =
           (\alpha\odot x) \oplus (\alpha\odot y), \cr
\bod (5)   (\alpha+\beta)\odot x = x^{\alpha+\beta} = 
           x^\alpha \cdot x^\beta = 
           (\alpha \odot x) \cdot (\beta\odot x) =
           (\alpha \odot x) \oplus (\beta\odot x), \cr
\bod (6)   1\odot x = x^1 = x, \cr
\bod (7)   0\odot x = x^0 = 1 \in \R^+. \cr }
$$
Z~posledn� vlastnosti vypl�v�, �e nulov� prvek tohoto line�rn�ho
prostoru je ��slo 1. To je p�ekvapen�.

\okraj Line�rn� prostor\hb nad~{\C} | Linearni prostor nad C

\poznamka [dlpnadC]
%%%%%%%%%
V definici\cite[dlp] jsme za skal�ry pova�ovali re�ln� ��sla.
Nyn� zkus�me nahradit v t�to definici v�echny v�skyty mno�iny 
$\R$ mno�inou komplexn�ch ��sel $\C$. Dost�v�me pozm�n�nou definici:

{\em Line�rn�m prostorem} naz�v�me ka�dou nepr�zdnou mno�inu $L$, 
na kter� je definov�no s��t�n�  $+: L\times\nobreak L \to L$ a n�soben�
komplexn�m ��slem $\cdot: \C\times L \to L$ a tyto operace spl�uj� pro ka�d� 
$\vec x\in L$, $\vec y\in L$, $\vec z\in L$, $\alpha\in\C$, $\beta\in\C$
axiomy linearity~(1) a�~(7) (viz definici\cite[dlp]).
Prvky line�rn�ho prostoru naz�v�me {\em vektory}. Komplexn�mu ��slu
v~kontextu n�soben� $\cdot: \C\times L \to L$ ��k�me {\em skal�r}.
Prvku $\vec o\in L$ z~vlastnosti (7) ��k�me {\em nulov� prvek} nebo 
{\em nulov� vektor}. 
\inl[prostor: line�rn�: nad C, line�rn�: prostor: nad C]

Takto definovan�mu line�rn�mu prostoru ��k�me {\em line�rn� prostor
nad komplexn�mi ��sly}. Na druh� stran� p�vodn�
definice\cite[dlp] vymezila {\em line�rn� prostor nad re�ln�mi ��sly}.

\poznamka
%%%%%%%%%
Kdy� si pe�liv� �ten�� projde cel� text t�to kapitoly znovu a nahrad�
v�echny zm�nky o re�ln�ch ��slech zm�nkami o komplexn�ch ��slech
(s~v�jimkou p��kladu\cite[lpvv]), 
v�echna tvrzen� budou platit i v takov�m p��pad�. V na�em textu si ale v�t�inou 
vysta��me s line�rn�mi prostory nad re�ln�mi ��sly. Nebude-li zde 
v�slov� �e�eno, o jak� line�rn� prostor se jedn�, m�me na mysli
line�rn� prostor nad re�ln�mi ��sly. P�itom vesm�s v�echny �vahy plat� i pro
line�rn� prostory nad komplexn�mi ��sly, pokud ve�ker� zm�nky o
re�ln�ch ��slech nahrad�me v textu zm�nkami o ��slech komplexn�ch.
 
\poznamka
%%%%%%%%%
V kapitole\kcite\ktere[grupy] se setk�me s dal��m zobecn�n�m line�rn�ho prostoru.
Line�rn� prostor nad re�ln�mi nebo nad komplexn�mi ��sly nahrad�me 
line�rn�m prostorem nad obecn�m {\em t�lesem}. Vesm�s v�echny
vlastnosti, kter� dok�eme pro line�rn� prostory nad~$\R$, z�stanou 
v~platnosti i pro line�rn� prostory nad obecn�m t�lesem.
\inl[t�leso]

\shrnuti
%%%%%%%%
%Na konci ka�d� kapitoly zopakujeme hlavn� sd�len� dan� kapitoly. 
%Nejpodstatn�j�� my�lenky jsou v takov�m shrnut� tedy �e�eny znovu, 
%�asto jen stru�n�m a lapid�rn�m jazykem s odkazy na p�edchoz� p�esn� 
%definice a v�ty.
%
V line�rn� algeb�e se pracuje s line�rn�mi prostory\lcite[dlp], co�
jsou mno�iny abstraktn�ch \uv{vektor�}, o nich� pouze v�me, �e je lze
s��tat a n�sobit konstantou, p�i�em� tyto operace spl�uj� axiomy
linearity vyjmenovan� v~definici\cite[dlp] pod ��sly~(1) a�~(7).

V p��kladech jsme si uk�zali, �e existuj� r�zn� line�rn� prostory:
prostor uspo��dan�ch $n$-tic re�ln�ch ��sel\lcite[LPRn], 
prostor funkc�\lcite[LPfunkci], prostor
polynom�\lcite[LPpolynomu], 
prostor nekone�n�ch posloupnost�\lcite[LPposloupnosti], 
prostor orientovan�ch �se�ek\lcite[lpvv]. 
Tento v��et zdaleka nen� �pln�. Daj� se sestrojit i line�rn�
prostory s neobvykl�mi operacemi, kter� p�esto spl�uj� axiomy 
linearity\lcite[ObskurniLP].

Nejd�le�it�j��m p��kladem je line�rn� prostor uspo��dan�ch $n$-tic
re�ln�ch ��sel\lcite[LPRn]. Vektory tohoto line�rn�ho prostoru 
s��t�me po slo�k�ch a n�sob�me re�ln�m ��slem tak, 
�e n�sob�me t�mto ��slem ka�dou slo�ku.
V n�sleduj�ch kapitol�ch se s t�mto line�rn�m prostorem je�t�
mnohokr�t setk�me.

Podmo�iny line�rn�ch prostor� mohou se stejn�mi operacemi b�t samy
line�rn�mi prostory. V takov�m p��pad� jim ��k�me 
podprostory\lcite[dlpp]. Pr�nik podprostor� je podprostor ale sjednocen�
podprostor� nemus� b�t podprostor\lcite[pruniklpp].


\icviceni 1



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola Line�rn� z�vislost a nez�vislost, line�rn� obal |
          Linearni zavislost a nezavislost, linearni obal
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\pozn
%%%%%
A�koli jsme v~p�edchoz� kapitole uvedli mnoho p��klad�, kter� m�ly
ilustrovat definici line�rn�ho prostoru, je mo�n�, �e smysl
t�to definice se t�m nepoda�ilo objasnit. M��ete se pt�t, pro� jsme
nuceni ov��ovat u~r�zn�ch mno�in, zda jsou �i nejsou p�i definov�n�
ur�it�ch operac� s��t�n� a n�soben� re�ln�m ��slem line�rn�mi
prostory. Neuvedli jsme toti�, �e pokud n�jak� mno�ina je line�rn�m
prostorem, lze na ni zkoumat mnoho dal��ch vlastnost� a zav�st plno
u�ite�n�ch pojm�, kter� jsou spole�n� v�em line�rn�m prostor�m.

Tyto vlastnosti a pojmy p�edpokl�daj� pouze to, �e vektory (tj.~prvky
n�jak� bl��e neur�en� mno�iny) um�me s��tat a n�sobit re�ln�m ��slem,
a p�itom tyto operace spl�uj� axiomy (1) a� (7)
z~definice\cite[dlp].  Kdybychom tuto jednot�c� definici nem�li,
museli bychom nap��klad zvlṻ zav�d�t pojmy line�rn� z�vislost, b�ze
a dimenze pro mno�inu orientovan�ch �se�ek, zvlṻ pro mno�inu
uspo��dan�ch $n$-tic a zvlṻ pro mno�inu re�ln�ch funkc�. A� bychom
t�eba pozd�ji zjistili, �e m��eme kup��kladu matice stejn� velikosti 
s��tat a n�sobit skal�rem, znovu bychom pro tuto
mno�inu byli nuceni definovat pojmy line�rn� z�vislost, b�ze a
dimenze. P�itom k~zaveden� t�chto pojm� je zapot�eb� dok�zat n�kolik
tvrzen�, kter� bychom tak museli dokazovat pro ka�dou konkr�tn�
mno�inu zvlṻ a znova. Snad ka�d� uzn�, �e to je docela zbyte�n� pr�ce. Je
p�eci jen jednodu��� ov��it, �e n�jak� mno�ina tvo�� line�rn�
prostor a okam�it� pro ni pou��vat v�echny dal�� vlastnosti a pojmy,
kter� se dozv�me v~t�to kapitole.

\pozn % Zbytecne zavorky nepiseme, misto (-1) x piseme -x
%%%%%%%%%%%%
S��t�n� m� podle definice\cite[dlp] dva operandy. Kdy� bychom
cht�li se��st t�eba t�i vektory $\vec x + \vec y + \vec z$, m�li
bychom uv�st, v~jak�m po�ad� budeme operace prov�d�t, tj. zda provedeme
$(\vec x + \vec y) + \vec z$ nebo $\vec x + (\vec y + \vec z)$. 
Vlastnost (2) definice\cite[dlp] n�s ale od t�to povinnosti osvobozuje,
proto�e zaru�uje, �e oba p��pady povedou ke stejn�mu v�sledku.
Proto nebudeme v~takov�m p��pad� nad�le z�vorky uv�d�t a nap��klad
pro vektory $\vecc x_n$ budeme jejich
sou�et zapisovat jednodu�e: \hbox{$\vec x_1+ \vec x_2+ \cdots+ \vec x_n$}.

D�le budeme m�sto $\vec x + (-1)\cdot \vec y$ zapisovat stru�n� 
$\vec x-\vec y$. T�m vlastn� m�me zavedenu operaci od��t�n� vektor�,
a�koli tato operace nen� v~definici\cite[dlp] v�bec zm�n�na.

Abychom v~textu odli�ili vektory (tj.~prvky n�jak�ho line�rn�ho
prostoru) od re�ln�ch ��sel, budeme vektory ozna�ovat mal�mi p�smeny 
anglick� abecedy a v�dy je zv�razn�me tu�n�, tedy takto: $\vec x, \vec
y, \vec a, \vec x_1$ atd. V~ru�n� psan�m textu se �asto vektory zv�raz�uj�
z�pisem �ipky nad p�smeno, podtr�en�m p�smene nebo i~jinak.

\okraj Line�rn� kombinace | Linearni kombinace

\definice [lk]
%%%%%%%%%%%%%%
Nech� $\vecc x_n$ jsou vektory (tj.~prvky n�jak�ho
line�rn�ho prostoru). {\em Line�rn� kombinac�\/} vektor�
$\vecc x_n$ rozum�me vektor
$$
  \alpha_1\cdot\vec x_1+ \alpha_2\cdot\vec x_2+ \cdots+\alpha_n\cdot\vec x_n,
$$
kde $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ jsou n�jak� re�ln� ��sla.
T�mto ��sl�m ��k�me {\em koeficienty\/} line�rn� kombinace.
\inl[kombinace: line�rn�, line�rn�: kombinace]
\inl[koeficienty: line�rn�: kombinace]

\priklad
%%%%%%%%
Line�rn� kombinac� vektor� $\vec x, \vec y, \vec z$ m��e b�t t�eba
vektor $\vec x + \vec y + \vec z$ (v�echny t�i koeficienty jsou rovny
jedn�), nebo vektor $\teckacarka 2\vec x - \vec y + 3.18\vec z$ 
(koeficienty jsou ��sla $\teckacarka 2;\, -1;\, 3.18$), nebo tak� vektor 
$\alpha\,\vec x +\beta\,\vec y + \gamma\,\vec z$ 
(koeficienty $\alpha,\beta,\gamma\in\R$ jsme bl��e neur�ili).
\inl[kombinace: line�rn�, line�rn�: kombinace]

\okraj Trivi�ln�\hb line�rn�\hb kombinace | Trivialni linearni kombinace

\definice [trivlk]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\em Trivi�ln�\/} line�rn� kombinace vektor� $\vecc x_n$
je takov� line�rn� kombinace, kter� m� v�echny koeficienty nulov�, 
tj.~$0 \vec x_1 + 0 \vec x_2 + \cdots + 0 \vec x_n$. {\em Netrivi�ln�\/}
line�rn� kombinace je takov� line�rn� kombinace, kter� nen� trivi�ln�,
tj.~aspo� jeden jej� koeficient je nenulov�.
\inl[kombinace: line�rn�: trivi�ln�, trivi�ln�: line�rn�: kombinace]
\inl[kombinace: line�rn�: netrivi�ln�, netrivi�ln�: line�rn�: kombinace]

\veta
%%%%%
Trivi�ln� line�rn� kombinace je v�dy rovna nulov�mu vektoru.
\inl[vektor: nulov�, nulov�: vektor]
\inl[kombinace: line�rn�: trivi�ln�, trivi�ln�: line�rn�: kombinace]

\dukaz
Podle vlastnosti (7) v~definici\cite[dlp] je ka�d� s��tanec v~trivi�ln�
line�rn� kombinaci roven nulov�mu vektoru a podle vlastnosti (1) 
v�ty\cite[nulprvek] je i sou�et nulov�ch vektor� roven nulov�mu vektoru.

\okraj Line�rn�\hb z�vislost\hb skupiny | Linearni zavislost skupiny

\definice* [LZskupiny]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Skupinu vektor� $\vecc x_n$ naz�v�me
{\em line�rn� z�vislou}, pokud existuje netrivi�ln� line�rn� kombinace
vektor� $\vecc x_n$, kter� je rovna
nulov�mu vektoru. Stru�n� ��k�me, �e vektory  
$\vecc x_n$ jsou {\em line�rn� z�visl�}.
\inl[line�rn�: z�vislost, line�rn�: z�vislost: skupiny vektor�]

\pozn [poznlz]
%%%%%%%%%%%%%%
Pokud bychom rozvedli pojem netrivi�ln� line�rn� kombinace podle
definic\cite[trivlk] a\cite[lk], m��eme ��ci, �e  vektory  
$\vecc x_n$ jsou {\em line�rn� z�visl�},
pokud existuj� re�ln� ��sla $\alpha_1 ,\alpha_2, \ldots, \alpha_n$
tak, �e aspo� jedno z~nich je nenulov�, a p�itom plat�
$$
  \alpha_1\cdot\vec x_1+ \alpha_2\cdot\vec x_2+ 
  \cdots+\alpha_n\cdot\vec x_n = \vec o.
$$

\okraj Line�rn�\hb nez�vislost skupiny | Linearni nezavislost skupiny

\definice [LNskupiny]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Skupinu vektor� $\vecc x_n$ naz�v�me
{\em line�rn� nez�vislou}, pokud nen� line�rn� z�visl�. Stru�n�
��k�me, �e vektory  
$\vecc x_n$ jsou {\em line�rn� nez�visl�}.
\inl[line�rn�: nez�vislost, line�rn�: nez�vislost: skupiny vektor�]

\pozn* [poznln]
%%%%%%%%%%%%%%
Vektory jsou line�rn� nez�visl�, pokud (podle definic\cite[LZskupiny]
a\cite[LNskupiny]) neexistuje netrivi�ln� line�rn� kombinace t�chto
vektor�, kter� je rovna nulov�mu vektoru. Jinak �e�eno, jedin�
trivi�ln� line�rn� kombinace je rovna nulov�mu vektoru.
P�i pou�it� definice\cite[trivlk] m��eme ��ci, �e vektory 
$\vecc x_n$
jsou line�rn� nez�visl�, pokud z~p�edpokladu
$
  \alpha_1\cdot\vec x_1+ \alpha_2\cdot\vec x_2+ 
  \cdots+\alpha_n\cdot\vec x_n = \vec o
$
nutn� plyne, �e $\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_n = 0$. 

\pozn
%%%%%
A�koli se vesm�s pou��v� stru�n� formulace: \uv{vektory $\vecc x_n$ 
jsou line�rn� z�visl�/nez�visl�} m�sto
p�esn�j��ho: \uv{skupina
vektor� $\vecc x_n$ je line�rn�
z�visl�/nez�visl�}, je pot�eba si uv�domit, �e stru�n� formulace m��e
v�st k~nepochopen�. Rozhodn� se t�m nechce ��ci, �e jednotliv� vektory
jsou line�rn� z�visl�/nez�visl� (tj. $\vec x_1$ je line�rn�
z�visl�/nez�visl�, $\vec x_2$ je line�rn� z�visl�/nez�visl� atd.), ale
jedn� se v�dy o~vlastnost cel� skupiny vektor� jako celku.

Pojem line�rn� z�vislosti a nez�vislosti vektor�
m� v line�rn� algeb�e z�sadn� d�le�itost. Z�vislost vektor� je mo�n�
n�zorn�j�� z pohledu n�sleduj�c� v�ty\cite[xr], ov�em p�i ov��ov�n�
line�rn� z�vislosti abstraktn�ch vektor� je �asto definice\cite[LZskupiny] 
pou�iteln�j��. M� proto smysl definic�m\cite[LZskupiny] 
a\cite[LNskupiny] v�novat n�le�itou pozornost.

\priklad
%%%%%%%%
Uva�ujme line�rn� prostor $\R^3$ (viz p��klad\cite[LPRn], $n=3$).
Jsou d�ny t�i vektory z~$\R^3$: 
$$
  \vec x=(1,2,3), \quad \vec y =(1,0,2), \quad \vec z =(-1,4,0).
$$
Zjist�me z~definice, zda jsou vektory $\vec x,\vec y,\vec z$ line�rn�
z�visl� �i nez�visl�. Podle pozn�mek\cite[poznlz] a\cite[poznln]
sta�� zjistit, jak� mohou b�t koeficienty $\alpha,\beta,\gamma$, pokud
polo��me 
$$
  \alpha\,\vec x + \beta\,\vec y + \gamma\,\vec z = \vec o.
$$
Dosazen�m do t�to rovnice dost�v�me
$$
  \alpha\,(1,2,3) + \beta\,(1,0,2) + \gamma\,(-1,4,0) = (0,0,0).
$$
Zde jsme vyu�ili toho, �e nulov� vektor v~$\R^3$ je roven trojici
$(0,0,0)$. D�le podle definice s��t�n� a n�soben� skal�rem na $\R^3$
dost�v�me
$$
  (\alpha+\beta-\gamma, 2\,\alpha+4\,\gamma, 3\,\alpha+2\,\beta)= (0,0,0).
$$
Dv� uspo��dan� trojice se rovnaj�, pokud se rovnaj� jejich
odpov�daj�c� slo�ky. Mus� tedy platit tyto rovnice:
$$\soustava{
  \1\,\alpha&+\1\,\beta&-\1\,\gamma &= 0, \cr
   2\,\alpha&          &+ 4\,\gamma &= 0, \cr
   3\,\alpha&+ 2\,\beta&            &= 0.\, \cr}
$$
Tato soustava m� nekone�n� mnoho �e�en� (zkuste si to ov��it 
t�eba Gaussovou elimina�n� metodou). Mezi t�mito �e�en�mi je jedin�
trivi�ln�, v�echna ostatn� jsou netrivi�ln�. P��kladem takov�ho
netrivi�ln�ho �e�en� m��e b�t t�eba $\alpha=2$, $\beta=-3$,
$\gamma=-1$, tak�e
$$
  2\,(1,2,3) - 3\,(1,0,2) - 1\,(-1,4,0) = (0,0,0).
$$
Existuje tedy  netrivi�ln� line�rn� kombinace vektor�
$\vec x,\vec y,\vec z$, kter� je rovna nulov�mu vektoru, co� podle
definice\cite[LZskupiny] znamen�, �e
vektory $\vec x,\vec y,\vec z$ jsou line�rn� z�visl�.


\priklad [lntrojka]
%%%%%%%%
V~line�rn�m prostoru $\R^3$ jsou d�ny t�i vektory z~$\R^3$: 
$$
  \vec x=(1,2,3), \quad \vec y =(1,0,2), \quad \vec z =(-2,1,0).
$$
Zjist�me z~definice, zda jsou vektory $\vec x,\vec y,\vec z$ line�rn�
z�visl� �i nez�visl�. Podle pozn�mek\cite[poznlz] a\cite[poznln]
sta�� zjistit, jak� mohou b�t koeficienty $\alpha,\beta,\gamma$, pokud
polo��me 
$
  \alpha\,\vec x + \beta\,\vec y + \gamma\,\vec z = \vec o.
$
Dosazen�m do t�to rovnice dost�v�me
$$\eqalign{
  \alpha\,(1,2,3) + \beta\,(1,0,2) + \gamma\,(-2,1,0) &= (0,0,0),\cr
  (\alpha+\beta-2\,\gamma, 2\,\alpha+\gamma, 3\,\alpha+2\,\beta)&= (0,0,0).\cr}
$$
Dv� uspo��dan� trojice se rovnaj�, pokud se rovnaj� jejich
odpov�daj�c� slo�ky. Mus� tedy platit tyto rovnice:
$$\soustava{
  \1\,\alpha&+\1\,\beta&- 2\,\gamma &= 0, \cr
   2\,\alpha&          &+\1\,\gamma &= 0, \cr
   3\,\alpha&+2\,\beta &            &= 0.\, \cr}
$$
Tato soustava m� jedin� �e�en� $\alpha=0,\, \beta=0,\, \gamma=0$
(zkuste si to ov��it t�eba Gaussovou elimina�n� metodou). Vid�me tedy,
�e jedin� trivi�ln� line�rn� kombinace vektor�
$\vec x,\vec y,\vec z$ je rovna nulov�mu vektoru, co� podle
definice\cite[LNskupiny] znamen�, �e
vektory $\vec x,\vec y,\vec z$ jsou line�rn� nez�visl�.

\priklad [sincos4]
%%%%%%%%
Uva�ujme line�rn� prostor v�ech re�ln�ch funkc� definovan�ch na $\R$ a
v~n�m t�i funkce $f,g,h$, kter� jsou zadan� t�mito vzorci:
$$
  f(x) = \sin(x), \quad  g(x) = \cos(x), \quad h(x) = 4 \quad \forall x\in\R.
$$
Ov���me, zda jsou tyto t�i funkce line�rn� nez�visl� �i z�visl�. Polo��me
jejich line�rn� kombinaci rovnu nulov� funkci:
$$
  \alpha\cdot\sin(x) + \beta\cdot\cos(x) + \gamma\cdot 4 = 0 
  \quad \forall x\in\R \rce (sincos4)
$$
a zjist�me, jak�ch hodnot mohou nab�vat koeficienty $\alpha, \beta, \gamma$.
Tato rovnost m� b�t spln�na pro v�echna $x\in\R$. Je mo�n�, �e p�i
volb� t�� hodnot $x\in\R$ u� vynut�me trivialitu line�rn� kombinace 
v\cite(sincos4). Zkusme �t�st� nap��klad pro 
$x\in\left\{0,{\pi\over2},\pi\right\}$.
V rovnici\cite(sincos4) se tedy omez�me na
$$
  \alpha\cdot\sin(x) + \beta\cdot\cos(x) + \gamma\cdot 4 = 0 \quad 
  \hbox{pro } x\in\left\{0,{\pi\over2},\pi\right\}. \rce (sincos4a)
$$
%Je jedno, jak� jsme zvolili \uv{vzorek} t�� hodnot $x$. Pro z�v�re�nou
%argumentaci n�m sta��, �e z~v�roku\cite(sincos4) plyne v�rok\cite(sincos4a).
Po dosazen� hodnot $x$ dost�v�me t�i rovnice:
$$\soustava{
   0\,\alpha + \1\,\beta + 4\,\gamma &= 0, \cr
  \1\,\alpha +  0\,\beta + 4\,\gamma &= 0, \cr
   0\,\alpha - \1\,\beta + 4\,\gamma &= 0.\, \cr}
$$
Tato soustava m� jedin� �e�en� $\alpha=0,\, \beta=0,\, \gamma=0$
(zkuste si to ov��it t�eba Gaussovou elimina�n� metodou). 
Tak�e pokus se zda�il.
Z~rovnice\cite(sincos4) plyne\cite(sincos4a) 
a z n� pak $\alpha=0,\, \beta=0,\, \gamma=0$. To
podle definice znamen�, �e vektory $f, g, h$ jsou line�rn� nez�visl�.
\inl[line�rn�: nez�vislost: funkc�]

\priklad [sincos42]
%%%%%%%%
Uva�ujme line�rn� prostor v�ech re�ln�ch funkc� definovan�ch na $\R$ a
v~n�m t�i funkce $f,g,h$, kter� jsou zadan� t�mito vzorci:
$$
  f(x) = \sin^2(x), \quad  g(x) = 3\,\cos^2(x), \quad h(x) = 4 \quad \forall x\in\R.
$$
Ov���me, zda jsou tyto t�i funkce line�rn� nez�visl� �i z�visl�. Polo��me
jejich line�rn� kombinaci rovnu nulov� funkci:
$$
  \alpha\cdot\sin^2(x) + \beta\cdot3\,\cos^2(x) + \gamma\cdot 4 = 0 
  \quad \forall x\in\R \rce(sincos42)
$$
a zjist�me, jak�ch hodnot mohou nab�vat koeficienty $\alpha, \beta, \gamma$.
Jako v~p��kladu\cite[sincos4] zkus�me volit n�jak� t�i hodnoty $x$.
Po dosazen� $x=0$, $x=\pi/2$ a $x=\pi$ dost�v�me soustavu
$$\soustava{
            & 3\,\beta &+ 4\,\gamma &= 0, \cr
  \alpha \; &          &+ 4\,\gamma &= 0, \cr
            & 3\,\beta &+ 4\,\gamma &= 0.\, }
$$
Vid�me, �e jedna rovnice je zde napsan� dvakr�t, tak�e zb�vaj� dv�
rovnice o~t�ech nezn�m�ch. Takov� soustava rovnic m�
nekone�n� mnoho �e�en�, jedn�m z~nich je nap��klad  
$\alpha=12,\, \beta=4,\, \gamma=-3$. To n�m ale k~z�v�ru o~line�rn� 
z�vislosti funkc� nesta��, proto�e my mus�me naj�t
netrivi�ln� kombinaci rovnou nule pro v�echna $x\in\R$, nikoli jen pro
t�i vyvolen� hodnoty. V�sledek ale napov�d�, jak� by mohly b�t 
koeficienty hledan� netrivi�ln� line�rn� kombinace:
$$
  12\cdot\sin^2(x) + 4\cdot3\,\cos^2(x) - 3\cdot4 =
  12\,(\sin^2(x) + \cos^2(x)) - 12 = 0 \quad \forall\,x\in\R.
$$
Zde jsme vyu�ili vzorce $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ pro v�echa $x\in\R$.
Na�li jsme tedy netrivi�ln� line�rn� kombinaci, kter� je rovna nulov�
funkci na cel�m defini�n�m oboru, a proto jsou funkce 
$f, g, h$ line�rn� z�visl�.
\inl[line�rn�: z�vislost: funkc�]

\poznamka
%%%%%%%%
P�i vy�et�ov�n� line�rn� nez�vislosti funkc� m��eme t� vyu��t
derivac�. T�eba rovnost\cite(sincos4) m� platit pro v�echna $x\in\R$ a
t�m p�dem pro v�echny derivace v libovoln�m bod�. T�eba v~nule.
Pro $x=0$ je $\beta+4\gamma=0$, po zderivov�n� m�me 
$\alpha\cos(x)-\beta\sin(x)=0$ a dosazen�m $x=0$ dostaneme druhou
rovnost $\alpha=0$. Je�t� jednou zderivjeme a dosad�me $x=0$, m�me
$\beta=0$. Z prvn� rovnosti plyne, �e tedy mus� $\alpha=0$. V�echny
koeficienty musej� b�t nulov�, tak�e vektory $f,g,h$ 
z~p��kladu\cite[sincos4] jsou line�rn� nez�visl�. 

Na druh� stran� postupn�m derivov�n�m rovnosti\cite(sincos42) 
z~p��kladu\cite[sincos42] a dosazen�m $x=0$ dost�v�me 
rovnice: $3\beta+4\gamma=0$, $0=0$, $\alpha-3\beta=0$, $0=0$, $0=0$,
atd. (zkuste si sami zderivovat). Tak�e m�me jen dv� nenulov� rovnice 
o~t�ech nezn�m�ch, tedy $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ mohou b�t
nenulov�. Tento postup n�m tedy ned�v� z�ruku nez�vislosti 
funkc�~$f,g,h$ z p��kladu\cite[sincos42].

\priklad
%%%%%%%%
Nech� $\vec u, \vec v, \vec w$ jsou prvky n�jak�ho (bl��e
nespecifikovan�ho) line�rn�ho prostoru. P�edpokl�dejme, �e jsou
line�rn� nez�visl�. �kolem je zjistit, pro kter� $a\in\R$ jsou 
vektory 
$$
  \vec x = 2\,\vec u - \vec v, \quad
  \vec y = \vec u + 3\,\vec v - 2\,\vec w, \quad
  \vec z = \vec v + a\,\vec w
$$
line�rn� z�visl�.

Polo��me tedy line�rn� kombinaci vektor� $\vec x, \vec y, \vec z$
rovnu nulov�mu vektoru a budeme zji��ovat, jak� mus� b�t koeficienty
$\alpha, \beta, \gamma$:
$$
  \alpha\,\vec x + \beta\,\vec y + \gamma\,\vec z = \vec o.
$$
Dosad�me: 
$$
  \alpha\,(2\,\vec u - \vec v) + 
  \beta\,(\vec u + 3\,\vec v - 2\,\vec w) +
  \gamma\,(\vec v + a\,\vec w) = \vec o
$$
a po �prav�ch dost�v�me
$$
  (2\,\alpha + \beta)\,\vec u +
  (-\alpha + 3\,\beta + \gamma)\,\vec v + 
  (-2\,\beta + a\,\gamma)\,\vec w = \vec o.
$$
Proto�e podle p�edpoklad� jsou vektory $\vec u, \vec v, \vec w$
line�rn� nez�visl�, mus� b�t tato line�rn� kombinace jedin� trivi�ln�,
tj. v�echny koeficienty jsou nulov�:
$$\soustava{
  2\,\alpha &+ \1\,\beta &             &= 0, \cr
  {}-\alpha &+  3\,\beta &+ \1\,\gamma &= 0, \cr
            &-  2\,\beta &+  a\,\gamma &= 0.\, \cr}
$$  
Nap��klad pomoc� Gaussovy elimina�n� metody se m��eme p�esv�d�it, �e
soustava m� jedin� �e�en� $\alpha=0,\, \beta=0,\, \gamma=0$ pro
$7a+4\not=0$. V~takov�m p��pad� budou vektory 
$\vec x, \vec y, \vec z$ line�rn� nez�visl�.  
Jestli�e naopak $7a+4=0$, m� soustava nekone�n� mnoho �e�en�, mezi kter�mi
se jist� najde i netrivi�ln� �e�en�. Vektory $\vec x, \vec y, \vec z$
jsou tedy line�rn� z�visl� pro $a=-4/7$.

\okraj Jeden vektor je line�rn� kombinac� ostatn�ch |
       Jeden vektor je linearni kombinaci ostatnich

\veta* [xr]
%%%%%
Nech� $n\geq2$.
Vektory $\vecc x_n$ jsou line�rn� z�visl�
pr�v� tehdy, kdy� existuje index $r\in\{1,\ldots,n\}$ takov�, �e 
vektor $\vec x_r$ je roven line�rn� kombinaci ostatn�ch vektor�.
\inl[line�rn�: z�vislost]

\dukaz
%%%%%%
V�ty formulovan� ve tvaru ekvivalence (v�rok $A$ plat� pr�v� tehdy,
kdy� plat� v�rok $B$) se obvykle dokazuj� ve dvou kroc�ch. Nejprve
dok�eme, �e z~$A$ plyne $B$ a pak dok�eme, �e z~$B$ plyne $A$.

Dokazujme tedy nejprve, �e z~line�rn� z�vislosti vektor� 
$\vecc x_n$ plyne existence indexu $r$
v��e uveden� vlastnosti. Z~definice line�rn� z�vislosti v�me, �e
existuje netrivi�ln� line�rn� kombinace rovna nulov�mu vektoru, tj.
$$
  \lkvecc\alpha.x_n =
  \sum_{i=1}^n \alpha_i\,\vec x_i = \vec o,
  \rce (lknul)
$$
a p�itom aspo� jeden koeficient line�rn� kombinace je nenulov�. 
Existuje tedy $r\in\{1,\ldots,n\}$ takov�, �e $\alpha_r\not=0$.
P�i�teme nyn� vektor $-\alpha_r\,\vec x_r$ k~ob�ma stran�m 
rovnice\cite(lknul)
$$
  \sum_{\textstyle{i=1\atop i\not=r}}^n \alpha_i\,\vec x_i 
  = -\alpha_r\,\vec x_r.
$$
Po vyn�soben� obou stran rovnice koeficientem
$-1/\alpha_r$ dost�v�me 
$$
  \sum_{\textstyle{i=1\atop i\not=r}}^n {\alpha_i\over-\alpha_r}\,\vec x_i 
  = \vec x_r.
$$
Vektor $\vec x_r$ je tedy roven line�rn� kombinaci ostatn�ch vektor�.

V~druh� ��sti d�kazu p�edpokl�d�me existenci koeficientu $r$ takov�ho,
�e vektor $\vec x_r$ je roven line�rn� kombinaci ostatn�ch vektor�.
Dok�eme line�rn� z�vislost vektor� $\vecc x_n$.
Pro n�jak� $r\in\{1,\ldots,n\}$ tedy plat�
$$
  \vec x_r =
  \sum_{\textstyle{i=1\atop i\not=r}}^n \beta_i\,\vec x_i .
$$ 
P�i�teme-li k~ob�ma stran�m t�to rovnice vektor $-\vec x_r$, dost�v�me
$$
  \sum_{\textstyle{i=1\atop i\not=r}}^n \beta_i\,\vec x_i +
  (-1)\cdot\vec x_r = \vec o,
$$
co� je netrivi�ln� line�rn� kombinace vektor� $\vecc x_n$
(jej� $r$-t� koeficient je jist�
nenulov�), kter� je rovna nulov�mu vektoru.

\pozn
%%%%%
V�ta\cite[xr] se d� p�eformulovat t� takto: vektory 
$\vecc x_n$ jsou line�rn� nez�visl� pr�v�
tehdy, kdy� ��dn� z~vektor� $\vec x_i$, $i\in\{1,\ldots,n\}$, nen�
line�rn� kombinac� ostatn�ch vektor�.
\inl[line�rn�: z�vislost]


\okraj Z�kladn� vlastnosti line�rn� (ne)z�vislosti |
       Zakladni vlastnosti linearni (ne)zavislosti

\veta[lnlz]
%%%%%
Nech� $\vecc x_n$ jsou prvky n�jak�ho
line�rn�ho prostoru~$L$. Pak plat�:

\noindent
(1) Line�rn� z�vislost �i nez�vislost vektor� 
$\vecc x_n$ se nezm�n� p�i zm�n� po�ad� 
t�chto vektor�.

\noindent
(2) Jestli�e se mezi $\vecc x_n$ vyskytuje
nulov� vektor, pak jsou tyto vektory line�rn� z�visl�.

\noindent
(3) Jestli�e se ve skupin� vektor� $\vecc x_n$
n�kter� vektor vyskytuje aspo� dvakr�t, je tato skupina vektor�
line�rn� z�visl�.

\noindent
(4) Jestli�e jsou vektory $\vecc x_n$
line�rn� z�visl� a $\vec x_{n+1}\in L$, pak jsou i vektory
$\vecc x_n, \vec x_{n+1}$ line�rn�
z�visl�. 

\noindent
(5) Jestli�e jsou vektory $\vecc x_n$
line�rn� nez�visl�, pak jsou i vektory 
$\vecc x_{n-1}$ line�rn� nez�visl�.

\noindent
(6) Samotn� vektor $\vec x_1$ (ch�pan� ov�em jako skupina vektor� 
o~jednom prvku) je line�rn� nez�visl� pr�v� tehdy, kdy� je nenulov�.

\noindent
(7) Dva vektory jsou line�rn� z�visl� pr�v� tehdy, kdy� jeden je
n�sobkem druh�ho.

\dukaz
%%%%%%
(1) Line�rn� kombinace vektor� $\vecc x_n$
nez�vis� na jejich po�ad�, proto�e s��t�n� vektor� je 
podle definice\cite[dlp] komutativn�.

(2) Vzhledem k~vlastnosti (1) sta�� bez �jmy na obecnosti
p�edpokl�dat, �e $\vec o=\vec x_1$. Pak plat�:
$$
  1\cdot\vec o + 0\cdot\vec x_2 + 0\cdot\vec x_3 + \cdots
  + 0\cdot\vec x_n = \vec o,
$$
co� je netrivi�ln� line�rn� kombinace rovna nulov�mu vektoru.	

(3) Vzhledem k~vlastnosti (1) sta�� bez �jmy na obecnosti
p�edpokl�dat, �e $\vec x_1 = \vec x_2$. Pak plat�:
$$
  1\cdot\vec x_1 + (-1)\cdot\vec x_2 + 0\cdot\vec x_3 + \cdots
  + 0\cdot\vec x_n = (1-1)\cdot\vec x_1 = \vec o,
$$
co� je netrivi�ln� line�rn� kombinace rovna nulov�mu vektoru.

(4) Podle p�edpokladu existuje netrivi�ln� line�rn� kombinace
$\lkvecc \alpha.x_n$ rovna nulov�mu vektoru.
Potom plat� 
$$
 \alpha_1\,\vec x_1 + \cdots + \alpha_n\,\vec x_n + 0\cdot\vec x_{n+1} =
 \vec o,
$$
co� je netrivi�ln� line�rn� kombinace vektor� 
$\vecc x_n, \vec x_{n+1}$ rovna nulov�mu vektoru.

(5) Dok�eme to sporem. Budeme p�edpokl�dat negaci tvrzen� v�ty (tj. �e 
vektory $\vecc x_{n-1}$ jsou line�rn�
z�visl�). Pak ale podle vlastnosti (4) musej� b�t line�rn� z�visl� i
vektory $\vecc x_n$, co� je spor s~p�edpokladem, �e tyto vektory 
jsou line�rn� nez�visl�. 

(6) Je-li $\vec x_1 = \vec o$, pak je $\vec x_1$ 
podle vlastnosti (2) line�rn� z�visl�.
P�edpokl�dejme nyn� $\vec x_1 \not=\vec o$ a polo�me 
$$
  \alpha\,\vec x_1 = \vec o.
$$
Kdyby bylo $\alpha\not=0$, pak dost�v�me spor s vlastnost� (3)
v�ty\cite[nulprvek]. Mus� tedy b�t $\alpha=0$. To znamen�, �e pouze
trivi�ln� line�rn� kombinace je rovna nulov�mu vektoru, 
tak�e vektor $\vec x_1$ je line�rn� nez�visl�. 

(7) Tvrzen� je shodn� s v�tou\cite[xr] pro $n=2$.


\pozn
%%%%%
Vlastnost (4) p�edchoz� v�ty nelze \uv{obr�tit}. 
P�esn�ji: z~line�rn� z�vislosti
vektor� $\vecc x_n$ neplyne nic o~line�rn�
z�vislosti �i nez�vislosti vektor� 
$\vecc x_{n-1}$. M��e se t�eba st�t, �e
vektory $\vecc x_{n-1}$ jsou line�rn�
nez�visl� a line�rn� z�vislost vektor� $\vecc x_n$
je zp�sobena t�m, �e vektor $\vec x_n$ je nulov�. 
M��e se ale tak� st�t, �e vektory $\vecc x_{n-1}$ 
z�st�vaj� line�rn� z�visl�.

Vlastnost (5) p�edchoz� v�ty nelze \uv{obr�tit}.
P�esn�ji: z~line�rn� nez�vislosti vektor� 
$\vecc x_n$ neplyne nic o~line�rn�
z�vislosti �i nez�vislosti vektor� 
$\vecc x_{n+1}$. Vektor $\vec x_{n+1}$ toti� m��e b�t
nulov�, ale tak� m��e b�t takov�, �e vektory 
$\vecc x_{n+1}$ z�st�vaj� line�rn� nez�visl�.


\priklad [lzRn]
%%%%%%%%
Nech� $\vecc x_m$ jsou vektory z~line�rn�ho prostoru $\R^n$. Uk�eme,
�e pokud $m>n$, jsou nutn� tyto vektory line�rn� z�visl�.

Podle definice line�rn� z�vislosti hledejme netrivi�ln� line�rn�
kombinaci, pro kterou
$$
  \lkvecc \alpha.x_m = \vec o.
$$
Rozeps�n�m tohoto po�adavku do slo�ek dost�v�me $n$ rovnic o~$m$
nezn�m�ch. Proto�e prav� strany rovnic jsou nulov�, soustava m�
ur�it� aspo� trivi�ln� �e�en�. Proto�e je v~soustav� v�ce nezn�m�ch 
ne� rovnic existuje nekone�n� mnoho �e�en� t�to soustavy. Mezi 
t�mito �e�en�mi je jen jedin� trivi�ln� a v�echna ostatn� 
jsou netrivi�ln�. 

Poznamenejme, �e p��klad ukazuje d�le�itou vlastnost line�rn�ch
prostor� $\R^n$: v�echny line�rn� nez�visl� skupiny vektor� maj� 
po�et vektor� men�� nebo roven $n$. Podobn� tvrzen� pro libovoln�
line�rn� prostory vyslov�me ve v�t�\cite[123]. 

\okraj Z�vislost\hb oriento\-van�ch\hb �se�ek | Zavislost orientovanych usecek 

\priklad [UOlnlz]
%%%%%%%%
Uva�ujme line�rn� prostor $U_O$ v�ech orientovan�ch �se�ek 
z~p��kladu\cite[lpvv]. 
\inl[prostor: UO, prostor: orientovan�ch �se�ek]

(1) Le��-li dv� �se�ky $\vec u, \vec v\in U_O$ 
ve stejn� p��mce, pak jsou line�rn� z�visl�, proto�e 
jedna je n�sobkem druh�. Nele��-li �se�ky $\vec u, \vec v$ 
ve spole�n� p��mce, pak jsou line�rn� nez�visl�. 

(2) Nech� $\vec u, \vec v\in U_O$ jsou line�rn� nez�visl�. Pak mno�ina v�ech
line�rn�ch kombinac� $\alpha\,\vec u + \beta\,\vec v$ vypl�uje mno�inu
v�ech �se�ek, kter� maj� koncov� bod v~rovin� ur�en� �se�kami 
$\vec u, \vec v$.

Abychom to dok�zali, pot�ebujeme ur�itou p�edstavivost a
zku�enosti s~euklidovskou geometri�. P�ipome�me, �e $O$ zna��
spole�n� po��tek v�ech orientovan�ch �se�ek na�eho line�rn�ho prostoru.
Zvolme nyn� libovolnou orientovanou �se�ku $\vec x$ s~po��tkem v~$O$, 
kter� le�� v~rovin� ur�en� �se�kami $\vec u, \vec v$.
Uk�eme, �e existuj� $\alpha,\beta\in\R$ tak, 
�e $\vec x = \alpha\,\vec u + \beta\,\vec v$.
Le��-li $\vec x$ na spole�n� p��mce s~�se�kou $\vec u$ nebo na p��mce
spole�n� s~�se�kou $\vec v$, pak je $\vec x$ n�sobkem t�to �se�ky
a druh� koeficient hledan� line�rn� kombinace je nulov�.
Nech� tedy $\vec x$ nele�� na ��dn� z~t�chto p��mek.
Nakresl�me na tyto p��mky m���tka, jako v p��kladu\cite[lpvv].
Koncov� bod �se�ky $\vec x$ ozna�me~$X$.
Ve�me bodem $X$ rovnob�ky s~ob�ma m���tky.
Hodnota na m���tku pod�l vektoru $\vec u$ v m�st� pr�se��ku rovnob�ky 
s m���tkem je ��slo $\alpha$. ��slo $\beta$ je pak v m�st� pr�se��ku
druh� rovnob�ky na druh�m m���tku.
Z~definice s��t�n� orientovan�ch �se�ek pomoc�
rovnob�n�ka vid�me, �e $\vec x = \alpha\,\vec u + \beta\,\vec v$.
Ud�lejte si n��rtek.
\inl[geometrie: euklidovsk�, euklidovsk�: geometrie]

(3) Le��-li t�i use�ky $\vec u, \vec v, \vec w\in U_O$ ve spole�n� rovin�, pak
jsou line�rn� z�visl�, proto�e z~(2) plyne,
�e jedna z~nich je line�rn� kombinac� ostatn�ch. D�le pou�ijeme
v�tu\cite[xr]. 

(4) Pokud $\vec u$ a $\vec v\in U_O$ jsou line�rn� nez�visl� a 
$\vec w$ le�� mimo rovinu danou �se�kami $\vec u, \vec v$, pak
jsou $\vec u, \vec v, \vec w$ line�rn� nez�visl�.

(5) Nech� $\vec u, \vec v, \vec w\in U_O$ jsou line�rn� nez�visl�. 
Pak mno�ina v�ech line�rn�ch kombinac� 
$$
  \alpha\,\vec u + \beta\,\vec v + \gamma\,\vec w
$$ 
vypl�uje cel� line�rn� prostor $U_O$. 

Abychom to dok�zali, pot�ebujeme op�t ur�itou p�edstavivost. 
%a zku�enosti s~Eukleidovskou geometri�. 
Nech� $\varrho$ je rovina ur�en�
�se�kami $\vec u$ a $\vec v$. Uk�eme, �e pro libovolnou orientovanou
�se�ku $\vec x$ s~po��tkem v~$O$ existuj� re�ln� ��sla
$\alpha,\beta,\gamma$ takov�, �e 
$\vec x = \alpha\,\vec u + \beta\,\vec v + \gamma\,\vec w$.
Le��-li $\vec x$ v~rovin� $\varrho$, polo��me $\gamma=0$ a d�le
vyu�ijeme v�sledku z~(2). Nech� tedy $\vec x$ nele�� v~rovin�
$\varrho$. Ozna�me $X$ koncov� bod �se�ky $\vec x$. Ve�me bodem $X$
rovnob�ku s~�se�kou $\vec w$. Ta nutn� protne rovinu $\varrho$ 
v~n�jak�m bod� $P$. Podle (2) existuj� $\alpha,\beta\in\R$ takov�, �e
$\vector{OP}=\alpha\,\vec u + \beta\,\vec v$. V~rovin� ur�en� vektory
$\vec x$ a $\vec w$ ve�me rovnob�ku s~vektorem $\vector{OP}$. Ta
protne m���tko proch�zej�c� vektorem $\vec w$ v~m�st� s~hodnotou $\gamma$.
Je $\vec x=\vector{OP}+\gamma\,\vec w = 
\alpha\,\vec u + \beta\,\vec v + \gamma\,\vec w$.


\okraj Line�rn� (ne)z�vislost nekone�n�ch mno�in |
       Linearni (ne)zavislost nekonecnych mnozin

\pozn
%%%%%
A� dosud jsme pracovali s~pojmem line�rn� z�vislost �i nez�vislost
kone�n�ch {\em skupin\/} vektor�. Skupina, na rozd�l od mno�iny, m��e
obsahovat stejn� prvky a je v�dy kone�n�. V~n�sleduj�c� definici roz����me pojem 
line�rn� z�vislost �i nez�vislost na kone�n� i nekone�n�
{\em mno�iny\/} vektor�. Definice line�rn� z�vislosti se
m��e jevit pon�kud nep��mo�ar�. Je to t�m, �e mno�iny vektor� mohou
b�t nekone�n�, a p�itom nelze sestavovat nekone�n� line�rn� 
kombinace vektor�.

\definice* [neklz]
%%%%%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor a nech� $M\subseteq L$ je
nepr�zdn� mno�ina vektor�.
Mno�ina $M$ je {\em line�rn� z�visl�}, pokud existuje kone�n� mnoho
r�zn�ch vektor� z $M$, kter� jsou line�rn� z�visl�. Mno�ina $M$ je 
{\em line�rn� nez�visl�}, pokud nen� line�rn� z�visl�. Tedy pokud 
neexistuje ��dn� jej� kone�n� line�rn� z�visl� podmno�ina.

Pr�zdnou mno�inu pova�ujeme v�dy za line�rn� nez�vislou.

\pozn* [lzmnozin]
%%%%%
Uv�dom�me si podrobn�ji z�kladn� vlastnost line�rn� z�visl�ch mno�in.
Mno�ina vektor� $M$ je line�rn� z�visl�, pr�v� kdy� existuje kone�n� mnoho
vektor� z t�to mno�iny, kter� jsou line�rn� z�visl�. Podle
v�ty\cite[xr] to znamen�, �e existuje jeden vektor $\vec z\in M$, kter� je roven
line�rn� kombinaci kone�n� mnoha jin�ch vektor� z~t�to mno�iny.

\pozn [lnnekmnozin]
Uv�dom�me si podrobn�ji z�kladn� vlastnost line�rn� nez�visl�ch mno�in.

Nepr�zdn� kone�n� mno�ina vektor� 
$\{\vecc x_n\}$
je line�rn� nez�visl�, pr�v� kdy� jsou vektory 
$\vecc x_n$ line�rn� nez�visl� (odkazujeme na definici\cite[LNskupiny]).

Z opakovan�ho pou�it� vlastnosti~(5) v�ty\cite[lnlz] 
(nebo z~v�ty\cite[xr]) toti� plyne, �e je-li kone�n�
mno�ina vektor� $K$ line�rn� nez�visl�, pak v�echny
jej� podmno�iny $K'\subseteq K$ jsou line�rn� nez�visl�.

Nekone�n� mno�ina vektor� $M\subseteq L$ je podle definice\cite[neklz]
line�rn� nez�visl�, pokud v�echny jej� kone�n� podmno�iny $K\subseteq M$
jsou line�rn� nez�visl�. 

Nech� nekone�n� mno�ina $M\subseteq L$ je line�rn� nez�visl� a $M'\subseteq M$
je jej� nekone�n� podmno�ina. Pak $M'$ mus� b�t tak� line�rn� nez�visl�,
proto�e v�echny jej� kone�n� podmno�iny jsou t� kone�n�mi
podmno�inami mno�iny $M$. Tak�e dost�v�me n�sleduj�c� v�tu, ve kter� u�
nerozli�ujeme mezi kone�n�mi a nekone�n�mi (pod)mno�inami:

\veta* [lnmnoz]
%%%%%
Je-li mno�ina vektor� $M$ v line�rn�m prostoru $L$ je line�rn� nez�visl�,
pak ka�d� jej� podmno�ina je line�rn� nez�visl�.
 
\dukaz
Viz pozn�mku\cite[lnnekmnozin].

\poznamka
%%%%%%%%%
V�tu\cite[lnmnoz] nelze obr�tit ve smyslu, �e pokud ka�d�
mno�ina $N\subset M$, $N\not=M$, 
je line�rn� nez�visl�, pak je $M$ line�rn�
nez�visl�. Toto neplat�. P�edstavme si t�i orientovan� �se�ky
line�rn�ho prostoru $U_O$ (viz p��klad\cite[lpvv]) le��c�
ve spole�n� rovin�, ale ��dn� dva nele�� na spole�n� p��mce. Mno�inu
t�chto t�� vektor� ozna�me~$M$. Pak ka�d�
podmno�ina $N$ mno�iny $M$, $N\not=M$, je line�rn� nez�visl�, ale $M$ je
line�rn� z�visl�.

\priklad [lnpolynomy]
%%%%%%%%
Nech� $M=\{1,x,x^2,x^3, \ldots\}$ je nekone�n� podmno�ina line�rn�ho
prostoru v�ech polynom� $P$. Uk�eme, �e $M$ je line�rn� nez�visl�.

Podle definice\cite[neklz] a pozn�mky\cite[lnnekmnozin]
sta�� uk�zat, �e ka�d� kone�n� podmno�ina
polynom�
$$
  K=\{x^{k_1}, x^{k_2}, \ldots, x^{k_n}\}, \quad 
  n\in\N, \quad k_i\in\N\cup\{0\} \hbox { pro } i\in\{1,2,\ldots,n\}, 
  \quad k_1<k_2<\cdots<k_n 
$$
je line�rn� nez�visl�. Polo�me tedy line�rn� kombinaci prvk� mno�iny 
$K$ rovnu nulov�mu polynomu:
$$
  \alpha_1\,x^{k_1} + \alpha_2\,x^{k_2} + \cdots + 
  \alpha_n\,x^{k_n} = 0 \quad \forall\,x\in\R
$$
a ptejme se, co z~toho plyne pro koeficienty $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$.
Proto�e $k_1<k_2<\cdots<k_n$, odpov�daj�
��sla $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ vybran�m koeficient�m polynomu.
Nulov� polynom je ov�em pouze takov� polynom, kter� m� v�echny
koeficienty nulov� 
\ifbook (dok�eme to podrobn� ve v�t�\cite[pnulovy])\fi. 
Tak�e v�echna ��sla $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$
musej� b�t rovna nule. Nulov�mu polynomu se tedy rovn� pouze trivi�ln�
line�rn� kombinace, tak�e mno�ina $K$ je line�rn� nez�visl�.
\inl[polynom]


\okraj Line�rn�\hb obal | Linearni obal 

\definice* [linobal]
%%%%%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor. 
{\em Line�rn� obal}
skupiny vektor� $\vecc x_n$ zna��me $\lob<\vecc x_n>$ a je to mno�ina v�ech
line�rn�ch kombinac� vektor� $\vecc x_n$. 

Nech� d�le $M\subseteq L$
je nepr�zdn� mno�ina vektor�. 
{\em Line�rn� obal\/} mno�iny vektor� $M$
je mno�ina v�ech kone�n�ch line�rn�ch kombinac�
vektor� z~$M$. 
Line�rn� obal mno�iny $M$ zna��me symbolem $\lob<M>$.

Line�rn� obal pr�zdn� mno�iny definujeme jako jednoprvkovou mno�inu
obsahuj�c� nulov� vektor.


\poznamka [poznkonlob]
%%%%%%%%
Podle definice\cite[linobal] je
$$
  \lob<\vecc x_n> = \{\lkvecc\alpha.x_n;\,
                    \alpha_1\in\R,\alpha_2\in\R,\ldots,\alpha_n\in\R\}.
$$
Je z�ejm�, �e $\lob<\vecc x_n> = \lob<\{\vecc x_n\}>$.
Na prav� stran� t�to rovnosti sice jsou p�id�ny i line�rn� kombinace
v�ech kone�n�ch podmno�in mno�iny $\{\vecc x_n\}$, ale ty se daj�
zapsat jako line�rn� kombinace v�ech vektor� $\vecc x_n$. Sta�� toti�
vektory mimo kone�n� v�b�r n�sobit nulou.

\poznamka
%%%%%%%%%
V line�rn� algeb�e se nikdy nepracuje s nekone�n�m sou�tem n�sobk� vektor�,
v�echny line�rn� kombinace musej� b�t v�dy tvo�eny kone�n�m sou�tem.
Definice\cite[linobal] p�ipou�t�, �e mno�ina vektor� $M$ m��e b�t
nekone�n�, ale i v takov�m p��pad� line�rn� obal sestavujeme z
{\em kone�n�ch\/} sou�t�, tj. vyb�r�me kone�n� podmno�iny vektor� z~$M$, ze
kter�ch sestavujeme line�rn� kombinace. Samoz�ejm�, �e takov�ch v�b�r�
m��e b�t nekone�n� mnoho a z ka�d�ho kone�n�ho v�b�ru vektor� m��eme sestavit
nekone�n� mnoho line�rn�ch kombinac�. Tak�e line�rn� obal je nekone�n�
mno�ina (s~jedinou v�jimkou: line�rn� obal nulov�ho vektoru nebo
pr�zdn� mno�iny). 

\priklad
%%%%%%%%
Uva�ujme line�rn� prostor $\R^3$.
Najdeme line�rn� obal vektor� $x=(1,2,3)$, $y=(2,-1,0)$.
Podle pozn�mky\cite[poznkonlob] je
$$
  \lob<(1,2,3), (2,-1,0)> = \{\alpha\,(1,2,3) + \beta\,(2,-1,0);\,
                            \alpha\in\R, \beta\in\R\} =
                            \{(\alpha+2\beta, 2\alpha-\beta, 3\alpha);\,
                            \alpha\in\R, \beta\in\R\}.
$$

\priklad [obaltrojky]
%%%%%%%%
Jsou d�ny $\vec x=(1,2,3)$, $\vec y=(1,0,2)$, $\vec z=(-2,1,0)$.
Uk�eme, �e $\lob<\vec x, \vec y, \vec z> = \R^3$.

Mno�ina line�rn�ch kombinac� prvk� n�jak�ho line�rn�ho prostoru $L$
je v�dy podmno�inou $L$. Jde tedy pouze o~to uk�zat, �e
$\R^3\subseteq\lob<\vec x, \vec y, \vec z>$.
Volme libovoln� vektor $(a,b,c)\in\R^3$. Uk�eme, �e 
$(a,b,c)$ le�� v~$\lob<\vec x, \vec y, \vec z>$. K~tomu je pot�eba naj�t
line�rn� kombinaci vektor� $\vec x, \vec y, \vec z$, kter� je
rovna vektoru $(a,b,c)$.  Hledejme tedy koeficienty $\alpha,\beta,\gamma$,
pro kter� plat�
$$
  (a,b,c) = \alpha\,(1,2,3) + \beta\,(1,0,2) + \gamma\,(-2,1,0).
$$
Po �prav� a porovn�n� jednotliv�ch slo�ek dost�v�me soustavu
$$\soustava{
 \1\alpha &+ \1\beta &-  2\gamma &=& a, \cr
  2\alpha &          &+ \1\gamma &=& b, \cr
  3\alpha &+  2\beta &           &=& c.\,  }
$$
Nap��klad Gaussovou elimina�n� metodou zjist�me, �e soustava m� �e�en� pro
v�echna $a,b,c\in\R$. Proto $(a,b,c)\in\lob<\vec x, \vec y, \vec z>$.

\okraj Prvek line�rn�ho obalu | Prvek linearniho obalu 

\poznamka [poznlob]
%%%%%%%%%
Zamysleme se nad t�m, co to znamen�, �e $\vec z\in\lob<M>$. 
Vektor $\vec z$ je line�rn� kombinac� n�jak�ho kone�n�ho v�b�ru vektor� z
mno�iny $M$.

Vid�me tedy, �e $\vec z\in\lob<M>$ pr�v� tehdy, kdy� existuje kone�n�
mnoho vektor� $\vecc x_n \in M$ a existuj�
re�ln� ��sla $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ takov�, �e
$$
  \vec z = \lkvecc\alpha.x_n.
  \rce (zinlob)
$$

\okraj Vlastnosti line�rn�ho obalu | Vlastnosti linearniho obalu

\veta* [loblob]
%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor a $M\subseteq L$. Pak plat�:
$$\eqalign{
\bod (1) M\subseteq \lob<M>. \cr
\bod (2) \hbox{Je-li $N\subseteq M$, pak $\lob<N>\subseteq\lob<M>$}. \cr
\bod (3) \lob<M> = \lob<{\lob<M>}>. \cr
\bod (4) \hbox{Je-li } \vec z\in\lob<M>, \hbox{ pak }
         \lob<M>=\lob<M\cup\{\vec z\}>.
}
$$
\par\inl[line�rn�: obal]

\dukaz
%%%%%%
(1) Sta�� uk�zat, �e pokud $\vec z\in M$ pak $\vec z\in\lob<M>$.
Plat� $\vec z = 1\cdot\vec z$, tak�e pro $\vec z$ existuje kone�n�
mnoho prvk� z~$M$ (jmenovit� prvek $\vec z$ samotn�)
tak, �e $\vec z$ je line�rn� kombinac� t�chto prvk�. To podle 
pozn�mky\cite[poznlob] znamen�, �e $\vec z\in\lob<M>$.

(2) Nech� $\vec z\in\lob<N>$, tj. p�edpokl�d�me, �e 
$\vec z$ lze zapsat jako line�rn�
kombinaci kone�n� mnoha prvk� z~$N$. Proto�e tyto prvky le�� i v~$M$,
m��eme ��ci, �e $\vec z$ lze zapsat jako line�rn� kombinaci 
kone�n� mnoha prvk� z~$M$. 
To podle pozn�mky\cite[poznlob] znamen�, �e $\vec z\in\lob<M>$.

(3) Vzhledem k~(1) a (2)
je $\lob<M>\subseteq\lob<{\lob<M>}>$. 
Sta�� tedy uk�zat, �e $\lob<{\lob<M>}>\subseteq\lob<M>$.
Nech� $\vec z\in\lob<{\lob<M>}>$, uk�eme �e $\vec z\in\lob<M>$.
Proto�e $\vec z\in\lob<{\lob<M>}>$, existuj� vektory
$\vecc x_n \in\lob<M>$ takov�, �e
plat�\cite(zinlob). Pro ka�d� $i\in\{1,\ldots,n\}$ je
$\vec x_i\in\lob<M>$, tj. existuje kone�n� mnoho vektor�
$\vec y_{i,1}, \ldots, \vec y_{i,k_i} \in M$ takov�ch, �e 
$$
  \vec x_i = \beta_{i,1}\,\vec y_{i,1} + \cdots +
             \beta_{i,k_i}\,\vec y_{i,k_i}.
$$
Dosazen�m t�chto rovnic do\cite(zinlob) a rozn�soben�m dost�v�me
v�sledek, �e $\vec z$ je line�rn� kombinac� kone�n� mnoha vektor� 
$\vec y_{i,j}\in M$, $i\in\{1,\ldots,n\}, j\in\{1,\ldots,k_i\}$.
To znamen�, �e $\vec z\in\lob<M>$.

(4) Proto�e $M\subseteq M\cup\{\vec z\}$, je podle (2)
$\lob<M>\subseteq \lob<M\cup\{\vec z\}>$.
Proto�e $\vec z\in\lob<M>$, je $M\cup\{\vec z\} \subseteq\lob<M>$
a podle (2) a (3) dost�v�me $\lob<M\cup\{\vec z\}>\subseteq\lob<{\lob<M>}>=\lob<M>$.
M�me tedy $\lob<M>\subseteq \lob<M\cup\{\vec z\}>\subseteq\lob<M>$,
tak�e v~m�st� inkluz� mus� b�t rovnost.

\pozn
%%%%%
Vlastnost (1) v�ty\cite[loblob] lidov� �e�eno znamen�, �e \uv{line�rn�
obalen�} mno�iny m��e p�idat do t�to mno�iny dal�� prvky, ale pokud
tento proces zopakujeme, dal�� prvky u� podle vlastnosti~(3) nez�sk�me.

Takov� mno�iny, kter� p�i \uv{line�rn�m obalen�} ji� nep�id�vaj� ��dn�
dal�� prvky, jsou v�dy line�rn�mi podprostory. To ukazuje n�sleduj�c� v�ta.

\okraj Line�rn�\hb obal je\hb podprostor | Linearni obal je podprostor

\veta* [lob=lpp]
%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor, $M\subseteq L$. Mno�ina $M$ je
line�rn�m podprostorem line�rn�ho prostoru $L$ pr�v� tehdy, kdy�
$\lob<M>=M$.
\inl[line�rn�: obal, line�rn�: podprostor, podprostor: line�rn�]

\dukaz
%%%%%%
Dok�eme nejprve \uv{je-li $M$ line�rn� podprostor, pak $\lob<M>=M$}.
Vezmeme $\vec z\in\lob<M>$ a dok�eme, �e $\vec z\in M$.
Proto�e $\vec z\in\lob<M>$, existuje kone�n� mnoho vektor�
$\vecc x_n\in M$ takov�ch, �e lze ps�t $\vec z=\lkvecc\alpha.x_n$.
Ka�d� s��tanec le�� podle vlastnosti (2) definice\cite[dlpp]
v~mno�in� $M$. Podle vlastnosti (1) definice\cite[dlpp]
v~mno�in� $M$ le�� i sou�et t�chto vektor�, tedy $\vec z\in M$.

Zb�v� dok�zat \uv{je-li $\lob<M>=M$, pak $M$ je line�rn� podprostor}.
Uva�ujme $\vec x\in M,\, \vec y\in M$.
Abychom dok�zali, �e $M$ je line�rn� podprostor, sta�� ov��it, �e 
line�rn� kombinace $1\cdot\vec x + 1\cdot\vec y$ le�� v~$M$ a d�le
$\alpha\cdot\vec x + 0\cdot\vec y$ le�� v~$M$.
Proto�e $\vec x\in M$, $\vec y\in M$, je podle definice line�rn�ho
obalu ka�d� jejich line�rn� kombinace prvkem $\lob<M>$ a podle
p�edpokladu je $\lob<M>=M$. V~mno�in� $M$ tedy le�� 
i uveden� dv� line�rn� kombinace vektor� $\vec x,\vec y$.

\veta* [lobjemin]
%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor a $M\subseteq L$ je libovoln� nepr�zdn� mno�ina.
Pak $P=\lob<M>$ je nejmen�� line�rn� podprostor, pro kter� plat�
$M\subseteq P$.
\inl[line�rn�: obal, line�rn�: podprostor, podprostor: line�rn�]

\dukaz
%%%%%%
Proto�e $\lob<P>=\lob<{\lob<M>}> = \lob<M> = P$, je podle v�ty\cite[lob=lpp]
z�ejm�, �e $P$ je line�rn� podprostor. 
Sta�� uk�zat, �e $P$ je nejmen�� podprostor s vlastnost� $M\subseteq P$.

Nech� $Q$ je n�jak� podprostor, pro kter� tak� plat� $M\subseteq Q$.
Podle v�ty\cite[lob=lpp] je $\lob<Q>=Q$. D�le pou�ijeme 
(2)~v�ty\cite[loblob] na inkluzi $M\subseteq Q$ a dost�v�me
$P=\lob<M>\subseteq\lob<Q>=Q$.

\definice
%%%%%%%%%
Nech� $P$ je line�rn� podprostor line�rn�ho prostoru $L$.
Mno�ina vektor� $M$, pro kterou plat� $\lob<M>=P$, se naz�v�
{\em mno�ina gener�tor�\/} line�rn�ho podprostoru $P$. Je-li
$\lob<\vecc x_n>=P$, pak tak� ��k�me, �e {\em vektory $\vecc x_n$ generuj�\/}
line�rn� podprostor $P$. Skute�nost, �e vektory generuj� line�rn�
podprostor $P$ nen� nic jin�ho, ne� �e mno�ina v�ech jejich line�rn�ch
kombinac� \uv{vypln�} cel� podprostor $P$.
\inl[mno�ina: gener�tor�, vektory: generuj�c� podprostor]

\okraj Roz���en�\hb LN mno�iny |
       Rozsireni LN mnoziny 

\veta* [pridanivektoru]
%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor, $M\subseteq L$ je line�rn� nez�visl�
mno�ina a $\vec z\not\in \lob<M>$. Pak t� $M\cup\{\vec z\}$ je line�rn�
nez�visl� mno�ina.
\inl[line�rn�: obal, line�rn�: nez�vislost]

\dukaz
%%%%%%
D�kaz povedeme sporem. P�edpokl�dejme, �e 
$M\cup\{\vec z\}$ je line�rn� z�visl�. Pak existuje
kone�n� mnoho prvk� $\vecc x_n \in M$ takov�ch, �e
$\lkvecc \alpha.x_n + \alpha_{n+1}\,\vec z $
je netrivi�ln� line�rn� kombinace rovna nulov�mu vektoru. 
Pro $\alpha_{n+1}=0$ z�st�v� netrivi�ln� line�rn� kombinace 
vektor� $\vecc x_n$ rovna nulov�mu vektoru, neboli kone�n� 
podmno�ina $M$ je line�rn� z�visl�. To je ve sporu s~t�m, 
�e $M$ je line�rn� nez�visl�.

Pro $\alpha_{n+1}\not=0$ je vektor $\vec z$ line�rn� kombinac� vektor�
$\vecc x_n$ (p�evedeme n�sobek vektoru $\vec z$ na druhou stranu
rovnosti a pod�l�me $-\alpha_{n+1}$, jako v~d�kazu v�ty\cite[xr]). 
To je ve sporu s~t�m, �e $\vec z\not\in\lob<M>$. Pro oba 
p��pady hodnot $\alpha_{n+1}$ dost�v�me spor, tak�e 
$M\cup\{\vec z\}$ nem��e b�t line�rn� z�visl�.


\veta [lnMcupN]
%%%%%
Nech� $M$ a $N$ jsou line�rn� nez�visl� mno�iny v line�rn�m prostoru
$L$ a p�edpokl�dejme, �e $\lob<M>\cap\lob<N>=\{\vec o\}$. Pak mno�ina
$M\cup N$ je line�rn� nez�visl�.

\dukaz
Line�rn� nez�vislost mno�iny $M\cup N$ vyplyne z toho, 
�e ka�d� kone�n� line�rn� kombinace
vektor� $\vecc x_m$ z~$M$ a vektor� $\vecc y_n$ z~$N$
(dohromady), kter� je rovna nulov�mu vektoru, je trivi�ln�.
Polo�me tedy
$$
  (\alpha_1\vec x_1 + \alpha_2\vec x_2 + \cdots + \alpha_m\vec x_m) +
  (\beta_1\vec y_1 + \beta_2\vec y_2 + \cdots + \beta_m\vec y_m) = \vec o
$$ 
a ozna�me prvn� z�vorku $\vec a$ a druhou $\vec b$. Z�ejm� je
$\vec a\in\lob<M>$ a $\vec b\in\lob<N>$. Proto�e je 
$\vec a=-\vec b$ (jinak by sou�et nemohl b�t roven nulov�mu vektoru), je tak�
$\vec a\in\lob<N>$. Tak�e $\vec a\in\lob<M>\cap\lob<N>$ a podle
p�edpokladu je $\vec a=\vec o$. Proto�e je $M$ line�rn� nez�visl�,
mus� b�t line�rn� kombinace v prvn� z�vorce pouze trivi�ln�. Je toti�
rovna nulov�mu vektoru $\vec a$. Proto�e je $N$ lien�rn� nez�visl�,
mus� b�t line�rn� kombinace v druh� z�vorce pouze trivi�ln�. Je toti�
rovna nulov�mu vektoru $-\vec a$. Tak�e zkouman� line�rn� kombinace
v�ech vektor� $\vecc x_m, \vecc y_n$ je trivi�ln�.

\poznamka
%%%%%%%%%
P�edpoklad $\lob<M>\cap\lob<N>=\{\vec o\}$ 
ve v�t�\cite[lnMcupN] je nutn�. P��klad
$M=\{(1,0,0), (0,1,0)\}$, $N=\nobreak\{(1,0,1), (0,1,1)\}$ ilustruje situaci,
kdy ob� mno�iny jsou line�rn� nez�visl�, mno�ina $M$ le�� mimo
$\lob<N>$ a mno�ina $N$ le�� mimo $\lob<M>$, a p�esto je mno�ina
$M\cup N$ line�rn� z�visl�.


\okraj Charakte\-ristiky\hb LN mno�iny |
       Charakteristiky LN mnoziny 

\veta [N=N1cupN2]
%%%%%
Nech� $N$ je line�rn� nez�visl� mno�ina v linern�m prostoru $L$ a
nech� $N_1$ a $N_2$ jsou jej� disjunktn� podmno�iny 
(tj. $N_1\cap N_2=\emptyset$). Pak $\lob<N_1>\cap\lob<N_2>=\{\vec o\}$.

\exdukaz
%%%%%%
P�edpokl�dejme $\vec x\in\lob<N_1>\cap\lob<N_2>$.
Uk�eme, �e mus� $\vec x=\vec o$. 
Vektor $\vec x$ je kone�nou line�rn� kombinac� vektor�
$\vecc x_m$ z $N_1$ a je tak� kone�nou line�rn� kombinac� vektor� 
$\vecc y_k$ z $N_2$, tedy
$$
  \eqalign{
  \vec x &= \lkvecc \alpha.x_m, \quad 
  \vec x = \lkvecc \beta.y_k,\cr\hbox{tak�e:}\quad
  \vec x-\vec x=\vec o &= \lkvecc \alpha.x_m 
   - \beta_1\vec y_1 - \beta_2\vec y_2 - \cdots - \beta_k\vec y_k
}
$$
Line�rn� kombinace 
$\lkvecc \alpha.x_m - \beta_1\vec y_1 - \beta_2\vec y_2 - \cdots - \beta_k\vec y_k$ 
je kombinac� kone�n� mnoha r�zn�ch
vektor� z mno�iny $N$ a tato mno�ina je podle p�edpokladu lin�rn�
nez�visl�. Proto�e je tato
line�rn� kombinace rovna nulov�mu vektoru, mus� b�t trivi�ln�.
Tak�e tak� $\lkvecc \alpha.x_m$ je trivi�ln� line�rn� kombinace a to
znamen�, �e $\vec x = 0\,\vec x_1 + 0\,\vec x_2 + \cdots + 0\,\vec x_m = \vec o$.

\veta [lnlob]
%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor. Mno�ina $N\subseteq L$ je line�rn� nez�visl�
pr�v� tehdy, kdy� pro v�echny vlastn� podmno�iny $M\subset N$,
$M\not=N$ plat� $\lob<M>\subset\lob<N>$, $\lob<M>\not=\lob<N>$.
\inl[line�rn�: obal, line�rn�: nez�vislost]

\exdukaz
%%%%%%
P�edpokl�dejme nejprve, �e $N$ je line�rn� nez�visl�. Nech� 
$M\subset N$, $M\not=N$.
Zvolme vektor $\vec z\in N$ takov�, �e $\vec z\not\in M$. 
Vektor $\vec z$ nelze vyj�d�it jako line�rn�
kombinaci ��dn� kone�n� podmno�iny prvk� mno�iny $M$. Kdyby to bylo mo�n�,
byla by mno�ina $N$ line�rn� z�visl� a ona nen�.
Plat� tedy, �e $\vec z\not\in\lob<M>$, a p�itom $\vec z\in\lob<N>$. 

P�edpokl�dejme nyn�, �e $N$ je line�rn� z�visl�. 
Pak podle pozn�mky\cite[lzmnozin] existuje vektor $\vec z\in N$, kter�
je roven line�rn� kombinaci kone�n� mnoha ostatn�ch vektor� z $N$, 
tak�e $\vec z\in\lob<M>$, kde $M=N\setminus\{\vec z\}$.
Podle vlastnosti (4) v�ty\cite[loblob] je $\lob<M>=\lob<M\cup\{\vec z\}>$,
jin�mi slovy $\lob<M>=\lob<N>$.
 
\shrnuti
%%%%%%%%
V t�to kapitole jsme definovali line�rn� z�vislost a nez�vislost 
vektor�~/\ncite[LZskupiny], \ncite[poznlz], \ncite[LNskupiny], 
\ncite[neklz]/. Vektory jsou line�rn� z�visl�, pokud exituje
netrivi�ln� line�rn� kombinace t�chto vektor� rovnaj�c� se nulov�mu
vektoru. To je ekvivalentn� s t�m, �e existuje jeden vektor, kter� je
line�rn� kombinac� ostatn�ch\lcite[xr]. Vektory jsou line�rn�
nez�visl�, pokud jen jejich trivi�ln� line�rn� kombinace je rovna
nulov�mu vektoru. Tedy pokud neexistuje ��dn� takov� vektor, kter� by
byl line�rn� kombinac� ostatn�ch.

Nekone�n� mno�ina vektor� je line�rn� z�visl�, pokud existuje jej� kone�n� 
line�rn� z�visl� podmno�ina. Nekone�n� mno�ina je line�rn� nez�visl�,
pokud ka�d� jej� kone�n� mno�ina je line�rn� nez�visl�.
Ka�d� podmno�ina (kone�n� i nekone�n�) line�rn� nez�visl� mno�iny je
line�rn� nez�visl�\lcite[lnmnoz].

Line�rn� obaly vektor� obsahuj� v�echny jejich kone�n� line�rn�
kombinace~/\ncite[linobal], \ncite[poznkonlob], \ncite[poznlob]/. 
Line�rn� obal line�rn�ho obalu u� nep�in�� nov� line�rn� 
kombinace\lcite[loblob]. Ka�d� line�rn� podprostor $P$ lze zapsat jako line�rn�
obal n�jak� mno�iny (nap��klad mno�iny $P$ samotn�, ale to nen�
nej��eln�j��) a naopak line�rn� obal jak�koli mno�iny $M$ 
je podprostorem. Je to nejmen�� podprostor, kter�
obsahuje mno�inu $M$\lcite[lobjemin].

Z line�rn� z�visl� mno�iny lze odebrat vektor tak, aby z�stal zachov�n
jej� line�rn� obal~/\ncite[xr],\cite[loblob]/,
zat�mco z line�rn� nez�visl� mno�iny nelze odebrat vektor bez zm�ny
jej�ho line�rn�ho obalu\lcite[lnlob].


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola [base] B�ze, dimenze, sou�adnice | Base, dimense, souradnice
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\pozn
%%%%%
Mezi mno�inami gener�tor� n�jak�ho line�rn�ho (pod)prostoru bude
z�ejm� nej�sporn�j�� takov� mno�ina, kter� je line�rn� nez�visl�.
V�ta\cite[lnlob] n�m uk�zala, �e to je skute�n�
\uv{nej�sporn�j�� opat�en�}, proto�e odebr�n�m jak�hokoli prvku z~takov�
mno�iny zp�sob�, �e line�rn� obal u� nebude pokr�vat cel� (pod)prostor.
��dn� prvky line�rn� nez�visl� mno�iny tedy nejsou p�i popisu (pod)prostoru pomoc�
line�rn�ho obalu zbyte�n�. To n�s vede (krom� jin�ch d�le�it�ch
d�vod�) k~definici b�ze line�rn�ho (pod)prostoru.

\okraj B�ze | Base

\definice* [dbase]
%%%%%%%%%
{\em B�ze} line�rn�ho (pod)prostoru $L$ je takov� podmno�ina $B\subseteq L$, 
pro kterou plat�
$$\eqalign{
\bod (1) B \hbox{ je line�rn� nez�visl�},\cr
\bod (2) \lob<B> = L. \cr}
$$
Stru�n� �e�eno: b�ze line�rn�ho (pod)prostoru $L$ je line�rn� nez�visl�
mno�ina jeho gener�tor�.
\par\inl[b�ze]

%\pozn
%%%%%
%V~definici\cite[dbase] se mluv� o~$L$ jako o~line�rn�m prostoru. Nen�
%ale vylou�eno, �e $L$ je line�rn� podprostor n�jak�ho jin�ho
%(v�t��ho) line�rn�ho prostoru $L'$, proto�e line�rn� podprostor je podle 
%pozn�mky\cite[vllpp] s�m o~sob� line�rn�m prostorem. 

\priklad [baseR3]
%%%%%%%%
Mno�ina vektor� $B=\{(1,2,3),(1,0,2),(-2,1,0)\}$ 
je b�z� line�rn�ho prostoru $\R^3$, proto�e je podle 
p��kladu\cite[lntrojka] line�rn� nez�visl� a podle 
p��kladu\cite[obaltrojky] generuje $\R^3$.

\priklad [gbaseR3]
%%%%%%%%
Mno�ina vektor� $B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ je b�z� line�rn�ho
prostoru $\R^3$. Snadno zjist�me, �e je line�rn� nez�visl� a nav�c pro
vektor $(a,b,c)\in\R^3$ je
$$
  (a,b,c) = a\,(1,0,0) + b\,(0,1,0) + c\,(0,0,1).
$$
Ka�d� vektor $(a,b,c)$ lze tedy zapsat jako line�rn� kombinaci
vektor� z~$B$, neboli $\lob<B>=\R^3$.

V�imn�me si, �e jsme u� na�li dv� b�ze line�rn�ho prostoru $\R^3$
(v~p��kladu\cite[baseR3] a v~tomto p��kladu). Vid�me tedy, �e b�ze
nen� ur�ena line�rn�m prostorem jednozna�n�. Nap��klad pro
$\alpha\not=0$ jsou
mno�iny $B_\alpha = \{(\alpha,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ 
r�zn� b�ze line�rn�ho prostoru $\R^3$. B�z� je tedy
nekone�n� mnoho.
\inl[b�ze: standardn�, b�ze, b�ze: standardn�: v R3]

\priklad [gbaseRn]
%%%%%%%%
Mno�ina uspo��dan�ch $n$-tic
$S_n=\{(1,0,0,\ldots,0), (0,1,0,\ldots,0), \ldots, (0,0,0,\ldots,0,1)\}$
tvo�� b�zi line�rn�ho prostoru $\R^n$. Je line�rn� nez�visl� a generuje
$\R^n$ z~analogick�ch d�vod�, jako v~p��kladu\cite[gbaseR3].
Takovou b�zi line�rn�ho prostoru $\R^n$ naz�v�me {\em standardn� b�z�}.
\inl[b�ze: standardn�, b�ze, b�ze: standardn�: v Rn]

\priklad [basepolynomy]
%%%%%%%%
Mno�ina $B=\{1,x,x^2,x^3,\ldots\}$ tvo�� b�zi line�rn�ho prostoru $P$
v�ech polynom�. Podle p��kladu\cite[lnpolynomy] je line�rn� nez�visl�.
Zb�v� tedy ov��it, �e $\lob<B>=P$. Zvolme n�jak� polynom
$p\in P$. Uk�eme, �e $p\in\lob<B>$. Pro ka�d� polynom $p\in P$
existuje $n\in\N$ a re�ln� ��sla $a_0, a_1, \ldots, a_n$ takov�, �e
hodnota polynomu $p$ v~bod� $x$ je d�na vzorcem
$$
  p(x) = a_n\,x^n + \cdots + a_1\,x + a_0 \quad\forall x\in\R.
$$
Existuje tedy kone�n� podmno�ina $K\subseteq B$, 
$K=\{1,x,x^2,\ldots,x^n\}$ takov�, �e $p$ je line�rn� kombinac�
prvk� z~$K$ (koeficienty t�to line�rn� kombinace jsou ��sla
$a_0, a_1, \ldots, a_n$). Z~toho plyne, �e $p\in\lob<B>$.
\inl[polynom, b�ze: polynom�, prostor: polynom�]

\priklad [basePnn]
%%%%%%%%
Uva�ujme line�rn� prostor $P_{\leq n}$ v�ech polynom� nejv��e
$n$-t�ho stupn� z~p��kladu\cite[lpPnn]. Uk�eme, �e mno�ina
$B_n=\{1,x,x^2,\ldots,x^n\}$ tvo�� b�zi line�rn�ho prostoru $P_{\leq n}$.

P�edn�, $B_n$ je line�rn� nez�visl�, proto�e je podmno�inou
line�rn� nez�visl� mno�iny $B$ z~p��kladu\cite[basepolynomy]
(ka�d� podmno�ina line�rn� nez�visl� mno�iny je podle 
v�ty\cite[lnmnoz] line�rn� nez�visl�). Analogicky jako
v~p��kladu\cite[basepolynomy] lze uk�zat, �e $\lob<B_n>=P_{\leq n}$.

\priklad [dimUO]
%%%%%%%%
Vra�me se k~line�rn�mu prostoru $U_O$ v�ech orientovan�ch �se�ek
se spole�n�m po��tkem. Podle (5) z~p��kladu\cite[UOlnlz]
je ka�d� line�rn� nez�visl� mno�ina vektor� 
$\{\vec u, \vec v, \vec w\}$ b�z� line�rn�ho prostoru~$U_O$.
\inl[prostor: UO, prostor: orientovan�ch �se�ek]

\okraj Existenece a jednozna�nost b�ze | Existenece a jednoznacnost base

\pozn* [jednoznacnostbase]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\it O~existenci a jednozna�nosti b�ze}.
P��klad\cite[gbaseR3] ilustroval skute�nost, �e b�ze line�rn�ho 
(pod)prostoru nen� ur�ena jednozna�n�. Line�rn� 
(pod)prostor m��e m�t dokonce nekone�n� mnoho b�z�.

N�sleduj�c� v�ta dokl�d�, �e ka�d� line�rn� prostor m� b�zi.
V�jimkou je pouze trivi�ln� line�rn� prostor $L=\{\vec o\}$, kter�
jedin� nem� b�zi (n�kte�� auto�i uv�d�j� pr�zdnou mno�inu jako b�zi
trivi�ln�ho line�rn�ho prostoru).
%Polo�me si ot�zku, zda ka�d� line�rn� prostor mus� m�t b�zi. 
%S~v�jimkou trivi�ln�ho line�rn�ho prostoru 
%(tj.~$L=\{\vec o\}$, viz p��klad\cite[trivprostor])
%m� skute�n� ka�d� line�rn� prostor b�zi. To dokl�d� n�sleduj�c� v�ta.
N�sleduj�c� v�ta dokonce tvrd�, �e ka�dou line�rn� nez�vislou 
mno�inu lze doplnit p�id�n�m p��padn� dal��ch
prvk� na b�zi a naopak, z~ka�d� mno�iny $M$, kter� generuje $L$,
lze p��padn� odebrat n�jak� prvky tak, aby zbyl� mno�ina tvo�ila
b�zi. 
%V�tu bohu�el nebudeme dokazovat, proto�e vy�aduje pou�it�
%hlub��ch poznatk� z~teorie mno�in (tzv.~Zornovo lemma), kter� 
%v~tuto chv�li nem�me k~dispozici.

%Poznamenejme je�t�, �e b�ze trivi�ln�ho line�rn�ho prostoru 
%(tj.~$L=\{\vec o\}$, viz p��klad\cite[trivprostor]) je pr�zdn�
%mno�ina. Abychom to mohli prohl�sit, mus�me 
%dodefinovat line�rn� obal pr�zdn� mno�iny
%jako mno�inu~$\{\vec o\}$, co� je v~souladu s~vlastnost� 
%v�ty\cite[lobjemin].

\veta [existencebase]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Nech� $L$ je netrivi�ln� line�rn� prostor. Pak $L$ m� b�zi. Podrobn�ji: 

\noindent
(1) Pro ka�dou line�rn�
nez�vislou mno�inu $N\subseteq L$ existuje b�ze $B$ 
prostoru $L$ takov�, �e $N\subseteq B$. 

\noindent
(2) Pro ka�dou mno�inu 
$M$ gener�tor� prostoru $L$ existuje 
b�ze $B$ prostoru $L$ takov�, �e $B\subseteq M$.

\exdukaz
T�mto d�kazem se �ten�� opravdu nemus� zab�vat, pokud k~tomu nem� p�dn� d�vod. 
Je zde uveden zejm�na proto, aby ka�d� zde vysloven� a pou�it� 
v�ta m�la sv�j d�kaz. Ov�em pro argumenty d�kazu je t�eba s�hnout 
do jin� teorie, v tomto p��pad� axiomatick� teorie mno�in 
(axiom v�b�ru, princip maximality). Nem�-li �ten��
z t�to oblasti odpov�daj�c� znalosti, ud�l� dob�e, kdy� d�kaz
p�esko��. Algebraick� idea d�kazu ve srozumiteln� podob� je vylo�ena 
v~n�sleduj�c�ch p��kladech\cite[N-base],\cite[M-base],\cite[odebirani].
To je pro studium line�rn� algebry dosta�uj�c�. N�sleduj�c� d�kaz je
tedy sp��e cvi�en�m z teorie mno�in.
\inl[princip: maximality, axiom: v�b�ru]

D�kaz existence b�ze se op�r� o princip maximality, o kter�m je
zn�mo, �e je ekvivalentn� s axiomem v�b�ru. Tento axiom v teorii
mno�in je sice bezesporn� s ostatn�mi axiomy, ale diskutabiln�.
Nicm�n� v~mnoha teori�ch ho pot�ebujeme. T�eba pr�v� nyn�.

Princip maximality ��k�, �e m�me-li mno�inu ${\cal S}$ 
uspo��danou relac� $\le_S$ a plat�-li, �e ka�d� podmno�ina 
${\cal R}$ mno�iny ${\cal S}$, ve kter� jsou si v relaci v�echny prvky 
vz�jemn�, m� horn� mez $U\in{\cal S}$ (tj. $\forall R\in{\cal R}$ je
$R\le_S U$), pak pro ka�d� prvek $N\in{\cal S}$ existuje maxim�ln� prvek 
$B\in{\cal S}$ tak, �e $N\le_S B$. Maxim�ln� prvek $B\in{\cal S}$
ja takov�, �e v ${\cal S}$ neexistuje prvek v�t��, tj. neexistuje prvek
$B'\in{\cal S}$, $B'\not=B$ tak, �e $B\le_S B'$.

Pro d�kaz prvn� ��sti v�ty nech� ${\cal S}$ je syst�m v�ech line�rn� nez�visl�ch
mno�in line�rn�ho prostoru $L$ uspo��dan� relac� \uv{b�t podmno�inou},
tj. relac� $\subseteq$. Pro ka�d� podsyst�m $\cal R$, kde lze relac�
$\subseteq$ porovnat ka�dou mno�inu s ka�dou (jedn� se tedy o syst�m
vz�jemn� do sebe vno�en�ch mno�in $R_I$) sestroj�me $U=\cup R_I$. To
je horn� mez, proto�e $R_J\subseteq \cup R_I$ pro libovolnou mno�inu
$R_J\in{\cal R}$ a nav�c $U\in{\cal S}$, nebo� je line�rn� nez�visl�.
Pro� je nez�visl�? Pro spor p�edpokl�dejme, �e $U$ je line�rn�
z�visl�. Pak existuje kone�n� line�rn�
z�visl� mno�ina $K=\{\vecc x_k\}\subseteq U$. Ka�d� jednotliv� vektor
$\vec x_i$ le�� v n�jak� mno�in� $R_i\in{\cal R}$. Tento kone�n� po�et
mno�in z $\cal R$ uspo��d�me podle velikosti: 
$R_1\subseteq R_2\subseteq\cdots\subseteq R_k$, tak�e $K\subseteq R_k$.
O mno�in� $R_k$ se ale v�, �e je line�rn� nez�visl�, tak�e nem��e
obsahovat line�rn� z�vislou podmno�inu $K$. To je spor, tak�e $U$ je
line�rn� nez�visl�, tedy $U\in{\cal S}$. Nyn� pro ka�dou line�rn� nez�vislou
mno�inu $N$ sestroj�me podle principu maximality maxim�ln� prvek
$B\in{\cal S}$. Mno�ina $B$ je b�ze, proto�e je line�rn� nez�visl� a
p�id�n�m libovoln�ho prvku k $B$ u� z�sk�me mno�inu mimo $\cal S$,
tedy mno�inu line�rn� z�vislou. Tak�e podle v�ty\cite[pridanivektoru]
mus� $\lob<B>=L$.

K d�kazu druh� ��ti v�ty zvol�me $\cal S$ syst�m v�ech line�rn� nez�visl�ch
podmno�in mno�iny $M$ uspo��dan�ch relac� $\subseteq$. Z principu
maximality (podm�nky se ov��� stejn� jako p�ed chv�l�) existuje 
ke mno�in� $N=\emptyset$ maxim�ln� mno�ina $B\in {\cal S}$
takov�, �e $\emptyset\subseteq B$. 
Plat� $M\subseteq \lob<B>$. Kdyby toti� $\vec x\in M$ a sou�asn� 
$\vec x\not\in\lob<B>$, pak $B\cup\{\vec x\}$ by byla podle 
v�ty\cite[pridanivektoru] line�rn� nez�visl� podmno�ina $M$. To ale 
nen� mo�n�, proto�e $B$ je maxim�ln�. Na nerovnost
$M\subseteq\lob<B>$ nyn� uplatn�me v�tu\cite[loblob]:
$\lob<M>\subseteq \lob<{\lob<B>}>=\lob<B>$. Proto�e $\lob<M>=L$, je
$\lob<B>=L$..


\priklad [N-base]
%%%%%%%%
Je-li $N=\{\vecc x_k\}$ line�rn� nez�visl� mno�ina line�rn�ho prostoru
$\R^n$, pak podle p�edchoz� v�ty existuje mno�ina 
$B=\{\vecc x_m\}$, $m\geq k$ takov�, �e $B$ je b�ze. 
Uk�eme v~tomto p��klad�, jak bychom takovou b�zi nalezli.

Pokud u� $\lob<N>=\R^n$, pak $N$ samotn� je b�ze a polo��me $B=N$.
Pokud ale $\lob<N>\not=\R^n$, pak existuje prvek $\vec x\in\R^n$, pro
kter� $\vec x\not\in\lob<N>$ Pt�me se, zda u� $N\cup\{\vec x\}$ je b�ze.
Podle v�ty\cite[pridanivektoru] tato mno�ina z�st�v� line�rn�
nez�visl�. Pokud $\lob<N\cup\{\vec x\}>=\R^n$, pak jsme na�li
b�zi. Jestli�e tato vlastnost neplat�, opakujme postup 
s~p�id�n�m dal��ho prvku
$\vec y\not\in \lob<N\cup\{\vec x\}>$ znovu. Tento postup budeme
opakovat tak dlouho, dokud budou existovat vektory mimo line�rn� obal
na�� postupn� roz�i�ovan� mno�iny. Podle p��kladu\cite[lzRn] 
dosp�jeme k~v�sledku po kone�n� mnoha kroc�ch, proto�e v~$\R^n$ 
nelze vytvo�it line�rn� nez�vislou mno�inu, kter� by m�la 
v�ce ne� $n$ prvk�.

Poznamenejme, �e tento postup vedl k~c�li, proto�e jsme m�li zaru�eno,
�e b�ze bude m�t kone�n� mnoho prvk�. Pro nekone�n� b�ze bychom se
t�mto postupem mohli \uv{utopit v~nekone�nu}. Na druh� stran� postup
lze aplikovat na libovoln� line�rn� prostor, kter� m� kone�n� b�ze,
nemus�me se nutn� omezovat na $\R^n$.

\priklad [M-base]
%%%%%%%%
Tvrzen� druh� ��sti v�ty\cite[existencebase] si ilustrujeme na p��kladu kone�n�
mno�iny $M$. Je $\lob<M>=L$ a m�me dok�zat, �e existuje $B\subseteq M$ 
takov�, �e $\lob<B>=L$ a nav�c $B$ je line�rn� nez�visl�.

Uva�ujme v�echny podmno�iny $A_i\subseteq M$, pro kter� $\lob<A_i>=L$.
Vid�me, �e existuje aspo� jedna takov� podmno�ina, sice mno�ina $M$
samotn�. Ze v�ech takov�ch podmno�in $A_i$ vyberme tu, kter� m� nejmen��
po�et prvk� (v�echny tyto podmno�iny jsou kone�n�, tak�e pro ka�dou
m��eme spo��tat jej� po�et prvk�). Je mo�n�, �e takov�ch mno�in
s~nejmen��m po�tem prvk� bude existovat v�ce, pak je jedno, kterou 
z~nich zvol�me. Ozna�me ji $B$. V�me, �e $\lob<B>=L$ (tuto vlastnost
maj� v�echny podmno�iny $A_i$, tak�e jmenovit� t� mno�ina $B$). 
D�le v�me, �e odebr�n�m jak�hokoli prvku z~mno�iny $B$ 
u� nebude pro novou $B_1$
platit $\lob<B_1>=L$. Kdyby to platilo, tak nebyla vybr�na $B$ 
s~nejmen��m po�tem prvk�. Nyn� pou�ijeme v�tu\cite[lnlob]. Mno�ina
$B$ je tedy line�rn� nez�visl�.

\priklad* [odebirani]
%%%%%%%%
Z kone�n� mno�iny $M$, kter� spl�uje $\lob<M>=L$, lze vytvo�it
postupn�m odeb�r�n�m prvk� z $M$ b�zi $L$, tedy naj�t mno�inu $B$ 
z p�edchoz�ho p��kladu. Existuje k tomu tento n�zorn� postup:
Je-li $M$ line�rn� nez�visl�, je $B=M$ a jsme hotovi. Je-li line�rn�
z�visl�, podle v�ty\cite[xr] existuje jeden prvek $M$, kter� je
line�rn� kombinac� ostatn�ch. Odebr�n�m tohoto prvku vznik� mno�ina
$M'$ se stejn�m line�rn�m obalem, jako $\lob<M>$, proto�e plat� (4) 
v�ty\cite[loblob]. Je-li $M'$ line�rn� nez�visl�, je $B=M'$ a jsme
hotovi. Jinak postup opakujeme, tj. odebereme z $M'$ vektor tak, �e se
nezm�n� line�rn� obal a znovu se pt�me na line�rn� nez�vislost zbyl�
mno�iny. Proces kon��, a� se poda�� odebrat tolik prvk�, �e zbytek je
mno�ina line�rn� nez�visl�. Proces ur�it� skon�� po kone�n� mnoha
kroc�ch, nebo� $M$ je kone�n�. Pokud $M$ obsahuje nenulov� vektory,
v�sledn� mno�ina $B$ je jist� nepr�zdn�, line�rn� nez�visl� a
$\lob<B>=L$, tedy $B$ je b�ze. 
%Je-li $M=\{\vec o\}$, pak je t�
%$L=\{\vec o\}$, co� je vyj�me�n� p��pad prostoru, kter� nem� b�zi. 

\poznamka
%%%%%%%%%
P��klad b�ze prostoru $F_D$ v�ech funkc� definovan�ch na mno�in�
$D\subset\R$ nebudeme uv�d�t, proto�e nem�me prost�edky, 
jak takovou b�zi zapsat. B�ze je v~tomto p��pad�
nekone�nou mno�inou, kter� m� 
v�t�� mohutnost, ne� je mohutnost mno�iny p�irozen�ch ��sel.
Nen� tedy mo�n� b�zov� prvky o��slovat a se�adit za sebe.
\inl[prostor: funkc�, b�ze, b�ze: prostoru: funkc�]

\okraj B�ze jsou stejn� velk� | Base jsou stejne velke

\poznamka
%%%%%%%%%
Uk�eme, �e dv� (obecn� r�zn�) b�ze stejn�ho line�rn�ho (pod)prostoru maj�
stejn� po�et prvk�. Tento d�kaz se tradi�n� op�r� o~Steinitzovu v�tu 
o~v�m�n�. �ten�� si m��e pro v�t�� n�zornost vytvo�it mno�inu $M$
�ern�ch kam�nk� a line�rn� nez�vislou mno�inu $N$ b�l�ch kam�nk�,
kter� v�echny le�� v line�rn�m obalu �ern�ch. M��e za��t
{\it vym��ovat\/} postupn� �ern� kam�nky za b�l� kus za kus. P�i pou�it� 
n�sleduj�c� Steinitzovy v�ty o~v�m�n� �ten�� shled�, �e v�m�nu lze 
ud�lat tak, aby line�rn� obal p�vodn� mno�iny $M$ z�stal zachov�n i
p�esto, �e v n� jsou nahrazeny n�kter� �ern� kameny v�emi b�l�mi.

\veta (Steinitzova o v�m�n�) [steinitz]
%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor, $M\subseteq L$ je libovoln� mno�ina
a $N\subseteq \lob<M>$ je line�rn� nez�visl� mno�ina, obsahuj�c� $k$ vektor�.
Pak lze odebrat z~mno�iny $M$ jej�ch $k$~vektor� a vytvo�it tak mno�inu
$M_1$, pro kterou plat�:
$$
  \lob <M> = \lob<M_1\cup N>.
$$
Jin�mi slovy, odebr�n�m vhodn�ch $k$ vektor� z $M$ a nahrazen�m t�chto vektor�
v�emi line�rn� nez�visl�mi vektory z~$N$ se line�rn� obal $\lob<M>$ nezm�n�.
\inl[v�ta: Steinitzova o v�m�n�, Steinitzova: v�ta o v�m�n�]
\inl[line�rn�: obal]

\exdukaz
%%%%%%
Pou�ijeme matematickou indukci podle~$k$ (o indukci viz
\ifbook pozn�mku\cite[mat-indukce] a \fi d�kaz v�ty\cite[pocetperm]).
Pro $k=0$ v�ta plat�, proto�e
mno�inu $M$ v�bec nem�n�me.

Nech� nyn� v�ta plat� pro ka�dou line�rn� nez�vislou mno�inu 
s~$k$ prvky a dok�eme, �e plat� i pro mno�inu s~$k+1$ prvky. 
Nech� $N=\{\vecc v_k, \vec v_{k+1}\}\subseteq\lob<M>$. 
Ozna�me $N_1=\{\vecc v_k\}$.
Z~mno�iny $M$ lze odebrat $k$ vektor� tak, �e vznikne mno�ina $M_1$,
pro kterou je 
$$
 \lob<M>=\lob<M_1\cup N_1>=\lob<M_1\cup N>. 
$$
Prvn�
rovnost je induk�n� p�edpoklad a druh� rovnost plyne z toho, �e
$\vec v_{k+1}\in\lob<M>=\lob<M_1\cup N_1>$ a ze~�tvrt� vlastnosti
v�ty\cite[loblob]. Sta�� tedy naj�t v $M_1$ vektor $\vec w_1$ tak, 
aby jej �lo odebrat a obal se nezm�nil, tedy
$\lob<M_1\cup N>=\lob<M_1\setminus\{\vec w_1\}\cup N>$.
Proto�e
$\vec v_{k+1}\in\lob<M>=\lob<M_1\cup N_1>$,
existuje kone�n� mnoho vektor� $\vecc w_n\in M_1$ tak, �e
$$
  \vec v_{k+1} = \alpha_1\vec w_1 + \alpha_2\vec w_2 +\cdots + \alpha_n\vec w_n +
                 \beta_1\vec v_1 + \cdots + \beta_k\vec v_k.
$$
Proto�e $N$ je line�rn� nez�visl�, tak 
(A)~p�i $k=0$ mus� b�t $\vec v_{k+1}$ nenulov� a (B)~p�i $k>0$ nesm� 
$\vec v_{k+1}$ b�t line�rn� kombinac� vektor� $\vecc v_k$ (v�ta\cite[xr]).
Z toho plyne, �e $n>0$ a nemohou b�t v�echny koeficienty $\alpha_i$ nulov�.
Uspo��d�me nyn�
$\vecc w_n$ tak, aby $\alpha_1\not=0$. Z~p�edchoz� rovnosti plyne
$$
  \vec w_1 = {1\over\alpha_1}\,\vec v_{k+1} - 
                 {\alpha_2\over\alpha_1}\,\vec w_2 -\cdots - 
                 {\alpha_n\over\alpha_1}\,\vec w_n -
                 {\beta_1\over\alpha_1}\,\vec v_1 - \cdots - 
                 {\beta_k\over\alpha_1}\,\vec v_k,
$$
tak�e
$\vec w_1\in\lob<M_1\setminus\{\vec w_1\}\cup N_1\cup\{\vec v_{k+1}\}>$.
Podle (4)~z~v�ty\cite[loblob] se p�id�n�m vektoru $\vec w_1$ do mno�iny
$M_1\setminus\{\vec w_1\}\cup N$ line�rn� obal mno�iny nezm�n�, tak�e je
$\lob<M_1\setminus\{\vec w_1\}\cup N>=\lob<M_1\cup N>=\lob<M>$.
Uveden� postup p�itom zaru�il $\vec w_1\in M_1$, tak�e z mno�iny $M$
jsme celkem odebrali $k+1$ vektor�.

\veta [steinitz2]
%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor, $M\subseteq L$ je libovoln� kone�n� mno�ina
a $N\subseteq \lob<M>$ je line�rn� nez�visl� mno�ina. Pak po�et prvk�
mno�iny $N$ je men�� nebo roven po�tu prvk� mno�iny $M$.

\dukaz
%%%%%%
V�ta\cite[steinitz] tvrd�, �e z mno�iny $M$ lze odebrat tolik vektor�,
kolik jich m� mno�ina $N$. Kdyby m�la mno�ina $N$ v�ce vektor� ne�
mno�ina $M$, pak by tento �kon ne�el prov�st, tj. dostali bychom se do
sporu se Steinitzovou v�tou.

\veta* [stejnebase]
%%%%%
Dv� b�ze stejn�ho line�rn�ho prostoru jsou ob� nekone�n� nebo 
maj� stejn� po�et prvk�.
\inl[b�ze]

\dukaz
%%%%%%
Uva�ujme dv� kone�n� b�ze $B_1$ a $B_2$ line�rn�ho prostoru $L$.
Proto�e $B_1\subseteq \lob<B_2>$ a $B_1$ je line�rn� nez�visl�, mus�
podle v�ty\cite[steinitz2] m�t $B_2$ aspo� tolik prvk�, jako m� $B_1$. 
Proto�e $B_2\subseteq \lob<B_1>$ a $B_2$ je line�rn� nez�visl�, mus�
podle stejn� v�ty m�t $B_1$ aspo� tolik prvk�, jako m� $B_2$.
Tak�e po�et prvk� t�chto mno�in mus� b�t stejn�. 

Co se stane, kdy� $B_1$ je kone�n� a $B_2$ nekone�n�? Pak ka�d�
kone�n� podmno�ina $K\subseteq B_2$ je line�rn� nez�visl�. Vezmu
takovou kone�nou podmno�inu $K$, kter� m� v�ce prvk�, ne� $B_1$. Proto�e
$K\subseteq \lob<B_1>$ a $K$ je line�rn� nez�visl�, mus� m�t $B_1$
aspo� tolik prvk�, jako $K$. To ale nem�. Dost�v�me tedy spor, tak�e situace
\uv{jedna b�ze kone�n� a druh� nekone�n�} nem��e nastat.

\okraj Dimenze prostoru | Dimense prostoru

\definice* [ddimense]
%%%%%%%%%
{\em Dimenze} line�rn�ho (pod)prostoru $L$ je po�et prvk� b�ze 
tohoto (pod)prostoru~$L$. Dimenzi (pod)prostoru~$L$
ozna�ujeme symbolem $\dim L$. Dimenzi jednobodov�ho line�rn�ho
(pod)prostoru $L=\{\vec o\}$ pokl�d�me rovnu nule.
\inl[dimenze, dimL]

\poznamka
%%%%%%%%%
V�ta\cite[stejnebase] n�m zaru�uje smysluplnost definice
dimenze. A�koli line�rn� prostor m��e m�t v�ce b�z�, v�echny tyto b�ze
maj� podle t�to v�ty stejn� po�et prvk�, nebo jsou nekone�n�. V tomto
druh�m p��pad� klademe $\dim L=\infty$.

\priklad
%%%%%%%%
$\dim\R^n=n$, viz p��klad\cite[gbaseRn]. 
$\dim P_{\leq n}=n+1$, viz p��klad\cite[basePnn]. 
$\dim P=\infty$, viz p��klad\cite[basepolynomy]. 
Kone�n� $\dim U_O=3$ podle p��kladu\cite[dimUO]. Va�me si toho, �e n�s
Stvo�itel obklopil line�rn�m prostorem dimenze 3 nejen proto, �e trojka je
��astn� ��slo.
\inl[Stvo�itel, dimenze]
\inl[prostor: UO, prostor: orientovan�ch �se�ek]
\inl[prostor: polynom�, prostor: R9n, R9n]
\inl[dimenze: prostoru: UO, dimenze: prostoru: polynom�, dimenze: prostoru: R9n]

\okraj Dimenze podprostoru | Dimense podprostoru

\veta [dimpodprostoru]
%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor a $P\subseteq L$ je line�rn� podprostor
line�rn�ho prostoru $L$. Pak $\dim P \leq \dim L$.
\inl[podprostor]

\dukaz
%%%%%%
Ozna�me $B_L$ n�jakou b�zi line�rn�ho prostoru~$L$.
B�ze $B_P$ podprostoru $P$ je line�rn� nez�visl� mno�ina, pro kterou je
$B_P\subseteq \lob<B_L>$. Podle v�ty\cite[steinitz2] m� $B_M$ nejv��e
tolik prvk�, jako $B_L$.

\veta [P=L]
Nech� $L$ je line�rn� prostor a $P\subseteq L$ je line�rn� podprostor
line�rn�ho prostoru $L$.
Nech� d�le $\dim P = \dim L$ a tato dimenze je kone�n�. Potom $P=L$.

\dukaz
$B_P$ je b�ze podprostoru $P$ a $B_L$ b�ze prostoru $L$ jako 
v~p�edchoz�m d�kazu, tj. $B_P\subseteq\lob<B_L>$.
Proto�e jsou $B_P$ a $B_L$ stejn� po�etn�, pak podle Steinitzovy v�ty
lze vym�nit v�echny vektory z $B_L$ za v�echny vektory z $B_P$ beze
zm�ny line�rn�ho obalu, tak�e $\lob<B_P>=\lob<B_L>$. Jin�mi slovy $P=L$.

\poznamka
%%%%%%%%%
Podm�nku kone�nosti dimenze v p�edchoz� v�t� nelze vynechat.
Steinitzova v�ta toti� p�edpokl�d� kone�nou mno�inu~$N$.
Nezbytnost podm�nky kone�n� dimenze ilustruje t�eba tento
p��klad. Nech� $L$ je line�rn� prostor v�ech polynom� a 
$P=\lob<1,x^2,x^4,\ldots>$ je podprostor polynom� jen se sud�mi
mocninami. Pak $\dim L=\dim P=\infty$, ale $P\not=L$.

\poznamka
%%%%%%%%%
V�ta\cite[P=L] m� d�sledky shrnut� v n�sleduj�c�ch dvou v�t�ch. 
Ty se n�m budou hodit, a� budeme line�rn� podprostory zapisovat jako 
line�rn� obaly mno�in vektor� a budeme se pot�kat s t�m, �e tento 
z�pis podprostoru nen� jednozna�n�.

\veta [rovnostobalu]
%%%%%
Nech� $\vecc u_k, \vecc v_m$ jsou vektory line�rn�ho prostoru $L$.
Rovnost line�rn�ch obal� $\lob<\vecc u_k>$ a $\lob<\vecc v_m>$ je
ekvivalentn� podm�nce:
$$\dim\lob<\vecc u_k> = \dim\lob<\vecc v_m> = \dim\lob<\vecc u_k,\vecc v_m>.$$

\dukaz
P�epokl�dejme nejprve rovnost obal� a dok�eme podm�nku.
Ozna��me $U=\{\vecc u_k\}$ a $V=\{\vecc v_m\}$. Jestli�e $\lob<U>=\lob<V>$, pak
$U\subseteq\lob<U>=\lob<V>$, $V\subseteq\lob<U>=\lob<V>$, tedy
$U\cup V\subseteq\lob<U>=\lob<V>$. P�echodem k line�rn�mu obalu obou
stran mno�inov� nerovnosti a vyu�it�m v�ty\cite[loblob]~(3) dost�v�me
$\lob<U\cup V>\subseteq\lob<{\lob<U>}> =\lob<U>$.
Proto�e $U\cup V\supseteq U$, plat� tak� $\lob<U\cup
V>\supseteq \lob<U>$, tak�e
$\lob<U\cup V> = \lob<U>=\lob<V>$. Kdy� se rovnaj� obaly, rovnaj� se i
jejich dimenze.

P�edpokl�dejme nyn� platnost podm�nky a dok�eme $\lob<U>=\lob<V>$.
Proto�e $\lob<U>\subseteq\lob<U\cup V>$ a dimenze se rovnaj�, mus�
se podle v�ty\cite[P=L] (volte $\lob<U>=P, \lob<U\cup V>=L$) rovnat
obaly samotn�, tj.  $\lob<U>=\lob<U\cup V>$. To sam� plat� pro
$\lob<V>$, tak�e $\lob<U>=\lob<U\cup V>=\lob<V>$.

\veta [pribaleni]
%%%%%
Nech� $\vec v,\vecc u_k$ jsou vektory line�rn�ho prostoru $L$.
Pak $\vec v\in\lob<\vecc u_k>$ pr�v� tehdy, kdy� 
$\dim\lob<\vecc u_k> = \dim\lob<\vecc u_k, \vec v>$.

\dukaz
Z p�edpokladu, �e $\vec v\in\lob<\vecc u_k>$ a z v�ty\cite[loblob]~(4)
plyne, �e obaly $\lob<\vecc u_k>$ a $\lob<\vecc u_k, \vec v>$ se
rovnaj�. Proto se rovnaj� i jejich dimenze.

Nech� nyn� se dimenze rovnaj�. Obal $\lob<\vecc u_k>$ je
podprostorem obalu $\lob<\vecc u_k, \vec v>$, tak�e podle 
v�ty\cite[P=L] se tyto obaly rovnaj�. Vlastnost
$\vec v\in\lob<\vecc u_k>$ pak plyne z n�sleduj�c� inkluze:
$\{\vecc u_k, \vec v\}\subseteq \lob<\vecc u_k, \vec v>=\lob<\vecc u_k>$.

\okraj Po�et prvk� v~LN mno�in� | Pocet prvku v~LN mnozine

\veta [123]
%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor, $\dim L = n$ a 
$M=\{\vecc x_m\}$. Pak plat�:

\noindent
(1) Je-li $M$ line�rn� nez�visl�, pak $m \leq n$.

\noindent
(2) Je-li $m>n$, pak $M$ je line�rn� z�visl�.

\noindent
(3) Je-li $m=n$ a $M$ je line�rn� nez�visl�, pak $\lob<M>=L$.

\noindent
(4) Je-li $m=n$ a $\lob<M>=L$, pak je $M$ line�rn� nez�visl�.

\noindent
(5) Je-li $M$ line�rn� nez�visl� a $\lob<M>=L$, pak $m=n$.

\dukaz
%%%%%%
(1) Nech� $B$ je b�ze $L$, tedy $\lob<B>=L$. Podle
v�ty\cite[steinitz2] lze nahradit $m$ prvk� z~$B$ v�emi prvky z~$M$
tak, �e se line�rn� obal nezm�n�. Aby to bylo mo�n� prov�st, nutn�
mus� b�t $m\leq n$.

(2) Toto tvrzen� je ekvivalentn� s~tvrzen�m (1).

(3) Kdyby $\lob<M>\not=L$,
pak lze p�idat do mno�iny $M$ vektor $\vec x\not\in\lob<M>$, a p�itom
podle v�ty\cite[pridanivektoru] z�stane roz���en� mno�ina line�rn�
nez�visl�. To ale podle (1) nen� mo�n�. Mus� tedy $\lob<M>=L$.

(4) Z mno�iny $M$ lze odebrat prvky tak,
aby vznikl� podmno�ina $B\subseteq M$ m�la stejn� obal, ale byla 
line�rn� nez�visl�. $B$ je tedy b�z� prostoru $L$. 
Kdyby byla $M$ line�rn� z�visl�, pak mus� $B$ m�t m�n� prvk� 
ne� $m=n$, co� je ve sporu s v�tou\cite[stejnebase]. 
Tak�e mus� $M$ b�t line�rn� nez�visl�.

(5) Mno�ina $M$ je podle definice b�z� $L$. Podle
v�ty\cite[stejnebase] tedy mus� m�t $n$ prvk�.

\poznamka [dusl123]
%%%%%%%%%
Uv�dom�me si v�znam t�to v�ty. B�ze line�rn�ho prostoru kone�n�
dimenze je podle (1) nejpo�etn�j�� line�rn� nez�visl� mno�ina.  
D�le podle (3) ka�d� line�rn� nez�visl�
mno�ina, kter� m� po�et prvk� rovn� kone�n� dimenzi, je b�z�.

\priklad
%%%%%%%%
Mno�ina $\{(1,1,1),(0,1,1),(0,0,2)\}$ je b�z� line�rn�ho prostoru $\R^3$,
proto�e je line�rn� nez�visl� a jej� po�et prvk� 
je roven $\dim\R^3$. Sta�� pou��t v�tu\cite[123], vlastnost (3) a
nemus�me pracn� ov��ovat z~definice, �e mno�ina generuje~$\R^3$.


\okraj Sou�adnice vektoru | Souradnice vektoru

\poznamka
%%%%%%%%%
Je-li $\dim L$ kone�n�, je mo�n� zvolit a uspo��dat b�zi prostoru $L$
a ka�d� vektor $\vec x$ pak zapsat jako line�rn� kombinaci t�to
b�ze. Koeficienty t�to line�rn� kombinace naz�v�me {\em sou�adnice vektoru\/}
$\vec x$. T�mto zp�sobem m��eme vektory line�rn�ho prostoru $L$ 
podchytit pomoc� re�ln�ch ��sel. P�echod od abstraktn�ho vektoru 
k~sou�adnic�m (uspo��dan� $n$-tici ��sel) nyn� pop��eme podrobn�ji.
\inl[sou�adnice: vektoru]

\definice [ubase]
%%%%%%%%%
Nech� $B=\{\vecc b_n\}$ je b�ze line�rn�ho prostoru~$L$. Z�le��-li n�m
na po�ad� prvk� b�ze $\vecc b_n$ (tj.~po�adujeme, aby $\vec b_1$ byl
prvn� prvek b�ze, $\vec b_2$ druh� prvek atd.), pak mluv�me 
o~{\em uspo��dan� b�zi}. Uspo��dan� b�ze je tedy uspo��dan� $n$-tice
prvk� b�ze, tj.~$(\vecc b_n)$. Skute�nost, �e b�ze~$B$ je uspo��dan�,
budeme vyzna�ovat symbolem $(B)$.
\inl[b�ze: uspo��dan�, uspo��dan�: b�ze]

\poznamka
%%%%%%%%%
Uspo��danou b�zi jsme definovali jen pro line�rn� prostory kone�n�
dimenze. A�koli tedy v dal��m textu nebude tato skute�nost v�slovn�
uvedena, v�ude tam, kde se mluv� o~uspo��dan�ch b�z�ch, m�me na mysli
line�rn� prostor kone�n� dimenze.

\definice* [souradnice]
%%%%%%%%%
Nech� $(B)=(\vecc b_n)$ je uspo��dan� b�ze line�rn�ho prostoru~$L$
a $\vec x\in L$ je libovoln� vektor. Uspo��danou $n$-tici re�ln�ch 
��sel $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)\in\R^n$ naz�v�me {\em sou�adnicemi
vektoru~$\vec x$ vzhledem k~uspo��dan� b�zi~$(B)$}, pokud plat�
$$
  \vec x = \lkvecc \alpha.b_n .
$$
Skute�nost, �e $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ jsou sou�adnice
vektoru $\vec x$ vzhledem k~uspo��dan� b�zi~$(B)$ budeme zapisovat takto:
$$
  \c_B(\vec x) = (\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n).
$$
\par\inl[sou�adnice: vektoru]

\okraj Existence a jednozna�nost sou\-�adnic | 
       Existence a jednoznacnost souradnic

\veta*  [jednsouradnice]
%%%%%
Nech� $(B)$ je uspo��dan� b�ze line�rn�ho prostoru~$L$. Pak ka�d�
vektor $\vec x\in L$ m� jednozna�n� ur�eny sv� sou�adnice vzhledem 
k uspo��dan� b�zi $(B)$

\dukaz
%%%%%%
Existence: proto�e $\lob<B>=L$, lze ka�d� vektor $\vec x\in L$
zapsat jako line�rn� kombinaci prvk� z $B$.

Jednozna�nost: D�kaz se op�r� o line�rn� nez�vislost mno�iny $B$.
Ozna�me $(B)=(\vecc b_n)$. 
Nech� $\vec x$ m� sou�adnice $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ a 
sou�asn� m� sou�adnice $(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n)$. 
V obou p��padech se jedn� o sou�adnice vzhledem ke stejn� b�zi $(B)$.
Uk�eme, �e pak je
$\alpha_i = \beta_i$, $\forall i\in\{1,\ldots,n\}$.
Podle definice\cite[souradnice] je
$$
  \vec x = \lkvecc \alpha.b_n, \qquad \vec x = \lkvecc \beta.b_n.
$$
Ode�ten�m t�chto rovnost� dost�v�me
$$
  \vec x - \vec x = \vec o = (\alpha_1 - \beta_1)\,\vec b_1 +
           (\alpha_2 - \beta_2)\,\vec b_2 + \cdots +
           (\alpha_n - \beta_n)\,\vec b_n.
$$
Proto�e vektory b�ze $\vecc b_n$ jsou line�rn� nez�visl�, pouze
trivi�ln� line�rn� kombinace m��e b�t rovna nulov�mu vektoru.
V�echny koeficienty uveden� line�rn� kombinace musej� tedy b�t rovny nule.
T�m dost�v�me $\alpha_i = \beta_i$, $\forall i\in\{1,\ldots,n\}$.

\priklad [sourpolynomu]
%%%%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor polynom� nejv��e t�et�ho stupn�.
Najdeme sou�adnice polynomu $p\in L$, $p(x)=2x^3 + x^2 - 3x$ vzhledem
k uspo��dan� b�zi $(B)=\bigl(x+1, x-1, (x+1)^2, (x+1)^3\bigr)$.

Nev���c� Tom�ov� by nejprve m�li ov��it, zda je $B$ skute�n� b�z�
line�rn�ho prostoru~$L$,
tj. zda plat� vlastnosti~(1) a~(2) z~definice\cite[dbase]. Polo�ili by
n�sleduj�c� line�rn� kombinaci rovnu nulov�mu polynomu:
$$
  \alpha\,(x+1) + \beta\,(x-1) + \gamma\,(x+1)^2 + \delta\,(x+1)^3 = 
 \delta\,x^3 + (\gamma+3\delta)\,x^2 + (\alpha+\beta+2\gamma+3\delta)\,x
 + \alpha - \beta + \gamma + \delta = 0
$$
a zkoumali by, za jak�ch okolnost� lze rovnost splnit. Polynom je
nulov� jen tehdy, kdy� jsou nulov� v�echny jeho koeficienty, co� vede
na homogenn� soustavu �ty� rovnic o nezn�m�ch $\alpha, \beta, \gamma, \delta$.
Tu by Tom�ov� vy�e�ili, zjistili by, �e m� pouze nulov� �e�en�,
a proto jsou dan� polynomy z mno�iny $B$ line�rn�
nez�visl�. D�le by Tom�ov� pou�ili vlastnost~(3) v�ty\cite[123] a
prohl�sili, �e kdy� mno�ina $B$ je line�rn� nez�visl� a obsahuje stejn�
po�et vektor�, jako je dimenze prostoru
(podle p��kladu\cite[basePnn] je $\dim L=4$),
pak mus� $\lob<B>=L$. T�m by zjistili, �e $B$ je b�ze line�rn�ho prostoru~$L$.
\inl[Tom�: nev���c�]

Nyn� najdeme sou�adnice polynomu $p$ vzhledem k~b�zi $(B)$. Podle 
definice\cite[souradnice] m� pro sou�adnice $(\alpha, \beta, \gamma, \delta)$
platit
$$
  \eqalign{
  2x^3 + x^2 - 3x &=
  \alpha\,(x+1) + \beta\,(x-1) + \gamma\,(x+1)^2 + \delta\,(x+1)^3, \cr
  \hbox{po �prav�:} \quad
  2x^3 + x^2 - 3x &=
  \delta\,x^3 + (\gamma+3\delta)\,x^2 + (\alpha+\beta+2\gamma+3\delta)\,x
  + \alpha - \beta + \gamma + \delta .}
$$    
Dva polynomy se rovnaj�, kdy� se rovnaj� odpov�daj�c� jejich koeficienty.
Po porovn�n� jednotliv�ch koeficient� u polynom� na lev� a prav�
stran� rovnosti dost�v�me soustavu rovnic
$$
  \soustava{\alpha - \beta +\1\gamma +\1\delta =& 0 \cr
            \alpha + \beta + 2\gamma + 3\delta =& \!\! -3 \cr
                              \gamma + 3\delta =& 1 \cr
                                        \delta =& 2 }
$$
Soustava m� jedin� �e�en� $\alpha=2, \beta=-1, \gamma=-5, \delta=2$.
Zap��eme v�sledek: $\c_B(p)=(2,-1,-5,2)$.

\priklad [sourpolynomu2]
%%%%%%%%
Uva�ujme stejn� line�rn� prostor $L$ jako v p�edchoz�m p��klad� a v n�m
stejn� polynom $p\in L$, $p(x) = 2x^3 + x^2 - 3x$. Vzhledem 
k~uspo��dan� b�zi $B_0=(1,x,x^2,x^3)$ m� polynom sou�adnice shodn� se
sv�mi koeficienty, tedy 
$$
  \c_{B_0}(p) = (0, -3, 1, 2).
$$
Plat� toti� $p(x) = 0\cdot1 + (-3)\cdot x + 1\cdot x^2 + 2\cdot x^3$.

\dolu3mm
\obrazek .4+.08 7 obr1 
{
\p 44 -3 O
\p 10 60 \vec b_1
\p 5 0 \vec b_2
\p 33 120 \vec x
}
%
\priklad [sourUO]
%%%%%%%%
Uva�ujme podprostor $P$ prostoru orientovan�ch �se�ek $U_O$, ve kter�m
jsou jen vektory le��c� v rovin� dan� str�nkou t�to u�ebnice a maj�c� 
po��te�n� bod v~bod�~$O$ na obr�zku. Zjevn� je $\dim P=2$.
Na uveden�m obr�zku jsou vyzna�eny vektory $\vec b_1$ a $\vec b_2\in P$, 
kter� jsou line�rn� nez�visl�, tak�e tvo�� b�zi podprostoru $P$.
Najdeme sou�adnice vektoru $\vec x$ vzhledem k uspo��dan� b�zi 
$(B)=(\vec b_1,\vec b_2)$.

Je t�eba nar�sovat dv� m���tka, jedno proch�zej�c� vektorem $\vec b_1$
a maj�c� jedni�ku v koncov�m bod� tohoto vektoru. Druh� m���tko proch�z�
vektorem $\vec b_2$ a m� jedni�ku v koncov�m bod� $\vec b_2$. 
Ob� m���tka maj� nulu v~bod�~$O$. D�le
nar�sujeme rovnob�ky s t�mito m���tky, kter� proch�zej� koncov�m
bodem vektoru $\vec x$. V pr�se��c�ch t�chto p��mek pak p�e�teme sou�adnice
vektoru $\vec x$. Laskav� �ten�� si jist� s�m do obr�zku dor�suje uveden�
m���tka a rovnob�ky a shled�, �e je $\c_B(\vec x) = (2{,}6;\,-1{,}3)$.
P�esnost v�sledku z�vis� na p�esnosti r�sov�n�.

Pamatujme: ide�ln� geometrii nikdy nenar�sujeme, ta existuje pouze v
mysl�ch ka�d�ho z n�s. Tak�e ve skute�nosti jsou vektory z line�rn�ho
prostoru $U_O$  velmi obt��n� uchopiteln�. Je tedy u�ite�n�
p�ej�t od t�chto abstraktn�ch vektor� k uspo��dan�m $n$-tic�m re�ln�ch
��sel, k jejich sou�adnic�m. S~t�mi se po��t� daleko pohodln�ji.
Viz t� p��klad\cite[U0isoR2]

\priklad [sourRn]
%%%%%%%%
V line�rn�m prostoru $\R^n$ se pracuje p��mo s re�ln�mi ��sly, tak�e hledat 
k~uspo��dan�m $n$-tic�m jejich sou�adnice, tedy zase uspo��dan�
$n$-tice, m��e p�sobit jako no�en� d��v� do lesa. Nicm�n� se o to
pokus�me. Abychom se do toho nezamotali, rozli�ujme d�sledn� pojem
{\it slo�ky vektoru} od pojmu {\it sou�adnice vektoru} vzhledem ke
zvolen� b�zi. Zvol�me dv� uspo��dan� b�ze v $\R^3$:
$$
  (B) = \bigl( (1,3,1), (3,0,2), (2,1,1)\bigr), \qquad
  (S_3) = \bigl( (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\bigr).
$$
je d�n vektor $(1,2,3)$. ��sla 1, 2, 3 jsou jeho slo�ky a b�ze na
p�edchoz�m ��dku jsou tak� d�ny sv�mi slo�kami.
Najdeme sou�adnice dan�ho vektoru jednak vzhledem k b�zi~$(B)$ a
tak� vzhledem k b�zi~$(S_3)$.

P�edev��m je z�ejm�, �e $B$ je b�ze (nev���c� Tom�ov� si to ov���).
Mno�ina $S_3$ je tak� b�z�, je to dokonce standardn� b�ze 
line�rn�ho prostoru $\R^3$.

Sou�adnice vektoru $(1,2,3)$ vzhledem k~$(B)$ tvo�� trojici ��sel
$(\alpha,\beta,\gamma)$, pro kter� plat�
$$
   (1,2,3) = \alpha(1,3,1) + \beta(3,0,2) + \gamma(2,1,1)
$$
Po vyn�soben� vektor� a jejich se�ten� podle definice z~p��kladu\cite[LPRn]
dost�v�me rovnost uspo��dan�ch trojic 
$(1,2,3) = (\alpha+3\beta+2\gamma,3\alpha+\gamma,\alpha+2\beta+\gamma)$.
Z t�to rovnosti plynou t�i rovnice pro nezn�m� $\alpha,\beta,\gamma$.
�ten�� si s�m spo��t�, �e soustava t�chto t�� rovnic m� jedin� �e�en�
$\alpha=9/4$, $\beta=11/4$, $\gamma=-19/4$. Tak�e
$\c_B\bigl((1,2,3)\bigr) = (9/4,11/4,-19/4)$.

Proto�e je $(1,2,3) = 1\cdot(1,0,0) + 2\cdot(0,1,0) + 3\cdot(0,0,1)$, je okam�it�
patrn�, �e $\c_{S_3}\bigl((1,2,3)\bigr) = (1,2,3)$. Posledn� v�sledek zobecn�me
v n�sleduj�c�m tvrzen�:

\veta [snsour]
%%%%%
Sou�adnice ka�d�ho vektoru $\vec x\in\R^n$ vzhledem ke standardn� b�zi $S_n$
jsou rovny slo�k�m vektoru~$\vec x$. Jin�mi slovy:
$\c_{S_n}\bigl((x_1,x_2,\ldots,x_n)\bigr) = (x_1,x_2,\ldots,x_n)$.

\dukaz
Z�ejm� je 
$(x_1,x_2,\ldots,x_n) = x_1(1,0,0,\ldots,0)+ x_2(0,1,0,\ldots,0)+ \ldots +
x_n(0,0,0,\ldots,0,1)$.

\poznamka*
%%%%%%%%%
V��e uveden� p��klady ilustruj� platnost sloganu \uv{na volb� b�ze z�le��}.
P�edev��m vid�me, �e sou�adnice stejn�ho vektoru vzhledem
k r�zn�m b�z�m jsou rozd�ln�.

V p��klad�\cite[sourpolynomu2] se n�m poda�ilo naj�t
sou�adnice stejn�ho polynomu mnohem pohodln�ji, ne� 
v~p��klad�\cite[sourpolynomu]. Stejn� tak by se n�m l�pe hledaly
sou�adnice orientovan� �se�ky v p��klad�\cite[sourUO], pokud by 
byly b�zov� vektory voleny tak, �e jsou na sebe kolm� a maj� stejnou
velikost. Mohli bychom pak pou��t prav�tko s ryskou. 
Kone�n� standardn� b�ze $(B_0)$ v $\R^3$ v
p��kladu\cite[sourRn] n�m nekladla (na rozd�l od n�hodn� zvolen� b�ze $B$)
��dn� p�ek�ky p�i hled�n� sou�adnic.
Mezi v�emi b�zemi line�rn�ho prostoru tedy existuj� b�ze, vzhledem ke
kter�m je mo�n� hledat sou�adnice v�razn� pohodln�ji.


\okraj Spojen� a pr�nik line�rn�ch podprostor� | 
       Spojeni a prunik linearnich podprostoru

\definice [dspoj]
%%%%%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor, $M$ a $N$ jsou jeho podprostory.
Mno�inu $\lob<M\cup N>$ naz�v�me {\em spojen�m podprostor� $M$ a $N$} 
a zna��me $M\vee N$.
\inl[spojen�: podprostor�, 0MveeN]

\poznamka
%%%%%%%%%
Podle v�ty\cite[lobjemin] je $M\vee N$ nejmen�� podprostor, kter�
obsahuje v�echny prvky z~$M$ i $N$ dohromady. 

\veta [spojeni=soucet]
%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor, $M$ a $N$ jsou jeho podprostory.
Pro podprostor $M\vee N$ plat�:
$$
  M\vee N = \{\vec y+\vec z;\; \vec y\in M,\, \vec z\in N\}.
$$

\dukaz
%%%%%%
Je-li $\vec x\in \{\vec y+\vec z;\; \vec y\in M, \vec z\in N\}$, 
tj. $\vec x$ se d� rozepsat na
sou�et prvku z~$M$ a prvku z~$N$, 
pak podle definice line�rn�ho obalu
je $\vec x\in\lob<M\cup N>=M\vee N$. To dokazuje inkluzi
$\{\vec y+\vec z;\; \vec y\in M, \vec z\in N\} \subseteq M\vee N$.

Je-li $\vec x\in M\vee N = \lob<M\cup N>$, pak podle definice line�rn�ho
obalu existuje kone�n� mnoho prvk� z~$M$ a kone�n� mnoho prvk� z~$N$
takov�ch, �e $\vec x$ je line�rn� kombinac� t�chto prvk�. Tuto line�rn�
kombinaci rozd�l�me na sou�et n�sobk� prvk� z~$M$ a sou�et n�sobk�
ostatn�ch prvk� (tedy prvk� z~$N$). Prvn� sou�et ozna��me~$\vec y$ a 
druh�~$\vec z$. Proto�e $M$ a $N$ jsou podprostory, 
je podle v�ty\cite[lob=lpp]
$\lob<M>=M$, $\lob<N>=N$, tak�e line�rn� kombinace prvk� z $M$ le��
v~$M$ a podobn� pro $N$. M�me tedy $\vec y\in M$, $\vec z\in N$. Proto�e 
$\vec x=\vec y+\vec z$, je 
$\vec x\in\{\vec y+\vec z;\;\vec y\in M,\vec z\in N\}$. 
To dokazuje obr�cenou inkluzi.

\veta* [dimspojeni]
%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor kone�n� dimenze, $M$ a $N$ jsou 
jeho podprostory. Pak
$$
  \dim M + \dim N = \dim (M\cap N) + \dim (M\vee N).
$$

\exdukaz
%%%%%%
Nech� $\dim M = m$, $\dim N = n$, $\dim (M\cap N) = k$.
Nech� $\vecc b_k$ je b�ze podprostoru $M\cap N$.
Vzhledem k tomu, �e $M\cap N \subseteq M$, lze line�rn� nez�visl� vektory
$\vecc b_k$ doplnit o dal�� prvky,
aby dohromady tvo�ily b�zi v~$M$. Viz v�tu\cite[existencebase].
Podobn� lze doplnit 
$\vecc b_k$ o~dal�� prvky, aby tvo�ily b�zi v $N$. M�me tedy
$$
  \tabskip=0pt plus1fil
  \halign to\hsize{$#\qquad$\hfil\tabskip=0pt&$#$\hfil\tabskip=0pt plus1fil\cr
  \hbox{b�ze $M\cap N$: }& \{\vecc b_k \}, \cr
  \hbox{b�ze $M$: }& \{\vecc b_k, \vec c_{k+1}, \ldots, \vec c_m \}, \cr
  \hbox{b�ze $N$: }& \{\vecc b_k, \vec d_{k+1}, \ldots, \vec d_n \}. \cr}
$$
Za t�to situace je mno�ina 
$B=\{\vecc b_k, \vec c_{k+1}, \ldots, \vec c_m, \vec d_{k+1},\ldots, \vec d_n \}$ 
b�z� podprostoru $M \vee N$. Zd�vodn�me pro�.

Uk�eme nejd��ve, �e $\lob<B>=M\vee N$. Proto�e
$B\subseteq M\cup N$, je $\lob<B>\subseteq\lob<M\cup N>=M\vee N$. Nyn�
uk�eme obr�cenou inkluzi. Je-li $\vec x\in M\vee N$, pak podle 
v�ty\cite[spojeni=soucet] existuj� vektory $\vec y\in M$ a $\vec z\in
N$ takov�, �e $\vec x = \vec y+\vec z$. Vektor~$\vec y$ lze zapsat
jako line�rn� kombinaci prvk� b�ze~$M$ a vektor~$\vec z$ jako line�rn�
kombinaci prvk� b�ze~$N$. Proto je vektor~$\vec x$ line�rn� kombinac�
prvk� mno�iny~$B$ a m�me dok�z�nu obr�cenou inkluzi
$M\vee N \subseteq\lob<B>$.

Nyn� uk�eme, �e $B$ je line�rn� nez�visl� mno�ina. Polo�me
$$
  (\lkvecc \alpha.b_k) + 
  (\gamma_{k+1}\vec c_{k+1}+ \cdots+\gamma_m\vec c_m) +
  (\delta_{k+1}\vec d_{k+1}+ \cdots+\delta_m\vec d_m) = \vec o.
$$
Dok�eme, �e tato line�rn� kombinace mus� b�t trivi�ln�.
Ozna�me prvn� z�vorku $\vec b$, druhou $\vec c$ a t�et� $\vec d$.
Je $\vec d=-\vec b-\vec c$, tak�e $\vec d\in M$ (je line�rn� kombinac�
prvk�~z~$M$) a tak� $\vec d\in N$ (je line�rn� kombinac� prvk� s $N$),
tak�e $\vec d\in M\cap N$. Je tedy mo�n� zapsat $\vec d$ jako line�rn�
kombinaci prvk� b�ze $M\cap N$, tedy $\vec d=\lkvecc\beta.b_k$.
Jinak naps�no: 
$\lkvecc\beta.b_k-\delta_{k+1}\vec d_{k+1}- \cdots-\delta_m\vec
d_m=\vec o$.
Tady vid�me line�rn� kombinaci prvk� b�ze podprostoru~$N$ rovnu
nulov�mu vektoru, tak�e mus� b�t trivi�ln�. Tak�e $\vec d=\vec o$.
Dosad�me tento poznatek do p�vodn� rovnosti $\vec b+\vec c+\vec d=\vec o$
a m�me $\vec b+\vec c=\vec o$, jinak naps�no:
$\lkvecc \alpha.b_k+\gamma_{k+1}\vec c_{k+1}+ 
\cdots+\gamma_m\vec c_m=\vec o$.
Zde je line�rn� kombinace prvk� b�ze
podprostoru~$M$, kter� je rovna nulov�mu vektoru. Tak�e mus� b�t
trivi�ln�.

Proto�e $B$ je b�z� $M\vee N$ a je vid�t, �e $B$ m� $m+n-k$ prvk�, je
$\dim (M\vee N) = m+n-k$. Dokazovan� rovnost nyn� plyne z~toho, �e
plat�~$m+n = k + (m+n-k)$.


\shrnuti
%%%%%%%%
Line�rn� nez�vislou mno�inu vektor�, kter� generuje
line�rn� (pod)prostor, naz�v�me b�z� tohoto 
(pod)prostoru\lcite[dbase]. B�z� stejn�ho (pod)prostoru je v�ce, ale v�echny maj�
stejn� po�et prvk�~/\ncite[steinitz],\cite[stejnebase]/. Tento po�et
prvk� se naz�v� dimenze (pod)prostoru\lcite[dimpodprostoru].

Kone�n� line�rn� nez�visl� mno�ina je b�z� (pod)prostoru $L$, pokud m� stejn�
po�et prvk�, jako je dimenze $L$\lcite[123]. V�ce prvk� line�rn�
nez�visl� mno�ina nem��e m�t~/rovn�\cite[123]/, tak�e
dimenze $L$ je maxim�ln� po�et prvk�, jak� m��e v~$L$ m�t line�rn� 
nez�visl� mno�ina. 

Ka�d� vektor $\vec x$ line�rn�ho prostoru kone�n� dimenze m� vzhledem k pevn�
zvolen� uspo��dan� b�zi jednozna�n� ur�eny sv� sou�adnice. Sta��
vektor $\vec x$ zapsat jako line�rn� kombinaci prvk� t�to b�ze a
koeficienty t�to kombinace naz�v�me jeho 
sou�adnice~/\ncite[souradnice],\cite[jednsouradnice]/. Existence sou�adnic je
d�na t�m, b�ze generuje prostor a jednozna�nost
plyne z line�rn� nez�vislosti b�ze.

Vzhledem k r�zn�m b�z�m m� stejn� vektor samoz�ejm� r�zn� sou�adnice.
Existuj� b�ze, vzhledem ke kter�m se sou�adnice pohodln� 
hledaj�~/\ncite[sourpolynomu2],\cite[snsour]/, zat�mco naj�t sou�adnice vektoru
vzhledem k~jin�m b�z�m d� pon�kud pr�ci~/\ncite[sourpolynomu],
\ncite[sourUO], \ncite[sourRn]/. Pomoc� sou�adnic m��eme numericky
podchytit vektory z~rozli�n�ch line�rn�ch prostor�. P�esn� formulace
t�to velmi d�le�it� vlastnosti bude p�edm�tem a� dal�� kapitoly.  

V z�v�ru kapitoly jsme zavedli pojem spojen� podprostor�\lcite[dspoj]
a dok�zali d�le�itou v�tu o dimenzi spojen� a
pr�niku dvou line�rn�ch podprostor�\lcite[dimspojeni].

\icviceni 2


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola Line�rn� zobrazen�, izomorfismus | Linearni zobrazeni, isomorfismus
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\poznamka
%%%%%%%%%
Zobrazen� je zobecn�n�m pojmu funkce. Zat�mco funkce p�i�azuje ��sl�m
��sla, zobrazen� p�i�azuje prvk�m libovoln� mno�iny prvky libovoln� mno�iny.

Ne� se pust�me do definice pojmu {\em line�rn�} zobrazen�, bude u�ite�n� si
p�ipomenout, co to je v�bec zobrazen�, a uv�st jeho z�kladn� vlastnosti.

\okraj Definice\hb zobrazen� | Definice zobrazeni

\definice [zobr]
%%%%%%%%%
Nech� $L_1$ a $L_2$ jsou libovoln� mno�iny. {\em Zobrazen�m
$\a$ z mno�iny $L_1$ do mno�iny $L_2$} rozum�me jak�koli p�edpis,
kter� ka�d�mu prvku z mno�iny $L_1$ p�i�ad� jednozna�n�m zp�sobem
n�jak� prvek z mno�iny $L_2$. Skute�nost, �e $\a$ je zobrazen�
z~mno�iny $L_1$ do mno�iny $L_2$, zapisujeme 
$\a: L_1\to L_2$.
\inl[zobrazen�, 1a]

Je-li $\vec x\in L_1$, pak zobrazen� $\a: L_1\to L_2$ p�i�ad�
prvku $\vec x$ jednozna�n� n�jak� prvek z~mno�iny~$L_2$. 
Tento prvek ozna�ujeme symbolem $\a(\vec x)$ a naz�v�me jej
{\em hodnotou zobrazen� $\a$ v~$\vec x$} nebo tak�
{\em obrazem prvku~$\vec x$}. V tomto kontextu se prvku $\vec x$ 
��k� {\em vzor}.
Je-li $M\subseteq L_1$, 
pak definujeme
$$
  \a(M) = \bigl\{\vec y\in L_2;\; \exists \vec x\in M
                \hbox{ tak, �e }
                \a(\vec x) = \vec y \bigr\}.
$$
\par\inl[hodnota: zobrazen�]
\inl[obraz, vzor]

\priklad [pZ]
%%%%%%%%
Pro ilustraci uvedeme p��klady n�kter�ch zobrazen�:
\item {(1)} Funkce $f:\R\to\R$, kter� ka�d�mu $x\in\R$ p�i�ad� $\sin(x)\in\R$
          je speci�ln� p��pad zobrazen�.
\item {(2)} Zobrazen� $\a_2$ z mno�iny diferencovateln�ch funkc� do mno�iny funkc�,
          kter� ka�d� funkci p�i�ad� jej� derivaci. Tj. $\a_2(f) = f'$.
\item {(3)} Zobrazen� $\a_3$ z mno�iny orientovan�ch �se�ek do mno�iny
          orientovan�ch
          �se�ek, kter� ka�d�mu vektoru p�i�ad� jeho \uv{st�n} na pevn� zvolen�
          rovin� proch�zej�c� po��tkem.
\item {(4)} Zobrazen� $\a_4$ z mno�iny spojit�ch funkc� do mno�iny re�ln�ch ��sel,
          kter� ka�d� spojit� funkci p�i�ad� hodnotu
          ur�it�ho integr�lu t�to funkce od nuly do jedn�. Tedy
          $\a_4(f) = \int_0^1 f(x)\d x$.
\item {(5)} Zobrazen� $\a_5$ z mno�iny funkc� do mno�iny nekone�n�ch posloupnost�,
          kter� ka�d� funkci $f$ p�i�ad� nekone�nou posloupnost
          $f(1), f(2), f(3), \ldots$
\item {(6)} Zobrazen� $\a_6$ z mno�iny posloupnost� do mno�iny funkc�, kter�
          ka�d� posloupnosti $c_1, c_2, c_3, \ldots$ p�i�ad� po ��stech
          konstantn� funkci, kter� je nulov� na $(-\infty,1)$ a
          $f(x)=c_i$ pro $x\in\langle i,i+1)$.
\item {(7)} Zobrazen� $\c_B$ z mno�iny orientovan�ch �se�ek $U_O$ do mno�iny
          uspo��dan�ch trojic $\R^3$, kter� ka�d� �se�ce p�id�l� jej�
          sou�adnice vzhledem k pevn� zvolen� uspo��dan� b�zi $(B)$.

\okraj Zobrazen� \uv{na} | Zobrazeni "na"

\definice [defna]
%%%%%%%%%
Nech� $L_1$ a $L_2$ jsou libovoln� mno�iny a uva�ujme
$\a: L_1\to L_2$. Pokud plat� $\a(L_1) = L_2$, ��k�me, �e 
$\a$ je zobrazen� z mno�iny $L_1$ {\em na mno�inu $L_2$}
(nebo ��k�me, �e zobrazen� je {\em surjektivn�}). 
\inl[zobrazen�: na]
\inl[zobrazen�: surjektivn�, surjektivn� zobrazen�]

\poznamka
%%%%%%%%%
Zobrazen� $\a$ z mno�iny $L_1$ na mno�inu $L_2$ je speci�ln� 
p��pad zobrazen� z mno�iny $L_1$ do mno�iny $L_2$ (v�imneme si
rozd�lnosti sl�vek \uv{do} a \uv{na}). M��e se st�t, �e existuj� prvky
$\vec y\in L_2$, pro kter� neexistuje ��dn� prvek $\vec x\in L_1$,
kter� by spl�oval $\a(\vec x) = \vec y$. V takov�m p��pad�
zobrazen� $\a$ nen� \uv{na} mno�inu $L_2$, je jenom \uv{do} mno�iny
$L_2$. Lidov� �e�eno, mno�ina $L_2$ je
v takov�m p��pad� \uv{v�t��}, ne� mno�ina v�ech obraz�
zobrazen� $\a$.

\okraj Prost�\hb zobrazen� | Proste zobrazeni

\definice [proste]
%%%%%%%%%
Nech� $L_1$ a $L_2$ jsou libovoln� mno�iny a uva�ujme
$\a: L_1\to L_2$. Zobrazen� $\a$ je {\em prost�} 
({\em injektivn�\/}), pokud
pro ka�d� dva prvky $\vec x_1\in L_1$, $\vec x_2\in L_1$,
$\vec x_1\not=\vec x_2$ plat� $\a(\vec x_1)\not=\a(\vec x_2)$.
Je-li zobrazen� prost� i \uv{na} mno�inu, ��k�me mu {\em bijektivn�} zobrazen�.
\inl[zobrazen�: prost�, prost� zobrazen�]
\inl[zobrazen�: injektivn�, injektivn� zobrazen�]
\inl[zobrazen�: bijektivn�, bijektivn� zobrazen�]

\priklad
%%%%%%%%
Zobrazen� (4), (5) a (7) z p��kladu\cite[pZ] jsou \uv{na} mno�inu
(surjektivn�). Ostatn� zobrazen� v~tomto p��kladu nejsou \uv{na}
mno�inu. Zobrazen� (6) a (7) jsou zobrazen� prost� (injektivn�). Ostatn� zobrazen� 
v~p��kladu\cite[pZ] nejsou prost�. Zobrazen� (7) je prost� i \uv{na},
tedy je to bijektivn� zobrazen�.


\okraj Definice\hb line�rn�ho zobrazen� | Definice linearniho zobrazeni

\definice* [linzob]
%%%%%%%%%
Nech� $L_1$ a $L_2$ jsou line�rn� prostory, $\a: L_1\to L_2$ je
zobrazen� z $L_1$ do $L_2$. Zobrazen�~$\a$ naz�v�me 
{\em line�rn�m zobrazen�m}, pokud pro v�echna $\vec x\in L_1$,
$\vec y\in L_1$, $\alpha\in\R$ plat�
$$
  \eqalign{
   \bod(1)  \a(\vec x + \vec y) = \a(\vec x) + \a(\vec y), \cr
   \bod(2)  \a(\alpha\cdot\vec x) = \alpha\cdot \a(\vec x). }
$$
\par\inl[line�rn�: zobrazen�, zobrazen�: line�rn�]

\poznamka*
%%%%%%%%%
Line�rn� zobrazen� \uv{zachov�v�} operace s��t�n� a n�soben� konstantou.
Se�teme-li dva prvky z~$L_1$ a v�sledek p�evedeme prost�ednictv�m
line�rn�ho zobrazen� do $L_2$, v�jde tot�, jako kdybychom nejprve 
jednotliv� prvky p�evedli prost�ednictv�m zobrazen� do $L_2$ a tam je
se�etli. V�imneme si, �e prvn� operace~\uv{$+$} ve vlastnosti~(1)
je s��t�n�m definovan�m na line�rn�m prostoru $L_1$, zat�mco 
druh� operace~\uv{$+$} v~t�to vlastnosti je s��t�n�m 
definovan�m na line�rn�m prostoru $L_2$. Tato dv� s��t�n� mohou b�t
definov�na zcela rozd�ln�m zp�sobem na zcela rozd�ln�ch line�rn�ch
prostorech. Podobn� ve vlastnosti~(2) je prvn� operace~\uv{$\cdot$}
n�sobkem definovan�m na~$L_1$, zat�mco druh� operace~\uv{$\cdot$} 
je n�sobek definovan� na~$L_2$.

\veta [zobnuly]
%%%%%
Pro line�rn� zobrazen� $\a: L_1\to L_2$ plat� 
$\a(\vec o_1) = \vec o_2$, kde $\vec o_1$ je nulov� vektor line�rn�ho
prostoru~$L_1$ a $\vec o_2$ je nulov� vektor line�rn�ho
prostoru~$L_2$.

\dukaz
%%%%%%
Podle vlastnosti~(7) definice\cite[dlp] je $\vec o_1=0\,\vec x$, kde
$\vec x\in L_1$. Podle vlastnosti~(2) definice\cite[linzob]
je $\a(\vec o_1) = \a(0\,\vec x) = 0\,\a(\vec x) = \vec o_2$.

\priklad
%%%%%%%%
Prozkoum�me linearitu zobrazen� z p��kladu\cite[pZ].

Zobrazen� (1) nen� line�rn�, proto�e 
$\sin(\pi/2+\pi/2)=\sin(\pi)=0\not=\sin(\pi/2)+\sin(\pi/2)=2$.
%
Zobrazen�~$\a_2$ je line�rn�, proto�e $(f+g)'=f'+g'$ a $(\alpha f)'=\alpha f$.
%
Zobrazen�~$\a_3$ je line�rn� za p�edpokladu, �e sv�tlo dopad� na rovinu z
nekone�n� vzd�len�ho zdroje, tj. paprsky jsou rovnob�n�. D�le mus�
m�t sv�j st�n (ze sv�tla z protism�ru) i vektory, kter� jsou \uv{schov�ny
za rovinou}. S��t�n� a n�soben� konstantou prov�d�me v tomto p��klad� 
geometricky v~souladu s~p��kladem\cite[lpvv]. Skute�n� plat�, �e st�n
sou�tu je sou�et st�n� a alfa n�sobek st�nu je st�n alfa n�sobku.
Na�rtn�te si obr�zek a najd�te v n�m odpov�daj�c� podobn� troj�heln�ky.

Zobrazen�~$\a_4$ je line�rn�: 
$\int (f(x)+g(x))\d x = \int f(x)\d x+\int g(x)\d x$ a
$\int (\alpha f(x))\d x = \alpha \int f(x)\d x$. 
%
Zobrazen�~$\a_5$ je line�rn�, proto�e $(f+g)(i)=f(i)+g(i)$ a 
$(\alpha f)(i)=\alpha(f(i))$ pro v�echna
p�irozen�~$i$. Na prostoru $L_1$ v tomto p��pad� s��t�me funkce, na
prostoru $L_2$ s��t�me nekone�n� posloupnosti.
%
Zobrazen�~$\a_6$ je line�rn�, proto�e $(c_1,c_2\ldots) +
(d_1,d_2\ldots) = (c_1+d_1,c_2+d_2\ldots{})$ a obraz t�to posloupnosti
je roven sou�tu obraz� jednotliv�ch posloupnost� $(c_1,c_2\ldots)$ a $(d_1,d_2\ldots)$. 
Na $L_2$ s��t�me funkce. Tak� plat� $\alpha(c_1,c_2\ldots)=(\alpha c_1,\alpha c_2,\ldots)$
a obraz t�to posloupnosti je $\alpha$-n�sobkem obrazu posloupnosti $(c_1,c_2\ldots)$.
%
Linearitu zobrazen� $\c_B$, kter� ka�d�mu vektoru p�i�ad� sou�adnice, dok�eme
v~tomto textu pozd�ji. 

\priklad [R2toR3]
%%%%%%%%
Ov���me, zda je zobrazen� $\a: \R^2\to\R^3$, definovan� vzorcem
$$
  \a(x_1,x_2) = (x_1+2x_2,\; -x_2,\; 2x_1-3x_2),
$$ 
line�rn�. Poznamenejme, �e jsme v uveden�m vzorci vynechali jednu
kulatou z�vorku, jako se to obvykle u~zobrazen� definovan�ch na $\R^n$
d�l�, tj.~m�sto abychom psali
$\a\bigl((x_1,x_2)\bigr)$, p��eme stru�n� $\a(x_1,x_2)$.

Ov���me vlastnosti (1) a (2) z definice\cite[linzob]:
$$
  \eqalign{
   \bod(1) \a\bigl((x_1,x_2) + (y_1, y_2)\bigr) 
           = \a(x_1+y_1, x_2+y_2) = \cr
   &\qquad = 
     \bigl(x_1+y_1+2(x_2+y_2), -(x_2+y_2), 2(x_1+y_1)-3(x_2+y_2)\bigr)
     = \cr
   &\qquad = (x_1+2x_2, -x_2, 2x_1-3x_2) +
             (y_1+2y_2, -y_2, 2y_1-3y_2) 
           = \a(x_1, x_2) + \a(y_1, y_2), \cr
   \bod(2) \a\bigl(\alpha\,(x_1, x_2)\bigr) =
           \a(\alpha\,x_1, \alpha\,x_2) =
           (\alpha\,x_1+2\alpha\,x_2, 
             -\alpha\,x_2, 2\alpha\,x_1-3\alpha\,x_2) = \cr
   &\qquad = \alpha\,(x_1+2x_2, -x_2, 2x_1-3x_2) =
           \alpha\,\a(x_1, x_2).
  }
$$

\priklad
%%%%%%%%
Zobrazen� $\a:\R^4\to\R^3$ definovan� p�edpisem
$\a(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_2+x_3, x_3+3, 2x_1)$
nen� line�rn�, proto�e $\a(0,0,0,0) = (0,3,0)$ a to nen� nulov�
vektor v~$\R^3$. Podle v�ty\cite[zobnuly] mus� ka�d� line�rn�
zobrazen� zobrazit nulov� vektor na nulov� vektor.

Piln�j�� �ten��i si zkus� ov��it, �e $\a$ nen� line�rn�, p��mo
z~definice\cite[linzob]. % nebo z~principu superpozice\cite[principsupozice].

\poznamka
%%%%%%%%%
Podm�nka v�ty\cite[zobnuly], �e $\a(\vec o_1) = \vec o_2$, je nutn�
podm�nka linearity zobrazen�, ale nen� to podm�nka
posta�uj�c�. Nap��klad $\sin(0)=0$, ale zobrazen� $\sin:\R\to\R$ 
nen� line�rn�.

\priklad
%%%%%%%%
Nech� $\R$ je line�rn� prostor z p��kladu\cite[LPR] a $\R^+$ je
line�rn� prostor z p��kladu\cite[ObskurniLP]. Uva�ujme zobrazen�
$\exp: \R\to\R^+$, kter� ka�d�mu re�ln�mu ��slu $x$ p�i�ad� hodnotu
$e^x$. Toto zobrazen� je line�rn�. Skute�n�:
$$
  \exp(x+y) = \exp x\cdot \exp y = (\exp x)\oplus (\exp y), \qquad
  \exp(\alpha x) = (\exp x)^\alpha = \alpha\odot(\exp x).
$$
Vid�me, �e linearita zobrazen� z�vis� nejen na zp�sobu p�i�azen�
hodnoty zobrazen�m, ale tak� na operac�ch $+$ a $\cdot$, kter� jsou definov�ny na
jednotliv�ch line�rn�ch prostorech $L_1$ a $L_2$. Zjevn� zobrazen�
$\exp: \R\to\R$ line�rn� nen�, proto�e $\exp(0)=1$, tj. nulov� prvek 
se nezobraz� na nulov� prvek.


\okraj Princip\hb superpozice | Princip superposice

\veta (princip superpozice) [principsupozice]
%%%%%
Nech� $L_1$ a $L_2$ jsou line�rn� prostory. Zobrazen�
$\a: L_1\to L_2$ je line�rn� pr�v� tehdy, kdy�
pro v�echna $\vec x\in L_1$, $\vec y\in L_1$, $\alpha\in\R$,
$\beta\in\R$ plat�
$$
  \a(\alpha\,\vec x + \beta\,\vec y) =
  \alpha\,\a(\vec x) + \beta\,\a(\vec y).
  \rce(superpozice)
$$
\par\inl[princip: superpozice]

\dukaz
%%%%%%
Nejprve p�edpokl�dejme, �e pro zobrazen� $\a: L_1\to L_2$ 
plat�\cite(superpozice) pro v�echna $\vec x, \vec y\in L_1$
a $\alpha, \beta \in \R$. Dok�eme, �e $\a$ je line�rn�, tj.~�e 
plat�~(1) a~(2) z~definice\cite[linzob]. Pokud zvol�me
$\alpha=\beta=1$, plyne z\cite(superpozice) vlastnost~(1) a pokud
vol�me $\beta=0$, plyne z\cite(superpozice) vlastnost~(2).

Nech� nyn� $\a: L_1\to L_2$ je line�rn�. Plat�
$$
  \a(\alpha\,\vec x + \beta\,\vec y) \buildrel (1)\over =
  \a(\alpha\,\vec x) + \a(\beta\,\vec y) \buildrel (2)\over =
  \alpha\,\a(\vec x) + \beta\,\a(\vec y).
$$
Nad rovn�tky jsme uvedli, kterou vlastnost jsme zrovna pou�ili.

\poznamka
%%%%%%%%%
Opakovan�m pou�it�m principu superpozice (nebo form�ln� matematickou
indukc�) lze snadno dok�zat, �e
$\a:L_1\to L_2$ je line�rn� pr�v� tehdy, kdy� pro v�echna $n\in\N$,
$\vecc x_n\in L_1$, $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\in \R$ plat�
$$
  \a(\lkvecc \alpha.x_n) = \alpha_1\,\a(\vec x_1) + 
   \alpha_2\,\a(\vec x_2) + \cdots + \alpha_n\,\a(\vec x_n).
  \rce(superpozice2)
$$

\okraj Zachov�n� obal� | Zachovani obalu

\veta [alob]
%%%%%
Nech� $\a:L_1\to L_2$ je line�rn� zobrazen�, $M\subseteq L_1$.
Pak $\a\bigl(\lob<M>\bigr) = \bigl<\a(M)\bigr>$.

\dukaz
%%%%%%
Nech� $\vec y\in\a\bigl(\lob<M>\bigr)$. Pak existuje vektor
$\vec x\in\lob<M>$ takov�, �e $\a(\vec x) = \vec y$.
Proto�e $\vec x\in\lob<M>$, existuje podle definice line�rn�ho obalu
kone�n� mnoho $\vecc x_i\in M$ takov�ch, �e 
$\vec x$ je line�rn� kombinac�
t�chto vektor�. Proto�e $\a$ je line�rn�, 
m�me podle\cite(superpozice2)
$$
  \vec y = \a(\vec x) = \a(\lkvecc \alpha.x_n) =
  \alpha_1\,\a(\vec x_1) + \alpha_2\,\a(\vec x_2) + \cdots
  + \alpha_n\,\a(\vec x_n).
$$
Z tohoto z�pisu je patrn�, �e $\vec y\in\bigl<\a(M)\bigr>$.

Nech� nyn� obr�cen� $\vec y\in\bigl<\a(M)\bigr>$. Z definice
line�rn�ho obalu plyne, �e existuje kone�n� mnoho
$\vec y_i\in\a(M)$ takov�ch, �e $\vec y$ je line�rn� kombinac�
t�chto vektor�. Pro ka�d� vektor $\vec y_i$ existuje vektor
$\vec x_i\in M$ takov�, �e $\a(\vec x_i) = \vec y_i$. M�me tedy
$$
  \vec y = \lkvecc\beta.y_m =  
  \beta_1\,\a(\vec x_1) + \cdots
  + \beta_m\,\a(\vec x_m) = \a(\lkvecc \beta.x_m) = \a(\vec x).
$$
Je tedy $\vec x \in \lob<M>$ a proto�e $\vec y = \a(\vec x)$, je t�
$\vec y\in \a\bigl(\lob<M>\bigr)$.

\poznamka [poznalob]
%%%%%%%%%
V�ta\cite[alob] m� tento d�sledek: Je-li $M\subseteq L_1$ line�rn� podprostor 
v $L_1$, pak $\a(M)$ je line�rn� podprostor v $L_2$. Sta�� si uv�domit
platnost v�ty\cite[lob=lpp]. Line�rn� zobrazen� n�m tedy p�ev�d� 
podprostory na podprostory. Speci�ln� $\a(L_1)$ je podprostor v $L_2$,
kter� naz�v�me {\em prostor obraz�}.
\inl [prostor: obraz�]

\okraj J�dro\hb zobrazen� | Jadro zobrazeni


\definice* [jadro]
%%%%%%%%%
Nech� $L_1$, $L_2$ jsou line�rn� prostory, $\vec o_2$ je nulov� vektor
v~line�rn�m prostoru $L_2$ a $\a: L_1\to L_2$ je
line�rn� zobrazen�. Mno�inu
$$
   \ker\a = \{\vec x\in L_1;\; \a(\vec x) = \vec o_2\}.
$$
naz�v�me % {\em nulov�m prostorem line�rn�ho zobrazen� $\a$} nebo tak�
{\em j�drem line�rn�ho zobrazen� $\a$}.
\inl[j�dro: zobrazen�, KerA]

\veta [jadroprst]
%%%%%
J�dro line�rn�ho zobrazen� $\a: L_1\to L_2$ tvo�� line�rn� podprostor
line�rn�ho prostoru $L_1$

\dukaz
Pro $\vec x, \vec y\in \ker\a$ a $\alpha\in\R$ plat�:
$$
  \eqalign{
  \a(\vec x) = \vec o_2, \quad \a(\vec x)=\vec o_2, &\hbox{ tak�e }
  \a(\vec x+\vec y) = \a(\vec x)+\a(\vec x) = \vec o_2+ \vec o_2 = \vec o_2,
  \hbox{ neboli } \vec x+\vec y\in\ker\a, \cr
  &\hbox{ d�le } \a(\alpha\vec x) = \alpha\a(\vec x) = \alpha \vec o_2
  = \vec o_2, \hbox{ tak�e tak� } \alpha\vec x \in \ker\a.}
$$


\priklad [kerR2toR3]
%%%%%%%%
Najdeme j�dro zobrazen� $\a$ z p��kladu\cite[R2toR3]. Podle 
definice\cite[jadro] je
$$
  \ker\a = \bigl\{(x_1,x_2);\;\a(x_1,x_2) = (0,0,0)\bigr\} =
   \bigl\{(x_1,x_2);\;(x_1+2x_2, -x_2, 2x_1-3x_2) = (0,0,0)\bigr\}.
$$
Proto�e uspo��dan� trojice se rovnaj�, kdy� se rovnaj� odpov�daj�c�
slo�ky, mus� ��sla $x_1$, $x_2$ spl�ovat soustavu line�rn�ch rovnic
$$
\eqalign {
  x_1+2x_2 &= 0\cr -x_2  &= 0\cr 2x_1-3x_2 &=0 
}
$$
ze kter� plyne, �e $x_1=0$ a $x_2=0$. Tak�e
$
  \ker\a = \bigl\{(0,0)\bigr\}.
$

\priklad
%%%%%%%%
Uvedeme si j�dra line�rn�ch zobrazen� z p��kladu\cite[pZ].

$\ker\a_2$ je roven mno�in� v�ech funkc�, kter� jsou
konstantn�. Pr�v� tyto funkce se toti� zobraz� pomoc� derivace na
nulovou funkci.

$\ker\a_3$ je roven mno�in� v�ech orientovan�ch �se�ek,
kter� le�� na p��mce proch�zej�c� po��tkem, kter� je rovnob�n� s
paprsky sv�tla. Skute�n�, tyto vektory maj� nulov� st�n.

$\ker\a_4$ obsahuje v�echny funkce $f$, pro kter� je
$\int_0^1 f(x)\d x =0$.

$\ker\a_5$ obsahuje v�echny funkce $f$, kter� maj� nulovou
hodnotu ve v�ech p�irozen�ch ��slech. Hodnoty v ostatn�ch re�ln�ch
��slech mohou m�t libovoln�.

$\ker\a_6=\{(0,0,0,\ldots)\}$. Tento prostor obsahuje jen nulov� vektor
line�rn�ho prostoru nekone�n�ch posloupnost�.

Jedin� vektor, kter� m� nulov� sou�adnice, je nulov� vektor (�se�ka,
kter� za��n� i kon�� v bod�~$O$). Proto
i zobrazen� (7) m� ve sv�m j�dru jen nulov� vektor.

\okraj Defekt a hodnost\hb zobrazen� | Defekt a hodnost zobrazeni

\dolu4mm
\obrazek .4+.05 7 obr3
{
  \p 25 80 {\a}
  \p 74 25 \vec o_1
  \p 73 140 \vec o_2
  \p 103 10  {\ker\a}
  \p 117 125  \a(L_1)
  \p 140 14  L_1
  \p 142 128 L_2
}
%
\definice* [defhod]
%%%%%%%%%
{\em Defekt line�rn�ho zobrazen�} $\a: L_1\to L_2$ je 
definov�n, jako $\dim\ker\a$ a {\em hodnost line�rn�ho zobrazen�}~$\a$
je definov�na jako $\dim\a(L_1)$. Defekt $\a$ zna��me $\defekt\a$
a hodnost~$\a$ zna��me $\hod\a$. Je tedy
\inl[defekt: zobrazen�, hodnost: zobrazen�, defA, hoda, hodnost]
$$
  \eqalign{
  \defekt\a &= \dim\ker\a, \cr
  \hod \a   &= \dim\a(L_1). }
$$ 

\poznamka
%%%%%%%%%
Pozd�ji uk�eme, �e defekt zobrazen� ud�v�
zhruba �e�eno \uv{vzd�lenost} zobrazen� od ide�ln�ho prost�ho
zobrazen�. Jak moc je zobrazen� $\a$ \uv{defektn�} souvis� tak� s t�m, kolik
informace, kter� dovedeme v~prostoru $L_1$ rozli�it, 
se st�v� po aplikaci zobrazen� $\a$ v prostoru $L_2$ nerozli�iteln�.
\ha 5

\priklad
%%%%%%%%
Pod�v�me se na defekty a hodnosti line�rn�ch zobrazen� z p��kladu\cite[pZ].

$\defekt\a_2=\dim\ker\a_2= \dim\{c\cdot 1;\, c\in\R\} = \dim\lob<1>= 1$. 
Proto�e $\a_2(L_1)$ obsahuje jist� (krom� dal��ch funkc�) v�echny
polynomy, m� tento prostor nekone�nou dimenzi, tedy $\hod\a_2=\infty$.

$\defekt\a_3=\dim\ker\a_3= \dim\{\vec u;\,\vec u \hbox{ le�� na
spole�n� p��mce}\} = 1$. Proto�e $\a_3(U_O)$ obsahuje mno�inu v�ech
vektor�, kter� le�� v~rovin�, kam se prom�taj� st�ny, je dimenze
tohoto prostoru~2, neboli $\hod\a_3=2$. Zobrazen� $\a_3$
se nap��klad pou��v� v~po��ta�ov� grafice, kdy� je t�eba
3D sc�nu zobrazit na st�n�tko monitoru. Rovnost $\defekt\a_3=1$ ��k�, �e
t�mto zobrazen�m ztr�c�me informace z~jedn� dimenze.

$\defekt\a_4=\infty$, proto�e $\ker\a_4$ obsahuje nap��klad funkce
$(x-1/2), (x-1/2)^3, (x-1/2)^5, \ldots$ a t�ch je nekone�n� mnoho a
jsou line�rn� nez�visl�. Proto�e d�le $\a_4(L_1) = \R$, je
$\hod\a_4=1$.

$\defekt\a_5=\infty$, proto�e $\ker\a_5$ obsahuje tak� funkce, kter�
jsou rovny polynom�m a� na to, �e na p�irozen�ch ��slech
jsou rovny nule. Tyto funkce jsou sice nespojit�, ale $L_1$
obsahuje v�echny funkce, tedy i nespojit� funkce. $\hod\a_5=\infty$,
proto�e mno�ina $\a(L_1)$ obsahuje v�echny nekone�n� posloupnosti,
jmenovit� tedy $(1,0,0,\ldots), (0,1,0,\dots), \ldots$ a ty jsou
line�rn� nez�visl� a je jich nekone�n� mnoho.

$\defekt\a_6=0$, proto�e $\ker\a_6=\{\vec o_1\}$. 
$\hod\a_6=\infty$, proto�e nap��klad obrazy n�sleduj�c�ch posloupnost�
$(1,0,0,\ldots), (0,1,0,\dots), \ldots$ jsou line�rn� nez�visl�.

$\defekt\c_B=\dim\{\vec o_1\}=0$, $\hod\c_B=\dim\R^3=3$.

\priklad
%%%%%%%%
Zobrazen� $\a:\R^2\to\R^3$, $\a(x_1,x_2) = (x_1+2x_2, -x_2, 2x_1-3x_2)$
z p��kladu\cite[R2toR3] m� defekt roven nule. 
V~p��kladu\cite[kerR2toR3] jsme toti� uk�zali, �e $\ker\a=\{\vec o_1\}$.
Spo��t�me je�t� $\hod\a$:
$$
  \hod\a = \dim\a(L_1) = \dim\a(\lob<(1,0),(0,1)>) =
  \dim\lob<\a(1,0),\a(0,1)> = \dim\lob<(1,0,2),(2,-1,-3)> = 2.
$$

\veta* [def+hod]
%%%%%
Nech� $\a:L_1\to L_2$ je line�rn� zobrazen�. Pak
$\defekt\a+\hod\a=\dim L_1$

\exdukaz
Nech� nejprve jsou $\defekt\a$ i $\hod\a$ kone�n�.
Ozna�me $\vecc b_k$ b�zi line�rn�ho podprostoru $\ker\a$
a $\vecc c_m$ b�zi line�rn�ho podprostoru $\a(L_1)$. Ke ka�d�mu vektoru
$\vec c_i$ existuje vektor $\vec c'_i\in L_1$ takov�, �e $\a(\vec c'_i)=\vec c_i$.
K~jednomu vektoru $\vec c_i$ m��e existovat v�ce vektor� $\vec c'_i$
uveden� vlastnosti, v takov�m p��pad� je jedno, kter� vybereme.
Dok�eme, �e $\{\vecc b_k, \vecc c'_m\}$ tvo�� b�zi line�rn�ho
prostoru~$L_1$. Dokazovan� vzorec pak plyne z toho, �e 
$\dim L_1$ je rovna po�tu prvk� b�ze, tedy $\dim L_1=k+m$,
p�itom $\defekt\a=k$ a $\hod\a=m$.

Pro� je mno�ina $\{\vecc b_k, \vecc c'_m\}$ line�rn� nez�visl�?
$$
  \eqalign{
  \vec o_1 =& \lkvecc \alpha.b_k + \lkvecc \beta.c'_k, \cr
  \hbox{tak�e:}\quad 
  \vec o_2 =& \a(\vec o_1) = \a(\lkvecc \alpha.b_k
  + \lkvecc \beta.c'_k,) =\cr
  {}=& \a(\lkvecc \alpha.b_k) + \beta_1\a(\vec c'_1) +  
  \beta_2\a(\vec c'_2) + \cdots \beta_m\a(\vec c'_m) =\cr
  {}=& \beta_1\a(\vec c'_1) +  
  \beta_2\a(\vec c'_2) + \cdots \beta_m\a(\vec c'_m) =
  \lkvecc \beta.c_m.
}
$$
Vyu�ili jsme vztahu $\a(\lkvecc \alpha.b_k)=\vec o_2$, 
kter� je d�sledkem faktu, �e tato line�rn� kombinace le��
v~$\ker\a$. Proto�e $\{\vecc c_m\}$ je b�ze, je line�rn� nez�visl�,
tak�e $\beta_i=0$ pro v�echny $i\in\{1,2,\ldots,m\}$ (pouze trivi�ln�
line�rn� kombinace b�ze je rovna nulov�mu vektoru). Dosazen�m tohoto
poznatku do p�vodn�ho vztahu m�me
$\vec o_1= \lkvecc \alpha.b_k$.
Proto�e $\{\vecc b_k\}$ je b�ze, mus� $\alpha_i=0$ pro v�echny 
$i\in\{1,2,\ldots,k\}$. Tak�e pouze trivi�ln� line�rn� kombinace
mno�iny vektor�  $\{\vecc b_k, \vecc c'_m\}$ je rovna nulov�mu
vektoru, je tedy tato mno�ina line�rn� nez�visl�.

Pro� je $\lob<\vecc b_k, \vecc c'_m>=L_1$? 
Je t�eba uk�zat, �e ka�d� vektor $\vec x$ lze zapsat jako
line�rn� kombinaci vektor� z $\{\vecc b_k, \vecc c'_m\}$.
Existuj� koeficienty $\beta_i$ tak, �e
$$
  \a(\vec x) = \lkvecc \beta.c_m,
$$
proto�e $\{\vecc c_m\}$ je b�ze $\a(L_2)$. D�le plat�
$$
  \a(\vec x-\lkvecc\beta.c'_m) = \a(\vec x) - (\lkvecc \beta.c_m) =
  \a(\vec x) - \a(\vec x) = \vec o_2,
$$ 
tak�e vektor $\vec x-\lkvecc\beta.c'_m$ le�� v $\ker\a$ a lze jej
vyj�d�it jako line�rn� kombinaci b�ze line�rn�ho podprostoru
$\ker\a$. Je tedy
$$
  \vec x-\lkvecc\beta.c'_m = \lkvecc\alpha.b_k
$$
a po p�i�ten� $\lkvecc\beta.c'_m$ k ob�ma stran�m rovnosti
m�me $\vec x$ vyj�d�en� jako
line�rn� kombinaci vektor� $\vecc b_k, \vecc c'_m$.

Je-li $\defekt\a=\infty$, mus� b�t t� $\dim\L_1=\infty$, proto�e
$\ker\a$ m� nekone�nou dimezi a je podprostorem~line�rn�ho prostoru~$L_1$. 
%
Nech� kone�n� $\hod\a=\infty$. Pro spor p�edpokl�dejme, �e $\dim L_1$
je kone�n�. Nech� $\{\vecc b_k\}$ je b�ze $L_1$. Plat� 
$\a(L_1)=\a(\lob<\vecc b_k>)=\lob<\a(\vec b_1), \a(\vec b_2), \ldots \a(\vec b_k)>$.
Podle v�ty\cite[steinitz2] tento obal nem��e obsahovat line�rn�
nez�vislou mno�inu s v�t��m po�tem prvk� ne�~$k$, co� je spor s t�m,
�e $\hod\a=\infty$.

\priklad
%%%%%%%%
Pov�imneme si, �e v�ta $\defekt\a+\hod\a=\dim L_1$ \uv{funguje} ve
v�ech p��kladech line�rn�ch zobrazen� uveden�ch v~p��kladu\cite[pZ].
(2):~$1+\infty=\infty$, (3):~$1+2=3$, (4):~$\infty+1=\infty$, 
(5):~$\infty+\infty=\infty$, (6):~$0+\infty=\infty$, (7)~$0+3=3$.
%
Zobrazen� z p��kladu\cite[R2toR3] rovn� spl�uje $0+2=2$.

\veta [defA=proste]
%%%%%
Nech� $\a:L_1\to L_2$ je line�rn� zobrazen�. Pak
$\defekt\a=0$ pr�v� tehdy, kdy� $\a$ je prost�.

\dukaz
Nech� $\defekt\a=0$ a $\vec x,\vec y\in L_1$, $\vec x\not=\vec y$.
Pro spor p�edpokl�dejme, �e $\a(\vec x)=\a(\vec y)$, tak�e 
$\a(\vec x)-\a(\vec y)=\vec o_2$, tak�e $\a(\vec x-\vec y)=\vec o_2$.
To znamen�, �e $\vec x-\vec y\in\ker\a$, ale podle p�edpokladu v�me, �e
$\vec x-\vec y\not=\vec o_1$ a sou�asn� $\ker\a=\{\vec o_1\}$. Spor.

Nech� nyn� $\a$ je prost�. V�me, $\a(\vec o_1)=\a(\vec o_2)$. Proto�e
je $\a$ prost�, je $\vec o_1$ jedin� vektor, kter� se zobraz� na $\vec
o_2$, tak�e $\ker\a=\{\vec o_1\}$.

\okraj Zobrazen� line�rn� (ne)z�visl�ch vektor� | 
       Zobrazeni linearne (ne)zavislych vektoru

\veta
%%%%%
Nech� $\a:L_1\to L_2$ je line�rn� zobrazen�, $M\subseteq L_1$ je
line�rn� z�visl� mno�ina v $L_1$. Pak je $\a(M)$ line�rn� z�visl�
mno�ina v $L_2$.

\dukaz
%%%%%%
Je-li $M$ line�rn� z�visl�, pak kone�n� pomno�ina $\{\vecc x_k\}\subseteq M$
je line�rn� z�visl�. Tak�e plat�
$$
\alpha_1\vec x_1 + \alpha_2\vec x_2 + \cdots + \alpha_n\vec x_n = \vec o_1,
$$
p�i�em� aspo� jedno $\alpha_i$ je nenulov�. Zobrazen�m obou stran
rovnice a z principu superpozice dost�v�me:
$$
\a(\alpha_1\vec x_1 + \alpha_2\vec x_2 + \cdots + \alpha_n\vec x_n) =
\alpha_1\a(\vec x_1) + \alpha_2\a(\vec x_2) + \cdots + \alpha_n\a(\vec x_n)
= \vec o_2,
$$
p�itom st�le jedno $\alpha_i$ je nenulov�. Tak�e vektory
$\{\a(\vec x_1), \a(\vec x_2), \ldots, \a(\vec x_n)\}\subseteq \a(M)$ 
jsou line�rn� z�visl�, tak�e i $\a(M)$ je line�rn� z�visl� mno�ina.


\poznamka
%%%%%%%%%
Line�rn� zobrazen� nemus� line�rn� nez�vislou mno�inu $N$ zobrazit na
mno�inu line�rn� nez�vislou. Nap��klad nenulov� konstantn� funkce
se zobraz� p�i pou�it� zobrazen� $\a_2$ z p��kladu\cite[pZ] (derivace) 
na nulovou funkci, tedy na nulov� vektor v $L_2$, kter� je line�rn�
z�visl�. Vzorem byla ale nenulov� funkce, tedy line�rn� nez�visl�
vektor.

V p�edchoz�m textu jsme uk�zali, �e v�echny ostatn� \uv{vlastnosti
linearity} (line�rn� podprostor, line�rn� obal, line�rn� z�vislost) se
p�i line�rn�m zobrazen� nem�n�. V jak�m p��pad� se nem�n� line�rn�
nez�vislost ukazuje n�sleduj�c� v�ta.

\veta [zobN]
%%%%%
Line�rn� zobrazen� $\a$ zobrazuje line�rn� nez�visl� mno�iny vzor� 
na line�rn� nez�visl� mno�iny obraz�
pr�v� tehdy,
kdy� $\a$ je prost� zobrazen�.

\dukaz
Nech� nejprve $\a(N)$ je line�rn� nez�visl� pro v�echny line�rn� nez�visl�
mno�iny $N$. Dok�eme, �e $\a$ je prost� zobrazen�.
Volme vektory $\vec x,\vec y\in L_1$, $\vec x\not=\vec y$. 
Pot�ebujeme dok�zat $\a(\vec x)\not=\a(\vec y)$.
Zvolme $N=\{\vec x-\vec y\}$, tj. $N$ je nez�visl�.
Pak $\a(N)=\{\a(\vec x-\vec y)\}$ je podle p�edpokladu line�rn� nez�visl�, tedy
$\a(\vec x-\vec y)\not=\vec o_2$. Z linearity zobrazen� je 
$\vec o_2\not=\a(\vec x-\vec y)=\a(\vec x)-\a(\vec y)$, neboli
$\a(\vec x)\not=\a(\vec y)$.

Obr�cen�, p�edpokl�dejme, �e $\a$ je prost� a $N$ je line�rn�
nez�visl� mno�ina. Pro spor budeme p�edpokl�dat, �e $\a(N)$ je
line�rn� z�visl�. Pak mus�
existovat kone�n� mnoho $\{\vecc x_k\}\subseteq N$,
pro kter� lze naj�t nenulov� $\alpha_i$ tak, �e
$$
  \alpha_1\a(\vec x_1) + \alpha_2\a(\vec x_2) + \ldots + 
  \alpha_n\a(\vec x_n) = \vec o_2
$$
Podle principu superpozice je
$$
  \alpha_1\a(\vec x_1) + \alpha_2\a(\vec x_2) + \ldots + 
  \alpha_n\a(\vec x_n) = \a(\alpha_1\vec x_1 + \alpha_2\vec x_2 + \ldots + 
  \alpha_n\vec x_n) = \vec o_2
$$
tak�e $\alpha_1\vec x_1 + \alpha_2\vec x_2 + \ldots + \alpha_n\vec
x_n\in \ker\a$. Proto�e je $\a$ prost�, je podle v�ty\cite[defA=proste]
$\ker\a=\{\vec o_1\}$. Tak�e
$\alpha_1\vec x_1 + \alpha_2\vec x_2 + \ldots + \alpha_n\vec
x_n=\vec o_1$. P�ipome�me, �e $\{\vecc x_k\}$ je podmno�inou $N$,
tak�e tyto vektory jsou podle v�ty\cite[lnmnoz] line�rn� nez�visl�. 
D�le p�ipome�me, �e
ve vztahu $\alpha_1\vec x_1 + \alpha_2\vec x_2 + \ldots + \alpha_n\vec
x_n=\vec o_1$ existuje nenulov�~$\alpha_i$. Dost�v�me spor.

\okraj Sou�adnice jako line�rn� zobrazen� | Souradnice jako linearni zobrazeni

\poznamka*
%%%%%%%%%
P�edchoz� v�ty n�m zaru�uj�, �e zobrazen�, kter� je line�rn� a prost�,
zobraz� ve�ekr� \uv{line�rn� skute�nosti}, kter� m��eme zkoumat 
v line�rn�m prostoru $L_1$ (z�vislost, nez�vislost, podprostory,
line�rn� obaly, b�ze, dimenze), bez ztr�ty informace do line�rn�ho
prostoru $L_2$. Pokud je line�rn� prostor $L_2$ volen tak, �e se tam
tyto skute�nosti pohodln�ji zkoumaj�, stoj� za to p�ev�st pomoc� 
\uv{vhodn�ho line�rn�ho zobrazen�} probl�m z $L_1$ do $L_2$ a tam jej 
podrobit zkoum�n�. Takov�m vhodn�m line�rn�m zobrazen�m je zobrazen�,
kter� vektor�m p�i�azuje sou�adnice. To ��k� n�sleduj�c� v�ta.

\veta* [sour-lin]
%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor, $\dim L=n$ a nech� $(B)$ je uspo��dan�
b�ze prostoru $L$. Pak je zobrazen� $\c_B: L\to \R^n$, kter� ka�d�mu
vektoru $\vec x\in L$ p�i�ad� jeho sou�adnice vzhledem k uspo��dan�
b�zi $(B)$, zobrazen�m line�rn�m, prost�m a na $\R^n$.

\dukaz V�ta\cite[jednsouradnice] ��k�, �e ka�d�mu vektoru $\vec x$ lze
jednozna�n� p�i�adit uspo��danou $n$-tici sou�adnic vzhledem k
uspo��dan� b�zi $(B)$, tak�e $\c_B$ je zobrazen� z $L$ do $\R^n$.

Pro� je lin�rn�?
Nech� $\c_B(\vec x) = (\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$,
$\c_B(\vec y) = (\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n)$. Pro 
v�t�� n�zornost operace v $L$ budeme zna�it $\oplus$, $\odot$, zat�mco
operace v $\R^n$ definovan� v p��kladu\cite[LPRn] stejn� jako b�n�
operace v $\R$ ozna��me $+$ a~$\cdot$.
Nech� $(B)=(\vecc b_n)$.
Pro vektory vektory $\vec x$ a $\vec y$ plat�
$$
  \vec x = \alpha_1\odot \vec b_1 \oplus \alpha_2\odot \vec b_2 
  \oplus \cdots \oplus \alpha_n\odot \vec b_n, \qquad 
  \vec y = \beta_1\odot \vec b_1 \oplus \beta_2\odot \vec b_2 
  \oplus \cdots \oplus \beta_n\odot \vec b_n. 
$$
Po se�ten� t�chto rovnost� a po vyn�soben� prvn� rovnosti ��slem
$\gamma\in\R$ dost�v�me
$$
  \eqalign{
  \vec x\oplus \vec y &= (\alpha_1+\beta_1)\odot\vec b_1 \oplus 
      (\alpha_2+\beta_2)\odot\vec b_2 \oplus \cdots \oplus 
      (\alpha_n+\beta_n)\odot\vec b_n, \cr
  \gamma\odot\vec x &= (\gamma\cdot\alpha_1)\odot\vec b_1 \oplus
      (\gamma\cdot\alpha_2)\odot\vec b_2 \oplus \cdots \oplus 
      (\gamma\cdot\alpha_n)\odot\vec b_n. } 
$$
Proto�e sou�adnice vektoru vzhledem k b�zi jsou ur�eny jednozna�n�,
z~uveden�ch rovnost� plyne, �e 
$\c_B(\vec x \oplus \vec y) = \c_B(\vec x) + \c_B(\vec y)$,
$\c_B(\gamma\odot\vec x) = \gamma\cdot\c_B(\vec x)$. Zobrazen� $\c_B$ 
je tedy line�rn�.

Hledejme nyn� $\ker\c_B$. Proto�e $\vec o=0\cdot\vec b_1\oplus
0\cdot\vec b_2\oplus\cdots\oplus 0\cdot\vec b_n$ a nenulov�mu vektoru
se trivi�ln� line�rn� kombinace rovnat nem��e, je $\ker\c_B=\{\vec o\}$,
neboli $\defekt\c_B=0$. Z v�ty\cite[defA=proste] plyne, �e $\c_B$ je
prost� zobrazen�.

Proto�e ke ka�d�mu prvku $\vec a\in\R^n$, 
$\vec a = (\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ existuje $\vec x\in L$,
pro kter� $\c_B(\vec x) = \vec a$ (sta�� volit
$\vec x = \alpha_1\odot \vec b_1 \oplus \alpha_2\odot \vec b_2 
\oplus \cdots \oplus \alpha_n\odot \vec b_n$), je $\c_B(L)=\R^n$. 
Zobrazen� $\c_B$
je tedy zobrazen�m z~$L$ \uv{na}~$\R^n$. Je $\hod\c_B = \dim\R^n = n$.

\okraj Izomorfismus | Isomorfismus

\definice* [defiso]
%%%%%%%%%
Line�rn� zobrazen� $\a: L_1\to L_2$, kter� je prost� a na $L_2$ se
naz�v� {\em izomorfismus}. Existuje-li izomorfismus $\a: L_1\to L_2$,
��k�me, �e prostory $L_1$, $L_2$ {\em jsou izomorfn�}, nebo �e $L_1$
{\em je izomorfn�} s~$L_2$, resp. $L_2$ {\em je izomorfn�} s~$L_1$.

\poznamka
%%%%%%%%%
Je z�ejm�, �e zobrazen� $\a:L_1\to L_2$, kter� je prost� a na $L_2$, 
m� tu vlastnost, �e ka�d�mu $\vec y\in L_2$ lze jednozna�n� 
naj�t $\vec x\in L_1$ tak, �e $\a(\vec x) = \vec y$. Skute�n�, pro
dan� obraz $\vec y\in L_2$ lze vzor $\vec x\in L_1$ naj�t, proto�e
$\a$ je \uv{na} $L_2$. P�i�azen� je jednozna�n�, proto�e $\a$ je prost�.
Toto \uv{zp�tn� zobrazen�} z $L_2$ do $L_1$ se naz�v� 
{\em zobrazen� inverzn�} k zobrazen� $\a$ a zna��me je $\a^{-1}$.
Pozd�ji v t�to kapitole tento pojem zavedeme p�esn�ji a uk�eme, �e inverzn�
zobrazen� k line�rn�mu zobrazen� je rovn� zobrazen� line�rn�. Tak�e
inverzn� zobrazen� k izomorfismu existuje a je rovn� izomorfizmus.
To je d�vod, pro� v~definici\cite[defiso] izomorfn�ch 
prostor� se nerozli�uje mezi tvrzen�mi \uv{$L_1$ je izomorfn� s $L_2$} a
\uv{$L_2$ je izomorfn� s~$L_1$}.

\veta* [isoRn]
%%%%%
Ka�d� line�rn� prostor $L$, pro kter� je $\dim L=n$, je izomorfn�
s~line�rn�m prostorem~$\R^n$.

\dukaz
Hledan�m izomorfismem jsou nap��klad 
sou�adnice vzhledem k b�zi, viz v�tu\cite[sour-lin].

\poznamka
%%%%%%%%%
P�edchoz� v�ta m� v line�rn� algeb�e z�sadn� v�znam. Pot�ebujeme-li
zkoumat \uv{vlastnosti linearity} na libovoln�m line�rn�m prostoru
kone�n� dimenze, sta�� n�m pomoc� izomorfizmu sou�adnic zkoumat tyto
vlastnosti v line�rn�m prostoru $\R^n$. V tomto line�rn�m prostoru
s��t�me a n�sob�me konstantou po slo�k�ch, tedy pracujeme 
s~re�ln�mi ��sly. Algoritmy, kter� �e�� \uv{ot�zky linearity} v $\R^n$
jsou tedy zalo�eny na numerick�ch v�po�tech. Slo�ky vektor� z $\R^n$
budeme v r�mci t�chto algorim� �asto zapisovat 
do ��dk� pod sebe, ��m� vznikaj� tabulky ��sel, kter�m ��k�me {\em matice}.
V n�sleduj�c�ch kapitol�ch zam���me tedy pozornost na line�rn� prostor
$\R^n$ a nau��me se pracovat s maticemi.


\dolu 3mm
\obrazek .5+.07 12 obr2
{
\p 120 -5 O
\p 95 -10 \vec b_2
\p 78 -6 1
\p 45 -6 2
\p 10 -6 3
\p 120 18 \vec b_1
\p 120 34 1
\p 120 68 2
\p 120 102 3
\p 120 136 4
\p 120 170 5
\p 120 204 6
\p 60 18 \vec u
\p 88 100 \vec v
\p 37 120 \vec u+\vec v
}
%
\priklad [U0isoR2]
%%%%%%%%
Nech� $P$ je line�rn� podprostor line�rn�ho prostoru $U_O$
orientovan�ch �se�ek, kter� v�echny
le�� v rovin� pap�ru tohoto textu (nebo v rovin� st�n�tka obrazovky,
pokud to n�jak� ne��astn�k �te z obrazovky po��ta�e) a v�echny
za��naj� v bod� $O$ na obr�zku. 
V~$P$ jsou d�ny dva vektory $\vec u$ a $\vec v$ 
(viz stejn� obr�zek). Kdybychom cht�li tyto vektory
nap��klad se��st v line�rn�m podprostoru $P$, mus�me pou��t prav�tko a
kru��tko, nebo� s��t�n� je v tomto lin�rn�m prostoru definov�no
geometricky (viz p��klad\cite[lpvv]). M��eme ale probl�m \uv{se�ten�
t�chto dvou vektor�} p�en�st pomoc� izomorfismu sou�adnic do
line�rn�ho prostoru~$\R^2$. Volbu b�ze a nalezen� sou�adnic vid�me
na obr�zku.  Sou�adnice vektoru $\vec u$ vzhledem
k~b�zi $(\vec b_1,\vec b_2)$ jsou rovny $(1,2)$ a sou�adnice vektoru $\vec v$ 
vzhledem ke stejn� b�zi jsou $(5,1)$. V line�rn�m prostoru $\R^2$
m��eme prov�st sou�et:
$(1,2)+(5,1)=(6,3)$. Tento v�po�et jsme provedli {\it numericky}. 
Kone�n� je mo�n� v�sledek v $\R^2$ p�ev�st zp�t do
p�vodn�ho line�rn�ho podprostoru $P$ pomoc� inverzn�ho izomorfismu. 
V line�rn�m podprostoru $P$ pak v�sledek nar�sujeme.
{\hbadness=2000\emergencystretch=2em\par}

Nebo se m��eme pt�t, zda vektory $\vec u$ a $\vec v$ jsou line�rn�
nez�visl� v $U_O$. To zjist�me \uv{pohledem na n�}, �e toti� nele�� ve
spole�n� p��mce. Vektory $\vec u$ a $\vec v$ jsou line�rn� nez�visl�
pr�v� tehdy, kdy� jsou line�rn� nez�visl� jejich sou�adnice v
$\R^2$. To zaru�uje izomorfismus sou�adnic. Sou�adnice t�chto vektor�
m��eme zapsat do ��dk� matice:
$$
  \A=\pmatrix{2&1\cr1&5}
$$
Uk�eme v n�sleduj�c�ch kapitol�ch, �e line�rn� nez�vislost ��dk�
takov� matice lze ov��it v�po�tem determinantu matice $\A$ a ov��en�m, �e je
tento determinant nenulov�. V $\R^n$ tedy jsme schopni ot�zky linearity zkoumat
numericky (pomoc� algorimt� zalo�en�ch na po��t�n� s ��sly). 
Tento {\it numerick� v�po�et\/} pak odpov� d�ky izomorfismu
sou�adnic i na {\it geometrickou ot�zku}, zda t�eba vektory le�� �i
nele�� v~jedn� p��mce. 

\poznamka
%%%%%%%%%
Isomorfizmus sou�adnic n�m umo��uje si ka�d� vektor line�rn�ho prostoru
kone�n� dimenze p�edstavit jako uspo��danou $n$-tici, t�eba�e ten
vektor ve skute�nosti je pops�n jinak. T�eba v~p��pad� 
geometrick�ho prostoru dimenze~3 orientovan�ch �se�ek m��eme 
p�i p�edstav� vektoru my�lenkov� \uv{p�ep�nat} 
mezi orientovanou �se�kou a uspo��danou trojic� podle
pot�eby. Nebo zkoum�n� line�rn� z�vislosti a nez�vislosti polynom�
nejv��e $n$-t�ho stupn� m��eme p�ev�st na zkoum�n� z�vislosti �i
nez�vislosti uspo��dan�ch $(n+1)$-tic jeho koeficient�. Zobrazen�,
kter� polynomu p�i�ad� sou�adnice vzhledem k uspo��dan� b�zi 
$(1,x,x^2,\ldots,x^n)$, je toti� izomorfismus.


\okraj Slo�en�\hb zobrazen� | Slozene zobrazeni

\poznamka
%%%%%%%%%
V z�v�ru t�to kapitoly zavedeme slo�en� zobrazen�, inverzn� zobrazen�
a uvedeme jejich vlastnosti. K line�rn�m zobrazen�m se pak vr�t�me
je�t� v kapitole\kcite\ktere[linzob2], kde odhal�me mnoho dal��ch vlastnost� 
zejm�na v souvislosti s t�m, �e mezi zobrazen�mi line�rn�ch prostor� kone�n�
dimenze a maticemi ��sel je �zk� souvislost.

\definice [slozzob]
%%%%%%%%%
Nech� $\a:L_1\to L_2$ a $\b:L_2\to L_3$ jsou zobrazen�. Symbolem
$\b\circ\a:L_1\to L_3$ ozna�ujeme {\em slo�en� zobrazen�}, kter� je
definov�no p�edpisem $(\b\circ\a)(\vec x) = \b\bigl(\a(\vec x)\bigr)$,
$\forall \vec x\in L_1$.
\inl[slo�en�: zobrazen�, skl�d�n�: zobrazen�, 0circ]

\dolu 5mm
\obrazek .4+.04 8 obr4
{
  \p 33 48 {\a}
  \p 35 124 {\b}
  \p -4 90 {\b\circ\a}
  \p 50 14  L_1
  \p 50 84 L_2
  \p 50 157 L_3
}
%
\poznamka
%%%%%%%%%
Symbol $\circ$ pro skl�d�n� zobrazen� �teme \uv{zprava doleva}. To
znamen�, �e ve slo�en�m zobrazen� $\b\circ\a$ zpracuje vstupn� hodnotu $\vec x$
nejprve zobrazen� $\a$ a vytvo�� \uv{meziv�sledek} $\a(x)$, kter� je
d�le zpracov�n zobrazen�m $\b$. D�vod tohoto \uv{arabsk�ho �ten�} vypl�v� 
ze skute�nosti, �e vstupn� hodnotu~$\vec x$ klademe do z�vorky {\it vpravo\/} od
symbolu zobrazen�, tak�e $(\b\circ\a)(\vec x) = \b\bigl(\a(\vec x)\bigr)$. 
Je t�eba tak� upozornit na to, �e literatura v tomto zna�en� nen� jednotn�.

\veta [slozlin]
%%%%%
Nech� $\a:L_1\to L_2$ a $\b:L_2\to L_3$ jsou line�rn� zobrazen�.
Pak je line�rn� t� slo�en� zobrazen� $(\b\circ\a):L_1\to L_3$.

\dukaz
%%%%%%
Nech� $\vec x\in L_1$, $\vec y\in L_1$, $\alpha\in\R$.
$$\eqalign{
 (\b\circ\a)(\vec x+\vec y) &= \b\bigl(\a(\vec x+\vec y)\bigr) =
 \b\bigl(\a(\vec x)+\a(\vec y)\bigr) =
 \b\bigl(\a(\vec x)\bigr) + \b\bigl(\a(\vec y)\bigr) =
 (\b\circ\a)(\vec x) + (\b\circ\a)(\vec y) \cr
 (\b\circ\a)(\alpha\,\vec x) &= \b\bigl(\a(\alpha\,\vec x)\bigr) =
 \b\bigl(\alpha\,\a(\vec x)\bigr) = 
 \alpha\,\b\bigl(\a(\vec x)\bigr) = \alpha\,(\b\circ\a)(\vec x).
 }
$$ 

\okraj Inverzn�\hb zobrazen� | Inversni zobrazeni

\definice [Izob]
%%%%%%%%%
{\em Identick� zobrazen�} je zobrazen� 
$\i:L\to L$, kter� je definov�no p�edpisem $\i(\vec x) = \vec x$.
Stru�n� naz�v�me zobrazen� $\i$ {\em identitou}. 
Nech� $\a:L_1\to L_2$ je prost� zobrazen�. Pak definujeme 
{\em inverzn� zobrazen�} $\a^{-1}:\a(L_1)\to L_1$ jako takov� zobrazen�,
kter� spl�uje $\a^{-1}\circ\a=\i$, kde $\i:L_1\to L_1$ je identita.
\inl[zobrazen�: identick�, identick�: zobrazen�, identita]
\inl[zobrazen�: inverzn�, inverzn�: zobrazen�]

\veta [exIzob]
%%%%%
Je-li $\a:L_1\to L_2$ prost�, pak existuje pr�v� jedno inverzn�
zobrazen� $\a^{-1}:\a(L_1)\to L_1$.

\dukaz
%%%%%%
Pro ka�d� prvek $\vec y\in\a(L_1)$ existuje pr�v� jeden prvek
$\vec x\in L_1$ takov�, �e $\a(\vec x) = \vec y$. To plyne p��mo 
z~definice\cite[proste] prost�ho zobrazen�. Definujeme
$\a^{-1}(\vec y) = \vec x$. Vid�me, �e $\a^{-1}\circ\a$ je identita.

\veta [invjelin]
%%%%%
Je-li $L$ line�rn� prostor, pak identita $\i:L\to L$ je line�rn�.
Je-li $\a:L_1\to L_2$ line�rn� a prost� zobrazen�, pak t� 
$\a^{-1}:\a(L_1)\to L_1$ je line�rn�.  

\dukaz
%%%%%%
Identita je zcela z�ejm� line�rn�. Ov���me linearitu zobrazen�
$\a^{-1}$. Po��tejme $\a^{-1}(\vec x+\vec y)$ pro 
$\vec x\in\a(L_1)$, $\vec y\in\a(L_1)$. Podle pozn�mky\cite[poznalob]
je $\a(L_1)$ line�rn� podprostor, tak�e $\vec x + \vec y\in \a(L_1)$.
Proto�e $\a$ je prost�, existuje pr�v� jeden vektor $\vec a\in L_1$ a
pr�v� jeden vektor $\vec b\in L_1$ tak, �e $\a(\vec a) = \vec x$,
$\a(\vec b) = \vec y$. Plat� tedy 
$\a^{-1}(\vec x) = \vec a$, $\a^{-1}(\vec y) = \vec b$.
Proto�e $\a$ je line�rn�, je
$\a(\vec a + \vec b) = \vec x + \vec y$, neboli 
$$
  \a^{-1}(\vec x + \vec y) = \vec a + \vec b = 
  \a^{-1}(\vec x) + \a^{-1}(\vec y).
$$
Proto�e $\a$ je line�rn�, plat� pro $\alpha\in\R$, �e 
$\a(\alpha\,\vec a) = \alpha\,\vec x$, neboli
$
  \a^{-1}(\alpha\,\vec x) = \alpha\,\vec a = \alpha\,\a^{-1}(\vec x).
$ 

\veta [inversena]
%%%%%
Nech� $\a:L_1\to L_2$ je izomorfismus. Pak je
inverzn� zobrazen� $\a^{-1}:L_2\to L_1$ rovn� izomorfismus.

\dukaz
Izomorfismus je zobrazen�, kter� je line�rn�, prost� a \uv{na}.

�e je $\a^{-1}$ definov�no na cel�m $L_2$ plyne z toho, �e $\a$ je
\uv{na}~$L_2$, neboli $\a(L_1)=L_2$.

�e je $\a^{-1}$ line�rn� plyne z v�ty\cite[invjelin].

�e je $\a^{-1}$ prost� plyne z toho, �e je $\a$ zobrazen�.
Dv�ma r�zn�m prvk�m $\vec x\in L_2$, $\vec y\in L_2$ musej� odpov�dat
r�zn� prvky $\vec a\in L_1$ a $\vec b\in L_1$ takov�, �e
$\a(\vec a) = \vec x$, $\a(\vec b) = \vec y$. Kdyby m�lo platit
$\vec a = \vec b$, okam�it� vid�me, �e zobrazen� $\a$ nem��e
spl�ovat $\a(\vec a) = \vec x\not=\vec y = \a(\vec b) = \a(\vec a)$.

Uk�eme, �e $\a^{-1}$ je~\uv{na}~$L_1$. Ka�d� prvek $\vec a\in L_1$ je
zobrazen�m $\a$ p�eveden na n�jak� prvek 
$\a(\vec a) = \vec x\in L_2$. Jin�mi slovy
neexistuje prvek $\vec a\in L_1$, kter� by nem�l sv�j prot�j�ek
$\a(\vec a) = \vec x\in L_2$. 

\veta* [sloziso]
%%%%%
Slo�en� dvou izomorfism� je izomorfismus.

\dukaz
Uva�ujme izomorfismy $\a: L_1\to L_2$, $\b: L_2\to L_3$. Dok�eme, �e
$\b\circ\a$ je izomorfismus. 

$\b\circ\a$ je line�rn� d�ky v�t�\cite[slozlin]. $\b\circ\a$ je
prost�, proto�e $\a$ je prost� i $\b$ je prost�. Kone�n� $\b\circ\a$
je \uv{na}~$L_3$, proto�e $\b\bigl(\a(L_1)\bigr)=\b(L_2)=L_3$.

\veta* [isoLL]
%%%%%
Ka�d� dva line�rn� prostory stejn� kone�n� dimenze jsou vz�jemn�
izomorfn�.

\dukaz
Nech� $L_1, L_2$ jsou line�rn� prostory, $\dim L_1=\dim L_2=n$.
Pak existuj� podle v�ty\cite[isoRn] izomorfismy $\a: L_1\to \R^n$
a $\b: L_2\to \R^n$. Podle v�ty\cite[inversena] je $\b^{-1}: \R^n\to
L_2$ izomorfismus. Nakonec v�ta\cite[sloziso] ��k�, �e
$\b^{-1}\circ\a: L_1 \to L_2$ je izomorfismus.

\poznamka
%%%%%%%%%
Posledn� v�ta zhruba ��k�, �e je zbyte�n� p�i studiu vlastnost� line�rn�ch
prostor� kone�n� dimenze mezi nimi rozli�ovat. Nap��klad polynomy
nejv��e druh�ho stupn� se chovaj� z hlediska \uv{vlastnost� linearity}
stejn� jako orientovn� �se�ky se spole�n�m po��tkem a ty se chovaj�
stejn� jako uspo��dan� trojice re�ln�ch ��sel.
%
Pro line�rn� prostory nekone�n� dimenze analogick� v�ta neplat�.

\shrnuti
%%%%%%%%
Zobrazen� je line�rn�, pokud zobraz� sou�et vzor� na sou�et obraz� a alfan�sobek
vzoru na alfan�sobek obrazu\lcite[linzob], tedy pokud zobrazen� \uv{respektuje}
sou�et a n�sobek. Tato vlastnost je ekvivalentn� s principem
superpozice, tj. line�rn� kombinace vzor� se zobraz� na line�rn�
kombinaci obraz� se stejn�mi koeficienty\lcite[principsupozice].
Z t� okam�it� plyne, �e line�rn� obaly (neboli podprostory) vzor� se
p�enesou na line�rn� obaly (neboli podprostory) obraz�\lcite[alob].

Mno�inu v�ech vzor�, kter� se zobraz� na nulov� vektor ve v�stupn�m
line�rn�m prostoru, ozna�ujeme symbolem
$\ker$ a jedn� se o~podprostor vstupn�ho line�rn�ho 
prostoru\lcite[jadro]. Dimenzi tohoto
podprostoru ��k�me defekt\lcite[defhod]. Hodnost zobrazen� je
dimenze podprostoru v�ech obraz�. Sou�et defektu a hodnosti je roven
dimezi vstupn�ho line�rn�ho prostoru\lcite[def+hod].

Line�rn� zobrazen� je prost�\lcite[proste] pr�v� tehdy, kdy� m�
nulov� defekt\lcite[defA=proste] co� plat� pr�v� tehdy, kdy�
jsou v�echny line�rn� nez�visl� mno�iny zobrazeny na line�rn�
nez�visl� mno�iny\lcite[zobN]. Line�rn� zobrazen� kter� je prost�,
tedy zachov� v�echny line�rn� vztahy mezi vzory i v postoru obraz�
(z�vislost, nez�vislost, b�ze, dimenze, podprostory, obaly).
Je-li takov� zobrazen� nav�c \uv{na} prostor $L_2$, ��k�me mu
izomorfismus\lcite[defiso].

Sou�adnice vzhledem ke kone�n� uspo��dan� b�zi zobrazuj� libovoln�
vektor na uspo��danou $n$-tici v~$\R^n$ a je to 
izomorfismus\lcite[sour-lin]. D�ky tomu jsou v�echny line�rn� prostory dimenze
$n$ izomorfn� s~$\R^n$\lcite[isoRn] a jsou izomorfn� i sob�
navz�jem\lcite[isoLL]. P�i studiu lin�rn�ch skute�nost�, kter� jsou
d�sledky axiom� linearity v~definici\cite[dlp], nen� tedy t�eba
rozli�ovat mezi jednotliv�mi line�rn�mi prostory stejn� dimenze. �asto
se pomoc� izomofismu sou�adnic \uv{p�epneme} do $\R^n$ a tam line�rn�
probl�m �e��me numericky. K~tomu budeme pot�ebovat um�t dob�e po��tat
s maticemi, a proto se t�to problematice v�nuj� n�sleduj�c� kapitoly. 



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola Matice | Matice
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

S~pojmem matice jsme se u� sezn�mili v~�vodu do
Gaussovy elimina�n� metody. Nyn� si definujeme pojem matice p�esn�ji.

\okraj Definice\hb matice | Definice matice

\definice [defmatice]
%%%%%%%%%
{\em Matice typu $(m,n)$} je tabulka re�ln�ch (nebo komplexn�ch) 
��sel s~$m$ ��dky a $n$ sloupci. ��slo $a_{i,j}$ z $i$-t�ho ��dku
a $j$-t�ho sloupce t�to tabulky naz�v�me {\em $(i,j)$-t� prvek} matice.
Mno�inu v�ech matic typu $(m,n)$ zna��me $\R^{m,n}$, pokud m� re�ln�
prvky, a $\C^{m,n}$, pokud m� komplexn� prvky. 

Matici $\A\in\R^{m,n}$ (nebo $\A\in\C^{m,n}$) zapisujeme takto:
$$
  \A = \pmatrix{a_{1,1}, & a_{1,2}, &\ldots, & a_{1,n} \cr
               a_{2,1}, & a_{2,2}, &\ldots, & a_{2,n} \cr
                        &          &\vdots  &  \cr
               a_{m,1}, & a_{m,2}, &\ldots, & a_{m,n} \cr}
$$
nebo zap��eme jen stru�n� prvky matice $\A$:
$$
\A=(a_{i,j}), \quad i\in\{1,2,\ldots,m\},\, j\in\{1,2,\ldots,n\}.
$$
\inl[matice, ��dek: matice, sloupec: matice, prvek: matice]%
Matici, kter� m� v�echny prvky nulov�, naz�v�me {\em nulovou matic�}.
\inl[matice: nulov�, nulov�: matice]
Matici typu $(m,n)$ naz�v�me {\em �tvercovou matic�}, pokud $m=n$.
\inl[matice: �tvercov�, �tvercov�: matice]

V n�sleduj�c�m textu budeme pracovat v�t�inou s re�ln�mi maticemi
(tj. s maticemi z~$\R^{m,n}$). Skoro
v�echny vlastnosti lze analogicky odvodit i pro matice komplexn�.
\eng
matice = matrix; matice typu $(m,n)$ = $m$ by $n$ matrix; 
prvek matice = an entry of the matrix; 
�tvercov� matice = square matrix.
\inl[matrix, entry of matrix, square matrix]

\poznamka [rovnostmatic]
%%%%%%%%%
Dv� matice {\em se rovnaj�}, pokud jsou stejn�ho typu a v�echny prvky
jedn� matice se rovnaj� odpov�daj�c�m prvk�m matice druh�. P�esn�ji,
$\A=(a_{i,j})\in\R^{m,n}$ se rovn� matici $\B=(b_{i,j})\in\R^{p,q}$,
pokud $m=p$, $n=q$ a $a_{i,j}=b_{i,j}$ pro v�echna
$i\in\{1,2,\ldots,m\},\, j\in\{1,2,\ldots,n\}$.
\inl[rovnost: matic]

\okraj Line�rn�\hb prostor\hb matic | Linearni prostor matic

\definice [deflpmatic]
%%%%%%%%%
Nech� $\A=(a_{i,j})\in\R^{m,n},\,\B=(b_{i,j})\in\R^{m,n}$.
Matici $\C\in\R^{m,n}$ naz�v�me 
{\em sou�tem matic} $\A,\B$ (zna��me $\C=\A+\B$), pokud
pro prvky matice $\C=(c_{i,j})$ plat� 
$c_{i,j} = a_{i,j} + b_{i,j}$, $i\in\nobreak\{1,2,\ldots,m\}, j\in\nobreak\{1,2,\ldots,n\}$.
Nech� $\alpha\in\R$. {\em $\alpha$-n�sobek} matice $\A$ je matice
$\alpha\cdot\A=(\alpha\,a_{i,j})$. N�zorn�:
$$
  \def\quad{\hskip.4em }
  \A+\B = 
  \pmatrix{a_{1,1}+b_{1,1}, & a_{1,2}+b_{1,2}, &\ldots, & a_{1,n}+b_{1,n} \cr
           a_{2,1}+b_{2,1}, & a_{2,2}+b_{2,2}, &\ldots, & a_{2,n}+b_{2,n} \cr
                                    &          &\vdots  &  \cr
           a_{m,1}+b_{m,1}, & a_{m,2}+b_{m,2}, &\ldots, & a_{m,n}+b_{m,n} \cr},
  \quad\ \alpha\cdot\A =
  \pmatrix{\alpha\,a_{1,1}, & \alpha\,a_{1,2}, &\ldots, & \alpha\,a_{1,n} \cr
           \alpha\,a_{2,1}, & \alpha\,a_{2,2}, &\ldots, & \alpha\,a_{2,n} \cr
                                    &          &\vdots  &  \cr
           \alpha\,a_{m,1}, & \alpha\,a_{m,2}, &\ldots, & \alpha\,a_{m,n} \cr}.
$$
\par\inl[prostor: matic]
\inl[matice: sou�et, matice: n�sobek]
\inl[sou�et:matic, n�sobek: matic]

\veta [maticeLP]
%%%%%
Mno�ina $\R^{m,n}$ tvo�� se s��t�n�m matic a
n�soben�m matice re�ln�m ��slem podle definice\cite[deflpmatic] line�rn�
prostor. Nulov� vektor tohoto prostoru je nulov� matice.
\inl[prostor: matic]

\dukaz
%%%%%%
D�kaz si �ten�� provede s�m jako cvi�en�. Srovnejte 
s~p��klady\cite[LPdvojice] a\cite[LPRn].

\priklad [matice32]
%%%%%%%%
Mno�ina 
$$
B = \left\{
\pmatrix{1&0\cr0&0\cr0&0}, \pmatrix{0&1\cr0&0\cr0&0},
\pmatrix{0&0\cr1&0\cr0&0}, \pmatrix{0&0\cr0&1\cr0&0},
\pmatrix{0&0\cr0&0\cr1&0}, \pmatrix{0&0\cr0&0\cr0&1}
\right\}
$$
tvo�� b�zi line�rn�ho prostoru $\R^{3,2}$.

Abychom to uk�zali, ov���me line�rn� nez�vislost $B$ a d�le vlastnost
$\lob<B>=\R^{3,2}$.
Nejprve ov���me line�rn� nez�vislost. Polo�me line�rn� kombinaci prvk� z~$B$
rovnu nulov� matici:
$$
\alpha\,\pmatrix{1&0\cr0&0\cr0&0} + \beta\,\pmatrix{0&1\cr0&0\cr0&0} +
\gamma\,\pmatrix{0&0\cr1&0\cr0&0} + \delta\,\pmatrix{0&0\cr0&1\cr0&0} +
\varepsilon\,\pmatrix{0&0\cr0&0\cr1&0} + \zeta\,\pmatrix{0&0\cr0&0\cr0&1} =
\pmatrix{0&0\cr0&0\cr0&0}
$$
Odpov�daj�c� slo�ky se musej� rovnat, co� vede k~�esti rovnic�m:
$\alpha=0$,  $\beta=0$, $\gamma=0$, $\delta=0$, $\varepsilon=0$, $\zeta=0$.
Jedin� trivi�ln� line�rn� kombinace je rovna nulov�mu vektoru.

Ov���me nyn� vlastnost (2) z~definice\cite[dbase]. Nech�
$$
  \pmatrix{a&b\cr c&d\cr e&f}
$$
je n�jak� matice z~line�rn�ho prostoru $\R^{3,2}$. Snadno zjist�me, �e
existuje line�rn� kombinace matic z~mno�iny $B$, kter� je rovna t�to
matici (sta�� volit 
$\alpha=a$,  $\beta=b$, $\gamma=c$, $\delta=d$, $\mu=e$, $\nu=f$).
T�m jsme dok�zali, �e $\lob<B>=\R^{3,2}$ a $B$ je tedy b�ze line�rn�ho
prostoru matic $\R^{3,2}$. Naz�v�me ji {\em standardn� b�z�}.

Dimenze line�rn�ho prostoru $\R^{3,2}$ je po�et prvk� b�ze, je
tedy rovna �esti.
\inl[b�ze: prostoru: matic, dimenze: prostoru: matic]

\priklad
%%%%%%%%
Plat�
$\dim \R^{m,n} = m\cdot n$. Analogicky jako v~p��kladu\cite[matice32]
lze toti� sestrojit b�zi line�rn�ho prostoru $\R^{m,n}$, kter� 
m� $m\cdot n$ prvk�. 
\inl[b�ze: prostoru: matic, dimenze: prostoru: matic]


\okraj Sloupcov� a ��dkov� vektory | Sloupcove a radkove vektory

\veta
%%%%%
Line�rn� prostor jednosloupcov�ch matic $\R^{n,1}$ je izomorfn� 
s line�rn�m prostorem $\R^n$. Line�rn� prostor jedno��dkov�ch 
matic $\R^{1,n}$ je rovn� izomorfn� s line�rn�m prostorem $\R^n$.

\dukaz
V�ta je d�sledkem v�ty\cite[isoLL].

\poznamka [radkovevektory]
%%%%%%%%%
Mezi line�rn�m prostorem $\R^n$ a line�rn�m prostorem $\R^{n,1}$
budeme pou��vat n�sleduj�c� izomorfismus: slo�ky vektoru z $\R^n$
nap��eme po �ad� (m�sto do ��dku) do sloupce. Vzhledem k tomuto izomorfismu 
�asto ztoto��ujeme vektory z $\R^{n,1}$ s vektory z $\R^n$ a mluv�me
o~{\em sloupcov�ch vektorech}. Analogicky vektory z $\R^{1,n}$
naz�v�me {\em ��dkov� vektory} a tak� je ztoto��ujeme s vektory z~$\R^n$.
\inl[vektor: sloupcov�, sloupcov� vektor, vektor: ��dkov�, ��dkov� vektor]


\okraj Vlastnosti GEM | Vlastnosti GEM

\poznamka
%%%%%%%%%
V n�sleduj�c�m textu si uk�eme, jak� vlastnosti m� modifikace matice
Gaussovou elimina�n� metodou. Na matici v tomto kontextu budeme
pohl��et jako na matici ��dkov�ch vektor� kladen�ch pod sebe.
P�esn�ji, matice $\R^{m,n}$ obsahuje $m$ ��dkov�ch vektor� (��dk�
matice), ka�d� z~nich je z line�rn�ho prostoru $\R^{1,n}$. Tento
line�rn� prostor podle pozn�mky\cite[radkovevektory] ztoto��ujeme s
line�rn�m prostorem $\R^n$.

\definice [sim]
%%%%%%%%%
Symbolem $\A\sim\B$ ozna�ujeme skute�nost, �e matice $\B$ vznikla
z~matice $\A$ kone�n�m po�tem krok� podle Gaussovy elimina�n� metody.
Za krok Gaussovy elimina�n� metody je pova�ov�no prohozen� ��dk�,
pron�soben� ��dku nenulovou konstantou, p�i�ten� n�sobku ��dku 
k~jin�mu, odstran�n� nulov�ho ��dku nebo p�id�n� nulov�ho ��dku.
\inl[GEM, Gaussova: elimina�n� metoda, elimina�n� metoda: Gaussova]
\inl[relace: 0sim, 0sim]

\okraj Symetrie relace~\uv{$\sim$} | Symetrie relace \noexpand~

\veta [symetriesim]
%%%%%
Relace \uv{$\sim$} je symetrick�, tj. $\A\sim\B$ pr�v� tehdy, 
kdy� $\B\sim\A$.
\inl[relace: 0sim, 0sim]

\dukaz
%%%%%%
Sta�� uk�zat, �e po proveden� jednoho kroku podle Gaussovy elimina�n�
metody se lze pomoc� dal��ch krok� podle Gaussovy elimina�n� metody
vr�tit k~p�vodn� matici. 
%P�ipome�me p�i t� p��le�itosti v�echny kroky,
%kter� se v~Gaussov� elimina�n� metod� pou��vaj�:

(1) Prohozen� dvou libovoln�ch ��dk� mezi sebou. Sta�� prohodit tyt�
��dky mezi sebou je�t� jednou a m�me p�vodn� matici.

(2) Vyn�soben� jednoho ��dku nenulov�m re�ln�m ��slem $\alpha$. Sta��
vyn�sobit tento ��dek ��slem $1/\alpha$ a dost�v�me p�vodn� matici.

(3) P�i�ten� $\alpha$-n�sobku n�jak�ho ��dku $\vec a$ k~��dku $\vec b$
(��dek $\vec a$ se v~tomto kroku opisuje). K~p�vodn� matici se pak
vr�t�me tak, �e k~pr�v� zm�n�n�mu ��dku p�i�teme $(-\alpha)$-n�sobek
��dku $\vec a$.

(4) Vynech�n� nebo p�id�n� nulov�ho ��dku. Jestli�e nulov� ��dek p�i
p�echodu k~matici $\B$ vynech�me, tak jej zas p�i n�vratu k~matici
$\A$ p�id�me. Pokud jej p�i p�echodu k~matici $\B$ p�id�me, pak jej
p�i n�vratu k~matici $\A$ odebereme.

\poznamka
%%%%%%%%%
V~n�kter� literatu�e se m�sto kroku (3) uv�d� p�i�ten� line�rn�
kombinace ostatn�ch ��dk� ke zvolen�mu ��dku $\vec b$. Tento krok lze
samoz�ejm� nahradit kone�n�m opakov�n�m kroku (3).

V~jin� literaru�e se n�kdy neuv�d� prohozen� ��dk� jako samotn� 
krok Gaussovy elimina�n� metody, proto�e tento krok lze 
(pon�kud t�kop�dn�) prov�st opakovan�m
pou�it�m kroku (3) a v~z�v�ru aplikac� kroku (2):
$$
  \pmatrix{\vec a\cr\vec b} \sim \pmatrix{\vec a\cr \vec a+\vec b} \sim
  \pmatrix{\vec a - (\vec a+\vec b)\cr \vec a + \vec b} =
  \pmatrix{-\vec b\cr\vec a + \vec b} \sim
  \pmatrix{-\vec b\cr\vec a} \sim \pmatrix{\vec b\cr\vec a}.
$$

\definice [lobradku]
%%%%%%%%%
Mno�inu v�ech ��dk� matice $\A$ zna��me $\hbox{r:}\,\A$. 
Line�rn� obal mno�iny v�ech ��dk� matice~$\A$ je tedy ozna�en 
symbolem $\lobr<\A>$.
\inl[rA, rA0lobrA]

\okraj Gaussova eliminace zachov�v� obal | Gaussova eliminace zachovava obal

\veta* [lobalymatic]
%%%%%
Je-li $\A\sim\B$, pak $\lobr<\A>=\lobr<\B>$.
Jin�mi slovy: Gaussova elimina�n� metoda zachov�v� line�rn� obal ��dk�
matice.
\inl[0sim, line�rn�: obal: ��dk� matice]

\dukaz
%%%%%%
Dok�eme nejd��ve pomocn� tvrzen�: jestli�e $\A_1$ je matice,
kter� vznikne z~matice $\A$ \hbox{jedn�m} krokem podle Gaussovy elimina�n�
metody, pak $\lobr<\A_1>\subseteq\lobr<\A>$. 

V�echny ��dky matice $\A_1$ 
lze zapsat jako line�rn� kombinaci ��dk� matice $\A$.
Je p�itom jedno, zda matice $\A_1$ vznikla prohozen�m ��dk�, pron�soben�m
jednoho ��dku nenulov�m re�ln�m ��slem, p�i�ten�m n�sobku jednoho 
��dku k~jin�mu, odebr�n�m nebo p�id�n�m nulov�ho ��dku.
Plat� tedy, �e $\hbox{r:}\,\A_1\subseteq\lobr<\A>$. Podle v�ty\cite[loblob]
je $\lobr<\A_1>\subseteq \lob<{\lobr<\A>}>=\lobr<\A>$, tak�e 
$\lobr<\A_1>\subseteq \lobr<\A>$.

Pomocn� tvrzen� m�me dok�z�no. Pokud toto tvrzen� uplatn�me opakovan�
(matice $\B$ vznikla z~matice $\A$ po kone�n� mnoha kroc�ch podle
Gaussovy elimina�n� metody), m�me v�sledek 
$\lobr<\B>\subseteq\lobr<\A>$. Tvrzen� dokazovan� v�ty nyn� plyne ze
symetrie relace \uv{$\sim$}, tj. z~v�ty\cite[symetriesim].

Obr�cen� tvrzen� k t�to v�t� \uv{jestli�e $\lobr<\A>=\lobr<\B>$, pak $\A\sim\B$}
dok�eme v odstavci\cite[AsimBequiv].

\priklad [AsimB]
%%%%%%%%
��dky matice $\A$ i matice $\B$ uveden� n��e maj� podle 
v�ty\cite[lobalymatic] stejn� line�rn� obaly. Tyto obaly tvo��
podle v�ty\cite[lob=lpp] n�jak�
line�rn� podprostor line�rn�ho prostoru $\R^5$.
$$
  \A=
  \pmatrix{1&2&3&4&5\cr 2&3&4&4&7\cr 1&1&1&3&4\cr 3&5&7&8&12} \sim
  \pmatrix{1&2&3&4&5\cr 0&1&2&4&3\cr 0&1&2&1&1\cr 0&1&2&4&3} \sim
  \pmatrix{1&2&3&4&5\cr 0&1&2&4&3\cr 0&0&0&3&2} = \B
$$
Snadno ov���me, �e ��dky matice $\B$ jsou line�rn� nez�visl�. Tak�e tyto ��dky
tvo�� b�zi line�rn�ho podprostoru $\lobr<\B>=\lobr<\A>$.
Vid�me tedy, �e $\dim\lobr<\A>=3$.

\okraj Hodnost\hb matice | Hodnost matice

\definice* [dhodnost]
%%%%%%%%%
{\em Hodnost matice $\A$} zna��me $\hod(\A)$ a
definujeme $\hod(\A)=\dim\lobr<\A>$. 
\inl[hodnost, rank, hodnost: matice, hodA]
\eng hodnost = rank.

\veta* [hodAB]
%%%%%
Je-li $\A\sim\B$, pak $\hod(\A)=\hod(\B)$. Jin�mi slovy, Gaussova elimina�n�
metoda nem�n� hodnost matice.

\dukaz
%%%%%%
V�ta je jednoduch�m d�sledkem v�ty\cite[lobalymatic] a 
definice\cite[dhodnost].

\priklad
%%%%%%%%
Matice $\B$ z~p��kladu\cite[AsimB] m� z�ejm� hodnost 3.  
V�ta\cite[hodAB] n�m zaru��, �e i matice $\A$ z~tohoto p��kladu m�
hodnost~3.

\poznamka
%%%%%%%%%
Pozorn� �ten�� si jist� v�iml, �e v definici\cite[defhod] jsme
pou�ili pojem \uv{hodnost} v~kontextu line�rn�ho zobrazen�. 
Nyn� jsme definovali hodnost
matice. Zat�m je rozumn� toto vn�mat jako dva r�zn� pojmy, ka�d� m� svou
definici. Tak� budeme definovat zvlṻ inverzi matice, t�eba�e
definice inverzn�ho zobrazen� u� zazn�la. V tuto chv�li se zam���me
pouze na vlastnosti matic, budeme hledat nap��klad algoritmy pro
v�po�et hodnosti matice a teoretick� d�sledky tohoto pojmu. Pozd�ji
budeme schopni sestavit izomorfismus mezi line�rn�m prostorem matic a
line�rn�m prostorem line�rn�ch zobrazen�. Pak uk�eme, �e uveden� pojmy se
ve smyslu tohoto izomorfismu shoduj�. 

\veta [hod=maxradku]
%%%%%
Hodnost matice je maxim�ln� po�et line�rn� nez�visl�ch ��dk� matice.
P�esn�ji �e�eno, hodnost je po�et prvk� nejv�t�� line�rn� nez�visl� 
podmno�iny z mno�iny ��dk� matice.

\dukaz
%%%%%%
Zkoumanou matici ozna��m symbolem $\A$.
Jsou-li ��dky matice $\A$ line�rn� nez�visl�, polo��m $\A=\A'$, jinak
odeberu postupn� z~$\A$ ��dky, kter� jsou line�rn� kombinac� ostatn�ch, jako 
v~p��kladu\cite[odebirani]. Po kone�n� mnoha odebr�n�ch vznikne matice $\A'$,
kter� m� line�rn� nez�visl� ��dky a $\lobr<\A>=\lobr<\A'>$.
Proces vzniku matice $\A'$ samoz�ejm� nemus� b�t jednozna�n�. Ov�em
��dky matice $\A'$ jsou v ka�d�m p��pad� podmno�inou ��dk� matice $\A$,
kter� je nejpo�etn�j�� z t�ch podmno�in, kter� jsou line�rn�
nez�visl�. 
��dky matice $\A'$ jsou toti� b�z� podprostoru $\lobr<\A>$
a kdyby existovala po�etn�j�� line�rn� nez�visl� mno�ina se stejn�m
line�rn�m obalem, byla by tak� b�z� t�ho� podprostoru. To ale nen�
mo�n�, nebo� dv� b�ze stejn�ho line�rn�ho (pod)prostoru maj� podle 
v�ty\cite[stejnebase] stejn� po�et prvk�. Po�et ��dk� matice $\A'$
je podle definice\cite[dhodnost] roven hodnosti matice $\A$.

\poznamka
%%%%%%%%%
�asto je hodnost matice definov�na jako
maxim�ln� po�et line�rn� nez�visl�ch ��dk� matice. 
Je ov�em pot�eba si velmi pe�liv� uv�domit, co slovo \uv{maxim�ln�}
v t�to formulaci znamen�, a je pot�eba z takov� definice 
um�t dok�zat v�tu\cite[hodAB]. 

\okraj Schodovit�\hb matice | Schodovite matice

\poznamka
%%%%%%%%%
Matice $\B$ v~p��kladu\cite[AsimB] je typickou uk�zkou matice, kter�
vznikne po ukon�en� p��m�ho chodu Gaussovy elimina�n� metody. Jedn� se
o~matici, ve kter� ka�d� n�sleduj�c� ��dek m� aspo� o~jednu nulu
v~souvisl� �ad� nul (psan� z~leva) v�ce, ne� ��dek p�edchoz�.
P�itom matice neobsahuje nulov� ��dky. Takov�m matic�m ��k�me
schodovit� (rozhran� mezi nulov�mi a nenulov�mi prvky tvo�� schody).

\definice [hornitroj]
%%%%%%%%%
Nech� matice $\A$ m� ��dky $\vecc a_n$ a nech� ��dn� z~nich nen� nulov�. 
Nech� pro ka�d� dva po sob� jdouc� ��dky $\vec a_i$, $\vec a_{i+1}$ plat�:
m�-li ��dek $\vec a_i$ prvn�ch $k$ slo�ek nulov�ch, mus� m�t ��dek
$\vec a_{i+1}$ aspo� prvn�ch $k+1$ slo�ek nulov�ch.
Pak matici $\A$ naz�v�me {\em schodovitou matic�}
\inl[matice: schodovit�, schodovit� matice]
\eng schodovit� matice = matrix in echelon form

\veta [trojnezavis]
%%%%%
Schodovit� matice m� line�rn� nez�visl� ��dky.
\inl[line�rn�: nez�vislost: ��dk� matice]

\dukaz
%%%%%%
Line�rn� nez�vislost ov���me z~definice. Nech� matice $\A$
m� ��dky $\vecc a_n$ a polo�me
$$
  \lkvecc \alpha.a_n = \vec o.
$$
Po p�eveden� t�to rovnosti do soustavy rovnic odpov�daj� koeficienty
jednotliv�ch rovnic sloupc�m matice~$\A$. P�itom tato soustava m�
v�dy pouze trivi�ln� �e�en�. Z~prvn� nenulov� rovnice toti� okam�it� plyne, 
�e $\alpha_1 = 0$. Dosazen�m tohoto v�sledku do
ostatn�ch rovnic dostaneme z~n�kter� z~n�sleduj�c�ch rovnic 
v�sledek $\alpha_2=0$. Znovu dosad�me. Tento postup opakujeme tak
dlouho, dokud nedostaneme $\alpha_i=0$ $\forall i\in\{1,\ldots,n\}$.

\veta* [simhornitroj]
%%%%%
Ka�dou matici lze p�ev�st kone�n�m po�tem krok� Gaussovy elimina�n�
metody na schodovitou matici.

\dukaz
%%%%%%
Plyne z~popisu p��m�ho chodu Gaussovy elimina�n� metody, kter� je
podrobn� pops�n v �vodn� kapitole t�to u�ebnice.

\algoritmus [metodahodnosti]
%%%%%%%%%%%
P�edchoz� v�ta n�m spole�n� s~v�tou\cite[hodAB] 
d�v� z�ruky, �e hodnost libovoln� matice m��eme spo��tat
postupem, jak� jsme zvolili v~p��kladu\cite[AsimB].
Tedy p�i v�po�tu hodnosti matice $\A$ ji p�evedeme Gaussovou
elimina�n� metodou na schodovitou matici $\B$ a v n� spo��t�me
po�et nenulov�ch ��dk�. Tento po�et je roven hodnosti matice 
$\B$, proto�e jej� ��dky jsou podle v�ty\cite[trojnezavis] line�rn� nez�visl�
a tvo�� tedy b�zi sv�ho line�rn�ho obalu. Kone�n� $\hod\A=\hod\B$ d�ky
v�t�\cite[hodAB].
\inl[hodnost: matice]

\poznamka [sofprimychod]
%%%%%%%%%
Je z�ejm�, �e matice, kter� vznikne ze~schodovit� matice
p�ehozen�m n�kter�ch sloupc�, m� tak� line�rn� nez�visl� ��dky.
Nemus�me tedy nutn� p�i hled�n� hodnosti matice vytv��et
v~jednotliv�ch etap�ch Gaussovy elimina�n� metody nulov� prvky 
v~t�sn� n�sleduj�c�ch sloupc�ch. Je-li to
z~n�jak�ch d�vod� v�hodn�, m��eme nejprve t�eba vytvo�it nuly pod
prvn�m ��dkem v~osm�m sloupci, pak op��eme prvn� a druh� ��dek a
vytv���me nuly ve t�et�m sloupci atd. Tento sofistikovan�j�� postup
doporu�ujeme ale pou��t jen tehdy, kdy� jste d�kladn� sezn�meni
s~klasick�m postupem p��m�ho chodu Gaussovy elimina�n� metody.
Jinak m��e velmi snadno doj�t k~omyl�m.
\inl[line�rn�: nez�vislost: ��dk� matice]

\poznamka
%%%%%%%%%
Postup p��m�ho chodu Gassovy elimina�n� metody podle 
pozn�mky\cite[sofprimychod] se m��e hodit ve dvou p��padech. 

(1) Po��t�me modelov� p��klady a sna��me se dr�et mal�ch cel�ch ��sel.
P�itom v~prvn�m sloupci jsou nesoud�ln� ��sla, co� vede po eliminaci 
ke zbyte�n� velk�m cel�m ��sl�m. Poznamenejme ale, �e modelov�
p��klady ze skript se v~praxi v�t�inou nevyskytuj�, tak�e podstatn�j��
pro n�s bude druh� p��pad vyu�it�.
\inl[p��klad: modelov�, modelov� p��klad]

(2) P�i implementaci Gaussovy elimina�� metody do po��ta�e je vhodn�
se sna�it minimalizovat zaokrouhlovac� chyby. Ty mohou ne��douc�m
zp�sobem ovlivnit v�sledek, pokud se nap��klad sna��me d�lit ��slem
bl�zk�m nule. Algoritmus by m�l vyhledat optim�ln� cestu p�i �e�en�
Gaussovou elimina�n� metodou, aby se pokud mo�no vyhnul d�len�m takov�mi
��sly.

\okraj Numericky nestabiln� matice | Numericky nestabilni matice 

\poznamka
%%%%%%%%%
Numerick� vyhodnocov�n� hodnosti matice v~po��ta�i m� sv� �skal�,
kter� vypl�vaj� z~mo�n�ch zaokrouhlovac�ch chyb. Hodnost je definov�na
jednozna�n� jako p�irozen� ��slo (nebo nula), ale v~praktick�ch 
situac�ch se m��e st�t, �e toto ��slo nelze zjistit zcela p�esn�. 
Pod�vejme se kup��kladu na tuto matici:
$$\teckacarka
  \C = \pmatrix{28.33333 & 11.33333 \cr 56.66667 & 22.66667}.
$$
Kdybychom ��sla v~t�to matici pova�ovali za zcela p�esn�, museli
bychom ��ci, �e $\hod(\C)=2$. Pokud ale p�ipust�me, �e na posledn�m
desetinn�m m�st� mohou b�t zaokrouhlovac� chyby, pak nem�me jistotu,
zda hodnost t�to matice nen� n�hodou rovna jedn�. Dob�e implementovan�
algoritmus Gaussovy elimina�n� metody v~po��ta�i by n�s m�l upozornit,
je-li v�sledek skute�n� zaru�en, nebo zda m��e doj�t k~z�va�n�m
chyb�m, jako v~t�to matici. Takov�m matic�m, jako matice $\C$ v~tomto
p��klad�, ��k�me {\em numericky nestabiln� matice}. 
\inl[matice: numericky nestabiln�, numericky: nestabiln� matice]

Problematiku numerick�ch metod v~tuto chv�li opust�me,
proto�e se v�nujeme algeb�e.

\okraj GEM zachov�v� z�vislost a nez�vislost ��dk� |
       GEM zachovava zavislost a nezavislost r�dku

\poznamka 
%%%%%%%%%
Ve v�t�\cite[lobalymatic] jsme uk�zali, �e Gaussova
elimina�n� metoda zachov�v� line�rn� obaly ��dk� matice a d�le
v�ta\cite[hodAB] ukazuje, �e Gaussova elimina�n� metoda zachov�v� 
hodnost matice. Z toho plyne, �e Gaussova elimina�n� metoda zachov�v�
line�rn� z�vislost resp. nez�vislost ��dk�. P�esn�ji to zformulujeme 
v~n�sleduj�c� v�t�\cite[GEMzav]. Nejprve ale pot�ebujeme dok�zat
n�sleduj�c� v�tu.

\veta* [nezav=hod]
%%%%%
Matice $\A$ m� line�rn� nez�visl� ��dky pr�v� tehdy, kdy� jej� hodnost
je rovna po�tu jej�ch ��dk�.

\dukaz
Nech� m� $\A$ line�rn� nez�visl� ��dky. Pak tyto ��dky tvo�� b�zi
podprostoru $\lobr<\A>$, tak�e jejich po�et je roven dimenzi tohoto
podprostoru, neboli hodnosti matice $\A$. Nech� naopak m� matice $\A$
line�rn� z�visl� ��dky. Pak je pot�eba odebrat aspo� jeden ��dek
procesem popsan�m v p��kladu\cite[odebirani] tak, abychom dosp�li 
k~line�rn� nez�visl�m ��dk�m, jejich� line�rn� obal je stejn� jako
$\lobr<\A>$. Tato line�rn� nez�visl� mno�ina je b�z� podprostoru
$\lobr<\A>$ a m� m�n� prvk� ne� je po�et ��dk� matice $\A$.
Hodnost matice $\A$ je tedy men�� ne� po�et jej�ch ��dk�.

\veta* [GEMzav]
%%%%%
Nech� $\A\sim\B$ ozna�uje, �e matice $\B$ vznikla z $\A$ kone�n� mnoha
kroky Gaussovy elimina�n� metody, p�i�em� krok odebr�n� nebo p�id�n�
nulov�ho ��dku nen� povolen. Pak ��dky matice $\A$ jsou line�rn�
nez�visl� pr�v� tehdy, kdy� jsou line�rn� nez�visl� ��dky matice $\B$.

\dukaz
Proto�e jsme zak�zali odeb�r�n� a p�id�v�n� ��dk�, m� matice $\A$
stejn� po�et ��dk� jako matice~$\B$. Podle v�ty\cite[hodAB] Gaussova
elimina�n� metoda zachov�v� hodnost a je tedy v obou p��padech tato
hodnost rovna po�tu ��dk� nebo men�� ne� po�et ��dk�. Podle
v�ty\cite[nezav=hod] to znamen�, �e v obou p��padech jsou ��dky
lin�rn� nez�visl� nebo jsou v obou p��padech line�rn� z�visl�.

\algoritmus [algollnlz]
%%%%%%%%%%%
V�ta\cite[nezav=hod] n�m d�v� n�vod, jak vyhodnotit line�rn�
z�vislost �i nez�vislost vektor� z $\R^n$. Vy�et�ovan� vektory sta��
zapsat do ��dk� matice a spo��tat elimina�n� metodou hodnost t�to
matice (viz algoritmus\cite[metodahodnosti]). 
Je-li hodnost men��, ne� po�et ��dk�, jsou tyto ��dky line�rn�
z�visl�. Jinak jsou line�rn� nez�visl�.

\priklad
%%%%%%%%
Vektory $(1,2,3,4,5), (2,3,4,4,7), (1,1,1,3,4), (3,5,7,8,12)$ jsou
line�rn� z�visl�, proto�e odpov�daj�c� matice m� hodnost 3, jak jsme
ji� spo��tali v p��kladu\cite[AsimB].

\algoritmus [algolrovnost]
%%%%%%%%%%%
V�ta\cite[rovnostobalu] spole�n� s definic� hodnosti matice jako dimenzi
line�rn�ho obalu ��dk� matice\cite[dhodnost] n�m d�v� n�vod, jak
vyhodnotit, zda dva line�rn� obaly jsou stejn�. Nech� $\vecc u_k$ a
$\vecc v_m$ jsou vektory z $\R^n$ a c�lem je ov��it, zda
$\lob<\vecc u_k>=\lob<\vecc v_m>$, Do ��dk� matice $\A$ zap��eme
vektory $\vecc u_k$, do ��dk� matice $\B$ zap��eme vektory $\vecc v_m$
a kone�n� do ��dk� matice $\C$ zap��eme ��dky obou matic spole�n�. Pak
uveden� line�rn� obaly se rovnaj�, pokud
$\hod\A=\hod\B=\hod\C$. P�itom na v�po�et hodnosti m�me 
algoritmus\cite[metodahodnosti].

\priklad
%%%%%%%%
Ov���me, �e $\lob<(1,2,4,2),(2,5,0,3),(4,9,8,7)>=\lob<(1,3,-4,1),(3,7,-4,4)>$.
$$
%\eqalign{
\vcenter{
  \hbox{$\A=\pmatrix{1&2&4&2\cr2&5&0&3\cr4&9&8&7}\sim
        \pmatrix{1&2&4&2\cr0&1&-8&-1},$}\medskip
  \hbox{$\B=\pmatrix{1&3&-4&1\cr3&7&-4&4}\sim
         \pmatrix{1&3&-4&1\cr0&1&-8&-1},$}
}\qquad
\C=\pmatrix{1&2&4&2\cr2&5&0&3\cr4&9&8&7\cr1&3&-4&1\cr3&7&-4&4}\sim
        \pmatrix{1&2&4&2\cr0&1&-8&-1},
%}
$$
Proto�e $\hod\A=\hod\B=\hod\C=2$, uveden� line�rn� obaly se rovnaj�.

\algoritmus [algoljeprvkem]
%%%%%%%%%%%
V�ta\cite[pribaleni] spole�n� s definic� hodnosti matice\cite[dhodnost]
n�m d�v� n�vod, jak poznat, �e n�jak� vektor $\vec v\in\R^n$ je prvkem
line�rn�ho obalu $\lob<\vecc u_k>$, kde vektory $\vecc u_k$ jsou tak� prvky
z~$\R^n$. Sta�� do matice $\A$ zapsat po ��dc�ch vektory $\vecc u_k$ a
do ��dk� matice $\B$ napsat tot�, ale nav�c tam p�idat ��dek $\vec v$.  
Pak $\vec v$ le�� v uveden�m line�rn�m obalu, pr�v� kdy�
$\hod\A=\hod\B$. P�itom na v�po�et hodnosti m�me 
algoritmus\cite[metodahodnosti].

\priklad
%%%%%%%%
Ov���me, zda $(1,1,12,3)\in\lob<(1,2,4,2),(2,5,0,3),(4,9,8,7)>$.
$$
\A=\pmatrix{1&2&4&2\cr2&5&0&3\cr4&9&8&7}\sim
        \pmatrix{1&2&4&2\cr0&1&-8&-1},\qquad
\B=\pmatrix{1&2&4&2\cr2&5&0&3\cr4&9&8&7\cr1&1&12&3}\sim
        \pmatrix{1&2&4&2\cr0&1&-8&-1}.
$$
Proto�e $\hod\A=\hod\B=2$, le�� vektor $(1,1,12,3)$ v uveden�m
line�rn�m obalu.

\okraj Transpono\-van� matice | Transponovana matice

\definice [defAT]
%%%%%%%%%
Nech� $\A=(a_{i,j})\in\R^{m,n}$. Matici $\A^T=(a_{j,i})\in\R^{n,m}$
naz�v�me {\em transponovanou matic�} k~matici $\A$. 
Matice $\A^T$ tedy vznikne z~matice $\A$ p�eps�n�m ��dk� matice 
$\A$ do sloupc� matice $\A^T$, respektive p�eps�n�m sloupc� 
matice $\A$ do ��dk� matice $\A^T$.
\inl[matice: transponovan�, transponovan�: matice, 1AT]

\priklad
%%%%%%%%
\vskip-\bigskipamount
$$
  \hbox{Je-li t�eba } \A   = \pmatrix{1&2&3\cr4&5&6}, \quad
  \hbox{pak je }          \A^T = \pmatrix{1&4\cr2&5\cr3&6}.
$$

\veta [ATT=A]
%%%%%%%%%%%%%
Pro ka�dou matici $\A$ plat�: $(\A^T)^T = \A$.

\dukaz
%%%%%%
V�ta plyne p��mo z~definice\cite[defAT].

\veta* [hA=hAT]
%%%%%%%%%%%%%%
Pro ka�dou matici $\A\in\R^{m,n}$ plat�: $\hod(\A^T) = \hod(\A)$.

\exdukaz
%%%%%%%%
Uk�eme nejprve, �e $\hod(\A^T)\ge\hod(\A)$.
Nech� $\A\in\R^{m,n}$ a ozna�me $k=\hod(\A)$. 
Podle v�ty\cite[hod=maxradku] existuje $k$ line�rn� nez�visl�ch 
��dk� matice $\A$. Ozna�me je $\vecc b_k$.
Zapi�me si, co to znamen�, �e tyto ��dky jsou line�rn� nez�visl�.
Pro
$$
  \lkvecc \alpha.b_k = \vec o
$$
mus� b�t $\alpha_i=0$ $\forall i\in\{1,\ldots,k\}$.
Tento po�adavek vede na soustavu rovnic, kter�
mus� m�t jedin� trivi�ln� �e�en�:
$$
  \def\quad{\kern.3em }
  \matrix{
  \alpha_1\,b_{1,1} + \alpha_2\,b_{2,1} + \cdots + \alpha_k\,b_{k,1} &=& 0, \cr
  \alpha_1\,b_{1,2} + \alpha_2\,b_{2,2} + \cdots + \alpha_k\,b_{k,2} &=& 0, \cr 
  \hphantom{ \alpha_1\,b_{1,1} + \alpha_2\,b_{2,1} +{}}         
  \cdots\hphantom{{}+\alpha_k\,b_{k,1}}  \cr
  \alpha_1\,b_{1,n} + \alpha_2\,b_{2,n} + \cdots + \alpha_k\,b_{k,n} &=& 0. \cr
  }\rce(AT)
$$
Koeficienty jednotliv�ch rovnic soustavy\cite(AT) odpov�daj�
��stem sloupc� matice $\A$. ��stmi sloupc� v~tomto d�kazu budeme
ozna�ovat uspo��dan� $k$-tice obsahuj�c� jen ty prvky z~dan�ho
sloupce, kter� le�� ve vybran�ch ��dc�ch $\vecc b_k$. Aby bylo zaru�eno 
pouze trivi�ln� �e�en� soustavy\cite(AT), mus�me po p��m�m chodu 
Gaussovy elimina�n� metody dostat schodovitou matici 
o~$k$-��dc�ch (m�n� ��dk� by vedlo na nekone�n�
mnoho �e�en�). To podle v�t\cite[hod=maxradku] 
a\cite[lobalymatic] znamen�, �e existuje
$k$ line�rn� nez�visl�ch ��st� sloupc� matice $\A$. Tyt�
cel� sloupce matice $\A$ jsou line�rn� nez�visl�
(kdyby byly z�visl�, pak by stejn� netrivi�ln� line�rn�
kombinace cel�ch sloupc� d�vala nulov� vektor i 
na ��stech sloupc�, ale my v�me, �e ��sti sloupc� jsou 
line�rn� nez�visl�). M�me 
tedy zaru�eno, �e v~matici $\A$ je aspo� $k$ line�rn� 
nez�visl�ch sloupc� (zat�m nen� vylou�eno, �e jich m��e b�t v�ce). 
Podle v�ty\cite[hod=maxradku] tedy je $\hod(\A^T)\geq k=\hod(\A)$.

M�me $\hod\bigl((\A^T)^T\bigr)\geq \hod(\A^T)\geq \hod(\A)$, a p�itom podle
v�ty\cite[ATT=A] je $(\A^T)^T=\A$, tak�e v�echny uveden� hodnosti se
rovnaj�. 

\poznamka
%%%%%%%%%
Uk�zali jsme, �e hodnosti matice $\A$ a $\A^T$ se rovnaj�. To
vysv�tluje, pro� jsme nedefinovali zvlṻ \uv{��dkovou} hodnost
matice jako dimenzi line�rn�ho obalu ��dk� a zvlṻ 
\uv{sloupcovou} hodnost jako dimezi line�rn�ho obalu sloupc�.
Tato ��sla jsou podle v�ty\cite[hA=hAT] stejn�.

\veta [hodminimum]
%%%%%
Nech� $\A\in\R^{m,n}$. Pak $\hod(\A) \leq \min(m,n)$.
\inl[hodnost: matice]

\dukaz
%%%%%%
Hodnost matice je men�� nebo rovna po�tu ��dk� z~v�ty\cite[hod=maxradku] 
a je men�� nebo rovna po�tu sloupc� z~v�ty\cite[hA=hAT].


\okraj P��klad na spojen� podprostor� | Priklad na spojeni podprostoru

\poznamka
%%%%%%%%%
Na konci kapitoly\kcite\ktere[base] jsme uvedli \uv{p��lepek} o spojen� a
pr�niku podprostor�. Nyn� m�me k dispozici
v�tu\cite[lobalymatic], tedy apar�t, pomoc�
kter�ho si m��eme tuto problematiku ilustrovat na p��kladech.


\priklad [pr-prunikspojeni]
%%%%%%%%
Jsou d�ny line�rn� podprostory $M$ a $N$ line�rn�ho prostoru $\R^5$
pomoc� line�rn�ch obal�:
$$
  \eqalign{
  M &= \bigl< (1,2,0,1,1), (1,3,1,3,4), (3,5,2,4,5) \bigr>, \cr
  N &= \bigl< (1,1,3,4,3), (1,0,2,2,0), (2,1,3,2,3), (0,1,2,4,3) \bigr>. }
$$
Najdeme b�zi a dimenzi prostor� $M$, $N$, $M\cap N$ a $M\vee N$.

Podle v�ty\cite[lobalymatic] zachov�v� Gaussova elimina�n� metoda
line�rn� obal ��dk� matice, tak�e budeme eliminovat n�sleduj�c�
matice:
$$
  \jot=0pt
\eqalign{
  M: &\quad
  \matice{1&2&0&1&1\cr 1&3&1&3&4\cr 3&5&2&4&5} \sim
  \matice{1&2&0&1&1\cr 0&1&1&2&3\cr 0&\!-1&2&1&2} \sim
  \matice{1&2&0&1&1\cr 0&1&1&2&3\cr 0&0&3&3&5} ,
\cr \noalign{\medskip}
  N: &\quad 
  \matice{1&1&3&4&3\cr 1&0&2&2&0\cr 2&1&3&2&3\cr 0&1&2&4&3} \sim
  \matice{1&1&3&4&3\cr 0&-1&-1&-2&-3\cr 0&-1&-3&-6&-3\cr 0&1&2&4&3} \sim
  \matice{1&1&3&4&3\cr 0&1&1&2&3\cr 0&0&2&4&0\cr 0&0&1&2&0} \sim
  \matice{1&1&3&4&3\cr 0&1&1&2&3\cr 0&0&1&2&0}.
}
$$
Podle v�ty\cite[trojnezavis] jsou ��dky matic zapsan�ch nejv�ce vpravo
line�rn� nez�visl�. Line�rn� obal t�chto ��dk� z�stal zachov�n a je
roven $M$, respektive $N$. M�me tedy:
$$
  \eqalign{
  \hbox{b�ze $M$}: &\quad 
  \bigl\{(1,2,0,1,1), (0,1,1,2,3), (0,0,3,3,5)\bigr\}, \quad
  \dim M = 3, \cr
  \hbox{b�ze $N$}: &\quad 
  \bigl\{(1,1,3,4,3), (0,1,1,2,3), (0,0,1,2,0)\bigr\}, \quad
  \dim N = 3. }
$$
Vzhledem k tomu, �e t�i vektory, kter�mi je zad�n podprostor~$M$, jsou
line�rn� nez�visl�, m��eme zapsat i jinou b�zi~$M$:
$\{(1,2,0,1,1), (1,3,1,3,4), (3,5,2,4,5)\}$. Vektory, kter�mi je zad�n
podprostor~$N$ jsou line�rn� z�visl�, tak�e netvo�� b�zi.

Plat� $M\vee N =\lob<M\cup N> = \lob<\hbox{b�ze}\;M\,\cup\,{}\hbox{b�ze}\;N>$, 
tak�e b�zi tohoto podprostoru najdeme eliminac� n�sleduj�c� matice:
$$
  \displaylines{
  M\vee N: \enspace
  \matice{1&2&0&1&1\cr 0&1&1&2&3\cr 0&0&3&3&5\cr
          1&1&3&4&3\cr 0&1&1&2&3\cr 0&0&1&2&0} \sim
  \matice{1&2&0&1&1\cr 0&1&1&2&3\cr 0&0&3&3&5\cr
          0&\!-1&3&3&2\cr 0&0&1&2&0} \sim
  \matice{1&2&0&1&1\cr 0&1&1&2&3\cr 0&0&3&3&5\cr
          0&0&4&5&5\cr 0&0&1&2&0} \sim
  \matice{1&2&0&1&1\cr 0&1&1&2&3\cr 0&0&3&3&5\cr
          0&0&0&\!-3&5\cr 0&0&0&\!-3&5} \sim
  \matice{1&2&0&1&1\cr 0&1&1&2&3\cr 0&0&3&3&5\cr
          0&0&0&\!-3&5}, \cr
  \hbox{b�ze}\; M\vee N: \quad
  \bigl\{(1,2,0,1,1), (0,1,1,2,3), (0,0,3,3,5), (0,0,0,-3,5) \bigr\}, \quad
  \dim (M\vee N) = 4. }
$$
Podle v�ty\cite[dimspojeni] m�me okam�it� dimenzi pr�niku:
$$
  \dim(M\cap N) = \dim M + \dim N - \dim (M\vee N) = 3 + 3 - 4 = 2,
$$
bohu�el nalezen� b�ze pr�niku d� je�t� trochu pr�ce. 
Vektory spole�n� ob�ma podprostor�m mus� j�t zapsat jako 
line�rn� kombinace b�ze~$M$ i line�rn� kombinace b�ze~$N$:
$$
  \alpha\,(1,2,0,1,1)+ \beta\,(0,1,1,2,3) + \gamma\,(0,0,3,3,5) = 
  a\,(1,1,3,4,3) + b\,(0,1,1,2,3) + c\,(0,0,1,2,0).
  \rce(hledamprunik)
$$
Z tohoto po�adavku n�m vych�z� soustava p�ti rovnic o �esti nezn�m�ch
$\alpha, \beta, \gamma, a, b, c$. 
Eliminujeme matici t�to homogenn� soustavy.
$$
  \matice{1&\kern4pt0&\kern4pt0&-1&0&0\cr2&1&0&-1&-1&0\cr0&1&3&-3&-1&-1\cr
          1&2&3&-4&-2&-2\cr1&3&5&-3&-3&0}\sim
  \matice{1&\kern4pt0&\kern4pt0&-1&0&0\cr0&1&0& 1&-1&0\cr0&1&3&-3&-1&-1\cr
          0&2&3&-3&-2&-2\cr0&3&5&-2&-3&0}\sim \cdots \sim
  \matice{1&\kern4pt0&\kern4pt0&-1&0&0\cr0&1&0& 1&-1&0\cr0&0&3&-4&0&-1\cr
          0&0&0&1&0&1}.
$$
Vol�me $b=t$, $c=u$, pak vych�z� $a=-u$. Ostatn� hodnoty prom�nn�ch
nemus�me po��tat a vr�t�me se k prav� stran� rovnosti\cite(hledamprunik).
Vektory, kter� jsou spole�n� ob�ma prostor�m, musej� tedy spl�ovat:
$$
   -u\,(1,1,3,4,3) + t\,(0,1,1,2,3) + u\,(0,0,1,2,0) =
  t\,(0,1,1,2,3) + u\,(-1,-1,-2,-2,-3).
$$
Je tedy $M\cap N = \bigl<(0,1,1,2,3), (1,1,2,2,3)\bigr>$ a tyto
dva vektory tvo�� jednu z mo�n�ch b�z� line�rn�ho prostoru $M\cap N$.
�e pr�nik obsahuje vektor $(0,1,1,2,3)$ n�s nep�ekvap�, proto�e tento
vektor byl sou��st� obou b�z� podprostor� $M$ i $N$. Soustavu jsme
po��tali jen kv�li tomu, abychom na�li ten druh� vektor.


\shrnuti
%%%%%%%%
Mno�ina matic $\R^{m,n}$ tvo�� line�rn� prostor. Vektory z $\R^n$
m��eme ztoto�nit s maticemi z~$\R^{1,n}$ (��dkov� vektory) nebo 
s~maticemi z~$\R^{n,1}$ (sloupcov� vektory). ��dkov� vektory m��eme
kl�st pod sebe a tvo�it matice, nebo m��eme sloupcov� vektory kl�st
vedle sebe a rovn� dost�v�me matice.

Hodnost matice je dimenze line�rn�ho obalu ��dk�\lcite[dhodnost],
co� je tot� jako dimenze line�rn�ho obalu sloupc�\lcite[hA=hAT].
Na v�po�et hodnosti matice se pou��v� algoritmus\cite[metodahodnosti].

V t�to kapitole jsme si uk�zali algoritmy vych�zej�c� z toho, �e
dan� ��dkov� vektory zap��eme pod sebe a vytvo��me matici, jej��
hodnost vypo��t�me.
Algoritmus\cite[algollnlz] umo�n� rozhodnout, zda jsou vektory
line�rn� z�visl� �i nez�visl�. Algoritmus\cite[algolrovnost]
umo�n� ov��it rovnost obal� a algoritmus\cite[algoljeprvkem] odpov� na
ot�zku, zda vektor le�� v line�rn�m obalu dan�ch vektor�.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola N�soben� matic | Nasobeni matic
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\okraj Definice n�soben� matic | Definice nasobeni matic

\definice* [soucinAB]
%%%%%%%%%
Nech� $\A=(a_{i,j})\in\R^{m,n}$ a $\B=(b_{j,k})\in\R^{n,p}$.
Pak je definov�n {\em sou�in matic $\A\cdot\B$} 
(v~tomto po�ad�) jako matice typu $(m,p)$ takto: 
ka�d� prvek $c_{i,k}$ matice $\A\cdot\B$ je d�n vzorcem
$$
  c_{i,k} = a_{i,1}\,b_{1,k} + a_{i,2}\,b_{2,k} + \cdots + a_{i,n}\,b_{n,k} 
  = \sum_{j=1}^n a_{i,j}\,b_{j,k}, \quad 
  i\in\{1,\ldots,m\},\quad k\in\{1,\ldots,p\}.
  \rce(cik)
$$
\par\inl[n�soben�: matic, matice: n�soben�]
\inl[sou�in: matic, matice: sou�in]

\poznamka
%%%%%%%%%
V�imneme si, �e n�soben� je definov�no jen tehdy, pokud po�et sloupc�
prvn� matice je roven po�tu ��dk� druh� matice. V�sledn� matice m�
stejn� po�et ��dk�, jako prvn� matice a stejn� po�et sloupc�, jako
druh� matice. N�zorn�:
$$
\setbox0=\hbox{$\underbrace{\matrix {\circ&\circ&\cdots&\circ\cr
            \circ&\circ&\cdots&\circ\cr
                      &&\cdots&\cr
            \circ&\circ&\cdots&\circ\cr}}$}
\dimen0=\wd0
\setbox0=\vtop{\hbox{\box0}\kern2pt\hbox to\dimen0{\hfil$n$\hfil}}\dp0=0pt
\setbox1=\hbox{$\underbrace{\matrix {\circ&\cdots&\circ\cr
            \circ&\cdots&\circ\cr
            \circ&\cdots&\circ\cr
                 &\cdots&\cr
            \circ&\cdots&\circ\cr}}$}
\dimen0=\wd1
\setbox1=\vtop{\hbox{\box1}\kern2pt\hbox to\dimen0{\hfil$p$\hfil}}\dp1=0pt
\setbox2=\hbox{$\underbrace{\matrix {\circ&\cdots&\circ\cr
            \circ&\cdots&\circ\cr
                 &\cdots&\cr
            \circ&\cdots&\circ\cr}}$}
\dimen0=\wd2
\setbox2=\vtop{\hbox{\box2}\kern2pt\hbox to\dimen0{\hfil$p$\hfil}}\dp2=0pt
%
m\left\{\left(\box0\right)\right. \quad\cdot\quad 
n\left\{\left(\box1\right)\right. 
\quad=\quad \left.\left(\box2\right)\right\}m
%
\advance\belowdisplayskip by1.5\baselineskip
\belowdisplayshortskip=\belowdisplayskip
$$
Ka�d� prvek matice $\A\cdot\B$ p�itom mus�me po��tat podle 
vzorce\cite(cik) jako sou�et
sou�in� odpov�daj�c�ch prvk� ��dku prvn� matice a sloupce druh�
matice. Za��te�n�ci mohou pou��t tzv.~\uv{dvouprstovou vizu�ln�
metodu}: p�i v�po�tu ��sla $c_{i,k}$ p�ilo�te ukazov��ek lev� ruky na
za��tek $i$-t�ho ��dku prvn� matice a ukazov��ek prav� ruky na za��tek
$k$-t�ho sloupce druh� matice. Pak pron�sobte mezi sebou ��sla, na
kter� ukazuj� prsty, a v�sledek ulo�te do s��tac� pam�ti. Posu�te lev�
prst na dal�� prvek v~��dku a prav� prst na dal�� prvek
v~sloupci. Znovu vyn�sobte a p�i�t�te v�sledek ke s��tac�
pam�ti. Posunujte d�le lev� prst v~��dku a prav� prst ve sloupci, 
n�sobte a s��tejte ve s��tac� pam�ti tak dlouho, dokud nevy�erp�te 
cel� ��dek prvn� matice. To se stane podle
definice v~okam�iku, kdy t� vy�erp�te cel� sloupec druh�
matice. V�sledek s��tac� pam�ti pak napi�te jako prvek $c_{i,k}$
do postupn� budovan� v�sledn� matice $\A\cdot\B$.

\priklad [prikladnasobeni]
%%%%%%%%
$$
  \catcode`.=13 \def.{\cdot}
  \pmatrix{1&2&3&4\cr5&6&7&8\cr0&2&1&0} \cdot
  \pmatrix{1&2\cr3&4\cr5&6\cr2&7} =
  \pmatrix{1.1+2.3+3.5+4.2 \enskip & 1.2+2.4+3.6+4.7 \cr
           5.1+6.3+7.5+8.2 \enskip & 5.2+6.4+7.6+8.7 \cr
           0.1+2.3+1.5+0.2 \enskip & 0.2+2.4+1.6+0.7 \cr} =
  \pmatrix{30 & 56 \cr 74 & 132 \cr 11 & 14}.
$$

\priklad* [nekomutuje]
%%%%%%%%
$$
  \pmatrix{1&1\cr1&1} \cdot \pmatrix{\hfill1&\hfill1\cr-1&-1} 
   = \pmatrix{0&0\cr0&0}, \qquad
  \pmatrix{\hfill1&\hfill1\cr-1&-1} \cdot \pmatrix{1&1\cr1&1} 
   = \pmatrix{\hfill2&\hfill2\cr-2&-2}.
$$
Tento p��klad ilustruje, �e n�soben� matic obecn� nespl�uje
komutativn� z�kon ani pro
�tvercov� matice, tj. existuj� matice $\A$, $\B$, pro kter� neplat�
$\A\cdot\B = \B\cdot\A$.
Pokud n�kter� z~matic $\A$, $\B$ nen� �tvercov�, pak sou�in
$\B\cdot\A$ nemus� b�t v�bec definov�n, p�esto�e sou�in $\A\cdot\B$
definov�n je. 
\inl[z�kon: komutativn�, komutativn�: z�kon]

P��klad d�le ukazuje, �e nen� spln�na ani vlastnost nuly,
na kterou jsme zvykl� p�i n�soben� re�ln�ch ��sel: je-li $a\not=0$, 
$b\not= 0$, pak $a\,b\not=0$. V~p��kladu n�sob�me dv� nenulov� matice,
a p�itom dost�v�me matici nulovou.

Mus�me si z~toho odn�st ponau�en�, �e n�soben� matic nespl�uje v�echny
vlastnosti, na kter� jsme zvykl�, a proto p�i �prav�ch vzorc�
obsahuj�c�ch n�soben� matic si mus�me d�t pozor, co m��eme v~dan�
situaci ud�lat.
\inl[n�soben�: matic, matice: n�soben�]
\inl[sou�in: matic, matice: sou�in]

Nab�z� se p�irozen� ot�zka, zda n�soben� matic spl�uje aspo� n�jak�
z�kony, na kter� jsme zvykl� (jinak by bylo skoro zbyte�n� tuto
operaci naz�vat n�soben�m). N�sleduj�c� v�ta ukazuje, �e n�soben�
matic je asociativn� a tak� distributivn� vzhledem ke s��t�n� matic.

\veta* [soucinAB-vlastnosti]
%%%%%
Nech� $\alpha\in\R$ a matice $\A$, $\B$, $\C$ jsou odpov�daj�c�ch 
typ� tak, aby n��e uveden� sou�iny a sou�ty byly definov�ny. Pak plat�
$$
\abovedisplayskip=2pt
\eqalign{ 
  \bod (1) (\A\cdot\B)\cdot\C = \A\cdot(\B\cdot\C)
            \quad \hbox{(asociativn� z�kon)}, \cr
  \bod (2) (\A+\B)\cdot\C = \A\cdot\C + \B\cdot\C
            \quad \hbox{(distributivn� z�kon)},\cr
  \bod (3) \C\cdot(\A+\B) = \C\cdot\A + \C\cdot\B
            \quad \hbox{(distributivn� z�kon)},\cr
  \bod (4) \alpha(\A\cdot\B) = (\alpha\,\A)\cdot\B =
            \A\cdot(\alpha\,\B), \cr
  \bod (5) (\A\cdot\B)^T=\B^T\cdot\A^T. \cr}
$$
\par\inl[n�soben�: matic, matice: n�soben�]
\inl[sou�in: matic, matice: sou�in]
\inl[asociativn�: z�kon, z�kon: asociativn�]
\inl[distributivn�: z�kon, z�kon: distributivn�]

\dukaz
%%%%%%
Jako cvi�en� dopl�te ke ka�d�mu vzorci v�ty p�edpoklady o~typech 
matic. Tyto p�edpoklady se budou pro r�zn� vzorce li�it.
V~tomto d�kazu p�edpokl�d�me typy matic $(m,n)$, $(n,p)$ a $(p,q)$.

(1) Ozna�me $\A=(a_{i,j})$, $\B=(b_{j,k})$, $\C=(c_{k,l})$, 
$\A\cdot\B=(d_{i,k})$, $\B\cdot\C=(f_{j,l})$, 
$(\A\cdot\B)\cdot\C=(g_{i,l})$, $\A\cdot(\B\cdot\C)=(h_{i,l})$
pro $i\in\{1,\ldots,m\}$, $j\in\{1,\ldots,n\}$, 
$k\in\{1,\ldots,p\}$, $l\in\{1,\ldots,q\}$. Jde o~to uk�zat, �e
$g_{i,l} = h_{i,l}$ pro v�echna $i\in\{1,\ldots,m\}$ a $l\in\{1,\ldots,q\}$.
Podle definice\cite[soucinAB] je
$$
  d_{i,k} = \sum_{j=1}^n a_{i,j}\,b_{j,k}, \quad 
  f_{j,l} = \sum_{k=1}^p b_{j,k}\,c_{k,l},
$$
tak�e plat�
$$
\def\j{\vbox to0pt{\vss\hbox{$\scriptstyle j$}}}
\displaylines{
  g_{i,l} = \sum_{k=1}^p d_{i,k}\,c_{k,l} =
  \sum_{k=1}^p \left( \sum_{\j=1}^n a_{i,j}\,b_{j,k}\right)c_{k,l}\, =
  \sum_{k=1}^p \left( \sum_{\j=1}^n a_{i,j}\,b_{j,k}\,c_{k,l}\right) = X, \cr
  h_{i,l} =  \sum_{j=1}^n a_{i,j}\,f_{j,l} =
  \sum_{j=1}^n a_{i,j}\,\left( \sum_{k=1}^p b_{j,k}\,c_{k,l}\right) =
  \sum_{j=1}^n \left( \sum_{k=1}^p a_{i,j}\,b_{j,k}\,c_{k,l}\right) = Y.
}
$$    
Vysv�tl�me si, pro� plat� $X=Y$. Volme $i$, $l$ pevn�. 
Sou�iny $a_{i,j}\cdot b_{j,k}\cdot c_{k,l}$ m��eme zapsat do tabulky, 
ve kter� index $j$ odpov�d� ��dku tabulky a
index $k$ sloupci. Hodnota $X$ pak znamen� sou�et sloupcov�ch
mezisou�t� v~tabulce a hodnota $Y$ sou�et ��dkov�ch mezisou�t�.
Ka�d� ��etn� v�, �e ob� hodnoty mus� 
d�t stejn� v�sledek. My ostatn� to snadno nahl�dneme.

(2)  Ozna�me $\A=(a_{i,j})$, $\B=(b_{i,j})$, $\C=(c_{j,k})$,
$(\A+\B)\cdot\C=(d_{i,k})$ pro
$i\in\{1,\ldots,m\}$, $j\in\{1,\ldots,n\}$, 
$k\in\{1,\ldots,p\}$. Pak podle definic\cite[soucinAB] a\cite[deflpmatic]
plat�
$$
  d_{i,k} = \sum_{j=1}^n (a_{i,j} + b_{i,j})\, c_{j,k} =
   \sum_{j=1}^n (a_{i,j}\,c_{j,k} +  b_{i,j}\,c_{j,k}) =
   \sum_{j=1}^n a_{i,j}\,c_{j,k} +  \sum_{j=1}^n b_{i,j}\,c_{j,k},
$$
co� odpov�d� prvk�m matice $\A\cdot\C + \B\cdot\C$.

(3) D�kaz bychom provedli obdobn�, jako v~p��pad� (2).

(4) Ozna�me $\A=(a_{i,j})$, $\B=(b_{j,k})$ pro $i\in\{1,\ldots,m\}$,
$j\in\{1,\ldots,n\}$, $k\in\{1,\ldots,p\}$. Plat�
$$
  \alpha\,\sum_{j=1}^n a_{i,j}\,b_{j,k} = 
  \sum_{j=1}^n \alpha\, a_{i,j}\,b_{j,k} =
  \sum_{j=1}^n (\alpha\, a_{i,j})\,b_{j,k} =
  \sum_{j=1}^n a_{i,j}\,(\alpha\,b_{j,k}),
$$
co� dokazuje vzorec:~(4).

(5) Ozna��me $\A=(a_{i,j})$, $\B=(b_{j,k})$, $\C=\A\cdot\B=(c_{i,k})$,
$i\in\{1,\ldots,m\}$, $j\in\{1,\ldots,n\}$, \hbox{$k\in\{1,\ldots,p\}$}.
Je tedy $\A^T=(\alpha_{j,i})$, $\B^T=(\beta_{k,j})$, kde 
$\alpha_{j,i}=a_{i,j}$, $\beta_{k,j}=b_{j,k}$.
Ozna�me je�t� sou�in $\D=\B^T\cdot\A^T=(d_{k,i})$. 
Podle definice n�soben� je
$$
  c_{i,k} = \sum_{j=1}^n a_{i,j}\,b_{j,k} =
            \sum_{j=1}^n \beta_{k,j}\,\alpha_{j,i} = 
  d_{k,i}, 
$$
tak�e $\D^T=\C$, co� dokazuje vzorec~(5).

\priklad
%%%%%%%%
Nech� $\A$, $\B$, $\C$ jsou �tvercov� matice. Spo��t�me
$(\A+\B)\cdot(\B+\C)$. Podle~(3) ve v�t�\cite[soucinAB-vlastnosti]
je $(\A+\B)\cdot(\B+\C) = (\A+\B)\cdot \B + (\A+\B)\cdot \C =
\A\cdot\B + \B\cdot\B + \A\cdot\C + \B\cdot\C$. M�sto z�pisu
$\B\cdot\B$ budeme u��vat zkratku $\B^2$. Kone�n� v�sledek je
$\A\cdot\B + \B^2 + \A\cdot\C + \B\cdot\C$.

Jin� p��klad: $(\A+\B)^2 = (\A+\B) \cdot (\A+\B) = 
(\A+\B)\cdot\A + (\A+\B)\cdot\B =
\A^2 + \B^2 + \A\cdot\B + \B\cdot\A$. Tento v�sledek obecn� nelze
zjednodu�it, proto�e n�soben� matic nen� komutativn�. Pouze tehdy,
kdy� pro tyto matice plat� $\A\cdot\B = \B\cdot\A$, m��eme ps�t 
v�sledek ve tvaru $\A^2 + 2\,\A\cdot\B + \B^2$.

\okraj Blokov�\hb n�soben� | Blokove nasobeni

\poznamka
%%%%%%%%%
Matice m��e vzniknout sestaven�m men��ch matic vedle sebe anebo pod
sebe. Nap��klad:
$$
\A_1 = \pmatrix{1&2\cr 3&4}, \quad
\A_2 = \pmatrix{6\cr 7}, \quad
\A_3 = \pmatrix{8&9}, \quad
\A_4 = \pmatrix{0}, \quad
\B = \pmatrix {\A_1&\A_2\cr \A_3&\A_4} = 
     \pmatrix {1&2&6\cr3&4&7\cr8&9&0}
$$
Zde na matici $\B$ m��eme pohl��et jako na matici sestavenou nap��klad
z blok� $\A_1$, $\A_2$, $\A_3$, $\A_4$. Bloky kladen� vedle sebe
musej� m�t samoz�ejm� stejn� po�et ��dk� a bloky kladen� pod sebe
musej� m�t stejn� po�et sloupc�. 


\veta [ctyribloky]
%%%%%
Nech� $\A$ a $\B$ jsou matice sestaven� po bloc�ch takto:
$$
  \A = \pmatrix {\A_{1,1}& \A_{1,2} \cr \A_{2,1} & \A_{2,2}}, \quad
  \B = \pmatrix {\B_{1,1}& \B_{1,2} \cr \B_{2,1} & \B_{2,2}}
$$
Nech� uveden� bloky jsou matice takov�ho typu, �e n�soben� matic $\A_{i,j}\cdot\B_{j,k}$
je definov�no pro v�echny p��pady, kter� se vyskytuj� v n�sleduj�c�m
vzorci. Pak
$$
  \A\cdot \B = \pmatrix {\A_{1,1}\cdot\B_{1,1}+ \A_{1,2}\cdot\B_{2,1}&\
                         \A_{1,1}\cdot\B_{1,2}+ \A_{1,2}\cdot\B_{2,2}\cr
                         \A_{2,1}\cdot\B_{1,1}+ \A_{2,2}\cdot\B_{2,1}&\
                         \A_{2,1}\cdot\B_{1,2}+ \A_{2,2}\cdot\B_{2,2}}
$$
\vskip-2\baselineskip\null

\dolu 12mm
\obrazek .5+.06 11 obr5
{
  \p 7 15 {\hbox{1. �sek}}
  \p 7 65 {\hbox{2. �sek}}
  \p 14 -14 i
  \p 30 30 \A_{1,1}
  \p 30 70 \A_{1,2}
  \p 70 30 \A_{2,1}
  \p 70 70 \A_{2,2}
  \p 50 -10 {\left(\vrule height55pt width0pt \right.}
  \p 50 95 {\left.\vrule height55pt width0pt \right)}
  \p 50 107 {\cdot}
  \p -3 163 k
  \p 50 115 {\left(\vrule height50pt width0pt \right.}
  \p 50 215 {\left.\vrule height50pt width0pt \right)}
  \p 30 130 {\hbox{1. �sek}}
  \p 77 130 {\hbox{2. �sek}}
  \p 35 170 \B_{1,1}
  \p 35 195 \B_{1,2}
  \p 77 170 \B_{2,1}
  \p 77 195 \B_{2,2}
}
\dukaz
%%%%%%
Prvek $c_{i,k}$
sou�inu $\A\cdot\B$ se po��t� z~prvk� $i$-t�ho ��dku matice $\A$ a
$k$-t�ho sloup\-ce matice $\B$. Proch�z�-li $i$-t� ��dek bloky
$\A_{1,1}$ a $\A_{1,2}$ a $k$-t� sloupec bloky $\B_{1,1}$ a
$\B_{2,1}$, pak z�ejm� sou�in $\A_{1,1}\cdot\B_{1,1}$ pracuje s prvky
prvn�ho �seku $i$-t�ho ��dku matice $\A$ a prvn�ho �seku $k$-t�ho sloupce matice
$\B$ a dal�� sou�in $\A_{1,2}\cdot\B_{2,1}$ bere prvky z druh�ho �seku 
$i$-t�ho ��dku matice $\A$ a dru�ho �seku $k$-t�ho sloupce matice $\B$.
Prvek $c_{i,k}$ je podle definice maticov�ho sou�inu\cite[soucinAB] 
sou�tem odpov�daj�c�ch prvk� na $i$-t�m ��dku
a $k$-t�m sloupci v matic�ch $\A_{1,1}\cdot\B_{1,1}$ a $\A_{1,2}\cdot\B_{2,1}$.
Analogicky je mo�no argumentovat v p��pad�, �e $i$-t� ��dek nebo
$k$-t� sloupec proch�zej� jin�mi bloky. Obt��n� se o tom mluv�, lep��
je si toto maticov� n�soben� \uv{nakreslit} (viz obr�zek).
$$
\eqalign{
  c'_{i,k} &= \hbox{prvek}_{i,k}\hbox{ matice }\A_{1,1}\cdot\B_{1,1} =
             (\hbox{1. �sek $i$-t�ho ��dku }\A)\cdot
             (\hbox{1. �sek $k$-t�ho sloupce }\B) \cr
  c''_{i,k} &= \hbox{prvek}_{i,k}\hbox{ matice }\A_{1,2}\cdot\B_{2,1} =
              (\hbox{2. �sek $i$-t�ho ��dku }\A)\cdot
              (\hbox{2. �sek $k$-t�ho sloupce }\B) \cr
  c_{i,k} &= \hbox{prvek}_{i,k}\hbox{ matice }\A\cdot\B =
             (\hbox{cel� $i$-t� ��dek }\A)\cdot(\hbox{cel� $k$-t� sloupec }\B)
           = c'_{i,k} + c''_{i,k}. 
}
$$

\veta [soucinbloku]
%%%%%
Nech� $\A$ a $\B$ jsou matice sestaven� po bloc�ch takto:
$$
  \A = \pmatrix {\A_{1,1}& \A_{1,2}& \ldots& \A_{1,n} \cr 
                 \A_{2,1}& \A_{2,2}& \ldots& \A_{2,n} \cr
                        &         & \ldots&        \cr
                 \A_{m,1}& \A_{m,2}& \ldots& \A_{m,n}}, \quad
  \B = \pmatrix {\B_{1,1}& \B_{1,2}& \ldots& \B_{1,p} \cr 
                 \B_{2,1}& \B_{2,2}& \ldots& \B_{2,p} \cr
                        &         & \ldots&        \cr
                 \B_{n,1}& \B_{n,2}& \ldots& \B_{n,p}}
$$
Nech� uveden� bloky jsou matice takov�ho typu, �e n�soben� matic $\A_{i,j}\cdot\B_{j,k}$
je definov�no pro v�echna $i\in\{1,\ldots,m\}$, $j\in\{1,\ldots,n\}$, 
$k\in\{1,\ldots,p\}$. Tedy po�et sloupc� bloku $\A_{i,j}$ je roven po�tu
��dk� bloku~$\B_{j,k}$. Pak
$$
  \C= \A\cdot \B = \pmatrix {\C_{1,1}& \C_{1,2}& \ldots& \C_{1,p} \cr 
                 \C_{2,1}& \C_{2,2}& \ldots& \C_{2,p} \cr
                        &         & \ldots&        \cr
                 \C_{m,1}& \C_{m,2}& \ldots& \C_{m,p}}, \quad
\hbox{kde}\quad \C_{i,k} = \sum_{j=1}^n \A_{i,j}\cdot \B_{j,k}.
$$

\dukaz
Je z�ejm�, �e $\C_{i,k}$ je blok typu $(u_i,v_k)$, kde $u_i$ je po�et
��dk� bloku $\A_{i,1}$ a $v_k$ je po�et sloupc� bloku $\B_{1,k}$ a
tento typ maj� v�echny sou�iny $\A_{i,j}\cdot \B_{j,k}$ pro v�echna
$j\in\{1,\ldots,n\}$, tak�e sou�et sou�in� ve vzorci pro $\C_{i,k}$ je definov�n.
V�tu lze d�le dok�zat analogicky, jako v�tu p�edchoz�. Ka�d� ��dek matice
$\A$ a sloupec matice $\B$ se nyn� rozd�l� na $n$~�sek�.

\poznamka
%%%%%%%%%
Pov�imneme si, �e pokud vol�me ve v�t�\cite[soucinbloku] za bloky
\uv{matice s jedin�m ��slem} (matice z $\R^{1,1})$, pak v�ta
rozepisuje definici maticov�ho n�soben�. Zaj�mav� jsou pro n�s
je�t� p��pady, kdy matice $\A$ je rozeps�na do ��dkov�ch blok� nebo matice
$\B$ je rozeps�na do sloupcov�ch blok�. To je formulov�no v
n�sleduj�c�ch v�t�.

\veta [soucinsloupcu]
%%%%%
Nech� $\A\in\R^{m,n}$, $\B\in\R^{n,p}$. Nech� matice $\B$ je zaps�na
po sloupc�ch: $\B=(\vec b_1\ \vec b_2\ \ldots\ \vec b_p)$, 
tj. $\vec b_k$ jsou sloupcov� vektory z~$\R^{n,1}$. Pak
$$
  \A\cdot\B = (\A\cdot\vec b_1\ \ \ \A\cdot\vec b_2\ \ \ldots \ \ \A\cdot\vec b_p)
$$

\goodbreak
\dukaz
%%%%%%
Sta�� v p�edchoz� v�t�\cite[soucinbloku] volit matici $\A$ obsahuj�c� jedin� blok a
matici $\B$ obsahuj�c� jako bloky sv� sloupce. V terminologii
p�edchoz� v�ty tedy $m=n=1$ a $p=$~po�et sloupc� matice $\B$.

\poznamka
%%%%%%%%%
V�ta\cite[soucinsloupcu] se d� lapid�rn� formulovat takto:
sloupce maticov�ho sou�inu $\A\cdot\B$ obsahuj� sou�iny cel� 
matice $\A$ s odpov�daj�c�mi sloupci matice $\B$.
Analogicky lze dok�zat, �e ��dky maticov�ho sou�inu $\A\cdot\B$ 
obsahuj� sou�iny odpov�daj�c�ch ��dk� matice $\A$ s celou matic� $\B$.
Tuto v�tu si p�esn� zforuluje ji� laskav� �ten�� s�m.

\poznamka
%%%%%%%%%
Rozd�lme v maticov�m sou�inu $\A\cdot\B$ matici $\A$ na ��dky a
sou�asn� matici $\B$ na sloupce. Pak v�ta\cite[soucinbloku] n�m ��k�,
�e ka�d� prvek sou�inu $c_{i,k}$ se po��t� jako maticov� sou�in
$i$-t�ho ��dku matice $\A$ s~$k$-t�m sloupcem matice $\B$.
Ka�d� takov� sou�in je roven sum� ve vzorci\cite(cik).
Tak�e t�mto pohledem nez�sk�me nic jin�ho, ne� p��mo definici maticov�ho 
n�soben�\cite[soucinAB]. 

Jin� pohled na maticov� sou�in dostaneme t�m, �e matici $\A$ rozd�l�me na sloupce 
a matici $\B$ na ��dky. Pak je $\A\cdot\B$ podle
v�ty\cite[soucinbloku] sou�tem v�ech sou�in� $j$-t�ho
sloupce matice $\A$ s $j$-t�m ��dkem matice~$\B$ pro $j\in\{1,2,\ldots,n\}$. 
Ka�d� takov� sou�in je tentokr�t matice typu $(m,p)$.
Maticov� sou�in \uv{sloupec kr�t ��dek} toti� vytvo�� matici typu
$(m,p)$, kde $m$ je po�et prvk� ve sloupci a $p$ je po�et prvk� v~��dku.
Na druh� stran� maticov� sou�in \uv{��dek kr�t sloupec} vytvo�� matici
typu $(1,1)$, tedy matici s~jedin�m prvkem.

\priklad
%%%%%%%%
Jin� pohled na maticov� sou�in z p�edchoz� pozn�mky ilustrujeme na
p��kladu\cite[prikladnasobeni]. Matice vyn�sob�me tak, �e prvn�
matici rozd�l�me na sloupce a druhou na ��dky. Dost�v�me
$$
\displaylines{
  \pmatrix{1&2&3&4\cr5&6&7&8\cr0&2&1&0} \cdot
  \pmatrix{1&2\cr3&4\cr5&6\cr2&7} =
  \pmatrix{1\cr5\cr0} \cdot
  \pmatrix{1&2} +
  \pmatrix{2\cr6\cr2} \cdot
  \pmatrix{3&4} +
  \pmatrix{3\cr7\cr1} \cdot
  \pmatrix{5&6} +
  \pmatrix{4\cr8\cr0} \cdot
  \pmatrix{2&7} = \cr
  {} =
  \pmatrix{1&2\cr5&10\cr0&0} +
  \pmatrix{6&8\cr18&24\cr6&8} +
  \pmatrix{15&18\cr35&42\cr5&6} +
  \pmatrix{8&28\cr16&56\cr0&0} =
  \pmatrix{30 & 56 \cr 74 & 132 \cr 11 & 14}.
}
$$

\okraj Strassen�v algoritmus | Strassen�v algoritmus

\poznamka
%%%%%%%%%
M�me za �kol vyn�sobit dv� �tvercov� matice z $\R^{n,n}$. Jak je to
v�po�etn� n�ro�n�? P�edpokl�dejme, �e n�soben� ��sel je podstatn� 
\uv{dra���} operace ne� s��t�n�, tak�e se zam���me na po�et pot�ebn�ch
n�soben� dvou ��sel a po�et s��t�n� budeme zanedb�vat.

Pokud budeme postupovat p�i n�soben� �vercov�ch matic podle
definice\cite[soucinAB], budeme pot�ebovat pro v�po�et ka�d�ho prvku v�sledku
$n$ operac� a t�ch prvk� je $n^2$, tak�e dohoromady pot�ebujeme $n^3$
operac� n�soben�. Lze na tom n�kde u�et�it? V n�sleduj�c�m textu
uk�eme, �e ano, pokud pou�ijeme rekurzivn� blokov� p��stup k n�soben�
matic. Uvedeme nejprve klasickou rekurzi pro n�soben� a n�sledn� 
tzv.~{\em Strassen�v algoritmus}, kter� roz�i�uje klasickou rekurzi a
u�et�� operace.
\inl[Strassen�v algoritmus, algoritmus: Strassen�v]

\algoritmus (klasick� rekurze) [klasrek]
%%%%%%%%%%%
P�edpokl�dejme, �e n�sob�me �tvercov� matice $\A$ a $\B$ z $\R^n$ a �e nav�c
existuje p�irozen� $m$ tak, �e $n=2^m$. Jin�mi slovy, ka�dou matici
lze rozk�jet na �ty�i �tvercov� bloky stejn� velk� a tyto bloky lze
znovu takto rozkr�jet a� na �rove� matic typu $(1,1)$.
Jak se zachovat, pokud tento p�edpoklad nen� spln�n, je zm�n�no 
v~pozn�mce\cite[rekurzeruznych].

Prove�me v��e zm�n�n� rozd�len� matic $\A$ a $\B$ do blok� a pou�ijme 
v�tu\cite[ctyribloky]:
$$
  \pmatrix{\A_1 &\A_2\cr \A_3&\A_4} \cdot
  \pmatrix{\B_1 &\B_2\cr \B_3&\B_4} =
  \pmatrix{\A_1\cdot\B_1+\A_2\cdot\B_3 & \A_1\cdot\B_2+\A_2\cdot\B_4\cr
           \A_3\cdot\B_1+\A_4\cdot\B_3 & \A_3\cdot\B_2+\A_4\cdot\B_4}
$$
Vid�me, �e algorimtus na n�soben� matic rekurzivn� vol� 
sebe sama celkem osmkr�t, ov�em bloky, kter� se nyn� n�sob�, jsou 
z~$\R^{n/2,n/2}$. Rekurzi m��eme nechat pokra�ovat a� na �rov�� blok�
z~$\R^{1,1}$ a teprve v tom p��pad� n�sob�me odpov�daj�c� ��sla mezi sebou.
 
\poznamka
%%%%%%%%%
Kolik pot�ebuje klasick� rekurze operac� n�soben� ��sel? Je-li $F(n)$ po�et
pot�ebn�ch operac� pro v�po�et sou�inu matic z~$\R^{n,n}$, kde $n=2^m$, pak plat�:
$$
\eqalign{
  F(n) &= 8F(n/2) = 8(8F(n/4)) = 8(8(8F(n/2^3))) = \cdots = 
  8^m F(n/2^m) = 8^mF(1) =\cr &= 8^m = (2^3)^m =
  2^{3m} = (2^m)^3 = n^3.
}
$$
Pot�ebujeme tedy stejn� po�et operac�, jako kdybychom pou�ili definici.

\algoritmus (Strassen) [strassen]
%%%%%%%%%%%
Nech� dv� �tvercov� matice $\A$ a $\B$ z $\R^{n,n}$ spl�uj� stejn�
p�edpoklady, jako v p�edchoz�m algoritmu, tj. $n=2^m$ a rozd�lme
matice $\A$, $\B$ do blok�, jako p�ed chv�l�.
Vypo�teme pomocn� matice:
\inl[Strassen�v algoritmus, algoritmus: Strassen�v]
$$
\eqalign{
  &\X_1 = (\A_1 + \A_4)\cdot(\B_1+\B_4), \quad
  \X_2 = (\A_3 + \A_4)\cdot\B_1, \quad
  \X_3 = \A_1\cdot(\B_2-\B_4), \quad
  \X_4 = \A_4\cdot(\B_3-\B_1), \cr
  &\X_5 = (\A_1+\A_2)\cdot\B_4, \quad
  \X_6 = (\A_3-\A_1)\cdot(\B_1+\B_2), \quad
  \X_7 = (\A_2-\A_4)\cdot(\B_3+\B_4)
}
$$
�ten�� si jako cvi�en� ov���, �e plat�:
$$
  \pmatrix{\A_1 &\A_2\cr \A_3&\A_4} \cdot
  \pmatrix{\B_1 &\B_2\cr \B_3&\B_4} =
  \pmatrix{\X_1+\X_4-\X_5+\X_7\ & \X_3+\X_5\cr \X_2+\X_4& \X_1-\X_2+\X_3+\X_6}.
$$
Pov�imneme si, �e nyn� jsme pot�ebovali pouze sedm maticov�ch
n�soben�, tak�e vol�me rekurzivn� sebe sama jen sedmkr�t.

\poznamka
%%%%%%%%%
Kolik pot�ebujeme ve Strassenov� algoritmu operac� n�soben� jednotliv�ch
��sel? P�edpokl�dejme matice z $\R^{n,n}$ a $n=2^m$, neboli $m=\log_2 n$.
Nech� $F(n)$ je po�et operac� n�soben� pou�it�ch ve Strassenov� algoritmu, kter�
sestavuje sou�in matic z~$\R^{n,n}$. Pak
$$
  \eqalign{
  F(n) &= 7F(n/2) = 7(7F(n/4)) = 7(7(7F(n/2^3))) = \cdots = 
  7^m F(n/2^m) = 7^mF(1) =\cr &= 7^m = (2^{\log_2 7})^{\log_2 n} =
  2^{\log_2 7\,\cdot\,\log_2 n} = n^{\log_2 7} \doteq n^{2{,}807}.
}
$$
��slo $n^{2{,}807}$ je jist� men�� ne� $n^3$, tak�e Strassen�v algoritmus
�et�� po�et n�soben�. Pro velk� $n$ je �spora natolik v�razn�, �e
p�estane b�t nev�hodou, �e pot�ebujeme pon�kud v�ce s��t�n�. 
V~knihovn�ch pro n�soben� velk�ch matic se proto typicky pou��v� 
Strassen�v algoritmus.

\poznamka
%%%%%%%%%
V~�l�nku\bcite[cw] Don Coppersmith a Shmuel Winograd uv�d�j�
algoritmus, kter� m� je�t� lep�� slo�itost: $n^{2{,}376}$, ov�em
p�id�v� tolik dodate�n�ch re�ijn�ch operac� a pam�ov�ch n�rok�, �e by byl
u�ite�n� jen pro tak rozs�hl� matice, kter� se v sou�asn� dob�
nevejdou do po��ta�e. Pou��v� se tedy jen jako teoretick� dosud zn�m�
nejlep�� mez slo�itosti pro maticov� n�soben�. Dosud p�itom nen�
dok�z�no, jak� je skute�n� nejlep�� mez, tj. zda by bylo mo�n� toto
��slo je�t� vylep�it.

\poznamka [rekurzeruznych]
%%%%%%%%%
Pokud n�sob�me matice, kter� nejsou �vercov� nebo nejsou typu
$(2^m,2^m)$, pak je pot�eba roz���it matice o nulov� ��dky nebo
sloupce nebo oboj� tak, aby roz���en� matice byly typu $(2^m,2^m)$.
Pak je mo�n� pou��t v��e uveden� rekurzivn� algoritmy. V nich m��eme
hl�dat rozsah index� jednotliv�ch blok� a pokud je cel� blok v
prostoru, kde jsou jen nuly, nemus� algoritmus sou�in po��tat a rovnou
vr�t� jako v�sledek nulov� blok. Je to pouze technick� vychyt�vka v��e
popsan�ch algoritm�, kter� neovlivn� teoretick� v�sledky, o kter�ch
jsme se zm�nili d��ve. Ve v�sledku je pak pot�eba zp�tn� odebrat
roz���uj�c� ��dky a sloupce (kter� stejn� vyjdou nulov�).



\okraj Komutuj�c� matice | Komutujici matice

\definice
%%%%%%%%%
Nech� je d�na �tvercov� matice $\A\in\R^{n,n}$. Pokud matice $\B$ spl�uje
rovnost $\A\cdot\B=\B\cdot\A$, ��k�me, �e matice $\B$ {\em komutuje} 
s~matic� $\A$.

\priklad
%%%%%%%%
Zab�vejme se vlastnostmi matic $\B$, kter� komutuj� s pevn� danou
�tvercovou matic� $\A\in\R^{n,n}$. Nap��klad matice $\A$ komutuje sama
se sebou, nebo� sou�in $\A\cdot\A$ je pro �tvercovou matici definov�n
a prohozen� �initel� v�bec nepozn�me. 

Matice $\B$ komutuj�c� s $\A$ mus� m�t stejn� po�et ��dk� jako matice $\A$
sloupc� (aby bylo definov�no $\A\cdot\B$) a tak� mus� m�t stejn� po�et
sloupc� jako matice $\A$ ��dk� (aby bylo definov�no $\B\cdot\A$). To
prakticky znamen�, �e matice $\B$ mus� b�t tak� �tvercov�, typu $(n,n)$.

Z p��kladu\cite[nekomutuje] v�me, �e ne v�echny matice z $\R^{n,n}$
komutuj� s~danou �tvercovou matic�. Tak�e mno�ina �tvercov�ch matic
komutuj�c�ch s danou matic� $\A$ bude tvo�it pomno�inu v�ech
�tvercov�ch matic. Uk�eme, �e tato podmno�ina je line�rn�m
podprostorem v�ech �tvercov�ch matic. 

Podle definice\cite[dlpp] sta�� uk�zat, �e pokud jsou $\B$ a $\C$
komutuj�c� matice s~matic� $\A$ a $\alpha\in\R$, pak t� $\B+\C$ a
$\alpha\,\B$ jsou komutuj�c� matice. P�edpokl�dejme tedy, �e plat�
$\A\cdot\B=\B\cdot\A$, $\A\cdot\C=\C\cdot\A$. V~n�sleduj�c�m v�po�tu
pou�ijeme v�ty\cite[soucinAB-vlastnosti], vzorce (2) a� (4) a na�eho
p�edpokladu. 
$$\eqalign{
  &\A\cdot(\B+\C) = \A\cdot\B + \A\cdot\C = \B\cdot\A + \C\cdot\A =
  (\B+\C)\cdot\A, \cr
  &\A\cdot(\alpha\,\B) = \alpha\,(\A\cdot\B) = \alpha\,(\B\cdot\A) =
  (\alpha\,\B)\cdot\A. \cr}
$$
\par\inl[matice: komutuj�c�, komutuj�c�: matice]

\priklad [basekomut]
%%%%%%%%
Najdeme b�zi a dimenzi line�rn�ho podprostoru $M$ v�ech matic komutuj�c�ch
s~matic�
$$
  \A = \pmatrix{1&2\cr3&4}.
$$
Podle p�edchoz�ho p��kladu musej� b�t matice komutuj�c� s~matic� $\A$
rovn� typu $(2,2)$. P�edpokl�dejme, �e matice $\B$ lze zapsat ve
tvaru
$$
  \B = \pmatrix{a&b\cr c&d}.
$$
Jednotliv� sou�iny pak vypadaj� n�sledovn�
$$
   \pmatrix{a&b\cr c&d} \cdot \pmatrix{1&2\cr3&4} =
   \pmatrix{a+3b&2a+4b\cr c+3d&2c+4d}, \quad
   \pmatrix{1&2\cr3&4} \cdot \pmatrix{a&b\cr c&d} =
   \pmatrix{a+2c&b+2d\cr3a+4c&3b+4d}.
$$
Tyto sou�iny se maj� rovnat. Podle pozn�mky\cite[rovnostmatic] se dv�
matice rovnaj�, pokud se vz�jemn� rovnaj� v�echny jejich odpov�daj�c�
prvky. To n�s vede ke �ty�em rovnic�m o~�ty�ech nezn�m�ch, kter�
uprav�me Gaussovou elminina�n� metodou.
$$
  \let\thickmuskip=\thinmuskip \let\medmuskip=\thinmuskip
  \soustava{  & 3b &-2c &    &= 0\cr 
            2a&+3b &    &-2d &= 0\cr
           -3a&    &-3c &+3d &= 0\cr
              &-3b &+2c &    &= 0} 
  \quad
  \pmatrix{\hfill0&\hfill3&-2&\hfill0\cr \hfill2&\hfill3&\hfill0&-2\cr 
          -1&\hfill0&-1&\hfill1\cr\hfill0&-3&\hfill2&\hfill0} \sim
  \pmatrix{2&\hphantom{-}3&\hfill0&-2\cr 0&\hfill3&-2&\hfill0} 
  \quad
  \soustava{2a+3b&   &-2d&=0\cr
               3b&-2c&   &=0}
$$ 
Prom�nn� $c$ a $d$ m��eme volit libovoln�. Uveden� dv� rovnice n�m
umo��uj� dopo��tat prom�nn� $b$ a $a$ takto: $b=2/3\,c$, $a=d-c$.
V�echny matice, kter� komutuj� s~matic� $\A$ jsou tedy ur�eny dv�ma
parametry:
$$
  \B=\pmatrix{d-c&{2\over3}\,c\cr c& d} = 
   c \pmatrix{-1&{2\over3}\cr \hfill1&0} + d \pmatrix{1&0\cr0&1},
  \quad c\in\R,\quad d\in\R.
$$  
Line�rn� prostor v�ech komutuj�c�ch matic $M$ se n�m poda�ilo vyj�d�it
jako mno�inu v�ech line�rn�ch kombinac� dvou konstantn�ch matic. Tuto skute�nost
zap��eme pomoc� line�rn�ho obalu takto:
$$
  M =
   \left< \pmatrix{-1&{2\over3}\cr \hfill1&0}, \pmatrix{1&0\cr0&1} \right> =
   \left< \pmatrix{-3& 2\cr \hfill3&0}, \pmatrix{1&0\cr0&1} \right>.
$$
Posledn� �pravu (pron�soben� prvn� matice t�emi) jsme nemuseli 
d�lat, pokud se spokoj�me se zlomkem ve v�sledku. V~modelov�ch 
p��kladech se dosti �asto sna��me dostat v�sledek vyj�d�iteln� 
v~mal�ch cel�ch ��slech. Nen� to samoz�ejm� na��
povinnost�, pouze pak v�sledek l�pe vypad� a n�s v�ce pot��.
\inl[p��klad: modelov�,  modelov� p��klad]

Proto�e posledn� dv� uveden� matice jsou line�rn� nez�visl� 
(to snadno zjist�me) a jejich line�rn� obal je cel� podprostor $M$, 
m�me v�sledek:
$$
  \hbox{B�ze } M = 
  \left\{\pmatrix{-3& 2\cr \hfill3&0}, \pmatrix{1&0\cr0&1} \right\}, 
  \quad \hbox{tj. } \dim M = 2.
$$

\okraj Matice\hb vektor� | Matice vektoru

\poznamka [matvektoru]
%%%%%%%%%
V~definici\cite[defmatice] jsme zavedli matice, jej�� prvky jsou
re�ln� nebo komplexn� ��sla. Ob�as se m��eme setkat s~maticemi, 
jej�� prvky jsou vektory, tedy prvky libovoln�ho line�rn�ho prostoru.
Proto�e lze prvky line�rn�ho prostoru podle
definice\cite[dlp] n�sobit re�ln�m ��slem, lze p�irozen� definovat
t� maticov� n�soben� $\A\cdot\B$, kde $\A=(a_{i,j})\in\R^{m,n}$ je matice 
re�ln�ch ��sel a $\B=(\vec b_{j,k})$ je matice
typu $(n,p)$ obsahuj�c� vektory line�rn�ho prostoru~$L$,
tedy $\B\in L^{n,p}$.
V�sledn� matice $\A\cdot\B$ je z~mno�iny~$L^{m,p}$ 
a pro jej� prvky  $\vec c_{i,k}$ plat�:
$$
  \vec c_{i,k} = a_{i,1}\,\vec b_{1,k} + a_{i,2}\,\vec b_{2,k} +
      \cdots + a_{i,n}\,\vec b_{n,k} =
      \sum_{j=1}^n a_{i,j}\,\vec b_{j,k}.
$$
\par\inl[matice: vektor�]

\priklad
%%%%%%%%
Nech� $\A\in\R^{1,n}$ je matice re�ln�ch ��sel a $\B\in L^{n,1}$
Pak sou�in $\A\cdot\B$ je
line�rn� kombinace vektor� z~$\B$, p�i�em� prvky z~$\A$ jsou
koeficienty t�to line�rn� kombinace. N�zorn�:
$$
  \pmatrix{a_1,&a_2,&\cdots,&a_n} \cdot
  \pmatrix{\vec b_1\cr\vec b_2\cr\vdots\cr\vec b_n} = \lkvecc a.b_n.
$$

\poznamka* [ABlkB]
%%%%%%%%%
P�edchoz� p��klad n�m poskytuje dal�� pohled na maticov� n�soben�.
P�edpokl�dejme matice $\A\in\R^{m,n}$, $\B\in\R^{n,p}$,
$\C=\A\cdot\B\in\R^{m,p}$. Na matici $\B$ se d�vejme jako na
jednosloupcovou matici jej�ch ��dk�. Prvn� ��dek v�sledn� matice $\C$
obsahuje line�rn� kombinaci ��dk� matice $\B$, p�i�em� koeficienty
t�to line�rn� kombince jsou v prvn�m ��dku matice $\A$. Tak� ka�d�
$k$-t� ��dek matice $\C$ obsahuje line�rn� kombinaci v�ech ��dk�
matice $\B$ a jej� koeficienty jsou v $k$-t�m ��dku matice $\A$.


\okraj Hodnost sou�inu matic | Hodnost soucinu matic

\veta* [hodA.B]
%%%%%
Nech� $\A\in\R^{m,n}$, $\B\in\R^{n,p}$. Pak $\hod(\A\cdot\B)\le\hod\A$
a tak� $\hod(\A\cdot\B)\le\hod\B$. Jin�mi slovy: hodnost maticov�ho
sou�inu nen� v�t�� ne� hodnosti jednotliv�ch �initel�.

\dukaz
Podle pozn�mky\cite[ABlkB] v�me, �e ��dky matice $\A\B$ jsou
line�rn�mi kombinacemi ��dk� matice $\B$. Tak�e 
$\hbox{r:}\,\A\B\subseteq\lobr<\B>$, tj.
$\lobr<\A\B>\subseteq\lob<{\lobr<\B>}>=\lobr<\B>$.
Podle v�ty\cite[dimpodprostoru] tedy je
$\dim\lobr<\A\B>\le\dim\lobr<\B>$, neboli $\hod(\A\cdot\B)\le\hod\B$. 

Proto�e plat� v�ty\cite[hA=hAT] a\cite[soucinAB-vlastnosti], m��eme ps�t
$\hod(\A\cdot\B) = \hod(\A\cdot\B)^T = \hod(\B^T\cdot\A^T)$
a z pr�v� dok�zan� nerovnosti plyne, �e
$\hod(\B^T\cdot\A^T)\le\hod\A^T=\hod\A$.
Dok�zali jsme $\hod(\A\cdot\B)\le\hod\A$.

%V~tuto chv�li m�me prost�edky pro sl�ben� d�kaz v�ty\cite[stejnebase].
%V�tu na tomto m�st� zopakujeme a dok�eme.
%
%\veta [stejnebase2]
%%%%%%
%Nech� $B_1$ a $B_2$ jsou dv� b�ze stejn�ho line�rn�ho prostoru $L$.
%Pak jsou bu� ob� nekone�n�, nebo maj� ob� stejn� po�et prvk�.
%
%\dukaz
%%%%%%%
%Nech� jsou nejprve ob� b�ze kone�n�, $B_1=\{\vecc b_n\}$, 
%$B_2=\{\vecc c_m\}$. Rovnost po�tu prvk� budeme dokazovat sporem, nech� tedy
%$m>n$. Ka�d� z~vektor� $\vecc c_m$ je prvkem $L=\lobr<B_1>$, tak�e ka�d�
%z~t�chto vektor� se d� vyj�d�it jako line�rn� kombinace vektor�
%$\vecc b_n$. Tuto skute�nost m��eme zapsat souhrnn� pomoc� maticov�ho n�soben�:
%$$
%  \pmatrix{\vec c_1\cr\vec c_2\cr\vdots\cr\vec c_m} =
%  \pmatrix{a_{1,1}, & a_{1,2}, &\ldots, & a_{1,n} \cr
%           a_{2,1}, & a_{2,2}, &\ldots, & a_{2,n} \cr
%                    &          &\vdots  &  \cr
%           a_{m,1}, & a_{m,2}, &\ldots, & a_{m,n} \cr} \cdot
%  \pmatrix{\vec b_1\cr\vec b_2\cr\vdots\cr\vec b_n}
%  \rce(c=Ab)
%$$
%Uveden� matice koeficient� line�rn�ch kombinac� je typu $(m,n)$. Podle
%p��kladu\cite[lzRn] jsou ��dky t�to matice line�rn� z�visl�. Podle 
%v�ty\cite[xr] mus� existovat ��dek s~indexem $r\in\{1,2,\ldots,m\}$
%takov�, �e tento ��dek je line�rn� kombinac� ostatn�ch. Ze 
%vzorce\cite(c=Ab) pak okam�it� plyne, �e vektor $\vec c_r$ je stejnou
%line�rn� kominac� ostatn�ch vektor� z~mno�iny $B_2$. To je ale spor 
%s~p�edpokladem, �e $B_2$ je line�rn� nez�visl� mno�ina.
%
%D�le p�edpokl�dejme, �e $B_1$ je kone�n� a $B_2$ nekone�n�. Podle
%pozn�mky\cite[lnnekmnozin] jsou v�echny kone�n� podmno�iny
%$K\subseteq B_2$ line�rn� nez�visl�. Volme $K$ takovou, aby m�la v�ce
%prvk�, ne� mno�ina $B_1$. Stejn�, jako v~p�edchoz�m p��pad� lze
%uk�zat, �e vektor $\vec c_r\in K$ je line�rn� kombinac� ostatn�ch
%vektor� z~$K$, co� je spor s~p�edpokladem, �e $K$ je line�rn�
%nez�visl� mno�ina. Mus� tedy b�t bu� ob� b�ze $B_1$ a $B_2$ nekone�n�
%nebo ob� kone�n� a se stejn�m po�em prvk�.
%
%\poznamka
%%%%%%%%%%
%Hloubav�ho �ten��e m��e napadnout, pro� jsme v~d�kazu v�ty
%argumentovali p��kladem\cite[lzRn] a nepou�ili jsme p��mo t�eba
%v�tu\cite[hodminimum]. Je to t�m, �e pojem hodnost se op�r� o~platnost
%v�ty, kterou dokazujeme. Tento pojem tedy nem��eme v~d�kazu 
%v�ty pou��t, proto�e by se d�kaz v�ty op�ral o~platnost t�e v�ty.
%T�m by se n�m na�e teorie zhroutila jako dome�ek z~karet.

\okraj Jednotkov� matice | Jednotkova matice

\definice [defE]
%%%%%%%%%
�tvercovou matici $\E\in\R^{n,n}$ naz�v�me {\em jednotkovou matic�},
pokud pro jej� prvky~$e_{i,j}$ plat�: $e_{i,j}=0$ pro 
$i\not=j$ a $e_{i,j}=1$ pro $i=j$. N�zorn�:
$$
  \E = 
  \pmatrix{1&0&0&\cdots&0\cr0&1&0&\cdots&0\cr&&&\cdots\cr0&0&0&\cdots&1\cr}.
$$
\par\inl[matice: jednotkov�, jednotkov�: matice]

\poznamka [poznE]
%%%%%%%%%
Z~definice maticov�ho n�soben� okam�it� plyne, �e pro ka�dou �tvercovou
matici $\A\in\R^{n,n}$ je $\E\cdot\A = \A\cdot\E = \A$. Jednotkov�
matice m� tedy stejnou vlastnost vzhledem k~n�soben�, jako jedni�ka
p�i n�soben� re�ln�ch ��sel. Pro re�ln� ��sla taky plat�, �e 
$1\cdot a = a\cdot 1 = a$.

V�imneme si tak�, �e jednotkov� matice je komutuj�c� s~ka�dou
�tvercovou matic�.

\poznamka
%%%%%%%%%
Vra�me se k~p��kladu\cite[basekomut]. Tam jsme na�li b�zi, ve kter� je
jednotkov� matice. To n�s nep�ekvap�, proto�e jednotkov� matice je
komutuj�c� s~ka�dou matic�. D�le s~matic� $\A$ komutuje
stejn� matice $\A$. Pokud v�me, �e $\dim M=2$ a matice $\A$ a $\E$
jsou line�rn� nez�visl�, m��eme rovnou prohl�sit, �e hledan� b�ze
line�rn�ho podprostoru $M$ je $\{\A,\E\}$. Zd�lo by se, �e jsme
v�po�ty v~p��kladu\cite[basekomut] d�lali zbyte�n�. Nen� to tak docela
pravda, proto�e dop�edu nev�me, zda dimenze hledan�ho prostoru bude
rovna dv�ma.

\okraj Inverzn�\hb matice | Inversni matice

\poznamka
%%%%%%%%%
V~definici\cite[defE] jsme zavedli jednotkovou matici s~podobn�mi
vlastnostmi, jako m� re�ln� ��slo~1. Vra�me se znovu ke srovn�n�
s~re�ln�mi ��sly. Pro ka�d� nenulov� re�ln� ��slo $a$ existuje re�ln�
��slo $b$ takov�, �e $ab=1$. Takov� re�ln� ��slo obvykle naz�v�me
p�evr�cenou hodnotou ��sla $a$ a ozna�ujeme $1/a$ nebo t� $a^{-1}$.
Analogicky definujeme \uv{p�evr�cenou hodnotu matice}, tzv. inverzn�
matici. 

\definice* [inverseA]
%%%%%%%%%
Nech� $\A\in\R^{n,n}$ je �tvercov� matice a $\E\in\R^{n,n}$ je jednotkov�
matice. Matici $\B\in\R^{n,n}$, kter�
spl�uje vlastnost 
$
  \A\cdot\B = \E = \B\cdot\A
$ 
naz�v�me  {\em inverzn� matic�} k~matici $\A$. Inverzn� matici 
k~matici $\A$ ozna�ujeme symbolem $\A^{-1}$.
\inl[matice: inverzn�, inverzn�: matice, 1A1]

\veta [jedinainv]
%%%%%
Pokud k~matici $\A$ existuje inverzn� matice, pak je tato inverzn�
matice jednozna�n� ur�ena.
\inl[matice: inverzn�, inverzn�: matice]

\dukaz
%%%%%%
Nech� m� �tvercov� matice $\A$ dv� inverzn� matice $\B$ a $\C$.
Uk�eme, �e pak $\B=\C$. Plat�:
$$
  \B=\B\cdot\E = \B\cdot(\A\cdot\C) = (\B\cdot\A)\cdot\C = \E\cdot\C = \C.
  \rce(B=C)
$$
Zde jsme po �ad� vyu�ili: pozn�mku\cite[poznE], vlastnost, �e $\C$ je
inverzn� matice k~$\A$, vlastnost~(1) z~v�ty\cite[soucinAB-vlastnosti],
vlastnost, �e $\B$ je inverzn� matice k~$\A$, a kone�n� znovu pozn�mku\cite[poznE].

%\veta [existinverse]
%%%%%
%Ke �tvercov� matici z $\R^{n,n}$ existuje inverzn� matice pr�v� tehdy,
%kdy� $\hod(\A)=n$.
%\inl[hodnost: matice, matice: inverzn�, inverzn�: matice]
%
%\dukaz
%%%%%%%
%D�kaz t�to v�ty p�esuneme a� do p���t� kapitoly o~determinantech.
%V�ta ukazuje, �e matice, kter� maj� hodnost rovnu po�tu ��dk�
%(tj. podle v�ty\cite[hod=maxradku] jsou v�echny ��dky line�rn�
%nez�visl�) maj� inverzn� matici. Pokud jsou ��dky line�rn� z�visl�,
%inverzn� matice neexistuje. M��eme tedy ��ci, �e pokud jsou ��dky ve
%�tvercov� matici line�rn� z�visl�, je matice z~hlediska maticov�ho
%n�soben� \uv{skoro nulov�} v~tom smyslu, �e k~n� neexistuje inverzn�
%matice (podobn� jako k~re�ln�mu ��slu nula neexistuje p�evr�cen�
%hodnota). To n�s inspiruje k~n�sleduj�c� definici.

\okraj Regul�rn�, singul�rn� matice | Regularni, singularni matice

\definice* [dregul]
%%%%%%%%%
�tvercov� matice $\A\in\R^{n,n}$ se naz�v� {\em regul�rn�}, pokud 
pro $\A$ existuje inverzn� matice.
�tvercov� matice $\A\in\R^{n,n}$ se naz�v� {\em singul�rn�}, 
pokud nen� regul�rn�.
\inl[matice: singul�rn�, singul�rn�: matice]
\inl[matice: regul�rn�, regul�rn�: matice]

\veta [hodreg]
%%%%%
Matice $\A$ je regul�rn� pr�v� kdy� $\hod\A=n$, kde $n$ je po�et ��dk�
matice~$\A$.

\dukaz
Nech� $\A$ je regul�rn�, tak�e existuje $\A^{-1}$ tak, �e $\A\cdot\A^{-1}=\E$.
Podle v�ty\cite[hodA.B] se hodnost matice sou�inem nezv�t��. Tedy 
$\hod\E=\hod(\A\cdot\A^{-1})\le\hod\A$. Zjevn� je $\hod\E=n$, 
tak�e mus� $\hod\A=n$.

Nech� $\hod\A=n$. Tak�e ��dky matice $\A$ jsou line�rn� nez�visl� a
tvo�� b�zi $\R^n$. Ozna�me ji $(B)$. Sou�adnice $i$-t�ho ��dku matice
$\E$ vzhledem k $(B)$ napi�me do $i$-t�ho ��dku matice $\B$. Z�ejm� je
$\B\cdot\A=\E$ (viz poznamku\cite[ABlkB]). 
Proto�e $\hod\A=\hod\A^T$, jsou i sloupce matice $\A$
line�rn� nez�visl� a tvo�� b�zi $(B')$ line�rn�ho prostoru $\R^n$.
Sou�adnice $i$-t�ho sloupce matice $\E$ vzhledem k $(B')$ napi�me do
$i$-t�ho sloupce matice $\C$. Z�ejm� je $\C^T\cdot\A^T=\E$, neboli
$\A\cdot\C=\E^T=\E$. Z rovnost� $\B\cdot\A=\E$ a $\A\cdot\C=\E$ plyne
$\B=\C$. Pro�? Sta�� zopakovat v�po�et\cite(B=C), kter� jsme provedli
v d�kazu v�ty\cite[jedinainv].
Podle definice je $\B$ inverzn� matice k matici~$\A$. 
Matice $\A$ je tedy regul�rn�.

\veta [stacipul]
%%%%%
Nech� $\A\in\R^{n,n}$. Z existence matice $\B$ takov�, �e $\B\cdot\A=\E$,
plyne, �e $\A$ je regul�rn� a $\B$ je jej� inverzn� matice.
Z existence matice $\C$ takov�, �e $\A\cdot\C=\E$, plyne, �e $\A$ je
regul�rn� a $\C$ je jej� inverzn� matice.

\dukaz
Sta�� trasovat d�kaz p�edchoz� v�ty.
Z existence $\B$ a z v�ty\cite[hodA.B] plyne, �e 
$n=\hod(\B\cdot\A)\le\hod\A$, tak�e $\hod\A=n$. Nyn� sestav�me
matici $\C$ jako v p�edchoz�m d�kazu a uk�eme, �e $\A\cdot\C=\E$
a nav�c $\B=\C$, tak�e je to inverzn� matice k matici $\A$.
Vyjdeme-li z existence matice $\C$, postupujeme obdobn�.

\poznamka
%%%%%%%%%
P�edchoz� v�ta ��k�, �e v definici\cite[inverseA] je jedna z rovnost�
$\A\cdot\B=\E$, \ $\B\cdot\A=\E$ \uv{nadbyte�n�}, proto�e z jedn�
rovnice plyne druh� a z druh� plyne prvn�.


\veta [regulkratregul]
%%%%%
Nech� $\A\in\R^{n,n}$ a $\B\in\R^{n,n}$ jsou regul�rn� �tvercov� matice. Pak
matice $\A\cdot\B$ je rovn� regul�rn� matice typu $(n,n)$.

\dukaz
%%%%%%
Matice $\A\cdot\B$ je �tvercov� typu $(n,n)$. To plyne p��mo z~definice
maticov�ho sou�inu. Sta�� tedy dok�zat, �e je regul�rn�. Podle 
definice\cite[dregul] je matice regul�rn� pr�v� tehdy, kdy� k~n�
existuje inverzn� matice. Podle p�edpokladu k~matici $\A$ existuje 
inverzn� matice $\A^{-1}$ a k~matici $\B$ existuje inverzn� matice
$\B^{-1}$. Sta�� uk�zat, �e existuje inverzn� matice k~matici 
$\A\cdot\B$. Hledan� inverzn� matice je tvaru $\B^{-1}\cdot\A^{-1}$,
proto�e:
$$
  (\B^{-1}\cdot\A^{-1})\cdot(\A\cdot\B) =
  \B^{-1}\cdot(\A^{-1}\cdot\A)\cdot\B = \B^{-1}\cdot\E\cdot\B =
  \B^{-1}\cdot\B = \E.
$$

\okraj V�po�et inverzn� mati\-ce eliminac� | Vypocet inversni matice eliminaci

\priklad* [metodainverse]
%%%%%%%%
Na jednoduch�m p��kladu uk�eme obvykl� postup hled�n�
inverzn� matice k~dan� matici~$\A$. Teprve pak dok�eme, �e tento
postup je opr�vn�n� a v�dy vede k~inverzn� matici.
\inl[metoda: po��t�n�: inverzn� matice]

Na��m �kolem bude naj�t inverzn� matici k~matici
$$
  \catcode`+=13 \def+{\hphantom{-}}
  \A = \pmatrix{+1&2&3\cr-1&0&1\cr+2&2&1}.
$$
Vedle prvk� matice $\A$ nap��eme prvky jednotkov� matice stejn�ho typu
(odd�l�me od sebe pro p�ehlednost svislou �arou) a d�le pou�ijeme
��dkov� �pravy Gaussovy elimina�n� metody na matici $(\A|\E)$ 
jako celek. To znamen�, �e pracujeme s~��dky d�lky $2n$, v~na�em
konkr�tn�m p��pad� s~��dky o~�esti prvc�ch. P�i~eliminaci se sna��me
vlevo od svisl� ��ry dostat postupn� jednotkovou matici.
$$
 \catcode`+=13 \def+{\hphantom{-}}
 \def\mmatrix#1{\left(\,\vcenter{\offinterlineskip
    \ialign{\hfil$##$&\quad\hfil$##$&\quad\hfil$##$&\hskip.7em
     \vrule\strut\hskip.7em\hfil$##$&&\quad\hfil$##$\cr#1\crcr}}\,\right)}
 %
\displaylines{
 \mmatrix{1&2&3&1&0&0\cr-1&0&1&0&1&0\cr2&2&1&0&0&1} \sim
 \mmatrix{1&+2&+3&+1&+0&+0\cr 0&2&4&1&1&0\cr0&-2&-5&-2&0&1} \sim
 \mmatrix{1&+2&+3&1&0&0\cr 0&2&4&1&1&0\cr0&0&1&1&-1&-1} \sim \cr
 \sim \mmatrix{1&+2&+0&-2&3&3\cr 0&2&0&-3&5&4\cr0&0&1&1&-1&-1} \sim
 \mmatrix{1&0&0&1&-2&-1\cr0&1&0&-{3\over2}&+{5\over2}&2\cr0&0&1&1&-1&-1}, \quad
 \A^{-1} = \pmatrix{+1&-2&-1\cr-{3\over2}&+{5\over2}&+2\cr+1&-1&-1}.}
$$ 
P�i p�echodu z matice $\A$ na matici $\E$ v lev�m bloku 
jsme nejprve p�evedli matici
$\A$ na schodovitou matici stejn�, jako je pops�no v �vodn�
kapitole o Gaussov� elimina�n� metod� (tzv.~{\em p��m� chod elimina�n�
metody\/}).  Jsou-li ve schodovit� matici
na diagon�le nenulov� prvky, 
lze pokra�ovat tzv.~{\em zp�tn�m chodem elimina�n� metody}.
V n�m nejprve n�sob�me posledn� ��dek vhodn�mi konstantami a p�i��t�me
k ��dk�m nad n�m. T�m dost�v�me nuly v posledn�m sloupci nad nenulov�m
prvkem na pozici $(n,n)$. Pak p�i��t�me n�sobky p�edposledn�ho ��dku k
p�edchoz�m a z�sk�me nuly v p�edposledn�m sloupci. Takto postupn�
pokra�ujeme a� dostaneme matici s nenulov�mi prvky na diagon�le a s
nulov�mi prvky jinde. Ka�d� ��dek takov� matice vyn�sob�me p�evr�cenou
hodnotou jeho diagon�ln�ho prvku a dost�v�me matici~$\E$.
\inl[zp�tn� chod GEM, p��m� chod GEM]

Tvrd�me, �e hledan� inverzn� matice k~matici $\A$ je zaps�na vpravo od
svisl� ��ry v~posledn� �prav�. Zformulujeme to jako algoritmus:

\algoritmus* [algolinverse]
%%%%%%%%%%%
Pokud $(\A\,|\,\E)\sim(\E\,|\,\B)$, kde~\uv{$\sim$} znamen� kone�n� mnoho 
��dkov�ch �prav matice podle Gaussovy elimina�n� metody, pak $\B=\A^{-1}$.
\inl[matice: inverzn�, inverzn�: matice]

Zv�dav� �ten�� se opr�vn�n� pt�, pro� tato metoda d�v� inverzn�
matici. Sformulujeme tuto vlastnost jako v�tu\cite[inverse].
Nejprve si ale pov�imneme d�le�it� vlastnosti Gaussovy eliminace.

\veta* [emulaceGEM]
%%%%%
Nech� $\A\sim\B$ jsou dv� matice. 
Pak existuje matice $\P$ takov�, �e $\B=\P\cdot\A$.

\dukaz
%%%%%%
Proto�e podle v�ty\cite[lobalymatic] je $\lobr<\A>=\lobr<\B>$, jsou
��dky matice $\B$ line�rn�mi kombinacemi ��dk� matice~$\A$.
Zap��eme-li koeficienty t�chto line�rn�ch kombinac� do ��dk� matice
$\P$, dost�v�me podle pozn�mky\cite[ABlkB] vztah~$\P\cdot\A=\B$.

\veta [inverse]
%%%%%
Nech� $\A\in\R^{n,n}$ a nech� lze prov�st $(\A\,|\,\E)\sim(\E\,|\,\B)$, kde 
\uv{$\sim$} ozna�uje kone�n� po�et ��dkov�ch �prav podle elimina�n� 
metody a $\E$ zna�� jednotkovou matici z $\R^{n,n}$. Pak $\B=\A^{-1}$.

\dukaz
%%%%%%
Podle v�ty\cite[emulaceGEM] existuje matice $\P$ takov�, �e
$$\def\|{\,|\,}
  (\A\|\E) \sim (\E\|\B) = \P\cdot(\A \| \E) = (\P\A\|\P\E).  
$$
Proto�e $\B=\P\E$, je $\P=\B$. Proto�e $\E=\P\A$,
je $\E=\B\A$. Podle v�ty\cite[stacipul] je $\B$ inverzn� matice 
k~matici~$\A$.


\poznamka [emulacesloupcu]
%%%%%%%%%
Kdybychom napsali jednotkovou matici pod matici $\A$ a aplikovali na
sloupce t�to \uv{dvojmatice} sloupcov� �pravy podle Gaussovy
elimina�n� metody a z�skali nakonec v~horn� ��sti matici~$\E$, pak je
ve spodn� ��sti matice inverzn�. P�i d�kazu tohoto tvrzen� bychom
postupovali analogicky jako p�i ��dkov� metod�, jen maticemi 
$\P_i$, kter� \uv{emuluj�} sloupcov� �pravy, bychom n�sobili 
matici~$\A$ zprava a nikoli zleva.

Rozmyslete si, �e nen� mo�n� p�i metod� hled�n� inverzn� matice
kombinovat ��dkov� i sloupcov� operace dohromady. Nar�� to na
skute�nost, �e n�soben� matic nen� komutativn�.


\okraj Podm�nky regularity | Podminky regularity

\veta* [regulpodminky]
%%%%%
Nech� $\A\in\R^{n,n}$ je �tvercov� matice. Pak n�sleduj�c�
podm�nky jsou ekvivalentn�:

\noindent (1) $\A$ je regul�rn�,

\noindent (2) $\A$ m� inverzn� matici $\A^{-1}$,

\noindent (3) $\hod\A=n$,

\noindent (4) Maticov� rovnice $\A\X=\B$ s nezn�mou matic�
              $\X\in\R^{n,m}$ m� �e�en� pro ka�dou $\B\in\R^{n,m}$.

\noindent (5) $\A\sim\E$, tj. existuje kone�n� krok� Gaussovy
              elimina�n� metody, kter� p�evedou $\A$ na $\E$.


\dukaz
$(1) \equiv (2)$ p��mo z definice regul�rn� matice. 
$(2) \equiv (3)$ z v�ty\cite[hodreg].

Ekvivalence zb�vaj�c�ch podm�nek vyplyne z~implikac�
$(2)\impl(4)\impl(3)\impl(5)\impl(2)$. 

$(2)\impl(4)$: proto�e $\A^{-1}\B$ uvedenou rovnici �e��. Skute�n� je
$\A(\A^{-1}\B)=(\A\A^{-1})\B=\E\B=\B$.

$(4)\impl(3)$: Je-li $\C$ �e�en� rovnice $\A\X=\E$, pak mus�
podle v�ty\cite[hodA.B] b�t $\hod\E=\hod(\A\cdot\C)\le\hod\A$.
Proto�e $\hod\E=n$, mus� $\hod\A=n$.

$(3)\impl(5)$: Proto�e eliminace nem�n� hodnost, mus� se po p��m�m chodu
Gaussovy eliminace matice $\A$ prom�nit ve schodovitou matici s nenulov�mi ��dky,
tedy s nenulov�mi ��sly na diagon�le. Pak lze prov�st zp�tn� chod
eliminace a p�ev�st p�vodn� matici $\A$ na $\E$.

$(5)\impl(2)$: Je-li $\A\sim\E$, pak $(\A\,|\,\E)\sim(\E\,|\,\A^{-1})$ podle 
v�ty\cite[inverse].  

\poznamka
%%%%%%%%%
Dal�� ekvivalentn� podm�nkou regularity matice $\A$ je line�rn�
nez�vislost jej�ch ��dk� (podle v�ty\cite[nezav=hod]) co� je ekvivalentn� 
s~line�rn� nez�vislosti sloupc� (podle v�ty\cite[hA=hAT]) a to je
ekvivalentn� s regularitou matice~$\A^T$.
V n�sleduj�c� kapitole si je�t� uk�eme, �e $\A$ je regul�rn� pr�v�
tehdy, kdy� m� nenulov� determinant (v�ta\cite[reguldet]).

Pro singul�rn� matice lze zformulovat analogick� podm�nky:
$\A$ je singul�rn�, pr�v� kdy� neexistuje inverzn� matice, pr�v� kdy�
$\A\X=\B$ nem� �e�en� pro n�kter� matice $\B$, pr�v� kdy�
$\hod\A<n$, pr�v� kdy� $\A$ m� line�rn� z�visl� ��dky/sloupce,
pr�v� kdy� $\A^T$ je singul�rn�, 
pr�v� kdy� nelze $\A$ p�ev�st na $\E$ kone�n� mnoha kroky Gaussovy
elimina�n� metody, pr�v� kdy� m� nulov� determinant.

\poznamka
%%%%%%%%%
Proto�e podle v�ty\cite[regulpodminky] je matice $\A$ regul�rn� pr�v�
tehdy, kdy� $\A\sim\E$, m�me zaru�eno, �e metoda v�po�tu inverzn�
matice nesel�e pro ��dnou regul�rn� matici. Jin�mi slovy, \hbox{m�-li} matice
inverzn� matici, pak p�jde prov�st eliminaci $(\A|\E)\sim(\E|\B)$, co�
je podm�nkou ke spu�t�n� algoritmu\cite[algolinverse].

\poznamka
%%%%%%%%%
Maticov� rovnice z podm�nky (4) lze �e�it \uv{vyn�soben�m obou stran
rovnice matic� $\A^{-1}$ zleva}. T�m se $\A\X=\B$ p�evede na
$\X=\A^{-1}\B$. D�le lze �e�it maticov� rovnice $\X\A=\B$ 
(pro matice $\X,\B\in\R^{m,n})$ \uv{vyn�soben�m obou stran
rovnice matic� $\A^{-1}$ zprava}. T�m dost�v�me
$\X=\B\A^{-1}$. Situace je tedy podobn� jako s ��selnou lin�rn� rovnic�
$ax=b$ jen s t�m rozd�lem, �e mus�me m�t na pam�ti, �e nen� spln�n
komuntativn� z�kon sou�inu matic, tak�e $\A^{-1}\B$ nemus� b�t tot�
jako $\B\A^{-1}$.

Mnoho maticov�ch rovnic lze na maticov� rovnice $\A\X=\B$ nebo $\X\A=\B$
p�ev�st, jak ukazuje n�sleduj�c� p��klad.

\priklad [AX4A]
%%%%%%%%
Najdeme matici $\X$ takovou, aby byla spln�na rovnice 
$$
  \A\cdot\X-\X+4\,\A=\O,
$$
kde $\A\in\R^{3,3}$ je matice z~p��kladu\cite[metodainverse]
a $\O$ je nulov� matice stejn�ho typu.

Hledan� matice mus� b�t �tvercov� typu $(3,3)$, jinak by nebylo definov�no
s��t�n�.
Rovnici postupn� uprav�me (d�v�me si pozor na to, �e nemus� platit
komutativn� z�kon). 
$$
  \A\cdot\X-\X=-4\,\A\quad \hbox{tj.}\quad
  \A\cdot\X-\E\cdot\X=-4\,\A\quad \hbox{tj.}\quad (\A-\E)\cdot\X=-4\,\A.
$$
Pokud existuje matice $(\A-\E)^{-1}$, pak 
po pron�soben� obou stran rovnice touto matic� {\it zleva}
dost�v�me 
$$
  \X = (\A-\E)^{-1}\cdot(-4\,\A) = -4\,(\A-\E)^{-1}\cdot\A.
$$
Je tedy pot�eba 
naj�t inverzn� matici k~matici $\A-\E$
(nap��klad metodou popsanou v~p��kladu\cite[metodainverse]).
Nalezenou inverzn� matici
vyn�sob�me �ty�mi a nakonec provedeme maticov�
n�soben� $4\,(\A-\E)^{-1}\cdot\A$ podle definice.
N��e uv�d�me jednotliv� meziv�po�ty:
$$
  \catcode`+=13 \def+{\hphantom{-}}
  \displaylines{
  \A-\E = \pmatrix{+0&+2&+3\cr-1&-1&+1\cr+2&+2&+0}, \quad
  (\A-\E)^{-1} = 
  \pmatrix{-{1\over2}&+{3\over2}&+{5\over4}\cr\noalign{\kern4pt}
    +{1\over2}&-{3\over2}&-{3\over4}\cr\noalign{\kern4pt}
    +0&+1&+{1\over2}}, \quad
  4\,(\A-\E)^{-1} =
  \pmatrix{-2&+6&+5\cr+2&-6&-3\cr+0&+4&+2}, \cr
  \X = -4\,(\A-\E)^{-1}\cdot\A = 
  - \pmatrix{-2&+6&+5\cr+2&-6&-3\cr+0&+4&+2} \cdot 
  \pmatrix{+1&2&3\cr-1&0&1\cr+2&2&1} =
  \pmatrix{-2&-6&-5\cr-2&+2&+3\cr+0&-4&-6}.}
$$

\okraj Hodnost sou�inu s regul�rn� matic� | Hodnost soucinu s
  regularni matici

\poznamka
%%%%%%%%%
Z v�ty\cite[hodA.B] v�me, �e hodnost matice se m��e zmen�it, pokud ji
vyn�sob�me n�jakou matic�. Nyn� uk�eme, �e hodnost matice se nezm�n�, 
pokud ji vyn�sob�me regul�rn� matic�.
P�ipomeneme nejd��ve v�tu\cite[emulaceGEM], kter� ��k�, �e
ka�d�mu elimina�n�mu procesu $\A\sim\B$ p��slu�� matice $\P$
tak, �e $\B=\P\cdot\A$. Tato v�ta se d� v jist�m smyslu obr�tit:

\veta [P=sim]
%%%%%
Nech� $\A,\B\in\R^{m,n}$. Nech� $\P\in\R^{m,m}$ je regul�rn�
matice a nech� $\B=\P\cdot\A$. Pak $\A\sim\B$.

\dukaz
%%%%%%
Proto�e $\P$ je regul�rn�, je podle podm�nky (5) 
z~v�ty\cite[regulpodminky] $\P\sim\E$ a ze symetrie relace $\sim$
plyne t� $\E\sim\P$. Tedy 
$(\E\,|\,\A)\sim(\P\,|\,\X)=\P(\E\,|\,\A)=(\P\,|\,\P\A)=(\P\,|\,\B)$.
Stejnou eliminaci provedeme pouze s prav�m blokem, 
tj. dost�v�me $\A\sim\B$.

\veta [hodPA]
%%%%%
Nech� $\A$ je libovoln� matice (ne nutn� �tvercov�) a $\P$, $\Q$ jsou
regul�rn� matice takov�, �e je definov�no n�soben� $\P\cdot\A$ a $\A\cdot\Q$.
Pak $\hod\A=\hod(\P\cdot\A)=\hod(\A\cdot\Q)$.
Jin�mi slovy: n�soben� regul�rn� matic� nem�n� hodnost.
\inl[hodnost: matice, matice: regul�rn�, regul�rn�: matice]

\dukaz
Ozna�me $\B=\P\cdot\A$. Podle v�ty\cite[P=sim] je $\A\sim\B$, tak�e
$\hod\A=\hod\B$ podle v�ty\cite[hodAB].

K d�kazu $\hod\A=\hod(\A\cdot\Q)$ sta�� 
podle~(5) v�ty\cite[soucinAB-vlastnosti]
p�ej�t k~transponovan�m matic�m 
a pou��t p�edchoz� v�sledek spole�n� 
s~v�tou\cite[hA=hAT]:
$\hod(\A\cdot\Q)=\hod(\A\cdot\Q)^T=\hod(\Q^T\cdot\A^T)=\hod\A^T=\hod\A$.

\veta [AsimBequiv]
%%%%%
$\A\sim\B$ pr�v� tehdy, kdy� $\lobr<\A>=\lobr<\B>$.

\dukaz
Implikaci \uv{je-li $\A\sim\B$, pak $\lobr<\A>=\lobr<\B>$} 
jsme dok�zali v~odstavci\cite[lobalymatic]. Nyn� tedy
p�edpokl�d�me $\lobr<\A>=\lobr<\B>$ a najdeme takov� elimina�n�
proces, kter� p�evede matici $\A$ na matici~$\B$.

Nejprve najdeme schodovit� matice s nenulov�mi ��dky $\A'$ a $\B'$ takov�, 
�e $\A\sim\A'$ a $\B\sim\B'$. To je mo�n� d�ky v�t�\cite[simhornitroj].
Sta�� tedy uk�zat, �e $\A'\sim\B'$. Z v�ty\cite[lobalymatic] plyne,
�e $\lobr<\A>=\lobr<\A'>$ a $\lobr<\B>=\nobreak\lobr<\B'>$ a z p�edpokladu
$\lobr<\A>=\lobr<\B>$ plyne $\lobr<\A'>=\lobr<\B'>$. Matice
$\A'$ i $\B'$ maj� line�rn� nez�visl� ��dky a jejich po�et
je v obou p��padech roven
$k=\hod\A=\hod\B=\hod\A'=\hod\B'$. 
Ka�d� ��dek matice $\B'$ je line�rn� kombinac� ��dk� matice $\A'$,
tak�e existuje �tvercov� matice $\P$ (koeficient� t�chto line�rn�ch
kombinac�), pro kterou je $\P\cdot\A'=\B'$. 
Z v�ty\cite[hodA.B] plyne, �e $\hod\P=k$, co� je po�et ��dk� 
matice~$\P$. Tak�e $\P$ je podle v�ty\cite[hodreg]
regul�rn�. Po pou�it� v�ty\cite[P=sim] vid�me, �e $\A'\sim\B'$.


\okraj Element�rni matice | Elementarni matice

\priklad* [P123]
%%%%%%%%
Jestli�e $\A\sim\B$, pak podle v�ty\cite[emulaceGEM] existuje matice
$\P$ takov�, �e $\B=\P\A$. Pod�vejme se, jak vypad� matice $\P$ 
v~p��pad� jednotliv�ch element�rn�ch krok� Gaussovy elimina�n� metody.

(1) Nech� $\B$ vznikla z $\A$ prohozen�m $i$-t�ho ��dku s $j$-t�m.
Snadno ov���me, �e $\B=\P_1\cdot\A$, kde $\P_1$ je �tvercov� matice,
kter� vznikla z $\E$ prohozen�m $i$-�ho ��dku s~$j$-t�m.

(2) Nech� $\B$ vznikla z $\A$ vyn�soben�m $i$-t�ho ��dku nenulovou 
konstantou $\alpha$.
Snadno ov���me, �e $\B=\P_2\cdot\A$, kde $\P_2$ je �tvercov� matice,
ker� vznikla z $\E$ vyn�soben�m $i$-�ho ��dku konstantou~$\alpha$.

(3) Nech� $\B$ vznikla z $\A$ p�i�ten�m $\alpha$-n�sobku $j$-t�ho ��dku $i$-t�mu.
Snadno ov���me, �e $\B=\P_3\cdot\A$, kde $\P_3$ je �tvercov� matice,
ker� vznikla z $\E$ z�m�nou nuly za prvek $\alpha$ na
pozici $i,j$.

\definice [delement]
%%%%%%%%%
Matice typu $\P_1$, $\P_2$ a $\P_3$ z p��kladu\cite[P123] 
se naz�vaj� {\em element�rn� matice}.
\inl[matice: element�rn�, element�rn� matice]

\veta [BsimPA]
%%%%%
Symbolem $\A\sim\B$ v~t�to v�t� zna��me skute�nost, �e matice $\B$
vznikla z matice $\A$ kone�n� mnoha
kroky Gaussovy elimina�n� metody, p�i�em� nen� dovolen krok vynech�n�
nebo p�id�n� nulov�ho ��dku. Plat�: $\A\sim\B$ pr�v� tehdy, kdy�
existuje regul�rn� matice $\P$ takov�, �e $\B=\P\cdot\A$.

\dukaz
Implikace \uv{je-li $\P$ regul�rn�, pak $\P\A\sim\A$} 
je dok�z�na ve v�t�\cite[P=sim]. Je ov�em pot�eba d�kaz v�ty proj�t znovu a
uv�domit si, �e nebylo nutn� pou��t krok vynech�n� nebo p�id�n�
nulov�ho ��dku.
Nyn� dok�eme opa�nou implikaci.
P�edpokl�dejme, �e $\A\sim\B$. Pak
$$
  \B = \C_m\cdot(\C_{k-1}\cdots(\C_2\cdot(\C_1\cdot \A))\cdots) =
     (\C_m\cdot\C_{k-1}\cdots\C_2\cdot\C_1)\cdot\A = \P\cdot\A,
$$
kde $\C_k$ je element�rn� matice jednoho z typ� $\P_1$, $\P_2$ a
$\P_3$, kter� \uv{emuluje} proveden� $k$-t�ho kroku elimina�n� metody.
Jednotliv� element�rn� matice jsou z�ejm� regul�rn�, proto�e maj�
line�rn� nez�visl� ��dky. Matice $\P$, kter� je sou�inem t�chto
element�rn�ch regul�rn�ch matic, je podle v�ty\cite[regulkratregul] regul�rn�.



\okraj Line�rn� kombinace skupin vektor� z~$L$ |
       Linearni kombinace skupin vektoru z L

\poznamka
%%%%%%%%%
V n�sleduj�c�ch odstavc�ch budeme pracovat se skupinou 
vektor� $\vecc x_n\in L$ a dal�� skupinou vektor�
$\vecc y_m\in L$, kter� vznikne jejich line�rn�mi kombinacemi. Tedy
$$
  \vec y_1 = \alpha_{1,1}\vec x_1 + \cdots + \alpha_{1,n}\vec x_n, \quad
  \vec y_2 = \alpha_{2,1}\vec x_1 + \cdots + \alpha_{2,n}\vec x_n, \quad \ldots,\quad
  \vec y_m = \alpha_{m,1}\vec x_1 + \cdots + \alpha_{m,n}\vec x_n
$$
Tyto rovnosti lze v souladu s pozn�mkou\cite[matvektoru]
zapsat jako maticov� sou�in
$$
  \pmatrix{\vec y_1\cr\vec y_2\cr\vdots\cr\vec y_m} = 
  \A\cdot \pmatrix{\vec x_1\cr\vec x_2\cr\vdots\cr\vec x_n},\quad
  \hbox{stru�n� }
  \Y = \A\cdot\X,
$$
kde $\A=(\alpha_{i,j})\in\R^{n,m}$, 
$\X=(\vecc x_n)^T\in L^{n,1}$, $\Y=(\vecc y_m)^T\in L^{m,1}$.

\veta [XtoY]
%%%%%
Ozna�me $\A=(\alpha_{i,j})\in\R^{n,m}$, 
$\X=(\vecc x_n)^T\in L^{n,1}$, $\Y=(\vecc y_m)^T\in L^{m,1}$
a nech� $\Y=\A\cdot\X$. Ozna�me je�t� $\vecc a_m\in\R^n$
��dky matice $\A$ a nech� $\vec b=(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n)$
je n�jak� vektor z~$\R^n$ a $\vec z=\lkvecc \beta.y_m$.
 Pak plat�

\noindent
(1) $\vec b\in\lob<\vecc a_m>$
    pr�v� tehdy, kdy� $\vec z\in\lob<\vecc y_m>$.

\noindent
(2) Jsou-li $\vecc x_n$ line�rn� nez�visl� v~$L$, pak
    $\vecc a_m$ jsou line�rn� nez�visl� v~$\R^n$ pr�v� tehdy, kdy�
    $\vecc y_m$ jsou line�rn� nez�visl� v~$L$.

\noindent
(3) Jsou-li $\vecc x_n$ line�rn� nez�visl�, pak
    $\dim\lob<\vecc a_m> = \dim\lob<\vecc y_m>$.

\noindent
(4) Je-li $m=n$ a $\vecc a_n$ jsou line�rn� nez�visl�,
    pak $\lob<\vecc x_n> = \lob<\vecc y_n>$.

\dukaz
%%%%%%
(1) Nech� $\vec b\in\lob<\vecc a_m>$, tedy 
$\vec b=\lkvecc\gamma.a_m$, tj.
$\vec b=(\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_m)\cdot\A$.
Proto�e $\A\cdot\X=\Y$, je 
$(\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_m)\cdot\Y=
(\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_m)\cdot\A\cdot\X=\vec b\cdot\X=\vec z$.
Tak�e $\vec z\in\lob<\vecc y_m>$ a line�rn� kombinace vektor�
$\vecc y_m$, kter� tvo�� $\vec z$, m� stejn� koeficienty, 
jako line�rn� kombinace vektor� $\vecc a_m$, kter� tvo�� $\vec b$.

Nech� nyn� $\vec z\in\lob<\vecc y_m>$, tedy 
$\vec z=(\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_m)\cdot\Y$. Proto�e
$\A\cdot\X=\Y$, mus� b�t
$\vec b\cdot\X = \vec z=(\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_m)\cdot\Y=
(\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_m)\cdot\A\cdot\X$,
tak�e je $\vec b=(\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_m)\cdot\A$. Vektor
$\vec b$ je tedy line�rn� kombinac� ��dk� matice $\A$ s koeficienty
$\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_m$.

(2) Nech� nejprve jsou vektory $\vecc a_m$ line�rn� nez�visl�.
Ozna��me symbolem $\vec o$ nulov� vektor v~$L$ a uk�eme, �e line�rn� kombinace
$(\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_m)\cdot\Y=\vec o$ mus� b�t pouze trivi�ln�.
P�i ozna�en� $\vec b =\nobreak(\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_m)\cdot\A$
je 
$\vec o=(\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_m)\cdot\A\cdot\X=\vec b\cdot\X$.
Line�rn� kombinace vektor� $\vecc x_n$ je zde rovna nulov�mu vektoru.
Proto�e jsou vektory $\vecc x_n$ line�rn� nez�visl�, mus� b�t tato
kombinace trivi�ln�, neboli $\vec b=(0,0,\ldots,0)$. 
Je tedy $(\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_m)\cdot\A=(0,0,\ldots,0)$.
Lev� strana t�to rovnosti je line�rn� kombinace ��dk� matice $\A$
s koeficienty $\gamma_i$, kter� je rovna nulov�mu ��dku. Proto�e jsou
tyto ��dky line�rn� nez�visl�, mus� $\gamma_i=0$ pro $i=1,2,\ldots,m$.

Jsou-li vektory $\vecc a_m$ line�rn� z�visl�, pak podle v�ty\cite[xr]
existuje jeden vektor $\vec a_r$, kter� je line�rn� kombinac�
ostatn�ch vektor� $\vec a_i$. Podobn� jako v d�kazu~(1) lze uk�zat, �e
vektor $\vec y_r$ je pak line�rn� kombinac� ostatn�ch vektor� $\vec y_i$ 
a tato line�rn� kombinace m� stejn� koeficienty. Tak�e 
i~vektory $\vecc y_m$ jsou line�rn� z�visl�.

(3) B�zi $\lob<\vecc a_m>$ lze naj�t jako nejv�t�� podmno�inu
mno�iny ��dk� $\vecc a_i$. B�zi $\lob<\vecc y_m>$ lze vybrat stejn�m
zp�sobem z mno�iny vektor� $\vecc y_m$. Z vlastnosti (2) plyne, �e
ob� tyto podmno�iny mus� b�t stejn� po�etn�.

(4) Proto�e $\Y=\A\cdot\X$, je $\lob<\vecc y_n>\subseteq\lob<\vecc x_n>$.
Proto�e $\vecc a_n$ jsou line�rn� nez�visl�, je matice $\A$ regul�rn�,
tak�e $\X=\A^{-1}\cdot\Y$. Z t�to rovnosti plyne, �e 
$\lob<\vecc x_n>\subseteq\lob<\vecc y_n>$, tak�e plat� ob� inkluze a
uveden� line�rn� obaly se rovnaj�.


\poznamka* [XsimY]
%%%%%%%%%
��dky matice $\A$ ve v�t�\cite[XtoY] 
jsou koeficienty line�rn�ch kombinac�, kter�mi
m�n�me skupinu vektor� $\vecc x_n$ na novou skupinu vektor� $\vecc y_m$.
Speci�ln�, je-li $\A$ n�kter� z~element�rn�ch matic $\P_1$, $\P_2$ a $\P_3$ 
z~p��kladu\cite[P123], pak je regul�rn� a m� tedy line�rn� nez�visl�
��dky. Podle (2) p�edchoz� v�ty to znamen�, �e line�rn� 
nez�vislost skupiny vektor� se nezm�n� zm�nou jejich po�ad�, 
vyn�soben�m jednoho vektoru nenulovou
konstantou, p�i�ten�m n�sobku vektoru k jin�mu nebo kone�n�m opakov�n�m
t�chto �kon�. Z vlastnosti (4) p�edchoz� v�ty d�le vypl�v�, �e uveden�
modifikace skupiny vektor� nezm�n� jejich line�rn� obal.
To n�m p�ipom�n� v�ty\cite[GEMzav] a\cite[lobalymatic], 
ale tam jsme pracovali jen  s~��dky matice, tedy s~vektory 
z~$\R^n$. Nyn� ��k�me tot� o~vektorech z~libovoln�ho 
line�rn�ho prostoru~$L$.


\shrnuti
%%%%%%%%
Sou�in matic $\A\cdot\B$ je definov�n\lcite[soucinAB] 
jen pro matice, kde $\A$ m� stejn� po�et sloupc� jako $\B$ ��dk�.
Sou�in matic nen� obecn� komutativn� ani pro �tvercov� matice.
Ov�em plat� asociativn� i distributivn� 
z�kon\lcite[soucinAB-vlastnosti].

Matice lze n�sobit i po bloc�ch~/\ncite[ctyribloky], \ncite[soucinbloku]/.
Nap��klad sou�in matic $\A\cdot\B$ obsahuje ve sloupc�ch sou�iny
matice $\A$ s jednotliv�mi sloupci matice $\B$\lcite[soucinsloupcu].

Blokov�m n�soben�m matic je inspirov�n Strassen�v algoritmus, kter� m�
slo�itost pouze $n^{2,8}$, zat�mco slo�itost maticov�ho sou�inu podle
definice je $n^3$.

Existuje skupina matic, kter� s pevn� danou �tvercovou matic�
komutuje. Tato skupina tvo�� podprostor v�ech �tvercov�ch matic.

Iverzn� matice ke �tvercov� matici $\A$ ja takov� �tvercov� matice
$\A^{-1}$ stejn�ho typu, kter� mus� spl�ovat
$\A\cdot\A^{-1}=\A^{-1}\cdot\A=\E$\lcite[inverseA], 
kde $\E$ je jednotkov� matice\lcite[defE]. Inverzn� matice je
jedin�\lcite[jedinainv]. Z jedn� defini�n� rovnosti plyne 
druh�\lcite[stacipul].
Matici, kter� m� inverzn�, naz�v�me regul�rn�\lcite[dregul].
Sou�in regul�rn�ch matic je matice 
regul�rn�\lcite[regulkratregul]. Mezi ekvivalentn� podm�nky s regularitou
matice $\A$ pat��: $\hod\A={}$po�et ��dk�, $\hbox{r:}\,\A$ je line�rn�
nez�visl� mno�ina, maticov� rovnice $\A\X=\B$ m� �e�en� pro ka�dou
pravou stranu, plat� $\A\sim\E$\lcite[regulpodminky].

Na v�po�et inverzn� matice je mo�n� pou��t 
algoritmus\lcite[algolinverse] zalo�en� na Gaussov� elimina�n� metod�.
�e metoda skute�n� po��t� inverzn� matici plyne z tvrzen�, �e
pokud $\A\sim\B$, pak existuje matice $\P$ tak, �e 
$\B=\P\cdot\A$~/\ncite[emulaceGEM]/.
V�tu m��eme za podm�nky regularity $\P$ zformulovat jako 
ekvivalenci\lcite[BsimPA]. V takov�m p��pad� je $\P$ sou�inem
emelment�rn�ch matic\lcite[delement].

Hodnost sou�inu matic je nejv��e rovna hodnosti jednotliv�ch 
�initel�\lcite[hodA.B]. N�sob�me-li matici regul�rn� matic�, hodnost
se nezm�n�\lcite[hodPA].

Maticov� n�soben� jsme pou�ili k vyj�d�en� p�echodu jedn� skupiny
vektor� z~$L$ k line�rn�m kombinac�m t�to skupiny vektor�. Odvodili
jsme, �e tak� na abstraktn� vektory z~$L$ m��eme uplatnit kroky Gaussovy
elimina�n� metody jako na ��dky matice, p�itom jejich line�rn� nez�vislost a
jejich line�rn� obal z�st�vaj� v takov�m p��pad� zchov�ny\lcite[XsimY].


\icviceni 3


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola LU rozklad | LU rozklad
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\poznamka
%%%%%%%%%
V t�to kr�tk� kapitole uk�eme, �e ka�dou regul�rn� matici lze (a� na
p��padn� prohozen� sloupc�) zapsat jako sou�in matic $\L$ a $\U$, kde
$\L$ je doln� troj�heln�kov� matice (m� nenulov� prvky soust�ed�ny
v~doln�m troj�heln�ku) a $\U$ je horn� troj�heln�kov� matice.  Tento
rozklad se pou��v� p�i numerick�m �e�en� soustav line�rn�ch 
rovnic\lcite[LUsoustava], zejm�na p�i v�t��m po�tu prav�ch stran.

Toto t�ma spad� spi�e do numerick� matematiky. P�esto jsem se rozhodl
je sem za�adit, proto�e hlavn� my�lenka LU rozkladu vyu��v� d�le�it�
poznatek, kter� byl vysloven v p�edchoz� kapitole: jednotliv� kroky
elimina�n� metody lze \uv{emulovat} n�soben�m p��slu�n�mi regul�rn�mi
maticemi zleva. N�sleduj�c� kapitoly nep�edpokl�daj� znalosti
o LU rozkladu. Pokud tedy �ten�� nem� z�jem tuto z�le�itost poznat 
hloub�ji, m��e bez uzard�n� tuto kapitolu p�esko�it.


\okraj Horn� a doln� troj�heln�kov� matice | Horni a dolni trojuhelnikova matice

\definice
%%%%%%%%%
Nech� $\A=(a_{ij})$ je �tvercov� matice. Matici $\A$ naz�v�me 
{\em horn� trojuheln�kovou}, pokud m� pod diagon�lou jen nulov� prvky
(nenulov� prvky jsou soust�ed�ny v \uv{horn�m toj�heln�ku}), tedy
$a_{i,j}=0$ pro $i>j$. Matici $\A$ naz�v�me 
{\em doln� troj�heln�kovou}, pokud m� nad diagon�lou jen nulov� prvky,
tedy $a_{i,j}=0$ pro~$i<j$.
\inl[matice: horn� troj�heln�kov�, horn� troj�heln�kov� matice]
\inl[matice: doln� troj�heln�kov�, doln� troj�heln�kov� matice]

\veta [Linverz] \relax
%%%%%
(1) Sou�in dvou doln�ch troj�heln�kov�ch matic s jedni�kami na
diagon�le je doln� troj�heln�kov� matice s jedni�kami na diagon�le.

\noindent
(2) Je-li $\L$ doln� troj�heln�kov� matice s jedni�kami 
na diagon�le, pak je regul�rn� a $\L^{-1}$ je tak� doln�
troj�heln�kov� matice s jedni�kami na diagon�le.

\dukaz
(1) Sta�� si uv�domit, jak funguje maticov� n�soben�.

\noindent
(2) Uk�eme, �e eliminaci 
$(\L\,|\,\E) \sim (\E\,|\,\L^{-1}) = \P\cdot(\L\,|\,\E)$ lze v�dy 
prov�st, tak�e $\L$ je regul�rn�.
$\P=\L^{-1}$ je sou�in elment�rn�ch matic Gaussovy eliminace.
Po p��m�m chodu Gaussovy elimina�n� metody jist� vytvo��me z doln�
troj�heln�kov� matice $\L$ matici $\E$. Zp�tn� chod nen� nutn� pou��t,
nebo� nad diagon�lou se u� nuly vyskytuj� a eliminac� nejsou
znehodnoceny. Na diagon�le matice $\L$ z�st�vaj� jedni�ky.
Tak�e nen� pot�eba ani prohazovat ��dky, ani n�sobit ��dky
konstantou. Matice $\P$ je tedy sou�inem
jen elemat�rn�ch matic typu $\P_3$ pro $j<i$, tedy doln�ch
troj�heln�kov�ch matic s jedni�kami na diagon�le. 
Podle (1) je tedy $\P=\L^{-1}$ doln� troj�heln�kov� s jedni�kami na diagon�le.

\algoritmus [LUalgol]
%%%%%%%%%%%
Je d�na �tvercov� matice $\A\in\R^{n,n}$.
Pop��eme algoritmus vzniku matic $\L$ a $\U$, pro kter� plat� $\A=\L\cdot\U$.

Matici $(\A\,|\,\E)$ p�evedeme eliminac� na
$(\U\,|\,\L')$. P�edpokl�d�me, �e v eliminaci nejsme nuceni
prohazovat ��dky. Pouze p�i��t�me n�sobky ��dk� k ��dk�m {\it pod nimi}.
T�m m�me zaru�eno, �e $\L'$ je doln� troj�heln�kov� matice s
jedni�kami na diagon�le.

Proto�e podle v�ty\cite[emulaceGEM] existuje
regul�rn� �tvercov� matice $\P$ takov�, �e
$$
  (\U\,|\,\L') = \P\cdot (\A\,|\,\E) = (\P\cdot\A|\,\P)
$$
dost�v�me $\L'=\P$ a $\U=\P\cdot\A = \L'\cdot\A$, neboli
$(\L')^{-1}\cdot\U = \A$. Pro hledanou matici $\L$ tedy plat�
$\L=(\L')^{-1}$. 
Matice $\L$ je podle v�ty\cite[Linverz] doln� troj�heln�kov�
s~jedni�kami na diagon�le.
\inl[LU rozklad]

\priklad [pLU]
%%%%%%%%
Plat�
$$
  \catcode`+=13 \def+{\hphantom{-}}
  \A=\pmatrix{1&2&3\cr2&3&1\cr4&2&0} =
  \pmatrix{1&0&0\cr2&1&0\cr4&6&1} \cdot 
  \pmatrix{1&+2&+3\cr0&-1&-5\cr0&+0&\,\,18}=\L\U,
$$
proto�e
$$
 \catcode`+=13 \def+{\hphantom{-}}
 \def\mmatrix#1{\left(\,\vcenter{\offinterlineskip
    \ialign{\hfil$##$&\quad\hfil$##$&\quad\hfil$##$&\hskip.7em
     \vrule\strut\hskip.7em\hfil$##$&&\quad\hfil$##$\cr#1\crcr}}\,\right)}
 %
 \mmatrix{1&2&3&1&0&0\cr2&3&1&0&1&0\cr4&2&0&0&0&1} \sim
 \mmatrix{1&2&3&1&0&0\cr0&-1&-5&-2&1&0\cr0&0&18&8&-6&1} = (\U\,|\L'),\quad
 (\L')^{-1} = \pmatrix{1&0&0\cr2&1&0\cr4&6&1}.
$$

\poznamka
%%%%%%%%%
Pokud se p�i eliminaci pou�it� v algoritmu\cite[LUalgol]
vyskytne na diagon�le (v m�st� pivota) nulov� prvek, jsme nuceni
prohodit ��dky nebo sloupce. V takov�m p��pad� matice $\A$ nem� p��m�
rozklad na $\L\cdot\U$. M�sto toho rozkl�d�me modifikovanou matici
$\A'$, kter� obsahuje vhodn� p�ehozen� ��dky nebo sloupce 
matice $\A$ tak, aby k probl�mu v�skytu nulov�ho diagon�ln�ho 
prvku b�hem eliminace nedo�lo. Prohazovan� ��dk� lze emulovat
n�soben�m tzv. {\em permuta�n� matic�} zleva a prohazov�n� sloupc� lze
emulovat tzv. {\em permuta�n� matic�} zprava. V n�sleduj�c�ch
odstavc�ch je tato problematika rozvedena podrobn�ji. 


\okraj Permuta�n� matice | Permutacni matice

\definice
%%%%%%%%%
Matice typu $\P_1$, $\P_2$ a $\P_3$ z p��kladu\cite[P123] se naz�vaj� 
{\em element�rn� matice Gaussovy elimina�n� metody}. Speci�ln� matice typu
$\P_1$ se naz�vaj� {\em element�rn� permuta�n� matice}. 
Sou�in element�rn�ch permuta�n�ch matic se naz�v� {\em permuta�n� matice}. 
\inl[matice: permuta�n�, permuta�n� matice]
\inl[matice: element�rn� GEM]
\inl[matice: element�rn� permuta�n�]

\veta
%%%%%
Nech� $\A\in\R^{m,n}$ je libovoln� matice a $\P\in\R^{n,n}$ je
permuta�n� matice. Pak $\P\A$ se li�� od matice $\A$
jen prohozen�m n�kter�ch ��dk�. D�le matice $\A\P$ se li�� od matice
$\A$ jen prohozen�m n�kter�ch sloupc�.

\dukaz
Jednotliv� element�rn� permuta�n� matice prohazuj� p�i
n�soben� zleva dvojici ��dk�. Sou�in takov�ch matic zp�sob� 
prohozen� v�ce dvojic ��dk� za sebou, tedy nov� matice $\P\A$ m�
prohozeny n�kter� ��dky. Tot� plat� pro sou�in $\A\P$ a 
pro sloupce.

\veta
%%%%%
Pro permuta�n� matici plat�, �e $\P^{-1}=\P^T$.

\dukaz
Sta�� si uv�domit, �e ka�d� element�rn� permuta�n� matice $\P$
m� uvedenou vlastnost, tedy pro ni plat� $\P^{-1}=\P^T$. Dokonce je $\P=\P^T=\P^{-1}$.
Nech� nyn� $\P=\C_1\C_2\cdots\C_k$, kde $\C_i$ jsou element�rn�
permuta�n� matice. Pak
$$
  \P\cdot\P^T = (\C_1\C_2\cdots\C_k)(\C_1\C_2\cdots\C_k)^T =
    (\C_1\C_2\cdots\C_k)(\C_k^T\cdots\C_2^T\cdots\C_1^T) = \E
$$
a analogicky $\P^T\cdot\P=\E$. je tedy $\P^{-1}=\P^T$. 


\okraj LU rozklad s~prohozen�m sloupc� | LU rozklad s prehozenim sloupcu

\veta [LUrozkladsloupce]
%%%%%
Pro ka�dou regul�rn� matici $\A\in\R^{n,n}$ existuje permuta�n� matice
$\P\in\R^{n,n}$, doln� troj�heln�kov� matice $\L\in\R^{n,n}$ s
jedni�kami na diagon�le a horn� troj�heln�kov� matice 
$\U\in\R^{n,n}$ tak, �e $\A\P=\L\U$.
\inl[LU rozklad]

\dukaz
Provedeme eliminaci $\A\sim\U$ jako v algoritmu\cite[LUalgol].
Pokud naraz�me na nulov� diagon�ln� prvek, pak v m�st� tohoto prvku
nem��e b�t cel� ��dek nulov�, proto�e matice $\A$ je
regul�rn�. Prohod�me v~eliminovan� matici sloupce tak, aby diagon�ln�
prvek byl nenulov�. Toto prohozen� sloupc� je mo�n� podchytit
maticov�m n�soben�m permuta�n� matice zprava. Proto�e ��dkov�
elimina�n� �pravy lze podchytit n�soben�m odpov�da�c�mi maticemi zleva,
do sou�inu t�chto matic se n�m permuta�n� matice \uv{nem�chaj�} a
po dokon�en� eliminace dost�v�me $\L'\A\P = \U$. P�i ozna�en� $\L=(\L')^{-1}$
dost�v�me $\A\P=\L\U$. 
 
\priklad [LUpsloupce]
%%%%%%%%
Pro n�sleduj�c� matici $\A$ dostaneme p�i eliminaci na pozici $(2,2)$
nulu. Je tedy:
$$
  \catcode`+=13 \def+{\hphantom{-}}
  \A\P=\pmatrix{1&2&3\cr2&4&1\cr4&2&0} \cdot
  \pmatrix{1&0&0\cr0&0&1\cr0&1&0} =
  \pmatrix{1&0&0\cr2&1&0\cr4&12/5&1} \cdot 
  \pmatrix{1&+3&+2\cr0&-5&+0\cr0&+0&-6}=\L\U.
$$
V tomto p��pad� nen� matice $\A$ rozlo�iteln� na sou�in $\L\U$
bez p�edchoz�ho prohozen� jej�ch sloupc�.


\okraj LU rozklad s~prohozen�m ��dk� | LU rozklad s prohozenim radku

\veta [LUrozkladradky]
%%%%%
Pro ka�dou regul�rn� matici $\A\in\R^{n,n}$ existuje permuta�n� matice
$\P\in\R^{n,n}$, doln� troj�heln�kov� matice $\L\in\R^{n,n}$ s
jedni�kami na diagon�le a horn� troj�heln�kov� matice 
$\U\in\R^{n,n}$ tak, �e $\P\A=\L\U$.
\inl[LU rozklad]

\dukaz
Provedeme eliminaci $\A\sim\U$ jako v algoritmu\cite[LUalgol].
Pokud naraz�me na nulov� diagon�ln� prvek, pak pod t�mto prvkem
nemohou b�t sam� nuly, proto�e matice $\A$ je
regul�rn�. Prohod�me v~eliminovan� matici ��dky tak, aby diagon�ln�
prvek byl nenulov�. Toto prohozen� ��dk� je mo�n� podchytit
maticov�m n�soben�m permuta�n� matice zleva. Proto�e ��dkov�
elimina�n� �pravy jsou podchyceny tak� n�soben�m odpov�daj�c�mi
maticemi zleva, bohu�el, permuta�n� matice se n�m do
sou�inu \uv{p�im�chaly} a nem�me jistotu, �e je mo�n� je v sou�inu
p�esunout doprava bez poru�en� vlastnosti, �e zbytek z�stane doln�
diagon�ln� matice. Pom��e ale n�sleduj�c� p�edstava. V okam�iku, kdy
rozhodneme o prohozen� ��dk�, se v�t�me k p�vodn� matici $\A$ a
prohod�me stejn� ��dky t�to matice. Pak eliminujeme znovu. Je
z�ejm�, �e eliminace prob�hne podobn�, ale na nulov� diagon�ln� prvek
u� nyn� nenaraz�me. Pokra�ujeme v eliminaci d�le. Naraz�me-li pozd�ji
znovu na probl�m nulov�ho prvku na diagon�le, prohod�me odpov�daj�c� ��dky
znovu v matici $\A$ a znovu eliminaci provedeme od za��tku.

Pokud prov�d�me eliminaci cel�ho bloku $(\A\,|\,\E)\sim(\U\,|\,\L')$,
pak nen� nutn� se po prohozen� ��dk� vracet na za��tek eliminace, ale
sta�� prohodit v tomto bloku jen jist� ��sti ��dk�. P�esn�ji. Nech� 
$a_{k,k}=0$ a rozhodli jsme $k$-t� ��dek prohodit s $(k+j)$-t�m.
V dan� chv�li je v prav�m bloku v $(n+k)$-t�m sloupci a ve v�ech
dal��ch vrpavo od n�j torzo je�t� nezm�n�n� jednotkov� matice.
S t�mto blokem p�i prohazov�n� ��dk� neh�beme, pouze prohod�me
zkr�cen� ��dky d�lky $(n+k-1)$. Pak je mo�n� rovnou v~eliminaci pokra�ovat.

\priklad
%%%%%%%%
Najdeme LU rozklad matice $\A$ z p��kladu\cite[LUpsloupce].
$$
%  \pmatrix{1&2&3\cr2&4&1\cr4&2&0}
 \catcode`+=13 \def+{\hphantom{-}}
 \def\mmatrix#1{\left(\,\vcenter{\offinterlineskip
    \ialign{\hfil$##$&\quad\hfil$##$&\quad\hfil$##$&\hskip.7em
     \vrule\strut\hskip.7em\hfil$##$&&\quad\hfil$##$\cr#1\crcr}}\,\right)}
 %
 \mmatrix{1&2&3&1&0&0\cr2&4&1&0&1&0\cr4&2&0&0&0&1} \sim
 \mmatrix{1&2&3&1&0&0\cr0&0&-5&-2&1&0\cr0&-6&-12&-4&0&1}
 \mathop{\leftrightarrow}\limits^2_3  
 \mmatrix{1&2&3&1&0&0\cr0&-6&-12&-4&1&0\cr0&0&-5&-2&0&1}
$$
P�i prohozen� druh�ho ��dku s t�et�m jsme ponechali nezm�n�n�
p�edposledn� a posledn� sloupec prav�ho bloku. Plat�:
$$
  \def\+{\hfill}
  \P = \pmatrix{1&0&0\cr0&0&1\cr0&1&0}, \quad
  \L = \pmatrix{\+1&0&0\cr-4&1&0\cr-2&0&1}^{-1} =
       \pmatrix{1&0&0\cr4&1&0\cr2&0&1},\quad
  \U = \pmatrix{1&\+2&\+3\cr0&-6&-12\cr0&\+0&\+-5}, \quad
  \P\A = \L\U.
$$

\poznamka
%%%%%%%%%
Proto�e pro permuta�n� matici $\P$ plat� $\P^{-1}=\P^T$, co� je tak�
permuta�n� matice, �asto se setk�v�me s n�sleduj�c�mi vzorci, kter�
jsou d�sledky p�edchoz�ch dvou v�t:
$$
  \A = \L\U\P, \qquad \A = \P\L\U.
$$
Prvn� vzorec je d�sledkem eliminace s v�b�rem pivota prohazov�n�m
sloupc� a druh� je d�sledkem eliminace s v�b�rem pivota prohazov�n�m
��dk�. 

\veta [jednoznacnostLU]
%%%%%
M�-li matice $\A\in\R^{n,n}$ LU rozklad bez
nutnosti prohodit sloupce/��dky matice $\A$, je tento rozklad jednozna�n�.
Je-li nutn� prohodit sloupce/��dky v matici $\A$, pak pro ka�dou mo�nou 
volbu prohozen� sloupc�/��dk� je LU rozklad jednozna�n�.

\dukaz
Nech� $\A=\L\U=\L_1\U_1$, tj. p�edpokl�d�me dva LU rozklady matice $\A$.
Proto�e je podle v�ty\cite[Linverz] matice $\L$ regul�rn�, m��eme
rovnost pron�sobit zleva matic� $\L^{-1}$ a dost�v�me
$\L^{-1}\A=\U=\L^{-1}\L_1\U_1$. Proto�e $\A$ i $\L^{-1}$ jsou
regul�rn�, je regul�rn� i matice $\U$, kter� je jejich sou�inem. 
Analogicky se odvod�, �e matice $\U_1$ je regul�rn�, tedy m� na
diagon�le nenulov� prvky. D�le
po ozna�en� $\L^{-1}\L_1=\L'$, co� je podle v�ty\cite[Linverz] doln�
troj�heln�kov� matice s jedni�kami na diagon�le, dost�v�me rovnost
$\U=\L'\,\U_1$. D� se uk�zat pomoc� v�ty\cite[Linverz] 
a p�echodem k transponovan�m matic�m, �e
inverze horn� troj�heln�kov� matice je horn� troj�heln�kov� a �e
sou�in horn�ch troj�heln�kov�ch matic je horn� troj�heln�kov�. Tak�e
$\U\U_1^{-1}=\L'\,\U_1\U_1^{-1}=\L'$ je horn� troj�heln�kov� matice.
Proto�e $\L'$ je z�rove� doln� troj�heln�kov�, mus� m�t nenulov� prvky pouze
na diagon�le. Tam m� ale jedni�ky, tak�e $\L'=\E$. Plat� tedy
$\U=\L'\,\U_1=\E\U_1=\U_1$ Po dosazen� do p�vodn�ho vztahu
m�me rovnost, $\L\U=\L_1\U$, kterou pron�sob�me zprava inverz� k $\U$
a dost�v�me $\L=\L_1$. 

\poznamka
%%%%%%%%%
V numerick�ch metod�ch se pou��vaj� efektivn�j�� algoritmy, ne� zde
popsan�\cite[LUalgol]. P�i v�po�tu LU rozkladu se v ��dn�m p��pad�
dodate�n� nepo��t� $\L=(\L')^{-1}$, ale vyu�ije se toho, �e $\L$
obsahuje p��mo koeficienty eliminace (s opa�n�m znam�nkem). 

Existuj� algoritmy LU rozkladu, kter� maj� stejnou
slo�itost jako maticov� n�soben�. Tak�e p�i pou�it� 
Strassenova algoritmu\cite[strassen] m�me slo�itost $n^{2{,}807}$.

\shrnuti
Regul�rn� matici lze (a� na prohozen� sloupc� nebo ��dk�) zapsat jednozna�n� jako
sou�in horn� a doln� troj�heln�kov� matice p��slu�n�ch vlastnost�
/\ncite[LUrozkladradky], \ncite[LUrozkladsloupce],
\ncite[jednoznacnostLU], \ncite[LUalgol]/.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola Determinant | Determinant
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Determinant je ��slo, kter� jist�m zp�sobem charakterizuje �tvercovou
matici a kter� se vyu��v� nap��klad p�i v�po�tech �e�en� soustav 
line�rn�ch rovnic. Toto ��slo m� mnoho d�le�it�ch v�znam�, se kter�mi se setk�me
nejen v~line�rn� algeb�e, ale i v~jin�ch matematick�ch discipl�n�ch.
Determinant se podle definice po��t� z~prvk� matice pom�rn� 
komplikovan�m zp�sobem. Ne� budeme schopni tuto definici formulovat,
mus�me si n�co ��ci o~permutac�ch. Na tomto pojmu je toti� definice
determinantu zalo�ena.

\okraj Permutace | Permutace

\definice [permutace]
%%%%%%%%%
Nech� $M$ je kone�n� mno�ina o~$n$ prvc�ch. {\em Permutace prvk�
mno�iny $M$} je uspo��dan� \hbox{$n$-tice} prvk� mno�iny $M$ takov�, �e ��dn�
prvek z~mno�iny $M$ se v~n� neopakuje. Permutaci prvk� mno�iny 
$M=\{1,2,\ldots,n\}$ naz�v�me stru�n� {\em permutac� $n$ prvk�}.
\inl[permutace]

\priklad
%%%%%%%%
Uvedeme n�kter� permutace p�ti prvk�: $(1,2,4,5,3)$,
$(5,4,3,2,1)$, $(3,5,4,1,2)$. Uspo��danou p�tici $(1,2,3,2,4)$
nepova�ujeme za permutaci, proto�e se zde opakuje prvek $2$.

\veta [pocetperm]
%%%%%
Po�et r�zn�ch permutac� $n$ prvk� je roven ��slu $n!\,$.

\dukaz
%%%%%%
P�ipom�n�me, �e $n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1$. D�kaz v�ty provedeme
matematickou indukc�. Pro �ten��e, kter� se s~takovou formou d�kazu
je�t� nesetkal, nejprve vysv�tl�me princip matematick� indukce.
\ifbook Viz t� pozn�mku\cite[mat-indukce].\fi
\inl[matematick�: indukce, indukce: matematick�]

Matematickou indukc� dokazujeme tvrzen�, kter� m� platit pro v�echna
$n\in\N$. Postupujeme ve dvou kroc�ch. Nejprve dok�eme toto tvrzen�
pro $n=1$. Pak dok�eme tzv. induk�n� krok, kter� je formulov�n ve
tvaru implikace: \uv{jestli�e tvrzen� plat� pro $n$, pak plat� pro $n+1$}.
Obh�j�me-li platnost t�to implikace, m�me dok�z�no tvrzen� pro v�echna
$n\in\N$. Vysv�tl�me si, pro�.  V~prvn�m kroku jsme dok�zali, �e
tvrzen� plat� pro $n=1$. Uplatn�me nyn� induk�n� krok ve tvaru
\uv{jestli�e tvrzen� plat� pro $n=1$, pak plat� pro $n=2$}. T�m m�me
zaru�eno, �e tvrzen� plat� pro $n=2$. Zopakujeme induk�n� krok,
tentokr�t ve tvaru \uv{jestli�e tvrzen� plat� pro $n=2$, pak 
plat� pro $n=3$}. To dokazuje platnost tvrzen� pro $n=3$. 
Opakovan�m uplatn�n�m induk�n�ho kroku jsme schopni dolo�it
platnost tvrzen� pro libovoln� velk�~$n$.

Tvrzen� na�� v�ty je: \uv{po�et r�zn�ch permutac� $n$ prvk� je
roven ��slu $n!$}. Dok�eme v~prvn�m kroku pro $n=1$, 
tj.~\uv{po�et r�zn�ch permutac� jednoho prvku je roven ��slu $1!=1$}.
O~tom ale asi nikdo nepochybuje, nelze toti� vytvo�it nic jin�ho ne�
permutaci~(1).

Nyn� dok�eme induk�n� krok. P�edpokl�d�me tedy, �e 
po�et r�zn�ch permutac� $n$ prvk� je roven ��slu $n!$ a dok�eme,
�e po�et r�zn�ch permutac� $n+1$ prvk� je roven ��slu $(n+1)!\,$.
Prozkoumejme nejprve, kolik existuje permutac� $n+1$ prvk�, kter�
maj� v~prvn� slo�ce zaps�no ��slo~1. Je jich $n!$, proto�e zbyl�ch
$n$ slo�ek m��eme zaplnit ��sly $\{2,3,\ldots,n,n+1\}$ a m�me v~tomto
p��pad� stejn� mno�stv� mo�nost�, jako je po�et permutac� 
$n$ prvk�. T�ch je podle induk�n�ho p�edpokladu $n!\,$. 
Ze stejn�ho d�vodu existuje $n!$ r�zn�ch permutac� $n+1$ prvk�,
kter� maj� v~prvn� slo�ce zaps�no ��slo~2. Tot� plat� pro ��sla 
$3,4,\ldots,n,n+1$ v~prvn� slo�ce permutace. Existuje tedy 
$(n+1)\cdot n! = (n+1)!$ r�zn�ch permutac� $n+1$ prvk�. 

\priklad [ukazkaperm]
%%%%%%%%
Uvedeme si v�echny permutace t�� prvk�. Podle 
v�ty\cite[pocetperm] je jejich po�et roven �esti. Hledan� permutace
jsou:
$$
 (1,2,3),\quad (1,3,2),\quad (2,1,3),\quad (2,3,1),\quad (3,1,2),\quad (3,2,1).
$$
Zkus�me je�t� zapsat v�echny permutace �ty� prvk�. Je jich~24.
$$\displaylines{
 (1,2,3,4),\enskip (1,2,4,3),\enskip (1,3,2,4),\enskip (1,3,4,2),\enskip
 (1,4,2,3),\enskip (1,4,3,2),\enskip
 (2,1,3,4),\enskip (2,1,4,3),\cr     (2,3,1,4),\enskip (2,3,4,1),\enskip
 (2,4,1,3),\enskip (2,4,3,1),\enskip
 (3,2,1,4),\enskip (3,2,4,1),\enskip (3,1,2,4),\enskip (3,1,4,2),\cr
 (3,4,2,1),\enskip (3,4,1,2),\enskip
 (4,2,3,1),\enskip (4,2,1,3),\enskip (4,3,2,1),\enskip (4,3,1,2),\enskip
 (4,1,2,3),\enskip (4,1,3,2).\cr
}
$$
Kdybychom cht�li zapsat v�echny permutace 50 prvk�, po pou�it�
v�ty\cite[pocetperm] bychom si to rychle rozmysleli. T�ch permutac�
toti� je p�ibli�n� $3\cdot10^{64}$. Kdyby se n�m na jeden ��dek ve�la
jedna permutace a na str�nku 60 ��dk�, spot�ebovali bychom
$5\cdot10^{62}$ str�nek. P�i oboustrann�m tisku v�� 500 str�nek asi
jeden kilogram, tak�e bychom spot�ebovali $10^{57}$ tun pap�ru. Kdyby
tisk jedn� str�nky trval vte�inu, str�vili bychom u~tisk�rny
zhruba $10^{55}$ let. Jist� uzn�te, �e to daleko p�esahuje ve�ker�
lidsk� mo�nosti.

\definice [invp]
%%%%%%%%%
Nech� $(i_1,i_2,\ldots,i_n)$ je permutace $n$ prvk�. {\em Inverze} 
t�to permutace je takov� dvojice $(i_k,i_l)$, pro
kterou plat� $i_k>i_l$, a p�itom $k<l$.
\inl[inverze: permutace]

\priklad [ukazkainverzi]
%%%%%%%%
Permutace $(1,2,3)$ nem� ��dnou inverzi. Permutace $(1,3,2)$ m� jednu
inverzi, toti� dvojici $(3,2)$, pro kterou plat� $3>2$. Jednotliv�
inverze jsou na n�sleduj�c�ch permutac�ch vyzna�eny oblou�kem
$$
  \let\braceru=\relax \let\bracelu=\relax 
  \def\o#1{\setbox0=
    \hbox{$\kern2pt\overbrace{\kern-2pt#1\kern-2pt}\kern2pt$}\ht0=2.1ex\box0}
  \def\to#1{\hbox{#1\rlap{\t{}}}}
  %
  (1,2,3),\quad (1,\o{3,2}), \quad
  (\o{2,1},3),\quad (\o{2,\o{3,1}}),\quad (\o{\o{3,1},2}),
  \quad (\o{\o{3,2},\kern-8pt\o{\kern8pt 1}}). 
$$
Jako cvi�en� dopl�te oblou�ky (tj. jednotliv� inverze) 
ke v�em permutac�m �ty� prvk�.

\okraj Znam�nko permutace | Znamenko permutace

\definice [znper]
%%%%%%%%%
Pro ka�dou permutaci $\pi=(i_1,\ldots,i_n)$ definujeme 
{\em znam�nko permutace $\sgn\pi$} takto: 
$$
  \sgn\pi=\cases{+1& \quad\hbox{m�-li $\pi$ sud� po�et inverz�} \cr 
                 -1& \quad\hbox{m�-li $\pi$ lich� po�et inverz�}}
$$
\par\inl[znam�nko: permutace, permutace: sud�, permutace: lich�]

\priklad
%%%%%%%%
Permutace z~p��kladu\cite[ukazkainverzi] maj� tato znam�nka:
$$ \displaylines{
 \sgn(1,2,3)=+1,\quad \sgn(1,3,2)=-1,\quad \sgn(2,1,3)=-1,\cr
 \sgn(2,3,1)=+1,\quad \sgn(3,1,2)=+1,\quad \sgn(3,2,1)=-1.}
$$
Jako cvi�en� si rozmyslete, jak vypadaj� znam�nka v�ech 
permutac� �ty� prvk�.

\veta [prohperm]
%%%%%
Prohozen� jedin� dvojice prvk� v~permutaci zp�sob� zm�nu jej�ho
znam�nka.

\dukaz
%%%%%%
Nech� $\pi=(\ldots,a,\ldots,b,\ldots)$ a
$\pi_1=(\ldots,b,\ldots,a,\ldots)$ jsou dv� permutace, kter� se li��
jen prohozen�m prvk� $a, b$. Uk�eme, �e rozd�l po�tu inverz�
permutac� $\pi$ a $\pi_1$ je lich� ��slo.

Inverze, ve kter�ch se nevyskytuje ani $a$, ani $b$, z�st�vaj� v~obou
permutac�ch stejn�. Tvo��-li dvojice $(a,b)$ z~permutace $\pi$
inverzi, pak $(b,a)$ z~permutace $\pi_1$ inverzi netvo�� a naopak.
Zat�m jsme tedy zjistili, �e se permutace $\pi$ a $\pi_1$ li�� o~jednu
inverzi, co� je lich� ��slo. Je�t� prozkoum�me v�echny inverze, ve
kter�ch vystupuje $a$ nebo $b$ s~n�jak�m jin�m prvkem. Uk�eme, �e
pokud tam dojde ke zm�n�, pak jedin� o~sud� po�et inverz�.

Uva�ujme n�jak� prvek $x$ s~men��m indexem, ne� indexy prvk� $a$ i $b$,
n�jak� prvek $y$ s~v�t��m indexem, ne� indexy prvk� $a$ i $b$ a n�jak�
prvek $z$, kter� m� index mezi indexy $a$ a $b$. N�zorn�:
$$
  \pi=(\ldots,x,\ldots,a,\ldots,z,\ldots,b,\ldots,y,\ldots), \quad
  \pi_1=(\ldots,x,\ldots,b,\ldots,z,\ldots,a,\ldots,y,\ldots).
$$
Nemusej� v~ka�d�m p��pad� v�echny tyto prvky existovat. Dal�� rozbor
tedy provedeme jen tehdy, pokud p��slu�n� prvek existuje.
Zab�vejme se nejprve prvky $x$ a $y$. P��padn� inverze mezi 
prvky $(x,a)$, $(x,b)$, $(a,y)$ a $(b,y)$ z�stanou po prohozen� prvk� 
$a,b$ v~nezm�n�n�m stavu. Zaj�mav� je tedy jen prvek $z$.

Nech� nejprve $a<z<b$, tj.~v~permutaci $\pi$ netvo�� dvojice
$(a,z)$ ani $(z,b)$ inverzi. Pak v~permutaci $\pi_1$ vznikaj� dv� nov�
inverze $(b,z)$ a $(z,a)$, a to je sud� ��slo. Nech� d�le $b<z<a$,
pak v~permutaci $\pi$ m�me dv� inverze, kter� v~permutaci $\pi_1$
zanikaj�. Prob�hla rovn� zm�na o~sud� po�et inverz�. Je�t� m��e doj�t
k~situaci $z<a$ a $z<b$. Pak v~permutaci $\pi$ dvojice $(a,z)$ tvo��
inverzi a dvojice $(z,b)$ netvo��, zat�mco v~permutaci $\pi_1$ dvojice
$(b,z)$ tvo�� inverzi a dvojice $(z,a)$ netvo��. Po�et inverz� se tedy
v~tomto p��pad� nezm�nil. Posledn� p��pad $a<z$ a $b<z$ ov���me
podobn�, jako p�edchoz�.

\definice [inverznip]
%%%%%%%%%
Nech� $\pi=(i_1,i_2,\ldots,i_n)$ je permutace $n$ prvk�. {\em
Inverzn� permutac� k~permutaci~$\pi$} je permutace 
$(j_1,j_2,\ldots,j_n)$, pro kterou plat� $j_{i_k}=k$ pro v�echna
$k\in\{1,2,\ldots,n\}$. Tuto permutaci ozna�ujeme znakem~$\pi^{-1}$.
\inl[permutace: inverzn�, inverzn�: permutace]

\poznamka [inverzniperm]
%%%%%%%%%
Existuje n�kolik mo�nost�, jak si p�edstavit inverzn� permutaci k~dan�
permutaci. 

(1) Je-li v~permutaci $\pi$ na $x$-t�m m�st� prvek $y$, pak
v~permutaci $\pi^{-1}$ mus� b�t na $y$-t�m m�st� prvek~$x$.

(2) Zapi�me pod sebe permutaci $\pi$ a permutaci $(1,2,\ldots,n)$
takto:
$$
  \pmatrix{i_1&i_2&i_3&\ldots&i_n\cr 1&2&3&\ldots&n}
$$
a zam��me po�ad� sloupc� t�to matice tak, abychom v~prvn�m ��dku m�li
vzestupn� ��sla $(1,2,3,\ldots,n)$. Pak ve spodn�m ��dku je zaps�na
inverzn� permutace k~permutaci $\pi$. Uva�ujme kup��kladu permutaci
$(3,4,2,6,1,5)$ a pi�me:
$$
  \pmatrix{3&4&2&6&1&5\cr 1&2&3&4&5&6} \longrightarrow
  \pmatrix{1&2&3&4&5&6\cr 5&3&1&2&6&4}.
$$
Je tedy $(3,4,2,6,1,5)^{-1} = (5,3,1,2,6,4)$.

(3) P�edstavme si �achovnici o~rozm�ru $n\times n$ a rozestavme na 
n�~$n$ �achov�ch v�� tak, aby se vz�jemn� neohro�ovaly. Takov�ch
rozestaven� m��e b�t v�ce a ka�d� rozestaven� m��eme popsat 
jednozna�n� jako permutaci. V~ka�d�m ��dku i sloupci toti� stoj�
jedin� v� a my m��eme ��st rozestaven� po ��dc�ch takto: do prvn�
slo�ky permutace nap��eme ��slo sloupce, na kter�m stoj� v� z~prvn�ho
��dku, do druh� slo�ky ��slo sloupce, na kter� stoj� v� z~druh�ho
��dku atd. Dost�v�me tak permutaci $\pi$. Pokud nyn� �teme tot�
rozestaven� po sloupc�ch, tj. do prvn� slo�ky permutace nap��eme ��slo
��dku v�e z~prvn�ho sloupce, do druh� slo�ky ��slo ��dku v�e 
z~druh�ho sloupce atd., dost�v�me permutaci $\pi^{-1}$.

(4) Permutace $(i_1,i_2,\ldots,i_n)$ vymezuje zobrazen� 
$\pi: \{1,2,\ldots,n\}\to\{1,2,\ldots,n\}$, pro kter� plat� $\pi(k)=i_k$.
Toto zobrazen� je zjevn� prost� a na mno�inu $\{1,2,\ldots,n\}$.
Inverzn� zobrazen� $\pi^{-1}$ pak vymezuje inverzn� permutaci.
Plat� $\pi\circ\pi^{-1}=\i$, kde $\i$ je identick� zobrazen�.


\veta [inverzeinverzi]
%%%%%
Nech� $\pi$ je permutace $n$ prvk�. Pak $\pi^{-1}$ m� stejn� po�et
inverz�, jako $\pi$.
\inl[inverze: permutace, inverzn�: permutace, permutace: inverzn�]

\dukaz
%%%%%%
Pro n�zornost si p�edstav�me inverzn� permutaci zp�sobem (2)
z~pozn�mky\cite[inverzniperm]. Zam��me se na dva sloupce uveden�
dvou��dkov� matice p�ed prohozen�m sloupc�:
$$
  \pmatrix{\ldots,&x,&\ldots,&y,&\ldots\cr
           \ldots,&a,&\ldots,&b,&\ldots}.
$$
Proto�e jde o~stav p�ed prohozen�m sloupc�, v�me, �e $a<b$.
Pokud $x<y$, tj. $(x,y)$ netvo�� inverzi v~permutaci $\pi$, 
z�stanou po prohozen� sloupc� tyto dva sloupce za sebou ve 
stejn�m po�ad�. Tak�e se nov� inverze v~permutaci $\pi^{-1}$ 
nevytvo��. Pokud ale $x>y$, tj. $(x,y)$ tvo�� inverzi 
v~permutaci $\pi$, pak po prohozen� sloupc� budou tyto dva sloupce 
v~opa�n�m po�ad�. Dvojice prvk� $(b,a)$ tedy bude tvo�it inverzi 
v~permutaci $\pi^{-1}$.

\veta [znpi-1]
%%%%%
Permutace $\pi$ a $\pi^{-1}$ maj� v�dy stejn� znam�nka.

\dukaz
%%%%%%
V�ta je p��m�m d�sledkem v�ty\cite[inverzeinverzi].

\poznamka
%%%%%%%%%
V~p�edchoz�ch definic�ch a v�t�ch jsme si �ekli minimum toho, co
pot�ebujeme v�d�t o~permutac�ch, abychom pochopili definici
determinantu a odvodili jednoduch� vlastnosti determinantu.
Ve skute�nosti se u~permutac� d� studovat je�t� mnoho dal��ch
vlastnost�, kter� zde nebudeme pot�ebovat.

\okraj Definice\hb determi\-nantu | Definice determinantu

\definice* [ddet]
%%%%%%%%%
Nech� $\A=(a_{i,j})\in\R^{n,n}$ je �tvercov� matice. ��slo
$$
  \sum_{\pi=(i_1,i_2,\ldots,i_n)} 
  \sgn\pi\cdot a_{1,i_1}\,a_{2,i_2}\cdots\,a_{n,i_n}
  \rce(vdetA)
$$
naz�v�me {\em determinantem matice $\A$} a zna��me je $\det\A$.
V~uveden�m vzorci se s��t� p�es v�echny permutace $n$ prvk�, tj. jedn�
se podle v�ty\cite[pocetperm] o~$n!$ s��tanc�.
\inl[determinant, detA]

\poznamka
%%%%%%%%%
Je mo�n�, �e vzorec z~definice\cite[ddet] je pro n�kter� �ten��e m�lo
srozumiteln�. Pokus�me se jej proto v~t�to pozn�mce trochu vysv�tlit
a zlid�tit.

P�edstavme si �tvercovou matici jako �achovnici rozm�ru $n\times n$ a
pokusme se na ni rozm�stit $n$ �achov�ch v�� tak, aby se vz�jemn�
neohro�ovaly. Podle pozn�mky\cite[inverzniperm], odst.~(3) je mo�n�
ka�d� takov� rozm�st�n� popsat jednou permutac� 
(pozice v�� �teme po ��dc�ch). Podle
v�ty\cite[pocetperm] vid�me, �e existuje $n!$ r�zn�ch permutac�, tedy
existuje $n!$ r�zn�ch �e�en� t�to �achov� �lohy. 
Pro ka�d� �e�en� t�to
�lohy zap��eme odpov�daj�c� permutaci,
zjist�me znam�nko t�to permutace, nadzvedneme v�i�ky a zap��eme si
hodnoty prvk�, na kter�ch ty figurky stoj�, vyn�sob�me tyto hodnoty
mezi sebou a v�sledek je�t� n�sob�me znam�nkem permutace. Pak si tento
v�sledek ulo��me do pam�ti. A� projdeme v�ech $n!$ mo�nost�
rozm�st�n� v��, z�sk�me v~pam�ti $n!$ s��tanc� a ty
se�teme. V�sledkem je determinant matice.

\priklad [sarrus]
%%%%%%%%
Hledejme determinant matice z $\R^{3,3}$ tvaru
$$
  \A =  \pmatrix{a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\cr 
        a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\cr a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}}.
$$
Podle vzorce z~definice\cite[ddet] budeme s��tat p�es v�echny
permutace t�� prvk�. T�ch je podle v�ty\cite[pocetperm] $3!=6$.
Zap��eme v�echny tyto permutace, jejich znam�nka a odpov�daj�c�
rozm�st�n� \uv{�achov�ch v��}.
$$
  \font\bigO=cmsy10 scaled\magstep4 
  \def\o#1{{\ooalign{\hfil\hbox{$#1$}\hfil\crcr
     \raise-.8ex\hbox{\bigO\char"0D}}}}
  \displaylines{
  \pi=(1,2,3),\quad \sgn\pi=+1, \quad  
     \pmatrix{\o{a_{1,1}}&a_{1,2}&a_{1,3}\cr 
     a_{2,1}&\o{a_{2,2}}&a_{2,3}\cr a_{3,1}&a_{3,2}&\o{a_{3,3}}}, \quad
     \hbox{s��tanec:}\quad + a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}. \cr
  \pi=(2,3,1),\quad \sgn\pi=+1, \quad  
     \pmatrix{a_{1,1}&\o{a_{1,2}}&a_{1,3}\cr 
     a_{2,1}&a_{2,2}&\o{a_{2,3}}\cr \o{a_{3,1}}&a_{3,2}&a_{3,3}}, \quad
     \hbox{s��tanec:}\quad + a_{1,2}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,1}. \cr
  \pi=(3,1,2),\quad \sgn\pi=+1, \quad  
     \pmatrix{a_{1,1}&a_{1,2}&\o{a_{1,3}}\cr 
     \o{a_{2,1}}&a_{2,2}&a_{2,3}\cr a_{3,1}&\o{a_{3,2}}&a_{3,3}}, \quad
     \hbox{s��tanec:}\quad + a_{1,3}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,2}. \cr
  \pi=(3,2,1),\quad \sgn\pi=-1, \quad  
     \pmatrix{a_{1,1}&a_{1,2}&\o{a_{1,3}}\cr 
     a_{2,1}&\o{a_{2,2}}&a_{2,3}\cr \o{a_{3,1}}&a_{3,2}&a_{3,3}}, \quad
     \hbox{s��tanec:}\quad - a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1}. \cr
  \pi=(2,1,3),\quad \sgn\pi=-1, \quad  
     \pmatrix{a_{1,1}&\o{a_{1,2}}&a_{1,3}\cr 
     \o{a_{2,1}}&a_{2,2}&a_{2,3}\cr a_{3,1}&a_{3,2}&\o{a_{3,3}}}, \quad
     \hbox{s��tanec:}\quad - a_{1,2}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,3}. \cr
  \pi=(1,3,2),\quad \sgn\pi=-1, \quad  
     \pmatrix{\o{a_{1,1}}&a_{1,2}&a_{1,3}\cr 
     a_{2,1}&a_{2,2}&\o{a_{2,3}}\cr a_{3,1}&\o{a_{3,2}}&a_{3,3}}, \quad
     \hbox{s��tanec:}\quad - a_{1,1}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,2}. \cr
  \let\cdot=\,
  \det\A =   a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3} 
           + a_{1,2}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,1}
           + a_{1,3}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,2}
           - a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1}
           - a_{1,2}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,3}
           - a_{1,1}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,2}.
}
$$  
Tento vzorec se d� zapamatovat pomoc� mnemotechnick� pom�cky: nejprve
n�sob�me prvky na hlavn� diagon�le, d�le ve sm�rech rovnob�n�ch s~hlavn�
diagon�lou a sou�iny s��t�me. Pak n�sob�me prvky na vedlej��
diagon�le, d�le ve sm�rech
rovnob�n�ch s~vedlej�� diagon�lou, p�i�em� tyto sou�iny ode��t�me. 
T�to \uv{pou�ce o~diagon�l�ch},
kter� je pou�iteln� jen pro matice typu $(3,3)$, ��k�me
{\em Sarrusovo pravidlo}.
Toto popul�rn� pravidlo tedy nen� nic jin�ho ne� rozeps�n� definice
determinantu pro matice z~$\R^{3,3}$.
\inl[pravidlo: Sarrusovo, Sarrusovo: pravidlo]

Pro matici typu $(4,4)$ bychom dostali p�i v�po�tu determinantu podle
definice $4!=24$ s��tanc�. Pro takovou matici se u� t�ko hledaj�
mnemotechnick� pom�cky. M�-li �ten�� �as a m�sto na pap��e, m��e se
pokusit sestavit v�echny permutace �ty� prvk�, naj�t jejich znam�nka a
se��st odpov�daj�c� sou�iny. Pokud �ten�� nem� �as nebo m�sto na
pap��e, ud�l� nejl�p, kdy� si po�k� na dal�� metodu na po��t�n�
determinant�, kter� bude vy�adovat daleko m�n� po�etn�ch �kon�.
Na druh� stran� rozeps�n� vzorce pro determinant matice typu $(4,4)$
je u�ite�n� cvi�en� pro pochopen� definice determinantu.

\priklad [krizdet]
%%%%%%%%
Podobn�, jako v~p�edchoz�m p��klad�, odvod�me vzorec pro v�po�et
determinantu matice z~$\R^{2,2}$.
$$
  \font\bigO=cmsy10 scaled\magstep4 
  \def\o#1{{\ooalign{\hfil\hbox{$#1$}\hfil\crcr
     \raise-.8ex\hbox{\bigO\char"0D}}}}
\displaylines{
  \pi=(1,2),\quad \sgn\pi=+1, \quad  
     \pmatrix{\o{a_{1,1}}&a_{1,2}\cr 
     a_{2,1}&\o{a_{2,2}}}, \quad
  \pi=(2,1),\quad \sgn\pi=-1, \quad  
     \pmatrix{a_{1,1}&\o{a_{1,2}}\cr 
     \o{a_{2,1}}&a_{2,2}}, \cr
  \det\A = a_{1,1}\cdot a_{2,2} - a_{1,2}\cdot a_{2,1}.}
$$
Pro �plnost uvedeme je�t� hodnotu determinantu matice $\A=(a_{1,1})$ 
typu $(1,1)$. Z�ejm� je $\det\A=a_{1,1}$.

\definice [diagonala]
%%%%%%%%%
Nech� $\A=(a_{i,j})\in\R^{n,n}$ je �tvercov� matice. {\em Hlavn� diagon�la
matice $\A$} je skupina jej�ch prvk� 
$a_{1,1}, a_{2,2}, \ldots, a_{n,n}$.
{\em Vedlej�� diagon�la matice $\A$} zahrnuje prvky
$a_{1,n}, a_{2,n-1}, \ldots, a_{n,1}$. {\em Prvek pod hlavn�
diagon�lou} je ka�d� prvek $a_{i,j}$, pro kter� plat� $i>j$.
{\em Prvek nad hlavn� diagon�lou} je ka�d� prvek $a_{i,j}$, pro kter�
plat� $i<j$.
\inl[diagon�la: matice: hlavn�, hlavn�: diagon�la: matice]
\inl[diagon�la: matice: vedlej��, vedlej��: diagon�la: matice]
\inl[prvek: nad diagon�lou]

\priklad [dettrojmatice]
%%%%%%%%
Nech� matice $\A\in\R^{n,n}$ m� pod hlavn� diagon�lou jen nulov�
prvky. Matice tedy n�zorn� vypad� takto:
$$
  \A = \pmatrix{a_{1,1}, & a_{1,2}, &\ldots, & a_{1,n-1}, & a_{1,n} \cr
                      0, & a_{2,2}, &\ldots, & a_{2,n-1}, & a_{2,n} \cr
                      0, &       0, &\ldots, & a_{3,n-1}, & a_{3,n} \cr
                         &          &\vdots  & & \cr
                      0, &       0, &\ldots, &         0, & a_{n,n} \cr}.
\rce(trojmatice)
$$
Zkus�me spo��tat $\det\A$.

V~definici determinantu\cite[ddet] se pracuje se sou�tem sou�in� 
$\sgn\pi\cdot a_{1,i_1}\cdot a_{2,i_2}\cdots a_{n,i_n}$. 
Pokud aspo� jeden z~t�chto �initel� je nulov�, je nulov� cel� 
sou�in. V~celkov�m sou�tu n�s zaj�maj� jen nenulov�
sou�iny. Prozkoumejme, kter� to jsou. Z~posledn�ho ��dku mus�me vz�t
jen prvek $a_{n,n}$, proto�e v�echny ostatn� prvky v~posledn�m ��dku 
jsou nulov�. Z~p�edposledn�ho ��dku m��eme vz�t jen prvek 
$a_{n-1,n-1}$, proto�e ostatn� jsou nulov�. Prvek $a_{n-1,n}$ nelze
do sou�inu zahrnout, proto�e z~posledn�ho sloupce u� v~sou�inu m�me
prvek $a_{n,n}$ (v�e by se vz�jemn� ohro�ovaly). 
Analogickou �vahou zahrneme do sou�inu prvky
$a_{n-2,n-2},\ldots,a_{2,2},a_{1,1}$. Nen� tedy jin� mo�nost 
nenulov�ho sou�inu, ne� sou�in 
$a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdots a_{n,n}$. Ten odpov�d� permutaci
$(1,2,\ldots,n)$, kter� nem� ��dnou inverzi a jej� znam�nko je 
tedy~$+1$. Ostatn� s��tanci z~definice determinantu jsou
nulov�. Proto 
$\det\A = a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}\cdots a_{n,n}$.

\okraj Z�kladn� vlastnosti | Zakladni vlastnosti

\veta* [zvdet]
%%%%%
Z�kladn� vlastnosti determinantu.

\noindent
(V1) Jestli�e se matice $\B$ li�� od matice $\A$ jen prohozen�m jedn�
dvojice ��dk�, pak $\det\B=-\det\A$.

\noindent
(V2) Jestli�e matice $\A$ m� dva stejn� ��dky, pak $\det\A=0$.

\noindent
V~dal��ch vlastnostech (V3) a� (V5) ozna�ujeme symbolem 
$\pmatrix{\vdots\cr\vec a_i\cr\vdots}$ matice, kter� se li��
pouze v~$i$-t�m ��dku, zde ozna�en�m $\vec a_i$. V~��dc�ch, kter� 
jsou vyzna�eny te�kami, se jednotliv� matice shoduj�. 
$$\eqalign{
\bod (V3) \det\pmatrix{\vdots\cr\alpha\,\vec a_i\cr\vdots} =
          \alpha\,\det\pmatrix{\vdots\cr\vec a_i\cr\vdots}. \cr
\bod (V4) \det\pmatrix{\vdots\cr\vec a_i\cr\vdots} + 
          \det\pmatrix{\vdots\cr\vec b_i\cr\vdots} =
          \det\pmatrix{\vdots\cr\vec a_i+\vec b_i\cr\vdots}. \cr
\bod (V5) \det\pmatrix{\vdots\cr\vec a_i+\alpha\,\vec a_j\cr\vdots} =
          \det\pmatrix{\vdots\cr\vec a_i\cr\vdots}, \quad 
          \hbox{kde $\vec a_j$ je n�jak� jin� ��dek t�e matice}.
}
$$

\dukaz
%%%%%%
(V1) Sou�in $a_{1,i_1}\cdots a_{n,i_n}$ odpov�d� 
ve vzorci pro v�po�et $\det\A$ permutaci $\pi=(i_1,i_2,\ldots,i_n)$. 
Tent�� sou�in najdeme i ve vzorci pro v�po�et $\det\B$, pouze 
bude odpov�dat permutaci $\pi'$, kter�
vznikne z~permutace $\pi$ p�ehozen�m dvou prvk�. To podle 
v�ty\cite[prohperm] znamen�, �e $\sgn\pi'=-\sgn\pi$. V~ka�d�m z~$n!$
s��tanc� pro v�po�et $\det\B$ tedy m�me opa�n� znam�nko, ne� ve 
s��tanc�ch pro v�po�et $\det\A$. Mus� tedy b�t $\det\B=-\det\A$.

(V2) Prohod�me-li v~matici $\A$ mezi sebou dva stejn� ��dky, dost�v�me
zase matici $\A$. Podle~(V1) pro tuto matici plat� $\det\A=-\det\A$,
co� nem��e b�t spln�no jinak, ne� �e $\det\A=0$.

Vlastnosti (V3) a (V4) plynou p��mo z~definice determinantu:
$$\eqalign{
\bod (V3)  \sum
  \sgn\pi\,
  a_{1,j_1}\,a_{2,j_2}\cdots(\alpha\,a_{i,j_i})\,a_{i+1,j_{i+1}}\cdots
  a_{n,j_n} = 
  \alpha\,\sum
  \sgn\pi\,
  a_{1,j_1}\,a_{2,j_2}\cdots a_{i,j_i}\,a_{i+1,j_{i+1}}\cdots
  a_{n,j_n}. \cr
\bod (V4)  \sum
  \sgn\pi\,
  a_{1,j_1}\,a_{2,j_2}\cdots(a_{i,j_i}+b_{i,j_i})\,a_{i+1,j_{i+1}}\cdots 
  a_{n,j_n} = \cr
  & \quad  = \sum
  \sgn\pi\,
  a_{1,j_1}\,a_{2,j_2}\cdots a_{i,j_i}\,a_{i+1,j_{i+1}}\cdots a_{n,j_n} +
  \sum
  \sgn\pi\,
  a_{1,j_1}\,a_{2,j_2}\cdots b_{i,j_i}\,a_{i+1,j_{i+1}}\cdots
  a_{n,j_n}. \cr
}
$$
(V5) dok�eme pou�it�m pr�v� dok�zan�ch vlastnost�:
$$\let\quad=\enskip
  \det\pmatrix{\vdots\cr\vec a_j\cr\vdots\cr\vec a_i + 
  \alpha\,\vec a_j\cr\vdots} 
  \quad\buildrel({\rm V4})\over= \quad
  \det\pmatrix{\vdots\cr\vec a_j\cr\vdots\cr\vec a_i\cr\vdots} +
  \det\pmatrix{\vdots\cr\vec a_j\cr\vdots\cr\vec \alpha\,\vec a_j\cr\vdots} 
  \quad\buildrel({\rm V3})\over= \quad
  \det\pmatrix{\vdots\cr\vec a_j\cr\vdots\cr\vec a_i\cr\vdots} +
  \alpha\,\det\pmatrix{\vdots\cr\vec a_j\cr\vdots\cr \vec a_j\cr\vdots} 
  \quad\buildrel({\rm V2})\over= \quad
  \det\pmatrix{\vdots\cr\vec a_j\cr\vdots\cr\vec a_i\cr\vdots}.
$$

\okraj Metoda po��t�n� determinantu | Metoda pocitani determinantu

\poznamka [metodadet]
%%%%%%%%%
Vlastnosti (V1), (V3) a (V5) n�m ukazuj�, jak se zm�n�
determinant, zm�n�me-li matici pomoc� Gaussovy elimina�n�
metody. Prohozen� ��dk� zm�n� znam�nko, vyn�soben� ��dku nenulov�m
��slem $\alpha$ zp�sob�, �e se determinant $\alpha$-kr�t zv�t�� a
kone�n� p�i�ten� $\alpha$-n�sobku jin�ho ��dku ke zvolen�mu ��dku
nezm�n� hodnotu determinantu. Jsme tedy schopni upravovat matice
Gaussovou elimina�n� metodou, a p�itom si poznamen�vat, jak se m�n� 
determinant. T�m m��eme p�ev�st matici na tvar\cite(trojmatice).
O~t�to matici v�me, �e m� determinant roven sou�inu prvk� 
na hlavn� diagon�le.

Uv�domme si, �e tato metoda d�v� v�raznou �sporu �asu a v�po�etn�ch
prost�edk� p�i po��t�n� determinant�. P�edstavme si, �e po��t�me
determinant matice typu $(n,n)$. P�i Gaussov� elimina�n� metod�
pot�ebujeme zhruba $n$ operac� na v�robu jednoho nulov�ho prvku.
T�ch nul pot�ebujeme vytvo�it zhruba $n^2/2$, tak�e k~v�po�tu
determinantu n�m sta�� $n^3/2$ operac�. Pro matici typu $(50,50)$ 
to je zhruba $62\,500$ operac�. Pokud bychom cht�li po��tat 
determinant stejn� velk� matice p��mo z~definice, pot�ebovali 
bychom na to $50\cdot3\cdot10^{64}$ operac� (viz koment�� 
v~p��kladu\cite[ukazkaperm]). Nen�
v~sil�ch ��dn� v�po�etn� techniky spo��tat to v~rozumn�m �ase.
\inl[metoda: po��t�n�: determinantu]

\priklad [elimdet]
%%%%%%%%
Pr�v� popsanou metodou spo��t�me determinant matice
$$
  \catcode`+=13 \def+{\hphantom{-}}
  \A = \pmatrix{1&+2&+4&-1\cr2&+1&+2&+2\cr1&+3&+1&+2\cr2&+1&+2&+1}.
$$
V~literatu�e se pro $\det\A$ �asto pou��v� zna�en� $|\A|$. N��e tedy
zapisujeme prvky jednotliv�ch matic mezi svisl� ��ry a t�m d�v�me na
jevo, �e po��t�me determinant.
$$
  \catcode`+=13 \def+{\hphantom{-}} \def\0{\hphantom{0}}
  \def\dmatrix#1{\left|\matrix{#1}\right|}
  \displaylines{
  \dmatrix{1&+2&+4&-1\cr2&+1&+2&+2\cr1&+3&+1&+2\cr2&+1&+2&+1}
  \buildrel (1)\over=
  \dmatrix{1&+2&+4&-1\cr0&-3&-6&+4\cr0&+1&-3&+3\cr0&-3&-6&+3} 
  \buildrel (2)\over=
  - \dmatrix{1&+2&+4&-1\cr0&+1&-3&+3\cr0&-3&-6&+4\cr0&-3&-6&+3}
  \buildrel (3)\over= 
  - \dmatrix{1&+2&+4&-1\cr0&+1&-3&+3\cr0&+0&-15&\013\cr0&+0&-15&\012}
  \buildrel (4)\over= \cr \buildrel (4)\over=
  - \dmatrix{1&+2&+4&-1\cr0&+1&-3&+3\cr0&+0&-15&\013\cr0&+0&+0&-1} =
  -(-15)\cdot(-1) = -15.
}
$$
V~kroku (1) jsme prvn� ��dek n�sobili $-2$ a p�i��tali k~druh�mu, pak
jsme prvn� ��dek n�sobili $-1$ a p�i��tali k~t�et�mu a nakonec jsme
prvn� ��dek n�sobili $-2$ a p�i��tali ke �tvrt�mu. Tyto operace 
podle~(V5) nem�n� hodnotu determinantu. V~kroku~(2) jsme prohodili druh�
��dek se t�et�m, co� podle~(V1) zm�n� znam�nko determinantu. Napsali
jsme toto znam�nko p�ed determinant modifikovan� matice. 
V~kroku~(3) jsme druh� ��dek
n�sobili t�emi a p�i�etli ke t�et�mu a �tvrt�mu. To podle~(V5) nem�n�
hodnotu determinantu. Kone�n� v~kroku~(4) jsme t�et� ��dek n�sobili
$-1$ a p�i�etli ke �tvrt�mu. T�m dost�v�me matici 
tvaru\cite(trojmatice) z~p��kladu\cite[dettrojmatice],
o~kter� v�me, �e m� determinant roven sou�inu
prvk� na diagon�le.

Upozor�ujeme na �astou za��te�nickou chybu p�i po��t�n�
determinant�. V~Gaussov� elimina�n� metod� se v�t�inou neklade d�raz
na to, kter� ��dek od kter�ho ode��t�me, proto�e v�sledn� ��dek m��eme
kdykoli pozd�ji n�sobit ��slem $-1$. P�i po��t�n� determinant� to ale
jedno nen�. Nap��klad v~kroku (1) jsme od druh�ho ��dku ode��tali
dvojn�sobek prvn�ho a v�sledek psali na druh� ��dek. Kdybychom od 
dvojn�sobku prvn�ho ��dku ode��tali druh� a v�sledek psali do druh�ho
��dku, dopustili bychom se chyby, kter� n�m zm�n� znam�nko
determinantu. Mnemotechnick� pom�cka: p��eme-li v�sledek sou�tu 
na $i$-t� ��dek, pak $i$-t� ��dek p�vodn� matice nesm� b�t v~sou�tu
n�soben ��dnou konstantou. Ostatn� ��dky mohou b�t n�sobeny libovolnou
konstantou a p�i��t�ny k~tomuto ��dku. Je t�eba si tedy uv�domit, �e
\uv{p�i�ten� n�sobku ��dku~$\vec a$ k ��dku $\vec b$} (korektn� krok) 
nen� tot�, jako \uv{p�i�ten� ��dku $\vec a$ k n�sobku ��dku $\vec b$}
(nekorektn� krok).

\priklad
%%%%%%%%
Jednotkov� matice m� determinant roven jedn�. Jednotkov� matice je
toti� tvaru\cite(trojmatice), tak�e sta�� pron�sobit prvky na
diagon�le. 

\priklad
%%%%%%%%
Nech� $\A\in\R^{n,n}$ m� prvky na vedlej��
diagon�le rovny jedn� a ostatn� prvky jsou nulov�. Spo��t�me jej�
determinant.

Prohod�me prvn� ��dek s posledn�m, druh� s p�edposledn�m atd. a� se
dostaneme k prost�edn�mu ��dku. Pro lich� $n$ nech�v�me prost�edn�
��dek na m�st�, pro sud� $n$ prohod�me naposled mezi sebou ��dky
$n/2$ a $n/2+1$. V obou p��padech jsme ud�lali $[n/2]$
prohozen� (symbolem $[x]$ zde zna��me celou ��st z $x$). Matici $\A$
jsme t�mito �pravami p�evedli na jednotkovou matici $\E$. Podle
p�edchoz�ho p��kladu je $\det\E=1$, tak�e podle vlastnosti~(V1) 
z~v�ty\cite[zvdet] je $\det\A=(-1)^{[n/2]}\det\E = (-1)^{[n/2]}$.

\priklad
%%%%%%%%
Nech� $\A\in\R^{n,n}$ m� nad vedlej�� diagon�lou
nulov� prvky. Spo��t�me jej� determinant.

Prohazov�n�m ��dk�, stejn� jako v p�edchoz�m p��klad�, p�evedeme
matici na tvar\cite(trojmatice). Prvky z~vedlej�� diagon�ly se p�i
t�chto �prav�ch p�est�huj� na hlavn� diagon�lu. Determinant takto
upraven� matice je podle p��kladu\cite[dettrojmatice] roven sou�inu
prvk� na diagon�le, tak�e m�me 
$\det\A=(-1)^{[n/2]}a_{1,n}\,a_{2,n-1}\cdots a_{n,1}$.

\veta [reguldet]
%%%%%
�tvercov� matice $\A$ je regul�rn� pr�v� tehdy, kdy� $\det\A\not=0$.

\dukaz
%%%%%%
V�imneme si nejprve, �e Gaussova elimina�n� metoda realizovan� kroky
(V1), (V3) a (V5) podle p�edchoz� v�ty\cite[zvdet] nem�n�
\uv{nulovost} determinantu. P�esn�ji, je-li $\A\sim\B$, pak
$\det\A\not=0$ pr�v� tehdy kdy� $\det\B\not=0$.

Je-li matice $\A$ regul�rn� je podle v�ty\cite[hodreg]
$\hod\A=n$. Po �prav� Gaussovou elimina�n�
metodou na matici $\B$ tvaru\cite(trojmatice) musej� b�t v�echny 
prvky na diagon�le nenulov�, proto�e 
podle v�ty\cite[hodAB] je tak�
$\hod\B=n$.
To znamen�, �e $\det\B\not=0$ a tedy i
$\det\A\not=0$. 

Je-li matice $\A$ singul�rn�, je $\hod\A<n$. Po �prav� 
Gaussovou elimina�n� metodou na matici 
$\B$ tvaru\cite(trojmatice) bude existovat 
aspo� jeden ��dek v~matici $\B$ cel�
nulov�. Nulov� je tedy i diagon�ln� prvek, tak�e $\det\B=0$.
Podle p�edchoz�ho nutn� mus� b�t $\det\A=0$.

\veta* [det=detT]
%%%%%
Nech� $\A$ je �tvercov� matice. Pak $\det\A=\det\A^T$.

\dukaz
Sou�inu $a_{1,i_1}\, a_{2,i_2}\cdots a_{n,i_n}$ ze 
vzorce\cite(vdetA) pro
$\det\A$ odpov�d� permutace $\pi=(i_1,i_2,\ldots,i_n)$. 
Uspo��d�me �initele tohoto
sou�inu podle velikosti druh�ho indexu a dostaneme
$a_{j_1,1}\, a_{j_2,2}\cdots a_{j_n,n}$, kde pro permutaci
$\pi_1=(j_1,j_2,\ldots,j_n)$ plat� $\pi_1=\pi^{-1}$. Pr�v� takov�
sou�iny se objevuj� ve vzorci pro $\det\A^T$. Vid�me tedy, �e oba vzorce
$\det\A$ i $\det\A^T$ obsahuj� sumu stejn�ch sou�in�, pouze permutace
odpov�daj�c�ch sou�in� je v~prvn�m p��pad� $\pi$ a v~druh�m
$\pi^{-1}$. Tyto permutace maj� podle v�ty\cite[inverzeinverzi] stejn�
po�et inverz�, tak�e i stejn� znam�nko. Mus� tedy b�t $\det\A=\det\A^T$.
\inl[matice: transponovan�, transponovan�: matice]

\poznamka
%%%%%%%%%
Z~pr�v� dok�zan� v�ty plyne, �e vlastnosti vyjmenovan� ve 
v�t�\cite[zvdet] plat� nejen pro ��dky matice, ale t� pro
sloupce. P�i po��t�n� determinantu podle metody popsan� 
v~pozn�mce\cite[metodadet] m��eme tedy svobodn� p�ech�zet od ��dkov�ch
�prav ke sloupcov�m a zp�t, proto�e vlastnosti (V1), (V3) a (V5)
v�ty\cite[zvdet] plat� nejen pro ��dky, ale i pro sloupce
(tzv. ��dkov�-sloupcov� dualita).
\inl[dualita: ��dkov�-sloupcov�]

\okraj Rozvoj determinantu | Rozvoj determinantu

\veta (o~rozvoji determinantu podle $r$-t�ho ��dku) * [rozvojdet]
%%%%%
Nech� $\A=(a_{r,s})\in\R^{n,n}$ je �tvercov� matice 
a $\A_{i,j}\in\R^{n-1,n-1}$ jsou matice,
kter� vzniknou z~matice $\A$ vynech�n�m $i$-t�ho 
��dku a $j$-t�ho sloupce. Pak pro ka�d� $r\in\{1,\ldots,n\}$
plat�
$$
  a_{r,1}\,(-1)^{r+1}\det\A_{r,1} + a_{r,2}\,(-1)^{r+2}\,\det\A_{r,2} 
  + \cdots + a_{r,n}\,(-1)^{r+n}\det\A_{r,n} 
  = \det\A.
  \rce(rozvojkk)
$$
Je-li d�le $t\in\{1,\ldots,n\}$, $t\not=r$, pak plat�
$$
  a_{r,1}\,(-1)^{t+1}\det\A_{t,1} + a_{r,2}\,(-1)^{t+2}\det\A_{t,2} 
  + \cdots + a_{r,n}\,(-1)^{t+n}\det\A_{t,n} 
  = 0.
  \rce(rozvojkl)
$$
\par\inl[determinant: rozvoj, rozvoj: determinantu]
\inl[v�ta: o rozvoji determinantu]

\exdukaz
%%%%%%%%
Pod�vejme se na vzorec\cite(vdetA) pro $\det\A$.
Seskup�me v~n�m v�echny s��tance, kter� obsahuj� prvek
$a_{1,1}$ k~sob�, d�le seskup�me k~sob� s��tance, kter� obsahuj� prvek
$a_{1,2}$ a tak d�le a� po posledn� skupinu, ve kter� se vyskytuj�
s��tanci s~prvkem $a_{1,n}$. Tyto prvky ze sou�t� vytkneme. 
Pro $s$-tou skupinu s��tanc� tedy m�me:
$$
  \sum_{\pi=(s,i_2,\ldots,i_n)} 
   \sgn\pi\cdot a_{1,s}\,a_{2,i_2}\cdots a_{n,i_n} =
  a_{1,s}\left(\sum_{\pi=(s,i_2,\ldots,i_n)} 
   \sgn\pi\cdot a_{2,i_2}\cdots a_{n,i_n}\right) = \ast
$$
Z~permutace $\pi=(s,i_2,\ldots,i_n)$ prvk� mno�iny 
$M=\{1,2,\ldots,n\}$ vytvo�me permutaci $\pi'=(i_2,\ldots,i_n)$
prvk� mno�iny $M\setminus\{s\}$ tak, �e odebereme prvn� prvek 
z~permutace~$\pi$. Nov� permutace $\pi'$ m� o~$s-1$ m�n� inverz�
ne� permutace $\pi$. (Nakreslete si v�echny inverze spojen� s~prvkem
$s$.) Pro znam�nka permutac� tedy plat�
$\sgn\pi=(-1)^{s-1}\sgn\pi'=(-1)^{s+1}\sgn\pi'$. Pokra�ujme nyn� d�le
v~na�em v�po�tu:
$$
  \ast =
   a_{1,s}\,(-1)^{1+s}\left(\sum_{\pi'=(i_2,\ldots,i_n)} 
   \sgn\pi'\cdot a_{2,i_2}\cdots a_{n,i_n}\right) = 
   a_{1,s}\,(-1)^{1+s} \det\A_{1,s}.
$$
Determinant $\A$ je sou�tem v�ech skupin s��tanc� pro $s=1,2,\ldots,n$, co�
dokazuje vzorec\cite(rozvojkk) pro $r=1$.

Nech� nyn� $r\not=1$. Prohod�me $r$-t� ��dek matice $\A$ s~p�edchoz�m,
pak jej prohod�me s~dal��m p�edch�zej�c�m ��dkem, atd. a� dostaneme
p�vodn� $r$-t� ��dek na prvn� ��dek modifikovan� matice $\B$. K~tomu
pot�ebujeme prov�st $r-1$ prohozen�, tak�e plat� 
$\det\B=(-1)^{r-1}\det\A$. Provedeme rozvoj determinantu
matice $\B$ podle prvn�ho ��dku ($\B_{1,s}$ je matice, kter� vznikne 
z~matice $\B$ vynech�n�m prvn�ho ��dku a $s$-t�ho sloupce):
$$
  \det\B =  a_{r,1}\,(-1)^{1+1}\det\B_{1,1} + 
   a_{r,2}\,(-1)^{2+1}\det\B_{1,2} + \cdots + 
   a_{r,n}\,(-1)^{1+n}\det\B_{1,n}.
$$
Proto�e $\det\A=(-1)^{r-1}\det\B$ a proto�e $\B_{1,s}=\A_{r,s}$, m�me
vzorec\cite(rozvojkk) dok�z�n.

Uva�ujme $t\not=r$ a nahra�me $t$-t� ��dek v~matici $\A$ ��dkem
$r$-t�m. Novou matici ozna�me $\C$. M� dva stejn� ��dky, tak�e je
$\det\C=0$. Rozvoj tohoto determinantu podle $t$-t�ho
��dku odpov�d� vzorci\cite(rozvojkl).

\poznamka [rozvojsloupce]
%%%%%%%%%
Vzhledem k~platnosti v�ty\cite[det=detT] plat� analogick� v�ta o~rozvoji
determinantu podle $s$-t�ho sloupce. Zkuste si ji zformulovat jako
cvi�en�. 

\definice [doplnek]
%%%%%%%%%
Nech� $\A\in\R^{n,n}$. {\em Dopln�k matice $\A$
v~pozici $(i,j)$} je ��slo $D_{i,j}$, definovan� vzorcem:
$D_{i,j} = (-1)^{i+j}\,\det\A_{i,j}$, 
kde $\A_{i,j}\in\R^{n-1,n-1}$ je matice, 
kter� vznikne z~matice $\A$ vynech�n�m 
$i$-t�ho ��dku a $j$-t�ho sloupce.
\inl[matice: dopln�k, dopln�k: matice]

\poznamka [rozvojdoplnku]
%%%%%%%%%
V�tu\cite[rozvojdet] lze p�i pou�it� definice\cite[doplnek]
a pozn�mky\cite[rozvojsloupce]
p�eformulovat. Nech� $\A\in\R^{n,n}$ je �tvercov� matice a 
$D_{i,j}$ jsou jej� dopl�ky. Nech� $r,s,t\in\{1,2,\ldots,n\}$,
$r\not=t$, $s\not=t$. Pak plat�
$$\eqalign{
  \det\A &= a_{r,1}\,D_{r,1} + a_{r,2}\,D_{r,2} + \cdots + 
            a_{r,n}\,D_{r,n}, \quad
       0 = a_{r,1}\,D_{t,1} + a_{r,2}\,D_{t,2} + \cdots + 
            a_{r,n}\,D_{t,n}, \cr
  \det\A &= a_{1,s}\,D_{1,s} + a_{2,s}\,D_{2,s} + \cdots + 
            a_{n,s}\,D_{n,s}, \quad
       0 = a_{1,s}\,D_{1,t} + a_{2,s}\,D_{2,t} + \cdots + 
            a_{n,s}\,D_{n,t}. \cr }
$$
\par\inl[dopln�k: matice, determinant: rozvoj, rozvoj: determinantu]

\priklad
%%%%%%%%
Uva�ujme matici $\A$ z~p��kladu\cite[elimdet]. Provedeme rozvoj 
determinantu~$\A$ podle prvn�ho ��dku.
$$\displaylines{
  \def\dmatrix#1{\left|\matrix{#1}\right|}
  \det\A = 1\cdot (-1)^{1+1}\cdot\dmatrix{1&2&2\cr3&1&2\cr1&2&1}
         + 2\cdot (-1)^{1+2}\cdot\dmatrix{2&2&2\cr1&1&2\cr2&2&1} 
         + 4\cdot (-1)^{1+3}\cdot\dmatrix{2&1&2\cr1&3&2\cr2&1&1}
         - 1\cdot (-1)^{1+4}\cdot\dmatrix{2&1&2\cr1&3&1\cr2&1&2} =\cr
  = 1\cdot5 + 2\cdot0 + 4\cdot(-5) - 1\cdot0 = -15.
}
$$
Vid�me, �e jsme si p�i v�po�tu moc nepomohli. Rozvoj determinantu
podle ��dku nebo sloupce matice typu $(n,n)$ obecn� vede na $n$
determinant� matic, kter� maj� o~jedin� ��dek a sloupec m�n�. To nen�
��dn� v�hra. 

Kdybychom opakovan� prov�d�li rozvoj vznikl�ch determinant� podle
��dku nebo sloupce, mohli bychom doj�t a� k~matic�m typu (1,1),
u~kter�ch je determinant p��mo roven hodnot� prvku dan� matice.
Program�tory m��e napadnout, �e lze tedy v�tu o~rozvoji determinantu
vyu��t p�i implementaci v�po�tu determinantu rekurzivn�m
algoritmem. Ov�em pozor\kern1pt! Tento algoritmus pot�ebuje zcela
stejn� mno�stv� operac�, jako p�i v�po�tu determinantu p��mo
z~definice. Jak u� jsme si uv�d�li, p�i matici typu $(50,50)$ se jedn�
zhruba o~$10^{64}$ operac�. Prakticky to znamen�, �e bychom se
pravd�podobn� v�sledku nedo�kali za celou dobu p�edpokl�dan�
existence na�� slune�n� soustavy a kdo v�, jestli by se d��ve
nezhroutil vesm�r.
\inl[vesm�r, soustava: slune�n�]

M��ete nam�tnout, k~�emu �e je metoda rozvoje determinantu dobr�?
Pokud se v~n�jak�m ��dku nebo sloupci matice vyskytuje mnoho nul,
m��eme zmen�it velikost matic, ze kter�ch po��t�me determinant. Je-li
na ��dku nebo sloupci jedin� nenulov� prvek, dost�v�me jedinou matici
o~jeden ��dek a sloupec men��. V~p��kladu\cite[elimdet] jsme mohli
nap��klad p�ed proveden�m kroku~(2) prov�st rozvoj determinantu podle
prvn�ho sloupce a d�le pracovat jen s~matic� typu $(3,3)$. P�ed 
krokem~(4) jsme mohli znovu prov�st rozvoj determinantu podle prvn�ho
sloupce:
$$
  \catcode`+=13 \def+{\hphantom{-}} \def\0{\hphantom{0}}
  \def\dmatrix#1{\left|\matrix{#1}\right|}
  \displaylines{
  \dmatrix{1&+2&+4&-1\cr2&+1&+2&+2\cr1&+3&+1&+2\cr2&+1&+2&+1}
  =
  \dmatrix{1&+2&+4&-1\cr0&-3&-6&+4\cr0&+1&-3&+3\cr0&-3&-6&+3} 
  =
  1\cdot \dmatrix{-3&-6&+4\cr+1&-3&+3\cr-3&-6&+3} =
  - \dmatrix{+1&-3&+3\cr-3&-6&+4\cr-3&-6&+3}
  = \cr =
  - \dmatrix{+1&-3&+3\cr+0&-15&\013\cr+0&-15&\012} =
  - 1\cdot\dmatrix{-15&13\cr-15&12} =
  15\cdot12 - 15\cdot13 = -15.
}
$$
V�hoda se projev� v�razn�ji, pokud nap��klad ��sla v prvn�m ��dku �i
sloupci jsou nesoud�ln� a je v�hodn�j�� za��t vyr�b�t nuly v jin�m
��dku nebo sloupci. Elimina�n� metodou v n�m vytvo��me nuly a pak
provedeme podle tohoto ��dku nebo sloupce rozvoj determinantu.
  
\okraj Sou�in determinant� | Soucin determinantu

\veta* [soucindet]
%%%%%
Nech� $\A$, $\B$ jsou �tvercov� matice. Pak 
$\det\A\,\det\B = \det(\A\cdot\B)$.
\inl[sou�in: determinant�, determinant: sou�inu: matic]
\inl[v�ta: o determinantu sou�inu]

\exdukaz
%%%%%%%%
Uv�dom�me si, �e lze matici $\A$ p�ev�st pouze ��dkov�mi �pravami na
matici $\A'$, kter� je tvaru\cite(trojmatice). Nav�c m��eme prov�d�t
pouze takov� �pravy, kter� nem�n� determinant: p�i��t�n� n�sobku
jin�ho ��dku k ��dku podle~(V5) v�ty\cite[zvdet] nem�n�
determinant a pokud pot�ebujeme prohodit ��dky, pak okam�it�
pron�sob�me jeden z nich konstantou $-1$. Tyto operace skute�n� sta��
na p�eveden� matice na tvar\cite(trojmatice), a p�itom m�me zaru�eno,
�e $\det\A=\det\A'$. Podle v�ty\cite[emulaceGEM] existuje �tvercov�
matice $\P$, pro kterou plat�
$$
  \A' = \P\cdot\A.
$$
D�le p�evedeme matici $\B$ na matici $\B'$ tvaru\cite(trojmatice) 
pouze sloupcov�mi �pravami takov�mi, kter� nem�n� determinant. 
M�me tedy $\det\B=\det\B'$
a nav�c podle pozn�mky\cite[emulacesloupcu] existuje matice 
$\Q$ takov�, �e
$$
  \B' = \B\cdot\Q.
$$
Plat�
$$
  \det\A\,\det\B = \det\A'\,\det\B' = \det(\A'\cdot\B').
$$
Posledn� rovnost ov���me z definice maticov�ho n�soben� a vyu�ijeme
toho, �e ob� matice $\A'$ i $\B'$ jsou tvaru\cite(trojmatice). Matice 
$\A'\cdot\B'$ je tak� tvaru\cite(trojmatice) a pro jej�
diagon�ln� prvky $g_{i,i}$ plat�, �e $g_{i,i} = a'_{i,i}\,b'_{i,i}$.
Proto�e se determinanty matic tvaru\cite(trojmatice) po��taj� jako
sou�in prvk� na diagon�le, m�me skute�n� 
$\det\A'\,\det\B' = \det(\A'\cdot\B')$.

Na matici $\A\cdot\B$ provedeme stejn� ��dkov� a sloupcov� �pravy,
jako jsme provedli na matice $\A$ resp.~$\B$. Dostaneme matici
$\A'\cdot\B'$, proto�e
$$
  \P\cdot(\A \cdot\B)\cdot\Q = (\P\cdot\A) \cdot (\B\cdot\Q) =
  \A'\cdot\B'.
$$
Proveden� ��dkov� a sloupcov� �pravy nem�n� determinant, tak�e 
matice $\A'\cdot\B'$ m� stejn� determinant jako matice $\A\cdot\B$.
Dost�v�me v�sledek
$$
  \det\A\,\det\B = \det\A'\,\det\B' = \det(\A'\cdot\B') =
  \det(\A\cdot\B).
$$

\veta
%%%%%
Nech� $\A=\L\U$ je LU rozklad matice $\A$. Pak $\det\A$ je roven
sou�inu diagon�ln�ch prvk� matice $\U$.

\dukaz
Podle v�ty\cite[soucindet] je $\det\A=\det\L\cdot\det\U$. Proto�e
$\det\L=1$ (m� na diagon�le pouze jedni�ky), je $\det\A=\det\U$ co� je
podle p��kladu\cite[dettrojmatice] sou�in diagon�ln�ch prvk� matice $\U$.


\okraj Inverzn�\hb matice a\hb determinant | Inversni matice a determinant

\veta [detA-1]
%%%%%
Nech� $\A$ je regul�rn� matice. Pak $\det\A^{-1} = 1/\det\A$.

\dukaz
%%%%%%
Sta�� pou��t v�tu\cite[soucindet] na sou�in $\A\cdot\A^{-1}=\E$, tedy
$\det\A\cdot\det\A^{-1}=\det\E=1$. Vyd�len�m obou stran rovnice ��slem
$\det\A$ (kter� je podle v�ty\cite[reguldet] nenulov�) dost�v�me
dokazovan� vzorec.


%\poznamka
%%%%%%%%%
%Na z�v�r kapitoly o determinantech p�edvedeme sl�ben� d�kaz 
%v�ty\cite[existinverse] o
%existenci inverzn� matice pro ka�dou regul�rn� matici. 
%M��eme to pova�ovat za prvn� praktick� vyu�it� pojmu
%determinant. Dal�� vyu�it� najdeme v n�sleduj�c� kapitole o soustav�ch
%line�rn�ch rovnic a d�le pozd�ji p�i po��t�n� objem� jist�ch t�les.
%
%V�tu\cite[existinverse] o existenci inverzn� matice zde p�ep��eme znovu.

\veta [A-1D]
%%%%%
Je-li $\A\in\R^{n,n}$ regul�rn�, pak
$$
  \A^{-1} = {1\over\det\A}\,\D^T, 
$$
kde $\D=(D_{i,j})$ je matice dopl�k� $\A$ v pozic�ch $(i,j)$.
\inl[metoda: po��t�n�: inverzn� matice]
\inl[matice: inverzn�, inverzn�: matice]

\dukaz
%%%%%%
Proto�e je $\A$ regul�rn�, m� nenulov� determinant, tak�e ve vzorci
ned�l�me nulou. Mus�me ov��it, �e pro matici $\A^{-1}$ vypo��tanou 
z~uveden�ho vzorce, plat�
$\A\cdot\A^{-1}=\E$. Je-li $\D=(D_{i,j})$,
pak samoz�ejme je $\D^T=(D_{j,i})$. Podle definice sou�inu
matic\cite[soucinAB] vypo��t�me prvek $e_{i,k}$ matice
$\A\cdot\A^{-1}$:
$$
  e_{i,k} = \sum_{j=1}^n a_{i,j}\,{1\over\det\A}\,D_{k,j} =
            {1\over\det\A}\bigl(a_{i,1}D_{k,1} + a_{i,2}D_{k,2} + 
            \cdots + a_{i,n}D_{k,n}\bigr) = 
  \cases {\displaystyle {1\over\det\A\mathstrut}\,\det\A = 1 &\hbox{pro $i=k$,}\cr
          \displaystyle {\mathstrut1\over\det\A}\cdot 0 = 0  &\hbox{pro $i\not=k$.}}
$$
Zde jsme vyu�ili v�tu o rozvoji determinantu podle $i$-t�ho
��dku, viz pozn�mku\cite[rozvojdoplnku]. Zji��ujeme, �e prvky
$e_{i,k}$ jsou skute�n� prvky jednotkov� matice\cite[defE].
Rovnost $\A^{-1}\cdot\A=\E$ bychom dokazovali podobn�. Pou�ili
bychom v�tu o rozvoji $i$-t�ho sloupce nam�sto ��dku.

\poznamka [imatice-dop]
%%%%%%%%%
V�ta\cite[A-1D] krom� teoretick�ch d�sledk�, kter� uvid�me pozd�ji, 
n�m tak� d�v� n�vod, jak vypo��tat inverzn� matici 
k matici $\A$. Je to vlastn� vedle 
v~algoritmu\cite[algolinverse], kter� vyu��v� elimina�n� metodu,
dal�� zp�sob hled�n� inverzn�
matice. M��eme ji ��kat \uv{metoda hled�n� inverzn� matice pomoc� dopl�k�}.
Uv�dom�me si ale, �e pro velk� matice je elimina�n� metoda
podstatn� ��eln�j�� ne� metoda pomoc� dopl�k�, kter� vy�aduje spo��tat
$n^2$ determinant� matic typu $(n-1,n-1)$ a je�t� spo��tat $\det\A$.
V~n�sleduj�c�ch p��kladech si proto tuto metodu ilustrujeme jen na mal�ch
matic�ch. 
\inl[metoda: po��t�n�: inverzn� matice]

\priklad
%%%%%%%%
Najdeme inverzn� matici k matici
$$
  \A=\pmatrix{a&b\cr c&d}.
$$
Ozna�me $\D$ matici dopl�k� k matici $\A$. V tomto p��pad� se dopl�ky
dob�e po��taj�, proto�e obsahuj� determinanty matic typu $(1,1)$:
$$
  \D = \pmatrix{d&-c\cr -b&a}, \quad
  \A^{-1} = {1\over\det\A}\,\D^T = 
  {1\over ad-bc}\pmatrix{d&-b\cr -c&a}.
$$

\priklad [pr-imatice-dop]
%%%%%%%%
Najdeme inverzn� matici ke stejn� matici, jako v
p��kladu\cite[metodainverse], tj. k matici
$$
  \catcode`+=13 \def+{\hphantom{-}}
  \A = \pmatrix{+1&2&3\cr-1&0&1\cr+2&2&1}.
$$
Dopl�ky nyn� budeme po��tat z determinant� matic typu $(2,2)$, co� u�
n�m d� trochu pr�ce.
$$
  \def\+{\hphantom{-}}
  \def\dmatrix#1,#2,#3,#4,{\vcenter{\kern2pt
     \hbox{$\left|\matrix{#1&#2\cr#3&#4}\right|$}\kern2pt}}
  \displaylines{
  \D = 
  \pmatrix{+\dmatrix 0,1,2,1,&-\dmatrix-1,1,\+2,1,&+\dmatrix-1,0,\+2,2,\cr
           -\dmatrix 2,3,2,1,&+\dmatrix 1,3,2,1,&-\dmatrix 1,2,2,2,\cr
           +\dmatrix 2,3,0,1,&-\dmatrix \+1,3,-1,1,&+\dmatrix \+1,2,-1,0,}
  = \pmatrix{-2&\+3&-2\cr\+4&-5&\+2\cr\+2&-4&\+2}, \cr
  \det\A = -2, \qquad \A^{-1} = {1\over\det\A}\,\B^T =
  -{1\over2} \pmatrix{-2&\+4&\+2\cr \+3&-5&-4\cr-2&\+2&\+2}.
}
$$
V�sledek m��eme srovnat s~v�sledkem v~p��kladu\cite[metodainverse].


\okraj Determinant a bloky | Determinant a bloky

\priklad
%%%%%%%%
Matici $\A\in\R^{2n,2n}$ rozd�lme na bloky typu $(n,n)$:
$$
  \A=\pmatrix{\A_1&\A_2\cr \A_3&\A_4}.
$$
Uk�eme, �e obecn� neplat� $\det\A = \det\A_1\,\det\A_4 - \det\A_2\,\det\A_3$.

Zvolme matici
$$
  \A=\pmatrix{1&0&0&0\cr0&0&1&0\cr0&1&0&0\cr0&0&0&1}
$$
Ta m� z�ejm� determinant roven m�nus jedn�. P�itom 
$\det\A_1\,\det\A_4 - \det\A_2\,\det\A_3 = 0-0=0$.

�e uveden� blokov� vzorec neplat�, n�s m��e napadnout i z po�tu sou�in�, kter�
obsahuje definice determinantu. Determinat matice z~$\R^{2n,2n}$ 
obsahuje $(2n)!$ sou�in�, zat�mco blokov� vzorec obsahuje jen
$2(n!)^2$ sou�in�. To je zcela jin� ��slo.

\priklad [detdvabloky]
%%%%%%%%
Matici $\A\in\R^{n,n}$ rozd�lme na bloky tak, �e $\A_1$ a
$\A_4$ jsou �tvercov� matice:
$$
  \A=\pmatrix{\A_1&\A_2\cr \O&\A_4}, 
$$
p�itom $\O$ je nulov� matice. Uk�eme, �e pak $\det\A = \det\A_1\,\det\A_4$.

Nech� blok $\A_1$ je typu $(m,m)$, kde $m<n$.
V matici $\A$ lze p�ev�st ��dkov�mi �pravami Gaussovy elimina�n�
metody blok $\A_1$ na
schodovitou matici. D� se to nav�c prov�st tak, 
�e matice $\A$ se zm�n� v~matici 
$\A'=(a'_{i,j})$ se stejn�m determinantem a pracujeme jen s prvn�mi
$m$ ��dky matice $\A$. Podle\cite[dettrojmatice] plat�
$\det\A_1 = a'_{1,1}\cdot a'_{2,2}\cdots a'_{m,m}$.
Dokazovan� vzorec je pak v�sledkem
opakovan�ho rozvoje determinantu matice $\A'$ 
podle prvn�ho sloupce, podle druh�ho sloupce, atd. a� podle 
$m$-t�ho sloupce.


\veta [detbloku]
%%%%%
Nech� matice $\A\in\R^{n,n}$ je rozd�lena do blok�
$$
  \A = \pmatrix {\A_{1,1}&\A_{1,2}&\A_{1,3}&\ldots&\A_{1,k}\cr
                 \O&\A_{2,2}&\A_{2,3}&\ldots&\A_{2,k}\cr
                 \O&\O&\A_{3,3}&\ldots&\A_{3,k}\cr
                   &  &       & \ldots & \cr
                 \O&\O&\O&\ldots&\A_{k,k}}
$$
tak, �e diagon�ln� bloky $\A_{i,i}$ jsou �tvercov� a $\O$ zna�� nulov�
bloky (obecn� r�zn�ch typ�). Pak 
$$\det\A = \det\A_{1,1}\cdot\det\A_{2,2}\cdots\det\A_{k,k}.$$

\dukaz
Analogicky, jako v p��kladu\cite[detdvabloky]. M�-li se to prov�st
po��dn�, je pot�eba pou��t indukci podle~$k$, p�i�em� argumenty 
v~p��kladu\cite[detdvabloky] poslou�� pro induk�n� krok.


\shrnuti
%%%%%%%%
Determinant �tvercov� matice je definov�n jako sou�et sou�in� prvk� 
matice opat�en�ch jist�m znam�nkem. Podrobn�ji viz\cite[ddet].

Determinant je mo�n� vypo��tat i rekurzivn�m algoritmem pomoc� v�ty 
o rozvoji determinantu podle ��dku �i sloupce~/\ncite[rozvojdet], 
\ncite[rozvojdoplnku]/. 

Determinant se nezm�n�, pokud modifikujeme matici tak, �e k~jednomu
��dku/sloupci p�i��t�me $\alpha$-n�sobek ��dku/sloupce
jin�ho. N�sob�me-li jeden ��dek/sloupec nenulovou konstantou, stejnou
konstantou je n�soben determinant. Prohod�me-li dva ��dky/sloupce,
determinant zm�n� znam�nko\lcite[zvdet]. 
D�ky t�mto vlastnostem m��eme hl�dat zm�ny
v determinantu p�i v�ech kroc�ch Gaussovy elimina�n� metody. Ta n�m
umo�n� p�ev�st matici na schodovitou, tedy horn� troj�heln�kovou matici. Ta m�
determinant roven sou�inu prvk� na diagon�le\lcite[dettrojmatice]. 
To n�m d�v� metodu na
po��t�n� determinant� pomoc� Gaussovy elimina�n� metody. Tato metoda
je v�po�tov� v�razn� m�n� n�ro�n� ne� u�it� definice nebo rekurzivn�ho
algoritmu, kter� vych�z� z v�ty o rozvoji\lcite[rozvojdet]. 

Determinant matice je nenulov�, pr�v� kdy� je matice regul�rn�\lcite[reguldet].

Determinant sou�inu matic je roven sou�inu determinant�\lcite[soucindet].

Inverzn� matici m��eme po��tat jako matici dopl�k�\lcite[doplnek]
transponovanou a n�sobenou p�evr�cenou hodnotou determinantu\lcite[A-1D].
To nen� efektivn� metoda, ale m� sv� teoretick� d�sledky, nap��klad
p�i d�kazu Cramerova pravidla\lcite[cramer] z~n�sleduj�c� kapitoly.

\icviceni 4


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola [soustavy] Soustavy line�rn�ch rovnic | Soustavy linearnich rovnic
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\definice [dsoustava]
%%%%%%%%%
Nech� $\A\in\R^{m,n}$ je matice re�ln�ch ��sel, nech� d�le 
$\vec x=(x_1, x_2, \ldots, x_n)^T$ je sloupcov� vektor symbol� 
a  $\vec b=(b_1, b_2, \ldots, b_m)^T\in\R^{m,1}$ je sloupcov� vektor
re�ln�ch ��sel. Pak maticovou rovnost
$$
  \A\cdot\vec x = \vec b
$$
nav�v�me {\em soustavou $m$ line�rn�ch rovnic o $n$ nezn�m�ch}.
Matici $\A$ naz�v�me {\em matic� soustavy} a vektor
$\vec b = (b_1, \ldots, b_m)^T$ naz�v�me 
{\em vektorem prav�ch stran}. P�ip��eme-li k~matici soustavy do
dal��ho sloupce vektor $\vec b$ odd�len� (pouze pro p�ehlednost)
svislou �arou, dost�v�me matici $(\A|\vec b)\in\R^{m,n+1}$, kterou
naz�v�me {\em roz���enou matic� soustavy}.
\inl[soustava: line�rn�ch: rovnic, line�rn�: soustava rovnic]
\inl[vektor: prav�ch stran, matice: soustavy]
\inl[matice: soustavy: roz���en�, roz���en�: matice: soustavy]

%\poznamka
%%%%%%%%%%
%Sloupcov� vektor $\vec x$ m��e obsahovat i jin� symboly ne� jen
%$x_1, x_2, \ldots, x_n$. T�eba $x,y,z$.

\definice [dreseni]
%%%%%%%%%
{\em �e�en�m soustavy\/} $\A\,\vec x = \vec b$ je takov� vektor 
$\vec v = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)^T \in \R^{n,1}$, pro 
kter� plat�: dosad�me-li hodnoty $\alpha_i$ za symboly $x_i$, pak
je spln�na po�adovan� maticov� rovnost, tj. 
$$
  \A\cdot\pmatrix{\alpha_1\cr\alpha_2\cr\vdots\cr\alpha_n} =
         \pmatrix{b_1\cr b_2\cr\vdots\cr b_m}.
  \rce(resenisoustavy)
$$ 
{\em �e�it soustavu\/} $\A\,\vec x = \vec b$ znamen� nal�zt v�echna jej�
�e�en�, tj. nal�zt podmno�inu $\R^{n,1}$ v�ech �e�en� t�to soustavy.
\inl[�e�en�: soustavy]

\poznamka [Rn=Rn1]
%%%%%%%%%
A�koli p�esn� �e�eno je mno�ina �e�en� podmno�inou sloupcov�ch vektor�
$\R^{n,1}$, �asto slo�ky t�chto �e�en� nakonec p��eme do ��dk� 
(viz izomorfismus zm�n�n� v pozn�mce\cite[radkovevektory]). Mluv�me tedy 
o~mno�in� �e�en� jako o podmno�in� $\R^n$. Jin�mi slovy, nedojde-li 
k nedorozum�n�, zapisujeme jednotliv� �e�en� soustavy 
$\vec v=(\alpha_1,\alpha_2, \ldots,\alpha_n)$ jako prvky z $\R^n$.

\okraj {}Frobeniova v�ta | Frobeniova veta

\veta (Frobeniova) * [frobeni]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Soustava $\A\,\vec x = \vec b$ m� �e�en� pr�v� tehdy, kdy�
$\hod\A = \hod (\A|\vec b)$, tj.~kdy� hodnost matice soustavy se rovn� 
hodnosti roz���en� matice soustavy.
\inl[v�ta: Frobeniova, Frobeniova: v�ta]

\dukaz
%%%%%%
Vektor $\vec v = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)^T$ je �e�en�m soustavy
$\A\,\vec x = \vec b$ pr�v� tehdy, kdy� plat�\cite(resenisoustavy). 
To znamen�, �e sloupec $\vec b$ je line�rn� kombinac� sloupc�
matice $\A$ s~koeficienty $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$. 
To plat� pr�v� tehdy, kdy� 
$$
  \hod \pmatrix{\A^T \cr \vec b^T} = \hod\A^T.
$$
Proto�e plat� v�ta\cite[hA=hAT], je Frobeniova v�ta dok�z�na.

\poznamka
%%%%%%%%%
V �vodn� kapitole o Gaussov� elimina�n� metod� jsme vlastn� nev�domky
vyslovili Frobeniovu v�tu.  V t�to kapitole jsme si ��kali, jak
pozn�me, �e soustava m� �e�en�. Mluvili jsme tam o~tom, �e soustava
nem� �e�en� pr�v� tehdy, kdy� posledn� ��dek roz���en� matice soustavy
po p��m�m chodu eliminace je tvaru
$$
   (0\quad 0\quad\cdots\quad 0 \enspace|\enspace c), \quad c\not=0.
$$
Vzpomeneme-li si na metodu po��t�n� hodnosti z p��kladu\cite[AsimB],
vid�me, �e existence takov�ho ��dku je ekvivalentn� s t�m, �e
roz���en� matice soustavy m� o jedni�ku v�t�� hodnost, ne� matice 
soustavy. Uv�dom�me si je�t�, �e hodnost roz���en� matice soustavy 
m��e b�t bu� o jedni�ku v�t�� nebo p��mo rovna hodnosti matice
soustavy. ��dn� jin� mo�nost pro hodnosti t�chto matic neexistuje.

\definice [eqsoust]
%%%%%%%%%
Nech� $\A\,\vec x = \vec b$ je soustava $m$ line�rn�ch rovnic o $n$
nezn�m�ch a $\C\,\vec x = \vec d$ je soustava $k$ line�rn�ch rovnic
o~stejn�m po�tu $n$ nezn�m�ch. ��k�me, �e tyto soustavy jsou 
{\em ekvivalentn�}, pokud ob� soustavy maj� stejn� mno�iny �e�en�.
\inl[soustava: ekvivalentn�, ekvivalentn�: soustava]

\okraj Princip\hb elimina�n� metody | Princip eliminacni metody

\poznamka
%%%%%%%%%
Gaussova elimina�n� metoda �e�en� soustav line�rn�ch rovnic popsan� 
v~�vodn� kapitole spo��v� v~p�eveden� soustavy 
$\A\,\vec x = \vec b$ na soustavu $\C\,\vec x = \vec d$, 
kter� je s p�vodn� soustavou rovnic ekvivalentn�. P�itom �e�en�
soustavy $\C\,\vec x = \vec d$ lze nal�zt snadn�ji, proto�e
$\C$ je schodovit� matice (srovnejte v�tu\cite[simhornitroj]).
Tuto skute�nost zaznamen�me do n�sleduj�c� v�ty.
\inl[GEM, metoda: elimina�n�: Gaussova, Gaussova: elimina�n� metoda]

\veta [exeqsoust]
%%%%%
Ke ka�d� soustav� $\A\,\vec x = \vec b$ lze nal�zt ekvivalentn�
soustavu $\C\,\vec x = \vec d$, jej�� matice $\C$ je schodovit�.
\inl[matice: schodovit�, schodovit� matice]

\dukaz
%%%%%%
Podle v�ty\cite[simhornitroj] lze nal�zt $(\C|\vec d)$ takovou, �e
$(\A|\vec b)\sim(\C|\vec d)$, a p�itom $\C$ je
schodovit� matice. Proto�e operace \uv{$\sim$} zde ozna�uje
kone�n� mnoho element�rn�ch krok� Gaussovy elimina�n� metody, a
proto�e jsme si �ekli v �vodn� kapitole, �e tyto element�rn� kroky
nem�n� mno�inu �e�en� odpov�daj�c� soustavy, je soustava
$\C\,\vec x = \vec d$ ekvivalentn� s p�vodn� soustavou 
$\A\,\vec x = \vec b$.

\okraj �e�en� homogenn� soustavy | Reseni homogenni soustavy

\definice [dhomo]
%%%%%%%%%
Existuje-li v matici $\vec b$ aspo� jeden prvek nenulov�, ��k�me, �e
je soustava line�rn�ch rovnic $\A\,\vec x = \vec b$ 
{\em nehomogenn�}. 
Jsou-li v�echny prvky v matici $\vec b$ nulov�, naz�v�me soustavu rovnic
{\em homogenn�} a zapisujeme ji takto:
$$
  \A\,\vec x = \vec o \qquad
  \hbox{(symbolem $\vec o\in\R^{m,1}$ zde zna��me sloupcov� nulov� vektor).} 
$$
\par\inl[homogenn�: soustava: rovnic, soustava: rovnic: homogenn�]
\inl[nehomogenn�: soustava: rovnic, soustava: rovnic: nehomogenn�]

\veta* [homolinprst]
%%%%%
Mno�ina v�ech �e�en� homogenn� soustavy $\;\A\,\vec x = \vec o\;$ s~$n$
nezn�m�mi tvo�� line�rn� podprostor line�rn�ho prostoru $\R^n$.

\dukaz
%%%%%%
V�ta by spr�vn� m�la zn�t: mno�ina �e�en� homogenn� soustavy tvo��
line�rn� podprostor line�rn�ho prostoru $\R^{n,1}$, ov�em v~souladu 
s~pozn�mkou\cite[Rn=Rn1] nebudeme rozli�ovat mezi $\R^{n,1}$ a $\R^n$.

P�edev��m mno�ina �e�en� homogenn� soustavy je nepr�zdn�, proto�e
nulov� vektor v~$\R^{n,1}$ je samoz�ejm� �e�en�m t�to soustavy.

Podle definice\cite[dlpp] mus�me d�le dok�zat: (1) jsou-li $\vec u\in\R^{n,1}$ a
$\vec v\in\R^{n,1}$ �e�en� soustavy $\A\,\vec x = \vec o$, pak t� 
$\vec u + \vec v$ je �e�en�m stejn� soustavy.
(2) je-li $\vec u\in\R^{n,1}$ �e�en�m soustavy $\A\,\vec x = \vec o$ 
a $\alpha\in\R$, pak t� $\alpha\,\vec u$ je �e�en�m stejn� soustavy.

Proto�e $\vec u$ a $\vec v$ jsou �e�en� soustavy 
$\A\,\vec x = \vec o$, plat�: $\A\,\vec u = \vec o$ a 
$\A\,\vec v = \vec o$. M�me dok�zat, �e pak tak� 
$\A\,(\vec u+\vec v) = \vec o\,$ a $\,\A\,(\alpha\,\vec u) = \vec o$.
Podle v�ty\cite[soucinAB-vlastnosti] je 
$$
  \displaylines{
  \A\,(\vec u+\vec v) = \A\,\vec u + \A\,\vec v = \vec o +
  \vec o = \vec o,  \cr
  \A\,(\alpha\,\vec u) = \alpha\,\A\,\vec u = \alpha\,\vec o =
  \vec o.}
$$

\priklad [homoprikl]
%%%%%%%%
Najdeme mno�inu v�ech �e�en� homogenn� soustavy line�rn�ch rovnic se
�esti nezn�m�mi:
$$
  \soustava{x_1 +\1x_2 + 2x_3 + 3x_4 + 3x_5 + 3x_6 = 0 \cr
            x_1 +\1x_2 +\1x_3 + 3x_4 +\1x_5 +\1x_6 = 0 \cr
           2x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 6x_4 + 2x_5 + 8x_6 = 0 }
$$
Eliminujeme matici soustavy (vektor prav�ch stran je nulov�, tak�e je
zbyte�n� jej ps�t).
$$
  \def\+{\kern3pt}
  \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \cr
          1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 \cr
          2 & 2 & 2 & 6 & 2 & 8 } \sim
  \matice{1 &\+1 & 2 &\+3 & 3 & 3 \cr
          0 & 0 &-1 & 0 &-2 &-2 \cr
          0 & 0 &-2 & 0 &-4 & 2 } \sim
  \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \cr
          0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 \cr
          0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 }.
$$ 
Z posledn� rovnice budeme po��tat $x_6$, z p�edposledn� rovnice $x_3$
a z prvn� rovnice $x_1$. Hodnoty nezn�m�ch $x_2, x_4, x_5$ mohou b�t
libovoln�. Zave�me pro n� parametry $x_2=t$, $x_4=u$, $x_5=v$. 
Z posledn� rovnice vych�z� jedin� $x_6=0$, z p�edposledn� rovnice 
m�me $x_3 = -2v$ a
kone�n� z prvn� rovnice dost�v�me $x_1 = -t +4v -3u -3v = -t +v -3u$.
V�sledek sumarizujeme takto:
$$\eqalign{
  (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) &= 
  (-t +v -3u,\; t,\; -2v,\; u,\; v,\; 0) =\cr
   &= t\,(-1,1,0,0,0,0) + u\,(-3,0,0,1,0,0) + v\,(1,0,-2,0,1,0). }
$$
Z tohoto z�pisu vypl�v�, �e mno�ina v�ech �e�en� dan� homogenn�
soustavy je mno�inou v�ech line�rn�ch kombinac� uveden�ch t�� vektor�,
co� m��eme zapsat pomoc� line�rn�ho obalu takto:
$$
  M_0 = \bigl<(-1,1,0,0,0,0), (-3,0,0,1,0,0), (1,0,-2,0,1,0)\bigr>.
$$

\poznamka
%%%%%%%%%
Proto�e uveden� t�i vektory z v�sledku p��kladu\cite[homoprikl] jsou
line�rn� nez�visl�, tvo�� jednu z mo�n�ch b�z� prostoru $M_0$.
To se nestalo n�hodou, ale plat� to v�dy, jak ukazuje n�sleduj�c�
v�ta.

\veta [homoveta]
%%%%%
Nech� $\A\,\vec x = \vec o$ je homogenn� soustava line�rn�ch rovnic
o~$n$ nezn�m�ch, $k=n-\hod\A$. Pak existuje $k$ line�rn� nez�visl�ch
vektor� $\vecc u_k$ z~$\R^n$ takov�ch, �e pro mno�inu $M_0$ v�ech 
�e�en� soustavy $\A\,\vec x = \vec o$ plat�
$$
  M_0 = \lob<\vecc u_k>.
$$
Vektory $\vecc u_k$ tvo�� jednu z mo�n�ch b�z� line�rn�ho
prostoru v�ech �e�en�~$M_0$.

\dukaz
%%%%%%
Vektory $\vecc u_k$ najdeme analogicky, jako jsme to ud�lali
v~p��kladu\cite[homoprikl]. Algoritmus\cite[metodahodnosti] zaru�uje, �e
po�et rovnic soustavy po eliminaci je roven $\hod\A$ a je roven po�tu
nezn�m�ch, kter� m��eme z rovnic vypo��tat. Ostatn�ch $k=n-\hod\A$
nezn�m�ch $x_{i_1}, x_{i_2}, \ldots, x_{i_k}$ 
m��e nab�vat libovoln�ch hodnot a zave�me pro n� parametry 
$x_{i_1}=p_1, x_{i_2}=p_2, \ldots, x_{i_k}=p_k$.
V�echna �e�en� z�sk�me nap��klad dosazovac� 
metodou pou�itou na rovnice po eliminaci (za��n�me posledn� rovnic� 
a kon��me prvn�). Z~tohoto �e�en� m��eme vytknout parametry:
$$
  (x_1, x_2, \ldots, x_n) = \lkvecc p.u_k
  \rce(uhomo)
$$
a dost�v�me hledan� vektory $\vecc u_k$. Z uveden� rovnosti 
a z definice line�rn�ho obalu\cite[linobal] p��mo
plyne, �e pro mno�inu v�ech �e�en� plat� $M_0 = \lob<\vecc u_k>$.

Zb�v� dok�zat, �e vektory $\vecc u_k$ jsou line�rn� nez�visl�.
Ozna�me $\vec u'_1\in\R^k$, $\vec u'_2\in\R^k, \ldots,$ $\vec u'_k\in\R^k$
ty ��sti vektor� $\vecc u_k$, kter� obsahuj�
jen slo�ky $i_1, i_2, \ldots, i_k$. Proto�e plat� rovnost\cite(uhomo)
a tak� plat� ozna�en� $x_{i_1} = p_1, x_{i_2}=p_2, \ldots,
x_{i_k}=p_k$, dost�v�me
$$
  \vec u'_1 = (1,0,0, \ldots,0),\quad 
  \vec u'_2 = (0,1,0, \ldots,0),\quad \ldots,\quad
  \vec u'_k = (0,0,0, \ldots,1).
$$
Toto jsou line�rn� nez�visl� vektory. Z toho plyne, �e jsou line�rn�
nez�visl� i vektory $\vecc u_k$, proto�e $\vecc {u'}_k$ jsou jejich ��sti. 
 
Z�v�re�n� tvrzen� v�ty, �e vektory $\vecc u_k$ tvo�� b�zi prostoru
�e�en� homogenn� soustavy, plyne p��mo z definice b�ze\cite[dbase].

\veta* [dimhomo]
%%%%%
Nech� $M_0$ je line�rn� prostor v�ech �e�en� homogenn� soustavy
line�rn�ch rovnic $\A\,\vec x = \vec o$ s~$n$ nezn�m�mi. 
Pak $\dim M_0 = n - \hod\A$.

\dukaz
%%%%%%
V�ta je p��m�m d�sledkem p�edchoz� v�ty\cite[homoveta].

\poznamka
%%%%%%%%%
Nech� $n$ je po�et nezn�m�ch homogenn� soustavy $\A\,\vec x = \vec o$.
Pak z v�ty\cite[dimhomo] plyne tento d�sledek:
$$\eqalign{
  \hod\A = n &\quad \hbox{pak soustava m� jen nulov� �e�en�},\cr
  \hod\A < n &\quad \hbox{pak soustava m� nekone�n� mnoho �e�en�}.}
$$


\okraj �e�en� nehomogenn� soustavy | Reseni nehomogenni soustavy

\definice [partikul]
%%%%%%%%%
Nech� $\A\,\vec x = \vec b$ je nehomogenn� soustava line�rn�ch rovnic
o~$n$ nezn�m�ch a $\vec v\in\R^n$ je n�jak� jedno jej� �e�en�. Takov�mu
�e�en� $\vec v$ ��k�me {\em partikul�rn� �e�en�\/} nehomogenn�
soustavy. 

Pokud zam�n�me sloupcov� vektor $\vec b$ za nulov� vektor stejn�ho typu, 
dost�v�me homogenn� soustavu $\A\,\vec x = \vec o$, kterou
naz�v�me {\em p�idru�enou homogenn� soustavou\/} k~soustav�
$\A\,\vec x = \vec b$.
\inl[soustava: rovnic: nehomogenn�, nehomogenn�: soustava rovnic]
\inl[�e�en�: soustavy: patrikul�rn�, partikul�rn�: �e�en� soustavy]
\inl[soustava: homogenn�: p�idru�en�, p�idru�en� homogenn� soustava]

\veta [nehomoprst]
%%%%%
{(1)} Nech� $\vec v$ je partikul�rn� �e�en� nehomogenn� soustavy 
$\A\,\vec x = \vec b$ a $\vec u$ je libovoln� �e�en� p�idru�en�
homogenn� soustavy $\A\,\vec x = \vec o$. Pak $\vec v + \vec u$ je
tak� �e�en�m soustavy $\A\,\vec x = \vec b$.

(2) Nech� $\vec v$ a $\vec w$ jsou dv� partikul�rn� �e�en� nehomogenn�
soustavy $\A\,\vec x = \vec b$. Pak $\vec v - \vec w$ je �e�en�m
p�idru�en� homogenn� soustavy $\A\,\vec x = \vec o$.

\dukaz
%%%%%%
(1) Podle p�edpokladu plat� $\A\,\vec v = \vec b$, 
$\A\,\vec u = \vec o$. Pro sou�et $\vec v + \vec u$ pak plat�
$$
  \A\,(\vec v + \vec u) = \A\,\vec v + \A\,\vec u = 
  \vec b + \vec o = \vec b.
$$
(2) Podle p�edpokladu plat� $\A\,\vec v = \vec b$, 
$\A\,\vec w = \vec b$. Pro rozd�l $\vec v - \vec w$ pak plat�
$$
  \A\,(\vec v - \vec w) = \A\,\vec v - \A\,\vec w =
  \vec b - \vec b = \vec o.
$$

\veta* [partikul+obal]
%%%%%
Nech� $\vec v$ je partikul�rn� �e�en� soustavy $\A\,\vec x = \vec b$ a
$M_0$ je line�rn� prostor v�ech �e�en� p�idru�en� homogenn� soustavy
$\A\,\vec x = \vec o$. Pak pro mno�inu $M$ v�ech �e�en� soustavy 
$\A\,\vec x = \vec b$ plat�
$$
  M = \bigl\{\vec v + \vec u;\enspace \vec u\in M_0\bigr\}.
$$

\dukaz
%%%%%%
Z vlastnosti (1) v�ty\cite[nehomoprst] plyne, �e 
$\{\vec v + \vec u;\enspace \vec u\in M_0\} \subseteq M$. Sta��
dok�zat obr�cenou inkluzi. Pokud $\vec w\in M$, pak podle vlastnosti
(2) v�ty\cite[nehomoprst] existuje $\vec u = \vec w - \vec v \in M_0$,
tak�e $\vec w\in \{\vec v + \vec u;\enspace \vec u\in M_0\}$. Plat�
tedy i obr�cenn� inkluze.

\poznamka [v+M0]
%%%%%%%%%
Mno�inu v�ech �e�en� nehomogenn� soustavy line�rn�ch rovnic zapisujeme
v�t�inou zjednodu�en� jako sou�et partikul�rn�ho �e�en� a line�rn�ho
prostoru v�ech �e�en� p�idru�en� homogenn� soustavy takto:
$$
  M = \vec v + M_0 = \vec v + \lob<\vecc u_k>.
  \rce(nehomoreseni)
$$
�e�it nehomogenn� soustavu tedy znamen� 
naj�t partikul�rn� �e�en� $\vec v$ a d�le naj�t
$k$ line�rn� nez�visl�ch �e�en� p�idru�en� homogenn�
soustavy $\vecc u_k$ ($k$ je rovno po�tu nezn�m�ch m�nus hodnost
matice soustavy). 
V�sledek je obvykl� ps�t ve tvaru\cite(nehomoreseni).

\priklad [nehomoruc]
%%%%%%%%
Najdeme mno�inu v�ech �e�en� soustavy line�rn�ch rovnic se
�esti nezn�m�mi:
$$
  \soustava{x_1 +\1x_2 + 2x_3 + 3x_4 + 3x_5 + 3x_6 =& 1 \cr
            x_1 +\1x_2 +\1x_3 + 3x_4 +\1x_5 +\1x_6 =& \!\!-1 \cr
           2x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 6x_4 + 2x_5 + 8x_6 =& 10 }
$$
Eliminujeme roz���enou matici soustavy.
$$
  \def\+{\kern3pt} \def\|{\kern4pt\strut\vrule}\!
  \thickmuskip=3mu
  \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \|&  1 \cr
          1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 \|& -1 \cr
          2 & 2 & 2 & 6 & 2 & 8 \|& 10 } \sim
  \matice{1 &\+1 & 2 &\+3 & 3 & 3 \|&  1 \cr
          0 & 0 &-1 & 0 &-2 &-2   \|& -2  \cr
          0 & 0 &-2 & 0 &-4 & 2   \|&  8 } \sim
  \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \|& 1 \cr
          0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 \|& 2 \cr
          0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \|& 12 } \sim
  \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \|& 1 \cr
          0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 \|& 2 \cr
          0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \|& 2 }.\!
$$ 

Z posledn� rovnice budeme po��tat $x_6$, z p�edposledn� rovnice $x_3$
a z prvn� rovnice $x_1$. Hodnoty nezn�m�ch $x_2, x_4, x_5$ mohou b�t
libovoln�. Zave�me pro n� parametry $x_2=t$, $x_4=u$, $x_5=v$. 

Z posledn� rovnice m�me $x_6=2$, z p�edposledn� rovnice 
$x_3 = 2 -2v -2\cdot2 = -2 -2v$ a
kone�n� z~prvn� rovnice dost�v�me 
$x_1 = 1 -t -2(-2-2v) -3u -3v -3\cdot2 = -1 -t +v -3u$.
V�sledek sumarizujeme takto:
$$\eqalign{
  (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) &= (-1 -t +v -3u, t, -2 -2v, u, v, 2) =\cr
   &= (-1,0,-2,0,0,2) + 
      t\,(-1,1,0,0,0,0) + u\,(-3,0,0,1,0,0) + v\,(1,0,-2,0,1,0). }
$$
Z tohoto z�pisu vypl�v�, �e mno�ina v�ech �e�en� dan� nehomogenn�
soustavy je rovna
$$
  M = (-1,0,-2,0,0,2) + 
      \bigl<(-1,1,0,0,0,0), (-3,0,0,1,0,0), (1,0,-2,0,1,0)\bigr>.
$$
Vektor $(-1,0,-2,0,0,2)$ je partikul�rn�m �e�en�m dan� nehomogenn� soustavy a 
vektory $(-1,1,0,0,0,0)$, $(-3,0,0,1,0,0)$, $(1,0,-2,0,1,0)$ tvo��
b�zi prostoru �e�en� p�idru�en� homogenn� soustavy.

\poznamka
%%%%%%%%%
Ve v��e uveden�m p��klad� jsem spo��tali partikul�rn� �e�en� i b�zi
mno�iny �e�en� p�idru�en� homogenn� soustavy v jedin�m postupu. �asto
ale takov�to line�rn� �lohy �e��me ve dvou kroc�ch. Nejprve najdeme
b�zi �e�en� p�idru�en� homogen� soustavy (to jsme provedli 
v~p��kladu\cite[homoprikl]) a pot� je t�eba \uv{uhodnout} jedno �e�en�
dan� nehomogen� soustavy. Takov� �e�en� prohl�s�me za partikul�rn�
�e�en�. Nakonec zap��eme v�sledek v souladu s pozn�mkou\cite[v+M0]
ve form� \uv{partikul�rn� �e�en� plus
line�rn� obal b�ze mno�iny �e�en� p�idru�en� homogenn� soustavy}.

Partikul�rn� �e�en� m��eme naj�t po p��m�m chodu elimina�n� metody, 
kdy� rozhodneme, kter� prom�n� budeme pomoc� rovnic po��tat. T�m ostatn�m prom�n�m 
m��eme p�id�lit jak�koli ��sla, t�eba nuly. Po dosazen� t�chto ��sel
vznik� soustava, kter� m� stejn� rovnic jako nezn�m�ch a m� regul�rn� 
matici, tedy m� jedin� �e�en�. Toto �e�en� obsahuje hodnoty hledan�ch
prom�nn�ch.

T�eba v p��klad�\cite[nehomoruc] jsme rozhodli, �e budeme po��tat
prom�nn� $x_1, x_3, x_6$, tak�e p�i hled�n� partikul�rn�ho �e�en�
prom�nn�m $x_2, x_4, x_5$ p�id�l�me t�eba nuly. Po dosazen� t�chto nul
dost�v�me soustavu s matic�
$$
  \def\|{\kern4pt\strut\vrule}
  \matice{1 & 2 & 3 \|& 1 \cr
          0 & 1 & 2 \|& 2 \cr
          0 & 0 & 1 \|& 2 }.\!
$$
Nyn� m��eme pou��t zp�tn� chod Gaussovy elimina�n� metody nebo po��tat
dosazovac� metodou od posledn� rovnice k prvn�. Dost�v�me �e�en�
$x_1=-1, x_3=-2, x_6=2$, tak�e partikul�rn�m �e�en�m je $(-1,0,-2,0,0,2)$.

\okraj Strojov�\hb �e�en�\hb soustav | Strojove reseni soustav

\poznamka %{\it O strojov�m zpracov�n� soustav line�rn�ch rovnic}.
%%%%%%%%%
P�i strojov�m hled�n� �e�en� rozs�hl�ch soustav v�t�inou jde o to naj�t jedno
partikul�rn� �e�en� a b�zi prostoru �e�en� p�idru�en� homogenn�
soustavy. P�itom nen� nutn� programovat symbolick� v�po�ty, jako je
nap��klad vyt�k�n� parametr� podle rovnosti\cite(uhomo). 
V n�sleduj�c�m textu uk�eme, �e sta�� vyu��t Gaussovu
elimina�n� metodu.

K nalezen� b�ze p�idru�en� homogenn� soustavy m��eme pou��t
n�sleduj�c� v�tu\cite[genbasehomo] a k nalezen� partikul�rn�ho 
�e�en� vyu�ijeme v�tu\cite[genpartikul].

\veta [genbasehomo]
%%%%%
Nech� homogenn� soustava line�rn�ch rovnic $\A\vec x = \vec o$ m�
matici soustavy ve tvaru $$\A=(\E\,|\,\C),$$ 
kde $\E\in\R^{m,m}$ je jednotkov� matice
a $\C\in\R^{m,k}$ je libovoln� matice. 
Pak existuje b�ze �e�en� t�to soustavy $\vecc b_k$, 
kter� m� tvar:
$$
  \pmatrix {\vec b_1\cr \vec b_2\cr \vdots \cr \vec b_k} = (-\C^T \,|\, \E'), 
$$
kde $\E'\in\R^{k,k}$ je jednotkov� matice.

\dukaz
Nejprve p�ekontrolujeme rozm�ry matic. Nech� po�et nezn�m�ch soustavy
je $n$, tak�e matice soustavy $\A$ je typu $(m,n)$. Po�et sloupc� $n$
t�to matice se skl�d� z~$m$ sloupc� (matice $\E$) a $k$ sloupc�
(matice $\C$). Je tedy $n=m+k$. Dimenze prostoru �e�en� je podle 
v�ty\cite[dimhomo] rovna po�tu nezn�m�ch minus $\hod\A$, co� je $n-m=k$. To
sed�. Skute�n� matice $\B=(-\C^T|\E')$ m� $k$ ��dk� a tyto jsou
line�rn� nez�visl� (d�ky matici $\E'$). Matice $\B$ tedy m��e
obsahovat ��dky b�ze prostoru �e�en�. Sta�� jen ov��it, �e ka�d� ��dek
matice $\B$ �e�� soustavu $\A\vec x = \vec o$. Tj. sta�� ov��it, �e
$\A\cdot\B^T={\bf O}$, kde ${\bf O}$ je nulov� matice typu $(m,k)$:
$$
  \A\cdot\B^T = 
  (\E\,|\,\C)\cdot \pmatrix{-\C\cr\noalign{\smallskip\hrule\smallskip}\E'} =
  \E\cdot(-\C) + \C\cdot\E' = -\C+\C = {\bf O}.
$$

\poznamka
%%%%%%%%%
Tato v�ta n�m umo��uje rovnou napsat b�zi �e�en� homogenn� soustavy,
pokud je matice soustavy v uveden�m tvaru. Dokonce, pokud
matice soustavy nen� v uveden�m tvaru, je n�kdy mo�n� j� eliminac� do
tohoto tvaru p�ev�st, tj. ekvivalentn� soustava m��e m�t tento tvar.
Pokud ani ekvivalentn� soustava nem� tento tvar, d� se prohozen�m
po�ad� nezn�m�ch dosp�t k po�adovan�mu tvaru matice soustavy. 
V takov�m p��pad� je ov�em nutn� p�ed zaps�n�m b�ze prostoru �e�en�
prohodit sloupce matice $\B=(-\C^T|\E')$ zp�t. M�sto dlouh�ho
vysv�tlov�n� uk�eme pou�it� v�ty na na�em p��kladu\cite[homoprikl].

\priklad [homostroj]
%%%%%%%%
Najdeme b�zi prostoru �e�en� soustavy
z p��kladu\cite[homoprikl].
Eliminujeme matici soustavy:
$$
  \def\+{\kern3pt} \def\|{\kern4pt\strut\vrule}\!
  \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3  \cr
          1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1  \cr
          2 & 2 & 2 & 6 & 2 & 8  } \sim
  \matice{1 &\+1 & 2 &\+3 & 3 & 3 \cr
          0 & 0 &-1 & 0 &-2 &-2   \cr
          0 & 0 &-2 & 0 &-4 & 2  } \sim
  \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \cr
          0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 \cr
          0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6  } \sim
  \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \cr
          0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 \cr
          0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1  }.
$$
Eliminujeme d�le zp�tn�m chodem, abychom ve sloupc�ch 1, 3 a 6 dostali jednotkov�
vektory:
$$
  \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \cr
          0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 \cr
          0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1  } \sim
  \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 0 \cr
          0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \cr
          0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1  } \sim
  \matice{1 &\ 1 &\ 0 &\ 3 & -1 &\ 0 \cr
          0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \cr
          0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1  } .
$$
Prohod�me druh� sloupec s t�et�m a posledn� sloupec s nov�m t�et�m
(m�n�me po�ad� prom�nn�ch)
$$
  \matice{1 &\ 0 &\ 0 &\ 3 & -1 &\ 1 \cr
          0 & 1 & 0 & 0 & 2 &  0 \cr
          0 & 0 & 1 & 0 & 0 &  0 } 
$$
a dost�v�me matici podle p�edpokladu v�ty\cite[genbasehomo]. B�zi �e�en� soustavy 
s takovou matic� m��eme podle t�to v�ty zapsat do matice, kde ka�d� ��dek
obsahuje jeden vektor b�ze:
$$
  \matice { -3 &  0 &\ 0 &\ 1 &\ 0 &\ 0 \cr
             1 & -2 & 0 & 0 & 1 & 0 \cr
            -1 &  0 & 0 & 0 & 0 & 1 }.
$$
Zp�tn� p�ehod�me posledn� sloupec s t�et�m a druh� s nov�m t�et�m
a dost�v�me matici, obsahuj�c� (po ��dc�ch) b�zi �e�en� p�vodn� soustavy
$$
  \matice { -3 &\ 0 &  0 &\ 1 &\ 0 &\ 0 \cr
             1 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \cr
            -1 & 1 &  0 & 0 & 0 & 0 }.
$$

\veta [genpartikul]
%%%%%
Nech� soustava line�rn�ch rovnic $\A\vec x=\vec b$ m� matici soustavy
ve tvaru $$\A=(\E\,|\,\C),$$ kde $\E\in\R^{m,m}$ je jednotkov� matice
a $\C\in\R^{m,k}$ je libovoln� matice. Pak partikul�rn�m �e�en�m
soustavy je vektor $\vec v=(\vec b^T,\vec o)$, kde $\vec o\in\R^k$ je
nulov� vektor.

\dukaz
%%%%%%
Sta�� dosadit: $$\A\cdot\pmatrix{\vec b\cr\vec o}=
(\E\,|\,\C)\pmatrix{\vec b\cr\vec o} = \E\vec b + \C\vec o = \vec b.$$

\priklad [pstroj]
%%%%%%%%
V tomto p��klad� si uk�eme \uv{strojov�} �e�en� soustav
line�rn�ch rovnic s vyu�it�m v�t\cite[genbasehomo]
a\cite[genpartikul]. K �e�en� nepot�ebujeme nic jin�ho ne� dob�e
namazan� stroj zvl�daj�c� p��m� a zp�tn� chod Gaussovy elimina�n�
metody.

Najdeme mno�inu �e�en� soustavy line�rn�ch rovnic s roz���enou matic�:
$$
  \def\+{\kern3pt} \def\|{\kern4pt\strut\vrule}\!
  \thickmuskip=3mu
  \matice{1 & \+1 & -1 & \+11 & \+1 \|&  3 \cr
          1 & 2 & 2 & 8 & 2 \|& 5 \cr
          2 & 5 & 7 & 17 & 6 \|& 18 \cr
          3 & 6 & 6 & 28 & 7 \|& 21 }
$$

Pomoc� p��m�ho chodu elimina�n� metody matici p�evedeme na schodovitou
matici. Po prohozen� t�et�ho sloupce s posledn�m pak dost�v�me matici,
na kter� m��eme pou��t zp�tn� chod Gaussovy elimina�n� metody 
tak, �e v lev�m bloku dostaneme jednotkovou matici. Nad matici jsme si
poznamenali zm�n�n� po�ad� prom�n�ch.
$$
  \def\+{\kern3pt} \def\|{\kern4pt\strut\vrule}\!
  \thickmuskip=3mu
  \!\matice{1 & \+1 & -1 & \+11 & \+1 \|&  3 \cr
          1 & 2 & 2 & 8 & 2 \|& 5 \cr
          2 & 5 & 7 & 17 & 6 \|& 18 \cr
          3 & 6 & 6 & 28 & 7 \|& 21 } \sim
  \mathop{\matice{1 & \+1 & -1 & \+11 & \+1 \|&  3 \cr
          0 & 1 & 3 & -3 & 1 \|& 2 \cr
          0 & 0 & 0 & 4 & 1 \|& 6 }}  
  \limits^{\vbox{\hbox to90pt
    {$x_1\hss x_2\hss x_3\hss x_4\hss x_5$\kern 18pt}\kern3pt}} 
  {\!\leftrightarrow\!}
  \mathop{\matice{1 & \+1 & \+1 & \+11 & -1 \|&  3 \cr
          0 & 1 & 1 & -3 & 3 \|& 2 \cr
          0 & 0 & 1 & 4 & 0 \|& 6 }}
  \limits^{\vbox{\hbox to90pt
    {$x_1\hss x_2\hss x_5\hss x_4\hss x_3$\kern 18pt}\kern3pt}}  
  \sim
  \matice{1 & \+0 & \+0 & \+14 & -4 \|&  1 \cr
          0 & 1 & 0 & -7 & 3 \|& -4 \cr
          0 & 0 & 1 & 4 & 0 \|& 6 } \!
$$
Podle v�ty\cite[genbasehomo] m� tato soustava b�zi �e�en� p�idru�en�
homogen� soustavy zapsanou v ��dc�ch matice:
$$
  (-\C^T\,|\,\E') = \matice{-14 & 7 & -4 & \+1 & \+0 \cr
                             4 &  -3 & 0 & 0 & 1}
$$
a podle v�ty\cite[genpartikul] je partikul�rn� �e�en� ve tvaru
$(1, -4, 6, 0, 0)$. 
Po zp�tn�m p�ehozen� sloupc� tak, abychom popsali v�sledek pro
nezn�m� v po�ad� $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ dost�v�me �e�en�:
$$
  (1,-4,0,0,6) + \lob<(-14,7,0,1,-4),\, (4,-3,1,0,0)>,
$$
kter� jsme zapsali jako sou�et partikul�rn�ho �e�en� a 
line�rn�ho obalu b�ze mno�iny �e�en� p�idru�en� homogenn� soustavy,
tedy v souladu s pozn�mkou\cite[v+M0].



\okraj Geometrick� interpretace\hb mno�iny\hb �e�en� | 
       Geometricka interpretace mnoziny reseni

\dolu 2mm
\obrazek .5+.02 11 obr6
{
  \p 18 200 {\varrho}
  \p 95 200 {\varrho'}
  \p 45 120 \vec v
  \p 97 55 O
  \p 100 105 \vec u_1
  \p 85 103 \vec u_2
  \p 23 152 \vec u_1
  \p 7 175 \vec u_2
}
\poznamka [geomnadroviny]
%%%%%%%%%
P�edstavme si soustavu line�rn�ch rovnic se t�emi nezn�m�mi a 
s~jedinou nenulovou rovnic�. Pokud interpretujeme ka�dou
uspo��danou trojici, kter� je �e�en�m soustavy, jako sou�adnice bodu 
v~geometrick�m prostoru, pak mno�ina v�ech t�chto bod� vypln� rovinu.
V p��pad�, �e je na�e soustava homogenn�, pak mno�ina �e�en� tvo��
line�rn� podprostor dimenze $3-1=2$, tj. vypln� rovinu $\varrho'$
proch�zej�c� po��tkem~$O$, tj. bodem se sou�adnicemi $(0,0,0)$. 
V p��pad�, �e soutava m� nenulovou pravou stranu, pak mno�inou �e�en� je
rovina, kter� neproch�z� po��tkem. Je to rovina $\varrho$ rovnob�n� s mno�inou
�e�en� p�idru�en� homogenn� soustavy $\varrho'$ a proch�z� bodem, kter� je d�n
jako partikul�rn� �e�en� $\vec v$. Viz obr�zek.
{\emergencystretch=2em\par}

\dolu 2mm
\obrazek .5+.02 11 obr7
{
  \p 18 200 {\varrho}
  \p 90 135 {\sigma}
  \p 52 120 p
}
\poznamka [pruniknadrovin]
%%%%%%%%%
P�edstavme si soustavu dvou line�rn� nez�visl�ch line�rn�ch rovnic o
t�ech nezn�m�ch. Mno�inu �e�en� interpretujme jako body v prostoru
stejn� jako v p�edchoz� pozn�mce. �e�en� prvn� rovnice 
vypln� rovinu $\varrho$ a �e�en� druh� rovnice vypln� rovinu 
$\sigma$ (viz obr�zek). Tak�e �e�en� 
obou rovnic \uv{spole�n�} je pr�nikem rovin $\varrho$ a $\sigma$.
To je p��mka, ozna�me ji $p$. 
Dimenze mno�iny �e�en� p�idru�en� homogenn� soustavy je
podle v�ty\cite[dimhomo] rovna $3-2=1$. 

\poznamka
%%%%%%%%%
T�i line�rn� nez�visl� rovnice o t�ech nezn�m�ch maj� jednobodov�
�e�en�, kter� je pr�nikem t�� rovin, kde ka�d� rovina je mno�inou
�e�en� jedn� rovnice.

\poznamka
%%%%%%%%%
Nem�-li soustava t�� rovnic o t�ech nezn�m�ch �e�en�, pak jednotliv�
rovnice maj� jako sv� mno�iny �e�en� roviny, kter� nemaj� spole�n�
pr�nik. Uv�dom�me si, jak�m zp�sobem se to m��e st�t: bu� jsou dv�
roviny rovnob�n� a nikoli toto�n�, nebo maj� roviny jako pr�nik p��mky,
kter� jsou rovnob�n�.

\poznamka* [nadrovina]
%%%%%%%%%
M�-li soustava line�rn�ch rovnic $n$ nezn�m�ch, pak mno�inou 
�e�en� je podmno�ina~$\R^n$. P�edstavme si, �e nyn� $n>3$.
S trochou fantazie je mo�n� si i tyto podmno�iny p�edstavit
geometricky jako {\em zobecn�n� roviny}.

Pojem {\em zobecn�n� rovina} se pou��v� pro
analogick� geometrick� �tvar jako je rovina nebo p��mka 
v~geo\-metrick�m prostoru, ale m��e m�t libovolnou (t�eba v�t��)
dimenzi. Zobecn�n� rovina nemus� na rozd�l od line�rn�ho podprostoru
proch�zet po��tkem. Pokud ji ale posuneme do po��tku, tvo��
podprostor. Mluv�me-li tedy o {\em dimenzi zobecn�n� roviny}, m�me na mysli
dimenzi line�rn�ho podprostoru, kter� vznikne posunut�m zkouman�
zobecn�n� roviny tak, aby proch�zela po��tkem.
\inl[zobecn�n� rovina]

Mno�ina �e�en� jedn� rovnice ze soustavy je zobecn�n� rovina, kter� m�
dimenzi $n-1$. Mno�ina �e�en� cel� soustavy $\A\vec x=\vec b$
je pr�nikem t�chto zobecn�n�ch rovin a je to zase zobecn�n� 
rovina~$\varrho$,
kter� m� podle v�ty\cite[dimhomo] dimenzi $n-\hod\A$. Mno�ina 
�e�en� p�idru�en� homogenn� soustavy $\A\vec x=\vec o$ je zobecn�n� rovina
$\varrho'$ takov�, �e proch�z� po��tkem a 
$\varrho=\vec v+\varrho'$, kde $\vec v$ je
partikul�rn� �e�en�. Tedy $\varrho$ vznik� z $\varrho'$ posunut�m 
o~$\vec v$. Nebo obr�cen�, $\varrho'$ vznik� posunut�m $\varrho$ 
o~vektor~$-\vec v$. 

Obr�zky u pozn�mek\cite[geomnadroviny] a\cite[pruniknadrovin]
lze vyu��t jako ilustraci pro mno�iny �e�en� libovoln� soustavy
line�rn�ch rovnic. Prvn� obr�zek ��k�, �e zobecn�n� rovina, kter� je mno�inou 
�e�en� nehomogenn� soustavy line�rn�ch rovnic, je posunut� z po��tku
o partikul�rn� �e�en�. Druh� obr�zek ��k�, �e mno�ina �e�en� je
zobecn�n� rovina, kter� je pr�nikem nadrovin, kter� jsou �e�en�mi jednotliv�ch
rovnic. 

\poznamka
%%%%%%%%%
�e�en� soustavy jako pr�nik �e�en� jednotliv�ch rovnic, jak je pops�no
v p�edchoz�ch pozn�mk�ch, je pohled na �e�en� po rozd�len� roz���en� matice
soustavy $(\A\,|\,\vec b)$ na jednotliv� ��dky. Ka�d� ��dek odpov�d� jedn� rovnici.
N�kdy se hod� jin�, sloupcov� pohled, na �e�en� sousavy. Rozepi�me
matici soustavy na sloupce $\A=(\A_1,\A_2,\ldots,\A_n)$. Pak maticov�
n�soben� ve v�razu $\A\vec x=\vec b$ m��eme p�epsat takto:
$$
    \A\cdot{\bf x}\ = \
  (\A_1,\A_2,\ldots,\A_n)\cdot\pmatrix{x_1\cr x_2\cr\vdots\cr x_n} = \
  x_1\A_1 + x_2\A_2 + \cdots + x_n\A_n \ = \ {\bf b}
$$
tak�e �e�en� obsahuje koeficienty takov� line�rn� kombinace sloupc�,
kter� je rovna vektoru prav�ch stran~$\vec b$.

\okraj Nejedno\-zna�nost z�pisu �e�en� | Nejednoznacnost zapisu reseni

\poznamka [popis-reseni]
%%%%%%%%%
Ji� v �vodn� kapitole o Gaussov� elimina�n� metod� jsme zm�nili, �e
mno�inu �e�en� soustavy line�rn�ch rovnic neum�me popsat jednozna�n�m
zp�sobem. V�jimkou je pouze p��pad, kdy m� soustava jedin� �e�en�.
V�me toti�, �e ka�d� netrivi�ln� line�rn� podprostor m� nekone�n� 
mnoho b�z� a m�-li soustava v�ce �e�en�, pak i partikul�rn� �e�en�
m��e ka�d� �e�itel zapsat jin�.  

K r�zn�m z�pis�m t�e mno�iny �e�en� m��eme dosp�t p�i v�po�tu t�eba
tak, �e vol�me rozd�lnou skupinu nezn�m�ch, kter� mohou nab�vat
libovoln�ch hodnot. I p�i stejn� skupin� t�chto nezn�m�ch n�s nikdo
nenut�, abychom tyto nezn�m� polo�ili rovny jednon�sobku parametru.
V~modelov�ch �e�en�ch p��klad� ze skript se m��eme setkat n�kdy i
s~jinak volen�mi parametry tak, aby v�sledek vy�el bez pou�it� zlomk�
pouze s mal�mi cel�mi ��sly. Tuto dovednost nebudeme v praktick�ch
p��kladech (kter� nejsou modelov�) pot�ebovat, tak�e n�s nemus�
frustrovat, �e n�m vych�zej� ve v�sledc�ch zlomky.  M��eme ov�em v
z�v�ru v�po�tu ka�d� vektor b�ze vyn�sobit spole�n�m jmenovatelem
v�ech zlomk� v jednotliv�ch slo�k�ch a znovu dost�v�me vektory b�ze
stejn�ho line�rn�ho prostoru, tentokr�t s celo��seln�mi slo�kami.  
\inl[p��klad: modelov�, modelov� p��klad]

Kv�li nejednozna�nosti popisu �e�en� soustav line�rn�ch rovnic je
u�ite�n� v�d�t, jak pozn�me, �e dva r�zn� popisy �e�en�
popisuj� stejnou mno�inu �e�en�. To je
rozebr�no podrobn� v n�sleduj�c� pozn�mce. 

%M��e n�s zaj�mat, zda n� v�sledek a v�sledek, kter� t�eba najdeme
%ve skriptech, popisuj� stejnou mno�inu �e�en�. Jak to pozn�me?
%P�edev��m b�ze prostoru �e�en� p�idru�en� homogenn� soustavy mus�
%obsahovat v obou v�sledc�ch podle v�ty\cite[stejnebase] 
%stejn� po�et prvk�. Ov���me je�t�, �e jsou v obou v�sledc�ch skute�n�
%b�ze, tj.~�e jsou vektory popisuj�c� prostor �e�en� p�idru�en�
%homogenn� soustavy skute�n� line�rn� nez�visl�. D�le zjist�me, zda
%oba v�sledky popisuj� stejn� podprostor �e�en� p�idru�en� homogenn�
%soustavy. Na to m�me lagoritmus porovn�v�n� line�rn�ch obal�\cite[algolrovnost].
%P�itom rozd�l dvou partikul�rn�ch �e�en� mus� rovn� le�et v mno�in�
%p�idru�en� homogenn� soustavy. V n�sleduj�c� pozn�mce shrneme, jak lze
%tento test prov�st.

\poznamka* [ruznareseni]
%%%%%%%%%
Co ud�l�me, pokud se n�m dostanou do ruky dva z�pisy �e�en� n�jak�
soustavy line�rn�ch rovnic, a p�itom nem�me k dispozici p�vodn�
soustavu a nem��eme tedy dosazovat? Jak v~tomto p��pad� pozn�me, �e
oba z�pisy popisuj� stejn� �e�en�? Jsou d�ny t�eba tyto z�pisy:

\line{\hss\vbox to0pt{\hsize=.2\hsize \kern20pt 
$$
  \C = \pmatrix {\vec u_1\cr \vec u_2\cr \vdots\cr \vec u_k \cr
                 \vec g_1\cr \vec g_2\cr \vdots\cr \vec g_k \cr
                 \vec v - \vec w}
$$
\vss}}
\nobreak\vskip-\baselineskip


{\hsize=.77\hsize
$$
  \vec v + \lob<\vecc u_k> \ \buildrel ?\over = \ 
  \vec w + \lob<\vecc g_k> 
$$
Nejprve ov���me line�rn� nez�vislost vektor� $\vecc u_k$ a line�rn�
nez�vislost vektor� $\vecc g_k$.
D�le zjist�me algoritmem\cite[algolrovnost], zda jsou rovny line�rn� obaly. 
Nakonec zjist�me, zda ob�
partikul�rn� �e�en� popisuj� stejnou mno�inu �e�en� t�eba 
podle vlastnosti~(2) v�ty\cite[nehomoprst]
t�mto testem: $\vec v - \vec w \in \lob<\vecc u_k>$.
Na to se hod� algoritmus\cite[algoljeprvkem]. 

Spojen�m obou algoritm�
dost�v�me n�sleduj�c� test: uveden� mno�iny se rovnaj� pr�v� tehdy
kdy� vektory $\vecc u_k$ jsou line�rn� nez�visl� i vektory $\vecc g_k$
jsou line�rn� nez�visl� a hodnost matice $\C$ (zapsan� zde vpravo) je rovna~$k$.
Proto�e pro velk� $k$ je matice $\C$ \uv{p��li� vysok�}, je n�kdy 
v�hodn� m�sto toho po��tat hodnost matice $\C^T$. Podle 
v�ty\cite[hA=hAT] dostaneme stejn� v�sledek, ale nav�c �et��me 
pap�rem a dal��mi kancel��sk�mi technologiemi.
\par}

\priklad
%%%%%%%%
Prov���me, zda mno�ina 
$$
  M_1 = (1,2,-4,-1,1,2) + 
        \bigl< (7,1,-4,-2,2,0), (-8,3,-2,2,1,0), (2,-2,-6,1,3,0) \bigr>
$$
je rovna mno�in� $M$ z p��kladu\cite[nehomoruc].

D�ky tomu, �e na�e �e�en� z p��kladu\cite[nehomoruc] obsahuje na
pozic�ch 2, 4 a 5 systematicky rozm�st�n� nuly a jedni�ky, m��eme
okam�it� pohledem do t�chto pozic ps�t n�sleduj�c� koeficienty 
line�rn�ch kombinac�:
$$
  \def\+{\hphantom{+}}
  \eqalign{
  (7,1,-4,-2,2,0) &=\+1\,(-1,1,0,0,0,0)-2\,(-3,0,0,1,0,0)+2\,(1,0,-2,0,1,0),\cr
  (-8,3,-2,2,1,0) &=\+3\,(-1,1,0,0,0,0)+2\,(-3,0,0,1,0,0)+1\,(1,0,-2,0,1,0),\cr
  (2,-2,-6,1,3,0) &=-2\,(-1,1,0,0,0,0)+1\,(-3,0,0,1,0,0)+3\,(1,0,-2,0,1,0),\cr
  (1,2,-4,-1,1,2) &= (-1,0,-2,0,0,2) +
                    2\,(-1,1,0,0,0,0)-1\,(-3,0,0,1,0,0)+1\,(1,0,-2,0,1,0). }
$$
Tyto rovnosti plat� i v ostatn�ch slo�k�ch (nejen ve slo�k�ch 2, 4 a 5) 
a m��eme tedy prohl�sit, �e $M_1=M$.

Pro porovn�n� zkus�me je�t� metodu po��t�n� hodnosti matice $\C$ 
z pozn�mky\cite[ruznareseni]. Nejprve mus�me ov��it, zda jsou vektory
$(7,1,-4,-2,2,0), (-8,3,-2,2,1,0), (2,-2,-6,1,3,0)$ line�rn�
nez�visl� (nap��klad eliminac� t����dkov� matice obsahuj�c� tyto
vektory). Zjist�me, �e jsou line�rn� nez�visl�. Pak spo��t�me hodnost
matice $\C$:
$$
 \thickmuskip=3mu
 \!\C^T = \matice{\!-1 &-3 & 1 & 7 &-8 & 2 &-2 \cr
                  1 & 0 & 0 & 1 & 3 &-2 &-2 \cr
                  0 & 0 &-2 &-4 &-2 &-6 & 2 \cr
                  0 & 1 & 0 &-2 & 2 & 1 & 1 \cr
                  0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 3 &-1 \cr
                  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } \sim
         \matice{\!-1 &-3 & 1 & 7 &-8 & 2 &-2 \cr
                  0 &-3 & 1 & 8 &-5 & 0 &-4 \cr
                  0 & 1 & 0 &-2 & 2 & 1 & 1 \cr
                  0 & 0 &-2 &-4 &-2 &-6 & 2 \cr
                  0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 3 &-1 } \sim
         \matice{\!-1 &-3 & \,1 & \,7 &-8 & \,2 &-2 \cr
                  0 &-3 & 1 & 8 &-5 & 0 &-4 \cr
                  0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 3 &-1 }.\!
$$
Je $\hod\C = 3$, tak�e plat� $M = M_1$.

\okraj Soustavy se �tvercovou matic� | Soustavy se ctvercovou matici

\poznamka
%%%%%%%%%
Je-li $\A$ �tvercov� matice, pak je v�hodn� p�i �e�en� soustavy 
$\A\,\vec x = \vec b$ spo��tat $\det\A$.

Pro $\det\A\not=0$ je $\hod\A$ rovna po�tu nezn�m�ch, tj. matice $\A$
je regul�rn� a soustava m� jedin� �e�en�.
Mno�ina �e�en� p�idru�en� homogenn� soustavy obsahuje toti� v tomto
p��pad� jedin� �e�en�: nulov� vektor.
Po vyn�soben� rovnosti $\A\,\vec x = \vec b$ inverzn� matic�
$\A^{-1}$ zleva m�me okam�it�  �e�en� soustavy
$\vec x = \A^{-1}\,\vec b$. Nav�c m��eme pou��t pro zji�t�n�
jednotliv�ch slo�ek �e�en� tzv.~Cramerovo pravidlo (viz n�sleduj�c�
v�tu).

Pro $\det\A=0$ je $\hod\A$ men�� ne� po�et nezn�m�ch. Pokud m� tato
soustava podle Frobeniovy v�ty\cite[frobeni] �e�en�, pak po
eliminaci a odstran�n� nulov�ch ��dk� dost�v�me soustavu, kter� 
u� nem� �tvercovou matici. V tomto p��pad� nezb�v� nic jin�ho, ne�
pou��t postup pro nalezen� v�ech �e�en�, kter� byl ji� vylo�en d��ve.

\veta (Cramerovo pravidlo) * [cramer]
%%%%%
Nech� $\A$ je regul�rn� �tvercov� matice. Pak pro $i$-tou slo�ku �e�en�
soustavy $\A\,\vec x = \vec b$ plat�
$$
  \alpha_i = {\det \B_i \over \det\A}\,,
$$
kde matice $\B_i$ je shodn� s matic� $\A$ a� na $i$-t� sloupec, kter�
je zam�n�n za sloupec prav�ch stran.
\inl[pravidlo: Cramerovo, Cramerovo: pravidlo]

\dukaz
%%%%%%
V�me, �e plat� $\vec x = \A^{-1}\,\vec b$. Podle v�ty\cite[A-1D] plat�
$$
  \A^{-1} = (c_{i,j}) = \left({ D_{j,i} \over \det\A }\right), \quad
  \hbox{kde $D_{i,j}$ je matice dopl�k� k matici $\A$.}
$$
Nech� $b_i$ jsou slo�ky sloupce $\vec b$. Podle definice 
maticov�ho n�soben� je
$$
  \alpha_i = \sum_{j=1}^n c_{i,j}\,b_j = 
            \sum_{j=1}^n { D_{j,i} \over \det\A }\, b_j =
           { 1 \over \det\A }\,\Bigl( D_{1,i}\,b_1 + D_{2,i}\,b_2 + \cdots
            + D_{k,i}\,b_k\Bigr) = {\det \B_i \over \det\A}.
$$
V posledn� rovnosti jsme vyu�ili v�tu o rozvoji determinantu matice 
$\B_i$ podle $i$-t�ho sloupce, viz pozn�mku\cite[rozvojdoplnku].

\priklad
%%%%%%%%
P�i �e�en� soustavy
$$
  \matice{1 & 2 & 3 \cr 3 & 4 & 5 \cr 5 & 6 & 8} \cdot
  \matice{x_1 \cr x_2 \cr x_3} = \matice{10 \cr 11 \cr 12}
$$
pou�ijeme Cramerovo pravidlo. Dost�v�me:
$$
  x_1 = {1\over D}
        \left| \matrix{10 & 2 & 3 \cr 11 & 4 & 5 \cr 12 & 6 & 8}\right|
        , \quad
  x_2 = {1\over D}
        \left| \matrix{1 & 10 & 3 \cr 3 & 11 & 5 \cr 5 & 12 & 8}\right|
        , \quad
  x_3 = {1\over D}
        \left| \matrix{1 & 2 & 10 \cr 3 & 4 & 11 \cr 5 & 6 & 12}\right|
        , \quad
  \hbox{kde }  D = 
        \left| \matrix{1 & 2 & 3 \cr 3 & 4 & 5 \cr 5 & 6 & 8}\right|.
$$
Vypo��t�n�m �ty� determinant� z uveden�ch matic typu (3,3) dost�v�me v�sledek
$$
  x_1 = { 18 \over -2 } = -9, \quad
  x_2 = { -19 \over -2 } = { 19 \over 2 }, \quad
  x_3 = { 0 \over -2 } = 0, \quad 
  (x_1, x_2, x_3) = \left(\! -9, {19\over2}, 0 \right).
$$

\poznamka
%%%%%%%%%
Cramerovo pravidlo se nejev� pro v�po�et �e�en� soustavy s regul�rn�
matic� p��li� ��eln�. Pot�ebujeme spo��tat $n+1$ determinant� matic
typu $(n,n)$, co� je pro velk� $n$ n�ro�n�j��, ne� spo��tat 
inverzn� matici elimina�n� metodou. V�hodn� m��e b�t tato metoda pouze
tehdy, kdy� nepot�ebujeme zn�t v�echny slo�ky �e�en�, ale jen n�kter�.
Nap��klad m��eme m�t n�jak� fyzik�ln� model vyj�d�en� rozs�hlou soustavou 
line�rn�ch rovnic, p�i�em� z mnoha stovek v�stupn�ch veli�in (tj. 
slo�ek �e�en�) n�s zaj�m� jen~p�r. 

\priklad
%%%%%%%%
Budeme �e�it soustavu line�rn�ch rovnic
$$
  \soustava{x +& py +& z  =& 1  \cr
            x +& 2y +& z  =& \!-1 \cr
               &  y +& pz =& \!-1 }
$$
Rozli��me r�zn� mno�iny �e�en� t�to soustavy podle hodnot re�ln�ho
parametru $p$.

Determinant matice soustavy je roven $D = p\,(2-p)$, tak�e pro 
$p\not=0$ a $p\not=2$ je matice soustavy regul�rn� a soustava m�
jedin� �e�en�. Nap��klad Cramerov�m pravidlem zjist�me toto �e�en�:
$$
  \def\+{\hphantom{+}}
  x = {1\over D} \,
      \left|\matrix{\+1&p&1\cr-1&2&1\cr-1&1&p}\right| = 
%      { p\,(p+1) \over p\,(2-p) } = 
      { p+1 \over 2-p }, \quad
  y = {1\over D} \,
      \left|\matrix{1&\+1&1\cr1&-2&0\cr0&-1&p}\right| = 
      { 2 \over p-2 }, \quad
  z = {1\over D} \,
      \left|\matrix{1&p&\+1\cr1&2&-1\cr0&1&-1}\right| = 
      { 1 \over 2-p }.
$$
Pro $p=0$ a $p=2$ mus�me �e�it soustavu individu�ln�.
$$
  \def\|{\kern3pt\strut\vrule} \jot=0pt
\eqalign{
  p=0:&\enspace \matice{1&0&1\|&1\cr1&2&1\|&-1\cr0&1&0\|&-1} \sim
               \matice{1&0&1\|&1\cr0&1&0\|&-1}, \quad
  \vcenter{\vbox{\hsize=.5\hsize \noindent
     p�i $z=t$, vych�z� $y=-1$, $x=1-t$,  \hfil\break
     tj. $(x,y,z) = (1-t, -1, t)= (1,-1,0)+t(-1,0,1)$,
     \hfil\break
     mno�ina �e�en�: $M = (1,-1,0) + \bigl<(-1,0,1)\bigr>$.
  }} \cr \noalign{\medskip}
  p=2:&\enspace \matice{1&2&1\|&1\cr1&2&1\|&-1\cr0&1&2\|&-1} \sim
               \matice{1&2&1\|&1\cr0&0&0\|&-1}, \quad
     \hbox{podle Frobeniovy v�ty soustava pro $p=2$ nem� �e�en�.}
 }               
$$

%% Zarazeno nove od zari 2006

\okraj V�ce prav�ch stran |
       Vice pravych stran

\poznamka [AX=B]
%%%%%%%%%
Sezn�m�me se s mo�nostmi �e�en� v�t��ho mno�stv� soustav
line�rn�ch rovnic se stejnou matic� soustavy, ale s r�zn�mi prav�mi
stranami. M�me tedy d�nu n�sleduj�c� \uv{soustavu soustav} line�rn�ch
rovnic:
$$
  \A\cdot\vec x_1 = \vec b_1, \quad
  \A\cdot\vec x_2 = \vec b_2, \quad \ldots, \quad
  \A\cdot\vec x_k = \vec b_k.
$$
Matice soustavy $\A\in\R^{m,n}$ je spole�n� v�em soustav�m.
Podle v�ty\cite[soucinsloupcu] vid�me, �e uveden� soustava soustav je
ekvivalentn� maticov� rovnici
$$
  \A\cdot\X = \B
$$
kde matice $\X=(\vec x_1\ \vec x_2\ \ldots\ \vec x_k)$ obsahuje vedle
sebe napsan� sloupcov� vektory nezn�m�ch z jednotliv�ch soustav a 
matice $\B=(\vec b_1\ \vec b_2\ \ldots \vec b_k)$ obsahuje sloupcov�
vektory pav�ch stran.
  
Vy�e�it tuto soustavu soustav znamen� naj�t podmno�iny z $\R^n$, kter�
jsou mno�inami �e�en� jednotliv�ch soustav. Tyto mno�iny �e�en� jsou tvaru
$\vec v_i + M_0$, $i\in\{1,2,\ldots,k\}$, kde $\vec v_i$ je partikul�rn� 
$i$-t� soustavy a $M_0$ je mno�ina �e�en� p�idru�en� homogenn�
soustavy $\A\vec x=\vec o$. Ta je spole�n� v�em soustav�m.

P�i �e�en� takov�ch soustav soustav je p�irozen� p�ed zah�jen�m
eliminace zapsat v�echny sloupce prav�ch stran vedle
sebe a eliminovat spole�n� celou matici. To ilustruje n�sleduj�c�
p��klad. 


\priklad
%%%%%%%%
�e�me maticovou rovnost
$$
  \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3  \cr
          1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1  \cr
          2 & 2 & 2 & 6 & 2 & 8  } \cdot \X =
  \matice{2 & 4 & 3 & 3 \cr
          2 & 2 & 1 & 3 \cr
          1 & 2 & 3 & 4 }.
$$
Soustavu soustav �e��me eliminac�:
$$
 \thickmuskip=3mu
 \def\|{\kern4pt\strut\vrule}\!
  \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \|& 2 & 4 & 3 & 3 \cr
          1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 \|& 2 & 2 & 1 & 3 \cr
          2 & 2 & 2 & 6 & 2 & 8 \|& 1 & 2 & 3 & 4 } \sim
  \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \|& 2 & 4 & 3 & 3 \cr
          0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 \|& 0 & 2 & 2 & 0 \cr
          0 &\ 0 &\ 2 &\ 0 &\ 4 &-2 \|&\ 3 &\ 6 &\ 3 &\ 2 } \sim
  \matice{1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \|& 2 & 4 & 3 & 3 \cr
          0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 \|& 0 & 2 & 2 & 0 \cr
          0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \|&-3 &-2 &\ 1 &-2 }.
$$
P�idru�enou homogenn� soustavu zn�me u� z p�edchoz�ch p��klad�, tak�e
v�me, �e jej� prostor �e�en� m� b�zi
$\{(-1,1,0,0,0,0), (-3,0,0,1,0,0), (1,0,-2,0,1,0)\}$. Partikul�rn�
�e�en� budeme hledat pro ka�d� sloupec prav�ch stran zvlṻ. Po��tat
budeme posledn�, t�et� a prvn� slo�ku, v ostatn�ch p�edpokl�d�me nuly.
Pro sloupec $(2,0,-3)^T$ m�me �e�en� $({3\over2},0,1,0,0,-{1\over2})$,
pro sloupec $(4,2,-2)^T$ m�me �e�en� $(-{1\over3},0,{8\over3},0,0,-{1\over3})$,
pro sloupec $(3,2,1)^T$ m�me �e�en� $(-{5\over6},0,{5\over3},0,0,{1\over6})$
a kone�n� pro sloupec $(3,0,-2)^T$ m�me �e�en� 
$({8\over3},0,{2\over3},0,0,-{1\over3})$. Zap��eme-li tato �e�en� do
sloupc� vedle sebe, m�me jedno z mo�n�ch �e�en� pro hledanou matici
$\X$. Kdy� k t�to matici p�i�teme matici, kter� bude m�t �ty�i stejn�
sloupce tvaru
$\alpha\,(-1,1,0,0,0,0)^T+ \beta\,(-3,0,0,1,0,0)^T + \gamma\,(1,0,-2,0,1,0)^T$,
$\alpha,\beta,\gamma\in\R$,
dost�v�me z�pis obecn� v�ech matic $\X$, kter� vyhovuj� zadan�
maticov� rovnici.

\poznamka
%%%%%%%%%
Maticovou rovnici $\X\A=\B$ (p�i dan�ch matic�ch $\A$, $\B$)
bychom �e�ili nap��klad tak, �e transponujeme ob� strany
rovnosti. T�m dost�v�me $\A^T\cdot\X^T=\B^T$ a probl�m
je p�eveden na tvar, se kter�m u� si v�me rady.

\veta [AXBsimEX]
%%%%%
Nech� $\A$ je regul�rn� matice a $\B$ je libovoln� matice se stejn�m
po�tem ��dk�. Plat�:

\noindent (1) Maticov� rovnost $\A\X=\B$ m� jedin� �e�en� a t�m
�e�en�m je $\X=\A^{-1}\,\B$,

\noindent (2) Je-li $(\A\,|\,\B) \sim (\E\,|\,\C)$, kde $\E$ je
jednotkov� matice, pak $\C=\A^{-1}\,\B$. Neboli 
$(\A\,|\,\B)\sim(\E\,|\,\A^{-1}\,\B)$.

\dukaz
%%%%%%
\noindent (1) Sta�� rovnost $\A\X=\B$ vyn�sobit zleva matic� $\A^{-1}$.

\noindent (2) Soustava $\A\X = \B$ je podle p�edpokladu ekvivaletn� se
soustavou $\E\X=\C$. �e�en�m soustavy $\E\X=\C$ je z�ejm� matice $\C$.
Proto�e Gaussova elimina�n� metoda nem�n� mno�inu �e�en� a podle (1)
v�me, �e �e�en�m obou soustav je $\A^{-1}\B$. Tak�e $\C=\A^{-1}\B$.

\poznamka
%%%%%%%%%
D�sledkem t�to v�ty je nap��kad metoda v�po�tu inverzn�
matice. Inverzn� matice je podle definice\cite[inverseA] takov� matice
$\X$, pro kterou plat� $\A\X=\E$. Sta�� tedy v p�edchoz� v�t� volit
$\B=\E$.

\okraj �e�en� soustav pomoc� LU rozkladu | Reseni soustav pomoci LU rozkladu

\poznamka
%%%%%%%%%
P�edpokl�dejme regul�rn� matici $\A\in\R^{n,n}$ a soustavu line�rn�ch rovnic
$\A\vec x = \vec b$. Jedin� �e�en� t�to soustavy m��eme po��tat
ze vzorce $\A^{-1}\vec b$. K v�po�tu matice $\A^{-1}$ eliminac�
pot�ebujeme $2n^3$ operac� (za jednu operaci pova�ujeme p�i�ten�
n�sobku jednoho ��sla k jin�mu). A pro maticov� n�soben� $\A^{-1}\vec b$
pot�ebujeme dal��ch $n^2$ operac�. Je z�ejm�, �e p��m� �prava
roz���en� matice eliminac� spot�ebuje nepatrn� m�n� operac�:
$n^2(n+1)=n^3+n^2$ operac�. Je�t� m�n� operac� pot�ebujeme p�i �e�en�
t�to soustavy LU rozkladem. Postup �e�en� je vysv�tlen v n�sleduj�c�m
algoritmu.

\algoritmus [LUsoustava]
%%%%%%%%%%%
Nech� $\A$ je regul�rn� matice, $\A\P=\L\U$ je jej� LU rozklad.
Pak:
$$
\eqalign{
  \A=\L\U\P^T, \quad &\hbox{tedy soustavu }\A\vec x = \vec b
  \hbox{ lze zapsat ve tvaru } \L\,(\U\,(\P^T\vec x)) = \vec b\cr
  &\hbox{ a �e�it postupn� t�i soustavy: } 
  \L\vec z = \vec b, \quad \U\vec y = \vec z, \quad \P^T\vec x = \vec y
}
$$
P�itom prvn� a t�et� soustavu nen� nutn� �e�it, proto�e algoritmus LU
rozkladu\cite[LUalgol] poskytuje jako vedlej�� produkt matici $L'=L^{-1}$ a d�le
plat� $\P=(\P^T)^{-1}$. Tak�e �e��me jedinou soustavu
$\U\,\vec y = \L'\,\vec b$ a podle permuta�n� matice $\P$ p�ehod�me
p��padn� po�ad� prom�nn�ch, tedy provedeme $\vec x = \P\vec y$.

\priklad
%%%%%%%%
�e�me LU rozkladem soustavu line�rn�ch rovnic s matic�
$$
   \def\|{\kern4pt\strut\vrule}
   \A=\pmatrix{1&2&3\|&5\cr2&3&1\|&7\cr4&2&0\|&6}
$$
LU rozklad matice t�to soustavy jsme provedli v p��klad�\cite[pLU].
Tak�e v�me, �e
$$
 \catcode`+=13 \def+{\hphantom{-}}
 \L' = \pmatrix{+1&+0&+0\cr-2&+1&+0\cr+8&-6&+1}, \qquad
 \U =  \pmatrix{1&+2&+3\cr0&-1&-5\cr0&+0&\,18}, \qquad
 \L'\cdot \vec b = 
 \pmatrix{+1&+0&+0\cr-2&+1&+0\cr+8&-6&+1}\cdot\pmatrix{5\cr7\cr6} = 
 \pmatrix{+5\,\cr-3\,\cr+4\,}
$$
Soustava $\U\,\vec y = \L'\,\vec b$ m� roz���enou matici:
$$
  \catcode`+=13 \def+{\hphantom{-}}
  \def\|{\kern8pt\strut\vrule}
  \pmatrix{1&+2&+3\|&+5\,\cr0&-1&-5\|&-3\,\cr0&+0&\hfill18\|&+4\,},
$$
kterou vy�e��me postupn�m dosazen�m \uv{zespoda nahoru}:
$y_3={2\over9}$, $y_2= {17\over9}$, $y_1={5\over9}$. Permuta�n� matice
$\P$ je v tomto p��pad� jednotkov�, tak�e $x_1=y_1$, $x_2=y_2$,
$x_3=y_3$ a dost�v�me �e�en� soustavy $({5\over9},{17\over9},{2\over9})$.

\poznamka
%%%%%%%%%
Kolik operac� (p�i�ten� n�sobku ��sla k jin�mu) pot�ebujeme k
vy�e�en� soustavy $\A\vec x=\vec b$ s regul�rn� matic�
typu $(n,n)$?  K nalezen� matic $\U$ a $\L'$ pot�ebuje algoritmus
LU rozkladu zhruba $n^3/2$ operac�. K v�po�tu prav� strany $\vec z$
pot�ebujeme $n^2/2$ operac� a k vy�e�en� soustavy $\U\vec y = \vec z$
pot�ebujeme tak� $n^2/2$ operac�. K prohozen� prom�nn�ch (p�echod mezi
vektorem $\vec y$ a $\vec x$) pot�ebujeme zhruba $n$ operac�, co� je
ve srovn�n� s po�tem $n^2$ operac� pro v�po�et $\vec y$ zanedbateln�.
Shrnut�: na p��pravu matice $\A$ (LU rozklad) je pot�eba $n^3/2$
operac� a na v�po�et �e�en� pak u� sta�� $n^2$ operac�.

Zd� se, �e po�et operac� p�i �e�en� soustav pomoc� LU rozkladu nebo
Gaussovou elimina�n� metodou se p��li� neli��. Ov�em jsou zn�my
algoritmy LU rozkladu se stejnou slo�itost� jako n�soben�
matic. P�itom n�soben� matic se d� optimalizovat tak, �e pot�ebuje
m�n� operac� ne� $n^3$ (viz\cite[strassen]). Za ur�it�ch
okolnost� p�i rozs�hl�ch soustav�ch m��e tedy b�t �e�en� soustav
LU rozkladem efektivn�j��.

%Je dobr� si uv�domit, �e p�i �e�en� obecn�ch
%soustav po p��m�m chodu Gaussovy elimina�n� metody a po
%p�ehozen� prom�nn�ch, kter� z rovnic po��t�me \uv{dop�edu}
%je lev� blok v matici soustavy regul�rn�. Viz t�eba 
%p��klad\cite[pstroj]. Ostatn� sloupce vpravo od regul�rn�ho bloku
%m��eme vn�mat jako sloupce prav�ch stran. Tak�e i pro tento p��pad je
%mo�n� pou��t LU rozklad.

\okraj Nulov� prostor matice a~$\lobr<\A>$ | Nulovy prostor
matice a <r:A>

\definice [nullprst]
%%%%%%%%%
Nech� $\A\in\R^{m,n}$. {\em Nulov� prostor matice $\A$} je line�rn�
podprostor v�ech �e�en� homogenn� soustavy line�rn�ch rovnic $\A\vec x=\vec o$.
Tento podprostor zna��me $\nullsp\A$.
\inl[prostor: nulov� matice, nulov�: prostor matice]

\poznamka
%%%%%%%%%
Je-li d�na matice $\A$, pak k n� m��eme sestrojit dva line�rn�
podprostory line�rn�ho prostoru $\R^n$: nulov� prostor $\nullsp\A$
a line�rn� obal ��dk� matice $\lobr<\A>$. Mezi t�mito dv�ma line�rn�mi
podprostory je zaj�mav� vztah:

\veta
%%%%%
Nech� $\A\in\R^{m,n}$. Pak 

(1) pro ka�d� vektor $\vec z\in\nullsp\A$ a pro ka�d� vektor $\vec a\in\lobr<\A>$
plat�:  $\vec a\cdot\vec z^T = 0$. 

(2) $\lobr<\A>\cap \nullsp\A = \{\vec o\}$. 

(3) $\dim\lobr<\A> + \dim\nullsp\A = n$.

(4) Pro ka�d� vektor $\vec x\in\R^n$ existuj� jedin� vektory $\vec
a\in\lobr<\A>$ a $\vec z\in\nullsp\A$ tak, �e $\vec x = \vec a + \vec z$.

\dukaz
(1) Rovnost $\vec a\cdot\vec x^T=0$ m��eme po slo�k�ch rozepsat jako
$
  a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = 0
$
a vn�mat ji jako rovnici s koeficienty
$\vec a=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$. Proto�e $\vec a\in\lobr<\A>$, je $\vec a$
line�rn� kombinac� ��dk� matice~$\A$, tedy uveden� rovnice vznikla jako
line�rn� kombinace rovnic ze soustavy $\A\vec x=\vec o$. �e�en�
$\vec z\in\nullsp\A$ spl�uje nejen v�echny rovnice ze soustavy 
$\A\vec x=\vec y$, ale tak� v�echny jejich line�rn� kombinace, tak�e
plat� $a_1z_1 + a_2z_2 + \cdots + a_nz_n = 0$.

(2) Je-li $\vec x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\lobr<\A>\cap\nullsp\A$, mus� 
$x_1x_1+x_2x_2+\cdots+x_n x_n = x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 0$ a
to je mo�n� jen pro nulov� vektor.

(3) $\dim\lobr<\A>$ je hodnost $\A$ (podle definice). Vztah byl
dok�z�n ve v�t�\cite[dimhomo].

(4) P�edpokl�dejme, �e $\hod\A=k$ a nech� $\vecc b_k$ je n�jak� b�ze line�rn�ho podprostoru
$\lobr<\A>$ a nech� $\vec b_{k+1}, \vec b_{k+2}, \ldots, \vec b_n$ je b�ze
line�rn�ho podprostoru $\nullsp\A$. Pak podle v�ty\cite[lnMcupN]
jsou vektory $\vecc b_n$ line�rn� nez�visl� a tvo�� tedy b�zi
line�rn�ho prostoru $\R^n$. Vektor $\vec x\in\R^n$ m� vzhledem k t�to
b�zi sou�adnice $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ a plat�
$$
  \vec x = (\alpha_1\vec b_1 + \alpha_2\vec b_2 + \cdots + \alpha_k\vec b_k) 
          + (\alpha_{k+1}\vec b_{k+1} + \alpha_{k+2}\vec b_{k+2} + \cdots + \alpha_n\vec b_n).
$$
Prvn� z�vorka v tomto v�razu je rovna vektoru $\vec a$ a druh� vektoru
$\vec z$. Jejich jednozna�nost plyne z~jednozna�nosti sou�adnic
vzhledem k b�zi.


\poznamka
%%%%%%%%%
Nech� $\A\in\R^{m,n}$ a $\vec a\in\lobr<\A>$. Nech� $\vec z$ le�� v
nulov�m prostoru matice~$\A$.
Proto�e $\vec a\cdot\vec z^T=\vec z\cdot\vec a^T=0$, vid�me,
�e vektor $\vec a$ �e�� homogenn� rovnici s koeficienty $\vec
z=(z_1,z_2,\ldots,z_n)$. Sestav�me matici $\B$, kter� v ��dc�ch
obsahuje b�zi nulov�ho prostoru matice $\A$. Pak z�ejm� $\vec a$ �e��
soustavu $\B\vec x=\vec o$. Tak�e nejen 
$\nullsp\A=\lobr<\B>$, ale tak� $\nullsp\B=\lobr<\A>$.




\shrnuti
%%%%%%%%
Mno�ina �e�en� soustavy line�rn�ch rovnic je dle Frobeniovy 
v�ty\lcite[frobeni] pr�zdn�, pr�v� kdy� hodnost roz���en�
matice soustavy je v�t�� ne� hodnost matice soustavy.

Mno�ina �e�en� homogenn� soustavy line�rn�ch rovnic s $n$ nezn�m�mi
tvo�� line�rn� podprostor line�rn�ho prostoru $\R^n$\lcite[homolinprst]. 
Dimenze tohoto podprostoru je rovna $n-\hod\A$, kde $\A$ je matice
soustavy a $n$ je po�et nezn�m�ch\lcite[dimhomo].

Mno�ina �e�en� nehomogenn� soustavy line�rn�ch rovnic se
d� zapsat jako sou�et patrikul�rn�ho �e�en� a mno�iny �e�en�
p�idru�en� homogenn� soustavy~/\ncite[partikul+obal],~\ncite[v+M0]/. 

V t�to kapitole jsme si uk�zali algoritmus na hled�n� b�ze mno�iny
�e�en� p�idru�en� homogenn� soustavy i na hled�n� partikul�rn�ho
�e�en�~/\ncite[genbasehomo],\cite[genpartikul]/.

Mno�ina �e�en� soustavy line�rn�ch rovnic tvo�� z geometrick�ho
pohledu zobecn�nou rovinu, kter� je pr�nikem zobecn�n�ch rovin, kter� jsou  �e�en�mi
jednotliv�ch rovnic~/\ncite[pruniknadrovin],\cite[nadrovina]/.
Je to tak� zobecn�n� rovina, kter� vznik� posunut�m zobecn�n� roviny popisuj�c� 
mno�inu �e�en� p�idru�en� homogenn� soustavy z po��tku
o vektor partikul�rn�ho �e�en�

Mno�inu �e�en� soustav line�rn�ch rovnic nelze popsat 
jednozna�n�~/\ncite[popis-reseni],\cite[ruznareseni]/. Posali jsme si
algritmus, podle kter�ho pozn�me, �e dva na prvn� pohled r�zn� z�pisy
popisuj� stejnou mno�inu �e�en�.

Soustavy se �tvercovou matic� maj� svou matici singul�rn� (pak po eliminaci
u� nemaj� �tvercovou matici), nebo regul�rn�. Ta m� jedin� �e�en� ve
tvaru $\A^{-1}\vec b$. Jednotliv� slo�ky takov�ho �e�en� se daj�
spo��tat jako pod�l determinant�~/Cramerovo pravidlo\cite[cramer]/.

Vy�e�it maticovou rovnici $\A\X=\B$ znamen� tot�, 
jako vy�e�it soustavu soustav se stejnou
matic� soustavy a s r�zn�mi prav�mi stranami\lcite[AX=B]. 
Eliminace
$(\A\,|\,\B)\sim(\E\,|\,\C)$ po��t� sou�in $\C=\A^{-1}\,\B$, co� je
jedin� �e�en� soustavy $\A\X=\B$ v p��pad�, �e matice $\A$ je
regul�rn�\lcite[AXBsimEX].

V z�v�ru kapitoly jsme uk�zali �e�en� soustav line�rn�ch rovnic
LU rozkladem.


\icviceni 5


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola [linzob2] Matice line�rn�ho zobrazen� | Matice linearniho zobrazeni
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\okraj Zobrazen� typu $\A\cdot\vec x$ | Zobrazeni A.x

\veta [aA]
%%%%%
Nech� $\A\in\R^{m,n}$ je matice. Pak zobrazen� $\a:\R^n\to\R^m$
definovan� p�edpisem $\a(\vec x) = \A\cdot\vec x$ je line�rn�.

\dukaz
Podle definice\cite[linzob] sta�� ov��it, �e
$$
  \A\cdot(\vec x + \vec y) = \A\cdot\vec x + \A\cdot\vec y, \qquad
  \A\cdot(\alpha\vec x) = \alpha(\A\cdot\vec x),
$$
co� plat� d�ky v�t�\cite[soucinAB-vlastnosti].

\poznamka
%%%%%%%%%
Zobrazen� v p�edchoz� v�t� zobrazuje sloupcov� vektory na sloupcov�
vektory, tedy p�esn�ji bychom m�li ps�t
$\a:\R^{n,1}\to\R^{m,1}$. Ov�em vzhledem k izomorfismu mezi $\R^{n,1}$
a $\R^n$ (viz pozn�mku\cite[radkovevektory]) nebudeme d�le tuto
skute�nost zbyte�n� zd�raz�ovat.

\priklad [R4toR3]
%%%%%%%%
Najdeme j�dro, defekt a hodnost zobrazen� $\a:\R^4\to\R^3$,
kter� je d�no p�edpisem
$\a(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_1+3x_2+2x_3+2x_4,3x_1+x_2+2x_4,5x_1+7x_2+4x_3+6x_4)$.

Ze vzorce pro hodnotu zobrazen� okam�it� plyne, �e
$$
  \a(x_1,x_2,x_3,x_4)^T =  
   \pmatrix{x_1+3x_2+2x_3+2x_4\cr 3x_1+x_2+2x_4\cr 5x_1+7x_2+4x_3+6x_4} =
   \pmatrix{1 & 3 & 2 & 2\cr 3 & 1 & 0 & 2\cr 5 & 7 & 4 & 6}
   \cdot\pmatrix{x_1\cr x_2\cr x_3\cr x_4} = \A\cdot\vec x
$$
tak�e $\a(\vec x) = \A\cdot\vec x$, kde $\A\in\R^{3,4}$.

Hodnost zobrazen� $\a$ je podle definice\cite[defhod] rovna dimenzi
line�rn�ho podprostoru v�ech hodnot zobrazen� a tento podprostor je
roven line�rn�mu obalu v�ech obraz� b�zov�ch vektor�. Ve vstupn�m
line�rn�m prostoru pou�ijeme strandardn� b�zi. Plat� 
$$
  \a(1,0,0,0)=(1,3,5), \quad
  \a(0,1,0,0)=(3,1,7), \quad
  \a(0,0,1,0)=(2,0,4), \quad
  \a(0,0,0,1)=(2,2,6).
$$
V�imneme si, �e d�ky vlastnostem maticov�ho n�soben� jsou obrazy
b�zov�ch vektor� rovny jednotliv�m sloupc�m matice $\A$.
Hodnost zobrazen� $\a$ je tedy rovna line�rn�mu obalu sloupc� matice
$\A$, ale proto�e podle v�ty\cite[hA=hAT] je $\hod\A=\hod\A^T$, sta��
po��tat dimenzi line�rn�ho obalu ��dk� matice $\A$, neboli hodnost
matice $\A$. 
$$
  \A = \pmatrix{1 & 3 & 2 & 2\cr 3 & 1 & 0 & 2\cr 5 & 7 & 4 & 6} \sim
       \pmatrix{1 & 3 & 2 & 2\cr 0 & 8 & 6 & 4}, \qquad \hod\A=2
$$
Je tedy $\hod\a = \hod\A = 2$.

J�dro zobrazen� $\a$ je podle definice\cite[jadro]
mno�ina v�ech $\vec x\in\R^4$ takov�ch, �e $\A\cdot\vec x=\vec o$.
Je to tedy line�rn� podprostor v�ech �e�en� homogenn� soustavy rovnic
s matic� $\A$. �e�it soustavy line�rn�ch rovnic um�me:
$$
  \eqalign{
  \pmatrix{1 & 3 & 2 & 2\cr 3 & 1 & 0 & 2\cr 5 & 7 & 4 & 6} \sim
  \pmatrix{1 & 3 & 2 & 2\cr 0 & 1 & 3/4 & 1/2} \sim {}
  &\pmatrix{1 & 0 & -1/4 & 1/2\cr 0 & 1 & \hfill3/4 & 1/2}
  = \pmatrix{\E&\!\C},\cr  \noalign{\vskip-5pt}
   \pmatrix{-\C^T&\!\E} = {}
  &\pmatrix{\hfill1/4& -3/4& 1& 0\cr -1/2& -1/2& 0& 1} \sim
   \pmatrix{1 &-3 &4 & \hfill 0\cr 1 &\hfill 1 &0 &-2}
}
$$
P�i v�po�tu jsme pou�ili v�tu\cite[genbasehomo].
$\ker\a = \lob<(1,-3,4,0),(1,1,0,-2)>$,
$\defekt\a = \dim\ker\a = 2$.

Tento p��klad ilustruje line�rn� zobrazen�, kter� nen� prost� (proto�e
$\defekt\a>0$) a tak� nen� \uv{na}~$\R^3$ (proto�e $\dim\R^3=3$, ale $\hod\a=2$).

\veta [hod=hod]
%%%%%
Nech� $\A\in\R^{m,n}$.
Hodnost line�rn�ho zobrazen� $\a:\R^n\to\R^m$, kter� je d�no p�edpisem
$\a(\vec x)=\A\cdot\vec x$, je rovna hodnosti matice $\A$, tedy:
$$
  \hod\a = \hod\A
$$

\dukaz
D�kaz povedeme stejn�, jako kdy� jsme po��tali hodnost zobrazen� 
v p�edchoz�m p��kladu. Nech� $\{\vecc e_n\}$ je standardn� 
b�ze line�rn�ho prostoru $\R^n$. D�ky vlastnostem maticov�ho n�soben�
je $\A\cdot\vec e_i$ rovno $i$-t�mu sloupci matice $\A$. Podle 
definic\cite[defhod] a\cite[dhodnost] plat�:
$$
  \hod\a = \dim\a(\R^n) = \dim \a(\lob<\vecc e_n>) =
  \dim \lob<\a(\vec e_1), \a(\vec e_2), \ldots, \a(\vec e_n)> =
  \hod\A^T = \hod\A.
$$

\poznamka
%%%%%%%%%
Je-li d�na matice $\A\in\R^{m,n}$, pak j�drem line�rn�ho zobrazen�
$\A\cdot\vec x$ je line�rn� podprostor v�ech �e�en� homogenn� soustavy
$\A\cdot\vec x=\vec o$, tedy jej� nulov� prostor $\nullsp\A$.

\poznamka
%%%%%%%%%
V�ta\cite[def+hod] \uv{$\defekt\a+\hod\a=\dim L_1$} p�ech�z� v p��pad� zobrazen�
typu $\A\cdot\vec x$ na v�tu\cite[dimhomo] 
\uv{$\dim \nullsp\A+\hod\A = {}$po�et nezn�m�ch soustavy line�rn�ch
rovnic s~matic�~$\A$}.
Defekt je toti� dimenze kernelu, co� je dimenze nulov�ho prostoru
matice $\A$. Hodnost zobrazen� je dle
v�ty\cite[hod=hod] rovna hodnosti matice. Kone�n� $\dim L_1$ je rovna
po�tu sloupc� v matici $\A$, tedy po�tu nezn�m�ch soustavy.

\poznamka
%%%%%%%%%
V n�sleduj�c�m textu na chv�li opust�me zobrazen� typu $\A\cdot\vec x$, 
abychom se k n�mu pozd�ji znovu vr�tili obohaceni o dal�� poznatky
o obecn�ch line�rn�ch zobrazen�ch. Pak u� budeme moci dok�zat, �e
ka�d� line�rn� zobrazen� line�rn�ch prostor� kone�n� dimenze je 
(a� na izomorfismus) zobrazen� typu $\A\cdot\vec x$, kde $\A$ je
n�jak� matice.

\okraj Line�rn� prostor\hb line�rn�ch zobrazen� |
       Linearni prostor linearnich zobrazeni

\poznamka
%%%%%%%%%
Nech� $L_1$ a $L_2$ jsou line�rn� prostory.
Symbolem $T$ ozna�me mno�inu v�ech line�rn�ch zobrazen� z $L_1$ do $L_2$.
V n�sleduj�c� definici zavedeme sou�et dvou zobrazen�, kter� jsou
prvky mno�iny~$T$, a $\alpha$-n�sobek takov�ho zobrazen�. Ve v�t�\cite[lpZzob]
pak dok�eme, �e mno�ina $T$ s t�mito operacemi tvo�� line�rn�
prostor.

\definice [lplzob]
%%%%%%%%%
Nech� $\a:L_1\to L_2,\, \b: L_1\to L_2$ jsou line�rn� zobrazen� a $\alpha\in\R$. 
Pak definujeme sou�et line�rn�ch zobrazen� $\a+\b: L_1\to L_2$ p�edpisem
$(\a+\b)(\vec x) = \a(\vec x) + \b(\vec x)$ pro v�echna 
$\vec x\in L_1$. D�le definujeme $\alpha$-n�sobek
zobrazen� $\a$ jako zobrazen� $\alpha\a : L_1\to L_2$,
kter� spl�uje $(\alpha\a)(\vec x) = \alpha\a(\vec x)$ 
pro v�echna $\vec x\in L_1$.

\veta [lpZzob]
%%%%%
Nech� $L_1$ a $L_2$ jsou line�rn� prostory a ozna�me $T=\{\a: L_1\to L_2\}$.
Pak $T$ s operacemi podle definice\cite[lplzob] je line�rn� prostor.

\dukaz
%%%%%%
Nejprve je pot�eba dok�zat, �e sou�et line�rn�ch zobrazen� je line�rn�
zobrazen� a $\alpha$ n�sobek line�rn�ho zobrazen� je tak� line�rn�
zobrazen�. Tedy pro n� mus� platit vlastnosti (1) a (2) z definice\cite[linzob].
Nech� $\a\in T, \b\in T, \alpha\in\R$.
Pro $\vec x\in L_1, \vec y\in\nobreak L_1$ a $\gamma\in\R$ plat�: 
$$
  \eqalign{
  (1)\ &\ (\a+\b)(\vec x+\vec y) = \a(\vec x+\vec y) + \b(\vec x+\vec y) = 
  \bigl(\a(\vec x)+\a(\vec y)\bigr) + \bigl(\b(\vec x)+\b(\vec y)\bigr) =\cr
   &\hskip 71pt = \bigl(\a(\vec x)+\b(\vec x)\bigr) + 
    \bigl(\a(\vec y)+\b(\vec y)\bigr) = 
     (\a+\b)(\vec x) + (\a+\b)(\vec y),\cr
  (2)\ &\ (\a+\b)(\gamma \vec x) = \a(\gamma \vec x) + \b(\gamma \vec x) =
                       \gamma \a(\vec x) + \gamma \b(\vec x) = 
                       \gamma\bigl(\a(\vec x)+\b(\vec x)\bigr) =
                       \gamma (\a+\b)(\vec x), \cr
       &\ \hbox{tj. $\a+\b$ je line�rn�,}\cr
  (1)\ &\ (\alpha\a)(\vec x+\vec y) = \alpha \a(\vec x+\vec y) = 
  \alpha \bigl(\a(\vec x) + \a(\vec y)\bigr) = \alpha\a(\vec x)
  + \alpha\a(\vec y) =
  (\alpha\a)(\vec x) + (\alpha\a)(\vec y), \cr
  (2)\ &\ (\alpha\a)(\gamma \vec x) = \alpha\a(\gamma \vec x) = 
  \alpha\bigl(\gamma\a(\vec x)\bigr) = (\alpha\gamma)\a(\vec x) =
  \gamma\bigl(\alpha\a(\vec x)\bigr) = \gamma (\alpha\a)(\vec x),\cr
       &\ \hbox{tj. $\alpha\a$ je line�rn�.} 
}
$$
D�le je t�eba dok�zat, �e pro operace $+$ a $\cdot$ 
z definice\cite[lplzob] plat� axiomy linearity, tedy vlastnosti
(1) a� (7) z definice\cite[dlp]. Argumentace je zcela stejn�, jako 
v~p��kadu\cite[LPfunkci], tak�e ji zde nebudeme opakovat. Rozd�l je jen 
v tom, �e se p�i argumentaci neop�r�me o vlastnosti s��t�n� a n�soben�
re�ln�ch ��sel, ale op�r�me se o axiomy linearity, kter� plat� 
v~line�rn�m prostoru $L_2$. 

\okraj Line�rn�\hb zobrazen�\hb na b�zi | Linearni zobrazeni na basi

\poznamka
%%%%%%%%%
N�sleduj�c� v�ta ukazuje, �e pokud zn�me hodnoty zobrazen� 
$\a:L_1\to L_2$ jen na b�zi line�rn�ho prostoru $L_1$ a 
toto zobrazen� m� b�t line�rn�, pak takov� zobrazen� existuje a je
hodnotami na b�zi jednozna�n� ur�eno. 
% Z t�to v�ty pak snadno odvod�me, �e ka�d� line�rn� zobrazen� $\a:\R^n\to\R^m$
% je typu $\A\cdot\vec x$, kde $\A$ je matice typu $(m,n)$.

\veta* [zobnabasi]
%%%%%
Nech� $\{\vecc b_n\}$ je b�ze line�rn�ho prostoru $L_1$ a nech� jsou
d�ny libovoln� vektory $\vecc y_n$ z~line�rn�ho prostoru $L_2$. Pak
existuje pr�v� jedno line�rn� zobrazen� $\a:L_1\to L_2$, pro 
kter� plat�
$$
  \a(\vec b_i) = \vec y_i, \quad \forall i \in \{1,2,\ldots,n\}.
  \rce(anabasi)
$$

\dukaz
%%%%%%
(1) Existence. Nech� $\vec x\in L_1$. Proto�e $\{\vecc b_n\}$
je b�ze $L_1$, existuj� sou�adnice $\alpha_i\in\R$ vektoru $\vec x$ 
takov�, �e $\vec x = \lkvecc \alpha.b_n$.
Hodnotu zobrazen� $\a$ v bod� $\vec x$ nyn� definujeme takto:
$$
  \a(\vec x) = \lkvecc \alpha.y_n. \rce(apodlebase)
$$
Zobrazen�, kter� vektor�m p�i�azuje jejich sou�adnice, je line�rn�
(viz v�tu\cite[sour-lin]).
Z toho plyne, �e zobrazen� $\a$ definovan� vzorcem\cite(apodlebase) je line�rn�.
Pe�liv�j�� �ten�� si to rozep��e podrobn�ji.

Proto�e sou�adnice vektoru $\vec b_i$ vzhledem k b�zi $(B)$ jsou
v�echny nulov� s v�jimkou $i$-t� sou�adnice, kter� je rovna jedn�,
plat� 
$$
  \a(\vec b_i) = \sum_{\textstyle{j=0\atop j\not=i}}^n 0\cdot \vec y_j 
                 + 1\cdot \vec y_i = \vec y_i,
$$
tak�e zobrazen� definovan� vzorcem\cite(apodlebase) spl�uje
po�adovanou vlastnost\cite(anabasi). 

(2) Jednozna�nost. Nech� je�t� $\b:L_1\to L_2$ je line�rn� a spl�uje 
vlastnost\cite(anabasi). Pak je line�rn� i zobrazen� 
$(\a-\b):L_1\to L_2$, proto�e mno�ina line�rn�ch zobrazen� tvo�� podle
v�ty\cite[lpZzob] line�rn� prostor. Plat� $(\a-\b)(\vec b_i) = \vec o$
$\forall i\in\{1,2,\ldots,n\}$, proto�e $\a$ i $\b$ spl�uj�
vlastnost\cite(anabasi).
Z~linearity zobrazen� $\a-\b$ plyne, �e
$$
  \eqalign{
  (\a-\b)(\vec x) &= (\a-\b)(\lkvecc \alpha.b_n) = \cr
  &= \alpha_1\,(\a-\b)(\vec b_1) + \alpha_2\,(\a-\b)(\vec b_2) +
  \cdots + \alpha_n\,(\a-\b)(\vec b_n) = \cr
  &= \alpha_1\,\vec o + \alpha_2\,\vec o + \cdots + \alpha_n\,\vec o =
  \vec o. }
$$ 
Vid�me, �e zobrazen� $\a-\b$ je nulov� na cel�m defini�n�m oboru,
tak�e $\a=\b$.

\poznamka
%%%%%%%%%
V d�kazu v�ty\cite[zobnabasi] jsme uvedli d�le�it�
vzorec\cite(apodlebase), kter� ukazuje, jak naj�t hodnotu line�rn�ho
zobrazen� pro libovoln� vektor $\vec x\in L_1$, zn�me-li hodnoty
tohoto zobrazen� jen na n�jak� b�zi line�rn�ho prostoru $L_1$.

\priklad [R3toR4]
%%%%%%%%
P�edpokl�dejme, �e $\a:\R^3 \to \R^4$ je line�rn� zobrazen�.
Najdeme vzorec pro v�po�et hodnoty zobrazen� $\a(x_1,x_2,x_3)$, je-li zn�mo:
$$
  \a(1,1,2) = (1,0,1,0), \quad
  \a(1,2,2) = (2,0,2,0), \quad
  \a(2,1,5) = (1,2,2,1).
$$
Proto�e jsou vektory $(1,1,2),(1,2,2),(2,1,5)$ line�rn� nez�visl� a
jsou t�i, tvo�� podle pozn�mky\cite[dusl123] b�zi 
line�rn�ho prostoru~$\R^3$. Zn�me hodnoty hledan�ho zobrazen� 
na b�zi~$\R^3$, tak�e podle v�ty\cite[zobnabasi] m��eme 
jednozna�n� ur�it hodnoty $\a$ i v ostatn�ch bodech defini�n�ho oboru.
Budeme postupovat stejn�, jako v~d�kazu v�ty\cite[zobnabasi].

Nech� $(x_1, x_2, x_3)$ je libovoln� vektor z~$\R^3$. Najdeme
sou�adnice tohoto vektoru vzhledem k~uspo��dan� b�zi 
$\bigl((1,1,2),(1,2,2),(2,1,5)\bigr)$:
$$
  (x_1,x_2,x_3) = \alpha\,(1,1,2) + \beta\,(1,2,2) + \gamma\,(2,1,5).
$$
To vede na soustavu t�� rovnic o t�ech nezn�m�ch
$\alpha,\beta,\gamma$. Eliminujme jej� roz���enou matici:
$$
  \def\|{\kern4pt\strut\vrule}
  \matice{1&1&2\|& x_1\cr 1&2&1\|& x_2\cr 2&2&5\|& x_3} \sim
  \matice{1&1&2\|& x_1\hfil\cr 0&1&\!-1\|& x_2-x_1\hfil\cr 
          0&0&1\|& x_3-2x_1} \sim
  \matice{1&0&0\|& 8x_1 - x_2 -3x_3\hfil\cr 
          0&1&0\|& -3x_1 + x_2 + x_3\hfil\cr 
          0&0&1\|& x_3-2x_1\hfil}.
$$
Plat� tedy
$$
  \eqalign{
    (x_1,x_2,x_3) &= (8x_1 - x_2 -3x_3)\cdot(1,1,2) +
                    (-3x_1 + x_2 + x_3)\cdot(1,2,2) +
                    (x_3-2x_1)\cdot(2,1,5), \cr
    \a(x_1,x_2,x_3) &= \a\bigl((8x_1 - x_2 -3x_3)\cdot(1,1,2) +
                    (-3x_1 + x_2 + x_3)\cdot(1,2,2) +
                    (x_3-2x_1)\cdot(2,1,5)\bigr) = \cr
   &= (8x_1 - x_2 -3x_3)\cdot\a(1,1,2) +
                    (-3x_1 + x_2 + x_3)\cdot\a(1,2,2) +
                    (x_3-2x_1)\cdot\a(2,1,5) = \cr
   &= (8x_1 - x_2 -3x_3)\cdot(1,0,1,0) +
                    (-3x_1 + x_2 + x_3)\cdot(2,0,2,0) +
                    (x_3-2x_1)\cdot(1,2,2,1) = \cr
   &= (x_2,\; -4x_1+2x_3,\; -2x_1+x_2+x_3,\; -2x_1+x_3).
  }
$$   


\okraj Matice\hb zobrazen� $\R^n\to\R^m$ | Matice zobrazeni Rn -> Rm

\veta [aRA]
%%%%%
Pro ka�d� line�rn� zobrazen� $\a: \R^n\to\R^m$ existuje pr�v� jedna
matice $\A\in\R^{m,n}$ takov�, �e $\a(\vec x) = \A\cdot\vec x$.

\dukaz
Nech� je d�no zobrazen� $\a:\R^n\to\R^m$. Ozna�me $(S_n)=(\vecc e_n)$
standardn� b�zi v~$\R^n$. Hodnoty $\a(\vec e_i)$ pro
$i=\{1,2,\ldots,n\}$ zapi�me jako sloupcov� vektory vedle sebe do
matice, kterou ozna��me $\A$. Tedy 
$\A=\bigl(\a(\vec e_1)\ \a(\vec e_2)\ \ldots\ \a(\vec e_n)\bigr)$.
Je z�ejm�, �e zobrazen�, kter� vektoru $\vec x$ p�i�ad� vektor
$\A\cdot\vec x$, m� pro $\vec x\in\{\vecc e_n\}$ stejn�
hodnoty, jako dan� zobrazen� $\a$. Podle v�ty\cite[zobnabasi] existuje
jedin� line�rn� zobrazen� s takovou vlastnost�.

Pro� je matice $\A$ zobrazen�m $\a$ jednozna�n� ur�ena? 
Jin� matice odpov�d� zobrazen�, kter� m� jin�
hodnoty pro $\vec x\in\{\vecc e_n\}$, tak�e to je jin� zobrazen�.


\definice [defaRA]
%%%%%%%%%
Nech� $\a:\R^n\to \R^m$ je line�rn� zobrazen�. Matici $\A$, pro kterou
je $\A\cdot\vec x = \a(\vec x)$, naz�v�me {\em matic� line�rn�ho
zobrazen� $\a$}.

\poznamka
%%%%%%%%%
D�kaz v�ty\cite[aRA] d�v� n�vod, jak matici zobrazen� $\a$ sestavit.
Do sloupc� matice je t�eba zapsat obrazy vektor� standardn� b�ze.

\priklad [mR3toR4]
%%%%%%%%
V p��kladu\cite[R3toR4] jsme m�li zobrazen� $\a:\R^3\to\R^4$ d�no
hodnotami na b�zi a vypo��tali jsme, �e 
$\a(x_1,x_2,x_3) = (x_2,\; -4x_1+2x_3,\; -2x_1+x_2+x_3,\; -2x_1+x_3)$.
Nyn� najdeme jeho matici, hodnost, j�dro a defekt.

Matici m��eme hledat dv�ma zp�soby. Obrazy b�zov�ch vektor� standardn�
b�ze musej� b�t zaps�ny postupn� do sloupc� matice $\A$. Nebo jinak:
koeficienty line�rn�ch kombinac� jednotliv�ch slo�ek obrazu vektoru 
$(x_1,x_2,x_3)$ musej� b�t zaps�ny do ��dk� matice $\A$. Vyzkou�ejte
si oba p��stupy. Tak�e:
$$
  \A = \pmatrix{\hfill0&1&0\cr -4&0&2\cr -2&1&1\cr -2&0&1}
$$
Hodnost zobrazen� je rovna hodnosti jeho matice 
(v�ta\cite[hod=hod]), j�dro zobrazen� je
rovno nulov�mu prostoru jeho matice a defekt je roven
$\dim\R^n-\hod\a$. N��e jsou uvedeny s t�m souvisej�c� v�po�ty.
$$
  \A = \pmatrix{\hfill0&1&0\cr -4&0&2\cr -2&1&1\cr -2&0&1} \sim
  \pmatrix{2&0&\!\!-1\cr 0&1&\hfill0}, \quad 
  \vcenter{\hbox{$\hod\a = \hod\A = 2$}
        \hbox{$\defekt\a = 3 - \hod\a = 1$, $\ker\a = \nullsp\A = \lob<(1,0,2)>$.}}
$$

\okraj Matice zobrazen� vzhledem k b�z�m | Matice zobrazeni vzhledem k basim

\obrazek .33+.02 11 obr8
{
  \p 22 16 L_1
  \p 25 118 L_2
  \p 20 65 {\a}
  \p 55 14 (B)
  \p 60 120 (C)
  \p 95 8  \c_B
  \p 95 126 \c_C
  \p 135 80 \a'
  \p 150 27 \R^n
  \p 150 123 \R^m
  \p 160 70 \A\cdot\vec x
}
\poznamka
%%%%%%%%%
V definici\cite[defaRA] jsme p�i�adili matici ka�d�mu line�rn�mu
zobrazen� z $\R^n$ do $\R^m$. Omezili jsme se tedy na zobrazen�, kter�
zobrazuj� uspo��dan� $n$-tice na uspo��dan� $m$-tice. 
V~n�sleduj�c� definici zavedeme matici line�rn�ho zobrazen� libovoln�ch 
line�rn�ch prostor� kone�n� dimenze. 

\definice* [defAa]
%%%%%%%%%
Nech� $\a: L_1\to L_2$ je line�rn� zobrazen� a
p�edpokl�dejme, �e $\dim L_1=n$ a $\dim L_2=m$. V�ta\cite[isoRn]
n�m zaru�uje, �e $L_1$ je izomorfn� s $\R^n$ a $L_2$ je izomorfn� 
s~$\R^m$. V line�rn�m prostoru~$L_1$ zvolme n�jakou uspo��danou b�zi
$(B)$ a v~line�rn�m prostoru~$L_2$ zvolme uspo��danou b�zi $(C)$.
Ozna�me $\c_B: L_1\to\R^n$ izomorfismus, kter� p�i�azuje vektoru 
$\vec u\in L_1$ jeho sou�adnice vzhledem 
k~uspo��dan� b�zi $(B)$. Nech� d�le $\c_C: L_2\to\R^m$ je
izomorfismus, kter� p�i�azuje vektoru 
$\vec v\in L_2$ jeho sou�adnice vzhledem 
k~uspo��dan� b�zi $(C)$. Slo�en� zobrazen�
$\a' = \c_C \circ \a \circ \c_B^{-1}$ je zobrazen�m z~$\R^n$ do $\R^m$
a m� tedy podle v�ty\cite[aRA] svou matici $\A\in\R^{m,n}$. Tuto matici naz�v�me
{\em matic� zobrazen� $\a$ vzhledem k b�z�m $(B)$ a $(C)$}
a zna��me ji $\A=\m_{B,C}(\a)$.
\ha 10
\inl[matice: zobrazen�]
\inl[matice: line�rn�ho zobrazen�]

\veta* [Aasour]
%%%%%
Nech� $\a: L_1\to L_2$ je line�rn� zobrazen�, $\dim L_1=n$ a $\dim L_2=m$. 
Nech� $(B)$ je uspo��dan� b�ze v $L_1$ a $(C)$ je uspo��dan� b�ze v
$L_2$. Nech� $\A=\m_{B,C}(\a)$ je matice zobrazen� $\a$ vzhledem k b�z�m
$(B)$ a $(C)$.
Nech� $\vec u\in L_1$, $\vec v\in L_2$, $\a(\vec u) = \vec v$.
Nech� $\vec x=\c_B(\vec u)^T$ jsou sou�adnice vektoru $\vec u$ vzhledem
k~b�zi $(B)$ a $\vec y=\c_C(\vec v)^T$ jsou sou�adnice vektoru $\vec v$
vzhledem k b�zi $(C)$. Pak $\A\cdot\vec x=\vec y$. Lapid�rn� �e�eno,
pro ka�d� $\vec u\in L_1$ plat�:
$$
  \A\cdot\pmatrix{\hbox{sou�adnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \vec u\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(B)$}} = 
  \pmatrix{\hbox{sou�adnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \a(\vec u)\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(C)$}}
  \rce(akratsouradnice)
$$
Obr�cen�: ka�d� matice $\A\in\R^{m,n}$, kter�
spl�uje\cite(akratsouradnice) pro v�echny vektory $\vec u\in L_1$, je
matic� zobrazen� $\a$ vzhledem k~b�z�m $(B)$ a $(C)$.

\dukaz
V�ta je jen v jin� form� zapsan� definice\cite[defAa] matice
line�rn�ho zbrazen� vzhledem k b�z�m $(B)$ a $(C)$. Zobrazen� $\a'$ z
t�to definice zobrazuje sou�adnice vektoru $\vec u$ vzhledem k~b�zi $(B)$ 
na sou�adnice vektoru $\a(\vec u)$ vzhledem k~b�zi $(C)$, 
tedy zobraz� $\vec x$ na $\vec y$. Matice $\A$ 
zobrazen� $\a'$ podle definice\cite[defaRA] spl�uje 
$\A\cdot\vec x = \vec y$. 

Obr�cen�: sta�� uk�zat, �e nemohou existovat dv� r�zn� 
matice spl�uj�c�\cite(akratsouradnice) pro v�echna $\vec u\in L_1$. 
Ozna�me $(B)=(\vecc b_n)$ a dosad�me do rovnosti\cite(akratsouradnice) 
postupn� $\vec u=\vec b_i$. Sou�adnice vektoru $\vec b_i$ vzhledem k b�zi
$(B)$ je vektor $\vec e_i = (0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)^T$, kde jedni�ka
je v~$i$-t� slo�ce. Maticov� n�soben� $\A\cdot\vec e_i$ je rovno
$i$-t�mu sloupci matice $\A$. Tak�e matice $\A$ mus� v $i$-t�m sloupci
obsahovat sou�adnice vektoru $\a(\vec b_i)$ vzhledem k b�zi $(C)$.
Takov� matice je jenom jedin� a je z�ejm� matic� zobrazen� $\a$
vzhledem k~b�z�m $(B)$ a $(C)$. 

\veta* [Asloupce]
%%%%%
Nech� $\a: L_1\to L_2$ je line�rn� zobrazen�. 
Nech� $(B)=(\vecc b_n)$ je uspo��dan� b�ze v~$L_1$ a 
$(C)=(\vecc c_m)$ je uspo��dan� b�ze v $L_2$.
Matice $\A$ je matic� zobrazen� $\a$ vzhledem k~b�z�m~$(B)$ a $(C)$ 
pr�v� tehdy, kdy� obsahuje 
v $i$-t�m sloupci sou�adnice vektoru $\a(\vec b_i)$ 
vzhledem k~b�zi~$(C)$ pro v�echna $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.

\dukaz
Viz druhou ��st d�kazu p�edchoz� v�ty.

\veta* [matzob]
%%%%%
Nech� $\a: L_1\to L_2$ je line�rn� zobrazen�. 
Nech� $(B)=(\vecc b_n)$ je uspo��dan� b�ze v~$L_1$ a 
$(C)=(\vecc c_m)$ je uspo��dan� b�ze v $L_2$. 
Matice $\A$ je matic� zobrazen� $\a$ vzhledem k~b�z�m~$(B)$ 
a $(C)$ pr�v� tehdy, kdy� spl�uje maticovou rovnost
$$
  \bigl(\a(\vec b_1)\ \ \a(\vec b_2)\ \ \ldots\ \ \a(\vec b_n)\bigr) 
  = (\vec c_1\ \ \vec c_2\ \ \ldots\ \ \vec c_m)\cdot\A.
  \rce(mzob)
$$
Uvedenou rovnost �teme takto: jedno��dkov� matice s obrazy
b�zov�ch vektor� $\a(\vec b_i)$ je rovna sou�inu jedno��dkov� 
matice s b�zov�mi vektory $\vec c_i$ a matice $\A\in\R^{m,n}$. 

\dukaz
Matice $\A$ spl�uje rovnost\cite(mzob) pr�v� tehdy,
kdy� $i$-t� sloupec matice $\A$ obsahuje sou�adnice vektoru 
$\a(\vec b_i)$ vzhledem k b�zi $(C)$. Sta�� si rozepsat maticov�
n�soben� na prav� stran� rovnosti\cite(mzob) po sloupc�ch matice $\A$.
D�le pou�ijeme v�tu\cite[Asloupce].

\poznamka
%%%%%%%%%
Matici zobrazen� jsme definovali jednak v definici\cite[defaRA] a
tak� v~definici\cite[defAa]. 
Je z�ejm�, �e matice zobrazen� bez uveden� b�z� 
(podle definice\cite[defaRA]) je z pohledu definice\cite[defAa]
matic� zobrazen� vzhledem ke standardn�m b�z�m $(S_n)$ v $\R^n$ a
$(S_m)$ v $\R^m$. Je to z toho d�vodu, �e slo�ky vektoru z $\R^n$ 
jsou podle v�ty\cite[snsour] rovny sou�adnic�m vektoru vzhledem ke
standardn� b�zi.

Domluv�me se na tom, �e pokud budeme
pracovat s line�rn�mi zobrazen�mi $\R^n\to\R^m$ a pouze se standardn�mi
b�zemi v $\R^n$ a $\R^m$, pak nemus�me 
v~p��pad� matice zobrazen� explicitn� mluvit o b�z�ch (jako v~definici\cite[defaRA]).
V ostatn�ch p��padech budeme b�ze v souvislosti s matic� zobrazen�
v�dy uv�d�t.


\priklad [derpol]
%%%%%%%%
Nech� $L_1$ je line�rn� prostor v�ech polynom� nejv��e t�et�ho stupn�
a $L_2$ je line�rn� prostor v�ech polynom� nejv��e druh�ho
stupn�. Uva�ujme zobrazen� $\a: L_1\to L_2$, kter� derivuje polynomy,
tedy $\a(p)=p'$. Toto zobrazen� je z�ejm� line�rn�.
V line�rn�m prostoru $L_1$ zvolme uspo��danou b�zi
$(B)=(1,x,x^2,x^3)$ a v line�rn�m prostoru $L_2$ zvolme uspo��danou b�zi
$(C)=(1,x,x^2)$. Najdeme matici zobrazen� $\a$ vzhledem k b�z�m $(B)$
a $(C)$.

Obrazy b�zov�ch vektor� jsou: $\a(1) = 0$, $\a(x) = 1$, 
$\a(x^2) = 2x$, $\a(x^3) = 3x^2$. Sou�adnice t�chto obraz� vzhledem k
b�zi $(C)$ jsou: $\c_C(0) = (0,0,0)$, $\c_C(1) = (1,0,0)$, 
$\c_C(2x) = (0,2,0)$, $\c_C(3x^2) =\nobreak (0,0,3)$. Abychom z�skali matici
zobrazen� $\a$ vzhledem k b�z�m $(B)$ a $(C)$, je pot�eba
podle v�ty\cite[Asloupce] uveden� sou�adnice zapsat do sloupc�:
$$
  \A = \pmatrix{0&1&0&0\cr 0&0&2&0\cr 0&0&0&3}
$$
Zkusme nyn� derivovat polynomy pomoc� maticov�ho n�soben�.
Polynom $ax^3+bx^2+cx+d$ m� v~uspo��dan� b�zi~$(B)$ sou�adnice $(d,c,b,a)$.
Sou�adnice jeho obrazu (tj. v tomto p��klad� jeho derivace) 
vzhledem k~uspo��dan� b�zi $(C)$ najdeme podle v�ty\cite[Aasour] 
maticov�m n�soben�m:
$$
  \pmatrix{0&1&0&0\cr 0&0&2&0\cr 0&0&0&3}\cdot
  \pmatrix{d\cr c\cr b\cr a} = \pmatrix {c\cr 2b\cr 3a}
$$
tedy zderivovan� polynom je $3a x^2 + 2bx + c$.

\priklad [bR3toR4]
%%%%%%%%
Najdeme matici zobrazen� $\a:\R^3\to\R^4$ z p��kladu\cite[R3toR4] 
vzhledem k uspo��dan�m b�z�m $(B)$ a
$(S_4)$, kde $(B) = \bigl((1,1,2),(1,2,2),(2,1,5)\bigr)$ a $(S_4)$
je standardn� b�ze v $\R^4$.

Proto�e sou�adnice vektor� z $\R^4$ vzhledem ke standardn� b�zi $S_4$ 
jsou p��mo rovny slo�k�m t�chto vektor� (viz v�tu\cite[snsour]), sta��
napsat slo�ky obraz� vektor� z $(B)$ do sloupc� matice. Tyto obrazy
jsou p��mo v zad�n� p��kladu:
$$
  \m_{B,S_4}(\a) = \pmatrix{1&2&1\cr 0&0&2\cr 1&2&2\cr 0&0&1}.
$$
Pov�imneme si, �e k sestaven� t�to matice jsme nepot�ebovali zn�t
vzorec pro $\a(x_1,x_2,x_3)$, sta�ilo sepsat do sloupc� matice �daje,
kter� byly obsahem zad�n� p��kladu. Na druh� stran� k sestaven� 
matice~$\m_{S_3,S_4}$ (viz p��klad\cite[mR3toR4]) jsme vzorec 
pro $\a(x_1,x_2,x_3)$ pot�ebovali zn�t.

\okraj Transfor\-mace | Transformace

\poznamka
%%%%%%%%%
V mnoha p��kladech na line�rn� zobrazen� se setk�v�me se zobrazen�m do
stejn�ho line�rn�ho prostoru. Bude tedy u�ite�n� uv�st n�sleduj�c� definici.

\definice
%%%%%%%%%
Line�rn� zobrazen� $\a:L\to L$ (tj. z line�rn�ho prostoru do {\it t�ho�\/}
line�rn�ho prostoru) se naz�v� {\em line�rn� transformace}. 
Nech� $\a: L\to L$ je line�rn� transformace, $\dim L=n$. Matici
$\m_{B,B}(\a)\in\nobreak\R^{n,n}$ naz�v�me
{\em matic� transformace vzhledem k uspo��dan� b�zi $(B)$}. U�et��me si tedy kokt�n�:
m�sto abychom mluvili o~matici line�rn�ho zobrazen� vzhledem k b�z�m
$(B)$ a $(B)$, ��k�me stru�n�ji matice transformace vzhledem k~b�zi~$(B)$.
\inl[line�rn�: transformace, transformace]
\inl[matice: transformace]


\priklad [projekce]
%%%%%%%%
V line�rn�m prostoru $U_O$ orientovan�ch �se�ek se spole�n�m 
po��tkem~$O$ (viz p��klad\cite[lpvv]) jsou d�ny t�i line�rn� nez�visl�
vektory $\vec b_1, \vec b_2, \vec b_3$. Uva�ujme transformaci
$\a: U_O\to U_O$, kter� ka�d� orientovan� �se�ce p�i�ad� jej� st�n na
rovin� proch�zej�c� vektory $\vec b_2, \vec b_3$, 
p�itom sv�teln� paprsky jsou rovnob�n� s~vektorem $\vec b_1$.
Takov� transformace se naz�v� {\em projekce}.
\inl[projekce]

Z�ejm� je $(B)=(\vec b_1, \vec b_2, \vec b_3)$ uspo��dan� 
b�ze line�rn�ho prostoru $U_O$. Najdeme matici $\m_{B,B}(\a)$ 
transformace $\a$ vzhledem k uspo��dan� b�zi $(B)$. 
 
Plat� $\a(\vec b_1) = \vec o$, $\a(\vec b_2) = \vec b_2$, 
$\a(\vec b_3) = \vec b_3$. Sou�adnice t�chto obraz� vzhledem k b�zi
$(B)$ po �ad� jsou $(0,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$. Tyto sou�adnice
zap��eme do sloupc� hledan� matice:
$$
  \A = \pmatrix{0&0&0\cr0&1&0\cr0&0&1}.\qquad
  \hbox{Proto�e plat�:}\quad
  \pmatrix{0&0&0\cr0&1&0\cr0&0&1}\cdot\pmatrix{x\cr y\cr z} =
  \pmatrix{0\cr y\cr z},
$$
m� vektor $\vec u\in U_O$ se sou�adnicemi $(x,y,z)$ sv�j st�n, 
kter� m� sou�adnice $(0,y,z)$.

\priklad [rotace]
%%%%%%%%
V line�rn�m prostoru $U_O$ orientovan�ch �se�ek s po��tkem v bod� $O$
(viz p��klad\cite[lpvv]) zvolme podprostor $P$ dimenze~2 (vektory le��c�
ve spole�n� rovin�). V~tomto prostoru $P$ zvolme b�zi
$(B)=(\vec b_1,\vec b_2)$ tak, �e vektory b�ze jsou na sebe kolm� a
maj� jednotkovou velikost (jako na obr�zku n��e). Transformaci, 
kter� oto�� ka�d� vzor o pevn� zvolen� �hel $\alpha$ 
ozna��me ${\cal R}_\alpha:P\to P$ a budeme j� ��kat 
{\em rotace}. Najdeme matici $\m_{B,B}({\cal R}_\alpha)$ 
t�to transformace vzhledem k b�zi $(B)$.

\noendpar
\dolu 8mm
\obrazek .37+.02 12 obr10
{
  \p 110 54 O
  \p 103 160 \vec b_1
  \p 60 150 \vec b_1'
  \p -4 54 \vec b_2
  \p 6 8 \vec b_2'
  \p 95 86 {\alpha}
  \p 72 49 {\alpha}
  \p 110 136 {\cos\alpha}
  \p 110 0 {-\sin\alpha}
  \p 53 62 {\sin\alpha}
  \p 13 62 {\cos\alpha}
}
Na obr�zku jsou krom� b�ze $(B)=(\vec b_1, \vec b_2)$ vyzna�eny t� obrazy b�ze
${\cal R}_\alpha(\vec b_1)=\vec b_1'$ a ${\cal R}_\alpha(\vec
  b_2)=\vec b_2'$, kter� jsou oto�eny vzhledem ke sv�m vzor�m o �hel $\alpha$.
Z vlastnost� funkc� kosinus a sinus plyne, �e
$$\vec b_1' = (\cos\alpha)\,\vec b_1 + (\sin\alpha)\,\vec b_2,$$
Z tohoto vztahu okam�it� vid�me sou�adnice obrazu $\vec b_1'$ 
vzhledem k~b�zi $(B)$.
V souladu s v�tou\cite[Asloupce] zap��eme tyto sou�adnice do prvn�ho
sloupce sestavovan� matice. D�le ze vztahu 
$$\vec b_2' =(-\sin\alpha)\,\vec b_1 +(\cos\alpha)\,\vec b_2$$ 
odhal�me
sou�adnice obrazu $\vec b_2'$ vzhledem k b�zi $(B)$ a
zap��eme je do druh�ho sloupce hledan� matice. Dost�v�me
$$
\m_{B,B}({\cal R}_\alpha) = \pmatrix {\cos\alpha & -\sin\alpha\cr
                                    \sin\alpha & \phantom{+}\cos\alpha}
$$
Nech� vektor $\vec u\in P$ m� sou�adnice $(x,y)$ vzhledem k b�zi
$(B)$. Vypo��t�me sou�adnice vektoru, kter� vznikne
oto�en�m vektoru $\vec u$ o �hlel $\alpha$. Pou�ijeme v�tu\cite[Aasour].
$$
  \pmatrix {\cos\alpha & -\sin\alpha\cr
            \sin\alpha & \phantom{+}\cos\alpha} \cdot
  \pmatrix {x\cr y} =
  \pmatrix {x\cos\alpha - y\sin\alpha \cr x\sin\alpha + y\cos\alpha}.
$$
Sou�adnice oto�en�ho vektoru vzhledem k b�zi $(B)$ tedy jsou $(x',y')$,
kde 
$$
  \eqalign{
  x'&=x\cos\alpha - y\sin\alpha, \cr 
  y'&=x\sin\alpha + y\cos\alpha.
}
$$

\okraj Hodnost\hb matice a zobrazen� | Hodnost matice a zobrazeni

\veta* [hodhod]
%%%%%
Nech� $\a:L_1\to L_2$ je line�rn� zobrazen� prostor� kone�n� dimenze,
nech� $\A$ je jeho matice vzhledem k n�jak� b�zi $(B)$ v $L_1$ a
b�zi $(C)$ v $L_2$. Pak $\hod\a=\hod\A$.

\dukaz
Symboly $\a'$, $\c_B$ a $\c_C$ v tomto d�kazu znamenaj� tot� co 
v~definici\cite[defAa].
D�ky v�t�\cite[hod=hod] sta�� uk�zat, �e $\hod\a=\hod\a'$, kde
$\a'=\c_C\circ\a\circ\c_B^{-1}$, neboli
$\a=\c_C^{-1}\circ\a'\circ\c_B$. Nech�
$(B)=(\vecc b_n)$ je b�ze v $L_1$ a 
$(S_n)=(\vecc e_n)$ je standardn� b�ze v $\R^n$.
Plat� $\vec e_i = \c_B(\vec b_i)$.
Nyn� spo��tejme $\hod\a$:
$$
  \eqalign{
  \hod\a&=\dim\a(L_1) = \dim\a\bigl(\lob<\vecc b_n>\bigr) =
  \dim\bigl\langle\a(\vec b_1), \a(\vec b_2), \ldots, 
      \a(\vec b_n)\bigr\rangle =\cr &=
  \dim\bigl\langle\c_C^{-1}\circ\a'\circ\c_B(\vec b_1),\ 
           \c_C^{-1}\circ\a'\circ\c_B(\vec b_2),\ \ldots,\ 
           \c_C^{-1}\circ\a'\circ\c_B(\vec b_n)\bigr\rangle = \cr &=
  \dim\,\c_C^{-1}\bigl(\bigl\langle\a'(\vec e_1),
           \a'(\vec e_2), \ldots, 
           \a'(\vec e_n)\bigr\rangle\bigr) \buildrel\star\over =
  \dim\bigl\langle\a'(\vec e_1), \a'(\vec e_2), \ldots, 
         \a'(\vec e_n)\bigr\rangle = \cr &=
  \dim \a'\bigl(\lob<\vecc e_n>\bigr) = \dim\a'(\R^n) = \hod\a'
  }
$$
Rovnost ozna�en� hv�zdi�kou plat� kv�li tomu, �e $\c_C^{-1}$ je isomorfismus,
tak�e zachov�v� dimenzi line�rn�ch podprostor�.

\veta [regultransf]
%%%%%
Line�rn� transformace prostoru kone�n� dimenze 
je prost� pr�v� tehdy, kdy� m� regul�rn� matici.

\dukaz
Line�rn� transformace 
$\a: L\to L$ je prost� pr�v� kdy� m� nulov� defekt 
(viz v�tu\cite[defA=proste]). To plat� pr�v� tehdy, kdy� 
$\hod\a=\hod\A=\dim L=n$ (viz v�ty\cite[def+hod] a \cite[hodhod]). 
Matice $\A\in\R^{n,n}$ transformace~$\a$ je regul�rn�
pr�v� tehdy, kdy� $\hod\A=n$ (viz v�tu\cite[hodreg]).

\priklad
%%%%%%%%
Ur��me hodnost a defekt line�rn�ho zobrazen� $\a$ z p��kladu\cite[derpol].

Hodnost zobrazen� $\a$ je rovna podle v�ty\cite[hodhod] hodnosti jeho
matice. Tu jsme sestavili v p��kladu\cite[derpol]. Matice zobrazen� 
m� hodnost~3, tedy i $\hod\a=3$. Defekt zobrazen� $\a$ spo��t�me podle vzorce
$\defekt\a+\nobreak\hod\a = \dim L_1=4$, tak�e $\defekt\a=1$.

\priklad
%%%%%%%%
Ur��me hodnost a defekt line�rn�ho zobrazen� $\a$ z~p��kladu\cite[projekce].

Hodnost zobrazen� $\a$ je rovna podle v�ty\cite[hodhod] hodnosti jeho
matice. Tu jsme sestavili v p��kladu\cite[projekce]. Matice zobrazen� 
m� hodnost~2, tedy i $\hod\a=2$. Defekt zobrazen� $\a$ spo��t�me podle vzorce
$\defekt\a+\nobreak\hod\a = \dim L_1=3$, tak�e $\defekt\a=1$.

Toto zobrazen� tedy p�evede 3D vzor ($\dim L_1=3$) na 2D obraz 
($\hod\a=2$), tedy p�i tomto zobrazen� ztr�c�me informace z jedn�
dimenze ($\defekt\a=1$). To vysv�tluje, pro� se tomuto zobrazen�
��k� projekce. S t�mto slovem se jist� �ten�� setkal 
v souvislosti s prom�t�n�m film�.

\priklad
%%%%%%%%
Proto�e matice z p��klad�\cite[mR3toR4] a\cite[bR3toR4] jsou maticemi stejn�ho
line�rn�ho zobrazen� (jen vzhledem k r�zn� b�zi v $L_1$), maj� hodnost
rovnu hodnosti tohoto zobrazen�. T�m je zaru�eno, �e tyto matice maj�
stejnou hodnost. Z v�sledku p��kadu\cite[mR3toR4] v�me, �e tyto matice 
maj� hodnost~3.

\priklad
%%%%%%%%
Matice rotace z p��kladu\cite[rotace] je regul�rn�, proto�e 
$\det\m_{B,B}({\cal R}_\alpha) = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.
Podle v�ty\cite[regultransf] je tedy rotace prost� transformace.

\priklad [scale]
%%%%%%%%
Budeme pracovat se stejn�m line�rn�m podprostorem $P$ orientovan�ch �se�ek
jako v~p��kladu\cite[rotace] a zvol�me stejnou uspo��danou 
b�zi $(B)$. Zvolme d�le ��sla $a\in\R$, $b\in\R$. 
Pop��eme transformaci ${\cal S}_{a,b}:P\to P$, kter� m� matici
$$
  \A = \pmatrix {a & 0 \cr 0 & b}
  \rce(mscale)
$$
vzhledem k b�zi $(B)$. Po pou�it� v�ty\cite[Aasour] vid�me, �e vektor $\vec u\in P$ se
sou�adnicemi $(x,y)$ se zobraz� na vektor se sou�adnicemi $(ax,by)$.
Co to geometricky znamen� pro r�zn� parametry $a$, $b$?

P�i $a=1$ a $b=1$ zobrazen� $\cal S$ ponech�v� vektor $\vec u$
beze zm�ny. Takov� transformaci ��k�me {\em identita}.

V p��pad� $a=-1$ a $b=1$ zobrazen� $\cal S$ transformuje vektor $\vec u$ na
jeho osov� soum�rn� prot�j�ek podle osy, kter� proch�z� vektorem $\vec b_2$.
V p��pad� $a=1$ a $b=-1$ zobrazen� $\cal S$ transformuje vektor $\vec u$ na
jeho osov� soum�rn� prot�j�ek podle osy, kter� proch�z� vektorem $\vec b_1$.
Takov� transformace se naz�vaj� {\em osov� soum�rnost}.

V p��pad� $a=-1$ a $b=-1$ zobrazen� $\cal S$ zobraz� vektor $\vec u$
na vektor $-\vec u$ a t�to transformaci ��k�me st�edov� soum�rnost
(podle po��tku $O$).

V p��pad� $a=0$ a $b=1$ je zobrazen� $\cal S$ projekc� na p��mku,
kter� proch�z� vektorem $\vec b_2$. V p��pad� $a=\nobreak1$ a $b=0$
je $\cal S$ projekc� na p��mku, kter� proch�z� vektorem $\vec b_1$.
V t�chto p��padech se 2D vzor \uv{prom�t�} na 1D obraz, tak�e zde m�me
v mno�in� vzor� i obraz� o jednu dimenzi m�n� ne� 
v~p��kladu\cite[projekce]. Je~$\hod{\cal S}=1$ a $\defekt{\cal S}=1$.

V p��pad� $a>0$ a $b=1$ je obraz $a$-kr�t deformov�n ve sm�ru vektoru
$\vec b_1$. V p��pad� $a=1$ a $b>0$ je obraz $b$-kr�t deformov�n ve
sm�ru vektoru $\vec b_2$. V p��pad� $a>0$ a $b>0$ je obraz deformov�n
v obou sm�rech. Takov� transformaci ��k�me {\em zm�na m���tka}.
P�i $a=b$ t�to transformaci ��k�me {\em stejnolehlost}.

Obecn� p��pad $a\in\R$ a $b\in\R$ odpov�d� transformaci zm�ny m���tka
p��padn� slo�enou s osovou nebo st�edovou soum�rnost�. P�i $a=0$ nebo
$b=0$ je $\cal S$ projekce. P�i $a=0$ i $b=0$ je $\cal S$ zobrazen�,
kter� ka�d�mu vektoru p�i�ad� nulov� vektor. Defekt tohoto zobrazen�
je~2 a hodnost nula. 

Zobrazen� ${\cal S}_{a,b}:P\to P$ s matic�\cite(mscale) budeme nad�le
��kat {\em zm�na m���tka}. Pod t�mto pojmem budeme zahrnovat i v�echny
speci�ln� p��pady zde vyjmenovan�.

\okraj Jednozna�\-nost matice zobrazen� | Jednoznacnost matice zobrazeni

\veta* [aisoA]
%%%%%
Nech� $L_1$ a $L_2$ jsou line�rn� prostory, $\dim L_1=n$, $\dim L_2=m$.
Line�rn� prostor v�ech line�rn�ch zobrazen� z $L_1$ do $L_2$ je
izomorfn� s line�rn�m prostorem matic $\R^{m,n}$. 

\exdukaz
Ozna�me $T$ line�rn� prostor v�ech line�rn�ch zobrazen� z $L_1$ do $L_2$.
Zvolme n�jakou uspo��danou b�zi v $L_1$ a ozna�me ji $(B)$. Tak�
ozna�me $(C)$ uspo��danou b�zi v $L_2$. (viz t� obr�zek 
u definice\cite[defAa]).
Uk�eme, �e 
zobrazen� $\m_{B,C}: T\to \R^{m,n}$, kter� p�i�azuje zobrazen�m z~$T$
jejich matice vzhledem k~b�z�m $(B)$ a $(C)$, je izomorfismus.

Obrazy zobrazen� $\m_{B,C}$ jednozna�n� existuj� pro v�echna $\a\in T$,
proto�e ka�d�mu $\a$ je jednozna�n� p�i�azeno 
$\a'=\c_C\circ\a\circ\c_B^{-1}$ a ka�d�mu
takov�mu $\a':\R^n\to\R^m$ je jednozna�n� p�i�azena matice $\A$ d�ky 
v�t�\cite[aRA]. 

Zobrazen� $\m_{B,C}$ je prost� a~\uv{na}~$\R^{m,n}$.
To plyne z rovnosti\cite(mzob), ve kter� vid�me, �e
matice $\A$ ud�v� hodnoty zobrazen� $\a$ na b�zi $(B)$. Podle 
v�ty\cite[zobnabasi] existuje jedin� 
line�rn� zobrazen� s takto ur�en�mi hodnotami na b�zi.
  
�e je $\m_{B,C}$ line�rn� plyne z~toho, �e
$\m_{B,C}(\a)$ obsahuje ve sloupc�ch sou�adnice 
obraz� b�ze $(B)$ vzhledem k $(C)$. Tak�e matice zobrazen� $\a+\b$ je nutn�
sou�tem matic zobrazen� $\a$ a $\b$ (obrazy b�ze se s��taj�, jejich
sou�adnice rovn�). Podobn� tvrzen� plat� pro $\alpha$-n�sobek. 

Zobrazen� $\m_{B,C}:T\to\R^{m,n}$ je tedy prost�, na $\R^{m,n}$ a line�rn�. 
Je to tedy izomorfismus.

\poznamka
%%%%%%%%%
V d�kazu p�edchoz� v�ty jsme uk�zali, �e p�echod od line�rn�ho
zobrazen� k jeho matici je izomorfismus. To je d�vod, pro� �asto
matematik nap��e matici a mysl� p�itom na line�rn� zobrazen� nebo naopak,
pracuje s line�rn�m zobrazen�m a hled� k n�mu matici.

\vfil\break

\okraj Matice\hb slo�en�ho zobrazen� | Matice slozeneho zobrazeni

\dolu 7mm
\obrazek .4+.02 11 obr9
{
  \p 35 14 L_1
  \p 45 80 L_2
  \p 40 155 L_3
  \p 50 45 {\a}
  \p 50 120 {\b}
  \p -3 90 {\b\circ\a}
  \p 65 8 (B)
  \p 75 77 (C)
  \p 65 153 (D)
  \p 104 15  \c_B
  \p 113 82 \c_C
  \p 107 155 \c_D
  \p 135 12 \R^n
  \p 135 74 \R^m
  \p 135 140 \R^p
  \p 123 35 \A\cdot\vec x 
  \p 123 105 \B\cdot\vec y 
  \p 163 60 (\B\cdot\A)\cdot\vec x
}
\veta* [slozmzob]
%%%%%
Nech� $L_1$, $L_2$, $L_3$ jsou line�rn� prostory kone�n� dimenze,
$\a:L_1\to L_2$, $\b:L_2\to L_3$ jsou line�rn� zobrazen�. Nech�
d�le $(B)$ je uspo��dan� b�ze~$L_1$, $(C)$ je uspo��dan� b�ze~$L_2$ a
$(D)$ je uspo��dan� b�ze~$L_3$. P�edpokl�dejme je�t�, �e
$\m_{B,C}(\a)=\A$ je matice zobrazen� $\a$ vzhledem 
k~b�z�m $(B)$ a~$(C)$ a kone�n�
$\m_{C,D}(\b)=\B$ je matice zobrazen� $\b$ vzhledem k~b�z�m $(C)$ a~$(D)$.
Pak $\B\cdot\A$ je matice slo�en�ho zobrazen� $\b\circ\a$
vzhledem k~b�z�m $(B)$ a $(D)$.
\inl[matice: slo�en�ho zobrazen�]

\dukaz
%%%%%%
Pou�ijeme dvakr�t za sebou v�tu\cite[Aasour].
Pro ka�d� vektor $\vec u\in L_1$ plat�:
\ha5
$$
  \B\cdot\A\cdot\pmatrix{\hbox{sou�adnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \vec u\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(B)$}} = 
  \B\cdot\pmatrix{\hbox{sou�adnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \a(\vec u)\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(C)$}} =
   \pmatrix{\hbox{sou�adnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \b\bigl(\a(\vec u)\bigr)\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(D)$}}
$$
Plat� $\b\bigl(\a(\vec u)\bigr) = (\b\circ\a)(\vec u)$. Kone�n�
z~v�ty\cite[Aasour] plyne, �e $\B\cdot\A$ mus� b�t matic� zobrazen�
$\b\circ\a$ vzhledem k~b�z�m $(B)$ a $(D)$.

\poznamka
%%%%%%%%%
V�tu\cite[slozmzob] m��eme stru�n� zapsat takto:
$$
   \m_{B,D}(\b\circ\a) = \m_{C,D}(\b) \cdot \m_{B,C}(\a)
   \rce(sloz)
$$

\veta [Aainvers]
%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor kone�n� dimenze a $(B)$ je jeho
uspo��dan� b�ze. Nech� $\a: L\to L$ je prost� line�rn� tranformace.
Pak $\a$ je izomorfismus, tj. existuje inverzn� transformace $\a^{-1}$
a plat�
$$
  \m_{B,B}(\a^{-1}) = \bigl(\m_{B,B}(\a)\bigr)^{-1}.
$$

\dukaz
Proto�e $\a$ je prost�, je
$\defekt\a=0$. Podle v�ty\cite[def+hod] je
$\defekt\a+\hod\a=0+\hod\a=\dim L$. Je $\hod\a=n$ a v�ta\cite[P=L] n�m
zaru��, �e $\a(L)=L$. Tak�e transformace 
$\a$ je nejen prost�, ale i \uv{na}~$L$, tedy je to izomorfismus.
Symbolem $\i$ ozna�me identick� zobrazen� na $L$. Pro $\a^{-1}$ 
plat� $\i=\a^{-1}\circ\a$. Podle v�ty\cite[slozmzob] tedy je
$$
  \m_{B,B}(\a^{-1})\cdot \m_{B,B}(\a) = \m_{B,B}(\i) = \E
$$
Matice identity je jednotkov� matice $\E$. 
Matice $\m_{B,B}(\a)$ je podle v�ty\cite[regultransf] regul�rn�, tak�e
m��eme matic� $\bigl(\m_{B,B}(\a)\bigr)^{-1}$ vyn�sobit uvedenou
rovnost zprava. T�m dost�v�me dokazovan� vztah.


\priklad
%%%%%%%%
Budeme pracovat v line�rn�m prostoru $P$ s uspo��danou b�z� $(B)$
jako v p��kladu\cite[rotace]. Line�rn� transformace $\a: P\to P$
oto�� vzor o stanoven� �hel $\alpha$ a n�sledn� jej prom�tne na p��mku
proch�zej�c� vektorem $\vec b_2$. Najdeme matici t�to transformace.

Plat� $\a={\cal S}_{0,1}\circ{\cal R}_\alpha$, kde ${\cal S}_{0,1}: P\to P$
je projekce a ${\cal R}_\alpha: P\to P$ je rotace o �hel $\alpha$. 
Matice t�chto transformac� vzhledem k b�zi $(B)$ jsou:
$$
  \m_{B,B}({\cal R}_\alpha) =
        \pmatrix {\cos\alpha & -\sin\alpha\cr
             \sin\alpha & \phantom{+}\cos\alpha}, \qquad
  \m_{B,B}({\cal S}_{0,1}) = \pmatrix {0&0\cr0&1}.
$$
Podle v�ty\cite[slozmzob] je matice slo�en�ho zobrazen� $\a$ rovna
$$
  \m_{B,B}(\a) = \m_{B,B}({\cal S}_{0,1})\cdot\m_{B,B}({\cal R}_\alpha) =
        \pmatrix {0&0\cr0&1}\cdot
        \pmatrix {\cos\alpha & -\sin\alpha\cr
             \sin\alpha & \phantom{+}\cos\alpha}
  = \pmatrix {0&0\cr \sin\alpha & \cos\alpha}
$$
M�-li vektor $\vec u$ sou�adnice $(x,y)$ vzhledem k $(B)$, pak
$\a(\vec u)$ m� vzhledem k $(B)$ sou�adnice $(x',y')$:
$$
 \pmatrix{x'\cr y'} =
 \pmatrix {0&0\cr \sin\alpha & \cos\alpha} \cdot \pmatrix{x\cr y}
 = \pmatrix {0\cr (\sin\alpha)\,x + (\cos\alpha)\,y}
$$
Pov�imneme si, �e kdybychom zobrazen� slo�ili v opa�n�m po�ad�, tj.
${\cal R}_\alpha\circ{\cal S}_{0,1}$, dostaneme jin� v�sledek. Stejn� tak
sou�in matic t�chto zobrazen� v opa�n�m po�ad� d�v� jin� v�sledek.

\priklad
%%%%%%%%
Budeme st�le pracovat v line�rn�m prostoru $P$ s uspo��danou b�z� $(B)$
jako v p��kladu\cite[rotace]. Nakresl�me v n�m p��mku $p$ proch�zej�c�
po��tkem, kter� sv�r� s vektorem $\vec b_1$ �hel $\alpha$.
Najdeme matici osov� soum�rnosti podle p��mky $p$.

Osovou soum�rnost podle $p$ vytvo��me slo�en�m t�� zobrazen�: 
nejprve oto��me p��mku $p$ o �hel $-\alpha$. Jej� obraz
tedy proch�z� vektorem $\vec b_1$. D�le provedeme 
osovou soum�rnost podle p��mky proch�zej�c� vektorem 
$\vec b_1$ a nakonec oto��me obraz p��mky
na sv� m�sto oto�en�m o �hel $\alpha$.
Matice jednotliv�ch transformac� vzhledem k~b�zi $(B)$ jsou
$$
  \m_{B,B}({\cal R}_{-\alpha}) =
        \pmatrix {\phantom+\cos\alpha & \sin\alpha\cr
             -\sin\alpha & \cos\alpha}, \quad
  \m_{B,B}({\cal S}_{1,-1}) = \pmatrix{1&0\cr 0&\!\!\!-1}, \quad
  \m_{B,B}({\cal R}_\alpha) =
        \pmatrix {\cos\alpha & -\sin\alpha\cr
             \sin\alpha & \phantom{+}\cos\alpha}.
$$
Hledan� matice osov� soum�rnosti podle p��mky $p$ je sou�inem
t�chto matic ve spr�vn�m po�ad�:
$$
  \m_{B,B}(\a) = \pmatrix {\cos\alpha & -\sin\alpha\cr
             \sin\alpha & \phantom{+}\cos\alpha}\cdot
             \pmatrix{1&0\cr 0&\!\!\!-1} \cdot
    \pmatrix {\phantom+\cos\alpha & \sin\alpha\cr
             -\sin\alpha & \cos\alpha} =
    \pmatrix {\cos^2\alpha-\sin^2\alpha & 2\cos\alpha\sin\alpha\cr
             2\cos\alpha\sin\alpha & -\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}
$$
Podle vzore�k� o dvojn�sobn�m �hlu m��eme v�slednou matici p�epsat do
tvaru:
$$
  \m_{B,B}(\a) = \pmatrix{\cos2\alpha & \sin2\alpha\cr
                          \sin2\alpha & -\cos2\alpha}
$$
M�-li vektor $\vec u\in P$ sou�adnice $(x,y)$ vzhledem k b�zi $(B)$,
pak jeho osov� soum�rn� obraz podle p��mky~$p$ m� vzhledem k b�zi
$(B)$ sou�adnice $(x',y')$:
$$
  \pmatrix {x'\cr y'} =
  \pmatrix{\cos2\alpha & \phantom+\sin2\alpha\cr
                          \sin2\alpha & -\cos2\alpha} \cdot
  \pmatrix {x\cr y} =
  \pmatrix {(\cos2\alpha)\,x+(\sin2\alpha)\,y\cr (\sin2\alpha)\,x-(\cos2\alpha)\,y}
$$ 


\okraj Matice\hb p�echodu | Matice prechodu

\definice* [defprech]
%%%%%%%%%
Nech� $(B)=(\vecc b_n)$ a $(C)=(\vecc c_n)$ jsou dv� uspo��dan� b�ze
line�rn�ho prostoru $L$. Podle v�ty\cite[zobnabasi] existuje jedin�
line�rn� transformace $\a: L\to L$ takov�, �e $\a(\vec b_i)=\vec c_i$
pro v�echna $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. Matici $\m_{B,B}(\a)$ transformace
$\a$ vzhledem k b�zi $(B)$ naz�v�me 
{\em matic� p�echodu od b�ze $(B)$ k b�zi $(C)$} a zna��me ji
$\P_{B\to C}$.

\veta* [mprech]
%%%%%
Nech� $(B)=(\vecc b_n)$ a $(C)=(\vecc c_n)$ jsou dv� uspo��dan� b�ze
line�rn�ho prostoru $L$. Matice p�echodu $\P_{B\to C}$ m�
n�sleduj�c� vlastnosti:

\noindent (1) $\P_{B\to C}$ m� v $i$-t�m sloupci sou�adnice vektoru
              $\vec c_i$ vzhledem k b�zi $(B)$ pro v�echna $i\in\{1,2,\ldots,n\}$,

\noindent (2) plat� maticov� rovnost $(\vec c_1\ \vec c_2\ \ldots\ \vec c_n) =
               (\vec b_1\ \vec b_2\ \ldots\ \vec b_n) \cdot \P_{B\to C}$,

\noindent (3) $\P_{B\to C}=\m_{C,B}(\i)$, tj. $\P_{B\to C}$ je matic�
              identity vzhledem k b�z�m $(C)$ a $(B)$,

\noindent (4) pro ka�d� vektor $\vec u\in L$ plat� 
              $\P_{B\to C}\cdot \c_C(\vec u)^T = \c_B(\vec u)^T$, neboli
$$
  \P_{B\to C}\cdot \pmatrix{\hbox{sou�adnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \vec u\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(C)$}} =
  \pmatrix{\hbox{sou�adnice}\cr\hbox{vektoru}\cr \vec u\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(B)$}}.
$$

\dukaz
(1) Podle v�ty\cite[Asloupce] obsahuje matice $\P_{B\to C}$ ve sloupc�ch
sou�adnice obraz� $\a(\vec b_i)=\vec c_i$ vzhledem k~b�zi~$(B)$, kde $\a:L\to L$
je line�rn� transformace z~definice\cite[defprech].

(2) Rozeps�n�m sou�inu $(\vec c_1\ \vec c_2\ \ldots\ \vec c_n) =
(\vec b_1\ \vec b_2\ \ldots\ \vec b_n) \cdot \P_{B\to C}$ po sloupc�ch
matice $\P_{B\to C}$ shled�v�me, �e je tento sou�in ekvivalentn� s~(1).

(3) Vzorec (2) lze ps�t jako 
$\bigl(\i(\vec c_1)\ \i(\vec c_2)\ \ldots\ \i(\vec c_n)\bigr) =
(\vec b_1\ \vec b_2\ \ldots\ \vec b_n) \cdot \P_{B\to C}$ a d�vat se
na n�j �hlem pohledu vzorce\cite(mzob), kde $\a=\i$, a kde jsou
prohozeny b�ze $(B)$ a $(C)$.

(4) plyne z (3) a z v�ty\cite[Aasour].

\okraj Zm�na sou�adnic p�i zm�n� b�ze | Zmena souradnic pri zmene base

\poznamka
%%%%%%%%%
Pov�imneme si opa�n�ho po�ad� b�z� ve vlastnostech (3) a
(4) v p�edchoz� v�t�. Vlastnost (4) ��k�, �e 
matice p�echodu od b�ze $(B)$ k b�zi $(C)$
umo�n� po��tat sou�adnice vektoru vzhledem k b�zi $(B)$, pokud jeho
sou�adnice zn�me vzhledem k b�zi $(C)$. Je zde tedy opa�n� sm�r toku
informace, ne� by vypl�valo z n�zvu matice. N�zev matice je odvozen 
z~vlastnosti $(2)$, tj. matice transformuje pomoc� maticov�ho n�soben�
b�zi $(B)$ na b�zi $(C)$.

\poznamka
%%%%%%%%%
V�echny vlastnosti ve v�t�\cite[mprech] jednozna�n� ur�uj� matici
p�echodu $\P_{B\to c}$. Jin�mi slovy ka�d� z nich by se dala
pou��t jako definice pojmu matice p�echodu. Je to t�m, �e ka�d�
podm�nka vymezuje matici $\P_{B\to C}$ jednozna�n� a ve v�t�\cite[mprech] 
jsme dok�zali, �e tato jedin� matice je matic� p�echodu od b�ze 
$(B)$ k~b�zi $(C)$.

\veta* [slozmprech]
%%%%%
Matice p�echodu je regul�rn� a plat� 

\noindent (1) $\P_{C\to B} = (\P_{B\to C})^{-1}$,

\noindent (2) $\P_{B\to C}\cdot \P_{C\to D} = \P_{B\to D}$.

\dukaz
$\P_{B\to C}$ je �tvercov� matice, proto�e to je matice transformace.
Proto�e obsahuje podle (1) v�ty\cite[mprech] 
ve sloupc�ch sou�adnice b�zov�ch vektor�,
jsou tyto sloupce line�rn� nez�visl�. Matice je tedy podle 
v�ty\cite[hodreg] regul�rn�.

(1) Vztah vyplyne nap��klad vyn�soben�m rovnosti (2) ve
v�t�\cite[mprech] matic� $(\P_{B\to C})^{-1}$ zprava.
 
(2) U�it�m vzorce\cite(sloz) a vlastnosti (3) v�ty\cite[mprech]
dost�v�me:
$$
  \P_{B\to C}\cdot \P_{C\to D} = \m_{C,B}(\i)\cdot\m_{D,C}(\i) =
  \m_{D,B}(\i) = \P_{B\to D}.
$$
    
\algoritmus* [aprechod]
%%%%%%%%%%%
Odvod�me algoritmus na efektivn� sestaven� matice p�echodu 
vzhledem k libovoln�m b�z�m. Pravda, vlastnost~(1) v�ty\cite[mprech]
d�v� n�vod, jak matici p�echodu sestavit. Ov�em n�kdy se st�v�, �e se
sou�adnice vzhledem k b�zi $(B)$ obt��n� hledaj�.

Najdeme v line�rn�m prostoru $L$ n�jakou b�zi, vzhledem ke kter� se
sou�adnice dob�e hledaj� a ozna��me ji $(S)$. B�ze $(S)$ m��e b�t
standardn� b�ze v $\R^n$, b�ze $(1,x,x^2,x^3)$ v line�rn�m prostoru
polynom� nejv��e t�et�ho stupn�, b�ze orientovan�ch �se�ek jednotkov�
velikosti a na sebe kolm�ch v~line�rn�m prostoru $U_O$ atd.

Nech� jsou d�ny b�ze $(B)$ a $(C)$ v line�rn�m prostoru $L$. 
Pro v�po�et matice p�echodu od b�ze $(B)$ k b�zi $(C)$ 
pou�ijeme vzorce z p�edchoz� v�ty:
$$
  \P_{B\to C} = \P_{B\to S} \cdot \P_{S\to C} = (\P_{S\to B})^{-1} \cdot \P_{S\to C}.
$$
P�itom matice na prav� stran� rovnosti sestav�me snadno:
do sloupc� matice $\P_{S\to B}$ nap��eme sou�adnice vektor� b�ze $(B)$
vzhledem k $(S)$ a do sloupc� matice $\P_{S\to C}$ nap��eme 
sou�adnice vektor� b�ze $(C)$ vzhledem k $(S)$.

Abychom si je�t� u�et�ili pr�ci s v�po�tem inverzn� matice a n�sledn�m
maticov�m n�soben�m, pou�ijeme v�tu\cite[AXBsimEX], kter� ��k�
$(\A\,|\,\B)\sim(\E\,|\,\A^{-1}\B)$, neboli
$$
(\P_{S\to B}^{\phantom1}\,|\,\P_{S\to C})\ \sim\ 
(\E\,|\,\P_{S\to B}^{-1} \cdot \P_{S\to C}^{\phantom1}) =
(\E\,|\,\P_{B\to C}).
$$
T�m dost�v�me n�sleduj�c� algoritmus:

Zapi�me do sloupc� matice sou�adnice b�ze $(B)$ vzhledem k b�zi 
$(S)$ a vedle svisl� ��ry je�t� sou�anice b�ze $(C)$ vzhledem k b�zi $(S)$.
Po elmininaci, kter� p�evede lev� blok matice na jednotkovou matici,
dost�v�me v prav�m bloku $\P_{B\to C}$, neboli matici p�echodu od
$(B)$ k $(C)$.

\priklad
%%%%%%%%
V line�rn�m prostoru polynom� nejv��e t�et�ho stupn� jsou d�ny t�i
uspo��dan� b�ze:
$$
  \eqalign {
    (B) &= \bigl(x+1,x-1,(x+1)^2,(x+1)^3\bigr), \cr
    (C) &= (1, x+1, x^2+2, x^3+3), \cr
    (S) &= (x^3, x^2, x, 1)
  }
$$
Najdeme matici p�echodu od $(B)$ k $(C)$. Je z�ejm�, �e sou�adnice
polynomu se n�m dob�e po��taj� vzhledem k b�zi $(S)$, tak�e
zap��eme-li do sloupc� sou�adnice vektor� z b�ze $(B)$ vzhledem k
$(S)$, dost�v�me okam�it� $\P_{S\to B}$. Podobn� postupujeme u matice
$\P_{S\to C}$:
$$
  \P_{S\to B} = 
  \pmatrix {0&\hfill0&0&1\cr0&\hfill0&1&3\cr1&\hfill1&2&3\cr1&\!\!-1&1&1}, \qquad
  \P_{S\to C} = \pmatrix {0&0&0&1\cr0&0&1&0\cr0&1&0&0\cr1&1&2&3}.
$$
Pomoc� algoritmu\cite[aprechod] najdeme $\P_{B\to C}$. 
$$
  \def\quad{\hskip7pt }
  \def\|{\kern7pt\strut\vrule}
  (\P_{S\to B}\,|\,\P_{S\to C}) =
  \pmatrix {0&\hfill0&0&1\|&0&0&0&1\cr0&\hfill0&1&3\|&0&0&1&0\cr
            1&\hfill1&2&3\|&0&1&0&0\cr1&\!\!-1&1&1\|&1&1&2&3} \sim
  \pmatrix {1&0&0&0\|& \,\,1/2 &1 &-1/2 &\hfill4\cr 
            0&1&0&0\|& \!\!-1/2 &0 &-3/2 &\!-1\cr
            0&0&1&0\|& 0 &0 &\,\,1 &\!-3\cr 0&0&0&1\|& 0&0&\,\,0&\hfill1}
  = (\E\,|\,\P_{B\to C}).
$$

B�ze $(S)$, $(B)$ a $(C)$ vymezuj� v tomto p��klad� t�i sou�adnicov�
syst�my stejn�ho line�rn�ho prostoru. Vezmene nyn� jeden vektor
(polynom) $p$ dan� vzorcem $p(x)=2x^3+x^2-3x$.
Zap��eme postupn� sou�adnice tohoto polynomu ve v�ech t�ech
sou�adnicov�ch syt�mech.

Sou�adnice polynomu $p$ vzhledem k $(S)$ odhal�me snadno:
$\c_S(p) = (2,1,-3,0)$. Zkus�me nyn� naj�t jeho sou�adnice vzhledem 
k b�zi $(C)$. Podle vzorce (4) v�ty\cite[mprech] k tomu pot�ebujeme
matici $\P_{C\to S}$. Tu~z�sk�me jako inverzi k matici $\P_{S\to C}$:
$$
  \let\h=\hfill
  \P_{C\to S} = (\P_{S\to C})^{-1} = 
  \pmatrix {0&0&0&1\cr0&0&1&0\cr0&1&0&0\cr1&1&2&3}^{-1} =
  \pmatrix {-3 &-2 &-1 &1\cr \h0&\h0&\h0&1\cr \h0&\h0&\h1&0\cr \h1&\h0&\h0&0}.
$$   
Od sou�adnic polynomu $p$ vzhledem k b�zi $(S)$ k sou�adnic�m 
vzhledem k~b�zi $(C)$ p�ejdeme pomoc� maticov�ho n�soben� matic�
$\P_{C\to S}$:
$$
  \let\h=\hfill
  \c_C(p)^T = \P_{C\to S}\cdot \c_S(p)^T = 
  \pmatrix {-3 &-2 &-1 &1\cr \h0&\h0&\h0&1\cr \h0&\h0&\h1&0\cr \h1&\h0&\h0&0}
  \cdot \pmatrix {2\cr1\cr\!\!-3\cr0} =
  \pmatrix {\!-5\cr\!-3\cr1\cr2}.
$$
Od sou�adnic polynomu $p$ vzhledem k b�zi $(C)$ k sou�adnic�m 
vzhledem k~b�zi $(B)$ p�ejdeme pomoc� maticov�ho n�soben� matic�
$\P_{B\to C}$. Tu jsme spo��tali pomoc� algoritmu\cite[aprechod].
$$
  \let\h=\hfill
  \c_B(p)^T = \P_{B\to C}\cdot \c_C(p)^T =
  \pmatrix {1/2 &1 &-1/2 &\hfill4\cr 
            \!\!-1/2 &0 &-3/2 &\!-1\cr
            0 &0 &\,\,1 &\!-3\cr 0&0&\,\,0&\hfill1} \cdot
  \pmatrix {\!-5\cr\!-3\cr1\cr2} =
  \pmatrix{2\cr\!-1\cr\!-5\cr2}.    
$$   
Od sou�adnic polynomu $p$ vzhledem k b�zi $(B)$ k sou�adnic�m 
vzhledem k~b�zi $(S)$ p�ejdeme pomoc� maticov�ho n�soben� matic�
$\P_{S\to B}$:
$$
    \let\h=\hfill
  \c_S(p)^T = \P_{S\to B}\cdot \c_B(p)^T =
  \pmatrix {0&\hfill0&0&1\cr0&\hfill0&1&3\cr1&\hfill1&2&3\cr1&\!\!-1&1&1}
  \cdot \pmatrix{2\cr\!-1\cr\!-5\cr2} =
  \pmatrix {2\cr1\cr\!\!-3\cr0}      
$$  
a dost�v�me sou�adnice, kter� jsme m�li na za��tku. �lo pouze o to
procvi�it si zm�ny sou�adnicov�ho syst�mu za pou�it� maticov�ho
n�soben�. V�sledek m��eme srovnat s p��kladem\cite[sourpolynomu], ve kter�m jsme
po��tali tot�, ale sou�adnice jsme hledali jako �e�en� soustavy
line�rn�ch rovnic. 

\priklad
%%%%%%%%
V line�rn�m prostoru $\R^3$ jsou d�ny dv� uspo��dan� b�ze:
$$
  (B) = \bigl( (1,1,1),(2,1,3),(1,0,4) \bigr), \qquad
  (C) = \bigl( (3,2,1),(2,1,4),(4,3,2) \bigr).
$$
Navrhneme algoritmus, kter� p�ev�d� sou�adnice vektoru $\vec u\in\R^3$
vzhledem k b�zi $(B)$ na jeho sou�adnice vzhledem k b�zi $(C)$.
Dan� sou�anice vzhledem k b�zi $(B)$ ozna��me $(x,y,z)$.
Hlednan� sou�adnice vzhledem k b�zi $(C)$ ozna��me $(x',y',z')$.
Pro p�echod ze sou�adnic vektoru vzhledem k b�zi $(B)$ k sou�adnic�m vzhledem k
b�zi $(C)$ pot�ebujeme matici p�echodu $\P_{C\to B}$. Tu vypo��t�me
pomoc� algoritmu\cite[aprechod]. Do v�choz� matice zapisujeme do
sloupc� sou�adnice b�ze $(C)$ vzhledem ke standardn� b�zi a n�sledn�
sou�adnice b�ze $(B)$ vzhledem ke standardn� b�zi. Tyto sou�adnice
jsou p��mo slo�ky jednotliv�ch vektor�.
$$
  \def\|{\kern9pt\strut\vrule} \let\h=\hfill
  (\P_{S\to C}\,|\,\P_{S\to B}) =
  \pmatrix {3&2&4\|&1&2&1\cr2&1&3\|&1&1&0\cr1&4&2\|&1&3&4} \sim
  \pmatrix {1&0&0\|&\!\!-1 &\h1/2 &\h1/2\,\cr 0&1&0\|&\h0 &\h3/4 &\h5/4\,\cr 
            0&0&1\|&\h1 &-1/4 &-3/4\,} = (\E\,|\,\P_{C\to B}) 
$$
Sou�adnice vzhledem k b�zi $(C)$ z�sk�me maticov�m n�soben�m
$$
  \let\h=\hfill \def\f#1/#2{{#1\over#2}}
  \pmatrix {x'\cr y'\cr z'} = \P_{C\to B}\cdot\pmatrix{x\cr y\cr z} =
  \pmatrix {\!\!-1 &\h1/2 &\h1/2\,\cr\h0&\h3/4&\h5/4\,\cr\h1 &-1/4 &-3/4\,} 
  \cdot \pmatrix{x\cr y\cr z} = 
  \pmatrix {-x+\f1/2y+\f1/2z\cr \f3/4y+\f5/4z\cr x-\f1/4y-\f3/4z},
$$
{\def\f#1/#2{{#1\over#2}}
tak�e $x'=-x+\f1/2y+\f1/2z$, $\,y'=\f3/4y+\f5/4z$, $\,z'=x-\f1/4y-\f3/4z$.
}

\okraj Zm�na matice zobrazen� p�i zm�n� b�ze | Zmena matice zobrazeni pri zmene b�ze

\veta* [zmenabase]
%%%%%
Nech� $\a: L_1\to L_2$ je line�rn� zobrazen� line�rn�ch prostor�
kone�n� dimenze. Nech� $(B)$ a $(B')$ jsou dv� b�ze v $L_1$ a d�le
n�ch� $(C)$ a $(C')$ jsou dv� b�ze v $L_2$. Pak plat�:

\noindent (1) $\m_{B,C}(\a) \cdot \P_{B\to B'} = \m_{B',C}(\a)$,

\noindent (2) $\P_{C'\to C} \cdot \m_{B,C}(\a) = \m_{B,C'}(\a)$,

\noindent (3) $\P_{C'\to C} \cdot \m_{B,C}(\a) \cdot \P_{B\to B'} = \m_{B',C'}(\a)$.

\dukaz
Nech� $\i_1: L_1\to L_1$ je identita na $L_1$ a $\i_2: L_2\to L_2$ je
identita na $L_2$. Plat� $\i_2\circ\a = \a = \a\circ\i_1$.
V d�kazu pou�ijeme vzorec\cite(sloz) a vlastnost (3) v�ty\cite[mprech]
pro matici p�echodu.

(1) $\m_{B,C}(\a) \cdot \P_{B\to B'} = \m_{B,C}(\a) \cdot \m_{B',B}(\i_1) 
               = \m_{B',C}(\a\circ\i_1) = \m_{B',C}(\a)$,

(2) $\P_{C'\to C} \cdot \m_{B,C}(\a) = \m_{C,C'}(\i_2) \cdot  \m_{B,C}(\a) 
               = \m_{B,C'}(\i_2\circ\a) = \m_{B,C'}(\a)$,

(3) dok�eme postupn�m pou�it�m (1) a (2).


\algoritmus [algA]
%%%%%%%%%%%
Podobn�, jako v p��pad� algoritmu\cite[aprechod], odvod�me algoritmus
na nalezen� matice zobrazen� $\a: L_1\to L_2$ 
vzhledem k libovoln�m b�z�m. Zvol�me si b�zi $(S)$ line�rn�ho prostoru
$L_2$, vzhledem ke kter� se sou�adnice dob�e hledaj�. �kolem bude naj�t
matici zobrazen� $\a$ vzhledem k b�z�m $(B)$ a $(C)$.

Pro matici $\m_{B,C}(\a)$ pou�ijeme vzorec (2) v�ty\cite[zmenabase]:
$$ 
  \m_{B,C}(\a) = \P_{C\to S} \cdot \m_{B,S}(\a) =
  (\P_{S\to C})^{-1} \cdot \m_{B,S}(\a).
$$
Matice na prav� stran� t�to rovnice zap��eme snadno:
Matice $\m_{B,S}(\a)$ obsahuje ve sloupc�ch
sou�adnice obraz� $\a(\vec b_i)$ vzhledem k $(S)$ a 
matice $\P_{S\to C}$ m� ve sloupc�ch
sou�adnice $\vec c_i$ vzhledem k $(S)$. 

Abychom si je�t� u�et�ili pr�ci s v�po�tem inverzn� matice a n�sledn�m
maticov�m n�soben�m, pou�ijeme v�tu\cite[AXBsimEX], kter� ��k�
$(\A\,|\,\B)\sim(\E\,|\,\A^{-1}\B)$, neboli
$$
  \bigl(\P_{S\to C}\,|\,\m_{B,S}(\a)\bigr)\sim 
  \bigl(\E\,|\,\P_{S\to C}^{-1} \cdot \m_{B,S}(\a)\bigr)
  = \bigl(\E\,|\,\m_{B,C}(\a)\bigr).
$$
Dost�v�me n�sleduj�c� algoritmus:

Do sloupc� nap��eme pod sebe sou�adnice vektor� $\vec c_i$ vzhledem k
$(S)$, vpravo od nich vedle svisl� ��ry nap��eme do sloupc�
sou�adnice vektor� $\a(\vec b_i)$ vzhledem k $(S)$. Pak matici
eliminujeme tak, abychom v~lev� ��sti dostali $\E$. V prav� ��sti pak
m�me matici zobrazen� $\a$ vzhledem k~b�z�m $(B)$ a $(C)$.

\priklad
%%%%%%%%
Je d�no line�rn� zobrazen� $\a:L_1\to L_2$, kter� derivuje polynomy, stejn� jako 
v~p��kladu\cite[derpol]. D�le jsou d�ny b�ze:
$$
  (B) = (1,x+1,x^2+2,x^3+3) \quad \hbox{v prostoru $L_1$}, \qquad
  (C) = (x^2+3, x-2, x^2-x) \quad \hbox{v prostoru $L_2$}.
$$
Najdeme $\m_{B,C}(\a)$, tedy matici zobrazen� $\a$ vzhledem k b�z�m $(B)$
a $(C)$. Pou�ijeme k tomu algoritmus\cite[algA]. Proto�e $\a$ derivuje
polynomy, plat�:
$$
  \a(1) = 0,\quad \a(x+1) = 1,\quad \a(x^2+2) = 2x, \quad \a(x^3+3) = 3x^2.
$$
Sou�adnice t�chto obraz� vzhledem k b�zi $(S)=(x^2,x,1)$ zap��eme do
sloupc� matice a t�m dost�v�me matici $\m_{B,S}(\a)$. Matici $\P_{S\to C}$
sestav�me tak, �e do sloupc� zap��eme sou�adnice b�ze $(C)$ vzhledem 
k~b�zi $(S)$.
$$
  \def\quad{\hskip6pt }
  \def\|{\kern9pt\strut\vrule} \let\h=\hfill
  \bigl(\P_{S\to C}\,|\,\m_{B,S}(\a)\bigr) =
  \pmatrix {1&\h0&\h1\|&0&0&0&3\cr 0&\h1&-1\|&0&0&2&0\cr 3&-2&\h0\|&0&1&0&0}
  \sim \pmatrix {1&0&0\|& \h1/5& \h4/5& \,\,\,6/5\cr 
          0&1&0\|& -1/5& \h6/5& \h9/5\cr 0&0&1\|&-1/5& -4/5& \h9/5} =
  \bigl(\E\,|\,\m_{B,C}(\A)\bigr)
$$

\priklad
%%%%%%%%
Pokud jsou d�ny hodnoty line�rn�ho zobrazen� na b�zi $(B)$, ale nen� zn�m
vzorec pro v�po�et hodnoty v libovoln�m bod�, pak podle
v�ty\cite[zobnabasi] line�rn� zobrazen� $\a$ s danou vlastnost� 
existuje a je pr�v� jedno. M��eme okam�it� sestavit
matici $\m_{B,S}(\a)$. Pokud chceme naj�t vzorec pro toto zobrazen� v
libovoln�m bod� $\vec x$ a chceme pracovat se sou�adnicemi $\vec x$
vzhledem k $(S)$ (co� je obvykl�), je pot�eba na matici $\m_{B,S}(\a)$
uplatnit p�echod od b�ze $(B)$ k $(S)$, neboli pou��t vzorec~(1)
v�ty\cite[zmenabase]. P�edvedeme si to na zobrazen� 
$\a:\R^3\to\R^4$ z~p��kladu\cite[R3toR4]. Tam je d�na uspo��dan� b�ze
$$
  (B) = \bigl( (1,1,2),(1,2,2),(2,1,5) \bigr)\quad \hbox{v $\R^3$}
$$
a obrazy zobrazen� $\a$ na t�to b�zi
$$
   \a(1,1,2) = (1,0,1,0), \quad
  \a(1,2,2) = (2,0,2,0), \quad
  \a(2,1,5) = (1,2,2,1). 
$$
V p��kladu\cite[bR3toR4] jsme na z�klad� t�chto �daj� sestavili matici
$\m_{B,S_4}(\a)$, kde $(S_4)$ je standardn� b�ze v~$\R^4$. Nyn�
pot�ebujeme prov�st je�t� p�echod od $(B)$ ke standarn� b�zi $(S_3)$ v~$\R^3$.
K~tomu pou�ijeme vzorec~(1) v�ty\cite[zmenabase]:
$$
  \m_{S_3,S_4}(\a) = \m_{B,S_4}(\a) \cdot \P_{B\to S_3} = 
  \m_{B,S_4}(\a) \cdot (\P_{S_3\to B})^{-1}
$$
Matice za posledn�m rovn�tkem lze zapsat snadno. Je�t� si m��eme
u�et�it v�po�et invernz� matice a n�sledn� maticov� sou�in, pokud
pou�ijeme v�tu\cite[AXBsimEX], kter� ��k�
$(\A\,|\,\B)\sim(\E\,|\,\A^{-1}\B)$. Bohu�el, tentokr�t m�me
sou�in v opa�n�m po�ad�, tak�e mus�me p�ej�t k transponovan�m matic�m:
$$
  \m_{S_3,S_4}(\a)^T = (\P_{S_3\to B}^T)^{-1}\cdot \m_{B,S_4}(\a)^T, \quad
  \hbox{tak�e:}\quad
  \bigl(\P_{S_3\to B}^T\,|\,\m_{B,S_4}(\a)^T\bigr) \sim
%  \bigl(\E\,|\,(\P_{S_3\to B}^T)^{-1}\cdot \m_{B,S_4}(\a)^T\bigr) =
  \bigl(\E\,|\m_{S_3,S_4}(\a)^T\bigr).
$$
Z toho plyne algoritmus: tentokr�t {\it do ��dk�} pod sebe nap��eme
slo�ky b�zov�ch vektor� z $(B)$ a vpravo od nich vedle svisl� ��ry
zap��eme {\it do ��dk�} slo�ky obraz� b�ze. Po eliminaci, kdy vlevo je
jednotkov� matice, najdeme vpravo transponovanou matici $\m_{S_3,S_4}(\A)$.
$$
  \def\|{\kern9pt\strut\vrule} \let\h=\hfill
  \pmatrix {1&1&2\|&1&0&1&0\cr 1&2&2\|&2&0&2&0\cr 2&1&5\|&1&2&2&1} \sim
  \pmatrix {1&0&0\|& 0&\!-4&\!-2&\!-2\cr 
             0&1&0\|& 1&\h0&\h1&\h0\cr 0&0&1\|& 0&\h2&\h1&\h1} =
  \bigl(\E\,|\m_{S_3,S_4}(\a)^T\bigr).
$$
N� v�sledek se shoduje s v�sledkem p��kladu\cite[mR3toR4]. Ov�em na
rozd�l od postupu v p��kladu\cite[mR3toR4] jsme nyn� nemuseli 
po��tat vzorec pro $\a(x_1,x_2,x_3)$.
Naopak, v�stup z~pr�v� odvozen�ho algoritmu se d� pou��t k~sestaven�
hledan�ho vzorce pro $\a(x_1,x_2,x_3)$, proto�e plat�
$$
  \a(x_1,x_2,x_3)^T = \m_{S_3,S_4}(\a)\cdot \pmatrix {x_1\cr x_2\cr x_3}.
$$

\priklad
%%%%%%%%
Nech� $\a$ je transformace z definice matice
p�echodu\cite[defprech], kter� zobraz� b�zi $(B)$ na b�zi~$(C)$.
V�me, �e $\m_{B,B}(\a) = \P_{B\to C}$. Jak vypad� matice $\m_{C,C}(\a)$?

Podle v�ty\cite[zmenabase] je $\P_{C\to B}\m_{B,B}(\a)\P_{B\to C} = \m_{C,C}(\a)$.
Tak�e $\m_{C,C}(\a) = \P_{C\to B}\P_{B\to C}\P_{B\to C} = \P_{B\to C}$.
Matice p�echodu $\P_{B\to C}$ je tedy rovna nejenom
$\m_{B,B}(\a)$, ale tak� $\m_{C,C}(\a)$.


\shrnuti
%%%%%%%%
Line�rn� zobrazen� z $L_1$ do $L_2$ lze mezi sebou s��tat a lze je
n�sobit konstantou, p�i�em� tato line�rn� zobrazen� s uveden�mi
operacemi tvo�� line�rn� prostor~/\ncite[lplzob],~\ncite[lpZzob]/.

Jsou-li d�ny hodnoty na b�zi, existuje pr�v� jedno line�rn� zobrazen�,
kter� m� tyto hodnoty\lcite[zobnabasi].

Nech� $L_1$ m� kone�nou uspo��danou b�zi $(B)$ a $L_2$ m� kone�nou
uspo��danou b�zi $(C)$.
Ka�d� line�rn� zobrazen� $\a: L_1\to L_2$ lze
jednozna�n� reprezentovat matic� $\A$ takovou, �e plat�
$\A\cdot\vec x=\vec y$, kde $\vec x$ jsou sou�adnice vzoru vzhledem 
k b�zi $(B)$ a $\vec y$ jsou sou�adnice obrazu vzhledem 
k~b�zi~$(C)$. Tuto matici naz�v�me matic� zobrazen� $\a$
vzhledem k b�z�m $(B)$ a $(C)$\lcite[defAa]. 

Pro matici $\A$ zobrazen� $\a$ plat�, �e ve sloupc�ch obsahuje sou�adnice obraz�
b�ze $(B)$ vzhledem k~b�zi~$(C)$\lcite[Asloupce]. Tot� lze vyj�d�it
maticov�m n�soben�m\lcite[matzob].

Hodnost zobrazen� $\a$ je rovna hodnosti jeho matice $\A$ 
/\ncite[hodhod],\cite[hod=hod]/.
Sou�adnice v�ech vektor� j�dra zobrazen� jsou mno�inou �e�en� 
homogenn� soustavy rovnic $\A\vec x=\vec o$.

P�i�azen�, kter� line�rn�mu zobrazen� p�id�l� jeho matici vzhledem k
pevn� zvolen�m b�z�m, je izomorfismus~/d�kaz v�ty\cite[aisoA]/.

Matice slo�en�ho zobrazen� $\b\circ\a$ je rovna sou�inu jejich matic
$\B\cdot\A$ ve stejn�m po�ad�\lcite[slozmzob]. Matice inverzn� transformace
je rovna inverzn� matici p�vodn� tansformace\lcite[Aainvers].

Matice p�echodu $\P_{B\to C}$ od b�ze $(B)$ k b�zi $(C)$ je matic�
transformace, kter� zobraz� $\vec b_i$ z b�ze $(B)$ na $\vec c_i$ z
b�ze $(C)$\lcite[defprech]. Obsahuje ve sloupc�ch sou�adnice
vektor� $\vec c_i$ vzhledem k b�zi $(B)$ a je rovna matici identity
vzhledem k b�z�m $(C)$ a $(B)$\lcite[mprech]. 
Matice $\P_{B\to C}$ umo�n� transformovat sou�adnice vektoru $\vec x$
vzhledem k b�zi $(C)$ na sou�adnice t�ho� vektoru vzhledem k b�zi
$(B)$\lcite[mprech]. Pozor: b�ze jsou zde v opa�n�m po�ad�.

Plat� $\P_{B\to C}\cdot\P_{C\to D} = \P_{B\to D}$ a 
$\P_{B\to C} = (\P_{C\to B})^{-1}$\lcite[slozmprech].

Ve v�t�\cite[zmenabase] jsme si uv�domili, jak se zm�n� matice
zobrazen�, pohneme-li prvn� nebo druhou b�z�. Je pot�eba matici
zobrazen� vyn�sobit z p��slu�n� strany p��slu�n�mi maticemi p�echodu.

V odstavc�ch\cite[aprechod] a\cite[algA] jsme odvodili algoritmy na
sestaven� matice p�echodu a matice zobrazen� vzhledem k libovoln�m
b�z�m, tj. i b�z�m, vzhledem k nim� se sou�adnice vektor� po��taj�
obt��n�ji. 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola Afinn� transformace, matice v homogenn�ch sou�adnic�ch |
          Afinni transformace, matice v homogennich souradnicich
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\poznamka
%%%%%%%%%
V\kcite\ktere[linzob2] kapitole jsme se setkali s maticemi
transformac� oto�en�\lcite[rotace] a zm�ny m���tka\lcite[scale]. 
Do t�to skupiny tranformac� �ad�me je�t� transformaci posunut�, kter�
ale nen� line�rn�, proto�e nulov� vektor \uv{posune} na nenulov� vektor, 
co� zp�sobn� vychovan� line�rn� zobrazen� kv�li v�t�\cite[zobnuly] ned�l�. 
Slo�en�m transformace posunut� s~line�rn� transformac� dost�v�me 
tzv.~{\em afinn� transformaci}.

Afinn� transformace tedy nem� obecn� svoji matici. 
V n�sleduj�c�m textu uk�eme, �e p�i pou�it�
speci�ln�ch sou�adnic (tzv. {\it homogenn�ch sou�adnic\/}) je mo�n� 
sestavit i~matice v�ech afinn�ch transformac� a pracovat s nimi stejn� 
jako s maticemi line�rn�ch transformac�. Tyto matice je mo�n� v p��pad� slo�en� 
afinn� transformace mezi sebou n�sobit. To m� praktick� vyu�it� nap��klad 
p�i programov�n� transformac� v~po��ta�ov� grafice. 

\poznamka [Aprst]
%%%%%%%%%
Nejprve si up�esn�me vlastnosti geometrick�ho prostoru, ve
kter�m budeme uveden� transformace uplat�ovat. Tento prostor nazveme
{\it afinn�}. V n�m budeme rozli�ovat objekty dvou typ�: {\em body\/} a
{\em vektory}. Mno�inu v�ech
bod� budeme zna�it $\X$. Do exaktn�ho zaveden� mno�iny $\X$ se
nebudeme pou�t�t, sta�� snad inuitivn� ch�p�n� pojmu bod.

Vektor je ur�en orientovanou �se�kou, kter� je vymezena dv�ma body
z~$\X$: po��te�n�m a koncov�m.  Na rozd�l od line�rn�ho prostoru $U_O$
z p��kladu\cite[lpvv] nen� nutn�, aby orientovan� �se�ka za��nala 
v~po��tku. Nav�c pova�ujeme dv� orientovan� �se�ky za
reprezentanty stejn�ho vektoru, pokud jsou rovnob�n�, stejn� velk� a stejn�
orientovan�. Sou�et dvou vektor� provedeme jako v line�rn�m prostoru
$U_O$, kdy� si nar�sujeme jejich
orientovan� �se�ky tak, aby za��naly ve spole�n�m 
bod� a dopln�me na rovnob�n�k. N�sobek
vektoru konstantou provedeme tak� obdobn� jako v line�rn�m prostoru
$U_O$. Mno�inu v�ech takov�ch vektor� zna��me $V$. Je z�ejm�, �e
spole�n� s uveden�mi operacemi s��t�n� vektor� a n�soben� vektoru
konstantou tvo�� tato mno�ina vektor� line�rn�
prostor. Argumentuje se analogicky, jak v~p��pad� line�rn�ho prostoru
orientovan�ch �se�ek $U_O$ v p��kladu\cite[lpvv].

D�le zavedeme nov� s��t�n� bodu $P\in\X$ s vektorem $\vec u\in V$ takto:
sou�et $P + \vec u$ je koncov� bod orientovan� �se�ky vektoru 
$\vec u$, pokud jej� po��te�n� bod um�st�me do bodu $P$.

\okraj Afinn�\hb prostor | Afinni prostor

\definice* [defAprst]
%%%%%%%%%
{\em Afinn� prostor\/} je mno�ina bod� $\X$ spole�n� s line�rn�m
prostorem vektor� $V$. Zapisujeme jej jako dvojici $(\X,V)$.

Krom� operac� $+: V\times V\to V$ a $\cdot: \R\times V\to V$ spl�uj�c�
axiomy linearity~(1) a�~(7) definice\cite[dlp] je zavedena je�t�
operace $+: \X\times V\to \X$ s vlastnostmi:
$$
  \eqalign{
    (1)\ & P + \vec o = P \quad \hbox{pro v�echny body $P\in\X$ 
        \ ($\vec o\in V$ je nulov� vektor)},\cr
    (2)\ & (P + \vec u) + \vec v = P + (\vec u+\vec v) \quad
             \hbox{pro v�echny body $P\in\X$ a vektory 
                   $\vec u\in V$, $\vec v\in V$}, \cr
    (3)\ & \hbox{pro v�echny body $P\in\X$, $Q\in\X$ existuje pr�v� jeden vektor 
                 $\vec u\in V$ tak, �e}\quad
           P = Q + \vec u  
}
$$

\poznamka
%%%%%%%%%
Definice afinn�ho prostoru je zavedena pomoc� axiom� nov� operace, 
jak je v algeb�e obvykl�. Nemus�me se tedy obt�ovat p�esn�m vymezen�m
pojm� bod z mno�iny $\X$ a vektor z~mno�iny~$V$. Tak� nemus�me v�d�t,
jak konkr�tn� pracuje operace \uv{bod plus vektor}. Sta��, �e tato operace 
spl�uje uveden� axiomy. 

Z axiom� plyne, �e \uv{vektor� je stejn� po�et jako bod�}. P�esn�ji,
lze naj�t prost� zobrazen� z mno�iny bod� na mno�inu vektor�. Sta��
zvolit jeden bod $Q\in\X$ a d�le pro v�echna $P\in\X$ existuje podle
axiomu (3) jedin� vektor $\vec u\in V$. T�m je ur�eno prost� zobrazen�
z mno�iny bod� do mno�iny vektor�. �e je toto zobrazen� \uv{na} plyne
z toho, �e ke ka�d�mu vektoru $\vec u\in V$ lze zp�tn� sestrojit bod
$P=Q+\vec u$.

V dal��m textu si vysta��me s p�edstavou geometrick�ho prostoru 
s intuitivn�m pojet�m bod� a vektor� podle
pozn�mky\cite[Aprst]. Uk�eme, �e tato p�edstava je v souladu 
s definic�\cite[defAprst]. Tj. ov���me platnost axiom� pro operaci
s��t�n� bodu $P$ s vektorem $\vec u$ zavedenou 
geometricky: $P+\vec u$ je koncov� bod orientovan� �se�ky vektoru $\vec u$,
kter� za��n� v bod� $P$. 

Axiom (1):  Vektor $\vec o$ m� koncov� bod ve stejn�m m�st� jako
po��te�n�. Tak�e operace $P+\vec o$ bod $P$ nezm�n�.

Axiom (2): Nar�sujeme od bodu $P$ orientovanou �se�ku vektoru $\vec u$
a od koncov�ho bodu t�to �se�ky nar�sujeme druhou orientovanou �se�ku
vektoru $\vec v$. Proto�e tyto dv� orientovan� �se�ky
vymezuj� \uv{s��tac� rovnob�n�k} pro v�po�et $\vec u+\vec v$, je
z�ejm�, �e $(P + \vec u) + \vec v = P + (\vec u+\vec v)$.

Axiom (3): Vektor $\vec u$ je ur�en� orientovanou �se�kou 
za��naj�c� v bod� $Q$ a kon��c� v bod� $P$. Tento vektor 
budeme zna�it $P-Q$ nebo $\overrightarrow{QP}$.

\poznamka
%%%%%%%%%
Lapid�rn� shrnut�: v afinn�m prostoru pou��v�me n�sleduj�c� operace:
$$\jot=0pt\eqalign{
  \hbox{vektor $+$ vektor} &= \hbox{vektor}, \cr
  \hbox{konstanta $\cdot$ vektor} &= \hbox{vektor}, \cr
  \hbox{bod $+$ vektor} &= \hbox{bod}, \cr
  \hbox{bod $-$ bod} &= \hbox{vektor}, \cr
  \hbox{bod + bod} &\dots{} \hbox{\it nem� smysl}.
}
$$
s vlastnostmi (1) a� (7) z definice\cite[dlp] a s vlastnostmi (1) a�
(3) z definice\cite[defAprst].


\definice
%%%%%%%%%
{\em Sou�adnicov� syst�m\/} v afinn�m prostoru $(\X,V)$ zavedeme
tak, �e zvol�me n�jakou uspo��danou b�zi $(B)$ line�rn�ho prostoru $V$ 
a zvol�me bod $O\in\X$, kter�mu budeme ��kat {\em po��tek}. 
Sou�adnicov� syst�m budeme zna�it $(O,B)$.

{\em Sou�adnice vektoru $\vec u\in V$} vzhledem k syst�mu $(O,B)$ jsou
sou�adnice vektoru $\vec u$ vzhledem k~uspo��dan� b�zi $(B)$.

{\em Sou�adnice bodu $P\in\X$} vzhledem k syst�mu $(O,B)$ jsou
sou�adnice vektoru $P-O$ vzhledem k~uspo��dan� b�zi $(B)$. Vektor $P-O$ se naz�v� 
{\em radiusvektor bodu $P$}.

\definice
%%%%%%%%%
{\em Dimenze afinn�ho prostoru\/} $(\X,V)$ je rovna dimenzi
line�rn�ho prostoru~$V$. Typicky pou��v�me afinn� prostory
dimenze~2 (rovina) nebo dimenze~3 (na�e geometrick� vn�m�n� sv�ta). 

\veta [esour-lin]
%%%%%
Nech� $(\X,V)$ je afinn� prostor, nech� d�le $(O,B)$ je jeho
sou�adnicov� syst�m. 
Nech� $\vec u\in V$, $\vec v\in V$
$\alpha\in \R$, $P\in\X$, $Q\in\X$
Symbolem $\c(.)$ zna��me sou�adnice bodu nebo vektoru vzhledem 
k~$(O,B)$. Plat�
$$
  \eqalign {
  (1)\ & \c(\vec u+\vec v) = \c(\vec u) + \c(\vec v) \cr
  (2)\ & \c(\alpha\cdot\vec u) = \alpha\cdot\c(\vec u) \cr
  (3)\ & \c(Q+\vec u) = \c(Q) + \c(\vec u) \cr
  (4)\ & \c(P-Q) = \c(P) - \c(Q) \cr
}
$$

\dukaz
%%%%%%
(1) a (2) plyne z toho �e $V$ je line�rn� prostor a $\c$ zna��
sou�adnice vektoru vzhledem k uspo��dan� b�zi~$(B)$. Zobrazen� 
$\c$ je na mno�in� $V$ podle v�ty\cite[sour-lin] line�rn�.

(3) Radiusvektor bodu $Q+\vec u$ je sou�tem radiusvektoru bodu $Q$
s vektorem $\vec u$. Sou�adnice bod� jsou definov�ny jako sou�adnice
jejich radiusvektor�. Na $V$ je podle v�ty\cite[sour-lin] zobrazen� $\c$ line�rn�. 

(4) Vektor $P-Q$ je v�sledkem operace \uv{radiusvektor bodu $P$ minus radiusvektor
bodu~$Q$}. Dal�� argumentace je stejn� jako v d�kazu~(3).

%\dolu -2mm
\obrazek .4+.03 11 obr11
{
  \p 128 20 \vec b_1
  \p 108 -1 \vec b_2
  \p 128 -1 \vec O
  \p 30 100 \vec u
  \p 98 80 \vec u
  \p 10 163 P
  \p 50 45 Q
}
\priklad [PQ]
%%%%%%%%
Na obr�zku jsme vyzna�ili sou�adnicov� syst�m $(O,B)$ afinn�ho prostoru
dimenze~2. Vektory uspo��dan� b�ze 
$(B)=(\vec b_1, \vec b_2)$ jsou stejn� velikosti 
a na sebe kolm�. To nen� nutn�, ale je to praktick�. 

Na obr�zku jsou radiusvektory bod� $P\in\X$ a $Q\in\nobreak\X$, 
tak�e jsme schopni ur�it sou�adnice bod�: $\c(P) = (7,5)$ a 
$\c(Q) = (2,3)$.
D�le je vyzna�ena orientovan� �se�ka vektoru $\vec u=P-Q$. 
Vektor $\vec u$ ur�en� touto �se�kou m� podle v�ty\cite[esour-lin]
sou�adnice rovny rozd�lu 
sou�adnic bod�:
\ha 7
$$\c(\vec u) = \c(P) - \c(Q) = (7,5) - (2,3) = (5,2).$$ 

Na obr�zku je u dvou r�zn�ch orientovan�ch �se�ek p�ips�no stejn�
p�smeno $\vec u$, proto�e tyto �se�ky jsou rovnob�n�, stejn� velk� 
a stejn� orientovan�. Pova�ujeme je za reprezentanty stejn�ho 
vektoru~$\vec u$.

\okraj Homogenn� sou�adnice | Homogenni souradnice

\definice* [dhomosour]
%%%%%%%%%
Nech� $(\X,V)$ je afinn� prostor dimenze $n$
a $(O,B)$ je jeho sou�adnicov� syst�m.
 
{\em Homogenn� sou�adnice} bodu $P\in\X$ jsou uspo��dan� \hbox{$(n+1)$}-tice,
kter� v prvn�ch $n$ slo�k�ch obsahuje sou�adnice bodu $P$ vzhledem 
k $(O,B)$ a v posledn� slo�ce obsahuje jedni�ku.

{\em Homogenn� sou�adnice} vektoru $\vec u\in V$ jsou uspo��dan�
\hbox{$(n+1)$}-tice, kter� v prvn�ch $n$ slo�k�ch obsahuje sou�adnice vektoru
$\vec u$ vzhledem k~$(O,B)$ a v posledn� slo�ce obsahuje nulu.

Upozorn�n�: roz���enou verzi definice homogenn�ch sou�adnic bodu najde
�ten�� v odstavci\cite[dhomo2].


\priklad
%%%%%%%%
Vra�me se k bod�m $P$ a $Q$ v p��kladu\cite[PQ].
Homogenn� sou�adnice bodu $P$ jsou $(7,5,1)$, homogenn� sou�adnice
bodu $Q$ jsou $(2,3,1)$. Homogenn� sou�adnice vektoru 
$\vec u=P-Q$ jsou $(5,2,0)$.

\veta*
%%%%%
Vlastnosti (1) a� (4) v�ty\cite[esour-lin] jsou spln�ny i v p��pad�,
�e $\c(.)$ zna�� homogenn� sou�adnice.

\dukaz
%%%%%%
V p��pad� line�rn�ch kombinac� vektor� z�st�v� v posledn� slo�ce sou�adnic
nula. P�i sou�tu bodu s vektorem je v posledn� slo�ce sou�adnic
odehr�v� v�po�et $1+0=1$, tedy dost�v�me homogenn�
sou�adnice bodu. P�i ode��t�n� bod� se v posledn� slo�ce sou�adnic
ode��taj� jedni�ky a vznik� nula, dost�v�me tedy homogenn� sou�adnice 
vektoru. 

\okraj Matice v~homogenn�ch sou�adnic�ch | Matice v homogennich souradnicich

\definice* [Ahomo]
%%%%%%%%%
Nech� $(\X,V)$ je afinn� prostor dimenze $n$ a $(O,B)$ jeho sou�adnicov� syst�m.
��k�me, �e {\em transformace $\a:\X\to\X$ m� matici
$\A\in\R^{n+1,n+1}$ v homogen�ch sou�adnic�ch vzhledem k $(O,B)$}, 
pokud pro ka�d� bod $P\in\X$ jsou homogenn� sou�adnice obrazu 
$\a(P)$ rovny sloupcov�mu vektoru $\A\cdot\vec x$, 
kde $\vec x$ jsou homogenn� sou�adnice bodu
$P$. Jinak �e�eno, pro ka�d� bod $P\in\X$ je
$$
    \A\cdot\pmatrix{\hbox{homogenn�}\cr\hbox{sou�adnice}\cr\hbox{bodu }P\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(O,B)$}} = 
  \pmatrix{\hbox{homogenn�}\cr\hbox{sou�adnice}\cr\hbox{bodu }\a(P)\cr
      \hbox{vzhledem}\cr\hbox{k $(O,B)$}}
$$

\poznamka
%%%%%%%%%
Nech� transformace $\a:\X\to\X$ m� matici $\A$. Jak mus� takov� matice
vypadat? Je-li $\vec x$ vektor homogenn�ch sou�adnic bodu, pak mus�
$\A\cdot\vec x$ b�t tak� vektor homogenn�ch sou�adnic bodu. Neboli
jedni�ka v posledn� slo�ce vektoru $\vec x$ mus� z�stat zachov�na i po
maticov�m n�soben�. Z vlastnost� maticov�ho n�spoben� vypl�v�, �e dan�
po�adavek spl�uj� v�echny matice $\A\in\R^{n+1,n+1}$, kter� je mo�n�
do blok� rozepsat n�sledovn�:
$$
  \A = \pmatrix {\A' & \vec t\cr \vec o & 1}, \quad
  \rce(typA)
$$
kde $\A'\in\R^{n,n}$ je libovoln� matice, $\vec t\in\R^{n,1}$ je
libovoln� sloupcov� vektor, $\vec o\in\R^{1,n}$ je nulov� vektor a
vpravo dole je jedni�ka. Jin�mi slovy je to matice, kter� m� v
posledn�m ��dku nuly s v�jimkou posledn�ho prvku, kter� je roven
jedn�.

Nech� bod $P$ m� vzhledem k $(O,B)$ sou�adnice $\vec p\in\R^n$, tak�e jeho
homogenn� sou�adnice jsou $(\vec p,1)$. Pak plat�: 
$$
   \A \cdot \pmatrix {\vec p^T\cr 1\,} =
    \pmatrix {\A' & \vec t\cr \vec o & 1} \cdot \pmatrix {\vec p^T\cr 1\,}
  = \pmatrix {\A'\vec p^T + \vec t\cr 1}.
$$
Z maticov�ho n�soben� snadno plyne, �e sou�in dvou matic typu\cite(typA)
je matice typu\cite(typA). Tento sou�in je matic� odpov�daj�c�ho
slo�en�ho zobrazen�, jak uk�eme ve v�t�\cite[slozhomo].

\priklad
%%%%%%%%
V afinn�m prostoru dimenze 2 jsou matice transformac� v homogenn�ch
sou�adnic�ch tvaru:
$$
  \pmatrix {a&b&c\cr d&e&f\cr 0&0&1},\qquad
  \hbox{tj.} \quad
   \pmatrix {x'\cr y'\cr 1} = 
  \pmatrix {a&b&c\cr d&e&f\cr 0&0&1}\cdot \pmatrix{x\cr y\cr 1}  
  = \pmatrix {ax +by + c\cr dx+ ey + f\cr 1}.
$$
Transformace v 2D prostoru jsou tedy ur�eny maticemi se �esti parametry
$a$ a� $f$.

\priklad
%%%%%%%%
V afinn�m prostoru dimenze 3 jsou matice transformac� v homogenn�ch
sou�adnic�ch tvaru:
$$
  \pmatrix {a&b&c&d\cr e&f&g&h\cr i&j&k&l\cr 0&0&0&1},\qquad
  \hbox{tj.} \quad
   \pmatrix {x'\cr y'\cr z'\cr 1} = 
  \pmatrix {a&b&c&d\cr e&f&g&h\cr i&j&k&l\cr 0&0&0&1} \cdot
  \pmatrix {x\cr y\cr z\cr 1} = 
  \pmatrix {ax+by+cz+d\cr ex+fy+gz+h\cr ix+jy+kz+l\cr 1}.
$$
Transformace v 3D prostoru jsou tedy ur�eny maticemi s dvan�cti parametry
$a$ a� $l$.

\veta* [slozhomo]
%%%%%
Nech� $(\X,V)$ je afinn� prostor dimenze $n$ a nech� $(O,B)$ je jeho
sou�adnicov� syst�m. Nech� transformace $\a:\X\to\X$ m� matici $\A$ v
homogenn�ch sou�adnic�ch vzhledem k $(O,B)$ a transformace
$\b:\X\to\X$ m� matici $\B$ v homogenn�ch sou�adnic�ch vzhledem k
$(O,B)$. Pak slo�en� zobrazen� $\b\circ\a$ m� matici $\B\cdot\A$
v homogenn�ch sou�adnic�ch vzhledem k $(O,B)$.

\dukaz
V�ta se dok�e stejn� jako v�ta\cite[slozmzob]. Pouze m�sto
slov \uv{sou�adnice vektoru vzhledem k b�zi} v~d�kazu pou��v�me slova
\uv{homogenn� sou�adnice bodu vzhledem k $(O,B)$}.

\priklad [elemhomo]
%%%%%%%%
Uvedeme matice element�rn�ch transformac� v afinn�m prostoru $(\X,V)$ dimenze~2. 

{\em Zm�na m���tka} $a$-kr�t ve sm�ru prvn� sou�adnice a $b$-kr�t
ve sm�ru druh� m� matici
$$
  \pmatrix {a& 0&0\cr 0&b&0\cr 0&0&1},\quad 
  \hbox{proto�e}\quad
  \pmatrix {a& 0&0\cr 0&b&0\cr 0&0&1}\cdot
  \pmatrix {x\cr y\cr 1} =
  \pmatrix {a\,x\cr b\,y\cr 1}.
$$
Zm�na m���tka tansformuje vektory stejn� jako body. Tento typ
transformace byl podrobn� diskutov�n v p��kladu\cite[scale].

{\em Rotace} o �hel $\alpha$ kolem po��tku m� matici
$$
  \pmatrix {\cos\alpha& -\sin\alpha&0\cr 
           \sin\alpha&\phantom+\cos\alpha&0\cr 0&0&1},\quad  
  \hbox{proto�e}\quad
  \pmatrix {\cos\alpha& -\sin\alpha&0\cr 
           \sin\alpha&\phantom+\cos\alpha&0\cr 0&0&1}\cdot
  \pmatrix {x\cr y\cr 1} =
  \pmatrix {x\,\cos\alpha - y\,\sin\alpha\cr x\,\sin\alpha + y\,\cos\alpha\cr 1}.
$$
Rotace transformuje vektory stejn� jako body. Matice tohoto typu
transformace byla odvozena v p��kladu\cite[rotace].
Dopl�uj�c�m p�edpokladem pro tuto matici je sou�adnicov� syst�m s~b�z� vektor�,
kter� jsou na sebe kolm� a maj� stejnou velikost.

{\em Posunut�} o vektor se sou�adnicemi $(t_x,t_y)$ m� matici
$$
   \pmatrix {1&0& t_x\cr 0&1&t_y\cr 0&0&1},\quad  
   \hbox{proto�e}\quad
   \pmatrix {1&0& t_x\cr 0&1&t_y\cr 0&0&1}\cdot
   \pmatrix {x\cr y\cr 1} =   
   \pmatrix {x+t_x\cr y+t_y\cr 1}.
$$
Tato transformace posunuje jenom body, vektory nech�v� nezm�n�ny.

Dal�� transformace v afinn�m prostoru $(\X, V)$
vznikaj� jako skl�d�n� t�chto element�rn�ch trnasformac�. Slo�en�
zobrazen� m� podle v�ty\cite[slozhomo]
matici rovnu sou�inu matic jednotliv�ch zobrazen�.

\priklad
%%%%%%%%
V afinn�m prostoru dimenze 2
najdeme matici $\A$ v homogenn�ch sou�adnic�ch
takov� transformace, kter� ot���
vzor kolem bodu se sou�adnicemi $(2,3)$ o �hel $\alpha$.
Tato transformace je slo�en�m t�� transformac�: nejprve posune bod
$(2,3)$ do po��tku, pak oto�� obraz kolem po��tku o~�hel~$\alpha$ a
nakonec posune po��tek zp�t do bodu $(2,3)$. Matice
transformace je sou�inem matic transformac�, ze kter�ch je slo�ena,
p�itom nejd��ve aplikovan� transformace m� svou matici nejv�ce vpravo
(viz v�tu\cite[slozhomo]).
$$
  \displaylines {
  \A = \biggl( \hbox{matice posunut� o $(2,3)$} \biggr) \cdot 
  \biggl( \hbox{matice rotace o �hel $\alpha$} \biggr) \cdot 
  \biggl( \hbox{matice posunut� o $(-2,-3)$} \biggr) =\cr
  =  \pmatrix {1&0& 2\cr 0&1&3\cr 0&0&1} \cdot
     \pmatrix {\cos\alpha& -\sin\alpha&0\cr 
           \sin\alpha&\phantom+\cos\alpha&0\cr 0&0&1} \cdot
     \pmatrix {1&0& \!-2\cr 0&1&\!-3\cr 0&0&1} =
     \pmatrix {\cos\alpha& -\sin\alpha\ & -2\cos\alpha+3\sin\alpha+2\cr 
           \sin\alpha&\phantom+\cos\alpha\ &-2\sin\alpha-3\cos\alpha+3\cr 0&0&1}.
}
$$


\poznamka
%%%%%%%%%
V dal��m textu uk�eme, �e v�echny transformace $\a:\X\to\X$, kter� maj� matici
v~homogenn�ch sou�adnic�ch, jsou tzv. {\em afinn� transformace} a d�le
dok�eme, �e v�echny afinn� transformace maj� matici v~homogenn�ch sou�adnic�ch.

\okraj Afinn�\hb transformace | Afinni transformace

\definice* [Atrans]
%%%%%%%%%
Nech� $(\X,V)$ je afinn� prostor. Transformace $\a:\X\to\X$ se naz�v�
{\em afinn� transformace} (kr�tce {\em afinita\/}), 
pokud existuje line�rn� transformace 
$\a': V\to V$ tak, �e pro ka�d� bod $P\in\X$ a pro ka�d� vektor 
$\vec u\in V$ plat�
$$
  \a(P+\vec u) = \a(P) + \a'(\vec u).
$$

\veta* [anabasi]
%%%%%
Nech� $(\X,V)$ je afinn� prostor dimenze $n$ a 
$(O,B)=(O,\vec b_1,\ldots,\vec b_n)$ je jeho sou�adnicov� syst�m. 
Pak afinn� zobrazen� $\a: \X\to\X$
je jednozna�n� ur�eno sv�mi obrazy v bodech $O$ a $O+\vec b_i$ pro
$i\in\{1,\ldots,n\}$.

\dukaz
Proto�e $\a$ je afinn�, existuje line�rn� zobrazen� $\a': V\to V$,
pro kter� plat� 
$$\a(O+\vec b_i) = \a(O) + \a'(\vec b_i).$$
Zn�me-li hodnoty $\a(O+\vec b_i)$ a $\a(O)$, pak jsou t�mto vzorcem
ur�eny i hodnoty $\a'(\vec b_i)$ pro v�echny b�zov� vektory $\vec b_i$.
Line�rn� zobrazen� $\a'$ je podle v�ty\cite[zobnabasi] t�mito
hodnotami jednozna�n� ur�eno. Hodnota zobrazen� $\a$ v ka�d�m bod�
$P\in\X$ je pak jednozna�n� ur�ena ze vztahu 
$$\a(P) = \a\bigl(O+(P-O)\bigr) = \a(O) + \a'(P-O).$$

\veta [Ahomoa]
%%%%%
Nech� $(\X,V)$ je afinn� prostor dimenze $n$ a $(O,B)$ je jeho sou�adnicov�
syst�m. Pak ka�d� transformace $\a:\X\to\X$, kter� m� matici $\A$ 
v homogenn�ch sou�adnic�ch vzhledem k $(O,B)$, je afinn� transformace.

\dukaz
Nech� $\A$ je matice zobrazen� $\a$ v homogenn�ch sou�adnic�ch.
Pak $\A$ je typu\cite(typA). 

Nech� $\vec u\in V$ m� sou�adnice $\vec c\in\R^n$ vzhledem k $(O,B)$. Pak m�
homogenn� sou�adnice $(\vec c, 0)$ a plat�:
$$
   \A \cdot \pmatrix {\vec c^T\cr 0\,} =
    \pmatrix {\A' & \vec t\cr \vec o & 1} \cdot \pmatrix {\vec c^T\cr 0\,}
  = \pmatrix {\A'\cdot\vec c^T \cr 0}
$$
tak�e maticov� n�soben� $\A\cdot\vec x$ transformuje tak�
homogenn� sou�adnice vektor� na homogenn� sou�adnice vektor�. 
K t�to transformaci homogenn�ch sou�adnic vektor� existuje
zp�tn� transformace vektor� samotn�ch $\a':V\to V$ takov� �e
homogenn� sou�adnice obrazu $\a'(\vec u)$ jsou rovny sloupcov�mu vektoru 
$$
   \A \cdot \pmatrix {\vec c^T\cr 0\,}.
$$
Tato transformace $\a':V\to V$ je zjevn� line�rn� a m� matici $\A'$
vzhledem k b�zi $(B)$.

Nyn� sta�� dok�zat, �e $\a(P+\vec u) = \a(P) + \a'(\vec u)$ pro
v�echny body $P\in\X$ a v�echny vektory $\vec u\in V$. Tato rovnost
plat�, proto�e
$$
  \A \cdot \left(\pmatrix {\vec p^T\cr 1} + \pmatrix {\vec c^T\cr 0}\right) =
  \A \cdot \pmatrix {\vec p^T\cr 1} + 
  \A \cdot \pmatrix {\vec c^T\cr 0}
$$
 
\veta* [zobhomo]
%%%%%
Nech� $(\X,V)$ je afinn� prostor dimenze $n$ se sou�adnicov�m syst�mem
$(O,B)$. Pak ka�d� afinn� zobrazen� $\a$ m� matici $\A$ v~homogenn�ch
sou�adnic�ch vzhledem k $(O,B)$.

\dukaz
Proto�e $\a$ je afinn�, existuje line�rn� transformace $\a':V\to V$ tak, �e
$\a(P+\vec u) = \a(P) + \a'(\vec u)$ pro v�echny body $P\in\X$ a
v�echny vektory $\vec u\in V$.
Do matice $\A$ zap��eme nejprve homogenn� sou�adnice obraz� 
b�zov�ch vektor� $\a'(\vec b_i)$ a do posledn�ho sloupce zap��eme
obraz $\a(O)$. Takto sestaven� matice je zjevn� typu\cite(typA).
Ozna�me $\b:\X\to\X$ transformaci, kter� m� matici $\A$ v homogenn�ch sou�adnic�ch.
Podle v�ty\cite[Ahomoa] je $\b$ afinn� transformace.
Kdy� uk�eme, �e $\b(O)=\a(O)$ a d�le $\b(O+\vec b_i) = \a(O+\vec b_i)$
pro v�echny b�zov� vektory $\vec b_i$,
budeme podle v�ty\cite[anabasi] v�d�t, �e $\a=\b$, tedy
$\a$ m� matici $\A$.

Homogenn� sou�adnice po��tku $O$ jsou v�ude nulov� s v�jimkou posledn�
slo�ky, kde je jedni�ka. Vektor t�chto sou�adnic ozna�me $\vec e_{n+1}\in\R^{n+1}$. 
Homogenn� sou�adnice $\b(O)$ se po��taj� podle vzorce
$\A\cdot\vec e_{n+1}^T$ a tento sou�in je roven posledn�mu sloupci
matice $\A$. Ten podle pravidla sestaven� matice $\a$ obsahuje 
homogenn� sou�adnice obrazu $\a(O)$. Tak�e $\b(O)=\a(O)$.
Homogenn� sou�adnice b�zov�ho vektoru $\vec b_i$ jsou v�ude nulov�
s v�jimkou $i$-t� slo�ky. Vektor
t�chto sou�adnic ozna�me $\vec e_i\in\R^{n+1}$. 
Homogenn� sou�adnice $\b(O+\vec b_i)$ po��t�me podle vzorce
$\A\cdot(\vec e_{n+1}^T+\vec e_i^T)$. Tento sou�in je roven sou�tu $i$-t�ho 
sloupce matice $\A$ s posledn�m, tedy obsahuje (podle pravidla sestaven� matice) 
homogenn� sou�adnice obrazu $\a(O) + \a'(\vec b_i) = \a(O+\vec b_i)$. 
Z toho plyne $\b(O+\vec b_i) = \a(O+\vec b_i)$.

\veta
%%%%%
Nech� m� afinn� prostor $(\X,V)$ dimenzi $n$.
Afinn� transformace $\a:\X\to\X$ je prost� pr�v� tehdy, kdy� je na.

\dukaz
Afinn� transformace $\a:\X\to\X$ je prost� pr�v� tehdy, kdy� 
jej� p�idru�en� line�rn� transformace $\a': V\to V$ je prost�, pr�v�
tehdy, kdy� $\defekt\a'=0$ pr�v� tehdy, kdy� $\hod\a'=n$ (viz v�tu\cite[def+hod])
pr�v� tehdy, kdy� $\a'$ je na $V$ pr�v� tehdy, kdy� $\a$ je na $\X$.

\veta*
%%%%%
Slo�en� dvou afinn�ch transformac� je afinn� transformace.

\dukaz
Ve v�t�\cite[slozhomo] jsme uk�zali, �e slo�en�m dvou transformac�,
kter� maj� svou matici v homogenn�ch sou�adnic�ch, je transfrormace, 
kter� m� matici v homogenn�ch sou�adnic�ch. D�le ve
v�t�ch\cite[Ahomoa] a\cite[zobhomo] jsme uk�zali, �e tranfsormace m�
matici v homogenn�ch sou�adnic�ch pr�v� tehdy, kdy� je afinn�.

\veta
%%%%%
Inverzn� transformace k prost� afinn� transformaci je afinn�.

\dukaz
M�-li p�vodn� transformace matici $\A$ v homogenn�ch sou�adnic�ch, pak
inverzn� transformace m� matici $\A^{-1}$ v homogenn�ch sou�adnic�ch.

\veta
%%%%%
%Nech� $(\X,V)$ je afinn� prostor dimenze aspo� 2 a $\a:\X\to\X$ je
%prost� afinn� transformace. Pak $\a$ transformuje rovnob�n� p��mky na
%rovnob�n� p��mky.
Prost� afinn� transformace transformuje rovnob�n� p��mky na
rovnob�n� p��mky.

\dukaz
P��mka v afinn�m prostoru $(\X,V)$ je mno�ina
$p=\{P+t\vec u;\,t\in\R\}$, kde $P\in\X$ je n�jak� bod a $\vec u\in V$
je nenulov� vektor. 
Vektoru $\vec u$ v tomto kontextu ��k�me {\em sm�rov� vektor p��mky}.
Dv� p��my jsou rovnob�n� nebo toto�n�, pokud jejich sm�rov� vektory
jsou line�rn� z�visl� (tedy jeden je nenulov�m n�sobkem druh�ho).

Nech� $\a:\X\to\X$ je prost� afinn� transformace a ozna�me
$p=\{P+t\vec u;\,t\in\R\}$
a $q=\{Q+t\vec v;\,t\in\R\}$ dv� r�zn� rovnob�n� p��mky. Tak�e
$\vec u=\alpha\vec v$.
Pak 
$$
  \eqalign{  
    \a(p) &= \{\a(P+t\vec u);\,t\in\R\} = \{\a(P)+\a'(t\vec u);\,t\in\R\} =
           \{\a(P)+t\a'(\vec u);\,t\in\R\} =  p' \cr
    \a(q) &= \{\a(Q+t\vec v);\,t\in\R\} = \{\a(Q)+\a'(t\vec v);\,t\in\R\} =
           \{\a(Q)+t\a'(\vec v);\,t\in\R\} = q'
}
$$
Je z�ejm�, �e $p'$ a $q'$ jsou p��mky. Proto�e $\a$ je prost�, je
prost� tak� $\a'$, tak�e vektory $\a'(\vec u)$ a $\a'(\vec u)$ jsou 
nenulov�. P��mky $p'$ a $q'$ jsou rovnob�n�
proto�e $\a'(\vec u) = \a'(\alpha\vec v) = \alpha \a'(\vec v)$.
Nav�c nejsou toto�n�, proto�e $\a$ je prost�. 
%V p��pad�, �e dimenze
%afinn�ho prostoru je 1, pak prost� afinn� zobrazen� transformuje
%jedinou p��mku na tu samou p��mku a o rovnob�nosti nem� smysl mluvit. 

\poznamka [arovnobeznost]
%%%%%%%%%
P�edpokl�dejme nyn�, �e afinn� zobrazen� nen� prost�.
V tomto p��pad� se p��mky mohou zobrazit do bodu nebo dv�
rovnob�n� p��mky se zobraz� do jedn� p��mky. Projd�te si d�kaz
p�edchoz� v�ty znova a rozmyslete si, �e afinn� zobrazen�, kter� nemus�
b�t prost�, nikdy nezobraz� rovnob�ky na r�znob�ky.

\dolu 2mm
\obrazek .5+.03 11 obr12
{
  \p 150 48 \vec b_1
  \p 110 36 \vec b_2
  \p 151 24 \vec O
  \p 98 115 \vec O'
  \p 55 82 \vec b_1'
  \p 120 10 \vec b_1'
  \p 78 192 \vec b_2'
  \p 129 120 \vec b_2'
}
\priklad
%%%%%%%%
V afinn�m prostoru dimen\-ze~2
najdeme matici $\A$ v homogenn�ch sou�adnic�ch takov� afinn� transformace,
kter� zobraz� $\vec b_1$ na $\vec b_1'$, d�le $\vec b_2$ zobraz� na
$\vec b_2'$ a kone�n� $O$ zobraz� na $O'$ podle obr�zku. Tato
transformace nap��klad vezme obr�zek z vy�rafovan�ho �tverce a prot�hne
jej, zkos� jej, zrcadl� jej (osov� soum�rnost), oto�� jej a posune jej 
a t�m vytvo�� obraz p�vodn�ho obr�zku ve vyzna�en�m rovnob�n�ku.

Uv�dom�me si, �e pokud je d�na b�ze $(\vec b_1,\vec b_2)$ a pokud jsou
d�ny vektory $\vec b_1'$ a $\vec b_2'$, pro kter� m� b�t
$\vec b_i'= \a'(\vec b_i)$ pro $i\in\{1,2\}$, pak line�rn� transformace
$\a': V\to V$ s uvedenou vlastnost� podle v�ty\cite[zobnabasi]
existuje a je jedin�. Kdy� k tomu p�id�me po�adavek na posunut�
bodu $O$ do $O'$, je t�m tak� ur�ena transformace $\a:\X\to\X$.
Matice t�to transformace m� podle d�kazu 
v�ty\cite[zobhomo] homogenn� sou�adnice vektor� $\vec b_i'$ a bodu
$O'$ v odpov�daj�c�ch sloupc�ch. Aby se n�m na obr�zku sou�adnice
vektor� $\vec b_i'$ vzhledem k b�zi $(B)$ dob�e hledaly, p�ekreslili
jsme jejich orientovan� �ce�ky tak� tak, aby za��naly v bod� $O$.
Vid�me, �e 
\ha 5
$$
  \eqalign {
    \vec b_1' &= -1\cdot \vec b_1 + 2\cdot\vec b_2, \quad
    \hbox{tak�e vektor $\vec b_1'$ m� sou�adnice $(-1,2)$ vzhledem k $(B)$},\cr
    \vec b_2' &= \phantom+4\cdot \vec b_1 + 1\cdot\vec b_2, \quad
    \hbox{tak�e vektor $\vec b_2'$ m� sou�adnice $(4,1)$ vzhledem k $(B)$},\cr
    O'-O &= \phantom+3\cdot\vec b_1 + 2\cdot\vec b_2,\quad
    \hbox{tak�e bod $O'$ m� sou�adnice $(3,2)$ vzhledem k $(O,B)$}.\cr
}    
$$
Hledanou matici $\A$ nyn� vypln�me po sloupc�ch homogenn�mi
sou�adnicemi vektor� $\vec b_1'$, $\vec b_2'$ a bodu $O'$:
$$
  \A = \pmatrix {\!-1&4&3\cr \hfill2&1&2\cr\hfill0&0&1}.
$$

\poznamka
%%%%%%%%%
D� se uk�zat, �e ka�d� afinn� transformace afinn�ho prostoru
dimenze 2 je v�sledkem skl�d�n� element�rn�ch
operac� zm�ny m���tka, oto�en� a posunut� uveden�ch v p��kladu\cite[elemhomo].
D�kaz tohoto tvrzen�
ponech�me a� do kapitoly\kcite\ktere[skalsoucin] v~p��kladu\cite[elemsloz].

\okraj Perspektivn� projekce | Perspektivni projekce

\poznamka [perspproj]
V po��ta�ov� grafice se �e�� ot�zka zobrazen� 3D modelu na 2D st�n�tko
monitoru. M��eme to ud�lat odstran�n�m nap��klad sou�adnice $z$ ze t��
p�vodn�ch sou�adnic 3D modelu, tedy $(x,y,z) \to (x,y)$. Toto
zobrazen� naz�v�me ortografickou projekc�. P�irozen�j�� ale je
p�edstavit si oko pozorovatele (nebo kameru) jako centrum, do kter�ho
se sb�haj� v�echny paprsky odr�ej�c� se od pozorovan�ch objekt�. 
P�ed pozorovatele postav�me st�n�tko monitoru -- pr�hlednou rovinu. Ka�d�
pozorvan� bod m� sv�j paprsek sm��uj�c� do oka a pr�se��k tohoto
paprsku s rovinou st�n�tka je obraz pozorovan�ho bodu p�i perspektivn�
projekci. Situace je zn�zorn�n� na obr�zku. Zde je oko pozorovatele
um�st�n� do po��tku sou�adnic afinn�ho prostoru a rovina st�n�tka
je kolm� na osu $z$ a je um�st�na ve vzd�lenosti~1 od
pozorovatele. Pozorovatel se d�v� \uv{nahoru}. Je docela pohodln�
le�et na gau�i a z�rat vzh�ru. Za t�to situace se bod
3D sc�ny se sou�adnicemi $(x,y,z)$ zobraz� na st�n�tko do m�sta se
sou�adnicemi $(x/z,y/z,1)$ a po zanedb�n� sou�adnice $z$
m�me v�sledn� 2D sou�adnice $(x/z,y/z)$. Tuto perpektivn� projekci tedy
m��eme popsat jako $(x,y,z)\to (x/z,y/z)$. Zjevn� body se sou�adnicemi
$(x,y,0)$ p�vodn� 3D sc�ny nejsou vid�t a do 2D sc�ny se nezobrazuj�. Pravda,
nejsou vid�t ani body za z�dy pozorovatele, tj. $(x,y,z)$ pro
$z<0$. Pokud bychom je p�ed projekc� neodstranili, pak by se n�m p�i
pou�it� vzorce $(x,y,z)\to (x/z,y/z)$ tak� prom�tly do st�n�tka.

Perspektivn� projekce nen� afinn� zobrazen�. Zobrazuje sice p��mky
(neproch�zej�c� okem) na p��mky, ale rovnob�n� p��mky se mohou sb�hat
ve spole�n�m bod�, co� nen� podle\cite[arovnobeznost] vlastnost 
afinn�ho zobrazen�. V p�edchoz�m textu jsme uk�zali, �e matice
v�ech afinn�ch zobrazen� v homogenn�ch sou�adnic�ch 
maj� v posledn�m ��dku $(0,\ldots,0,1)$. Dovol�me-li matic�m
nem�t tuto vlastnost, m��eme pomoc� maticov�ho n�soben�
postihnout i perspektivn� projekci. Pot�ebujeme k tomu ��elu ov�em
roz���it pojem homogenn� sou�adnice bodu. V posledn� sou�adnici od
t�to chv�le p�ipust�me jak�koli nenulov� ��slo, ne nutn� jedni�ku:

\definice* [dhomo2]
%%%%%%%%%
Nech� $(\X,V)$ je afinn� prostor a $(O,B)$ jeho sou�adnicov� syst�m.
Nech� bod $P\in\X$ m� vzhledem k $(O,B)$
sou�adnice $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$. Pak jakoukoli uspo��danou
$(n+1)$-tici $(tx_1,tx_2,\ldots,tx_n,t)$ pro $t\not=0$
naz�v�me {\em homogenn� sou�adnice bodu\/}~$P$.
\inl[sou�adnice: homogenn�, homogenn�: sou�adnice]

\poznamka
%%%%%%%%%
Homogenn� sou�adnice bodu nejsou ur�eny touto definic� jednozna�n�.
M��eme pou��t n�sleduj�c� geometrickou p�edstavu: v�echny homogenn�
sou�adnice stejn�ho bodu $P$ z~afinn�ho prostoru $(\X,V)$ dimenze~$n$ 
vypln� (a� na po��tek) p��mku v prostoru $\R^{n+1}$ homogenn�ch
sou�adnic. Tato p��mka v�dy proch�z� po��tkem prostoru $\R^{n+1}$.
V~prostoru homogenn�ch sou�adnic $\R^{n+1}$ si vytvo�me 
zobecn�nou rovinu $\varrho=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n,1),\,x_i\in\R\}$. 
Bod $P$ je v~prostoru homogenn�ch sou�adnic reprezentov�n p��mkou, 
kter� prot�n� rovinu $\varrho$ v bod� $P$ 
(po zanedb�n� posledn� sou�adnice). V�echny
objekty v $\X$ maj� v prostoru homogenn�ch sou�adnic o jednu dimenzi
v�ce, ne� v $\X$ samotn�m. Nap��klad p��mka v $\X$ je
rovinou v~$\R^{n+1}$ proch�zej�c� po��tkem. 
P�itom pr�se��k t�to roviny se zobecn�nou rovinou $\varrho$ d�v�
p�vodn� p��mku.

\poznamka
%%%%%%%%%
Pro popis perspektivn� projekce 3D sc�ny na 2D st�n�tko si vysta��me 
s~afinn�m prostorem dimenze~3 a se �ty�mi homogenn�mi sou�adnicemi na
vstupu a s afinn�m prostorem dimenze 2 a t�emi homogenn�mi sou�adnicemi
na v�stupu. Pop��eme perspektivn� projekci, kter� 
je ve skute�n�ch sou�adnic�ch pops�na vzorcem $(x,y,z)\to(x/z,y/z)$
a byla zm�n�na v~pozn�mce\cite[perspproj]. Nech� homogenn� sou�adnice 
vzoru v~t�to projekci jsou $(x,y,z,1)$. Homogenn� sou�adnice obrazu
jsou t�eba $(x/z,y/z,1)$, ale stejn� bod m� t� 
(v~souladu s definic�\cite[dhomo2] a p�i volb� $t=z$) homogenn� sou�adnice
$(x,y,z)$. Matice perspektivn� projekce v homogenn�ch sou�adnic�ch
tedy vypad� n�sledovn�:
$$
  \pmatrix{1&0&0&0\cr0&1&0&0\cr0&0&1&0}, \qquad
   \hbox{proto�e}\quad
  \pmatrix{1&0&0&0\cr0&1&0&0\cr0&0&1&0}\cdot \pmatrix{x\cr y\cr z\cr 1}
    = \pmatrix{x\cr y\cr z}
$$
Pov�imneme si, �e na vstupu m�me bod z 3D popsan� �ty�mi homogenn�mi
sou�adnicemi a na v�stupu bod z 2D popsan� t�emi homogenn�mi
sou�adicemi. Bod na v�stupu nem� posledn� homogenn� sou�adnici v�dy
rovnu jedn�. Chceme-li zjistit skute�n� sou�adnice tohoto bodu, mus�me
naj�t jin� homogenn� sou�adnice stejn�ho bodu, kter� maj� v posledn�
slo�ce jedni�ku. Tedy: $(x/z,y/z,1)$. Skute�n� 2D sou�adnice tedy
podle o�ek�v�n� jsou $(x/z,y/z)$.

 



\shrnuti
%%%%%%%%
Afinn� prostor sest�v� z mno�iny bod� $\X$ a z line�rn�ho 
prostoru~$V$\lcite[Aprst]. Je definov�na operace \uv{bod plus vektor je bod},
kter� spl�uje axiomy (1) a� (3)\lcite[defAprst].

Sou�adnice bodu $P$ jsou sou�adnice jeho radiusvektoru $P-O$.
Sou�adnice bod� i vektor� zachov�vaj� pot�ebn�
operace\lcite[esour-lin].

Homogenn� sou�adnice bodu jsou sou�adnice bodu n�sledovan� jedni�kou a
homogenn� sou�adnice vektoru jsou sou�adnice vektoru n�sledovan� 
nulou\lcite[dhomosour].

Transformace $\a:\X\to\X$ jsou afinn� pr�v� kdy� maj� matici v
homogenn�ch sou�adnic�ch~/\ncite[Ahomo], \ncite[Atrans], 
\ncite[Ahomoa],~\ncite[zobhomo]/. Skl�d�n� afinn�ch transformac�
m� v homogenn�ch sou�adnic�ch matici rovnou sou�inu matic jednotliv�ch 
transformac�.

Matice v homogenn�ch sou�adnic�ch m� v�dy v posledn�m ��dku
$(0,\ldots,0,1)$.

Uvedli jsme si matice element�rn�ch transformac�: zm�na m���tka,
rotace a posunut�\lcite[elemhomo]. Skl�d�n�m element�rn�ch
transformac� lze vytvo�it libovolnou afinn� transformaci.

Nech� $(\vecc b_n, O)$ je sou�adnicov� syst�m prostoru $(\X,V)$
Afinn� transformace $\a:\X\to\X$ je jednozna�n� ur�ena sv�mi obrazy
bodu $O$ a bod� $O+\vec b_i$\lcite[anabasi]. Matice t�to
transformace v homogen�ch sou�adnic�ch m� ve
sloupc�ch homogenn� sou�adnice obraz� $\vec b_i$ n�sledovan� sloupcem
s homogenn�mi sou�adnicemi obrazu bodu~$O$.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\kapitola [vlcisla] Vlastn� ��slo, vlastn� vektor |
                    Vlastni cislo, vlastni vektor
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\okraj Motiva�n� p��klad | Motivacni priklad

\priklad
%%%%%%%%
P�edpokl�dejme, �e je d�na line�rn� transformace $\a:\R^2\to\R^2$,
kter� m� svou matici $\A\in\R^{2,2}$. Je-li $\vec u\in\R^2$ nenulov�
vektor, pak mno�ina $p=\{t\vec u;\, t\in\R\}$ je (z geometrick�ho
pohledu) p��mka, proch�zej�c� po��tkem. Nenulov�mu vektoru $\vec u$
��k�me {\em sm�rov� vektor p��mky}. Transformace $\a$ zobrazuje
p��mky proch�zej�c� po��tkem na p��mky proch�zej�c� po��tkem. Pokus�me
se naj�t p��mku proch�zej�c� po��tkem, kter� se tranformac� $\a$
zobraz� sama na sebe.

Hledanou p��mku ozna��me $p=\{t\vec u;\, t\in\R\}$. Mus� platit
$p = \a(p) = \{t\a(\vec u);\, t\in\R\}$,
tak�e sm�rov� vektor p��mky $p$ a sm�rov� vektor p��mky $\a(p)$
musej� b�t line�rn� z�visl�, tedy $\a(\vec u) = \lambda\vec u$. 

Je-li d�na matice $\A$ zobrazen� $\a$, pak se p�edchoz� �loha d�
formulovat takto: naj�t nenulov� vektor $\vec u\in\R^2$ a ��slo
$\lambda\in\R$ tak, aby $\A\cdot\vec u = \lambda\vec u$.
Rovnost se d� p�epsat takto: $\A\cdot\vec u = \lambda\E\cdot\vec u$,
neboli $(\A-\lambda\E)\cdot\vec u=\vec o$. Aby bylo mo�n� naj�t
nenulov� �e�en� $\vec u$ t�to homogenn� soustavy (s parametrem $\lambda\in\R$),
mus� jej� matice $\A-\lambda\E$ b�t singul�rn�, neboli mus�
$\det(\A-\lambda\E)=0$. Je-li d�na matice $\A\in\R^2$, pak
rovnice $\det(\A-\lambda\E)=0$ je kvadratick� rovnice v prom�nn�
$\lambda$. Tato rovnice m��e, ale nemus� m�t re�ln� ko�eny. Pokud m�
re�ln� ko�eny $\lambda_1$ a $\lambda_2$, pak lze naj�t nenulov� �e�en�
homogenn�ch soustav $(\A-\lambda_1\E)\cdot\vec u=\vec o$ a 
$(\A-\lambda_2\E)\cdot\vec u=\vec o$. Ozna��me-li tato �e�en�
$\vec u_1$ a $\vec u_2$, pak jsme na�li dv� p��mky
$p_1=\{t\vec u_1\}$ a $p_2=\{t\vec u_2\}$, kter� se zobraz� na sebe.
Uveden� postup uk�eme v n�sleduj�c�ch p��kladech znovu a konkr�tn�ji.

\priklad
%%%%%%%%
Nech� line�rn� transformace $\a:\R^2\to\R^2$ m� matici
$$
  \A = \pmatrix {5&2\cr -3&0}
$$
Najdeme p��mky, kter� tato transformace ponech� beze zm�ny.

Nech� $p=\{t(x_1,x_2);\,t\in\R\}$ je hledan� p��mka. Mus� platit
$\a(x_1,x_2) = \lambda(x_1,x_2)$, neboli:
$$
  \pmatrix {5&2\cr -3&0}\cdot\pmatrix{x_1\cr x_2} = \lambda\pmatrix{x_1\cr x_2},
  \quad \hbox{tj.}\quad
  \pmatrix {5-\lambda&2\cr -3&-\lambda}\cdot\pmatrix{x_1\cr x_2} =
  \pmatrix{0\cr0}.
$$
Proto�e hledan� vektor $(x_1,x_2)$ mus� b�t nenulov�, mus� m�t uveden�
homogenn� soustava singul�rn� matici. To znamen�, �e:
$$
  \det\pmatrix {5-\lambda&2\cr -3&-\lambda} = 0, \quad
  \hbox{tj.}\quad
  \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0, \quad
  \hbox{tj.}\quad
  \lambda = 2\quad\hbox{nebo}\quad \lambda=3. 
$$
Ko�eny $\lambda=2$ a $\lambda=3$ postupn� dosad�me do p�vodn�
homogenn� soustavy:
$$
  \lambda=2:\quad
  \pmatrix {5-2&2\cr -3&-2}\cdot\pmatrix{x_1\cr x_2} =
  \pmatrix{0\cr 0},\qquad
  \lambda=3:\quad
  \pmatrix {5-3&2\cr -3&-3}\cdot\pmatrix{x_1\cr x_2} =
  \pmatrix{0\cr 0}.
$$
Nenulov� �e�en� prvn� soustavy je nap��klad 
$(-2,3)$ a nenulov� �e�en� druh� soustavy je 
$(-1,1)$. Tak�e p��mky $p_1=\{t(-2,3);\, t\in\R\}$ a $p_2=\{t(-1,1);\, t\in\R\}$
jsou hledan� p��mky, kter� se zobraz� na sebe.

\priklad
%%%%%%%%
Nech� line�rn� transformace $\a:\R^2\to\R^2$ m� matici
$$
  \A = \pmatrix {1&2\cr -2&3}
$$
Najdeme p��mky, kter� tato transformace ponech� beze zm�ny.

Postup nebudeme opakovat podrobn� znovu. V jedn� f�zi v�po�tu dost�v�me
determinant:
$$
  \det\pmatrix {1-\lambda&2\cr -2&3-\lambda} = 0, \quad
  \hbox{tj.}\quad
  \lambda^2 - 4\lambda + 7 = 0, \quad
  \hbox{tato rovnice nem� v $\R$ �e�en�.}
$$
V tomto p��pad� neexistuje ��dn� p��mka proch�zej�c� po��tkem, kterou by dan� line�rn�
transformace ponechala beze zm�ny.

\poznamka
%%%%%%%%%
��sl�m $\lambda$ v p�edchoz�ch p��kladech se ��k� {\em vlastn� ��sla
matice}~$\A$, resp. {\em vlastn� ��sla transformace}~$\a$. Sm�rov�m vektor�m
p��mek, kter� transformace ponech�v� beze zm�ny, ��k�me {\em vlastn�
vektory}. P�esn�j�� definici t�chto pojm� zavedeme za chv�li.

\poznamka
%%%%%%%%%
Z uveden�ch p��klad� plyne, �e vlastn� ��sla matice $\A$ lze po��tat
jako ko�eny polynomu $\det(\A-\lambda\E)$. Tyto ko�eny ov�em nemusej�
b�t v�dy re�ln�.  Abychom m�li zaru�enu v�dy existenci vlastn�ho
��sla, budeme muset p�ipustit i~komplexn� vlastn� ��sla a komplexn�
vlastn� vektory. V t�to kapitole tedy bude u�ite�n� pracovat
s~line�rn�mi prostory nad komplexn�mi ��sly (viz
pozn�mku\cite[dlpnadC]) a s komplexn�mi maticemi.  Pak budeme m�t
zaru�eno, �e ka�d� line�rn� transformace (resp. jej� matice) m� v�dy
vlastn� ��sla a vlastn� vektory. Bohu�el, p�echodem ke komplexn�m
��sl�m mus�me pon�kud v�ce p�imhou�it ob� o�i, kdy� chceme vlastn�
vektory interpretovat geometricky jako sm�rov� vektory p��mek, kter�
transformace ponech�v� beze zm�ny. Geometrick� prostor, na kter� jsme
zvykl�, je toti� izomorfn� s~$\R^3$, nikoli s $\C^3$.

V~modelov�ch p��kladech se pokus�me komplexn�m ��sl�m vyhnout.

\okraj Vlastn� ��slo, vlastn� vektor | Vlastni cislo, vlastni vektor

\definice* [dvl]
%%%%%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor kone�n� dimenze nad $\C$ a
nech� $\a:L\to L$ je line�rn� transformace. ��slo $\lambda\in\C$ se
naz�v� 
{\em vlastn�m ��slem transformace~$\a$}, pokud existuje vektor $\vec x\in L$,
$\vec x\not=\vec o$ takov�, �e $\a(\vec x) = \lambda\,\vec x$.
Vektor $\vec x$, kter� spl�uje uvedenou rovnost, se naz�v� {\em
vlastn� vektor transformace $\a$ p��slu�n� vlastn�mu ��slu $\lambda$}.
\inl[��slo: vlastn�, vlastn�: ��slo, vektor: vlastn�, vlastn�: vektor]

\poznamka
%%%%%%%%%
Pokud existuje vlastn� ��slo transformace $\a$, pak mu p��slu�� v�ce
vlastn�ch vektor�. P�id�me-li k t�mto vektor�m vektor nulov�,
dost�v�me line�rn� podprostor prostoru $L$.
Skute�n�, pokud $\vec x$, $\vec y$ spl�uj� 
$\a(\vec x) = \lambda\,\vec x$, $\a(\vec y) = \lambda\,\vec y$, pak
$$
  \a(\vec x+\vec y) = \a(\vec x)+\a(\vec y) = 
  \lambda\,\vec x+\lambda\,\vec y = \lambda\,(\vec x+\vec y), \qquad
  \a(\alpha\,\vec x) = \alpha\,\a(\vec x) = \alpha\lambda\,\vec x =
  \lambda\,(\alpha\,\vec x).
$$

\poznamka
%%%%%%%%%
Pojem vlastn� ��slo definujeme nejenom pro line�rn� transformace, ale rovn�
pro �tvercov� matice. Z�hy zjist�me, �e mezi vlastn�m ��slem transformace
a jej� matice je �zk� souvislost.

\definice* [dvA]
%%%%%%%%%
Nech� $\A$ je �tvercov� matice typu $(n,n)$ re�ln�ch nebo komplexn�ch
��sel. ��slo $\lambda\in\C$ se
naz�v� {\em vlastn�m ��slem matice $\A$}, pokud existuje vektor $\vec x\in
\C^{n,1}$, $\vec x\not=\vec o$, takov�, �e $\A\cdot\vec x = \lambda\,\vec x$.
Vektor $\vec x$, kter� spl�uje uvedenou rovnost, se naz�v� {\em
vlastn� vektor matice $\A$ p��slu�n� vlastn�mu ��slu~$\lambda$}.
\inl[��slo: vlastn�, vlastn�: ��slo, vektor: vlastn�, vlastn�: vektor]

\veta [vlavlA]
%%%%%
Nech� $\a:L\to L$ je line�rn� transformace a $\A$ je jeho matice vzhledem
k n�jak� b�zi $(B)$. Pak $\lambda$ je vlastn�m ��slem transformace $\a$ pr�v� 
tehdy, kdy� je vlastn�m ��slem matice $\A$. Nav�c $\vec x$ je vlastn� 
vektor transformace $\a$ p��slu�n� $\lambda$ pr�v� tehdy, kdy� sou�adnice
vektoru $\vec x$ vzhledem k b�zi $(B)$ tvo��
vlastn� vektor matice $\A$ p��slu�n� $\lambda$.

\dukaz
%%%%%%
Ozna�me $\vec u\in\C^n$ sou�adnice vektoru $\vec x$ v~b�zi $(B)$.
Podle v�ty\cite[Aasour] sloupec $\A\cdot \vec u$ obsahuje 
sou�adnice obrazu $\a(\vec x)$ vzhledem k~b�zi~$(B)$.
Tak�e $\a(\vec x)=\lambda\,\vec x$ pr�v� tehdy, kdy� 
$\A\cdot\vec u =\lambda\,\vec u$.

\poznamka
%%%%%%%%%
Mno�ina v�ech vlastn�ch ��sel line�rn� transformace nebo matice se
naz�v� \hbox{\em spektrum}. Vlastn�m ��sl�m/vektor�m n�kte�� �e�t� auto�i ��kaj�
{\em charakteristick� ��sla/vektory\/} (anglicky
eigen\-value, eigen\-vector, co� je odvozeno z n�m�iny).
\inl[spektrum: transformace, spektrum: matice]
\inl[charakteristick�: ��slo, ��slo: charakteristick�]
\inl[charakteristick�: vektor, vektor: charakteristick�]
\inl[eigenvalue, eigenvector]

\poznamka
%%%%%%%%%
P�ikro��me nyn� k v�po�tu vlastn�ch ��sel, je-li d�na �tvercov� matice
$\A$. Vyjdeme z~rovnosti 
$\A\cdot\vec x = \lambda\,\vec x = \lambda\,\E\cdot\vec x$. 
Z~obou stran t�to rovnice ode�teme $\lambda\,\E\cdot\vec x$.
Dost�v�me vztah $\A\cdot\vec x-\lambda\,\E\cdot\vec x = 
(\A-\lambda\,\E)\cdot \vec x = \vec o$.
Z definice vlastn�ho ��sla v�me, �e p��slu�n� vlastn� vektor 
$\vec x$ mus� b�t nenulov�.
Je tedy z�ejm�, �e $\lambda$ bude vlastn�m ��slem matice $\A$ pr�v�
tehdy, kdy� homogenn� soustava s matic� $\A-\lambda\,\E$ bude m�t
nenulov� �e�en�. T�mto �e�en�m pak bude vlastn� vektor p��slu�n�
vlastn�mu ��slu $\lambda$. Aby tato soustava m�la nenulov� �e�en�,
mus� jej� matice b�t singul�rn�, tj. mus� $\det(\A-\lambda\,\E)=0$.
T�m m�me odvozen vzorec na v�po�et vlastn�ch ��sel. Uv�dom�me si
je�t�, �e $\det(\A-\lambda\,\E)$ je polynom v~prom�nn�~$\lambda$.
Tento polynom se naz�v� {\em charakteristick� polynom\/} matice $\A$.
Jeho stupe� je stejn�, jako po�et ��dk� matice $\A$. Ozna�me toto
��slo $n$.
Abychom tedy na�li v�echna vlastn� ��sla dan� matice, sta�� naj�t
v�echny ko�eny charakteristick�ho polynomu t�to matice.
Podle z�kladn� v�ty algebry t�chto ko�en� (v�etn� jejich n�sobnosti)
je $n$. Ka�d� matice m� tedy $n$ vlastn�ch ��sel (obecn� ne vz�jmen�
r�zn�ch). Ka�d� line�rn� transformace $\a:L\to L$ m� tolik vlastn�ch
��sel, kolik je dimeze~$L$. 
\inl[metoda: po��t�n�: vlastn�ch ��sel]

\definice [chpolynom]
%%%%%%%%%
Nech� $\A$ je �tvercov� matice. Polynom $\det (\A-\lambda\,\E)$
naz�v�me {\em charakteristick� polynom matice $\A$} a rovnost
$\det (\A-\lambda\,\E)=0$ charakteristickou rovnic�. Je-li $\lambda$ 
$k$-n�sobn�m ko�enem charakteristick� rovnice, ��k�me, �e $\lambda$ je
{\em $k$-n�sobn�m vlastn�m ��slem}.
\inl[charakteristick�: polynom, polynom: charakteristick�]
\inl[n�sobnost: vlastn�ho ��sla]

\priklad [3vvektory]
%%%%%%%%
Uvedeme je�t� cel� postup odvozen� v�po�tu vlastn�ch
��sel matice (viz p�edchoz� pozn�mku) znovu na konkr�tn�m numerick�m
p��klad�, proto�e odvozen� m��e pro n�koho b�t na konkr�tn�m
p��klad� n�zorn�j��. Budeme hledat vlastn� ��sla a vlastn� vektory
matice
$$
  \A=\matice{5 & -2 & 2  \cr
            -1 &  4 & -1 \cr
            -4 &  4 & -1 \cr}.
$$
Podle definice\cite[dvA] hled�me takov� ��slo $\lambda$ a vektor
$\vec x=(x_1, x_2, x_3)$, aby byla spln�na maticov� rovnost
$$
  \matice{5 & -2 & 2  \cr
         -1 &  4 & -1 \cr
         -4 &  4 & -1 \cr}\cdot
  \matice {x_1\cr x_2\cr x_3\cr} = \lambda\,
  \matice {x_1\cr x_2\cr x_3\cr},
$$
a p�itom vektor $\vec x$ byl nenulov�. Rozep��eme tuto rovnost do
slo�ek:
$$
  \let\quad=\relax
  \matrix{
   5x_1& {}-2x_2& {}+2x_3  &{}= \lambda x_1 \cr
   -x_1& {}+4x_2& {}-x_3   &{}= \lambda x_2 \cr
   -4x_1& {}+4x_2& {}-x_3 &{}= \lambda x_3 \cr
} \qquad \hbox{tj.} \qquad
  \matrix{
   (5-\lambda)x_1& \hfill{}-2x_2& \hfill{}+2x_3  &{}= 0 \cr
   \hfill-x_1& +(4-\lambda)x_2& \hfill{}-x_3   &{}= 0 \cr
   \hfill-4x_1& \hfill{}+4x_2& +(-1-\lambda)x_3 &{}= 0 \cr
}
$$
Pot�ebujeme, aby uveden� homogenn� soustava se �tvercovou matic� m�la
nenulov� �e�en�. Matice soustavy tedy mus� b�t singul�rn�, tj. mus�
m�t nulov� determinant:
$$
  \det\pmatrix{5-\lambda & -2 & 2  \cr
         -1 &  4-\lambda & -1 \cr
         -4 &  4 & -1-\lambda \cr} = 0.
$$
Hled�me tedy $\lambda$ takov�, aby $\det(\A-\lambda\E)=0$. P���t� u�
toto odvozen� nebudeme opakovat, ale za�neme rovnou od rovnice 
$\det(\A-\lambda\E)=0$.
$$
  \det(\A-\lambda\E)=(5-\lambda)(4-\lambda)(-1-\lambda)-16-
  \bigl(-8(4-\lambda) -4(5-\lambda) +2(-1-\lambda)\bigr) = 
 -(\lambda-3)^2(\lambda-2),
$$
tak�e vlastn� ��sla jsou $\lambda=3$ a $\lambda=2$. Najdeme je�t�
vlastn� vektory. Nejprve najdeme vlastn� vektory p��slu�n� vlastn�mu ��slu 3:
$$
  \pmatrix{5-3 & -2 & 2  \cr
         -1 &  4-3 & -1 \cr
         -4 &  4 & -1-3 \cr} =
  \matice {2 & -2 & 2  \cr
         -1 &  1 & -1 \cr
         -4 &  4 & -4 \cr} \sim \matice {1 & -1 & \ 1}.
$$
B�ze �e�en� homogenn� soustavy s matic� $(1\ {-1}\ \ 1)$ je nap��klad
$\{(1,1,0),(-1,0,1)\}$. Toto jsou dva line�rn� nez�visl� vlastn� vektory,
kter� p��slu�� vlastn�mu ��slu~3. V�echny vlastn� vektory p��slu�ej�c�
vlastn�mu ��slu~3 tvo�� line�rn� obal t�to b�ze, ov�em bez nulov�ho
vektoru. Nyn� najdeme vlastn� vektory, kter� p��slu�� vlastn�mu
��slu~2:
$$
  \pmatrix{5-2 & -2 & 2  \cr
         -1 &  4-2 & -1 \cr
         -4 &  4 & -1-2 \cr} =
  \matice {3 & -2 & 2  \cr
         -1 &  2 & -1 \cr
         -4 &  4 & -3 \cr} \sim
  \matice {-1 & 2  & -1 \cr
           0  & 4  & -1 \cr
           0  & -4 &  1 \cr} \sim
  \matice {-1 & 2  & -1 \cr
           0  & \ 4  & -1 \cr}.
$$
Dimenze prostoru �e�en� homogenn� soustavy s touto matic� je~1,
tj. sta�� naj�t jeden vektor �e�en�: $(-2,1,4)$ a ostatn� vektory
�e�en� jsou jeho n�sobky. Tato �e�en� (bez nulov�ho) jsou t� v�echny vlastn�
vektory matice~$\A$, kter� p��slu�� vlastn�mu ��slu~2.

Celkem tedy m� matice $\A$ t�i line�rn� nez�visl� vlastn� vektory:
$(1,1,0),(-1,0,1), (-2,1,4)$. Prvn� dva p��slu�ej� vlastn�mu ��slu~3 a
posledn� p��slu�� vlastn�mu ��slu~2.

\priklad [2vvektory]
%%%%%%%%
N�sleduj�c� p��klad ukazuje, �e nemus� existovat tolik line�rn�
nez�visl�ch vlastn�ch vektor�, kolik ��dk� m� matice. Budeme hledat
vlastn� ��sla a vlastn� vektory matice:
$$
  \A=\matice{ 2 &  4 & -3 \cr
             -1 & 10 & -6 \cr
             -1 &  8 & -4 \cr}.
$$
Vypo�teme determinant matice $\A-\lambda\E$:
$$
  \det\pmatrix { 2-\lambda &  4 & -3 \cr
                -1 & 10-\lambda & -6 \cr
                -1 &  8 & -4-\lambda \cr} = -(\lambda-3)^2 (\lambda-2).
$$  
Vid�me, �e matice m� stejn� vlastn� ��sla, jako matice z p�edchoz�ho
p��kladu. Nyn� vypo��t�me vlastn� vektory:
$$
\eqalign{
  \matrix {\lambda=3:\cr{}\cr{}\cr}&
  \pmatrix{ 2-3 &  4 & -3 \cr
             -1 & 10-3 & -6 \cr
             -1 &  8 & -4-3 \cr} =
  \matice{ -1 &  \ 4 & -3 \cr
             -1 & 7 & -6 \cr
             -1 &  8 & -7 \cr} \sim
  \matice{ -1 &  \ 4 & -3 \cr
            0 & 3 & -3 \cr
            0 & 4 & -4 \cr} \sim
  \matice{ -1 &  \ 4 & -3 \cr
            0 & 1 & -1 \cr} \quad
  \matrix {\hbox{vlastn� }\cr\noalign{\vskip-3pt}\hbox{vektor:}\cr
           (1,1,1)\cr}
  \cr
  \matrix {\lambda=2:\cr{}\cr{}\cr}&
  \pmatrix{ 2-2 &  4 & -3 \cr
             -1 & 10-2 & -6 \cr
             -1 &  8 & -4-2 \cr} =
  \matice {  0 & \ 4 & -3 \cr
             -1 & 8 & -6 \cr
             -1 &  8 & -6 \cr} \sim
  \matice {  -1 & \ 8 & -6 \cr
              0 & 4 & -3 \cr} \quad
  \matrix {\hbox{vlastn� }\cr\noalign{\vskip-3pt}\hbox{vektor:}\cr
           (0,3,4)\cr}
}
$$
Na rozd�l od p�edchoz�ho p��kladu v�cen�sobn�mu vlastn�mu ��slu~3
p��slu�� jen jeden line�rn� nez�visl� vlastn� vektor. Tato matice m� tedy
dohromady jen dva line�rn� nez�visl� vlastn� vektory: $(1,1,1),
(0,3,4)$, kter� po �ad� p��slu�ej� vlastn�m ��sl�m~3 a~2.

\okraj Podobn�\hb matice | Podobne matice

\poznamka [stejnavlcisla]
%%%%%%%%%
Vlastn� ��slo transformace $\a$ je podle v�ty\cite[vlavlA] 
vlastn�m ��slem v�ech matic t�to transformace
(vzhledem k~rozli�n�m b�z�m). Dv� matice, kter� jsou maticemi stejn�
line�rn� transformace (jen vzhledem k r�zn� b�zi) budeme naz�vat 
{\em podobn�}. N�sleduj�c� v�ta ukazuje, jak� plat� mezi podobn�mi
maticemi vztah.

\veta
%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor dimenze $n$ 
a nech� $(B)$ a $(B')$ jsou n�jak� jeho uspo��dan� b�ze.
Nech� $\a: L\to L$ je line�rn� transformace a nech� $\A$ je jej�
matice vzhledem k b�zi $(B)$ a $\B$ je jej� matice vzhledem k b�zi
$(B')$. Pak existuje regul�rn� matice $\P\in\R^{n,n}$ tak, �e
$\B=\P^{-1}\cdot\A\cdot\P$.

\dukaz
Ozna�me $\P=\P_{B\to B'}$ matici p�echodu od $(B)$ k $(B')$. 
Podle v�ty\cite[zmenabase] (vzorce t�et�ho) plat�
$\m_{B'B'}(\a) = \P_{B'\to B}\cdot\m_{B,B}(\a)\cdot\P_{B\to B'}$.
Proto�e $\P_{B'\to B} = (\P_{B\to B'})^{-1} = \P^{-1}$ (viz v�tu\cite[slozmprech]),
dost�v�me $\m_{B'B'}(\a) = \P^{-1}\cdot\m_{B,B}(\a)\cdot\P$, neboli
$\B=\P^{-1}\cdot\A\cdot\P$.

\definice* [dpodobnost]
%%%%%%%%%
Matice $\A$ je {\em podobn�\/} matici $\B$, pokud existuje
regul�rn� matice $\P$ takov�, �e plat� $\B=\P^{-1}\cdot\A\cdot \P$.
\inl[matice: podobn�, podobnost: matic]

\poznamka
%%%%%%%%%
Je-li $\A$ podobn� $\B$, pak je i $\B$ podobn� $\A$, proto�e
m�sto matice $\P$ m��eme pou��t matici $\P^{-1}$.
Sta�� tedy ��kat, �e matice jsou si vz�jemn� podobn�.
Je-li $\A$ podobn� $\B$ a $\B$ podobn� $\C$, pak je $\A$ podobn�
$\C$, proto�e sou�in regul�rn�ch matic je matice regul�rn�
a proto�e $(\P\Q)^{-1}=\Q^{-1}\P^{-1}$.
Matice je podobn� sama sob�, proto�e $\E$ je regul�rn�.

\poznamka
%%%%%%%%%
Proto�e podobn� matice jsou matice stejn� line�rn� transformace, jen
vzhledem k p��padn� r�zn�m b�z�m, maj� samoz�ejm� v�echny vz�jemn�
podobn� matice stejn� vlastn� ��sla. V~n�sleduj�c� v�t� uk�eme, 
�e maj� i stejn� charakteristick� polynom.

\veta* [vlcisloPAP]
%%%%%
Podobn� matice maj� stejn� charakteristick� polynom.

\dukaz
Nech� $\P$ je regul�rn�. Matice $\P^{-1}\A\P$ je podobn� matici $\A$.
Vypo�teme jej� charakteristick� polynom:
$$\eqalign{
 \det (\P^{-1}\A\P - \lambda\,\E) &=
 \det (\P^{-1}\A\P - \lambda\,\P^{-1}\E\P) =
 \det (\P^{-1}\A\P - \P^{-1}\lambda\,\E\P) =\cr &=
 \det (\P^{-1}\,(\A-\lambda\,\E)\,\P) =
 \det \P^{-1}\,\det (\A-\lambda\,\E)\, \det\P = 
 \det (\A-\lambda\,\E),\cr}
$$
proto�e $\det\P^{-1}\det\P=1$.

\poznamka
%%%%%%%%%
Matice z p��klad�\cite[3vvektory] a\cite[2vvektory] maj� sice
stejn� charakteristick� polynom, ale za chv�li uk�eme, �e si nejsou
podobn�. Tvrzen� v�ty\cite[vlcisloPAP] tedy nelze obr�tit. 

\okraj Podobnost s~diagon�ln� matic� | Podobnost s diagonalni matici

\priklad
%%%%%%%%
Diagon�ln� matice
$$
  \D = \pmatrix {\lambda_1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \cr
                0 & \lambda_2 & 0 & \ldots & 0 \cr
                0 & 0 & \lambda_3 & \ldots & 0 \cr
                \noalign{\hbox to 10em{ \dotfill\quad}}
                 0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda_n}
$$
m� charakteristick� polynom 
$(\lambda_1-\lambda)\,(\lambda_2-\lambda)\cdots(\lambda_n-\lambda)$,
proto�e determinant diagon�ln� matice $\D-\lambda\,\E$ 
je roven sou�inu prvk� na diagon�le. Vlastn� ��sla matice $\D$ tedy 
jsou $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$. 
\inl[matice: diagon�ln�, diagon�ln�: matice]

Vlastn� vektor matice $\D$ p��slu�n� vlastn�mu ��slu $\lambda_i$ je vektor
obsahuj�c� sam� nuly s v�jimkou $i$-t� slo�ky, ve kter� je n�jak�
nenulov� ��slo, t�eba jedni�ka. 

Matici $\D$ z tohoto p��kladu budeme zna�it 
$\D=\diag(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)$. T�m u�et��me pap�r.
\inl[diag]

\veta [PDAP]
%%%%%
Nech� $\A$ je �tvercov� matice typu $(n,n)$.
Sestavme libovoln� komplexn� ��sla $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ do
diagon�ln� matice $\D=\diag(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$
a libovoln� nenulov� vektory $\vec x_1, \ldots, \vec x_n$ z~$\C^n$  
zapi�me do sloupc� matice~$\P$, tj. $\P=(\vec x_1, \ldots, \vec x_n)$.
Pak plat�: ��sla $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ jsou vlastn�mi ��sly
matice $\A$ a $\vec x_1, \ldots, \vec x_n$ jsou jejich odpov�daj�c�
vlastn� vektory pr�v� tehdy, kdy� je spln�na rovnost $\P\D=\A\P$.

\dukaz
Rozepi�me maticov� n�soben�: 
$\P\D=(\vec x_1, \ldots, \vec x_n)\cdot \diag(\lambda_1, \ldots,
\lambda_n) = (\lambda_1\,\vec x_1, \ldots, \lambda_n\,\vec
x_n)$. D�le je $\A\P=\A(\vec x_1, \ldots, \vec x_n) = 
(\A\vec x_1, \ldots, \A\vec x_1)$. M�me tedy ob� strany zkouman�
rovnosti $\P\D=\A\P$ rozeps�ny do sloupc�. Vid�me, �e rovnost v
$i$-t�m sloupci $\lambda_i\,\vec x_i = \A\vec x_i$ plat� pr�v�
tehdy, kdy� $\lambda_i$ je vlastn� ��slo matice $\A$ a $\vec x_i$ je
p��slu�n� vlastn� vektor.

\veta [AjeD]
%%%%%
Nech� m� �tvercov� matice $\A$ s $n$ ��dky $n$ line�rn� nez�visl�ch
vlastn�ch vektor� (ka�d� z~nich p��slu�� n�jak�mu vlastn�mu ��slu matice).
Pak je matice $\A$ podobn� diagon�ln� matici. 

\dukaz
%%%%%%
Sestav�me diagon�ln� matici $\D$ z vlastn�ch
��sel p��slu�n�ch vlastn�m vektor�m $\vec x_1, \ldots, \vec x_n$.
D�le pou�ijeme p�edchoz� v�tu.
Proto�e matice $\P=(\vec x_1, \ldots, \vec x_n)$
obsahuje podle p�edpokladu v�ty line�rn� nez�visl� sloupce, 
je $\P$ regul�rn�, tak�e je mo�n�
vztah $\P\D=\A\P$ vyn�sobit zprava matic� $\P^{-1}$. Dost�v�me
$\A=\P\D\P^{-1}$, tak�e matice $\A$ je podobn� matici $\D$.

\veta* [vPjsouvvektory]
%%%%%
Nech� je matice $\A$ podobn� diagon�ln� matici, to znamen�, �e
existuje regul�rn� matice $\P$ a diagon�ln� matice $\D$ takov�, 
�e $\A=\P\D\P^{-1}$.
Pak $\D$ obsahuje vlastn� ��sla matice $\A$ a ve sloupc�ch matice $\P$
jsou vlastn� vektory p��slu�n� (podle po�ad�) odpov�daj�c�m 
vlastn�m ��sl�m zapsan�m v~$\D$.

\dukaz
%%%%%%
Po p�eveden� vztahu $\A=\P\D\P^{-1}$ na $\A\P=\P\D$ sta�� pou��t 
v�tu\cite[PDAP].

\priklad
%%%%%%%%
Matice z~p��kladu\cite[3vvektory] m� t�i ��dky a t�i line�rn�
nez�visl� vlastn� vektory. Jsou tedy spln�ny p�edpoklady v�ty\cite[AjeD]
a matice je podobn� diagon�ln� matici. V�ta\cite[vPjsouvvektory] 
n�m d�v� n�vod, jak naj�t matici~$\P$ a diagon�ln� matici.
Sestav�me vlastn� vektory $(1,1,0),(-1,0,1), (-2,1,4)$
do sloupc� a dost�v�me matici $\P$. Sestav�me v~odpov�daj�c�m po�ad�
vlastn� ��sla do diagon�ln� matice, a dost�v�me matici $\D$, pro
kterou plat� $\A=\P\D\P^{-1}$. Konkr�tn�:
$$
  \A = \matice{5 & -2 & 2  \cr
              -1 &  4 & -1 \cr
              -4 &  4 & -1 \cr} =
       \matice { 1 & -1 & -2 \cr
                 1 &  0 &  1 \cr
                 0 &  1 &  4 \cr} \cdot
       \matice { 3 & \ 0 & \ 0 \cr
                 0 &  3 &  0 \cr
                 0 &  0 &  2 \cr} \cdot
       \matice { 1 & -1 & -2 \cr
                 1 &  0 &  1 \cr
                 0 &  1 &  4 \cr}^{-1}\!\!.
$$

\priklad
%%%%%%%%
Matice z p��kladu\cite[2vvektory] nem� tolik line�rn� nez�visl�ch
vlastn�ch vektor�, jako je po�et jej�ch ��dk�. To znamen�, �e nen�
podobn� diagon�ln� matici (kdyby byla, pak dostaneme spor
s~v�tou\cite[vPjsouvvektory]. Proto�e matice z~p��kladu\cite[3vvektory]
je podobn� diagon�ln� matici, zat�mco matice z p��kladu\cite[2vvektory]
nen�, nejsou si tyto matice ani vz�jemn� podobn�.

\veta [vlastnijsouLN]
%%%%%
Vlastn� vektory, kter� p��slu�ej� vz�jemn� r�zn�m vlastn�m ��sl�m, jsou
line�rn� nez�visl�.

\dukaz
%%%%%%
Jeden vlastn� vektor je samoz�ejm� line�rn� nez�visl�, proto�e je
podle definice nenulov�. D�le postupujeme indukc�. P�epokl�d�me, �e
matice $\A$ m� line�rn� nez�visl� vlastn� vektory 
$\vec x_1, \ldots \vec x_k$ p��slu�ej�c� r�zn�m
vlastn�m ��sl�m $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$
a p�id�me do t�to skupiny
vlastn� vektor $\vec x_{k+1}$ p��slu�ej�c� zat�m nepou�it�mu vlastn�mu
��slu $\lambda_{k+1}$. P�edpokl�d�me rovnost
$\sum_{i=1}^{k+1}\alpha_i\vec x_i=\vec o$ a uk�eme, 
�e v�echny koeficienty $\alpha_i$ musej� b�t nulov�.
T�m dok�eme line�rn� nez�vislost.
Vektory v~uveden� rovnosti p��eme do sloupc�
a rovnost vyn�sob�me zleva 
matic� $\A-\lambda_{k+1}\E$. Dost�v�me:
$$(\A-\lambda_{k+1}\E)\,\sum_{i=1}^{k+1}\alpha_i\vec x_i=
 \sum_{i=1}^{k+1}\alpha_i(\A\vec x_i-\lambda_{k+1}\vec x_i) =
 \sum_{i=1}^{k+1}\alpha_i(\lambda_i\vec x_i-\lambda_{k+1}\vec x_i) =
 \sum_{i=1}^{k+1}\alpha_i(\lambda_i-\lambda_{k+1})\,\vec x_i = \vec o.
$$
Koeficient u posledn�ho s��tance v t�to rovnosti je nulov�, proto�e 
$\lambda_{k+1}-\lambda_{k+1}=0$. Podle induk�n�ho p�edpokladu jsou
vektory $\vec x_1, \ldots \vec x_k$ line�rn� nez�visl�, tak�e i
ostatn� koeficienty musej� b�t nulov�. Proto�e ale 
$\lambda_i\not=\lambda_{k+1}$, mus� $\alpha_i=0$ pro $i\in\{1,\ldots,k\}$.
Dosad�me-li tento poznatek do v�choz�ho tvaru rovnosti, m�me
$0\,\vec x_1+\cdots+0\,\vec x_k+\alpha_{k+1}\vec x_{k+1} = 
\alpha_{k+1}\vec x_{k+1}=\vec o$. Proto�e $\vec x_{k+1}$ je vlastn�
vektor a tud�� nenulov�, mus� $\alpha_{k+1}=0$.

\poznamka [zarukapodobnosti]
%%%%%%%%%
Nech� $\A$ je typu $(n,n)$ a nech� jsou v�echna vlastn� ��sla matice $\A$
jednon�sobn�. To znamen�, �e existuje~$n$ r�zn�ch vlastn�ch ��sel. Pak
podle p�edchoz� v�ty jim p��slu�ej�c� vlastn� vektory jsou line�rn�
nez�visl�. Podle v�ty\cite[AjeD] je tedy
matice $\A$ podobn� diagon�ln� matici.  

\poznamka
%%%%%%%%%
M�-li matice $\A$ v�cen�sobn� vlastn� ��sla, pak se m��e st�t, �e je
podobn� s diagon�ln� matic�. Z�le�� na tom, zda se povede naj�t $n$
line�rn� nez�visl�ch vlastn�ch vektor�. Vzhledem k tomu, �e vlastn� 
vektory le�� v nulov�ch prostorech matic $\A-\lambda\E$ (kde $\lambda$
je vlastn� ��slo), p�jde o to, jakou maj� tyto prostory dimenzi.
Odpov�� na to d�vaj� n�sleduj�c� v�ty.

\veta
%%%%%
Jestli�e $\A$ a $\B$ jsou podobn� matice, pak 
$\dim\nullsp(\A-\lambda\E) = \dim\nullsp(\B-\lambda\E)$.

\dukaz
Proto�e $\dim\nullsp(\A-\lambda\E) = n-\hod(\A-\lambda\E)$, kde $n$ je
po�et ��dk� matice $\A$, sta��
dok�zat, �e $\hod(\A-\lambda\E) = \hod(\B-\lambda\E)$. 
Z~v�ty\cite[hodPA] v�me, �e plat�:
$$
   \hod(\B-\lambda\E) = %\hod(\P^{-1}\A\P - \lambda\E) =
   \hod(\P^{-1}\A\P - \lambda\P^{-1}\E\P) = 
   \hod(\P^{-1}(\A-\lambda\E)\P) = \hod(\A-\lambda\E)
$$

\veta [nullgek]
%%%%%
Nech� $\lambda_i$ je $k$-n�sobn� vlastn� ��slo matice $\A$ a 
nech� $d$ je dimenze nulov�ho prostoru matice $\A-\lambda_i\E$.
Pak $d\le k$.

\dukaz
V nulov�m prostoru matice $\A-\lambda_i\E$ m��eme naj�t b�zi, kter� m�
$d$ vektor�: $\vecc b_d$ a dopln�me ji na b�zi
prostoru $\C^n$: $(B) = (\vecc b_d, \ldots, \vec b_n)$.
Nech� $\a: \C^n\to\C^n$ je transformace definov�na vzorcem 
$\a(\vec x) = \A\vec x$ a nech� $\B$ je matice t�to transformace
vzhledem k b�zi $(B)$. Je z�ejm�, �e matice $\A$ a $\B$ jsou si
vz�jemn� podobn�, proto�e jsou to matice stejn� line�rn� transformace.
Zvolme $\vec b_j$ z b�ze $(B)$ pro $j\le d$. Sou�adnice tohoto
vektoru vzhledem k b�zi $(B)$ ozna�me $\vec y_j$. Tyto sou�adnice
obsahuj� jedinou jedni�ku v $j$-t� slo�ce, jinak nuly. Plat�
$\B\vec y_j = \lambda_i\vec y_i$, tak�e $j$-t� sloupec matice $\B$
je roven $j$-t�mu sloupci matice 
$\lambda_i \E$. Matice $\B$ m� tedy n�sleduj�c� blokov� tvar 
(prvn� blok je �tvercov� s $d$ ��dky a sloupci):
$$
  \B = \pmatrix {\lambda_i \E & \B'\cr \O & \C}, \quad\hbox{tj.}\quad
  p(\lambda) =
  \det(\B-\lambda\E) = \det \pmatrix {(\lambda_i-\lambda)\,\E & \B'\cr \O & \C'}
  = (\lambda_i-\lambda)^d\,\det(\C'),
$$
tak�e $\lambda_i$ je aspo� $d$-n�sobn�m ko�enem
charakteristick�ho polynomu matice $\B$, tj. podle v�ty\cite[vlcisloPAP]
je aspo� $d$-n�sobn�m ko�enem charakteristick�ho polynomu matice $\A$.

\veta [N1cupN2]
%%%%%
Nech� $\lambda$ je vlastn� ��slo matice $\A$. Nech� $N_1$ je
line�rn� nez�visl� mno�ina vlastn�ch vektor�, kter� nep��slu�ej�
vlastn�mu ��slu $\lambda$ a d�le $N_2$ je line�rn� nez�visl� mno�ina
vlastn�ch vektor�, kter� p��slu�ej� vlastn�mu ��slu $\lambda$. Pak
mno�ina $N_1\cup N_2$ je line�rn� nez�visl�.

\dukaz
Ozna�me
$N_1 = \{\vecc x_k\}$ a $N_2 = \{\vec x_{k+1}, \ldots, \vec x_m\}$.
Line�rn� nez�vislost mno�iny vektor� $N_1\cup\nobreak N_2 = \{\vecc x_m\}$ se ov���
stejn� jako v d�kazu v�ty\cite[vlastnijsouLN]. Line�rn� kombinaci
t�chto vektor�, kterou polo��me rovnu nulov�mu vektoru, 
n�sob�me zleva matic� $\A-\lambda\E$. T�m
zjist�me, �e koeficienty u vektor� $\vecc x_k$ musej� b�t nulov�.
Kone�n� kv�li tomu, �e $N_2$ je line�rn� nez�visl�, dost�v�me nulov�
koeficienty i u vektor� $\vec x_{k+1}, \ldots, \vec x_m$.

\veta*
%%%%%
Matice $\A$ je podobn� s diagon�ln� matic� pr�v� tehdy, kdy�
pro ka�d� vlastn� ��slo $\lambda_i$ n�sobnosti $k_i$ plat�
$\dim\nullsp(\A-\lambda_i\E) = k_i$.

\dukaz
Nech� $\A$ typu $(n,n)$ je podobn� s diagon�ln� matic�. Pak $\P$ ve vzorci
$\A\P = \P\D$ mus� b�t regul�rn�. V matici $\P$ jsou ve sloupc�ch
vlastn� vektory, tak�e mus� existovat $n$ line�rn� nez�visl�ch
vlastn�ch vektor�. Podle v�ty\cite[nullgek] m��eme z ka�d�ho nulov�ho
prostoru matice $\A-\lambda_i\E$ vybrat maxim�ln� $k_i$ line�rn�
nez�visl�ch vektor�. Jinde se vlastn� vektory nenal�zaj�. Abychom
z�skali $n$ line�rn� nez�visl�ch vlastn�ch vektor�, je t�eba z ka�d�ho
nulov�ho prostoru matice $\A-\lambda_i\E$ vz�t pr�v� $k_i$ line�rn�
nez�visl�ch vektor�, tak�e $\dim\nullsp(\A-\lambda_i\E) = k_i$.

Nech� obr�cen� $\dim\nullsp(\A-\lambda_i\E) = k_i$. Z ka�d�ho nulov�ho
prostoru vybereme $k_i$ line�rn� nez�visl�ch vektor�. Mno�ina v�ech
takto vybran�ch vektor� je podle v�ty\cite[N1cupN2] line�rn�
nez�visl�, tak�e jimi sestaven� matice $\P$ je regul�rn� a je mo�n�
ze vzorce $\A\P=\P\D$ p�ej�t na $\A = \P\D\P^{-1}$.

\poznamka
%%%%%%%%%
St�le p�edpokl�d�me �tvercovou matici $\A$ typu $(n,n)$.
Jestli�e $\dim\nullsp(\A-\lambda_i\E)$
je men�� ne� n�sobnost vlastn�ho ��sla $\lambda_i$, pak
$\A$ nen� podobn� s diagon�ln� matic�.
P��klad\cite[2vvektory] ilustruje, �e takov�
p��pady opravdu nast�vaj�. Matice $\A$ je pak podobn� jen \uv{skoro
diagon�ln� matici}, kter� m� na hlavn� diagon�le 
vlastn� ��sla a t�sn� nad touto
diagon�lou se ob�as vyskytuj� jedni�ky. T�to matici se ��k� {\em
Jordan�v kanonick� tvar}. Je pot�eba definovat tzv. {\em zobecn�n�
vlastn� vektor\/} a tento pojem pou��t k~vybudov�n� regul�rn� 
matice $\P$, kter� p�ev�d� matici $\A$ na Jordan�v kanonick� tvar.
V�echny tyto pojmy vy�aduj� hlub�� studium a p�esahuj� bohu�el r�mec tohoto
�vodn�ho textu. Pro dal�� studium lze doporu�it\bcite[krajnik].
\inl[Jordan�v: kanonick� tvar, vlastn�: vektor: zobecn�n�, zobecn�n�: vlastn� vektor]

\poznamka
%%%%%%%%%
V�ty\cite[AjeD] a\cite[vPjsouvvektory] se daj� formulovat z �hlu
pohledu line�rn� transformace:

\veta [vvlzob]
%%%%%
Nech� $\a:L\to L$ je line�rn� transformace, $\dim L=n$. Transformace $\a$ m�
$n$ line�rn� nez�visl�ch vlastn�ch vektor� pr�v� tehdy, kdy� existuje b�ze $(B)$
prostoru $L$ takov�, �e $\a$ m� vzhledem k t�to b�zi diagon�ln�
matici $\D$. P�itom na diagon�le matice $\D$ jsou vlastn� ��sla
transformace $\a$ a b�ze $(B)$ obsahuje vlastn� vektory p��slu�n�
vlastn�m ��sl�m v~matici $\D$ ve stejn�m po�ad�.

\dukaz
%%%%%%
Zvolme n�jakou v�choz� b�zi $(V)$ prostoru $L$. Ozna�me symbolem $\A$ matici
transformace $\a$ vzhledem k~b�zi~$(V)$. Existence b�ze $(B)$ takov�, �e
matice transformace $\a$ vzhledem k n� je $\D$, je ekvivalentn� s~platnost�
vztahu $\A=\P\D\P^{-1}$, kde $\P$ je matice p�echodu od $(V)$ k $(B)$.
D�le p�i d�kazu tvrzen� \uv{pr�v� tehdy kdy�} pou�ijeme v jednom sm�ru
v�tu\cite[AjeD]. V druh�m sm�ru pou�ijeme v�tu\cite[vPjsouvvektory] a
skute�nost, �e matice p�echodu $\P$ obsahuje ve sloupc�ch 
sou�adnice b�ze $(B)$ vzhledem k b�zi $(V)$.

\poznamka
%%%%%%%%%
P�i pr�ci s line�rn� transformac� se n�kdy hod� zvolit takovou b�zi, ve
kter� je matice t�to transformace \uv{co nejbli���} matici diagon�ln�. 
Pr�v� vysloven� v�ta ��k�, �e za jist�ch okolnost� lze zvolit b�zi, 
vzhledem ke kter� je matice transformace p��mo diagon�ln�. 
Pak m��eme na danou transformaci pohl��et jen jako na transformaci
zm�ny m���tka ($\lambda_1$ kr�t prvn� sou�adnice, $\lambda_2$ kr�t
druh� sou�adnice, atd. a� $\lambda_n$ kr�t posledn� sou�adnice). 

\poznamka
%%%%%%%%%
Nech� dimenze $L$ je rovna $n$ a vra�me se k p�edstav� vlastn�ch
vektor� jako sm�rov�ch vektor� p��mek, kter�
line�rn� transformace nech�v� beze zm�ny (viz motiva�n� p��klady
v �vodu t�to kapitoly).
Povede-li se naj�t $n$ r�zn�ch p��mek, kter� transformace $\a$ ponech�v� 
beze zm�ny, pak jejich sm�rov� vektory tvo�� b�zi, vzhledem ke kter�
m� transformace $\a$ diagon�ln� matici.

\shrnuti
%%%%%%%%
Definovali jsme vlastn� ��slo a vlastn� vektory 
transformace\lcite[dvl]. Vlastn� vektor je sm�rov� vektor p��mky, kterou 
nech�v� transformace beze zm�ny a vlastn� ��slo je koeficient zm�ny
m���tka ve sm�ru vlastn�ho vektoru. Vlastn� ��slo
transformace je vlastn�m ��slem ka�d� jej� matice, t�eba�e jsou to
matice vzhledem k r�zn�m b�z�m~/\ncite[dvA],~\ncite[vlavlA]/.

Vlastn� ��sla po��t�me jako ko�eny chrakteristick�ho polynomu 
$\det(\A-\lambda\E)$\lcite[chpolynom].

Dv� matice stejn� transformace vzhledem k r�zn�m b�z�m se naz�vaj�
podobn�\lcite[dpodobnost]. Maj� stejn� charakteristick� 
polynom\lcite[vlcisloPAP].

Podobnost s diagon�ln� matic� je zaru�ena pro matice se
vz�jemn� r�zn�mi vlastn�mi ��sly\lcite[zarukapodobnosti].
Ov�em i n�kter� matice s n�sobn�mi vlastn�mi ��sly jsou podobn� 
s diagon�ln�, ale ne v�echny.

Je-li $\D$ diagon�ln� matice, se kterou je podobn� matice $\A$, pak
$\D$ obsahuje vlastn� ��sla matice $\A$ a sestav�me-li do sloupc�
matice $\P$ vlastn� vektory odpov�daj�c� vlastn�m ��sl�m $\A$, pak
$\A=\P\D\P^{-1}$.



\icviceni 7

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola [skalsoucin] Line�rn� prostory se skal�rn�m sou�inem |
                       Linearni prostory se skalarnim soucinem
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\poznamka
%%%%%%%%%
Line�rn� prostor je libovoln� mno�ina, na kter� je definov�no s��t�n�
a n�soben� konstantou tak, aby byly spln�ny vlastnosti~(1) a�~(7)
z~definice\cite[dlp]. Pokud na takov� mno�in� nav�c definujeme n�soben�
prvk� {\it mezi sebou\/} tak, �e v�sledek n�soben� je re�ln� ��slo a
n�soben� spl�uje n��e uveden� vlastnosti~(1) a�~(4), definovali jsme
na line�rn�m prostoru skal�rn� sou�in. Ten n�m umo�n� pracovat s~nov�mi
vlastnostmi prvk� line�rn�ho prostoru, jako je jejich velikost a �hel
mezi dv�ma prvky.

\okraj Definice\hb skal�rn�ho\hb sou�inu | Definice skalarniho soucinu

\definice* [dlpss]
%%%%%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor. Operaci $\cdot: L\times L\to \R$
nazveme {\em skal�rn�m sou�inem}, pokud spl�uje $\forall\vec x\in L$,
$\forall\vec y\in L$, $\forall \vec z\in L$, 
$\forall \alpha\in\R$ n�sleduj�c� vlastnosti
$$
  \eqalign{
  \bod (1) \vec x\cdot\vec y = \vec y\cdot\vec x, \cr
  \bod (2) (\vec x + \vec y)\cdot \vec z =
            \vec x\cdot\vec z + \vec y\cdot\vec z, \cr
  \bod (3) (\alpha\cdot\vec x)\cdot\vec y = \alpha\cdot(\vec x\cdot\vec y), \cr
  \bod (4) \vec x\cdot\vec x \geq 0, \quad 
           \vec x\cdot\vec x = 0 \hbox{ jen tehdy, kdy� } \vec x = \vec o. }
$$
Ve vlastnosti (4) zna�� symbol $\vec o$ nulov� vektor line�rn�ho 
prostoru~$L$.
\inl[axiomy: skal�rn�ho sou�inu, sou�in: skal�rn�, skal�rn�: sou�in]

Line�rn� prostor $L$, na kter�m je definov�n skal�rn� sou�in,
naz�v�me {\em line�rn�m prostorem se skal�rn�m sou�inem}.
\inl[prostor: se skal�rn�m sou�inem]

\poznamka
%%%%%%%%%
Je t�eba rozli�ovat mezi podobn� zn�j�c�mi pojmy \uv{skal�rn� n�sobek}
a~\uv{skal�rn� sou�in}. Skal�rn� n�sobek 
$\cdot:\R\times L\to L$ je n�sobek vektoru re�ln�m
��slem, kter� je definov�n v ka�d�m line�rn�m prostoru. Na druh�
stran� skal�rn� sou�in 
$\cdot:L\times L\to\R$ je sou�in vektor� mezi sebou.

\poznamka
%%%%%%%%%
Upozor�ujeme, �e stejn� jako v definici line�rn�ho prostoru\cite[dlp],
jsou ve vlastnostech~(1) a�~(4) definice skal�rn�ho sou�inu pou��v�ny 
symboly~\uv{$+$} a~\uv{$\cdot$} v r�zn�ch v�znamech podle toho, jak�ho
typu jsou jejich operandy. Nap��klad prvn�~\uv{$+$} ve vlastnosti~(2)
ozna�uje s��t�n� vektor� podle definice line�rn�ho prostoru, zat�mco
druh�~\uv{$+$} v t�to vlastnosti je s��t�n�m re�ln�ch ��sel. 
Nebo prvn� symbol~\uv{$\cdot$} ve vlastnosti~(3)
znamen� skal�rn� n�sobek definovan� v~line�rn�m prostoru~$L$,
druh� symbol~\uv{$\cdot$} ozna�uje skal�rn� sou�in. T�et� 
symbol~\uv{$\cdot$} ve vlastnosti~(3) je sou�in re�ln�ch ��sel a
posledn� symbol~\uv{$\cdot$} v~t�to vlastnosti znovu znamen� skal�rn�
sou�in.

D�le p�ipom�n�me, �e budeme symbol~\uv{$\cdot$} jako dosud �asto
vynech�vat, tak�e m�sto $\vec x\cdot\vec y$ budeme 
stru�n� ps�t $\vec x\vec y$.

\poznamka [complss]
%%%%%%%%%
V�imneme si, �e jsme v definici\cite[dlp] line�rn�ho prostoru
definovali tento prostor \uv{nad re�ln�mi ��sly}, proto�e jsme
definovali n�sobek vektoru {\it re�ln�m ��slem}.  Nic n�m ale
nebr�nilo zcela stejn� definovat n�sobek vektoru komplexn�m ��slem.
A� dosud jsme mohli nahradit slovo \uv{re�ln� ��slo} slovem
\uv{komplexn� ��slo} a na�e teorie by z�stala platn�. V�echny
p�edchoz� v�ty by nad�le platily.

Kdybychom ale cht�li definovat skal�rn� sou�in jako komplexn� ��slo,
museli bychom upravit vlastnost~(1) definice\cite[dlpss] takto:
$$
  (1)\quad \vec x\vec y = \overline{\vphantom{i}\vec y\vec x},
$$
kde pruh nad komplexn�m ��slem $\vec y\vec x$ zna�� komplexn� sdru�en�
��slo. N�kter� tvrzen� se tedy budou v~p��pad� komplexn�ho skal�rn�ho
sou�inu nepatrn� li�it od tvrzen�, kter� n��e dok�eme. Proto�e se
v�t�ina �ten��� tohoto textu nach�z� zat�m v~prvn�m semestru a nem� za
sebou anal�zu komplexn�ch ��sel, zjednodu��me si �ivot t�m, �e
z�staneme u~re�ln�ch ��sel. Pro odvozen� d�le�it�ch vlastnost�
line�rn�ch prostor� se skal�rn�m sou�inem n�m to bude sta�it.
Z�jemce o d�sledky definice komplexn�ho skal�rn�ho sou�inu
odk�eme nap��klad na u�ebnici\bcite[bican].

\veta [nulaxx]
%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor se skal�rn�m sou�inem, $\vec o$ je jeho
nulov� vektor. Pak pro v�echna $\vec x\in L$, $\vec y\in L$ a 
$\vec z\in L$ plat�: (1) $\vec x\cdot\vec o = \vec o\cdot\vec x = 0$,
(2) $\vec z\cdot(\vec x + \vec y) = \vec z\vec x + \vec z\vec y$.

\dukaz
%%%%%%
Prvn� vlastnost plyne z vlastnosti~(7) definice line�rn�ho 
prostoru\cite[dlp] a z vlastnosti~(3) definice skal�rn�ho 
sou�inu\cite[dlpss]. Plat� 
$(0\vec y)\cdot\vec x = 0\cdot\vec x\vec y = 0$

Druh� vlastnost plyne z komutativity skal�rn�ho sou�inu, 
tj.~z~vlastnosti~(1) definice\cite[dlpss] a d�le 
z~vlastnosti~(2) t�to definice.

\okraj Skal�rn�\hb sou�iny na~$\R^n$ | Skalarni souciny na Rn

\priklad [stss]
%%%%%%%%
Pro $\vec x\in\R^n$, $\vec y\in\R^n$, 
$\vec x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$, 
$\vec y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)$ definujme
$$
  \vec x\cdot\vec y = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n.
  \rce(stss)
$$
Uk�eme, �e takto definovan� sou�in vektor� $\vec x$ a $\vec y$ je
skal�rn�m sou�inem. Je $\vec x\cdot\vec y\in\R$. Nech� je�t�
$\vec z\in\R^n$, $\vec z = (z_1, z_2, \ldots, z_n)$ a $\alpha\in\R$.
Ov���me postupn� vlastnosti~(1) a� (4):
$$
  \eqalign{
  \bod (1) \vec x\cdot \vec y = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n =
           y_1 x_1 + y_2 x_2 + \cdots + y_n x_n = \vec y\cdot\vec x, \cr
  \bod (2) (\vec x+\vec y)\cdot \vec z =
           (x_1+y_1)\,z_1 + (x_2+y_2 )\,z_2 + \cdots + 
           (x_n+y_n)\,z_n = \cr
  &\qquad\qquad  = x_1 z_1 + x_2 z_2 + \cdots + x_n z_n +
                   y_1 z_1 + y_2 z_2 + \cdots + y_n z_n =
           \vec x\cdot\vec z + \vec y\cdot\vec z, \cr
  \bod (3) (\alpha\cdot\vec x)\cdot\vec y =
           \alpha x_1 y_1 + \alpha x_2 y_2 + \cdots + \alpha x_n y_n =
           \alpha\,(x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n) =
           \alpha\,(\vec x\cdot\vec y), \cr
  \bod (4) \vec x\cdot\vec x = x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \geq 0.
  }
$$
Vid�me, �e z~$x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 0$ plyne 
$x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0$, tak�e  je spln�na i druh� ��st
vlastnosti~(4). 

Skal�rn� sou�in na $\R^n$ definovan� vzorcem\cite(stss) naz�v�me
{\em standardn�m skal�rn�m sou�inem}. 
N�sleduj�c� p��klady ukazuj�, �e existuj� i jin� skal�rn� 
sou�iny na $\R^n$.
\inl[standardn�: skal�rn� sou�in, skal�rn�: sou�in: standardn�]

\priklad [nssnaR2]
%%%%%%%%
Definujme sou�in na $\R^2$ takto
$$
  (x_1, x_2) \cdot (y_1, y_2) = x_1 y_1 + 6 x_2 y_2 + 
                                2 x_1 y_2 + 2 x_2 y_1.
$$
Uk�eme, �e takto definovan� sou�in je skal�rn�m sou�inem na $\R^2$.

Ov���me vlastnosti (1) a�~(4) definice\cite[dlpss]
$$
  \eqalign{
  \bod (1) (x_1, x_2) \cdot (y_1, y_2) = 
          x_1 y_1 + 6 x_2 y_2 + 2 x_1 y_2 + 2 x_2 y_1 = \cr
  &\qquad\qquad = y_1 x_1 + 6 y_2 x_2 + 2 y_1 x_2 + 2 y_2 x_1 =
          (y_1, y_2)\cdot (x_1, x_2), \cr
  \bod (2) \bigl( (x_1, x_2)+(y_1, y_2) \bigr) \cdot (z_1, z_2) =
          (x_1+y_1)\,z_1 + 6 (x_2+y_2)\,z_2 + 
          2(x_1+y_1)\,z_2 + 2(x_2+y_2)\,z_1 = \cr
  &\qquad\qquad = x_1 z_1 + 6 x_2 z_2 + 2 x_1 z_2 + 2 x_2 z_1 +
          y_1 z_1 + 6 y_2 z_2 + 2 y_1 z_2 + 2 y_2 z_1 = \cr
  &\qquad\qquad = (x_1, x_2) \cdot (z_1, z_2) + (y_1, y_2) \cdot (z_1,z_2), \cr
  \bod (3) \bigl (\alpha\,(x_1,x_2)\bigr) \cdot (y_1, y_2) =
          (\alpha\,x_1, \alpha\,x_2) \cdot (y_1, y_2) =
          \alpha x_1 y_1 + 6\alpha x_2 y_2 + 
          2 \alpha x_1 y_2 + 2\alpha x_2 y_1 = \cr
  &\qquad\qquad = \alpha\,(x_1 y_1 + 6 x_2 y_2 + 2 x_1 y_2 + 2 x_2 y_1) =
          \alpha\,\bigl( (x_1, x_2) \cdot (y_1, y_2) \bigr), \cr
  \bod (4) (x_1, x_2)\cdot(x_1, x_2) = x_1^2 + 6 x_2^2 + 4 x_1 x_2 
          \buildrel ? \over \geq 0.
  }  
$$
Abychom dok�zali vlastnost (4), pot�ebujeme pro $x_1\not=0$,
$x_2\not=0$ dok�zat, �e $x_1^2 + 6 x_2^2 + 4 x_1 x_2 > 0$.
Nech� $a=x_2/x_1$, tj. $x_2 = a x_1$. Po dosazen� je
$x_1^2 + 6 a^2 x_1^2 + 4 a x_1^2 = x_1^2 (1 + 6a^2 + 4a)$. Aby byl
dan� v�raz v�t�� ne� nula, sta�� aby $6a^2 + 4a + 1 > 0$, 
$\forall a\in\R$. Proto�e diskriminant t�to kvadratick� nerovnice 
je roven $D=16-24 = -8 < 0$, je nerovnost $6a^2 + 4a + 1 > 0$ spln�na
pro v�echna $a\in\R$.

\priklad
%%%%%%%%
Uk�eme, �e p�edpis 
$(x_1, x_2) \circ (y_1, y_2) = x_1 y_1 + 2 x_2 y_2 + 2 x_1 y_2 + 2 x_2 y_1$
nen� skal�rn�m sou�inem. Vlastnosti~(1) a�~(3) jsou z�ejm� spln�ny.
Nen� spln�na vlastnost~(4), proto�e nap��klad
$$
  (-1,1)\circ (-1,1) = 1 + 2 - 2 - 2 = -1 \not> 0.
$$


\okraj Symetrick� a pozitivn� definitn�\hb matice |
       Symetricke a pozitivne definitni matice

\poznamka
%%%%%%%%%
V��e uveden� p��klady n�s vedou k ot�zce, jak charakterizovat v�echny
skal�rn� sou�iny na $\R^n$ a jak je rychle poznat. Souvis� to 
s~tzv.~pozitivn� definitn�mi a symetrick�mi maticemi. 
%Tato l�tka nen�
%obsahem tohoto semestru, nebyla odp�edn�ena a nebudu ji ani zkou�et.
N��e uv�d�m nejd�le�it�j�� v�sledky z~t�to oblasti jen pro
�ten��e, kter� chce b�t l�pe informov�n. N�m ostatn�m bude v~dal��m textu
sta�it existence standardn�ho skal�rn�ho sou�inu na $\R^n$ a pov�dom�,
�e existuj� i jin� skal�rn� sou�iny. T�ma symetrick�ch a
pozitivn� definitn�ch matic je mo�no p�esko�it a v�novat se rovnou
definici velikosti vektoru\cite[velikost].

%Pokud v�s t�ma symetrick�ch a
%pozitivn� definitn�ch matic v tuto chv�li v�ce nezaj�m�, ra�te
%p�esko�it n�sleduj�c� dv� definice a v�tu a v�nujte se rovnou definici
%velikosti vektoru.

\definice [symmat]
%%%%%%%%%
�tvercov� matice $\A\in\R^{n,n}$ je {\em symetrick�}, pokud plat�
$\A^T = \A$.
\inl[matice: symetrick�, symetrick�: matice]

\definice [posdefmat]
%%%%%%%%%
Nech� $\A\in\R^{n,n}$ je �tvercov� matice.
Ozna�me $\A_i\in\R^{n-i,n-i}$ �tvercovou matici, kter� 
vznik� z~matice $\A$ vynech�n�m posledn�ch $i$ ��dk� a posledn�ch
$i$ sloupc�. Matice $\A$ se naz�v� {\em pozitivn� definitn�}, 
pokud v�echny determinanty $\det\A_i$, $i\in\{0,1,2,\ldots,n-1\}$ 
jsou kladn�.
\inl[matice: pozitivn� definitn�, pozitivn� definitin�: matice]

\poznamka
%%%%%%%%%
Pozitivn� definitn� matice je v�dy regul�rn�, proto�e 
$\det\A = \det\A_0 > 0$.

\veta [maticesoucinuRn]
%%%%%
Nech� $\A\in\R^{n,n}$ je �tvercov� matice.
Definujme sou�in na $\R^n$ takto. Pro $\vec x\in\R^n$, 
$\vec y\in\R^n$ je
$$
  \vec x\cdot\vec y = \vec x\cdot\A\cdot\vec y^T,
$$
kde na prav� stran� rovnosti je maticov� sou�in jedno��dkov� matice 
$\vec x$, kter� obsahuje slo�ky vektoru~$\vec x$,
s matic� $\A$ a s matic� $\vec y^T$, co�
je sloupec slo�ek vektoru $\vec y$.

Pak $\vec x\cdot\vec y$ je skal�rn�m sou�inem pr�v� tehdy, kdy�
$\A$ je symetrick� a pozitivn� definitn� matice.

\dukaz
%%%%%%
Uvedeme jen stru�n� n�znak. Pro vlastnost~(1) skal�rn�ho 
sou�inu je nutn� symetrie matice~$\A$. Vlastnost~$(2)$ a $(3)$
je zaru�ena pro jakoukoli �tvercovou matici~$\A$. Kone�n�
vlastnost~$(4)$ je zaru�ena d�ky tomu, �e matice~$\A$ je pozitivn� 
definitn�.
Na opr�vn�nou ot�zku \uv{pro�} zde m�me mal� prostor pro odpov��.
Odkazujeme nap��klad na u�ebnici\bcite[bican].

\priklad
%%%%%%%%
Vra�me se k~p��kladu\cite[nssnaR2]. Tam je skal�rn� sou�in definov�n
takto:
$$
  \vec x\cdot\vec y = (x_1, x_2)\cdot\matice{1&2\cr2&6}\cdot
                                \matice{y_1\cr y_2}.
$$
Proto�e pro uvedenou matici plat� $\A=\A^T$, jedn� se o symetrickou
matici. Spo�teme d�le jednotliv� determinanty:
$\det\A_0=\det\A=2$, $\det\A_1=\det(1)=1$. Proto�e oba determinanty
jsou kladn� ��sla, jedn� se o~pozitivn� definitn� matici. Podle 
v�ty\cite[maticesoucinuRn] je definovan� sou�in skal�rn�m sou�inem.


\okraj Velikost\hb vektoru | Velikost vektoru

\poznamka
%%%%%%%%%
Budeme definovat velikost vektoru a �hel mezi dv�ma nenulov�mi
vektory na obecn�ch line�rn�ch prostorech se skal�rn�m sou�inem. 
Tyto pojmy definujeme jen pomoc� skal�rn�ho
sou�inu pro zcela libovoln� vektory. 
V n�sleduj�c� kapitole uk�eme, �e pokud
budeme pracovat s~vektory s~geometrick�m v�znamem 
(nap�.~s~orientovan�mi �se�kami), pak pojmy velikost a �hel nyn� 
zaveden� abstraktn� budou znamenat p�esn� to, co od nich
z~geometrick�ho hlediska o�ek�v�me. 
%Toto jsou docela n�zorn� geometrick� pojmy a souvislost
%t�chto pojm� s t�m, na co jsme zvykl� z geometrie, uk�eme 
%podrobn�ji a� v n�sleduj�c� kapitole. 

\definice* [velikost]
%%%%%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor se skal�rn�m sou�inem. Pro
$\vec x\in L$ definujeme {\em velikost vektoru~$\vec x$} hodnotou
$\sqrt{\vec x\cdot\vec x}$. Velikost vektoru $\vec x$ zna��me
$\|\vec x\|$, tak�e je
$$
  \|\vec x\| = \sqrt{\vec x\cdot\vec x}, \qquad \hbox{tj. }\
  \|\vec x\|^2 = \vec x\cdot\vec x.
$$ 
M�sto pojmu \uv{velikost vektoru} se �asto pou��v� pojem 
{\em norma vektoru}\ifbook, viz t� definici\cite[dnorma]\fi.
\inl[velikost: vektoru, norma, 0normx]

\poznamka [poznvelikost]
%%%%%%%%%
Vid�me, �e velikost je nez�porn� ��slo a �e
ka�d� vektor m� svou velikost. To n�m zaru�uje
vlastnost~(4) definice\cite[dlpss]. Je $\vec x\cdot\vec x\geq0$, tak�e
odmocnina z~tohoto ��sla je definov�na.

D�le vid�me, �e jedin� nulov� vektor m� velikost rovnu nule a ��dn�
jin�. To n�m zaru�uje druh� ��st vlastnosti~(4).

\veta [absvelikost]
%%%%%
Nech� $\vec x$ je prvkem line�rn�ho prostoru se skal�rn�m sou�inem,
$\alpha\in\R$. Pak 
$$
  \|\alpha\,\vec x\| = |\alpha|\cdot\|\vec x\|.
$$

\dukaz
%%%%%%
$\|\alpha\,\vec x\| = 
\sqrt{\vphantom{{}^2}(\alpha\,\vec x)\cdot(\alpha\,\vec x)}
= \sqrt{\alpha^2\,\vec x\cdot\vec x} = 
\sqrt{\alpha^2} \cdot \sqrt{\vec x\cdot\vec x\vphantom{{}^2}} = 
|\alpha|\cdot\|\vec x\|$.

\okraj �hel dvou vektor� | Uhel dvou vektoru

\definice* [uhel]
%%%%%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor se skal�rn�m sou�inem
a $\vec x\in L$, $\vec y\in L$, $\vec x\not=\vec o$,
$\vec y\not=\vec o$. Pak {\em �hel mezi vektory
$\vec x$ a $\vec y$} je takov� ��slo~$\phi\in\langle0,\pi)$, pro kter� plat�
$$
  \cos\phi = {\vec x\cdot\vec y \over \|\vec x\|\cdot\|\vec y\|}.
  \rce(uhel)
$$
\par\inl[�hel: vektor�]

\poznamka
%%%%%%%%%
Zab�vejme se ot�zkou, zda ka�d� dva nenulov� vektory maj�
definov�n �hel mezi sebou. P�edev��m podle pozn�mky\cite[poznvelikost]
plat�, �e $\|\vec x\|\not=0$, $\|\vec y\|\not=0$, proto�e 
$\vec x\not=\vec o$, $\vec y\not=\vec o$. Tak�e se ve 
zlomku z~rovnosti\cite(uhel) ned�l� nulou.

Aby existovalo $\phi$ takov�, �e plat�\cite(uhel), mus� platit
$$
  -1 \leq {\vec x\cdot\vec y \over \|\vec x\|\cdot\|\vec y\|} \leq 1.
$$ 
Tento po�adavek zaru�uje n�sleduj�c� v�ta.

\veta (Schwartzova nerovnost) * [schwartz]
%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor se skal�rn�m sou�inem a 
$\vec x\in L$, $\vec y\in L$. Pak plat�: 
$$
  |\vec x\cdot\vec y| \leq \|\vec x\|\cdot\|\vec y\|.
  \rce(schwartz)
$$
\par\inl[nerovnost: Schwartzova, Schwartzova: nerovnost]

\dukaz
%%%%%%
Nech� $\alpha\in\R$. N�sobme s�m se sebou vektor $\vec x-\alpha\,\vec y$.
Podle vlastnosti~(4) definice\cite[dlpss] je
$$
  0\leq (\vec x-\alpha\,\vec y)\cdot(\vec x-\alpha\,\vec y) =
  \vec x\cdot\vec x - \alpha\cdot 2(\vec x\cdot\vec y) + 
  \alpha^2\cdot (\vec y\cdot\vec y) .
$$
V �prav�ch jsme pou�ili vlastnosti~(2) a~(3) definice\cite[dlpss].
Ozna�me $A=\vec y\cdot\vec y = \|\vec y\|^2$, 
$B=-2(\vec x\cdot\vec y)$, 
$C=\vec x\cdot\vec x= \|\vec x\|^2$. Dost�v�me
$$
  0\leq A\,\alpha^2 + B\,\alpha + C .
$$
Tato nerovnost mus� platit pro v�echna $\alpha\in\R$. 
Diskriminant t�to kvadratick� nerovnice tedy nesm� b�t kladn�.
Z toho n�m vypl�v� podm�nka pro ��sla $A,B,C$:
$$
  \displaylines{
  B^2 - 4AC \leq 0,  
  \quad \hbox{tj.}\quad B^2 \leq 4AC,
  \quad \hbox{tj.}\quad \bigl(-2(\vec x\cdot\vec y)\bigr)^2 \leq 
       4\, \|\vec x\|^2 \|\vec y\|^2, \cr 
  \hbox{tj.}\quad 
       {(-2)^2}\, {(\vec x\cdot\vec y)^2} \leq 
       {4\, \|\vec x\|^2 \|\vec y\|^2},
  \quad \hbox{tj.}\quad
       \sqrt{(\vec x\cdot\vec y)^2} \leq 
       \sqrt{\|\vec x\|^2} \sqrt{\|\vec y\|^2}
 \quad \hbox{tj.}\quad 
       |\vec x\cdot\vec y| \leq \|\vec x\|\cdot\|\vec y\|.
 }
$$

\okraj Vzd�lenost vektor� | Vzdalenost vektoru

\definice [vzdalenost]
%%%%%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor se skal�rn�m sou�inem. {\em Vzd�lenost
vektoru $\vec x$ od vektoru $\vec y$} definujeme jako 
$\|\vec y-\vec x\|$. Podle v�ty\cite[absvelikost] je 
$\|\vec y-\vec x\|=\|\vec x-\vec y\|$, tak�e �asto mluv�me 
o {\em vzd�lenosti dvou vektor� $\vec x$ a $\vec y$\/} (bez z�vislosti
na jejich po�ad�).
\inl[vzd�lenost: vektor�]

\veta (troj�heln�kov� nerovnost) * [trojnerovnost]
%%%%%
Pro velikosti vektor� plat� 
$$
  \|\vec x+\vec y\| \leq \|\vec x\|+\|\vec y\|.
  \rce(trojnerovnost)
$$
\par\inl[nerovnost: troj�heln�kov�, troj�heln�kov�: nerovnost]

\dukaz
%%%%%%
$
  \|\vec x + \vec y\|^2 = (\vec x+\vec y)\cdot(\vec x+\vec y) =
  \vec x\,\vec x + 2\,\vec x\,\vec y + \vec y\,\vec y
  \leq \|\vec x\|^2 + 2\,\|\vec x\|\cdot\|\vec y\| + \|\vec y\|^2 =
  \bigl(\|\vec x\| + \|\vec y\|\bigr)^2
$.
Ve~v�po�tu jsme pou�ili Schwartzovu nerovnost\cite[schwartz]. Po
odmocn�n� dost�v�me dokazovanou nerovnost.

\poznamka
%%%%%%%%%
Vysv�tl�me si, pro� se dok�zan� nerovnost naz�v�
troj�heln�kov�. Tu n�kte�� �ten��i znaj� geometricky formulovanou
t�eba takto: sou�et d�lek dvou stran v troj�heln�ku je v�dy v�t�� ne�
d�lka strany t�et�. Nech� vektory $\vec a$, $\vec b$ a $\vec c$ jsou prvky
line�rn�ho prostoru se skal�rn�m sou�inem a p�edstavme si je jako 
vrcholy pomysln�ho troj�heln�ka. Velikost stran je tot� jako 
vzd�lenost odpov�daj�c�ch vektor�. Geometrick� tvrzen� o velikostech stran
troj�heln�ka tedy m��eme pomoc� definice\cite[vzdalenost] p�epsat
takto:
$$
  \|\vec a-\vec b\| \leq \|\vec a-\vec c\| + \|\vec c-\vec b\|.
$$
P�i volb� $\vec x = \vec a-\vec c$, $\vec y = \vec c-\vec b$
p�ech�z� uveden� nerovnost na tvar\cite(trojnerovnost).

\priklad
%%%%%%%%
Uva�ujme line�rn� prostor $\R^4$ se standardn�m skal�rn�m 
sou�inem\cite(stss). Uk�eme, jak vypad� velikost vektoru
$(1,2,3,4)$ a jak� je �hel mezi vektory $(1,2,3,4)$ a $(1,0,0,2)$.

Podle definice\cite[velikost] a podle\cite(stss) je
$$
  \bigl\| (1,2,3,4) \bigr\| = \sqrt{ (1,2,3,4)\cdot(1,2,3,4) }
  = \sqrt { 1^2+2^2+3^2+4^2 } = \sqrt {30}.
$$
Podle definice\cite[uhel] plat� pro �hel $\phi$ n�sleduj�c� rovnost:
$$
  \cos\phi = { (1,2,3,4)\cdot(1,0,0,2) \over 
              \bigl\|(1,2,3,4)\bigr\| \cdot \bigl\|(1,0,0,2)\bigr\|} =
             { 1+0+0+4\cdot2 \over \sqrt{30}\cdot\sqrt{1+4} } =
             { 9 \over \sqrt{150} }, \quad \hbox{tj.}\quad
  \phi = \arccos { 9 \over \sqrt{150} }.
$$

\priklad [elemsloz]
%%%%%%%%
Ozna�me symbolem $U_O$ mno�inu orientovan�ch �se�ek v rovin� se
spole�n�m po��tkem~$O$. Uk�eme, �e ka�d� line�rn� transformace 
$\a: U_O\to U_O$ je rovna slo�en� kone�n� mnoha oto�en� a zm�ny m���tka.

Je-li $\hod\a = 0$, pak transformace v�e zobraz� do nulov�ho vektoru.
Takovou transformaci zap��eme jako zm�nu m���tka s koeficienty $0,0$.

Je-li $\hod\a=1$, pak transformace $\a$ je projekce. J�drem zobrazen�
jsou vektory v jedn� p��mce. Aplikujme oto�en�, kter� zajist�, �e tato
p��mka se kryje s prvn� sou�adnicovou osou. Pak aplikujeme zm�nu
m���tka s koeficientem $0,r$ (jak zvolit parametr $r$ je pops�no n��e). 
Nakonec druhou sou�adnicovou osu oto��me tak, aby se kryla s $\a(U_O)$.

Je-li $\hod\a=2$, pak dva na sebe kolm� b�zov� vektory s jednotkovou
velikost� se zobraz� na dva line�rn� nez�visl� vektory 
$\vec b_1', \vec b_2'$. Pokus�me se tyto vektory transformovat zp�t
pomoc� oto�en� a zm�ny m���tka na p�vodn� b�zov� vektory. T�m pop��eme
$\a^{-1}$. Proto�e inverze k oto�en� je oto�en� a inverze ke zm�n�
m���tka s nenulov�mi koeficienty je zm�na m���tka, je mo�n� zapsat
jako slo�en� t�chto transformac� i p�vodn� transformaci $\a$.

Nejprve aplikujeme oto�en�, kter� zp�sob�, �e del�� z vektor�
$\vec b_1', \vec b_2'$ se kryje s prvn� sou�adicovou osou. Pak
aplikujeme zm�nu m���tka s koeficienty $1,t$, kter� nem�n� del�� z
vektor�. Parametr $t$ vol�me tak, aby po zm�n� m���tka m�l
(p�vodn�) krat�� vektor stejnou velikost, jako jeho del�� br�ka. D�le provedeme
oto�en� tak, aby osa �hlu t�chto vektor� se kryla s prvn� osou.
Pot� provedeme zm�nu m���tka s parametry $u,1$, aby sledovan� 
vektory byly na sebe kolm�. D�le oto��me tyto vektory tak, aby se
kryly s osami a nakonec provedeme zm�nu m���tka tak, aby m�ly
jednotkovou velikost.  

Jak zvol�me parametr $r$? Zvolme vektor $\vec w$, kter� le�� v $\a(U_O)$ a m�
jednotkovou velikost. Jeho obraz $\a(\vec w)$ tak� le�� na p��mce
$\a(U_O)$, tak�e plat� $\a(\vec w) = r\,\vec w$. Parametr $r$ je tedy
velikost obrazu $\a(\vec w)$.
 
Jak zvol�me paramter $t$? Nech� del�� vektor m� velikost $v$
a krat�� vektor m� sou�adnice $(a,b)$ vzhledem k b�zi $(B)$.
Po zm�n� m���tka m� tento vektor sou�adnice $(a,tb)$ a m� tedy
velikost $\sqrt{a^2+t^2b^2}$, co� se mus� rovnat $v$. Tak�e
$$
  a^2+t^2b^2 = v^2, \qquad t^2b^2 = v^2-a^2, \quad
  t = \sqrt{v^2-a^2\over b^2}.
$$
��slo $v^2-a^2$ je zaru�en� nez�porn�, proto�e $v^2$ je v�t��
ne� $a^2+b^2$. ��slo $b$ je nenulov�, proto�e vektory jsou
line�rn� nez�visl�.

Jak zvol�me parametr $u$? 
Nech� $\vec b_1''$ m� sou�adnice $(a,b)$
vzhledem k b�zi $(B)$ a vektor $\vec b_2''$ m� sou�adnice $(a,-b)$
vzhledem ke stejn� b�zi. Po zm�n� m���tka s parametry $u,1$ budou m�t
tyto vektory sou�adnice $(ua,b)$, $(ua,-b)$. Maj� b�t na sebe kolm�,
tedy skal�rn� sou�in t�chto vektor� m� b�t nulov�:
$$
  (ua,b)\cdot(ua,-b) = u^2a^2-b^2 = 0, \quad
  \hbox{tak�e} \quad
   u^2a^2 = b^2, \quad u = {b\over a}.
$$




\priklad [sskonv]
%%%%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor spojit�ch funkc� definovan�ch
na kone�n�m uzav�en�m intervalu~$D\subseteq\R$. Uk�eme, �e p�edpis
$$
  \def\dx{{\,\rm d}x}
  f\cdot g = \int_D f(x)\,g(x)\dx
$$
definuje skal�rn� sou�in na line�rn�m prostoru $L$. Ov���me
vlastnosti~(1) a�~(4). Nech� $f\in L$, $g\in L$, $h\in L$ a 
$\alpha\in\R$. Pak plat�
$$
  \def\dx{{\,\rm d}x}
  \eqalign{
  \bod (1) f\cdot g = \int_D f(x)\,g(x)\dx = \int_D g(x)\,f(x)\dx =
           g\cdot f, \cr
  \bod (2) (f+g)\cdot h = \int_D \bigl(f(x)+g(x)\bigr)\,h(x)\dx =
           \int_D \bigl(f(x)\,h(x) + g(x)\,h(x)\bigr)\dx = \cr
  &\hskip6em = \int_D f(x)\,h(x)\dx + \int_D g(x)\,h(x)\dx = 
           f\cdot h + g\cdot h, \cr
  \bod (3) (\alpha f)\cdot g = \int_D \alpha f(x)\,g(x)\dx =
           \alpha\cdot\int_D f(x)\,g(x)\dx = \alpha\,(f\cdot g), \cr
  \bod (4) f\cdot f = \int_D f^2(x) \dx \geq 0, \cr
  &\hskip6em   \int_D f^2(x)\dx = 0 \quad
           \hbox{jen tehdy, kdy� $f(x)=0\;\forall x\in D$, 
                 proto�e $f$ je spojit�}.
  }
$$
P��klad ilustruje, �e i na line�rn�ch prostorech nekone�n� dimenze
jsme schopni definovat skal�rn� sou�in. Z tohoto skal�rn�ho sou�inu
odvozen�~{\em norma funkce $f$} $\|f\|$, 
\uv{�hel $\phi$ mezi funkcemi~$f$ a $g$} a 
\uv{vzd�lenost dvou funkc�~$f$ a~$g$} $\|f-g\|$ se po��t� takto:
$$
  \def\dx{{\,\rm d}x}
  \|f\| = \sqrt{ \int_D f^2(x)\dx }, \quad 
  \phi = \arccos {\int_D f(x)g(x)\dx \over 
         \sqrt {\int_D f^2(x)\dx \int_D g^2(x)\dx}}, \quad
  \|f-g\| = \sqrt{ \int_D \bigl(f(x)-g(x)\bigr)^2\dx }.
$$
\inl[norma: funkce]

\okraj Kolm�\hb vektory | Kolme vektory

\poznamka
%%%%%%%%%
Proto�e m�me na line�rn�ch prostorech se skal�rn�m sou�inem definov�n
�hel mezi nenulov�mi vektory, m��eme pro ka�d� dva nenulov� vektory
rozhodnout, kdy jsou na sebe kolm�. Je to tehdy, kdy� je 
$\cos\phi = 0$, neboli $\vec x\cdot\vec y = 0$. Z~toho vypl�v�
n�sleduj�c� definice.

\definice [kolmost]
%%%%%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor se skal�rn�m sou�inem. Dva nenulov�
vektory $\vec x\in L$ a $\vec y\in L$ {\em jsou na sebe kolm�\/}
(zna��me $\vec x \kolmy\vec y$), pokud je $\vec x\cdot\vec y = 0$.
\inl[kolm�: vektory, vektor: kolm�]
\inl[0kolm]

\priklad
%%%%%%%%
(Pythagorova v�ta.)
Nech� $\vec x\in L$, $\vec y\in L$ jsou nenulov� vektory, kter� jsou
na sebe kolm�. Pak plat�
$$
  \|\vec x\|^2 + \|\vec y\|^2 = \|\vec x-\vec y\|^2.
$$
Zd�vodn�n� je jednoduch�: 
$ \|\vec x-\vec y\|^2 = (\vec x-\vec y)\cdot(\vec x-\vec y) =
  \vec x\cdot\vec x - 2\vec x\cdot\vec y + \vec y\cdot\vec y =
  \|\vec x\|^2 -2\cdot0 + \|\vec y\|^2 $.
Geometrick� interpretace tohoto p��kladu je n�sleduj�c�. Troj�hlen�k s
vrcholy $\vec o$, $\vec x$ a $\vec y$ je pravo�hl� s~prav�m �hlem p�i
vrcholu $\vec o$. ��sla $\|\vec x\|$, $\|\vec y\|$ jsou velikosti odv�sen a
$\|\vec x-\vec y\|$ je velikost p�epony.
\inl[v�ta: Pythagotova, Pythagotova: v�ta]

\okraj Ortonor\-m�ln� b�ze | Orthonormalni base

\definice* [ortonormalni]
%%%%%%%%%
Nech� $B=\{\vecc b_n\}$ je b�ze line�rn�ho prostoru se skal�rn�m sou�inem.
B�zi $B$ naz�v�me {\em ortogon�ln�}, pokud
$\vec b_i\kolmy\vec b_j$ $\forall i\in\{1,2,\ldots,n\}$, 
$\forall j\in\{1,2,\ldots,n\}$, $i\not=j$.
\inl[b�ze: ortogon�ln�, ortogon�ln�: b�ze]

B�zi $B$ naz�v�me {\em ortonorm�ln�}, pokud je ortogon�ln�, a nav�c
$\|\vec b_i\|=1$, $\forall i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
\inl[b�ze: ortonorm�ln�, ortonorm�ln�: b�ze]

\veta [ortobase]
%%%%%
B�ze $B=\{\vecc b_n\}$ je ortonorm�ln� pr�v� tehdy, kdy� 
$$
  \vec b_i\cdot\vec b_j = \cases{ 0 \hbox{ pro } i\not=j, \cr 
                                  1 \hbox{ pro } i=j.}
$$

\dukaz
%%%%%%
B�ze $B$ je ortonorm�ln� pr�v� tehdy, kdy� (podle 
definice\cite[ortonormalni]) plat� $\vec b_i\cdot\vec b_j = 1$ 
pro $i=j$ a nav�c je ortogon�ln�, 
tj.~$\vec b_i\kolmy\vec b_j$ pro $i\not=j$. To podle 
definice\cite[kolmost] znamen�, �e 
$\vec b_i\cdot\vec b_j=0$ pro $i\not=j$.

\veta* [soucin-dle-souradnic]
%%%%%
Nech� $(B)$ je ortonorm�ln� uspo��dan� b�ze line�rn�ho prostoru~$L$ se
skal�rn�m sou�inem. Pak pro v�echna $\vec x\in L$, $\vec y\in L$,
$\vec x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)_{(B)}$, $\vec y=(y_1,y_2,\ldots,y_n)_{(B)}$ 
lze skal�rn� sou�in po��tat ze sou�adnic vektor� takto:
$$
  \vec x\cdot\vec y = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n.
$$

\dukaz
%%%%%%
Podle p�edpokladu je $\vec x = \lkvecc x.b_n$, $\vec y =\lkvecc y.b_n$.
Po��tejme $\vec x\cdot\vec y$:
$$
  \displaylines{
  \vec x\cdot\vec y = (\lkvecc x.b_n)\cdot(\lkvecc y.b_n) = \cr
  = x_1 y_1\,\vec b_1\cdot\vec b_1 + x_1 y_2\,\vec b_1\cdot\vec b_2 +
  \cdots + x_1 y_n\,\vec b_1\cdot\vec b_n + 
  x_2 y_1\,\vec b_2\cdot\vec b_1 + x_2 y_2\,\vec b_2\cdot\vec b_2 +
  \cdots + x_2 y_n\,\vec b_2\cdot\vec b_n + \cdots +
  x_n y_n\,\vec b_n\cdot\vec b_n = \cr
  = x_1 y_1\cdot1 + x_1 y_2\cdot0 +
  \cdots + x_1 y_n\cdot0 + 
  x_2 y_1\cdot0 + x_2 y_2\cdot1 +
  \cdots + x_2 y_n\cdot0 + \cdots +
  x_n y_n\cdot1 = 
  x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n. 
}
$$
V �prav�ch jsme vyu�ili v�tu\cite[ortobase] a toho, �e b�ze $B$ je 
ortonorm�ln�.

\priklad
%%%%%%%%
Nech� $\R^n$ je line�rn� prostor se standardn�m skal�rn�m sou�inem
zaveden�m v~p��kladu\cite[stss]. Pak standardn� b�ze
$$
  S = \bigl\{ (1,0,0,\ldots,0), (0,1,0,\ldots,0), \ldots, 
              (0,0,0,\ldots,1) \bigr\}
$$
je ortonorm�ln� b�z�. 

\veta* [kolmeLN]
%%%%%
Nech� $\vecc x_n$ jsou nenulov� vektory line�rn�ho prostoru se skal�rn�m
sou�inem, kter� jsou na sebe navz�jem kolm�, 
tj. $\vec x_i\cdot \vec x_j= 0$ pro $i\ne j$ a $\vec x_i\cdot \vec x_i>0$.
Pak jsou tyto vektory line�rn� nez�visl�.

\dukaz
%%%%%%
Podle definice line�rn� nez�vislosti sta�� ov��it, �e z rovnosti
$$
  \alpha_1\cdot\vec x_1+ \alpha_2\cdot\vec x_2+ 
  \cdots+\alpha_n\cdot\vec x_n = \vec o
$$
nutn� plyne, �e v�echna ��sla ��sla $\alpha_i$ jsou nulov�.
Vyn�sob�me-li ob� strany uveden� rovnosti skal�rn� vektorem $\vec x_i$,
dost�v�me na lev� stran� sou�et nul s~v�jimkou jedin�ho s��tance,
proto�e vektor $\vec x_i$ je kolm� na v�echny v�echny ostatn� vektory
$\vec x_j$. M�me tedy
$$
  \alpha_i\,\vec x_i\cdot \vec x_i = \vec o\cdot \vec x_i = 0.
$$
Proto�e $\vec x_i\cdot \vec x_i$ je nenulov� ��slo, mus� b�t $\alpha_i=0$.
Tuto operaci m��eme prov�st pro ka�d� index $i\in\{1,2,\ldots,n\}$, tak�e 
v�echna ��sla ��sla $\alpha_i$ jsou nutn� nulov�.

\veta* [karsouradnice]
%%%%%
Nech� $(B)=(\vecc b_n)$ je ortonorm�ln� b�ze line�rn�ho prostoru se
skal�rn�m sou�inem. Pak pro sou�adnice libovoln�ho vektoru $\vec x$
plat�
$$
  \vec x = (\vec x{\cdot}\vec b_1, \,\vec x{\cdot}\vec b_2, \,\ldots,\,
            \vec x{\cdot}\vec b_n)_{(B)}.
$$

\dukaz
%%%%%%
Ozna�me $\vec y=(\vec x\cdot\vec b_1)\,\vec b_1 + 
(\vec x\cdot\vec b_2)\,\vec b_2 + \cdots + 
(\vec x\cdot\vec b_n)\,\vec b_n$. Podle definice sou�adnic vzhledem 
k~b�zi m�me dok�zat, �e $\vec x=\vec y$. 
N�sobme vektor $\vec y$ vektorem $\vec b_i$:
$$
  \vec y\cdot\vec b_i = \bigl((\vec x\cdot\vec b_1)\,\vec b_1 + 
  (\vec x\cdot\vec b_2)\,\vec b_2 + \cdots + 
  (\vec x\cdot\vec b_n)\,\vec b_n\bigr)\cdot\vec b_i =
  (\vec x\cdot\vec b_i)\,\vec b_i\cdot\vec b_i =
  \vec x\cdot\vec b_i,
$$
proto�e b�ze $(B)$ je ortonorm�ln�. 
M�me tedy v�sledek
$\vec x\cdot\vec b_i =\vec y\cdot\vec b_i$
$\forall i \in \{1,2,\ldots,n\}$. 

Vektor $\vec x-\vec y$ je kolm� na v�echny prvky $\vec b_i$, proto�e z
p�edchoz�ho v�po�tu plyne
$(\vec x-\vec y)\cdot \vec b_i =0$.
Pokud by $\vec x\ne\vec y$, pak podle v�ty\cite[kolmeLN] jsou vektory
$\vecc b_n, \vec x-\vec y$ line�rn� nez�visl�, ale to je ve sporu 
s t�m, �e $(B)$ je b�ze. Mus� tedy b�t $\vec x = \vec y$.

\poznamka
%%%%%%%%%
P�edchoz� v�ta m� n�zornou geometrickou interpretaci. Sou�adnice
$\vec x\cdot \vec b_i$ jsou vlastn� kolm� pr�m�ty vektoru $\vec x$ na vektory
b�ze $\vec b_i$. O t�chto pojmech pohovo��me podrobn�ji v n�sleduj�c�
kapitole.

\veta [uhly-k-osam]
%%%%%
Nech� $(B)=(\vecc b_n)$ je ortonorm�ln� b�ze line�rn�ho prostoru se
skal�rn�m sou�inem a $\vec x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)_{(B)}$ je 
jeho libovoln� vektor. Pak �hel
$\phi_i$ mezi vektorem $\vec x$ a vektorem $\vec b_i$ lze po��tat
podle vzorce
$$
  \cos\phi_i = {x_i\over \|\vec x\|}\,.
$$

\dukaz
%%%%%%
Podle definice\cite[uhel] je
$$
  \cos\phi_i = {\vec x\cdot\vec b_i \over \|\vec x\|\,\|\vec b_i\|} =
  {\vec x\cdot\vec b_i \over \|\vec x\|} = {x_i\over \|\vec x\|}\,.
$$
V �prav�ch jsme vyu�ili toho, �e $\|\vec b_i\|=1$ (b�ze je ortonorm�ln�)
a d�le v�ty\cite[karsouradnice], podle kter� je $x_i=\vec x\cdot\vec b_i$.

\poznamka
%%%%%%%%%
Proto�e je $\|\vec x\|^2 / \|\vec x\|^2 = 1$ a d�le je
$\|\vec x\|^2 = x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2$, plyne 
z v�ty\cite[uhly-k-osam] zaj�mav� d�sledek:
$$
  \cos^2 \phi_1 + \cos^2 \phi_2 + \cdots + \cos^2 \phi_n = 1,
$$
kde $\phi_i$ jsou �hly mezi vektorem $\vec x$ a vektory ortonorm�ln�
b�ze.


\okraj Ortogonali\-za�n� proces | Orthogonalisacni proces

\poznamka
%%%%%%%%%
Je p�irozen� se pt�t, zda ka�d� line�rn� prostor (aspo� kone�n�
dimenze) m� ortonorm�ln� b�zi. V�ta\cite[existencebase] ukazuje,
�e ka�d� line�rn� prostor m� b�zi. N�sleduj�c� v�ta ukazuje, �e ka�d�
kone�n� b�ze se d� v~jist�m smyslu pozm�nit tak, aby se z~n� stala
ortonorm�ln� b�ze.

\veta (Schmidt�v ortogonaliza�n� proces) * [ortogonalizace]
%%%%%
Nech� $\{\vecc b_n\}$ je b�ze line�rn�ho prostoru~$L$ 
se skal�rn�m sou�inem. Pak existuje ortonorm�ln� b�ze
$\{\vecc c_n\}$ takov�, �e
$$
  \lob<\vecc b_k> = \lob<\vecc c_k>, \qquad 
  \forall  k\in\{1,2,\ldots,n\}.
$$
\par\inl[Schmidt�v: ortogonaliza�n� proces, ortogonaliza�n� proces: Schmidt�v]

\dukaz
%%%%%%
Nejprve vysv�tl�me ideu d�kazu, kter� je v tomto p��pad� asi d�le�it�j��
ne� podrobn� po��t�n�. Vektor $\vec c_1$ vol�me stejn� jako $\vec b_1$
jen s t�m rozd�lem, �e jej~\uv{normalizujeme}. To znamen�, �e jej
n�sob�me vhodnou konstantou, aby $\|\vec c_1\| = 1$.

P�edstavme si d�le, �e u� jsme na�li $\vecc c_k$ takov�, �e 
$\lob<\vecc b_k> = \lob<\vecc c_k>$, a p�itom vektory $\vecc c_k$ jsou
na sebe vz�jemn� kolm� a maj� jednotkovou velikost. Vektor 
$\vec b_{k+1}$ nyn�~\uv{ortogonalizujeme}, tj. uprav�me tak, aby byl
kolm� na v�echny vektory z~$\lob<\vecc c_k>$. Uk�eme pozd�ji, �e 
k~tomu ��elu sta�� od vektoru $\vec b_{k+1}$ ode��st ur�itou line�rn�
kombinaci vektor� $\vecc c_k$. Takto upraven� vektor
d�le~\uv{normalizujeme}, tj. vyn�sob�me vhodnou konstantou, aby
$\|\vec c_{k+1}\| = 1$. T�m se jeho kolmost v��i ostatn�m vektor�m
z~$\lob<\vecc c_k>$ nepokaz�. Proto�e vektor $\vec c_{k+1}$ vznikl jako
line�rn� kombinace vektor� $\vecc c_k, \vec b_{k+1}$, je
$$
  \lob<\vecc c_k, \vec c_{k+1}> = \lob<\vecc c_k, \vec b_{k+1}> = 
  \lob<\vecc b_{k+1}>.
$$
T�m jsme roz���ili na�i novou postupn� budovanou ortonorm�ln� b�zi 
o dal�� vektor. Opakovan�m pou�it�m tohoto postupu dost�v�me hledanou
ortonorm�ln� b�zi $\{\vecc c_n\}$.

Nyn� sta�� jen podrobn�ji uk�zat, jak se vektor~\uv{normalizuje} a
\uv{ortogonalizuje}. Normalizaci libovoln�ho vektoru $\vec x$ 
provedeme tak, �e polo��me $\vec x' = (1/\|\vec x\|)\cdot \vec x$.
Skute�n� je:
$$
  \|\vec x'\|^2 = \vec x'\cdot \vec x' = 
    {1\over\|\vec x\|}\,\vec x\cdot {1\over\|\vec x\|}\,\vec x =
    {1\over\|\vec x\|^2}\, \vec x\,\vec x =
    {1\over\|\vec x\|^2}\, \|\vec x\|^2 = 1.
$$
Nech� $\vec b_{k+1}\not\in\lob<\vecc c_k>$ a nech� vektory
$\vecc c_k$ jsou na sebe navz�jem kolm� a maj� jednotkovou velikost.
Vektor $\vec b_{k+1}$
\uv{ortogonalizujeme} tak, �e polo��me
$$
  \vec b_{k+1}' = 
  \vec b_{k+1} - \sum_{i=1}^k (\vec b_{k+1}\cdot\vec c_i)\,\vec c_i.
$$
Nov� vytvo�en� vektor $\vec b_{k+1}'$ je kolm� na v�echny vektory
$\vecc c_k$, proto�e:
$$
  \vec b_{k+1}'\cdot\vec c_j =
  \left(\vec b_{k+1}-\sum_{i=1}^k(\vec b_{k+1}\cdot\vec c_i)\,\vec c_i\right)
  \cdot\vec c_j = 
  \vec b_{k+1}\cdot\vec c_j -
  \sum_{i=1}^k(\vec b_{k+1}\cdot\vec c_i)\,(\vec c_i\cdot\vec c_j) =
  \vec b_{k+1}\cdot\vec c_j - \vec b_{k+1}\cdot\vec c_j = 0.
$$
V uveden�m sou�tu jsou ostatn� s��tanci nulov�, proto�e vektory
$\vecc c_k$ jsou podle p�edpokladu na sebe navz�jem kolm�.

\okraj Ortogon�ln� matice | Ortogonalni matice

\definice [dortomat]
%%%%%%%%%
Matice $\A\in\R^{n,n}$, pro kterou plat� $\A^T\cdot\A = \E$, se naz�v�
{\em ortogon�ln�}.

\veta [ortomat-zaklad]
%%%%%
Nech� $\A\in\R^{n,n}$. V $\R^n$ p�edpokl�dejme standardn� skal�rn� sou�in.
N�sleduj�c� podm�nky jsou ekvivalentn�:

(1) $\A$ je ortogon�ln�.

(2) $\A\cdot\A^T = \E$

(3) $\A^T$ je ortogon�ln�

(4) $\A$ obsahuje ve sloupc�ch ortonorm�ln� b�zi $\R^n$.

(5) $\A$ obsahuje v ��dc�ch ortonorm�ln� b�zi $\R^n$.

(6) $\A$ je matic� p�echodu mezi dv�ma ortonorm�ln�mi b�zemi.

(7) $\A$ je matic� transformace, kter� zobraz� ortonorm�ln� b�zi
    na ortonorm�ln� b�zi.

\dukaz
(1)$\impl$(2): Proto�e $\A^T\cdot\A = \E$, je $\A$ regul�rn� a
$\A^{-1}=\A^T$. Inverzn� matice k matici $\A$ v�dy komutuje s matic� $\A$. 

(2)$\impl$(3): P��mo z definice ortogon�ln� matice.

(3)$\impl$(1): Proto�e $(\A^T)^T = \A$.

(1)$\equiv$(4): Rovnost $\A^T\cdot\A$ rozepsan� po sloupc�ch matice
$\A = (\vecc a_n)$ ��k�, �e $\vec a_i^T\cdot \vec a_j = 0$ pro
$i\not=j$ a $\vec a_i^T\cdot \vec a_i = 1$. P�itom sou�in
$\vec a_i^T\cdot \vec a_j$ je standarn� skal�rn� sou�in v $\R^n$.

(4)$\equiv$(5): proto�e (1)$\equiv$(3).

(4)$\impl$(6): $\A$ je matic� p�echodu od strandardn� b�ze k b�zi 
$\A = (\vecc a_n)$, kter� je podle p�edpokladu ortogon�ln�.

(6)$\impl$(1): $\A = (\vecc a_n)$. Sloupce $\vec a_i$
obsahuj� podle\cite[mprech] sou�adnice vektor� $\vec b_i$
vzhledem k ortogon�ln� b�zi $(C)$, p�itom $(B) = (\vecc b_n)$
je tak� ortonorm�ln� b�ze. Tak�e $\vec b_i\cdot\vec b_j$ je rovno nule
pro $i\not=j$ a jedn� pro $i=j$.
Podle v�ty\cite[soucin-dle-souradnic] se skal�rn� sou�in vektor� 
$\vec b_i$ daj� spo��tat pomoc� sou�adnic:
$\vec a_i^T\cdot \vec a_j = 0$ pro
$i\not=j$ a $\vec a_i^T\cdot \vec a_i = 1$, tak�e $\A$ je ortogon�ln�.

(6)$\equiv$(7): Viz definici matice p�echodu\cite[defprech].

\priklad
%%%%%%%%
Matice oto�en� a matice osov� soum�rosti jsou ortogon�ln�:
$$
  \pmatrix {\cos\alpha& -\sin\alpha\cr \sin\alpha&\cos\alpha}, \qquad
  \pmatrix {1&0\cr 0&-1}.
$$
Skute�n�:
$$
  \pmatrix {\cos\alpha& \sin\alpha\cr -\sin\alpha&\cos\alpha}\cdot
  \pmatrix {\cos\alpha& -\sin\alpha\cr \sin\alpha&\cos\alpha} =
  \pmatrix {1&0\cr 0&1}, \qquad
  \pmatrix {1&0\cr 0&-1}\cdot\pmatrix {1&0\cr 0&-1} =  \pmatrix {1&0\cr 0&1}.
$$
Tyto matice jsou maticemi transformac�, kter� zobrazuj� ortonorm�ln�
b�zi na ortonorm�ln� b�zi (transformace zachov�v� velikosti a �hly).

\veta  [ortomat]
%%%%%
(1) Je-li $\A$ ortogon�ln�, pak $\det\A = 1$ nebo $\det\A = -1$.

(2) Sou�in ortogon�ln�ch matice je ortogon�ln�.

(3) Je-li $\A$ ortogon�ln� a je-li ${\bf x}$ sloupcov� vektor, 
  pak $\A\cdot{\bf x}$ m� stejnou velikost
  jako vektor ${\bf x}$.


\dukaz
(1): $
  1 = \det\E = \det(\A\cdot\A^T) = (\det\A)\, (\det\A^T)
  = (\det\A)^2.
$

(2): $
  (\A\cdot\B)^T\cdot (\A\cdot\B) = \B^T\cdot\A^T\cdot\A\cdot\B = 
  \B^T\cdot\E\cdot\B = \E.
$

(3): $
  \|\A{\bf x}\|^2 = (\A{\bf x})^T\cdot(\A{\bf x}) =
  {\bf x}^T\cdot\A^T\cdot \A\cdot{\bf x} = {\bf x}^T\cdot{\bf x}
  = \|{\bf x}\|^2.  
$

\okraj QR rozklad  | QR rozklad

\veta [QR]
%%%%%
Je-li $\A$ regul�rn� matice, pak existuje ortogon�ln� matice $\Q$ a
horn� troj�heln�kov� matice~$\R$ tak, �e 
$$
  \A=\Q\cdot\R.
$$

\dukaz
Sloupce matice $\A$ tvo�� n�jakou b�zi $(B)$. Tuto b�zi
pozm�n�me Schmidtov�m ortogonaliza�n�m procesem\cite[ortogonalizace] 
na ortonorm�ln� b�zi $(C)$. B�zi $(C)$ zap��eme do sloupc� matice $\Q$.
Matice $\R$ je matic� p�echodu od ortonorm�ln� b�ze $(C)$ k b�zi $(B)$.
Obsahuje sou�adnice vektor� $\vec b_k$ z b�ze $(B)$ vzhledem k~$(C)$.
D�ky vlastnosti Schmidtova ortogonaliza�n�ho procesu
$$
  \lob<\vecc b_k> = \lob<\vecc c_k>, \qquad 
  \forall  k\in\{1,2,\ldots,n\}.
$$
jsou sou�adnice vektoru $\vec b_k$ vzhledem k $(C)$ pro 
$i>k$ nulov�, tak�e $\R$ je horn� troj�heln�kov�.

\poznamka
%%%%%%%%%
Ortogon�ln� matice jsou hojn� pou��v�ny v numerick�ch metod�ch, nebo�
jsou numericky stabiln�. D�ky~(3) v�ty\cite[ortomat] se toti�
n�soben�m ortogon�ln� matic� chyba nezv�t�uje. 

V�ta o QR rozkladu je jen jin� pohled na Schmidt�v ortogonaliza�n�
proces. ��k�, �e m�me-li ve sloupc�ch matice $\A$ n�jakou b�zi, pak ji
m��eme \uv{narovnat}, aby byla ortonorm�ln� a takto opravenou b�zi 
zapsat do matice $\Q$.
P�itom matice $\R$ je matic� koeficient� tohoto \uv{narovn�n�}.

D� se uk�zat, �e ortonogon�ln� matice je v�dy matic� n�jak�ho oto�en�
(p�i v�t�� dimenzi je mo�n� ot��et v r�zn�ch sm�rech). Toto oto�en�
je p��padn� slo�eno s osovou soum�rnost� 
(ve v�ce dimenz�ch p�eklopen�m jednoho b�zov�ho vektoru do \uv{protism�ru}). 

V p��pad� matic $\A\in\C^{n,n}$ je analogi� ortogon�ln� matice 
tzv.~{\em unit�rn� matice\/} definovan� v\cite[unitarmat]. 
D�vod pou�it� komplexn� sdru�en�ch ��sel
v definici unit�rn� matice souvis� s axiomem~(1) skal�rn�ho 
sou�inu\cite[dlpss], kter� je pro komplexn� ��sla 
modifikov�n v souladu s pozn�mkou\cite[complss].

\definice [unitarmat]
%%%%%%%%%
Matice $\A^H\in\C^{n,m}$ se naz�v� {\em Hermitovsky sdru�en�} k matici $\A\in\C^{m,n}$ pokud
je transponovan� a m�sto ka�d�ho prvku je v matici zaps�n prvek
komplexn� sdru�en�.

Matice $\A\in\C^{n,n}$ se naz�v� {\em unit�rn�}, pokud $\A^H\cdot\A = \E$. 


\shrnuti
%%%%%%%%
V line�rn�m prostoru jsme zavedli skal�rn� sou�in pomoc�
axiom�\lcite[dlpss]. Uk�zali jsme, �e axiomy vyhovuj� nejen standardn�mu
skal�rn�mu sou�inu\lcite[stss], ale je mo�n� zav�st i jin� skal�rn�
sou�iny.

Je-li na line�rn�m prostoru $L$ definov�n skal�rn� sou�in, pak je mo�no
m��it velikosti vektor�\lcite[velikost] a �hly mezi nenulov�mi 
vektory\lcite[uhel]. Abychom m�li jistotu, �e vzorec pro �hel d�v�
v�sledek pro libovoln� nenulov� vektory, museli jsme 
dok�zat Schwartzovu nerovnost\lcite[schwartz].

Dva nenulov� vektory jsou na sebe kolm�, pr�v� kdy� jejich skal�rn�
sou�in je roven nule. Zavedli jsme ortonorm�ln� 
b�zi\lcite[ortonormalni] a uk�zali d�le�it� vlastnosti t�to 
b�ze~/\ncite[soucin-dle-souradnic],\cite[karsouradnice],\cite[uhly-k-osam]/.

Uk�zali jsme, �e lze ka�dou kone�nou b�zi upravit Schmidtov�m
ortogonaliza�n�m procesem tak, aby upraven� b�ze byla ortonorm�ln�,
p�itom line�rn� obaly prvn�ch $k$ vektor� obou b�z� z�st�vaj� shodn�.

Z�kladn� vlastnosti ortogon�ln� matice\lcite[dortomat]
jsou shrnuty v\cite[ortomat-zaklad],\cite[ortomat] a\cite[QR].


\icviceni 8


\iffalse

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola [analgeom] Aplikace line�rn� algebry v geometrii |
                     Aplikace linearni algebry v geometrii
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\okraj Euklidovsk� prostor | Euklidovsky prostor

\poznamka
%%%%%%%%%
Budeme pracovat s bodov�m euklidovsk�m prostorem. Bohu�el nem�me zde
m�sto na podrobn� definov�n� z�kladn�ch pojm� tohoto
prostoru. Vych�z�me tedy z toho, �e �ten�� intuitivn� tu��, co to je
bod, �se�ku si p�edstav� jako nejkrat�� spojnici mezi dv�ma body, nebo
jako mno�inu bod�, kter� tuto spojnici vypl�uje. Jin� mno�iny bod�
vytv��ej� p��mky nebo roviny. V�echny tyto mno�iny bod� jsou
podmno�inami t��rozm�rn�ho bodov�ho euklidovsk�ho prostoru,
ozna�ovan�ho obvykle $\E_3$. Jeho \uv{t��rozm�rnost} vypl�v� z toho,
�e jsme schopni v tomto prostoru sestrojit maxim�ln� t�i na sebe
navz�jem kolm� p��mky. Rovn� to souvis� s t�m, �e line�rn� prostory
orientovan�ch �se�ek v~$\E_3$ maj� dimenzi rovnu t�em.
\inl[bod, euklidovsk�: prostor, prostor: euklidovsk�, E3]%
\inl[geometrie: euklidovsk�, euklidovsk�: geometrie]%
%
V bodov�m prostoru $\E_3$ um�me m��it vzd�lenost mezi libovoln�mi 
dv�ma body a �hel mezi dv�ma �se�kami, kter� maj� spole�n� jeden
krajn� bod. P�edpokl�d�me tedy, �e jsme vybaveni n�jak�m m���tkem a
�hlom�rem. Stupnice na na�em m���tku vych�z� z n�jak� jednotky 
vzd�lenosti (metr, stopa aj.) a nebudeme tuto jednotku
p�i popisov�n� geometrick�ch vlastnost� d�le zmi�ovat.

\priklad [UOznovu]
%%%%%%%%
V p��kladech\cite[lpvv] a\cite[UOlnlz] jsme zavedli line�rn� prostor 
v�zan�ch vektor� $U_O$ tak, �e jsme zvolili jeden bod prostoru $\E_3$ a
ozna�ili jej $O$. Na mno�in� v�ech orientovan�ch �se�ek za��naj�c�ch 
v~bod� $O$ jsme definovali s��t�n� (dopln�n�m na rovnob�n�k) a
n�soben� konstantou (n�soben�m velikosti �se�ky). 
V p��klad�\cite[lpvv] jsme uk�zali, �e mno�ina takov�ch �se�ek 
tvo�� line�rn� prostor podle obecn� definice line�rn�ho prostoru a 
v p��klad�\cite[UOlnlz] jsme nazna�ili, jak souvis� pojmy line�rn�
z�vislost a nez�vislost vektor� s geometrick�mi vlastnostmi line�rn�ho
prostoru $U_O$.
\inl[prostor: UO, prostor: orientovan�ch �se�ek]

Zopakujeme nyn� hlavn� v�sledky t�chto p��klad� a p�id�me dal��
poznatky. Nulov� vektor $\vec o\in U_O$ je �se�ka s nulovou velikost�,
tj. koncov� bod spl�v� s po��te�n�m bodem. Jeden vektor 
$\vec u\in U_O$ je line�rn� nez�visl� pr�v� tehdy, kdy� je
nenulov�. Dva vektory $\{\vec u, \vec v\} \subset U_O$ jsou line�rn�
nez�visl� pr�v� tehdy, kdy� nele�� ve spole�n� p��mce. T�i vektory
$\{\vec u, \vec v, \vec w\}\subset U_O$ 
jsou line�rn� nez�visl� pr�v� tehdy, kdy�
nele�� ve spole�n� rovin�. �ty�i vektory z~$U_O$ jsou v�dy line�rn�
z�visl�. Z toho plyne, �e $\dim U_O=3$ a b�zi $U_O$ tvo�� libovoln�
t�i vektory, kter� nele�� ve spole�n� rovin�.

Je-li $\vec u\in U_O$ nenulov�, pak $\lob<\vec u>$ je mno�ina vektor�,
jejich� koncov� body vypl�uj� p��mku proch�zej�c� bodem $O$. Jsou-li 
$\{\vec u, \vec v\} \subset U_O$ line�rn� nez�visl�, pak 
$\lob<\vec u, \vec v>$ je mno�ina vektor�, jejich� koncov� body
vypl�uj� rovinu proch�zej�c� bodem $O$. Jsou-li kone�n� t�i vektory
$\{\vec u, \vec v, \vec w\}\subset U_O$ line�rn� nez�visl�, pak 
koncov� body vektor� z~$\lob<\vec u, \vec v, \vec w>$ vypl�uj� cel�
prostor~$\E_3$. 

\okraj Sou�adnice orientovan�ch �se�ek | 
       Souradnice orientovanych usecek

Je-li $B = \{ \vec b_1, \vec b_2, \vec b_3 \} \subset U_O$ line�rn�
nez�visl� mno�ina, pak tvo�� b�zi $U_O$ a pro ka�d�
vektor $\vec u \in U_O$ existuje pr�v� jedna line�rn� kombinace vektor� 
$\vec b_1, \vec b_2, \vec b_3$, kter� je rovna vektoru~$\vec u$.
Koeficienty t�to line�rn� kombinace jsou podle definice\cite[souradnice]
sou�adnicemi vektoru $\vec u$ vzhledem k~uspo��dan� b�zi $(B)$.
Tyto sou�adnice tvo�� uspo��danou trojici re�ln�ch ��sel a zobrazen�,
kter� ka�d�mu vektoru $\vec u\in U_O$ p�i�ad� uspo��danou trojici jeho
sou�adnic z $\R^3$ je podle v�ty\cite[sour-lin] izomorfismus.
Toto zobrazen� p�en�� pojmy line�rn�
z�vislost, podprostor a line�rn� obal
z~\uv{geometrick�ho} line�rn�ho prostoru $U_O$ na 
\uv{numerick�} line�rn� prostor~$\R^3$. Jin�mi slovy, m�sto abychom
zji��ovali tyto pojmy na line�rn�m prostoru $U_O$, kde s��t�n� je
definov�no dopl�ov�n�m na rovnob�n�k (pot�ebujeme dv� prav�tka resp. kru��tko na
konstruov�n� rovnob�n�k�), budeme je ov��ovat jen numericky v~$\R^3$
(vysta��me si se s��t�n�m a n�soben�m re�ln�ch ��sel). 
To je z�kladn�m principem tzv. {\em analytick� geometrie}.
Tuto teorii rozpracoval v 17.~stolet� francouzsk� matematik Ren�
Descartes. Po n�m se naz�v� sou�adnicov� syst�m kart�zsk�.
\inl[geometrie: analytick�, analytick�: geometrie]
\inl[Descartes Ren�]
%Na tomto p�evodu
%geometrick�ho a konstruktivn�ho probl�mu na numerick� v�po�et je
%zalo�ena discipl�na, kter� se naz�v� {\em analytick� geometrie}.
 

\okraj Skal�rn�\hb sou�in orientovan�ch �se�ek |
       Skalarni soucin orientovanych usecek

\priklad [ssnaUO]
%%%%%%%%
Na line�rn�m prostoru $U_O$ nyn� definujeme skal�rn� sou�in.
Nech� $\vec u$ a $\vec v$ jsou dv� orientovan� �se�ky za��naj�c� 
v bod�~$O$. Pokud je aspo� jedna z nich nulov�, definujeme skal�rn�
sou�in~$\vec u\cdot\vec v = 0$. Jsou-li ob� �se�ky nenulov�, pak 
existuje rovina $\varrho$, ve kter� le�� spole�n� ob�
�se�ky. P�ilo��me v t�to rovin� �hlom�r k dan�m �se�k�m a 
zm���me �hel $\phi$ mezi t�mito �se�kami. 
Skal�rn� sou�in pak definujeme vzorcem
$$
  \vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos\phi ,
  \rce(ssnaUO)
$$
kde $\|\vec u\|$ a $\|\vec v\|$ jsou velikosti t�chto �se�ek zji�t�n� 
m���tkem.
\inl[sou�in: skal�rn�, skal�rn�: sou�in]

Uk�eme, �e uveden� vzorec definuje skal�rn� sou�in v souladu 
s obecnou definic�\cite[dlpss], tj. �e plat�
vlastnosti~(1) a� (4).
$$
  \eqalign{
  \bod(1) \vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos\phi =
                              \|\vec v\|\,\|\vec u\|\,\cos\phi =
                              \vec v\cdot\vec u, \cr
  \bod(2) (\vec u + \vec v)\cdot\vec w \buildrel ? \over =  
           \vec u\cdot\vec w + \vec v\cdot\vec w \quad
           \hbox{(vysv�tl�me pozd�ji)}, \cr
  \bod(3) (\alpha\,\vec u)\cdot\vec v = 
           \|\alpha\,\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos\phi =
           \cases {\alpha \|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos\phi = 
                   \alpha\,(\vec u\cdot\vec v), \quad
                   \hbox{pro } \alpha\geq 0, \cr
                   -\alpha \|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos(\phi+\pi) =
                   \alpha \|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos\phi = 
                   \alpha\,(\vec u\cdot\vec v), \quad
                   \hbox{pro } \alpha< 0, } \cr
  \bod(4) \vec u\cdot\vec u = \|\vec u\|^2\,\cos 0 = \|\vec u\|^2 \geq 0.
}
$$
P�edpokl�dejme je�t�~$\vec u\cdot\vec u = \|\vec u\|^2 = 0$. Z toho
plyne, �e velikost �se�ky $\vec u$ je nulov�, tak�e nutn� mus� b�t 
$\vec u = \vec o$. 

Zb�v� n�m dok�zat vlastnost~(2). 
Jsou-li n�kter� z �se�ek nulov�, je
tvrzen�~(2) okam�it� spln�no. Nech� jsou tedy v�echny t�i �se�ky nenulov�.
Nech� d�le $\phi_1$ je �hel mezi
$\vec u$ a $\vec w$. Ozna�me $p_1 = \|\vec u\|\,\cos\phi_1$ velikost 
kolm�ho pr�m�tu
�se�ky $\vec u$ na �se�ku $\vec w$. Ze vzorce\cite(ssnaUO)
vid�me, �e $p_1 = \vec u \cdot\vec w / \|\vec w\|$. Ozna�me je�t� 
$p_2$ velikost kolm�ho pr�m�tu �se�ky $\vec v$ na �se�ku $\vec w$ a kone�n�
$p_0$ velikost kolm�ho pr�m�tu sou�tu $\vec u+\vec v$ na �se�ku $\vec w$.
Z~geometrick�ch vlastnost� rovnob�n�k� a pr�m�t� plyne, �e $p_0=p_1+p_2$
(ud�lejte si n��rtek). Proto�e plat� 
$$
  p_1 = {\vec u \cdot\vec w \over \|\vec w\|},\quad 
  p_2 = {\vec v \cdot\vec w \over \|\vec w\|},\quad
  p_0 = {(\vec u+\vec v) \cdot\vec w \over \|\vec w\|},
$$ 
je po vyn�soben� rovnosti $p_0=p_1+p_2$ ��slem $\|\vec w\|$ po�adovan�
rovnost~(2) dok�z�na.

\poznamka
%%%%%%%%%
P�i ov��ov�n� vlastnosti~(4) jsme mimochodem zjistili, �e
velikost �se�ky odvozen� ze skal�rn�ho sou�inu (definice\cite[velikost]) je
rovna velikosti �se�ky zji�t�n� m���tkem. 
�hel mezi �se�kami podle definice\cite[uhel] je tak� 
roven skute�n�mu �hlu mezi �se�kami. To plyne p��mo 
ze vzorce\cite(ssnaUO).

\poznamka
%%%%%%%%%
K definov�n� skal�rn�ho sou�inu na line�rn�m prostoru orientovan�ch
��e�ek jsme v~p�edchoz�m p��kladu pou�ili krom� m���tka je�t� �hlom�r
a n�jak� stroj, kter� n�m vyhodnot� funkci kosinus. Uk�eme, �e
lze modifikovat definici tak, �e m�sto �hlom�ru a stroje na kosinus si
vysta��me jen s~prav�tkem s~ryskou (na sestrojov�n� kolmic). 

Nech� $\vec u$ a $\vec v$ jsou nenulov� orientovan� �se�ky za��naj�c� ve
spole�n�m bod�~$O$. Nech� $p$ je p��mka, kter� obsahuje �se�ku~$\vec v$.
Pomoc� prav�tka s~ryskou sestroj�me kolmici na p��mku $p$, 
kter� proch�z� koncov�m bodem �se�ky~$\vec u$. Pr�se��k
p��mky~$p$ a sestrojen� kolmice ozna�me $P$. Nyn� definujeme
$$
  \vec u \cdot \vec v = \pm \|\vec v\|\cdot 
                        \hbox{velikost �se�ky $OP$},
$$
kde m�sto znaku~\uv{$\pm$} pou�ijeme znam�nko~\uv{$+$}, je-li 
�se�ka $OP$ shodn� orientovan�  s~�se�kou $\vec v$, a pou�ijeme 
znam�nko~\uv{$-$}, jsou-li tyto �se�ky
opa�n� orientovan�.

Uv�dom�me si, �e �se�ka $OP$ je kolm�m pr�m�tem �se�ky
$\vec u$ na p��mku~$p$, velikost tohoto pr�m�tu je podle kosinov� v�ty
rovna (a� na znam�nko) ��slu $\|\vec u\|\cos\phi$, kde $\phi$ 
je �hel mezi �se�kami $\vec u$ a $\vec v$. Vid�me tedy, �e 
je definice skal�rn�ho sou�inu shodn� s~definic� podle 
vzorce\cite(ssnaUO).

\okraj Kolm� pr�m�t vektoru na vektor | kolmy prumet vektoru na vektor
 
Kolm� pr�m�t vektoru $\vec u$ na nenulov� vektor $\vec v$ je n�zorn�
geometrick� aplikace skal�rn�ho sou�inu a m� obecnou platnost i 
v line�rn�ch prostorech s v�t�� dimenz�. Stoj� za to tento pojem
form�ln� definovat pro libovoln� line�rn� prostor se skal�rn�m
sou�inem:

\definice [kolmyprumet]
%%%%%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor se skal�rn�m sou�inem, $\vec u\in L, 
\vec v\in L, \vec v \ne \vec o$. Pak vektor
$$
  {\vec u \cdot \vec v \over \|\vec v\|^2}\,\,\vec v
$$
naz�v�me {\em kolm� pr�m�t vektoru $\vec u$ na vektor $\vec v$}.
\inl[kolm� pr�m�t, pr�m�t: kolm�]

��slo ${(\vec u \cdot \vec v) \,/\, \|\vec v\|}$ je
velikost kolm�ho pr�m�tu vektoru $\vec u$ na vektor $\vec v$
\uv{a� na znam�nko}. Toto ��slo je z�porn� pr�v� tehdy, kdy� kolm�
pr�m�t na vektor $\vec v$ m� opa�n� sm�r ne� vektor $\vec v$.
\inl[velikost: kolm�ho pr�m�tu]

\okraj Ortonor\-m�ln� b�ze v~$U_O$ | Orthonormalni base v UO

\priklad [baseUO]
%%%%%%%%
Nech� $U_O$ je line�rn� prostor se skal�rn�m sou�inem 
z~p��kladu\cite[ssnaUO]. 
Sestroj�me dv� orientovan� �se�ky za��naj�c� v bod� $O$ 
s~velikost�~$1$, kter� jsou na sebe kolm� (ov���me �hlom�rem).
Tyto dv� �se�ky le�� v~jednozna�n� ur�en� rovin� $\varrho$.
Sestroj�me t�et� �se�ku velikosti~$1$, kter� za��n� v bod�~$O$ a
je kolm� na rovinu~$\varrho$. Tyto t�i �se�ky ozna��me
$\vec i$, $\vec j$, $\vec k$. Je z�ejm�, �e
$B = \{\vec i, \vec j, \vec k\}$ je ortonorm�ln� b�z� line�rn�ho
prostoru~$U_O$.
\inl[prostor: UO, prostor: orientovan�ch �se�ek]
\inl[b�ze: ortonorm�ln�, ortonorm�ln�: b�ze]

\poznamka
%%%%%%%%%
Sou�adnice vektoru $\vec u\in U_O$ vzhledem k ortonorm�ln� b�zi 
$B = \{\vec i, \vec j, \vec k\}$ jsou podle v�ty\cite[karsouradnice]
a definice\cite[kolmyprumet]
velikostmi (a� na znam�nko) kolm�ch pr�m�t� vektoru $\vec u$ na vektory 
$\vec i,\, \vec j,\, \vec k$. To n�m umo��uje velmi snadno naj�t
sou�adnice geometrick�mi prost�edky a d�le se sou�adnicemi 
(uspo��dan�mi trojicemi v~$\R^3$) pracovat numericky.
\inl[sou�adnice: vektoru]

\priklad
%%%%%%%%
Nech� $B = \{\vec i, \vec j, \vec k\}$ je b�ze 
z~p��kladu\cite[baseUO]. 
Uspo��dejme tuto b�zi, tj. z�le�� n�m na po�ad� prvk�
$\vec i, \vec j, \vec k$.
Vid�me, �e jak�koli jin� uspo��dan� ortonorm�ln� b�ze
vznik� sou�asn�m oto�en�m �se�ek $\vec i, \vec j, \vec k$ kolem
bodu~$O$ nebo sou�asn�m oto�en�m �se�ek $\vec i, \vec j, -\vec k$
kolem bodu~$O$. P�echod mezi b�z� 
$(B) = \bigl(\vec i, \vec j, \vec k\bigr)$
a $(B') = \bigl(\vec i, \vec j, -\vec k\bigr)$ nelze 
realizovat sou�asn�m oto�en�m v�ech �se�ek. 

D� se uk�zat, �e pokud b�ze $C$ vznik� z b�ze $B$ oto�en�m �se�ek
kolem bodu~$O$, m� matice p�echodu $\A_{(B,C)}$ kladn� determinant.
D�le matice p�echodu od b�ze $B$ k b�zi $B'$ vypad� takto
$$
  \A_{(B,B')} = \matice{1&0&0\cr0&1&0\cr0&\kern6pt0&-1}.
$$
Je tedy $\det\A_{(B,B')} = -1$. To n�s vede k n�sleduj�c� definici kladn�
orientovan� b�ze.

\okraj Kladn� orientovan� b�ze | Kladne orientovana base

\definice [kladneUO]
%%%%%%%%%
Nech� $U_O$ je line�rn� prostor se skal�rn�m sou�inem podle 
p��kladu\cite[ssnaUO]. Ortonorm�ln� uspo��danou b�zi 
$(B)=\bigl(\vec i, \vec j, \vec k\bigr)$ naz�v�me 
{\em kladn� orientovanou}, pokud p�i vhodn�m um�st�n� a nato�en� 
pozorovatele vzhledem k t�to b�zi sm��uje �se�ka 
$\vec i$ sm�rem k~pozorovateli, $\vec j$ vpravo od pozorovatele 
a $\vec k$ nahoru.

Mnemotechnickou pom�ckou je tzv.~{\em pravidlo prav� ruky}.
P�ilo��me-li pravou ruku k vektor�m $\vec i$, $\vec j$ tak, aby prsty 
sm��ovaly od $\vec i$ k~$\vec j$, potom palec nazna�uje sm�r
vektoru~$\vec k$.

V�echny b�ze $(C)$ (ne nutn� ortonorm�ln�), kter� maj� 
matici p�echodu od $(B)$ k~$(C)$ s kladn�m determinantem, 
naz�v�me {\em kladn� orientovan� b�ze}.
V�echny b�ze $(D)$, kter� maj� matici p�echodu od $(B)$ k~$(D)$
se z�porn�m determinantem, naz�v�me {\em z�porn� orientovan� b�ze}.
\inl[b�ze: kladn� orientovan�, kladn� orientovan�: b�ze]
\inl[b�ze: z�porn� orientovan�, z�porn� orientovan�: b�ze]
\inl[prostor: UO, prostor: orientovan�ch �se�ek]
\inl[pravidlo: prav� ruky]

\poznamka
%%%%%%%%%
Na line�rn�m prostoru~$U_O$ jsme rozd�lili v�echny b�ze do dvou
skupin: kladn� orientovan� b�ze a z�porn� orientovan� b�ze. Matice
p�echodu je podle v�ty\cite[slozmprech] v�dy regul�rn�, tak�e je
jednozna�n� d�no, zda je b�ze kladn� nebo z�porn� orientovan�
(determinant matice p�echodu je v�dy nenulov�).

Podle v�t\cite[slozmprech] a \cite[soucindet] tak� okam�it� vid�me, �e
matice p�echodu mezi kladn� orientovan�mi b�zemi m� v�dy kladn�
determinant, matice p�echodu mezi z�porn� orientovan�mi b�zemi m� tak�
kladn� determinant a matice p�echodu od kladn� orientovan� b�ze
k~z�porn� orientovan� b�zi m� z�porn� determinant stejn� jako matice
p�echodu od z�porn� orientovan� b�ze ke kladn� orientovan� b�zi.

\poznamka
%%%%%%%%%
V libovoln�m line�rn�m prostoru kone�n� dimenze jsme schopni rozli�it
dv� skupiny uspo��dan�ch b�z� tak, �e matice p�echodu od b�ze z jedn�
skupiny k b�zi v druh� skupin� m� z�porn� determinant a matice
p�echodu od b�ze k b�zi uvnit� skupiny m� kladn� determinant. Nejedn�
se tedy jen o geometrickou vlastnost line�rn�ho prostoru $U_O$. Je
proto vhodn� uv�st n�sleduj�c� obecnou definici:

\definice [orientovat]
%%%%%%%%%
{\em Orientovat} libovoln� line�rn� prostor s kone�nou dimenz� znamen�
prohl�sit jednu jeho uspo��danou b�zi $(B)$ za v�choz� kladn� orientovanou.
Uspo��dan� b�ze $(C)$ se naz�v� {\em kladn� orientovan�}, pokud matice
p�echodu od v�choz� b�ze $(B)$ k b�zi $(C)$ m� kladn� determinant.
Uspo��dan� b�ze $(D)$ se naz�v� {\em z�porn� orientovan�}, pokud matice
p�echodu od v�choz� b�ze $(B)$ k b�zi $(D)$ m� z�porn� determinant.
\inl[orientace: prostoru, prostor: orientovan�]
\inl[b�ze: kladn� orientovan�, kladn� orientovan�: b�ze]
\inl[b�ze: z�porn� orientovan�, z�porn� orientovan�: b�ze]

\priklad [orientaceUO]
%%%%%%%%
Orientaci line�rn�ho prostoru $U_O$ jsme provedli v definici\cite[kladneUO].

\poznamka
%%%%%%%%%
Ji� d��ve jsme mluvili o \uv{orientovan�ch} �se�k�ch. A�koli jsme
pou�ili stejn� slovo, s~orientac� line�rn�ho prostoru to p��li�
nesouvis�. Orientace �se�ky znamen� ur�en� po�ad� jej�ch krajn�ch
bod�, nebo (jinak �e�eno) rozli�en� mezi po��te�n�m a kone�n�m bodem
�se�ky.

\okraj Vektorov� sou�in | Vektorovy soucin

\poznamka
%%%%%%%%%
V dal�� ��sti textu definujeme {\em vektorov� sou�in}, co� je operace, 
kter� dv�ma vektor�m p�i�ad� jako
v�sledek vektor (na rozd�l od skal�rn�ho sou�inu, kter� dv�ma
vektor�m p�i�ad� ��slo, neboli skal�r). Vektorov� sou�in definujeme
prozat�m na line�rn�m prostoru $U_O$ orientovan�ch �se�ek, 
kter� ji� zn�me z~p��klad�\cite[UOznovu],\cite[ssnaUO],\cite[baseUO]
a\cite[orientaceUO].

\definice [vs]
%%%%%%%%%
Nech� $U_O$ je line�rn� prostor orientovan�ch �se�ek.
{\em Vektorov� sou�in\/} je zobrazen� (ozna�ujeme jej k���kem)
$\times: U_O\times U_O \to U_O$, kter� spl�uje n�sleduj�c� vlastnosti.

(A) Jsou-li vektory $\{\vec u, \vec v\}\subset U_O$ line�rn� z�visl�,
    definujeme $\vec u\times \vec v = \vec o$ (nulov� vektor).

(B) Jsou-li vektory $\{\vec u, \vec v\}\subset U_O$ line�rn�
    nez�visl�, pak je vektor $\vec u\times \vec v$ jednozna�n� ur�en
    n�sleduj�c�mi t�emi vlastnostmi:

(1) $(\vec u\times \vec v) \kolmy \vec u$, $(\vec u\times \vec v) \kolmy \vec v$,  

(2) $\|\vec u\times \vec v\| = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\sin \phi$, kde
    $\phi$ je �hel mezi vektory $\vec u$ a $\vec v$.

(3) Uspo��dan� b�ze $(\vec u, \vec v, \vec u\times \vec v)$ je kladn�
    orientovan�.
\inl[prostor: UO, prostor: orientovan�ch �se�ek]
\inl[sou�in: vektorov�, vektorov�: sou�in]

\poznamka
%%%%%%%%%
Vid�me, �e skute�n� vlastnosti (1) a� (3) ur�uj� vektorov� sou�in
jednozna�n�. Prvn� vlastnost ud�v�, �e v�sledek bude kolm� na rovinu
ur�enou $\lob<\vec u, \vec v>$, druh� vlastnost ur�uje velikost
v�sledn�ho vektoru a t�et� vlastnost orientaci 
(zda v�sledn� vektor bude orientov�n vzhledem
k~rovin� ur�en� $\lob<\vec u, \vec v>$ \uv{nahoru} nebo \uv{dolu}.

\priklad
%%%%%%%%
Nech� $(B)=(\vec i, \vec j, \vec k)$ je ortonorm�ln� kladn� 
orientovan� uspo��dan� b�ze line�rn�ho prostoru $U_O$. Pak
podle definice je
$$\displaylines{
  \vec i \times \vec i = \vec j \times \vec j = \vec k \times \vec k =
  \vec o, \cr
  \vec i \times \vec j = \vec k, \quad
  \vec j \times \vec i = - \vec k, \quad
  \vec i \times \vec k = - \vec j, \quad
  \vec k \times \vec i = \vec j, \quad
  \vec j \times \vec k = \vec i, \quad
  \vec k \times \vec j = - \vec i. }
$$  

\veta (sou�adnice vektorov�ho sou�inu) [vs-souradnice]
%%%%%
Nech� $(B)=(\vec i, \vec j, \vec k)$ je ortonorm�ln� kladn� 
orientovan� uspo��dan� b�ze line�rn�ho prostoru $U_O$,
$\vec u = (u_1, u_2, u_3)_{(B)}$, $\vec v = (v_1, v_2, v_3)_{(B)}$.
Pak plat�:
$$
  \vec u\times \vec v = \left (
   \left |\matrix{u_2& u_3\cr v_2& v_3}\right|,
   - \left |\matrix{u_1& u_3\cr v_1& v_3}\right|,
   \,\left |\matrix{u_1& u_2\cr v_1& v_2}\right|
   \right )_{(B)}.
   \rce(vs-poc)
$$
\par\inl[sou�adnice: vektorov�ho sou�inu]
   
\dukaz
%%%%%%
Pokud jsou vektory $\vec u, \vec v$ line�rn� z�visl�, pak v�echny
determinanty ve vzorci\cite(vs-poc) jsou nulov� a v�sledn� vektor 
$\vec u\times \vec v$ m� nulov� sou�adnice, tak�e je v~souladu 
s~definic� nulov�. Zb�v� tedy ov��it vlastnosti (1) a� (3) z~definice
vektorov�ho sou�inu pro p��pad, �e vektory $\vec u, \vec v$ jsou
line�rn� nez�visl�.

Ad (1). Ov���me $(\vec u\times \vec v)\kolmy \vec u$. 
Dva vektory jsou kolm�, pokud jejich skal�rn� sou�in je
nulov�. Skal�rn� sou�in m��eme po��tat ze sou�adnic podle 
v�ty\cite[soucin-dle-souradnic]:
$$
  \left |\matrix{u_2& u_3\cr v_2& v_3}\right| \, u_1 - 
  \left |\matrix{u_1& u_3\cr v_1& v_3}\right| \, u_2 +
  \left |\matrix{u_1& u_2\cr v_1& v_2}\right| \, u_3 =
   \left |\matrix{u_1& u_2& u_3\cr v_1& v_2& v_3\cr u_1& u_2& u_3}\right| 
  = 0.
$$
P�i �prav�ch jsme vyu�ili rozvoje determinantu podle t�et�ho ��dku a
d�le toho, �e determinant je roven nule, pokud se v n�m dva ��dky
opakuj�. Podobn� by to dopadlo p�i ov��ov�n� 
$(\vec u\times \vec v)\kolmy \vec v$.

Ad (2).
$$\eqalign{
  \|\vec u\times \vec v\|^2 &=
  \left |\matrix{u_2& u_3\cr v_2& v_3}\right|^2 +
  \left |\matrix{u_1& u_3\cr v_1& v_3}\right|^2 +
  \left |\matrix{u_1& u_2\cr v_1& v_2}\right|^2 = 
  \hbox{\it pon�kud pracn�j�� v�po�et je zde vynech�n} = \cr
  &= (u_1^2 + u_2^2 + u_3^2)\,(v_1^2 + v_2^2 + v_3^2)
  - (u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3)^2 = 
     \|\vec u\|^2 \, \|\vec v\|^2 - (\vec u \cdot \vec v)^2 = \cr
  &= \|\vec u\|^2 \, \|\vec v\|^2 - \|\vec u\|^2 \, \|\vec v\|^2 \, \cos^2\phi =
     \|\vec u\|^2 \, \|\vec v\|^2 \, (1 - \cos^2\phi) =
     \|\vec u\|^2 \, \|\vec v\|^2 \, \sin^2\phi. 
}
$$ 
Po odmocn�n� vych�z� po�adovan� vlastnost.

Ad (3). P�edev��m velikost vektoru $\vec u\times \vec v$ je pro
line�rn� nez�visl� vektory $\vec u, \vec v$ nenulov� a tento vektor je
kolm� na oba vektory $\vec u, \vec v$. Mno�ina
$\{\vec u, \vec v, \vec u\times \vec v\}$ tedy tvo�� b�zi line�rn�ho
prostoru~$U_O$. Matice
$$
  \A = \pmatrix {u_1& v_1& %\phantom{+}
                 \left |\matrix{u_2& u_3\cr v_2& v_3}\right|\cr
                 u_2& v_2&
                 -\left |\matrix{u_1& u_3\cr v_1& v_3}\right|\cr
                 u_3& v_3& %\phantom{+}
                 \left |\matrix{u_1& u_2\cr v_1& v_2}\right|}
$$
je matic� p�echodu od kladn� orientovan� b�ze 
$(\vec i, \vec j, \vec k)$ k~b�zi
$(\vec u, \vec v, \vec u\times \vec v)$. Jej� determinant spo��t�me
rozvojem podle t�et�ho sloupce:
$$
  \det\A = 
  \left |\matrix{u_2& u_3\cr v_2& v_3}\right|^2 +
  \left |\matrix{u_1& u_3\cr v_1& v_3}\right|^2 +
  \left |\matrix{u_1& u_2\cr v_1& v_2}\right|^2 > 0.
$$
Je tedy i b�ze $(\vec u, \vec v, \vec u\times \vec v)$ kladn�
orientovan�.  

\poznamka
%%%%%%%%%
V�ta\cite[vs-souradnice] n�m nejen d�v� mo�nost po��tat sou�adnice
vektorov�ho sou�inu ze sou�adnic vstupn�ch vektor�, ale inspiruje n�s
k definici vektorov�ho sou�inu na $\R^3$:

\definice [vsnaR3]
%%%%%%%%%
Nech� $\vec u\in\R^3$,  $\vec v\in\R^3$, 
$\vec u = (u_1, u_2, u_3)$, $\vec v = (v_1, v_2, v_3)$. Pak definujeme
{\em vektorov� sou�in na $\R^3$} p�edpisem:
$$
  \vec u\times \vec v = \left (
   \left |\matrix{u_2& u_3\cr v_2& v_3}\right|,
   - \left |\matrix{u_1& u_3\cr v_1& v_3}\right|,
   \,\left |\matrix{u_1& u_2\cr v_1& v_2}\right|
   \right ).
$$
\par\inl[vektorov�: sou�in, sou�in: vektorov�]

\poznamka
%%%%%%%%%
Definici vektorov�ho sou�inu lze roz���it na libovoln� line�rn�
prostor $L$ dimenze~3 se skal�rn�m sou�inem, kter� byl orientov�n. 
Sta�� pou��t definici\cite[vs] a uv�domit si, �e se tato definice
neop�r� o~��dn� speci�ln� vlastnosti mno�iny~$U_O$. 
Vych�z� pouze z~t�chto p�edpoklad�:

(1) Dimenze line�rn�ho prostoru $L$ mus� b�t rovna t�em.

(2) Na line�rn�m prostoru $L$ mus� b�t definov�n skal�rn� sou�in.

(3) Line�rn� prostor $L$ mus� b�t orientov�n.

Rovn� d�kaz v�ty\cite[vs-souradnice] se op�ral jen o v��e uveden�
vlastnosti line�rn�ho prostoru a v�ta tedy plat� pro ka�d� takov�
line�rn� prostor.

Je t�eba si uv�domit, �e definici vektorov�ho sou�inu nelze roz���it
na line�rn� prostory jin�ch dimenz� ne�~3. 


\veta (z�kladn� vlastnosti vektorov�ho sou�inu) [zv-vs]
%%%%%
Nech� $L$ je line�rn� prostor s vektorov�m sou�inem a 
$\vec u\in L$, $\vec v\in L$, $\vec w\in L$, 
$\alpha\in\R$.
Plat�:
$$\eqalign{
  \vec u \times \vec u &= \vec o, \cr
  \vec u \times \vec v &= - (\vec v \times \vec u)
  \qquad \hbox{(antikomutativn� z�kon)},\cr
  (\alpha\,\vec u) \times \vec v &= \alpha \, (\vec u \times \vec v) =
  \vec u \times (\alpha\,\vec v), \cr
  (\vec u + \vec v)\times \vec w &= 
  \vec u \times \vec w + \vec v \times \vec w
  \qquad \hbox{(prvn� distributivn� z�kon)},\cr
  \vec u \times (\vec v + \vec w) &= 
  \vec u \times \vec v + \vec u \times \vec w
  \qquad \hbox{(druh� distributivn� z�kon)}. \cr
}
$$
\par\inl[z�kon: antikomutativn�, anitkomutativn�: z�kon]
\inl[z�kon: distributivn�, distributivn�: z�kon]

\dukaz
%%%%%%
Snadno se d� ov��it, �e tyto vzorce plat�, pokud si zvol�me n�jakou
uspo��danou kladn� orientovanou ortonorm�ln� b�zi a budeme pracovat
podle v�ty\cite[vs-souradnice] se sou�adnicemi t�chto vektor� vzhledem k takto
zvolen� b�zi.

\poznamka
%%%%%%%%%
Asociativn� z�kon pro vektorov� sou�in neplat�, proto�e je
$(\vec i\times \vec i)\times \vec j = \vec o\times \vec j = \vec o$,
zat�mco 
$\vec i \times (\vec i \times \vec j) = \vec i \times \vec k = -\vec j$,
kde $(\vec i, \vec j, \vec k)$ je uspo��dan� kladn� orientovan�
ortonorm�ln� b�ze. Nem� tedy smysl ps�t
$\vec u\times \vec v \times \vec w$ bez pou�it� z�vorek. P�i
opakovan�m vektorov�m sou�inu v�dy mus�me pomoc� z�vorek vyzna�it, 
v~jak�m po�ad� budeme n�sobit.
\inl[z�kon: asociativn�, asociativn�: z�kon]

\priklad
%%%%%%%%
Spo��t�me $(2\vec u - 5\vec v)\times (\vec u + 3\vec v)$
s vyu�it�m v�ty\cite[zv-vs]:
$$\eqalign {
  (2\vec u - 5\vec v)\times (\vec u + 3\vec v) &=
  (2\vec u - 5\vec v)\times \vec u +
  (2\vec u - 5\vec v)\times (3\vec v) =\cr &=
  (2\vec u)\times \vec u + (-5\vec v)\times \vec u +
  (2\vec u)\times (3\vec v) + (-5\vec v)\times (3\vec v) =\cr &=
  2\,(\vec u\times \vec u) - 5\,(\vec v \times \vec u)
  + 6\,(\vec u\times \vec v) -15\,(\vec v \times \vec v) =\cr &=
  2\,\vec o - 5\,(-(\vec u\times \vec v)) 
  + 6\,(\vec u\times \vec v) - 15\,\vec o = 11\,(\vec u\times \vec v).
}
$$

\veta (geometrick� v�znam vektorov�ho sou�inu) [vs-geom]
%%%%%
Nech� vektory $\vec u, \vec v$ jsou line�rn� nez�visl�.
Velikost vektorov�ho sou�inu $\vec u\times\vec v$ 
je rovna plo�e rovnob�n�ka ur�en�ho sv�mi stranami 
$\vec u$ a $\vec v$.
\inl[obsah: rovnob�n�ka]

\dukaz
%%%%%%
Sta�� si uv�domit, �e ��slo $\|\vec v\|\,\sin\phi$ (kde $\phi$ je �hel mezi
vektory $\vec u$, $\vec v$) je rovno podle vlastnosti funkce sinus
v��ce zm�n�n�ho rovnob�n�ka a $\|\vec u\|$ je jeho z�kladna. 
Na z�kladn� �kole jsme se
u�ili, �e plocha rovnob�n�ka se po��t� jako z�kladna kr�t v��ka, tedy
$\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\sin \phi$, co� je podle vlastnosti (2)
definice\cite[vs] rovno velikosti vektorov�ho sou�inu.

\okraj Sm��en�\hb sou�in | Smiseny soucin

\definice [smisenys]
%%%%%%%%%
Nech� $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ jsou vektory z line�rn�ho prostoru
se skal�rn�m a vektorov�m sou�inem. Pak ��slo 
$\vec u \cdot (\vec v \times \vec w)$ naz�v�me 
{\em sm��en�m sou�inem vektor� $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$
(v tomto po�ad�)}.
\inl[sou�in: sm��en�, sm��en�: sou�in]

\veta (sm��en� sou�in ze sou�adnic vektor�) [sms-souradnice]
%%%%%
Nech� $(B)=(\vec i, \vec j, \vec k)$ je ortonorm�ln� kladn� 
orientovan� uspo��dan� b�ze line�rn�ho prostoru se skal�rn�m a
vektorov�m sou�inem, nech� vektory $\vec u$, $\vec v$ a $\vec w$ maj� sou�adnice:
$\c_B(\vec u) = (u_1, u_2, u_3)$, 
$\c_B(\vec v) = (v_1, v_2, v_3)$,
$\c_B(\vec w) = (w_1, w_2, w_3)$.
Pak je sm��en� sou�in $\vec u \cdot (\vec v \times \vec w)$ roven
determinantu:
$$
  \left| \matrix{u_1& u_2& u_3\cr
                 v_1& v_2& v_3\cr
                 w_1& w_2& w_3\cr} \right|.
$$

\dukaz
%%%%%%
V�ta plyne p��mo z definice sm��en�ho sou�inu a 
v�t\cite[vs-souradnice],\cite[soucin-dle-souradnic]. Rozvojem
determinantu podle prvn�ho ��dku dost�v�me po�adovan� v�sledek.

\veta (geometrick� v�znam sm��en�ho sou�inu) [sms-geom]
%%%%%
Absolutn� hodnota sm��en�ho sou�inu line�rn� nez�visl�ch vektor� 
$\vec u, \vec v, \vec w$
je rovna objemu rovnob�nost�nu ur�en�ho sv�mi stranami
$\vec u, \vec v, \vec w$.
\inl[objem: rovnob�nost�nu]

\dukaz
%%%%%%
Velikost vektorov�ho sou�inu $\vec v \times \vec w$ je podle 
v�ty\cite[vs-geom] roven plo�e z�kladny rovnob�nost�nu.
Rozep��eme skal�rn� sou�in pomoc� kosinu �hlu $\phi$ mezi vektorem
$\vec u$ a vektorem $\vec v\times \vec w$:
$$
  \|\vec u \cdot (\vec v \times \vec w)\| =
  \|\vec v\times \vec w\|\cdot\|\vec u\|\,|\cos\phi| =
  \hbox{z�kladna}\cdot\hbox{v��ka} = \hbox{objem rovnob�nost�nu}.
$$
��slo $\|\vec u\|\,|\cos\phi|$ je rovno po�adovan� v��ce, proto�e se
jedn� o velikost kolm�ho pr�m�tu vektoru $\vec u$ na vektor $\vec v\times \vec w$
a vektor $\vec v\times \vec w$ je kolm� na z�kladnu.

\poznamka
%%%%%%%%%
Je-li b�ze $(\vec u, \vec v, \vec w)$ kladn� orientovan�, vych�z�
sm��en� sou�in kladn�, proto�e �hel~$\phi$ z~d�kazu p�edchoz� v�ty je
men�� ne� $\pi/2$. Je-li ale tato b�ze z�porn� orientovan�, vych�z�
sm��en� sou�in jako z�porn� ��slo, nebo� �hel $\phi$ je v�t�� ne�
$\pi/2$.

\poznamka
%%%%%%%%%
D� se uk�zat, �e absolutn� hodnota determinantu matice typu 
$(n,n)$ ur�uje objem rovnob�nost�nu, kter� je ur�en sv�mi
stranami, jejich� sou�adnice jsou zaps�ny do ��dk� t�to matice.
Rovnob�nost�n se \uv{rozprost�r�} v~$n$-dimenzion�ln�m prostoru.
Pomoc� determinant� tedy m��eme m��it $n$-dimenzion�ln�
objemy. V�ty\cite[sms-souradnice] a\cite[sms-geom] ilustruj�, �e
determinanty m��� objemy rovnob�nost�nu aspo� pro dimenzi~3.
%Tato problematika ov�em p�ekra�uje r�mec osnov, kter� n�m
%pouze ur�uj� sezn�mit se s objemy t��rozm�rn�ch rovnob�nost�n� jako
%velikostmi determinant� matic typu $(3,3)$. Tento �kol jsme splnili
%t�m, �e jsme se sezn�mili s~v�tami\cite[sms-souradnice] a\cite[sms-geom].


\okraj Prostor $V_3$ voln�ch\hb vektor� | Prostor V3 volnych vektoru

\poznamka
%%%%%%%%%
Line�rn� prostor~$U_O$ 
z~p��klad�\cite[UOznovu],\cite[ssnaUO] a\cite[baseUO]
m� jednu nev�hodu. Obsahuje jen �se�ky, kter� za��naj� v~pevn�
zvolen�m bod�~$O$. �asto ale p�i modelov�n� fyzik�ln�ch situac�
ztoto��ujeme orientovanou �se�ku s jinou, kter� za��n� v~jin�m bod�,
ale je s p�vodn� �se�kou rovnob�n�, m� stejnou velikost a stejnou
orientaci. 

Z tohoto d�vodu je v�hodn� zav�st line�rn� prostor 
tzv.~{\em voln�ch vektor�~$V_3$}, ve kter�m budeme ztoto��ovat dv� �se�ky, 
pokud jsou rovnob�n�, maj� stejnou velikost a jsou stejn� orientovan�.
\inl[prostor: voln�ch vektor�, V3]
\inl[voln�: vektor, vektor: voln�]

\definice [dV3]
%%%%%%%%%
Nech� $U_O$ je line�rn� prostor 
z~p��klad�\cite[UOznovu] a\cite[ssnaUO].
Volme $\vec u_O\in U_O$. Mno�inu v�ech orientovan�ch �se�ek, kter� jsou 
s~�se�kou $\vec u_O$ rovnob�n� a maj� stejnou velikost a orientaci
naz�v�me {\em vektorem line�rn�ho prostoru~$V_3$}.
\inl[prostor: voln�ch vektor�, V3]

Nech� $\vec u$ je vektor line�rn�ho prostoru~$V_3$ Jde
tedy o~mno�inu vz�jemn� rovnob�n�ch �se�ek stejn�
velk�ch a stejn� orientovan�ch. Jakoukoli orientovanu �se�ku 
z~t�to mno�iny naz�v�me {\em reprezentantem vektoru $\vec u$}.
\inl[reprezentant: vektoru]

Na line�rn�m prostoru~$V_3$ definujeme s��t�n� vektor� a skal�rn�
n�sobek. Nech� $\vec u\in V_3$, $\vec v\in V_3$. Volme 
n�jak� bod~$O\in\E_3$. Existuje pr�v� jeden reprezentant vektoru
$\vec u$, kter� za��n� v~bod�~$O$. Ozna�me jej $\vec u_O$.
D�le nech� $\vec v_O$ je reprezentant vektoru $\vec v$ za��naj�c� 
v~bod�~$O$. Pak je definov�n sou�et $\vec w_O=\vec u_O+\vec v_O$ na
line�rn�m prostoru~$U_O$. Sou�et $\vec u + \vec v$ je takov� prvek
z~$V_3$, pro kter� je $\vec w_O$ jeho reprezentantem za��naj�c�m 
v bod�~$O$. Je to tedy mno�ina v�ech orientovan�ch �se�ek
rovnob�n�ch, stejn� velk�ch a stejn� orientovan�ch, jako 
�se�ka~$\vec w_O$.

Skal�rn� n�sobek definujeme podobn�. Nech� je $\vec u\in V_3$, 
$\alpha\in\R$. Pro $\vec u$ existuje reprezentant $\vec u_O$ za��naj�c� 
v~bod�~$O$. K n�mu existuje skal�rn� n�sobek definovan� v $U_O$.
Ozna�me jej $\vec w_O = \alpha\,\vec u_O$. V�sledn� vektor
$\alpha\,\vec u$ je vektorem z~$V_3$ takov�m, �e $\vec w_O$ je jeho
reprezentant. 

Skal�rn� sou�in vektor� $\vec u\in V_3$, $\vec v\in V_3$
definujeme jako skal�rn� sou�in jejich reprezentant� $\vec u_O$ a
$\vec v_O$ v~line�rn�m prostoru~$U_O$.

Vektorov� sou�in $\vec u \times \vec v$ definujeme tak, �e
reprezentanty $\vec u_O$ a $\vec v_O$  vektor� 
$\vec u$ a $\vec v$ vyn�sob�me v~line�rn�m
prostoru $U_O$. V�sledn� sou�in $\vec u\times \vec v$ je takov� vektor,
pro kter� je $\vec u_O\times\vec v_O$ jeho reprezentantem za��naj�c�m
v~bod� $O$.

\poznamka
%%%%%%%%%
D� se snadno uk�zat, �e v��e definovan� sou�et, skal�rn� n�sobek, skal�rn�
sou�in a vektorov� sou�in vektor� z~$V_3$ nejsou z�visl� 
na volb� bodu $O\in\E_3$.

\poznamka
%%%%%%%%%
Volme pevn� bod $O\in\E_3$.
Uva�ujme zobrazen�, kter� ka�d�mu vektoru $\vec u_O\in U_O$
p�i�ad� $\vec u\in V_3$ tak, �e $\vec u_O$ je reprezentantem vektoru
$\vec u$ za��naj�c�m v bod� $O$. Toto zobrazen� je prost� a na. Nav�c
je line�rn�. Jedn� se tedy o~izomorfismus. V�echny pojmy, kter�
jsme definovali na $U_O$ lze prost�ednictv�m tohoto izomorfismu
definovat i na line�rn�m prostoru~$V_3$. Nap��klad:

\definice [baseV3]
%%%%%%%%%
{\em Ortonorm�ln� b�ze na $V_3$} je takov� b�ze, jej�� reprezentanti
za��naj�c� v n�jak�m bod�~\hbox{$O\in\E_3$} tvo�� ortonorm�ln� b�zi v~$U_O$.
Viz p��klad\cite[baseUO].

{\em Kladn� orientovan� b�ze na~$V_3$} ja takov� b�ze, jej�� reprezentanti
za��naj�c� v~n�jak�m bod�~$O\in\E_3$ tvo�� kladn� orientovanou b�zi v~$U_O$.
Viz definici\cite[kladneUO].
\inl[b�ze: ortonorm�ln�, ortonorm�ln�: b�ze] 
\inl[b�ze: kladn� orientovan�, kladn� orientovan�: b�ze]

\okraj Sou�et bodu s~vektorem | Soucet bodu s vektorem

\poznamka
%%%%%%%%%
Pro pot�eby popis� geometrick�ch objekt� se krom� sou�tu voln�ch
vektor� mezi sebou hod� definovat sou�et bodu 
s voln�m vektorem a rozd�l bod�. 

\definice [bod+vektor]
%%%%%%%%%
Pro ka�d� bod $A\in\E_3$ a voln� vektor $\vec v\in V_3$ existuje pr�v�
jeden reprezentant vektoru~$\vec v$, kter� za��n� v bod� $A$. Koncov�
bod $B\in\E_3$ tohoto reprezentanta naz�v�me {\em sou�tem bodu $A$ 
s~vektorem~$\vec v$} a zna��me $B=A+\vec v$.
\inl[sou�et: bodu s vektorem]

Pro ka�d� dva body $A\in\E_3$, $B\in\E_3$ existuje $\vec v\in V_3$
takov�, �e orientovan� �se�ka s po��tkem v~bod�~$A$ a koncem 
v bod�~$B$ je reprezentantem tohoto vektoru. Vektor $\vec v$ naz�v�me
{\em rozd�lem $B-A$}, p��eme $\vec v = B-A$. Vektor $B-A$ se �asto
zna�� symbolem $\overrightarrow {AB}$.
\inl[rozd�l: bod�]

\poznamka
%%%%%%%%%
Shrneme si, co s ��m m��eme s��tat a s jak�m v�sledkem:
$$\eqalign{
  \hbox{voln� vektor $\pm$ voln� vektor} &= \hbox{voln� vektor}, \cr
  \hbox{bod $\pm$ voln� vektor} &= \hbox{bod}, \cr
  \hbox{bod + bod} &\dots{} \hbox{\it nem� smysl}, \cr
  \hbox{bod $-$ bod} &= \hbox{voln� vektor}.}
$$
Definice s��t�n� bodu s vektorem a od��t�n� bod� se vz�jemn� dopl�uj�,
tj.~plat� $A + (B-A) = B$.

\okraj P��mka a rovina | Primka a rovina

\priklad [popisprimky]
%%%%%%%%
V n�vaznosti na p��klad\cite[UOznovu] a definici\cite[bod+vektor]
dost�v�me n�sleduj�c� popisy p��mek a rovin v~bodov�m prostoru $\E_3$.

Nech� $\vec u\in V_3$ je nenulov� vektor, $A\in\E_3$. Pak
$$
  p = A + \lob<\vec u> =
     \{X\in\E_3;\, X = A + t\,\vec u,\, t\in\R \}
$$
je p��mka v bodov�m prostoru $\E_3$, kter� proch�z� bodem $A$
a je rovnob�n� se v�emi reprezentanty vektoru $\vec u$.
Vektor~$\vec u$ se naz�v� {\em sm�rov�m vektorem\/} p��mky~$p$.

Nech� d�le $\{\vec u, \vec v\}\subset V_3$ jsou line�rn� nez�visl�
vektory. Pak 
$$
  \varrho = A + \lob<\vec u, \vec v> =
     \{X\in\E_3;\, X = A + r\,\vec u + s\,\vec v, \, r\in\R,\, s\in\R \}
$$
je rovina v bodov�m prostoru $\E_3$, kter� proch�z� bodem $A$. Nav�c
reprezentanti vektor� $\vec u$ a $\vec v$ s~po��tkem 
v bod�~$A$ le�� uvnit� t�to roviny. 
Vektor�m $\vec u$, $\vec v$ ��k�me {\em sm�rov� vektory roviny}.
\inl[p��mka, rovina]
\inl[sm�rov�: vektor: p��mky]
\inl[sm�rov�: vektor: roviny]

Existuje nekone�n� mnoho bod� a nekone�n� mnoho sm�rov�ch vektor�,
pomoc� kter�ch je ur�ena stejn� p��mka resp. stejn� rovina. S touto
nejednozna�nost� jsme se u� setkali p�i �e�en� soustav line�rn�ch
rovnic v~pozn�mk�ch\cite[popis-reseni] a\cite[ruznareseni].

\okraj Sou�adnicov� syst�m v $\E_3$ | Souradnicovy system v E3

\definice [soursystem]
%%%%%%%%%
Libovoln� bod $O\in \E_3$ spole�n� s uspo��danou b�z� 
$(B)=(\vec b_1, \vec b_2, \vec b_3)$ 
vektor� z~$V_3$ tvo��
{\em sou�adnicov� syst�m bodov�ho prostoru $\E_3$}. 

{\em Sou�adnice vektoru $\vec u\in V_3$ v tomto sou�adnicov�m syst�mu} 
definujeme jako sou�adnice vektoru $\vec u$ vzhledem 
k uspo��dan� b�zi~$(B)$.

{\em Sou�adnice bodu $A\in \E_3$ v tomto sou�adnicov�m syst�mu}
definujeme jako sou�adnice vektoru $A-O$. Vektor $A-O$ naz�v�me 
v tomto kontextu {\em radiusvektorem bodu $A$}.
\inl[sou�adnice: bodu, sou�adnice: vektoru, sou�adnicov� syst�m]
\inl[radiusvektor]

P��mky $O+\lob<\vec b_1>$, $O+\lob<\vec b_2>$, $O+\lob<\vec b_3>$
jsou {\em osy sou�adnicov�ho syst�mu}. 
\inl[osa: sou�adnic]

Je-li b�ze $(B)$ ortogon�ln�, naz�v�me odpov�daj�c� sou�adnicov�
syst�m {\em pravo�hl�}. Je-li b�ze $(B)$ ortonorm�ln�, naz�v�me
odpov�daj�c� sou�adnicov� syst�m {\em kart�zsk�}. Je-li b�ze $(B)$
kladn� orientovan�, mluv�me t� o~{\em kladn� orientovan�m sou�adnicov�m
syst�mu}.
\inl[pravo�hl�: sou�adnicov� syst�m, sou�adnicov�: syst�m: pravo�hl�]
\inl[kart�zsk�: sou�adnicov� syst�m, sou�adnicov�: syst�m: kart�zsk�]
\inl[kladn� orientovan�: sou�adnicov� syst�m, sou�adnicov�: syst�m: kladn� orientovan�]

\poznamka
%%%%%%%%%
Uv�dom�me si podrobn�, co to znamen�, �e bod $A$ m� sou�adnice
$(a_1,a_2,a_3)$ vzhledem k~n�jak�mu sou�adnicov�mu syst�mu
$(O,(\vec b_1, \vec b_2, \vec b_3))$.
Podle v��e uveden� definice to znamen�,
�e vektor $A-O$ m� sou�adnice $(a_1,a_2,a_3)$,
co� podle definice sou�adnic vektoru vzhledem k b�zi znamen�, �e
$$
  (A-O) = a_1\vec b_1 + a_2\vec b_2 + a_3\vec b_3.
$$ 

\veta [sourbodu]
%%%%%
Zvolme pevn� sou�adnicov� syst�m bodov�ho prostoru $\E_3$, vzhledem ke
kter�mu budeme ud�vat sou�adnice bod� a vektor�. Tento sou�adnicov�
syst�m nemus� b�t nutn� kart�zsk�.
Nech� $A\in\E_3$ m� sou�adnice $(a_1,a_2,a_3)$, 
$B\in\E_3$ m� sou�adnice $(b_1,b_2,b_3)$,
$\vec u\in V_3$ m� sou�adnice $(u_1,u_2,u_3)$,
$\vec v\in V_3$ m� sou�adnice $(v_1,v_2,v_3)$,
$\alpha\in\R$, $\beta\in\R$.
Potom plat�:

(1) Vektor $\alpha\,\vec u + \beta\,\vec v$ m� sou�adnice
    $\alpha\,(u_1,u_2,u_3) + \beta\,(v_1,v_2,v_3)$.

(2) Bod $A+\vec u$ m� sou�adnice $(a_1,a_2,a_3)+(u_1,u_2,u_3)$.

(3) Vektor $\overrightarrow{AB}=B-A$ m� sou�adnice 
    $(b_1,b_2,b_3)-(a_1,a_2,a_3)$.

\dukaz
%%%%%%
Ad (1). Zobrazen�, kter� p�i�ad� vektor�m jejich sou�adnice, je podle
v�ty\cite[sour-lin] line�rn�.

Ad (2). $(A-O)+\vec u$ je radiusvektor bodu $A+\vec u$. D�le se
pou�ije vlastnost~(1).

Ad (3). Vyu�ijeme nap��klad toho, �e $A+(B-A)=B$.

\poznamka
%%%%%%%%%
Proto�e podle p�edchoz� v�ty se operace s��t�n� bod� s vektory daj�
p�ev�st na operace s��t�n� uspo��dan�ch trojic jejich sou�adnic, b�v�
�asto zvykem ztoto�nit body z $\E_3$ a vektory z~$V_3$ 
s~uspo��dan�mi trojicemi jejich sou�adnic.
P��eme tedy nap��klad $A=(1,2,-5)$ a �teme, �e bod 
$A$ m� sou�adnice $(1,2,-5)$. 

V jin� literatu�e (nap�.\bcite[demlova]) se skute�nost, �e bod
$A$ m� d�ny sou�adnice, zapisuje bez rovn�tka a do hranat�ch
z�vorek. N� p��klad se sou�adnicemi $(1,2,-5)$ by vypadal takto:
$A[1,2,-5]$. Osobn� toto zna�en� nem�m v oblib�, proto�e mezi
ozna�en�m bodu $A$ a jeho sou�adnicemi $[1,2,-5]$ chyb� symbol pro
sloveso. 

\priklad
%%%%%%%%
Vypo�teme vzd�lenost dvou bod� $A\in\E_3$ a $B\in\E_3$, pokud zn�me
jejich sou�adnice v~kart�zsk�m sou�adnicov�m syst�mu.

Vzd�lenost bod� $A$ a $B$ je rovna velikosti vektoru $B-A$ a tu
spo��t�me podle definice velikosti jako
$\sqrt{(B-A)\cdot(B-A)}$. P�itom skal�rn� sou�in spo��t�me podle
v�ty\cite[soucin-dle-souradnic]. 

Uvedeme konkr�tn� p��klad. Nech� $A=(1,2,-5)$, $B=(3,2,1)$. Vzd�lenost
t�chto bod� je rovna velikosti vektoru $B-A$, kter� m� podle 
v�ty\cite[sourbodu] sou�adnice $(2,0,6)$. Po��t�me velikost:
$$
  \|(2,0,6)\| = \sqrt{(2,0,6)\cdot(2,0,6)} = \sqrt{2^2+0^2+6^2} =
  \sqrt{40}.
$$
Uveden� postup s~pou�it�m v�ty\cite[soucin-dle-souradnic] lze pou��t
jen pro sou�adnice v~kart�zsk�m sou�adnicov�m syst�mu, proto�e tato
v�ta p�edpokl�d� sou�adnice vektoru vzhledem k~ortonorm�ln� b�zi.
\inl[vzd�lenost: bod�]

\priklad
%%%%%%%%
Vypo�teme obsah troj�heln�ka v bodov�m prostoru $\E_3$, pokud jsou d�ny
kart�zsk� sou�adnice jeho vrchol� $A, B, C$.

Podle v�ty\cite[vs-geom] je obsah rovnob�n�ka roven velikosti
vektorov�ho sou�inu jeho stran. Troj�heln�k pak bude m�t obsah
polovi�n�. Obsah troj�heln�ka tedy m��eme po��tat takto:
$$
  P = {\|(B-A)\times (C-A)\| \over 2}.
$$
\par\inl[obsah: troj�heln�ka]

Jsou-li d�ny kart�zsk� sou�adnice vrchol� t�eba takto:
$A=(1,2,2)$, $B=(2,-3,3)$, $C=(1,4,5)$, pak sta�� dosadit do pr�v�
odvozen�ho vzorce:
$$\eqalign{
  P &= {\bigl\|\bigl((2,-3,3)-(1,2,2)\bigr)\times 
       \bigl((1,4,5)-(1,2,2)\bigr)\bigr\| \over 2} =
      {\|(1,-5,1)\times (0,2,3)\| \over 2} =\cr &= 
      {\|(-17, -3, 2)\| \over 2} =
      {\sqrt{17^2 + 3^2 + 2^2} \over 2} = {\sqrt{302}\over 2}.
}
$$
P�i v�po�tu jsme pou�ili nejen v�ty\cite[sourbodu], ale t�
v�ty\cite[vs-souradnice] pro v�po�et vektorov�ho sou�inu ze sou�adnic a
v�ty\cite[soucin-dle-souradnic] pro v�po�et skal�rn�ho sou�inu, kter�
jsme pot�ebovali na v�po�et velikosti vektoru. Posledn� zm�n�n� v�ty
p�edpokl�daj� sou�adnice vzhledem k ortonorm�ln� b�zi, a proto bylo
nutn� m�t sou�adnice bod� zad�ny v~{\it kart�zsk�m\/} syst�mu
sou�adnic.

\priklad
%%%%%%%%
Vypo�teme objem �ty�st�nu, ur�en�ho vrcholy $A, B, C, D$. Tyto vrcholy
jsou d�ny v~kart�zsk�ch sou�adnic�ch.

Podle v�t\cite[sms-souradnice] a\cite[sms-geom] 
je objem rovnob�nost�nu roven absolutn�
hodnot� z~determinantu, ve kter�m jsou v~��dc�ch naps�ny
sou�adnice jeho stran. �ty�st�n bude m�t objem �estinov�,
proto�e do rovnob�nost�nu se vejde pr�v� �est �ty�st�n� se shodn�m
objemem. Kdo o tom pochybuje, rozkr�j� si za dom�c� cvi�en� kostku
tvrd�ho s�ra na �est �ty�st�n� se stejn�m objemem.

Nech� $\A$ je matice, kter� m� v prvn�m ��dku sou�adnice vektoru
$B-A$, ve druh�m ��dku sou�adnice $C-A$ a ve t�et�m ��dku sou�adnice $D-A$.
Pak objem �ty�st�nu $V$ je roven $|\det\A|/6$.

V�ta\cite[sms-souradnice] p�edpokl�d� ortonorm�ln� b�zi, proto je pot�eba
pracovat se sou�adnicemi bod� v~{\it kart�zsk�m\/} syst�mu
sou�adnic. 
\inl[objem: �ty�st�nu]

\okraj Rovnice p��mky | 
       Rovnice primky

\priklad
%%%%%%%%
Uk�eme si, jak pop��eme p��mku v~sou�adnicov�m syst�mu.
Podle p��kladu\cite[popisprimky] a v�ty\cite[sourbodu] je p��mka~$p$
proch�zej�c� bodem $A=(a_1,a_2,a_3)$ se sm�rov�m vektorem
$\vec u=(u_1,u_2,u_3)$ mno�inou takov�ch bod� $X=(x,y,z)$, pro kter�
plat�:
$$
  X = A + t\,\vec u,\, t\in\R \quad \hbox{tj.}\quad
  (x,y,z) = (a_1, a_2, a_3) + t\,(u_1,u_2,u_3), t\in\R.
$$
Po rozeps�n� t�to rovnosti do jednotliv�ch sou�adnic dost�v�me
{\em parametrick� rovnice p��mky\/}:
$$
  \eqalign{
  x &= a_1 + t\,u_1, \cr
  y &= a_2 + t\,u_2, \cr
  z &= a_3 + t\,u_3. \cr
}
$$
Pokud vypo��t�me z ka�d� rovnice parametr $t$ a v�sledky polo��me
sob� rovny, dost�v�me tzv.~{\em kanonickou rovnici p��mky\/}:
$$
  {x-a_1 \over u_1} = {y-a_2 \over u_2} = {z-a_3 \over u_3}.
$$
\par\inl[rovnice: p��mky: parametrick�, parametrick�: rovnice: p��mky]
\inl[rovnice: p��mky: kanonick�, kanonick�: rovnice: p��mky]

\priklad
%%%%%%%%
Pop��eme p��mku, kter� proch�z� body $A=(1,2,3)$ a $B=(2,2,0)$.

Sm�rov�m vektorem p��mky je nap��klad vektor $B-A=(1,0,-3)$ a p��mka
m� tvar:
$$
  p = A + \lob<B{-}A>  = (1,2,3) + \lob<(1,0,-3)> =
      \bigl\{(x,y,z);\, (x,y,z) = (1,2,3) + t\,(1,0,-3),\,t\in\R\bigr\}.
$$
Odtud dost�v�me parametrick� rovnice p��mky:
$$
  \eqalign {
  x &= 1 + t, \cr
  y &= 2, \cr
  z &= 3 - 3t.
}
$$
a kanonick� tvar:
$$
  {x-1 \over 1} = {y-2\over 0} = {z-3\over -3}.
$$
Na zlomky v kanonick�m tvaru pohl���me jako na form�ln� z�pisy a
nepozastavujeme se nad t�m, �e se tam m��e vyskytnout d�len�
nulou. Kanonick� tvar n�m poskytuje informaci o sou�adnic�ch sm�rov�ho
vektoru ve jmenovatel�ch zlomk� a sou�adnice bodu $A\in p$ p�e�teme 
v~�itatel�ch zlomk�.

\priklad [vzdalenost-primka-bod]
%%%%%%%%
Uk�eme, jak spo��t�me vzd�lenost bodu $Q\in\E_3$ od p��mky
$p=A+\lob<\vec u>$.

Tato vzd�lenost je rovna v��ce rovnob�n�ka ur�en�ho stranami
$Q-A$ a $\vec u$. Z�kladna tohoto rovnob�n�ka m� 
velikost~$\|\vec u\|$. Plat� tedy:
$$
  \hbox{vzd�lenost bodu $Q$ od p��mky $p$} = 
  \hbox{v��ka rovnob�n�ka} =
  {\hbox{obsah rovnob�n�ka} \over \hbox{velikost z�kladny}} =
  {\|(Q-A)\times \vec u\| \over \|\vec u\|}.
$$
\par\inl[vzd�lenost: bodu od p��mky]

\okraj Vz�jemn� poloha\hb dvou p��mek | Vzajemna poloha dvou primek

\priklad [dveprimky]
%%%%%%%%
Vy�et��me vz�jemnou polohu dvou p��mek
$p=A+\lob<\vec u>$ a $q=B+\lob<\vec v>$.

Jsou-li vektory $\vec u, \vec v, B{-}A$ line�rn� nez�visl�, pak p��mky
nele�� ve spole�n� rovin� a jsou tedy {\em mimob�n�}. N��e uk�eme,
jak vypo��t�me vzd�lenost t�chto p��mek.
\inl[mimob�ky]

Jsou-li vektory $\vec u, \vec v, B{-}A$ line�rn� z�visl�, pak p��mky
le�� ve spole�n� rovin� a mohou b�t r�znob�n�, rovnob�n�
nebo toto�n�. Jsou-li v takov�m p��pad� vektory $\vec u, \vec v$ line�rn�
nez�visl�, jsou p��mky {\em r�znob�n�}. N��e uk�eme, jak vypo��t�me
pr�se��k a �hel mezi r�znob�kami. Jsou-li kone�n� vektory 
$\vec u, \vec v$ line�rn� z�visl�, jedn� se o {\em rovnob�ky} a v p��pad�,
�e bod $B\in p$, pak tyto rovnob�ky spl�vaj� v~p��mku jedinou.
N��e uk�eme, jak vypo��t�me vzd�lenost rovnob�ek.
\inl[r�znob�ky]

{\bf Vzd�lenost dvou mimob�ek} po��t�me z objemu rovnob�nost�nu, ur�en�ho
sv�mi stranami $\vec u, \vec v, B{-}A$, kter� z jedn� strany lze po��tat jako
absolutn� hodnotu sm��en�ho sou�inu a z druh� strany je tento objem
roven obsahu rovnob�n�ka z�kladny kr�t v��ka.
Tato v��ka je p�itom hledan� vzd�lenost. Plat� tedy:
$$
  \hbox{vzd�lenost mimob�ek} = 
  {\hbox{objem rovnob�nost�nu} \over \hbox{obsah z�kladny}} =
  {|(B-A)\cdot(\vec u\times\vec v)| \over \|\vec u\times\vec v\|} =
  {|\det\A| \over \|\vec u\times\vec v\|},
  \rce(vzdalenostmimo)
$$
kde matice $\A$ obsahuje postupn� ��dky se sou�adnicemi vektor�
$B-A$, $\vec u$, $\vec v$.

{\bf Vzd�lenost rovnob�ek} vypo��t�me jako vzd�lenost bodu na jedn�
rovnob�ce od rovnob�ky druh�. To jsme d�lali 
v~p��kladu\cite[vzdalenost-primka-bod]. M�me tedy u� odvozen� vzorec:
$$
  \hbox{vzd�lenost rovnob�ek} = {\|(B-A)\times \vec u\|\over \|\vec u\|}.
$$

{\bf �hel mezi r�znob�kami} je roven �hlu $\phi$ mezi vektory
$\vec u$, $\vec v$, kter� spo��t�me podle definice\cite[uhel]. 
M��e se ale st�t, �e tento �hel vych�z� v�t�� ne� $\pi/2$.
V takov�m p��pad� je �hel mezi p��mkami roven $\pi-\phi$. Tento
vzorec vypl�v� z~toho, �e mezi r�znob�kami m��eme m��it dva �hly
a za \uv{ofici�ln�} �hel mezi nimi pova�ujeme ten men�� z nich.
Proto�e plat� $|\cos\phi| = \cos\phi$ pro $0\le\phi\le\pi/2$ a
$|\cos\phi| = \cos(\pi-\phi)$ pro $\pi/2<\phi\le\pi$, m��eme oba
p��pady zahrnout do jedin�ho vzorce, ve kter�m p��eme
absolutn� hodnotu skal�rn�ho sou�inu:
$$
  \cos\phi = {|\vec u\cdot\vec v| \over \|\vec u\|\, \|\vec v\|}.
  \rce(uhelmimobezek)
$$

{\bf Sou�adnice pr�se��ku r�znob�ek} spo��t�me jako spole�n� �e�en�
parametrick�ch rovnic jednak pro p��mku $p$ a jednak pro p��mku $q$.
\inl[vzd�lenost: mimob�ek]
\inl[�hel: p��mek]
\inl[vzd�lenost: rovnob�ek]
\inl[pr�se��k: r�znob�ek]

\priklad
%%%%%%%%
Vy�et��me vz�jemnou polohu p��mek $p$ a $q$, kter� jsou d�ny sv�mi
parametrick�mi rovnicemi v kart�zsk�m sou�adnicov�m syst�mu:
$$
  \let\quad=\relax
  p: ~~\matrix{x &{}= 1 + t\cr
             y &{}= \hfill 2t \cr
             z &{}= 2\hfill} \qquad
  q: ~~\matrix{x &{}= 3 + t\cr
             y &{}= 2 \hfill\cr
             z &{}= 1 - t}~~.
$$

Z rovnic okam�it� vid�me sou�adnice bodu, kter�m p��mka proch�z� a
sou�adnice sm�rov�ho vektoru:
$$
  p = (1,0,2) + \lob<(1,2,0)>, \qquad
  q = (3,2,1) + \lob<(1,0,-1)>.
$$
P�i ozna�en� $A=(1,0,2)$, $B=(3,2,1)$ je $B-A=(2,2,-1)$. Zjist�me
line�rn� z�vislost vektoru $B-A$ a sm�rov�ch vektor� tak, �e zap��eme
sou�adnice t�chto vektor� do matice a po��t�me determinant:
$$
  \left| \matrix{2 & 2 &-1 \cr 1 & 2 & \phantom{+}0 
         \cr 1 & 0 & -1} \right| = 0.
  \rce (detprimek)
$$
Zkouman� vektory jsou line�rn� z�visl�, p��mky tedy le�� ve spole�n�
rovin�. Proto�e sm�rov� vektory $(1,2,0)$, $(1,0,-1)$ jsou line�rn�
nez�visl�, $p$, $q$ jsou {\em r�znob�ky}.

�hel mezi r�znob�kami po��t�me podle vzorce\cite(uhelmimobezek):
$$
  \cos \phi = {|(1,2,0)\cdot(1,0,-1)| \over \|(1,2,0)\|\,\, \|(1,0,-1)\|} =
              {|1+0+0| \over \sqrt{1^2+2^2+0^2}\sqrt{1^1+0^2+1^2} } =
              {1\over \sqrt{10}}, \quad \hbox{tj.} \quad
  \phi = \arccos {1\over \sqrt{10}}.
$$
Pr�se��k vych�z� z rovnic $x=x$, $y=y$, $z=z$, kde za sou�adnice 
$x, y, z$ dosad�me prav� strany odpov�daj�c�ch parametrick�ch rovnic a
u~p��mky $q$ zvol�me pro parametr jin� ozna�en�:
$$
  \eqalign{
  1 + t &= 3 + s \cr
  2t    &= 2 \cr
  2     &= 1 - s
}
$$
Soustava je sice \uv{p�eur�ena} (je zde v�ce rovnic ne� nezn�m�ch),
ale proto�e n�m vy�el determinant\cite(detprimek) nulov�, m� tato
soustava ur�it� �e�en�. �e�en�m je v tomto p��pad� $t = 1$, $s = -1$.
Dosazen�m t�eba $t=1$ do parametrick�ch rovnic p��mky $p$ dost�v�me
sou�adnice pr�se��ku: $P=(1,0,2) + 1\cdot(1,2,0) = (2,2,2)$.

\priklad
%%%%%%%%
Vy�et��me vz�jemnou polohu p��mky $p$ proch�zej�c� body $A$, $B$ 
s p��mkou $q$ proch�zej�c� body $C$, $D$. Body jsou d�ny v~kart�zsk�ch
sou�adnic�ch takto: $A=(1,2,3)$, $B=(3,2,1)$, $C=(1,0,2)$,
$D=(4,2,3)$.

Sm�rov� vektor p��mky $p$ je t�eba $B-A=(2,0,-2)\sim(1,0,-1)$. Za
vlnkou jsme napsali sice jin� sm�rov� vektor, ale je to rovn� sm�rov�
vektor p��mky $p$ a nav�c m� sou�adnice, se kter�mi se n�m bude
pohodln�ji pracovat. Sm�rov� vektor p��mky $q$ je t�eba 
$D-C=(3,2,1)$. M�me tedy:
$$
  p = (1,2,3) + \lob<(1,0,-1)>, \qquad
  q = (1,0,2) + \lob<(3,2,1)>.
$$
Snadno ov���me, �e vektory $A-C, (1,0,-1), (3,2,1)$ jsou line�rn�
nez�visl�, tak�e p��mky jsou {\em mimob�n�}. Determinant matice, obsahuj�c�
sou�adnice t�chto vektor�, je roven~$-6$.
Vzd�lenost mimob�ek po��t�me podle vzorce\cite(vzdalenostmimo):
$$
  { |\det\A|\over \|(1,0,-1)\times(3,2,1)\| } = 
  { | -6 | \over \|(2,-4,2)\| } =
  { 6 \over \sqrt{2^2 + 4^2 + 2^2} } = {6\over \sqrt{24}}.
$$

\okraj Rovnice\hb roviny | Rovnice roviny

\priklad
%%%%%%%%
Uk�eme si, jak m��eme popsat rovinu $\varrho$ v sou�adnicov�m syst�mu.

Nech� je rovina~$\varrho$ ur�ena bodem $A=(a_1,a_2,a_3)$, 
kter�m proch�z�, a dv�ma line�rn� nez�visl�mi sm�rov�mi vektory
\hbox{$\vec u=(u_1,u_2,u_3)$}, $\vec v=(v_1,v_2,v_3)$.
Podle p��kladu\cite[popisprimky] je rovina~$\varrho$ mno�inou takov�ch
bod� $X=(x,y,z)$, pro kter� plat�:
$$
  X = A + t\,\vec u + s\,\vec v, t\in\R, s\in\R, \quad \hbox{tj.}\quad
  (x,y,z) = (a_1,a_2,a_3) + t\,(u_1,u_2,u_3) + s\,(v_1,v_2,v_3), 
  t\in\R, s\in\R.
$$
Rozeps�n�m do jednotliv�ch sou�adnic n�m vych�zej� 
{\em parametrick� rovnice roviny\/}:
$$
   \eqalign{
  x &= a_1 + t\,u_1 + s\,v_1 \cr
  y &= a_2 + t\,u_2 + s\,v_2 \cr
  z &= a_3 + t\,u_3 + s\,v_3 \cr
}
$$
Na rozd�l od parametrick�ch rovnic p��mky se s parametrick�mi rovnicemi
roviny moc �asto nesetk�me. M�sto toho se pracuje s~{\em norm�lov�m
vektorem roviny}, co� je libovoln� nenulov� vektor $\vec n$, 
kter� je kolm� na rovinu~$\varrho$. Rovina je ur�ena jedn�m bodem
$A=(a_1,a_2,a_3)$, kter�m proch�z�, a norm�lov�m vektorem $\vec n=(a,b,c)$.
Rovina je pak mno�inou takov�ch bod� $X=(x,y,z)$, pro kter� plat�:
$$
 (X-A)\kolmy \vec n, \quad \hbox{tj.}\quad
 (X-A)\cdot\vec n = 0, \quad \hbox{tj.}\quad
 (x-a_1, y-a_2, z-a_3)\cdot (a,b,c) = 0. 
$$
V kart�zsk�m sou�adnicov�m syst�mu m��eme pro v�po�et skal�rn�ho
sou�inu pou��t v�tu\cite[soucin-dle-souradnic] a dost�v�me
{\em norm�lovou rovnici roviny}, nebo prost� jen {\em rovnici roviny\/}:
$$
  ax + by + cz + d = 0, \quad \hbox{kde}\quad
  d = - a a_1 - b a_2 - c a_3.
$$
Uv�dom�me si, �e v rovnici roviny jsou p��mo �iteln� sou�adnice
norm�lov�ho vektoru roviny $\vec n=(a,b,c)$, co� je velmi u�ite�n� informace.
\inl[rovnice: roviny: parametrick�, parametrick�: rovnice: roviny]
\inl[rovnice: roviny: norm�lov�, norm�lov�: rovnice: roviny, rovnice: roviny]
\inl[norm�lov�: vektor, vektor: norm�lov�]

\priklad
%%%%%%%%
Uk�eme si, jak je mo�n� p�ej�t od sm�rov�ch vektor� $\vec u$, $\vec v$ 
roviny $\varrho$ k~norm�lov� rovnici roviny. 

Proto�e sm�rov� vektory $\vec u$ a $\vec v$
jsou line�rn� nez�visl�, je $\vec n=\vec u\times \vec v$ norm�lov�m
vektorem roviny. Je toti� podle definice vektorov�ho sou�inu kolm� na
oba vektory $\vec u$ a $\vec v$ a tedy je kolm� na celou
rovinu~$\varrho$. Abychom na�li konstanty $a,b,c$ pou�it� v~norm�lov� rovnici
roviny, sta�� tedy vypo��tat vektorov� sou�in $\vec u\times \vec v$. 
Konstantu $d$ dopo��t�me bu� ze skute�nosti, �e je d�n bod $A\in\E_3$, kter� 
v~rovin� le��, nebo vyhodnocen�m skal�rn�ho sou�inu jako v~p�edchoz�m
p��kladu.

Existuje je�t� jeden zp�sob sestaven� norm�lov� rovnice ze sm�rov�ch
vektor� $\vec u$, $\vec v$. Rovina $\varrho$, kter� proch�z� bodem
$A\in\E_3$, je toti� tak� mno�inou bod� $X\in\E_3$, pro kter� 
je trojice vektor� $(X-A), \vec u, \vec v$ line�rn� z�visl�. Jin�mi
slovy pro matici, kter� obsahuje v ��dc�ch sou�adnice t�chto vektor�,
mus� platit, �e m� nulov� determinant. P�i $A=(a_1,a_2,a_3)$,
$\vec u=(u_1,u_2,u_3)$, $\vec v=(v_1,v_2,v_3)$, $X=(x,y,z)$ n�m
vych�z�:
$$
  \left| \matrix {x-a_1 & y-a_2 & z-a_3 \cr
                  u_1 & u_2 & u_3 \cr
                  v_1 & v_2 & v_3} \right| = 0.
$$
V�po�tem tohoto determinantu dost�v�me norm�lovou rovnici roviny.

\priklad
%%%%%%%%
Najdeme rovnici roviny, kter� proch�z� body $A=(1,2,3)$, 
$B=(1,1,1)$, $C=(2,0,2)$.

Jedn� se o rovinu, kter� proch�z� nap��klad bodem $A$ a je ur�ena
sm�rov�mi vektory $B-A$, $C-A$. Jin�mi slovy
$$
  \varrho = A + \lob< B-A, C-A > = 
  (1,2,3) + \lob<(0, -1, -2), (1, -2, -1)>.
$$
Je tedy $\varrho$ mno�ina takov�ch bod� $X=(x,y,z)$, pro kter� plat�
$$
  (x,y,z) = (1,2,3) + t\,(0, -1, -2) + s\,(1, -2, -1),\, t\in\R,\, s\in\R.
$$
Odtud dost�v�me parametrick� rovnice roviny $\varrho$:
$$
  \eqalign{
     x &= 1 + s \cr
     y &= 2 - t - 2s \cr
     z &= 3 - 2t - s
}
$$
Norm�lov� vektor roviny $\varrho$ spo��t�me jako vektorov� 
sou�in sm�rov�ch vektor�:
$$
  \vec n = (0, -1, -2) \times (1, -2, -1) = (-3, -2, 1).
$$
Rovnice roviny m� tedy tvar $-3x -2y + z + d = 0$. Konstantu $d\in\R$
najdeme nap��klad na z�klad� skute�nosti, �e $A\in\varrho$, tak�e mus�
platit
$$
  -3\cdot 1 -2\cdot 2 + 3 + d = 0, \quad \hbox{tj.} \quad
  d = 4 \quad\hbox{a rovnice roviny je:} \quad
  -3x -2y + z + 4 = 0.
$$
Druh� zp�sob sestaven� rovnice roviny v�po�tem determinantu vypad� takto:
$$
  \left| \matrix {x-1 & y-2 & z-3 \cr 
                   0& -1& -2 \cr 1& -2& -1} \right| = 0,
  \quad\hbox{tj.}\quad
  -3x -2y + z + 4 = 0.
$$

\priklad [bod-rovina]
%%%%%%%%
Najdeme vzd�lenost bodu $Q\in\E_3$ od roviny~$\varrho$.

Nech� $A$ je libovoln� bod roviny $\varrho$. Vzd�lenost bodu
$Q$ od roviny $\varrho$ je rovna absolutn� hodnot� kolm�ho pr�m�tu
vektoru $Q-A$ do norm�lov�ho vektoru~$\vec n$ roviny~$\varrho$. Na
v�po�et velikosti kolm�ho pr�m�tu vektoru pou�ijeme skal�rn�
sou�in podle definice\cite[kolmyprumet]. Dost�v�me:
$$
  \hbox{vzd�lenost bodu od roviny} = {|(Q-A)\cdot \vec n| \over \|\vec n\|}.
  \rce(bod-od-roviny)
$$
\par\inl[vzd�lenost: bodu od roviny]

Nech� nap��klad $Q=(1,4,3)$ a rovina $\varrho$ m� rovnici 
$3x - 2y + 4z + 6 = 0$ v~kart�zsk�ch sou�adnic�ch. Z~rovnice roviny
okam�it� vid�me sou�adnice norm�lov�ho vektoru $\vec n=(3,-2,4)$.
Mus�me je�t� naj�t aspo� jedno �e�en� rovnice roviny, abychom 
z�skali sou�adnice bodu $A\in\varrho$. 
P�i $x=0$ a $z=0$ vych�z� $y=3$, tak�e pou�ijeme
bod $A=(0,3,0)$, $Q-A=(1,1,3)$. Hledan� vzd�lenost je:
$$
  v = {|(1,1,3)\cdot (3,-2,4)| \over \|(3,-2,4)\| } =
      {| 1\cdot3 + 1\cdot(-2) + 3\cdot4 | \over \sqrt{3^2 + 2^2 + 4^2}} 
      = {13\over \sqrt{29}}.
$$

\okraj Vz�jemn� poloha\hb p��mky a roviny | Vzajemna poloha primky a roviny

\priklad
%%%%%%%%
Vy�et��me vz�jemnou polohu p��mky $p=A+\lob<\vec u>$ a
roviny~$\varrho$, kter� proch�z� dan�m bodem $B$ a m� norm�lov�
vektor~$\vec n$.

Je-li $\vec u\kolmy\vec n$, neboli $\vec u\cdot\vec n=0$, pak je p��mka
rovnob�n� s rovinou. V takov�m p��pad� je�t� m��e nastat situace, kdy
cel� p��mka le�� v rovin�, co� zjist�me nap��klad podle toho, �e 
$(B-A)\kolmy\vec n$, neboli $(B-A)\cdot\vec n=0$. Pokud je p��mka
rovnob�n� s rovinou, ur��me vzd�lenost p��mky~$p$ od roviny~$\varrho$
stejn� jako vzd�lenost bodu~$A\in p$ od roviny~$\varrho$. To jsme se
nau�ili v~p�edchoz�m p��klad�\cite[bod-rovina].

Je-li $\vec u\cdot\vec n\ne 0$, pak p��mka $p$ prot�n� rovinu $\varrho$
v~jedin�m bod�. Pr�se��k najdeme tak, �e dosad�me hodnoty $x, y, z$ 
z~parametrick�ch rovnic p��mky do rovnice roviny. T�m dostaneme
hodnotu parametru, kter� n�m d� po dosazen� do parametrick�ch rovnic
sou�adnice hledan�ho pr�se��ku. Tento postup ilustrujeme
v~n�sleduj�c�m p��klad�.

�hel mezi p��mkou $p$ prot�naj�c� rovinu $\varrho$ a 
touto rovinou je roven $\alpha=\pi/2-\phi$,
kde $\phi$ je �hel mezi sm�rov�m vektorem p��mky $\vec u$ a
norm�lov�m vektorem roviny $\vec n$. Pokud $\phi$ vych�z� v�t��
ne� $\pi/2$, vezmeme m�sto n�j �hel $\pi-\phi$ stejn�, jako jsme to
d�lali p�i zji��ov�n� �hlu mezi p��mkami. Plat�:
$$
  \sin\alpha = \cos(\pi/2 - \alpha) = \cos\phi =
  {|\vec u\cdot\vec n|\over \|\vec u\|\,\,\|\vec n\|}, \quad\hbox{tj.}\quad
  \alpha = \arcsin {|\vec u\cdot\vec n|\over \|\vec u\|\,\,\|\vec n\|}\,.
  \rce(uhelprimky+roviny)
\inl[�hel: p��mky a roviny, vzd�lenost: p��mky od roviny, pr�se��k: p��mky s rovinou] 
$$

\priklad
%%%%%%%%
Vy�et��me vz�jemnou polohu p��mky $p=(1,2,3) + \lob<(1,0,2)>$ a
roviny~$\varrho$, kter� proch�z� bodem $B=(3,3,1)$ a m� norm�lov� vektor
$\vec n=(2,1,0)$. Sou�adnice jsou d�ny v~kart�zsk�m sou�adnicov�m
syst�mu.

Na z�klad� skute�nosti, �e $B\in\varrho$, m��eme doplnit
konstantu~$d$ do rovnice roviny, kterou zat�m m�me ve tvaru 
$2x + y + 0z + d = 0$. Dosazen�m sou�adnic bodu $B$ m�me 
$2\cdot3 + 3 + d = 0$, tak�e $d=-9$ a rovnice roviny~$\varrho$
je ve tvaru $2x + y - 9 = 0$. 

Sm�rov� vektor p��mky $(1,0,2)$ nen� kolm� na norm�lov� vektor roviny
$(2,1,0)$, proto�e skal�rn� sou�in $(1,0,2)\cdot(2,1,0)=2$. P��mka
tedy prot�n� rovinu. Spo��t�me �hel mezi p��mkou a rovinou podle
vzorce\cite(uhelprimky+roviny):
$$
  \alpha = \arcsin {|(1,0,2)\cdot(2,1,0)| \over 
                    \|(1,0,2)\|\,\,\|(2,1,0)\| } = 
           \arcsin {2\over \sqrt{5}\sqrt{5}} = \arcsin {2\over 5}\,.
$$

Nyn� spo��t�me pr�se��k p��mky~$p$ s rovinou $\varrho$. Do rovnice
roviny dosad�me parametrick� rovnice p��mky $x=1+t$, $y=2$, $z=3+2t$:
$$
  2\cdot(1+t) + 2 - 9 = 0, \quad\hbox{tj.}\quad
  2t - 5 = 0, \quad\hbox{tj.}\quad  t = {5\over 2}\,.
$$
Pr�se��k m� sou�adnice $P=(1,2,3) + {5\over 2}\,(1,0,2) =
({7\over2},2,8)$.

\okraj Vz�jemn� poloha\hb dvou rovin | Vzajemna poloha dvou rovin

\priklad [dveroviny]
%%%%%%%%
Vy�et��me vz�jemnou polohu dvou rovin. Nech� rovina $\varrho$ proch�z�
bodem $A$ a m� norm�lov� vektor $\vec m$ a rovina $\sigma$ proch�z�
bodem $B$ a m� norm�lov� vektor $\vec n$.

Pokud jsou vektory $\vec m$ a $\vec n$ line�rn� nez�visl�, roviny se
prot�naj� v p��mce $p$. Tuto pr�se�nici najdeme jako mno�inu v�ech
�e�en� soustavy dvou line�rn�ch rovnic rovin~$\varrho$ a $\sigma$ 
o t�ech nezn�m�ch $x, y, z$. 
Nebo m��eme vypo��tat sm�rov� vektor pr�se�nice jako
vektorov� sou�in $\vec u=\vec m\times\vec n$, proto�e pr�se�nice mus� b�t
kolm� k~ob�ma norm�lov�m vektor�m. I v tomto p��pad� ale mus�me naj�t
je�t� aspo� partikul�rn� �e�en� zm�n�n� soustavy dvou line�rn�ch
rovnic, abychom mohli pr�se�nici popsat ve tvaru \hbox{$p=P+\lob<\vec u>$}.

Pokud jsou vektory $\vec m$ a $\vec n$ line�rn� z�visl�, roviny jsou
rovnob�n� nebo spl�vaj�. Druh� p��pad pozn�me tak, �e je $B\in\varrho$.
Vzd�lenost rovnob�n�ch rovin $\varrho$ a $\sigma$ vypo��t�me jako
vzd�lenost bodu $B\in\sigma$ od roviny $\varrho$, viz
p��klad\cite[bod-rovina]. 

�hel mezi dv�ma r�znob�n�mi rovinami $\varrho$ a $\sigma$ je shodn� 
s �hlem $\phi$ mezi vektory $\vec m$ a $\vec n$ a� na to, �e pokud
vych�z� tento �hel v�t�� ne� $\pi/2$, bereme m�sto n�j hodnotu
$\pi-\phi$ (podobn� jako p�i m��en� �hlu mezi p��mkami). Dost�v�me
tedy vzorec:
$$
  \phi = \arccos {|\vec m\cdot\vec n| \over \|\vec m\|\, \|\vec n\|}\,.
  \rce(uhelrovin)
$$
\par\inl[�hel: rovin, vzd�lenost: rovin, pr�se�nice: rovin]

\priklad
%%%%%%%%
Jsou d�ny roviny $\varrho$ a $\sigma$ sv�mi rovnicemi v kart�zsk�ch
sou�adnic�ch:
$$
  \eqalign{
   \varrho: \qquad &  x + y + 2z - 1 = 0, \cr
   \sigma:  \qquad &  x - y \phantom{{}+ 2z} + 1 = 0. 
}
\rce(soustavarovin)
$$
Vy�et��me jejich vz�jemnou polohu.

Norm�lov� vektor roviny~$\varrho$ je $(1,1,2)$ a norm�lov� vektor
roviny~$\sigma$ je $(1,-1,0)$. Tyto dva vektory jsou line�rn�
nez�visl�, tak�e se roviny prot�naj�. Mno�ina v�ech �e�en� 
soustavy\cite(soustavarovin) je 
$$
  p=(0,1,0) + \lob<(-1,-1,1)>, 
$$
co� je pr�se�nice rovin~$\varrho$ a $\sigma$. �hel mezi rovinami je
$$
  \phi = \arccos {|(1,1,2)\cdot(1,-1,0)| \over 
                  \|(1,1,2)\|\,\,\|(1,-1,0)\|} =
         \arccos 0 = {\pi\over2}, 
$$
tak�e roviny jsou na sebe kolm�.

\priklad
%%%%%%%%
Jsou d�ny roviny $\varrho$ a $\sigma$ sv�mi rovnicemi v kart�zsk�ch
sou�adnic�ch:
$$
  \eqalign{
   \varrho: \qquad & \mathbin{\phantom{-}}x + y - 2z - 1 = 0 \cr
   \sigma:  \qquad &  -x - y + 2z  + 3 = 0 
}
\rce(soustavarovin2)
$$
Vy�et��me jejich vz�jemnou polohu.

Norm�lov� vektor roviny~$\varrho$ je $(1,1,-2)$ a norm�lov�
vektor roviny~$\sigma$ je $(-1,-1,2)$. Tyto dva vektory jsou line�rn�
z�visl�, tak�e roviny~$\varrho$ a $\sigma$ jsou rovnob�n�. Proto�e
soustava\cite(soustavarovin2) nem� ��dn� �e�en�, roviny nespl�vaj�.

Najdeme si n�jak� body $A\in\varrho$, $B\in\sigma$. P�i $y=0$, $z=0$
vych�z� pro rovinu~$\varrho$ sou�adnice $x=1$ a pro rovinu $\sigma$
vych�z� $x=3$. M�me tedy $A=(1,0,0)$, $B=(3,0,0)$.
Vzd�lenost dvou rovnob�n�ch rovin spo��t�me jako vzd�lenost bodu $B$
od roviny $\varrho$ podle vzorce\cite(bod-od-roviny):
$$
  v = {|(B-A)\cdot \vec n| \over \|\vec n\|} =
      {|(2,0,0)\cdot (1,1,-2)| \over \|(1,1,-2)\|} =
      {2\over \sqrt{1^2+1^2+2^2} } = {2\over \sqrt{6}}\,.
$$

\okraj Soum�rn� body | Soumerne body

\priklad
%%%%%%%%
Najdeme bod $Q'$, kter� je soum�rn� s~bodem $Q$ podle
roviny~$\varrho$. Nech� m� tato rovina v~kart�zsk�ch sou�adnic�ch
rovnici $x-2y+z-1=0$ a nech� je $Q=(-1,5,0)$.

Body $Q$ a $Q'$ le�� na spole�n� kolmici~$k$ k rovin�~$\varrho$, jsou
stejn� vzd�leny od roviny a le�� v~opa�n�ch ��stech prostoru $\E_3$, 
kter� rovina~$\varrho$ ohrani�uje. 

Sm�rov� vektor kolmice $k$ je roven norm�lov�mu vektoru
roviny~$\varrho$, tak�e je 
$$
k=(-1,5,0)+\lob<(1,-2,1)>.
$$
Dosad�me
hodnoty $x,y,z$ z~parametrick�ch rovnic kolmice do rovnice roviny:
$$
  x=-1+t, \quad y=5-2t, \quad z=t, \quad 
  (-1+t) -2\,(5-2t) + t -1 = -12 + 6t = 0, \quad\hbox{tj.}\quad
  t = 2.
$$
Pokud pro $t=2$ z�sk�me pr�se��k kolmice s rovinou, pak pro
dvojn�sobnou hodnotu parametru $t=4$ dostaneme hledan� bod $Q'$. Je
tedy $Q'=(-1,5,0) + 4\,(1,-2,1) = (3,-3,4)$.
\inl[bod: soum�rn�: podle roviny]

\priklad
%%%%%%%%
Najdeme bod $Q'$, kter� je soum�rn� sdru�en� podle p��mky 
$p=A+\lob<\vec u>$ s~bodem~$Q$. 

Body $Q$ a $Q'$ le�� na spole�n� p��mce $k$, kter� je kolm�
na p��mku~$p$ a prot�n� ji. Maj� stejnou vzd�lenost od pr�se��ku $P$ a le�� na
opa�n�ch polop��mk�ch p��mky $k$, kter� maj� po��tek v~bod�~$P$. 
P��mka~$k$ le�� v~rovin�~$\sigma$, kter� je kolm� na vektor 
$\vec u$, tak�e $\vec u$ je norm�lov�m vektorem t�to roviny. Pr�se��k~$P$
spo��t�me jako pr�se��k roviny $\sigma$ s~p��mkou $p$ a pro hledan� 
bod $Q'$ plat� $Q' = P + (P-Q)$.

Nech� jsou nap��klad d�ny kart�zsk� sou�adnice 
$Q=(-4,5,8)$, $A=(-6,1,1)$, $\vec u=(5,1,3)$. Rovnice roviny $\sigma$
je $5x+y+3z+d=0$. Proto�e $Q\in\sigma$, dost�v�me $d=-9$, tak�e rovina
$\sigma$ je ur�ena rovnic� $5x+y+3z-9=0$. Spo��t�me d�le pr�se��k
p��mky~$p$ s rovinou~$\sigma$:
$$
  5\,(-6+5t) + (1+t) + 3\,(1+3t) - 9 = -35 + 35t = 0, 
  \quad\hbox{tj.}\quad t = 1.
$$
Pr�se��k p��mky $p$ s rovinou $\sigma$ tedy je 
$P=(-6,1,1) + 1\,(5,1,3) = (-1,2,4)$. Nyn� spo��t�me sou�adnice
hledan�ho bodu:
$$
  Q' = (-1,2,4) + (P-Q) = (-1,2,4) + (3,-3,-4) = (2,-1,0).
$$
\par\inl[bod: soum�rn�: podle p��mky]

\okraj T�i roviny | Tri roviny

\priklad
%%%%%%%%
Uk�eme geometrickou interpretaci mno�iny �e�en� soustavy t��
line�rn�ch rovnic o t�ech nezn�m�ch.

Ztoto�n�me-li uspo��danou trojici $(x,y,z)$ s bodem v $\E_3$, pro
kter� jsou $(x,y,z)$ jeho sou�adnice vzhledem k n�jak�mu pevn�
zvolen�mu sou�adnicov�mu syst�mu, m��eme mluvit o mno�in�ch �e�en�
soustavy jako o bodech, p��mk�ch a rovin�ch. Pak jsou jednotliv�
rovnice soustavy t� rovnicemi rovin. T�i rovnice v soustav� znamenaj�, �e
pracujeme se t�emi rovinami. Mno�ina v�ech �e�en� takov� soustavy je pak
spole�n�m pr�nikem v�ech t�� rovin.

Dv� rovnice jsou rovnicemi stejn� roviny pr�v� tehdy, kdy� jedna
rovnice je n�sobkem druh�. Pro dal�� rozbor tento p��pad vylou��me a
budeme tedy pracovat se t�emi rovinami, z~nich� ��dn� dv� nejsou
toto�n�. Ozna��me je�t� symbolem $M_0$ line�rn� prostor �e�en� p�idru�en�
homogenn� soustavy.

P��pad $\dim M_0 = 3$ m��eme vylou�it, proto�e rovnice roviny nemohou
m�t v�echny koeficienty nulov�. 

M�-li soustava �e�en�, pak nem��e $\dim M_0 = 2$, proto�e to by
znamenalo, �e v�echny t�i roviny jsou toto�n�. Takov� p��pad 
jsme p�ed chv�l� rovn� vylou�ili.

M�-li soustava �e�en� a je-li $\dim M_0 = 1$ 
(tj. hodnost matice soustavy je rovna~2), pak
mno�ina v�ech �e�en� tvo�� p��mku, kter� je spole�nou pr�se�nic� v�ech
t�� rovin.

M�-li soustava jedin� �e�en� (tj. hodnost matice soustavy je rovna~3), pak
toto �e�en� tvo�� bod~$P$, kter� je spole�n�m
pr�se��kem v�ech t�� rovin. Ka�d� dv� roviny maj� spole�nou pr�se�nici
a tyto t�i pr�se�nice se rovn� prot�naj� v~bod�~$P$.

Je-li mno�ina �e�en� pr�zdn� (tj. hodnost matice soustavy je 2 a
roz���en� matice soustavy je~3), pak roviny jsou bu� v�echny t�i vz�jemn�
rovnob�n�, nebo jsou dv� roviny rovnob�n� a t�et� je prot�n� nebo se
tyto t�i roviny prot�naj� ka�d� s ka�dou v n�jak� pr�se�nici a tyto
t�i pr�se�nice jsou rovnob�n�. K rozli�en� t�chto p��pad� m��eme
pou��t testy na line�rn� z�vislost a nez�vislost norm�lov�ch vektor�
odpov�daj�c�ch rovin podobn�, jako v p��klad�\cite[dveroviny].

\icviceni 9

\fi

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola Polynomy | Polynomy
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\poznamka
%%%%%%%%%
S polynomy jsme se v tomto textu u� na mnoha m�stech
setkali. Pracovali jsme s~nimi jako s funkcemi dan�mi jist�m vzorcem
a shledali jsme, �e mno�ina polynom� tvo�� line�rn� prostor.
V~t�to kapitole se na polynomy pod�v�me pon�kud d�kladn�ji a budeme
vy�et�ovat zejm�na vlastnosti jejich ko�en�.

\okraj Definice\hb polynomu | Definice polynomu

\poznamka
%%%%%%%%%
Na polynom se m��eme d�vat dv�ma pohledy. Bu� jako na funkci danou
jist�m vzorcem (definice\cite[dpolf]) nebo polynom ztoto�n�me s t�m 
vzore�kem samotn�m (definice\cite[dpolv]).
Ka�d� p��stup vede k jin�mu zp�sobu porovn�v�n� dvou polynom�, s��t�n�
polynom� a n�soben� polynomu konstantou nebo polynomem.

Zavedeme tedy line�rn� prostor polynom� jednak jako podprostor funkc� 
se s��t�n�m a n�soben�m obvykl�m pro funkce. D�le zavedeme 
jin� line�rn� prostor polynom� jako vzore�k� se s��t�n�m 
a n�soben�m t�ch vzore�k�. Nakonec uk�eme, �e tyto dva line�rn� 
prostory jsou izomorfn�, tedy, �e mezi polynomy
jako funkcemi a polynomy jako vzore�ky existuje vz�jemn� jednozna�n� 
vztah.

Pokud se �ten�� nechce zat�ovat intuitivn� samoz�ejm�mi �vahami o
tom, �e polymom vn�man� jako vzore�ek podle definice\cite[dpolv] 
je v�cem�n� tot�, co polynom vn�man� jako funkce 
podle definice\cite[dpolf], m��e n�sleduj�c� text
p�esko�it a pokra�ovat a� definic�\cite[defstup].

\definice [dpolf]
%%%%%%%%%
{\em Polynom\/} je re�ln� funkce re�ln� prom�nn�, tedy
$p:\R\to\R$, kter� m� pro v�echna $x\in\R$ funk�n� hodnotu $p(x)$ 
danou vzorcem
$$
  p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n,
  \rce(defpol)
$$
kde $a_0, \ldots, a_n$ jsou n�jak� re�ln� ��sla, kter�
naz�v�me {\em koeficienty\/} polynomu. Jin�mi slovy: 
je-li funkce $p$ polynomem, existuje p�irozen� ��slo $n$ a 
konstanty $a_0, \ldots, a_n$ tak, �e pro funk�n� hodnoty $p(x)$ plat�
uveden� vzorec pro v�echna $x\in\R$.
\inl[polynom, koeficienty: polynomu]

\poznamka [polfplus]
%%%%%%%%%
Dva polynomy $p$ a $q$ podle t�to definice se rovnaj�, pokud se rovnaj� jako
funkce, tedy pokud $p(x)=q(x)$ pro v�echna $x\in\R$. Sou�et dvou
polynom� $p$ a $q$ je funkce $p+q$, pro kterou je
$(p+q)(x) = p(x)+q(x)$ pro v�echna $x\in\R$. Kone�n� pro $\alpha\in\R$
je $\alpha$-n�sobek polynomu $p$ takov� funkce $\alpha p$, pro kterou plat�
$(\alpha p)(x) = \alpha\cdot p(x)$ pro v�echna $x\in\R$.

\priklad
%%%%%%%%
Funkce, jej�� hodnota v bod� $x\in\R$ je dan� vzorcem $x^3-2x^2-4$,
je polynom. Jeho koeficienty jsou $a_0=-4$, $a_1=0$, $a_2=-2$ a $a_3=1$.
Pov�imn�me si, �e je zde pou�it vzorec\cite(defpol) v~opa�n�m
po�ad� \uv{od nejvy��� mocniny prom�nn� k mocnin�m ni���m}. 
Toto je dost �ast� z�pis vzorc� pro polynomy. Vzhledem 
k tomu, �e s��t�n� re�ln�ch ��sel je komutativn�, na po�ad� s��tanc�
nez�le��.

\priklad
%%%%%%%%
Funkce $\exp$, jej�� hodnota v bod� $x\in\R$ je dan� vzorcem
$\exp(x)=e^x$, nen� polynom. To znamen�, �e neexistuje kone�n� mno�stv�
konstant $a_0,a_1,\ldots,a_n$ takov�, �e $e^x$ lze vypo��tat podle
vzorce\cite(defpol) pro v�echny $x\in\R$.
Abychom to dok�zali, vyp�j��me si znalosti
z anal�zy. Je z�ejm�, �e pokud opakovan� derivujeme
vzorec\cite(defpol) podle prom�nn�~$x$ v�ce ne�
$n$~kr�t, dost�v�me nulovou funkci. Tak�e ka�d� polynom $p$ m� tu
vlastnost, �e pro n�j existuje p�irozen� ��slo $k$ takov�, �e $k$-t� derivace
polynomu~$p$ je nulov� funkce.
Je zn�mo, �e funkce $\exp$ je odoln� v��i libovoln�mu mno�stv�
derivov�n�: dost�v�me zase funkci $\exp$, kter� je nenulov�. 
Tak�e tato funkce nem��e b�t polynom. Z analogick�ch d�vod� nap��klad
funkce sinus a kosinus nejsou polynomy.
Poznamenejme je�t�, �e hodnoty uveden�ch funkc� se daj� p�ibli�n� po��tat 
pomoc� polynom� (tzv. {\em Taylorovy polynomy\/}). Toto t�ma ov�em
p�ekra�uje r�mec tohoto textu.
\inl[polynom: Taylor�v, Taylor�v: polynom]

\poznamka
%%%%%%%%%
N�sleduje alternativn� definice polynomu, v algeb�e mo�n� obvyklej��:

\definice [dpolv]
%%%%%%%%%
{\em Polynom\/} je vzore�ek
$$
  a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n,
  \rce(defpolv)
$$
kde $a_0, \ldots, a_n$ jsou n�jak� re�ln� ��sla, kter�
naz�v�me {\em koeficienty\/} polynomu a $x$ je form�ln� prom�nn�
(kter� samoz�ejm� m��e b�t ozna�ena jin�m p�smenem). 

Polynom v tomto pojet� je ur�en jednozna�n� kone�n� mnoha koeficienty
$a_0, \ldots, a_n$, pomoc� kter�ch lze uveden� vzore�ek sestavit.

{\em Hodnota polynomu s koeficienty $a_0, \ldots, a_n$ v bod� $\alpha$}
je ��slo $a_0 + a_1 \alpha + a_2 \alpha^2 + \cdots + a_n \alpha^n$.

\definice [polvplus]
%%%%%%%%%
P�edpokl�dejme definici polynom�\cite[dpolv]. Nech� polynom $p$
m� koeficienty $a_0, \ldots, a_m$ a polynom $q$ m� koeficienty
$b_0, \ldots, b_n$. Bez �jmy na obecnosti p�edpokl�dejme, �e $m\le n$.
Definujeme:

{\em Rovnost polynom�\/}: ��k�me, �e $p=q$ (tj. polynomy se rovnaj�), pokud
$a_i=b_i$ pro $i\in\{0,\ldots,m\}$ a p�i $m<n$ je nav�c 
$b_i=0$ pro $i\in\{m+1,\ldots,n\}$.

{\em Sou�et polynom�\/}: Polynom $p+q$ m� koeficienty
$a_0+b_0, \ldots, a_m+b_m, b_{m+1}, \ldots, b_n$.

{\em N�sobek polynomu $p$ ��slem $\alpha$} je polynom s koeficienty
$\alpha a_0, \alpha a_1, \ldots, \alpha a_m$.

\poznamka
%%%%%%%%%
Tato definice vymezuje algoritmy, kter� poznaj� rovnost
polynom� a provedou sou�et a $\alpha$-n�sobek polynomu. V�imn�te si, 
�e t�mto algoritm�m sta�� pracovat s polynomy jen pomoc� jejich koeficient�.
Nemusej� implementovat kompletn� cel� vzore�ek\cite(defpolv). 

\priklad
%%%%%%%%
Dva polynomy $0x^3+0x^2-2x+3$ a $-2x+3$ se rovnaj�, a�koli ten prvn�
m� �ty�i koeficienty a ten druh� jen dva. Koeficienty $a_0$ a $a_1$
maj� ale oba polynomy stejn�. 

Sou�tem polynom� $x^3+3x^2-2x$ a $5x+7$
je polynom  $x^3+3x^2+3x+7$, proto�e m� n�sleduj�c� koeficienty 
(po �ad� od koeficientu s indexem nula): $0+7$, $-2+5$, $3$, $1$. 

\veta [PX]
%%%%%
Mno�ina vzore�k� tvaru\cite(defpolv), ve kter� dva vzore�ky pova�ujeme
za toto�n� podle pravidla v definici\cite[polvplus] a na kter� je
definov�no s��t�n� a n�soben� konstantou podle stejn� definice\cite[polvplus],
tvo�� line�rn� prostor. Tuto mno�inu ozna��me symbolem ${\cal P}_X$.

\dukaz
Sou�et dvou prvk� z ${\cal P}_X$ je prvek v ${\cal P}_X$,
$\alpha$-n�sobek prvku z ${\cal P}_X$ je prvek v ${\cal P}_X$.
D�le je t�eba ov��it platnost axiom� (1) a� (7) z definice\cite[dlp].
To p�enech�me pe�liv�mu �ten��i.

\poznamka
%%%%%%%%%
Definice\cite[polvplus] rovnosti, sou�tu a n�sobku vych�z� p�irozen� z toho,
jak bychom porovn�vali, s��tali a n�sobili vzore�ky
tvaru\cite(defpolv). Je to ov�em jin� definice, ne� vypl�v� 
z~pozn�mky\cite[polfplus]. Ur�itou pr�ci n�m d� uv�st oba tyto sv�ty do 
souvislosti.

V definici\cite[dpolv] mluv�me o {\em hodnot� polynomu}. T�m je
ka�d�mu re�ln�mu ��slu $\alpha$ p�i�azena funk�n� hodnota polynomu,
tedy polynom dan� vzore�kem se st�v� funkc�. 
To popisuje jednozna�n� p�echod od polynomu v
podob� vzore�ku k polynomu jako funkci. Ukazuje se, �e obr�cen� (od
funkce ke vzore�ku) to je malinko slo�it�j��:

\veta [poljeden]
%%%%%
Ka�d� funkce $p: \R\to\R$, kter� je polynomem podle
definice\cite[dpolf], m� sv� koeficienty ur�eny jednozna�n�.
P�esn�ji: pokud funkce $p$ je polynomem jednak s koeficienty
$a_0,\ldots,a_m$ a tak� s~koeficienty $b_0,\ldots,b_n$,
pak pro tyto koeficienty plat� rovnost podle definice\cite[polvplus].

\dukaz
K d�kazu v�ty pot�ebujeme nejprve ov��it n�sleduj�c� tvrzen�:

\veta [pnulovy]
%%%%%
Nulov� funkce $\R\to\R$ je polynom, kter� mus� m�t v�echny 
koeficienty nulov�.

\dukaz
Uva�ujme nulovou funkci $p$, kter� je d�na vzorcem\cite(defpol). 
M�me dok�zat, �e v�echny koeficienty $a_0,a_1,\ldots,a_n$ jsou nulov�.
P�edev��m je $p(0)=a_0$ (sta�� do vzorce dosadit $x=0$).
Proto�e $p(0)=0$, je nutn� $a_0=0$. 
Hodnotu funkce $p$ v bod� $x$ m��eme tedy 
zapsat ve tvaru:
$$
  0 = p(x) = x\,(a_1 + a_2 x + \ldots + a_n x^{n-1}) = x\cdot q(x).
$$
Polynom $q$ mus� m�t nulov� hodnoty pro v�echna $x\not=0$. 
Proto�e $q$ je spojit� funkce, je tak� $q(0)=0$. Po dosazen� $x=0$
do vzorce pro $q(x)$ dost�v�me $a_1=0$. Nyn� m��eme ps�t
$$
  0 = p(x) = x^2(a_2 + a_3 x + \ldots + a_n x^{n-1}) = x^2\cdot q_2(x)
$$
a �vahu m��eme zopakovat. Dost�v�me $a_2=0$. Matematickou indukc� lze
uk�zat, �e $a_k=0$ pro v�echna $k\in\{0,1,\ldots,n\}$.

\bigskip\noindent {\bf Pokra�ov�n� d�kazu v�ty\cite[poljeden].}
Nech�
$p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_mx^m=b_0+b_1x+\cdots+b_nx^n$
pro v�echna $x\in\R$. Bez �jmy na obecnosti lze p�edpokl�dat
$m\le n$.
Ode�ten�m dostaneme
$$
  p(x)-p(x) = (b_0-a_0) + (b_1-a_1)\, x + \ldots + (b_m-a_m)\, x^m
  + b_{m+1} x^{m+1} + \dots + b_n x^n
  \quad\forall x\in\R,
$$
co� je nulov� funkce. Podle v�ty\cite[pnulovy] m� tento nulov� polynom
v�echny koeficienty nulov�, tedy mus� $a_k=b_k$ 
pro v�echna $k\in\{0,1,\ldots,m\}$ a mus� $b_k=0$ pro
v�echna  $k\in\{m+1,\ldots,n\}$.

\veta [pollin]
%%%%%
Zobrazen� z line�rn�ho prostoru ${\cal P}_X$ (viz v�tu\cite[PX]) do
line�rn�ho prostoru funkc�, kter� vzore�ku\cite(defpolv) p�i�ad� funkci
$p: \R\to\R$ p�edpisem\cite(defpol), je line�rn�.

\dukaz
%%%%%%
Je t�eba dok�zat, �e sou�tem polynom� $p$ a $q$ 
podle definice\cite[polvplus] dost�v�me polynom 
$p+q$, pro kter� plat� $(p+q)(x) = p(x)+q(x)$
pro v�echna $x\in\R$. Nech� polynom $p$ m� koeficienty
$a_0,\ldots,a_m$ a polynom $q$ m� koeficienty $b_0,\ldots,b_n$.
Bez �jmy na obecnosti lze p�edpokl�dat $m\le n$.
Je
$$
  \eqalign{
  &(a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_m x^m) +
  (b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + \cdots + b_n x^n) =\cr &\quad =
  (a_0+b_0) + (a_1+b_1)\,x + (a_2+b_2)\,x^2 + \cdots + (a_m+b_m)\, x^m +
  b_{m+1}x^{m+1} + \dots + b_n x^n,
}
$$
pro v�echna $x\in\R$, tak�e po�adovan� rovnost plat�.
Tak� je
$$
  \alpha\,(a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_m x^m)
  = \alpha\,a_0 + \alpha\,a_1 x + \alpha\,a_2 x^2 + \cdots + \alpha\,a_m x^m,
$$
pro v�echna $x\in\R$, jin�mi slovy $\alpha\,p(x) = (\alpha p)(x)$
pro v�echna $x\in\R$. Zobrazen� je tedy line�rn�.

\veta [polyniso]
%%%%%
Zobrazen� z line�rn�ho prostoru ${\cal P}_X$ (viz v�tu\cite[PX])
do line�rn�ho prostoru polynom� jako funkc�, kter� vzore�ku p�i�ad� funkci
p�edpisem\cite(defpol), je izomorfismus.

\dukaz
Zm�n�n� zobrazen� je prost� (v�ta\cite[poljeden]), je na (proto�e
ka�d� polynom jako funkce m� sv�j vzore�ek) a je line�rn�
(v�ta\cite[pollin]). 

\poznamka
%%%%%%%%%
D�sledkem t�to v�ty je tvrzen�, �e sou�et polynom� (jako funkce) je
polynom a tak� $\alpha$-n�sobek polynomu je polynom. Sta�� od funkc�
p�ej�t pomoc� inverzn�ho izomorfismu ke vzore�k�m, tam prov�st 
sou�et (nebo $\alpha$-n�sobek) a v�sledek p�en�st zp�t do 
prostoru polynom� jako funkc�.

\okraj Stupe�\hb polynomu | Stupen polynomu

\definice [defstup]
%%%%%%%%%
Nech� polynom $p$ m� koeficienty $a_0,a_1,\ldots,a_n$.
{\em Stupe� polynomu\/} je nejv�t�� index $k$ takov�, �e
$a_k\not=0$. M�-li polynom v�echny koeficienty nulov� 
(tzv. {\em nulov� polynom\/}), prohl�s�me, �e jeho stupe� 
je roven $-1$.
\inl[stupe�: polynomu]

\priklad
%%%%%%%%
Polynom $0x^5+0x^4 + 5x^3-4x^2+2x+7$ m� koeficienty
$a_0=7$, $a_1=2$, $a_2=-4$, $a_3=5$, $a_4=0$, $a_5=0$.
Tak�e nejv�t�� index nenulov�ho koeficientu je~$3$. 
Polynom m� stupe� t�i.

\okraj Sou�in\hb polynom� | Soucin polynomu

\definice
%%%%%%%%%
{\em Sou�in polynom�\/} $p$ a $q$ je funkce $u$ dan� p�edpisem
$u(x)=p(x)\,q(x)$ pro v�echna $x\in\R$. Sou�in polynom� $p$ a $q$
zna��me $pq$.
\inl[sou�in: polynom�]

\veta [psoucin]
%%%%%
Nech� $p$ m� koeficienty $a_0,a_1,\ldots,a_m$ a $q$ m� koeeficienty
$b_0,b_1,\ldots,b_n$. Pak sou�in polynom� $pq$ je polynom 
s koeficienty $c_k$ pro $k\in\{0,1,\ldots,m+n\}$ takov�mi, �e 
$$
  c_k = a_0 b_k + a_1 b_{k-1} + \cdots + a_k b_0,
$$
p�i�em� v tomto vzorci klademe $a_i=0$ pro $i>m$ a $b_i=0$ pro $i>n$.

\dukaz 
Je $p(x)=a_0 + a_1 x + \cdots + a_m x^m$ a $q(x) = b_0 + b_1 x + \cdots + b_n x^n$.
Pro v�echna $x\in\R$ spo��t�me $p(x)\,q(x)$. Pro v�t�� pohodl�
p�itom zna��me $a_i=0$ pro $i>m$ a $b_i=0$ pro $i>n$.
$$
\eqalign{
p(x)\,q(x) &= (a_0 + a_1 x + \cdots+ a_m x^m) \cdot (b_0 + b_1 x + \cdots+ b_n+ x^n) =
(a_0 b_0) + (a_0 b_1 + a_1 b_0)\, x + {}\cr &+ (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0)\, x^2 +
\cdots + (a_0 b_{m+n} + a_1 b_{m+n-1} +\cdots+ a_{m+n} b_0)\, x^{m+n}.
}$$

\okraj Stupe�\hb sou�tu,\hb n�sobku a sou�inu | Stupen souctu, nasobku a soucinu

\veta [pstupen]
%%%%%
Nech� $p$ je polynom stupn� $m$ a $q$ je polynom stupn� $n$. Pak
$p+q$ je polynom stupn� nejv��e $\max(m,n)$, $\alpha\,p$ je polynom
stupn� $m$ pro $\alpha\not=0$ a je to polynom stupn� $-1$ pro
$\alpha=0$. Kone�n� pro nenulov� polynomy $p$ a $q$ je $pq$
polynom stupn� $m+n$. Je-li $p$ nebo $q$ nulov�, pak $pq$ je polynom
stupn�~$-1$.

\dukaz
Tvrzen� plyne p��mo z v�t o po��t�n� koeficient� sou�tu a sou�inu
polynom� a z definice stupn� polynomu.

\poznamka
%%%%%%%%%
Je pot�eba si uv�domit, �e stupe� sou�tu polynom� nemus� dosahovat
maximum stup�� jednotliv�ch polynom�, kter� s��t�me. Kup��kladu
$$
  (x^3 + 2x^2 - x + 1) + (-x^3 -2x^2 + 2x +3) = x + 4.
$$
Sou�et t�chto polynom� stupn� 3 je polynom stupn� 1.
Je dobr� si tak� uv�domit, �e stupe� sou�tu ur�it� nab�v� maxima
stup�� jednotliv�ch polynom�, kter� s��t�me, pokud 
stupn� s��tan�ch polynom� jsou r�zn�.
 
\okraj ��ste�n� pod�l polynom� | Castecny podil polynomu

\poznamka [castecnypodilp]
%%%%%%%%%
Pod�l dvou polynom� (definovan� jako pod�l funkc�) nemus� b�t polynom.
Nech� jsou d�ny polynomy $p$ a $q$, p�itom $q$ je nenulov�.
Je mo�n� prov�st aspo� ��ste�n� pod�l t�chto polynom� se zbytkem, tedy naj�t
takov� polynomy $r$ a $z$, aby polynom $z$ m�l men�� stupe� ne�
$q$ a aby platilo
$$
  {p(x)\over q(x)} = r(x) + {z(x) \over q(x)}
$$
pro v�echna $x\in\R$ takov�, �e $q(x)\not=0$. V tomto kontextu ��k�me
polynomu $r$ {\em ��ste�n� pod�l\/} polynom� $p$ a $q$. Polynomu $z$
��k�me {\em zbytek\/} po d�len� polynomu $p$ polynomem $q$.
N�sleduj�c� v�ta ukazuje, �e pro ka�d� polynomy $p$ a $q$ ($q$
nenulov�) existuje jejich ��ste�n� pod�l a zbytek po jejich d�len�. 
P�itom jsou polynomy $r$ a $z$ ur�eny jednozna�n�.
\inl[pod�l: polynom�, ��ste�n� pod�l: polynom�, zbytek p�i d�len� polynom�]

\veta [delenip]
%%%%%
Nech� $p$, $q$ jsou polynomy, $q$ nenulov�. Pak existuje pr�v� jeden
polynom $r$ a pr�v� jeden polynom $z$ tak, �e
(i) $p=rq+z$, (ii) stupe� $z$ je men�� ne� stupe� $q$.

\dukaz
Existence polynom� $r$ a $z$ vypl�v� z n�sleduj�c�ho algoritmu, pomoc�
kter�ho je mo�n� tyto polynomy na z�klad� dan�ch polynom� $p$ a $q$
naj�t.
\inl[metoda: po��t�n�: ��ste�n�ho pod�lu polynom�]

\medskip
\def\bodik(#1) {\par\indent\llap{(#1) }\hangindent=\parindent\hangafter=1\relax}

\bodik (1) Polo�me $r=0$ (nulov� polynom) a $z=p$. 
    D�le ozna�me p�smenem $n$ stupe� polynomu $q$ a 
    p�smenem~$c$ jeho koeficient s~indexem $n$ (tj. nenulov� koeficient u
    nejvy��� mocniny polynomu $q$).

\bodik (2) Je-li stupe� $z$ men�� ne� $n$, algoritmus kon��.

\bodik (3) Nech� $m$ je stupe� polynomu $z$ a nech� $d$ je jeho koeficient s indexem
    $m$ (koeficient u nejvy��� mocniny).
    Plat� $m\ge n$, proto�e nen� spln�na podm�nka z kroku~(2).
    K polynomu $r$ p�i�teme polynom dan� vzorcem $(d/c)\,x^{m-n}$ 
    a od polynomu $z$ ode�teme polynom dan� vzorcem 
    $(d/c)\,x^{m-n}\, q(x)$. Vznikaj� nov� polynomy $r_1$ a $z_1$, kter�
    d�le ozna��me $r$ a $z$ a vrac�me se ke kroku~(2).

\medskip
\noindent
V kroku~(3) se sni�uje stupe� polynomu $z$,
proto�e se od tohoto polynomu ode��t� s��tanec s nejvy���
mocninou. T�m je zaru�eno, �e stupe� polynomu $z$ postupn� kles� a
algoritmus ur�it� skon��. Krok~(2) nav�c zaru�uje, �e je spln�no~(ii)
z~tvrzen� v�ty. Dal�� vlastnost� algoritmu je skute�nost, �e v ka�d�m
okam�iku plat� pro polynomy $r$ a $z$ podm�nka~(i), tak�e tato
podm�nka je spln�na i po ukon�en� algoritmu. P�edev��m v kroku~(1)
je $r=0$ a $z=p$, tak�e $rq+z=0q+p=p$ a podm�nka~(i) je spln�na.
D�le v~kroku~(3) m�me zaru�eno, �e $p=rq+z$ a uk�eme, �e plat� tak�
$p=r_1q + z_1$. Pro v�echna $x\in\R$ je
$$
  \eqalign{
  r_1(x)\,q(x) + z_1(x) &= 
  \left(r(x)+{d\over c}\,x^{m-n}\right)\,q(x) + \left(z(x)-{d\over c}\,x^{m-n}\,q(x)\right) =\cr 
  &= r(x)\,q(x) + {d\over c}\,x^{m-n}\,q(x) + z(x) - {d\over c}\,x^{m-n}\,q(x) =
  r(x)\,q(x) + z(x) = p(x).
}$$

Jednozna�nost polynom� $r$ a $z$ je jednoduch�m d�sledkem v�ty o
stupni sou�tu a sou�inu polynom�. Kdyby existovaly polynomy $r_2$ a
$z_2$, kter� rovn� spl�uj�~(i) a~(ii), pak je
$p=rq+z = r_2q+z_2$, tak�e $(r-r_2)\,q = z_2-z$. Kdyby
$r-r_2$ nebyl nulov� polynom, pak stupe� polynomu $(r-r_2)q$ by byl
v�t�� nebo roven stupni $q$, zat�mco polynom $z_2-z$ m� stupe�
men�� ne� $q$. To je ov�em spor. Tak�e mus� $r-r_2$ b�t nulov� polynom a
pak nutn� t� $z_2-z$ je nulov� polynom. Jin�mi slovy $r=r_2$ a
$z=z_2$, tak�e polynomy $r$, $z$ jsou ur�eny podm�nkami~(i) a~(ii) 
jednozna�n�.

\priklad
%%%%%%%%
Najdeme ��ste�n� pod�l a zbytek p�i d�len� polynomu
$2x^5-3x^4+3x^3-x^2-6x+8$ polynomem $x^2-2x+4$. 

Algoritmus popsan� v d�kazu v�ty\cite[delenip] se zapisuje v�t�inou do
n�sleduj�c�ho sch�matu:
$$
  \def\0{\phantom0}
  \setbox0=\hbox{$(2x^5-3x^4+3x^3-\0x^2-\06x+\08\rlap)$}
  \def\r#1{\setbox2=\hbox{$#1$}\hbox to\wd0{\hss\copy2}}
  \def\l#1{\hbox to\wd0{$#1$\hss}}
  \def\rule{\vskip-5pt\hbox to\wd0{\hss\hbox to\wd2{\hrulefill}}}
  \def\-{\llap{$-$}}
  \hbox{\vtop{
    \hbox{\copy0}
    \l{\llap{$-$}(2x^5-4x^4+8x^3)}
    \smallskip\hrule\smallskip
    \r{x^4-5x^3-\0x^2-\06x+\08}
    \r{\-(x^4-2x^3+4x^2\rlap)\phantom{{}-06x+08}}
    \rule
    \r{-3x^3-5x^2-\06x+\08}
    \r{\-(-3x^3+6x^2-12x\rlap)\phantom{{}+08}}
    \rule
    \r{-11x^2+\06x+\08}
    \r{\-(-11x^2+22x-44\rlap)}
    \rule
    \r{-16x+52}
  }$\hskip8pt\hbox{:}\hskip4pt(x^2-2x+4) = 2x^3+x^2-3x-11$}
$$
V prvn�m ��dku (p�ed symbolem \uv{:}) je v�choz� hodnota polynomu $z$
podle kroku~(1). S��tanec s nejvy��� mocninou polynomu $z$ je $2x^5$ a
ten pod�l�me prvn�m s��tancem polynomu $q$, tj. $x^2$. V�sledek
zap��eme vedle rovn�tka: $2x^3$. T�mto v�sledkem n�sob�me cel� polynom
$q$ a p��eme pod v�choz� polynom $z$ do druh�ho ��dku. Tyto dva
polynomy od��t�me a v�sledek p��eme pod ��ru. Vznik� nov� hodnota polynomu~$z$.
S��tanec s nejvy��� mocninou je nyn� $x^4$ a ten znovu d�l�me $x^2$ a
v�sledek $+x^2$ p�ipisujeme vedle rovn�tka. T�mto v�sledkem znovu
n�sob�me cel� polynom $q$ a p��eme do �tvrt�ho ��dku. Pod ��ru
zap��eme do p�t�ho ��dku rozd�l, tedy novou hodnotu polynomu $z$.
Postupujeme tak dlouho, dokud polynom $z$ m� stupe� v�t�� nebo roven
stupni polynomu $q$. Teprve na dev�t�m ��dku jsme dos�hli skute�n�ho
zbytku, nebo� nyn� tento polynom m� stupe� men�� ne� stupe�
polynomu~$q$. V�sledek ��ste�n�ho pod�lu m��eme zapsat takto:
$$
  {2x^5-3x^4+3x^3-x^2-6x+8 \over x^2-2x+4} =
  2x^3+x^2-3x-11 + {-16x+52 \over x^2-2x+4}.
$$

\definice [podilp]
%%%%%%%%%
Nech� zbytek po d�len� polynomu $p$ polynomem $q$ je nulov� polynom.
Pak ��k�me, �e {\em $q$~d�l� $p$} nebo �e {\em $p$ je d�liteln� polynomem $q$}.
��ste�n� pod�l $r$ v takov�m p��pad� naz�v�me {\em pod�l polynom� $p$
a $q$} a zna��me $p/q$.
\inl[d�litenost: polynom�, pod�l: polynom�]

\poznamka
%%%%%%%%%
Pod�l polynom� $p$ a $q$ (pokud existuje) podle p�edchoz� definice je
polynom. Pokud bychom ov�em definovali pod�l polynom� jako pod�l
funkc�, tj. takovou funkci $f$, jej�� hodnoty $f(x)$ jsou rovny pod�lu
$p(x)/q(x)$ v�ude tam, kde $q(x)\not=0$, pak bychom nemuseli dostat
polynom, proto�e defini�n� obor takov� funkce $f$ nemus� obsahovat
v�echna re�ln� ��sla $\R$. Pravda, pokud je polynom $p$ d�liteln� polynomem
$q$, pak funkci $f$ lze spojit� dodefinovat v bodech $x$, pro kter� je
$q(x)=0$. Takto roz���en� funkce $f$ je pak toto�n� s pod�lem
polynom� podle p�edchoz� definice\cite[podilp]. To plyne z~n�sleduj�c�
v�ty.

\veta
%%%%%
Nech� polynom $p$ je d�liteln� polynomem $q$. Pak $(p/q)\,q=p$.

\dukaz
Polynom $(p/q)=r$ a $z=0$ p�i zna�en� podle v�ty\cite[delenip].
Pak dokazovan� tvrzen� je vlastnost~(i) uveden� v�ty.

\okraj {}Hornerovo sch�ma | Hornerovo schema

\poznamka
%%%%%%%%%
Nech� je d�n polynom $p$ sv�mi koeficienty $a_0,a_1,\ldots,a_n$. 
K nalezen� hodnoty $p(\alpha)$ m��eme pou��t jednak vzorec\cite(defpol)
$$
  p(\alpha) = a_n\alpha^n + a_{n-1}\alpha^{n-1} + 
  a_{n-2}\alpha^{n-2} + \cdots + a_2\alpha^2 + a_1 \alpha + a_0
  \rce(amaterp)  
$$
nebo m��eme tento vzorec p�ez�vorkovat do tvaru
$$
  p(\alpha) = ((\cdots((a_n\alpha + a_{n-1})\,\alpha + a_{n-2})\,\alpha + 
  \cdots + a_2)\,\alpha + a_1)\,\alpha + a_0
  \rce(opravdovyp)
$$
a hodnotu $p(\alpha)$ po��tat postupn� vyhodnocov�n�m z�vorek od
vnit�n� k vn�j��. Snadno zjist�me (rozn�soben�m z�vorek), �e oba
vzorce d�vaj� skute�n� tut� hodnotu $p(\alpha)$, ov�em
vzorec\cite(opravdovyp) je daleko m�n� numericky n�ro�n�. P�edstavme
si, �e stupe� polynomu je 1524. Podle vzorce\cite(amaterp) bychom
museli po��tat nejprve mocninu $\alpha^{1524}$, zat�mco 
vzorec\cite(opravdovyp) n�s do ni�eho takov�ho nenut�.

Program�tor�t� amat��i (kte�� bohu�el �asto fu�uj� program�tor�m do
�emesla) se poznaj� nap��klad podle toho, �e pro vyhodnocen� polynomu
v bod� $\alpha$ pou�ij� vzorec\cite(amaterp) a hloup� argumentuj� t�m,
�e po��ta� je rychl�. Ano, je rychl�, ale jakmile bude pot�eba
vyhodnocovat tis�ce polynom� v tis�c�ch r�zn�ch bodech, a p�itom ty
polynomy budou m�t stupe� kolem tis�ce a bude pot�eba tento postup
opakovat, tak se p��stup k programov�n� hodn� pozn�. 
Na druh� stran� opravdov� program�tor vyhodnot� polynom v bod�
$\alpha$ podle vzorce\cite(opravdovyp) a vyu�ije k tomu je�t�
mo�nosti procesoru. Nap��klad do registru A ulo�� hodnotu $\alpha$ a
registr B pronuluje a vyhrad� pro meziv�po�ty. Pak vyzvedne z pam�ti
hodnotu $a_n$ a p�i�te ji k B. D�le n�sob� A s B a v�sledek ulo�� do
B, d�le vyzvedne z pam�ti $a_{n-1}$ a p�i�te k B, pak op�t n�sob� A 
s B a v�sledek ulo�� do B, atd. K vyhodnocen� polynomu stupn�~$n$ 
v bod� $\alpha$ sta�� prov�st $n$ n�soben� a $n$ s��t�n�.

Bohu�el opravdov�ch program�tor� je m�lo, a proto software mnohdy
vypad� jak vypad�. U�ivatel pak ne��astn� �ek� u sv�ho kompu a nem��e
se do�kat v�sledku. Hled� do blba, proto�e na blba, kter� to
naprogramoval, nem� mo�nost se pod�vat. �asto se mu tak� draze koupen�
software zhrout�, proto�e nap��klad postup podle vzorce\cite(amaterp) nen�
numericky stabiln�.

\poznamka
%%%%%%%%%
Budeme si hr�t na pana Hornera, kter�
pou��val vzorec\cite(opravdovyp) d�vno p�ed t�m, ne� se objevily prvn�
po��ta�e a kter� si zapisoval meziv�sledky do p�ehledn�ho sch�matu.
Z�hy uvid�me, �e ty meziv�sledky i ono p�ehledn� sch�ma se budou hodit.

Ozna�me obsah nejv�ce vnit�n� z�vorky ve vzorci\cite(opravdovyp) symbolem
$b_{n-2}$, obsah dal�� z�vorky ozna�me $b_{n-3}$ a tak d�le a� kone�n�
posledn� z�vorka (vn�j��) obklopuje v�raz ozna�en� $b_0$. 
K tomu dopi�me $b_{n-1}=a_n$.
Pro meziv�sledky $b_k$ tedy plat�: $b_{n-1}=a_n$, $b_{k-1}=a_k+\alpha b_k$
pro $k=n-1, n-2, \ldots, 3, 2, 1$. Cel� v�po�et hodnoty $p(\alpha)$
zap��eme do t����dkov�ho tzv.~{\em Hornerova sch�matu\/}. V prvn�m
��dku jsou koeficienty polynomu $p$ a ve t�et�m ��dku zm�n�n�
meziv�po�ty $b_i$.
$$
  \vbox{\halign{&\ \hfil$#$\hfil\ \cr
           & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_2 & a_1 & a_0 \cr
   \alpha: &     & \alpha b_{n-1} & \alpha b_{n-2} & \ldots & 
                                      \alpha b_2 & \alpha b_1 & \alpha b_0 \cr
   \noalign{\smallskip\hrule\smallskip}
           & b_{n-1} & b_{n-2} & b_{n-3} & \ldots & b_1 & b_0 & p(\alpha) \cr
   }}
$$
Sch�ma v druh�m a t�et�m ��dku pln�me postupn� zleva doprava tak, �e
do druh�ho ��dku �ikmo p�episujeme hodnotu t�et�ho ��dku n�sobenou
$\alpha$ a n�sledn� sm�rem dol� s��t�me.
\inl[Hornerovo: sch�ma, sch�ma: Hornerovo]

\priklad [horner1]
%%%%%%%%
Najdeme hodnotu polynomu $2x^8-3x^7-11x^6+5x^5+11x^3-2x^2-9x-2$
v bod� $3$ za pou�it� Hornerova sch�matu.
$$
  \def\0{\phantom{-0}}\def\={\phantom-}
  \vbox{\halign{&\ \hfil$#$\ \cr
       & 2 &  -3 & -11 & \05 & \00 & \=11 & -2  &   -9 &  -2 \cr
  x=3: &   & \06 &   9 &  -6 & -3  &   -9 & \06 & \=12 & \09 \cr
  \noalign{\smallskip\hrule\smallskip}
       & 2 &  3 &  -2 & -1 & -3 &  2 &  4 &  3 &  7\rlap{${}=p(3)$} \cr
  }}
$$
Do prvn�ho ��dku jsme nejd��ve zapsali v�echny koeficienty dan�ho
polynomu a nedopustili jsme se �kol�ck� chyby, �e bychom zapomn�li na
koeficient $a_4=0$. Druh� ��dek jsme nechali pr�zdn� a ud�lali jsme
s��tac� ��ru. Pod n� jsme p�epsali ��slo 2 ($b_7=a_8$). Pak tuto
dvojku n�sob�me trojkou (hodnotou~$x$) a p��eme do druh�ho 
��dku n�sleduj�c�ho sloupce:~6. Ve sloupci s��t�me. 
Dost�v�me 3. Tuto trojku n�sob�me 
znovu hodnotou $x=3$ a v�sledek 9 p��eme do druh�ho ��dku
n�sleduj�c�ho sloupce.
S��t�me, n�sob�me, s��t�me, n�sob�me atd. a� nakonec dosp�v�me 
k~��slu 7, co� je hodnota dan�ho polynomu v~bod� $x=3$.

\veta [horner3]
%%%%%
Meziv�sledky $b_i$ z Hornerova sch�matu jsou koeficienty ��ste�n�ho
pod�lu polynomu $p$ p�i d�len� polynomem dan�m vzorcem $x-\alpha$.
Zbytek tohoto d�len� je konstantn� polynom $p(\alpha)$.

\dukaz
Je $b_{n-1}=a_n$ a plat� $b_{k-1}=a_k+\alpha b_k$ 
(neboli $a_k=b_{k-1}-\alpha b_k$) pro $k=n-1, n-2, \ldots, 3, 2, 1$. 
Podle posledn�ho sloupce Hornerova sch�matu je 
$a_0+\alpha b_0=p(\alpha)$, neboli $a_0= p(\alpha) - \alpha b_0$.
Tyto skute�nosti dosad�me do vzorce
pro v�po�et hodnoty polynomu $p$ v bod� $x\in\R$:
$$
  \eqalign{
  p(x) &= a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = \cr &=
  b_{n-1} x^n + (b_{n-2} - \alpha b_{n-1})\, x^{n-1} + \cdots
  + (b_1 - \alpha b_2) x^2 + (b_0 - \alpha b_1)\,x + p(\alpha) - \alpha b_0 = \cr &=
  x\,(b_{n-1} x^{n-1} + b_{n-2} x^{n-2} + \cdots + b_1 x + b_0) - 
  \alpha\,(b_{n-1} x^{n-1} + \cdots + b_2 x^2 + b_1 x + b_0) +
  p(\alpha) = \cr &=
  (b_{n-1} x^{n-1} + b_{n-2} x^{n-2} + \cdots + b_2 x^2 + b_1 x +
  b_0)\,(x-\alpha) + p(\alpha).
}$$

\priklad
%%%%%%%%
Najdeme ��ste�n� pod�l a zbytek p�i d�len� polynomu z
p��kladu\cite[horner1] polynomem $x-3$.
Podle p�edchoz� v�ty je 
$$
  {2x^8-3x^7-11x^6+5x^5+11x^3-2x^2-9x-2 \over x-3} = 
   2x^7+3x^6-2x^5-x^4-3x^3+2x^2+4x+3 + {7\over x-3}.
$$
Koeficienty ��ste�n�ho pod�lu jsme opsali z t�et�ho ��dku Hornerova
sch�matu v p��kladu\cite[horner1]. Toto je z�ejm� m�n� pracn� metoda
hled�n� ��ste�n�ho pod�lu, ne� metoda popsan� v d�kazu
v�ty\cite[delenip]. Bohu�el se tato metoda d� pou��t jen p�i d�len�
polynomu line�rn�m polynomem tvaru $x-\alpha$. Ov�em s~d�len�m takov�m
line�rn�m polynomem se �asto setk�me nap��klad p�i rozkladu na ko�enov�
�initele polynomu.

\okraj Polynomy nad $\R$ a\hb nad $\C$ | Polynomy nad R a nad C

\poznamka
%%%%%%%%%
A� dosud jsme s polynomy pracovali jako s re�ln�mi funkcemi re�ln�
prom�n� p��padn� jako se vzore�ky, kter� maj� re�ln� koeficienty a do
kter�ch dosazujeme za form�ln� prom�nnou re�ln� ��sla. 
T�mto polynom�m ��k�me {\em polynomy nad $\R$}, neboli 
polynomy nad re�ln�mi ��sly.

M�sto re�ln�ch ��sel ale m��eme
pou��vat jak�koli ��seln� obor, ve kter�m um�me ��sla mezi sebou
s��tat, od��tat, n�sobit a d�lit (podle jist�ch vlastnost�, podrobn�ji
si o tom pov�me v kapitole\kcite\ktere[grupy]). Pokud budeme za
polynom pova�ovat komplexn� funkci komplexn� prom�nn� danou 
vzore�kem\cite(defpolv), ve kter�m jsou koeficienty
$a_0,a_1,\ldots,a_n$ komplexn� ��sla a za prom�nou $x$ dosazujeme
komplexn� ��sla, mluv�me o {\em polynomu nad \C}. 

Pokud zam�n�me slovo \uv{re�ln�} slovem \uv{komplexn�} a symbol $\R$
symbolem $\C$ v cel�m p�edchoz�m textu v t�to kapitole, v�echna
tvrzen� z�st�vaj� v platnosti. Budeme-li v n�sleduj�c�m textu v t�to
kapitole mluvit o polynomech a nespecifikujeme ��seln� obor, budeme
p�edpokl�dat polynomy nad $\C$. Je to z~toho d�vodu, �e
budeme vy�et�ovat vlastnosti ko�en� polynom�. Re�ln� ko�eny polynom� 
nad $\R$ p�itom nemusej� existovat.


\okraj Ko�en polynomu | Koren polynomu

\definice [dkoren]
%%%%%%%%%
{\em Ko�en polynomu\/} $p$ je takov� ��slo $\alpha\in\C$, pro kter� je
$p(\alpha) = 0$. Pokud $\alpha$ je ko�en polynomu $p$, pak polynom
dan� vzorcem $x-\alpha$ pro v�echna $x\in\C$ naz�v�me {\em ko�enov�
�initel polynomu\/}~$p$.
\inl[ko�en: polynomu, ko�enov� �initel]

\veta [korencdeli]
%%%%%
Polynom $p$ je d�liteln� sv�m ko�enov�m �initelem.

\dukaz
Zbytek po d�len� polynomu $p$ polynomem $x-\alpha$ m� podle
v�ty\cite[delenip] stupe� men�� ne�~1, tedy
jedn� se o konstantu. Ozna�me ji $c$. Pro v�echna $x\in\C$ plat�:
$p(x) = r(x)\,(x-\alpha) + c$. Po dosazen� $x=\alpha$ m�me 
$p(\alpha) = r(\alpha)\cdot 0 + c = c$. Proto�e $\alpha$ je ko�en, je
$p(\alpha)=0$, tak�e $c=0$. Skute�n� tedy polynom $x-\alpha$ d�l�
polynom $p$ beze zbytku.

%\poznamka
%%%%%%%%%%
%Obr�cen� tvrzen� {\it polynom d�liteln� �initelem $x-\alpha$ m� ko�en
%$\alpha$} se dok�e snadno: existuje polynom $q$ tak, �e
%$p(x)=(x-\alpha)\,q(x)$ pro v�echna $x\in\C$. Sta�� nyn� volit
%$\alpha=0$ a m�me $p(0)= 0\,q(\alpha) = 0$.

\poznamka [prozklad]
%%%%%%%%%
Nech� $\alpha_1$ je ko�en nenulov�ho polynomu $p$. 
Zat�m ponech�me stranou probl�m hled�n� ko�ene a spokoj�me se s t�m,
�e ko�en polynomu $p$ existuje a ozna��me jej $\alpha_1$.
Podle p�edchoz� v�ty je
mo�n� d�lit ko�enov�m �initelem, neboli 
$p(x) = r_1(x) \, (x-\alpha_1)$. Z t�to rovnosti plyne, �e v�echny ko�eny
polynomu~$r_1$ jsou z�rove� ko�eny polynomu $p$. Polynom $p$ m�
krom� ko�en� polynomu $r_1$ nav�c jen ko�en $\alpha_1$. 
Je tedy mo�n� hledat dal�� ko�eny polynomu
$p$ tak, �e najdeme ko�eny polynomu $r_1$.
P�itom tento polynom m�
podle v�ty\cite[pstupen] o~jedni�ku men�� stupe�, ne� m� polynom~$p$.

Nech� $\alpha_2$ je ko�en polynomu $r_1$. M�me tedy 
$p(x) = r_2(x)\,(x-\alpha_1)\,(x-\alpha_2)$. Dal�� ko�eny polynomu~$p$
m��eme hledat tak, �e najdeme ko�eny polynomu $r_2$. �vahu opakujeme
tak dlouho, a� se polynom $r_i$ stane konstantn�m polynomem nebo a�
nastane situace, �e polynom $r_i$ nebude m�t ko�eny. Postup skon��
ur�it� po kone�n� mnoha kroc�ch, nebo� stupn� polynomu $r_i$ se
sni�uj�. V z�v�ru tedy m�me
$$
  p(x) = r_m(x)\,(x-\alpha_1)\,(x-\alpha_2)\,\cdots\,(x-\alpha_m),
  \rce(rozkladp)
$$
kde $r_m$ je polynom bez ko�en� (v�ta\cite[fund] uk�e, �e takov�
p��pad nast�v� jen pro konstatn� polynom) a $\alpha_i$ jsou v�echny
ko�eny polynomu $p$. V z�pise\cite(rozkladp) se mohou n�kter� ko�eny
$\alpha_i$ vyskytovat v�cekr�t. Takov�m ko�en�m ��k�me v�cen�sobn�,
viz n�sleduj�c� definice.

\definice [dnasobnost]
%%%%%%%%%
Ko�en $\alpha$ nenulov�ho polynomu $p$ naz�v�me $k$-n�sobn�, pokud polynom
$(x-\alpha)^k$ d�l� polynom $p$, a p�itom polynom $(x-\alpha)^{k+1}$
ned�l� polynom~$p$. Ob�as je u�ite�n� mluvit tak� o ��slu $\alpha$
jako o~0-n�sobn�m ko�enu polynomu $p$ tehdy, kdy� ��slo $\alpha$ nen� 
ko�enem polynomu~$p$.
\inl[n�sobnost: ko�enu, ko�en: n�sobnost]

\veta [nasobnostk]
%%%%%
Nenulov� polynom $p$ m� ko�en $\alpha$ n�sobnosti~$k$ pr�v� tehdy,
kdy� existuje polynom $q$ tak, �e $p(x)=(x-\alpha)^kq(x)$ 
a sou�asn� $q(\alpha)\not=0$.

\dukaz
Proto�e $(x-\alpha)^k$ d�l� polynom $p$ pr�v� tehdy, kdy�
existuje polynom $q$ tak, �e $p(x)=(x-\alpha)^kq(x)$ pro v�echna 
$x\in\C$, sta�� 
podle definice\cite[dnasobnost] dok�zat, �e
$(x-\alpha)^{k+1}$ ned�l� $p$ pr�v� kdy� $q(\alpha)\not=0$, neboli
$(x-\alpha)^{k+1}$ d�l� $p$ pr�v� kdy� $q(\alpha)=0$.
Nech� $(x-\alpha)^{k+1}$ d�l� $p$, tedy
existuje polynom $r$ tak, �e $p(x)=(x-\alpha)^k(x-\alpha)\,r(x)$.
Z jednozna�nosti pod�lu je z�ejm�, �e mus� 
$q(x)=(x-\alpha)\,r(x)$, tak�e $q(\alpha)=0$.
Obr�cen�, pokud $q(\alpha)=0$, pak podle v�ty\cite[korencdeli]
existuje polynom $r$ tak, �e $q(x)=(x-\alpha)\,r(x)$. Z~toho plyne, �e
$p(x)=(x-\alpha)^k(x-\alpha)\,r(x)$, neboli $(x-\alpha)^{k+1}$ d�l�~$p$.


\priklad [nasobnost2]
%%%%%%%%
Dejme tomu, �e v�me, �e polynom 
$x^6-5x^5-15x^4+85x^3+10x^2-372x+360$
m� ko�en~2. Ur��me n�sobnost tohoto ko�ene.

Ozna�me zkouman� polynom p�smenem~$p$.
V�po�tem hodnoty $p(2)$ za pou�it� Hornerova sch�matu mus� vyj�t~0.
Nav�c t�et� ��dek sch�matu obsahuje podle v�ty\cite[horner3]
koeficienty polynomu $r_1$, pro kter� plat� $p(x)=r_1(x)\,(x-2)$.
M��eme tedy tento ��dek ztoto�nit s prvn�m ��dkem navazuj�c�ho 
Hornerova sch�matu, ve kter�m ov��ujeme, zda dvojka je ko�enem 
polynomu $r_1$. Pokud zjist�me, �e ano, pak u� v�me, �e dvojka 
je aspo� dvojn�sobn�m ko�enem. 
V takov�m p��pad� m��eme pokra�ovat dal��m navazuj�c�m
Hornerov�m sch�matem a� do doby, ne� polynom $r_i$ nebude m�t ko�en dvojku.
$$
  \def\rule#1{\noalign{\vskip-5pt}\multispan#1 \hrulefill \cr}
  \vbox{\halign{&\quad \hfil$#$\cr
             & 1 & -5 & -15 &  85 & 10 & -372 &  360 \cr
   \llap{2}: &   &  2 &  -6 & -42 & 86 &  192 & -360 \cr \rule 8
             & 1 & -3 & -21 &  43 & 96 & -180 &    0 \cr
   \llap{2}: &   &  2 &  -2 & -46 & -6 &  180        \cr \rule 7
             & 1 & -1 & -23 &  -3 & 90 &    0        \cr
   \llap{2}: &   &  2 &   2 & -42 & -90              \cr \rule 6
             & 1 &  1 & -21 & -45 &  0               \cr
   \llap{2}: &   &  2 &   6 & -30                    \cr \rule 5
             & 1 &  3 & -15 & -75                    \cr
   }}         
$$
Vid�me tedy, �e $p(x)=(x^3+x^2-21x-45)(x-2)^3$. P�itom 
hodnota polynomu $x^3+x^2-21x-45$ pro $x=2$ je~$-75$, tak�e dvojka
nen� ko�enem tohoto polynomu. ��slo~2 je tedy trojn�sobn� ko�en
polynomu~$p$.

N�sobnost ko�ene tedy m��eme zjistit opakovan�m pou�it�m navazuj�c�ho
Hornerova sch�matu, p�i�em� n�sobnost je po�et v�sledn�ch ��dk�
kon��c�ch nulou s t�m, �e dal�� ��dek u� nulou nekon��.  

\okraj Hled�me ko�eny polynomu | Hledame koreny polynomu

\poznamka [hledanikorenu]
%%%%%%%%%
Hledat ko�eny polynomu, neboli �e�it algebraickou rovnici~$p(x)=0$, je
�loha d�le�it� a v praxi �asto pot�ebn�. Bohu�el neexistuje obecn�
postup, jak na z�klad� znalost� koeficient� polynomu
$a_0,a_1,\ldots,a_n$ zjistit p�esn� ko�eny tohoto polynomu.
Postupy existuj� pro velmi speci�ln� typy polynom�, nap��klad pro
polynomy n�zk�ch stup��. V t�to pozn�mce p�ipomeneme, jak je mo�n�
hledat ko�eny polynom� n�zk�ch stup��.

\medskip
\def\bodik(#1) {\par\indent\llap{$#1$) }\hangindent=\parindent\hangafter=1\relax}

\bodik (-1) Ko�eny polynomu stupn� $-1$ (tedy nulov�ho polynomu) jsou v�echna
   komplexn� ��sla. 

\bodik (0) Polynom nult�ho stupn� (tedy nenulov� konstanta) nem� ko�en.

\bodik (1) Polynom prvn�ho stupn� $ax+b$ ($a\not=0$, tzv. line�rn�
   polynom) 
   m� jeden ko�en $-b/a$.
   \inl[polynom: line�rn�, line�rn�: polynom]

\bodik (2) Polynom druh�ho stupn� $ax^2+bx+c$ ($a\not=0$, naz�van� 
   t� kvadratick� polynom)
   m� dva ko�eny \hbox{$(-b+\sqrt{b^2-4ac})/2a, (-b-\sqrt{b^2-4ac})/2a$}.
   Je-li $b^2-4ac=0$, jedn� se o jeden dvojn�sobn� ko�en.
   \inl[polynom: kvadratick�, kvadratick�: polynom]

\bodik (3) Polynom t�et�ho stupn� (tzv. kubick� polynom) m� t�i ko�eny, kter� lze z
   koeficient� polynomu spo��tat pomoc� tzv. Cardanov�ch vzorc�. Tyto
   vzorce je mo�n� dohledat v matematick�ch tabulk�ch (nap��klad\bcite[bartsch]
   nebo\bcite[rektorys]), ov�em pro jejich p��li�nou
   komplikovanost se s nimi �lov�k �asto nesetk�. Pou��vaj� se jen 
   v~n�kter�ch po��ta�ov�ch programech �asto bez v�dom� u�ivatele.
   \inl[polynom: kubick�, kubick�: polynom]
   \inl[vzorce: Cardanovy, Cardanovy: vzorce]

\bodik (4) Polynom �tvrt�ho stupn� m� �ty�i ko�eny, kter� lze spo��tat
   z koeficient� polynomu pomoc� vzorc�, je� je mo�n� dohledat v
   tabulk�ch. Ani v tomto p��pad� se s t�mito vzorci
   �asto nesetk�v�me.

\bodik (5) Pro polynomy p�t�ho a vy���ho stupn� neexistuj� obecn�
   vzorce pro v�po�et ko�en� z koeficient� polynomu. Nen� pravda, �e
   by v budoucnu n�kdo tyto vzorce mohl objevit. Niels Abel toti� 
   dok�zal, �e je to nemo�n�.

\medskip

P��roda n�m prost�ednictv�m Abela u�t�d�ila dal�� lekci: poodhalila
n�m sv� tajemstv�, kter� v~tomto p��pad� zn�: 
v ur�it�ch parti�ch jsem neodhaliteln�.
\inl[p��roda, Abel: Niels Henrik]

Je pot�eba si uv�domit, �e neexistence vzorc� pro v�po�et ko�en� polynom�
stupn� p�t�ho a vy���ho nem� co d�lat s existenc� nebo neexistenc�
t�ch ko�en� samotn�ch. Matematik ob�as pracuje s faktem, �e dok�e
n��eho existenci a sou�asn� dok�e, �e to co existuje, neum� spo��tat.
Tak je tomu i v tomto p��pad�, jak za chv�li uk�e fundament�ln� 
v�ta algebry\cite[fund].

\priklad [binomp]
%%%%%%%%
Uva�ujme tzv.~{\em binomickou rovnici}, tj. rovnici tvaru $x^n-a=0$,
kde $n>0$ je p�irozen� ��slo a $a\in\C$.
�e�en� t�to rovnice jsou v�echny ko�eny polynomu $x^n-a$. To je 
dal�� speci�ln� typ polynomu, u~kter�ho um�me naj�t v�echny ko�eny,
dokonce pro libovoln� stupe� takov�ho polynomu.
\inl[rovnice: binomick�, binomick�: rovnice]

Binomickou rovnici $x^n-a=0$ p�ep��eme do tvaru $x^n=a$ a odmocn�me, tj.~form�ln�
dost�v�me \hbox{$x=\root n\,\of a$}. �kolem je naj�t v�echny $n$-t�
odmocniny z komplexn�ho ��sla 
$a$. Toto ��slo zap��eme ve tvaru $a=|a|\,(\cos\alpha+i\sin\alpha)$, 
kde $|a|$ je velikost ��sla $a$ a $\alpha$ je �hel v rovin� 
komplexn�ch ��sel mezi kladnou 
re�lnou osou a polop��mkou s po��tkem v bod�~$0$ 
proch�zej�c� bodem~$a$ (tzv.~{\em argument\/} komplexn�ho ��sla~$a$).
S~vyu�it�m Moivreovy v�ty 
\ifbook (viz cvi�en�\cite[cv-indukce], p��pad~k) \fi 
dost�v�me 
$$
  \left(\root n\,\of {|a|}\left(\cos{\alpha+2k\pi\over n} + 
                         i\sin{\alpha+2k\pi\over n}\right)\right)^n =
  |a|\left(\cos(\alpha+2k\pi) + i\sin(\alpha+2k\pi)\right) = a 
$$
pro v�echna $k\in\{0,1,2,\ldots,n-1\}$. Tak�e komplexn� ��sla 
$$
  \root n\,\of {|a|}\left(\cos{\alpha+2k\pi\over n} + 
                         i\sin{\alpha+2k\pi\over n}\right)
$$
jsou pro $k\in\{0,1,2,\ldots,n-1\}$ r�zn� $n$-t� odmocniny 
z ��sla~$a$. V�echna tato ��sla �e�� danou binomickou rovnici.
Ze vzorce\cite(rozkladp) plyne, �e polynom stupn� $n$ m� nejv��e $n$
ko�en�, tak�e uveden� $n$-t� odmocniny z ��sla $a$ jsou 
{\it v�echny} ko�eny polynomu $x^n-a$.
%Dosad�me-li za $k$ postupn� $0,1,2,\ldots,n-1$, dost�v�me $n$ r�zn�ch
%komplexn�ch ��sel, kter� v�echna naz�v�me $n$-t�mi odmocninami z ��sla $a$,
%proto�e jejich $n$-t� mocnina se skute�n� rovn� ��slu~$a$. Jedn� se o
%v�echny ko�eny polynomu $x^n-a$.
\inl[argument: komplexn�ho ��sla]
\inl[odmocnina: komplexn�ho ��sla]
\inl[v�ta: Moivreova, Moivreova: v�ta]

%Poznamen�v�m je�t�, �e identit� $e^{i\alpha}=\cos\alpha+i\sin\alpha$
%se obvykle ��k� Moivreova v�ta. Funkci $e^x$ pro \hbox{$x\in\C$} v�t�inou
%definujeme jako �adu $\sum_{k=0}^\infty x^k/k!$. Pokud kosinus a
%sinus definujeme jako re�lnou a imagin�rn� ��st ��sla $e^{i\alpha}$,
%je Moivreova v�ta trivi�ln�m d�sledkem definice.  Pokud ale definujeme
%goniometrick� funkce jinak, pak je pot�eba Moivreovu v�tu dok�zat.



\veta (fundament�ln� v�ta algebry) [fund]
%%%%%
Ka�d� polynom stupn� aspo� prv�ho m� v $\C$ ko�en.
\inl[v�ta: fundament�ln�, fundament�ln� v�ta algebry]
\inl[v�ta: algebry: z�kladn�, z�kladn� v�ta algebry]

\dukaz
Tato v�ta je jednoduch�m d�sledkem slo�it�j��ch v�sledk� z komplexn�
anal�zy. V�t�inou se tedy d�kaz v�ty v prvn�ch semestrech vysoko�kolsk�ho 
studia neuv�d� s poukazem na to, �e v�ta bude dok�z�na pozd�ji.
Z tohoto pohledu se mi l�b� d�kaz uveden�
v\bcite[ptak], kter� se op�r� o~relativn� jednoduchou
matematiku. D�kaz zde skoro doslova p�episuji
v�etn� n�kter�ho zna�en� (p�smeno $\xi$ �teme~ks�).
P�ipou�t�m, �e ke �ten� pot�ebuje b�t �ten�� v pohod� a bez sp�chu. 
Chci proto nal�hav� upozornit, �e n�sleduj�c� pas� textu
je ur�ena jen pro hloubav�ho �ten��e. Ostatn� �ten��i p�ejdou
rovnou k pozn�mce\cite[poznrozklad].

V d�kazu v�ty budeme na mnoha m�stech pou��vat $|xy|=|x|\,|y|$ pro
$x,y\in\C$. Tuto vlastnost m��eme ov��it p�eveden�m komplexn�ch ��sel
na tvar $x=|x|\,e^{i\alpha}, y=|y|\,e^{i\beta}$ a vyu�it�m faktu, �e
$\left|e^{i(\alpha+\beta)}\right|=1$ (co� plyne z~Moivreovy v�ty,
viz\cite[binomp]).  

D�le �asto pou�ijeme troj�heln�kovou nerovnost, tedy
$|x+y|\le|x|+|y|$ pro $x,y\in\C$. Ov���me nap�. p�i zna�en�
$x=a+ib, y=c+id$. $|x+y|^2=(a+c)^2+(b+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd$, 
$(|x|+|y|)^2=a^2+b^2+2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}+c^2+d^2$. Po ode�ten�
a druh�m umocn�n� m�me dok�zat $(ac+bd)^2\le(a^2+b^2)(c^2+d^2)$, co� plyne 
z~nerovnosti $0\le(ad-bc)^2$.

K d�kazu fundament�ln� v�ty algebry pou�ijeme t�i pomocn� v�ty (lemmata):
\inl[v�ta: pomocn�, pomocn� v�ta, lemma]

\veta [flemm1]
%%%%%
Nech� $p$ je polynom stupn� aspo� prv�ho. Pak
$\lim |p(x)| = +\infty$ pro $|x|\to+\infty$, neboli
$\forall K\ge0\,\,\exists r>0$ tak, �e pro v�echna $x\in\C$, pro n�
$|x|>r$, plat� $|p(x)|>K$.

\goodbreak
\dukaz
Nech� $p$ m� koeficienty $a_0,a_1,\ldots,a_n$, $n\ge0$, $a_n\not=0$. 
Pro $x\in\C$ je
$$|a_nx^n| = \bigl|p(x)-(a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0)\bigr| \le
|p(x)|+|a_{n-1}x^{n-1}|+\cdots+|a_1x|+|a_0|,
$$
tak�e pro $x\not=0$ je
$$|p(x)| \ge 
        |a_n| |x|^n - \cdots - |a_1|\,|x| - |a_0| =
        |x|^n \left(|a_n| - {|a_{n-1}| \over |x|} - \cdots
     - {|a_1|\over|x|^{n-1}} - {|a_0|\over |x|^n} \right).
$$
Pokud $|x|\to+\infty$, pak $|p(x)|\to+\infty$, proto�e z�vorka v
posledn�m v�razu m� limitu $|a_n|\not=0$.

\veta [flemm2]
%%%%%
Nech� $p$ je polynom stupn� aspo� prv�ho. Pak funkce
$|p|:\C\to\R$ definovan� vztahem $|p|(x)=|p(x)|$ m�
lok�ln� minimum na $\C$.

\dukaz
Ozna�me $K=|p(0)|+1$. Podle p�edchoz� v�ty existuje
$r>0$ tak, �e $|p(x)|>K$ pro v�echna $x\in\C, |x|> r$.
Ozna�me $S_r=\{x\in\C;\, |x|\le r\}$, tj. krou�ek komplexn�ch ��sel o
polom�ru $r$ se st�edem~0. Na okraji krou�ku $S_r$ 
je $|p(x)|\ge K$, proto�e
$|p|$ je spojit� a vn� krou�ku m� hodnoty v�t�� ne� $K$.
Proto�e $S_r$ je omezen� a kompaktn�,
dosahuje spojit� funkce $|p|$ na $S_r$ sv�ho minima. Toto minimum je
men�� ne� $K$, proto�e $0\in S_r$ a $|p(0)|=K-1$. Tak�e minimum
le�� uvnit� krou�ku $S_r$ a jde o lok�ln� minimum 
funkce $|p|$ na $\C$.

\veta [flemm3]
%%%%%
Nech� $p$ je polynom stupn� aspo� prv�ho. Nech� ��slo $x_0\in\C$ 
je zvoleno
tak, �e $|p(x_0)|>0$. Potom funkce $|p|:\C\to\R$
nem� lok�ln� minimum v~$x_0$.

Jin�mi slovy, existuje $\xi\in\C$ (komplexn� ��slo ur�uj�c� sm�r, ve
kter�m $|p|$ kles�) tak, �e pro dostate�n� mal� $t>0$ je 
$|p(x_0+t\xi)| < |p(x_0)|$.

\dukaz
Ozna�me $c=p(x_0)\not=0$. Polynom
dan� vzorcem $p(x)-c$ je z p�edpokladu o stupni $p$ nenulov�.
��slo $x_0$ je ko�enem polynomu $p-c$ a nech� $m$ je 
n�sobnost~$x_0$. Je $m\ge1$
a podle v�ty\cite[nasobnostk] polynom $(x-x_0)^m$ d�l� polynom $p-c$, neboli
existuje nenulov� polynom $q$ tak, �e $p(x)-c = (x-x_0)^mq(x)$ pro
v�echna $x\in\C$. Ozna�me $d = q(x_0) \not=0$.

Volme $\xi\in\C$ tak, aby $\xi^m=-{c\over d}$. To je mo�n�,
sta�� naj�t n�jakou $m$-tou odmocninu z~komplexn�ho 
��sla~$-{c\over d}$, viz p��klad\cite[binomp]. Je tedy $\xi^m\,{d\over c}=-1$.

Pro $t\in\R$ po��tejme $p(x_0+t\xi)$:
$$
  p(x_0+t\xi) = c + (t\xi)^m q(x_0+t\xi) = 
   c + (t\xi)^m \bigl(q(x_0+t\xi)-d+d\bigr) =
   c + t^m\xi^m d +  t^m\xi^m \bigl(q(x_0+t\xi)-d\bigr).
$$
Posledn� z�vorku ozna��me $r(t)=q(x_0+t\xi)-d$, tj.
$r:\R\to\C$ je polynom. Nech� $b_0,b_1,\ldots,b_s$
jsou jeho koeficienty.
Proto�e $r(0)=0$ (viz $d=q(x_0)$), je $b_0=0$, tak�e
$r(t) = t(b_1+b_2t+\cdots+b_st^{s-1})$. 

Najdeme $K\ge0$ takov�, �e $|r(t)|\le Kt$ pro v�echna
$t\in\langle0,1\rangle$. To se poda��, proto�e
pro $t\in\langle0,1\rangle$ je
$|r(t)|=|t|\,|b_1+\cdots+b_st^{s-1}| \le 
|t|(|b_1|+\cdots+|b_st^{s-1}|) =
|t|(|b_1|+\cdots+|b_s|\,t^{s-1}) \le
|t|(|b_1|+\cdots+|b_s|)$, tak�e sta�� volit 
$K=|b_1|+\cdots+|b_s|$. 
Vra�me se k po��t�n� $p(x_0+t\xi)$. Vyu�ijeme rovnost $\xi^m\,{d\over c}=-1$.
$$
   p(x_0+t\xi) = c + t^m\xi^m d +  t^m\xi^m r(t) =
   c \left(1+t^m\xi^m {d\over c} + t^m\xi^m {r(t)\over c}\right)
   = c \left(1-t^m+t^m\xi^m {r(t)\over c}\right),
$$
tak�e $|p(x_0+t\xi)| = 
|c| \,\left|1-t^m + t^m\xi^m {r(t)\over c}\right|$.
C�lem je uk�zat, �e posledn� jmenovan� absolutn� hodnota je men��
ne�~1 pro mal� kladn�~$t$. Vyu�ijeme odhad $|r(t)|\le Kt$:
$$
  \left|1-t^m + t^m\xi^m {r(t)\over c}\right|
  \le \left|1-t^m\right| + 
      \left|t^m\xi^m {Kt\over c}\right|
  =   1-t^m + 
      t^{m+1} K\left|{\xi^m \over c}\right| =
      1+t^m\left(t K\left|{\xi^m \over c}\right| - 1\right).
$$
Pro dostate�n� mal� $t>0$ je posledn� z�vorka bl�zk� ��slu $-1$, tedy
z�porn�, tak�e uveden� v�raz jako celek je men�� ne�~$1$.

\bigskip\noindent{\bf D�kaz fundament�ln� v�ty algebry\cite[fund].}
%%%%%%%
Podle v�ty\cite[flemm2] funkce $|p|:\C\to\R$ nab�v� sv�ho 
lok�ln�ho minima. Podle v�ty\cite[flemm3] toto minimum 
nen� v bod�, ve kter�m $|p(x)|>0$.
Proto�e $|p(x)|\ge0$, mus� b�t hledan� minimum v bod� $x\in\C$, pro
kter� je $|p(x)|=0$, tj.~$p(x)=0$. Existence ko�enu je
dok�z�na.


\okraj Rozklad na ko�enov� �initele | Rozklad na korenove cinitele

\poznamka [poznrozklad]
%%%%%%%%%
D�sledkem v�ty\cite[fund] 
je skute�nost, �e polynom $r_m$ ve
vzorci\cite(rozkladp) je konstantn�. Z~toho a z v�ty\cite[pstupen] 
tak� plyne, �e polynom $p$
m� ve vzorci\cite(rozkladp) tolik ko�enov�ch �initel�, kolik je jeho
stupe�. Po��t�me-li tedy ka�d� ko�en tolikr�t, kolik je jeho
n�sobnost, m��eme ��ci, �e polynom m� stejn� po�et ko�en�, jako je jeho
stupe�. Kone�n�, proto�e 
$(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_m)=1x^m + \cdots$, mus� b�t
konstantn� polynom $r_m$ roven koeficientu $a_m$, co� je nenulov� 
koeficient u nejvy��� mocniny polynomu $p$. V�echny tyto poznatky
zformulujeme do n�sleduj�c� v�ty.

\veta [komplrozklad]
%%%%%
Nech� $p$ je nenulov� polynom stupn�~$n$ s koeficienty
$a_0,a_1,\ldots,a_n$ a nech� 
$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s\in\C$ jsou v�echny jeho navz�jem r�zn�
ko�eny. Nech� $k_i$ je n�sobnost ko�enu $\alpha_i$ pro
$i\in\{1,2,\ldots,s\}$. Pak plat�
$k_1+k_2+\cdots+k_s=n$ a d�le pro v�echna $x\in\C$ je
$$
  p(x) = a_n\,(x-\alpha_1)^{k_1}(x-\alpha_2)^{k_2}\cdots(x-\alpha_s)^{k_s}.
$$
Tomuto z�pisu ��k�me {\em rozklad polynomu na ko�enov� �initele}.
\inl[rozklad: na ko�enov� �initele]

\dukaz
Viz pozn�mku\cite[poznrozklad].

\veta [maxkorenup]
%%%%%
Nenulov� polynom stupn� $n$ m� nejv��e $n$ r�zn�ch komplexn�ch ko�en�.

\dukaz
V�ta je p��m�m d�sledkem v�ty\cite[komplrozklad].

\veta
%%%%%
Pokud se dva polynomy stupn� nejv��e~$n$ shoduj� v $n+1$ r�zn�ch bodech, pak
jsou toto�n�. Jin�mi slovy, polynom stupn� $n$ je jednozna�n� ur�en 
sv�mi hodnotami v $n+1$ bodech.

\dukaz
P�edpokl�d�me, �e pro polynomy $p$ a $q$
existuj� vz�jemn� r�zn� ��sla $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n,\alpha_{n+1}$
takov�, �e $p(\alpha_i)=q(\alpha_i)$ pro $i\in\{1,2,\ldots,n,n+1\}$.
Proto�e polynomy $p$ a $q$ maj� stupe� nejv��e~$n$, je
podle v�ty\cite[pstupen] rozd�l $p-q$ polynom stupn� nejv��e~$n$,
kter� m� ko�eny $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n,\alpha_{n+1}$.
T�ch ko�en� je v�ce, ne� je jeho stupe�. To podle v�ty\cite[maxkorenup] 
nen� mo�n� jinak, ne� �e je polynom
$p-q$ nulov�. Tak�e $p=q$ a d�kaz je hotov.

\poznamka
%%%%%%%%%
Bude n�sledovat n�kolik modelov�ch p��klad� na rozklad polynomu na
ko�enov� �initele. Je pot�eba si uv�domit, �e tyto p��klady jsou
schv�ln� voleny tak, aby se povedlo ko�eny
uh�dnout. Pozn�mka\cite[hledanikorenu] ale mluv� jasn�: moc mo�nost�
p�i hled�n� ko�en� nem�me. Modelov� p��klady na hled�n� ko�en�
jsou �asto typick� t�m, �e se d� uh�dnout ko�en jako
mal� cel� ��slo nebo jednoduch� zlomek. 
Abychom mohli h�dat jen z~kone�n� mnoha mo�nost�,
vyu�ijeme n�sleduj�c� dv� v�ty.
\inl[p��klad: modelov�, modelov� p��klad]

\veta [delia0]
%%%%%
Nech� polynom $p$ m� celo��seln� koeficienty $a_0,a_1,\ldots,a_n$.
Je-li $\alpha$ celo��seln�m ko�enem polynomu $p$, pak $\alpha$ d�l�
koeficient~$a_0$.

\dukaz
V�ta je speci�ln�m p��padem n�sleduj�c� v�ty pro $d=1$.

\veta [delirac]
%%%%%
Nech� polynom $p$ stupn� $n$ m� celo��seln� koeficienty 
$a_0,a_1,\ldots,a_n$.
Je-li $\alpha={c\over d}$ racion�ln�m ko�enem polynomu $p$ a ��sla
$c,d$ jsou cel� nesoud�ln�, pak $c$ d�l�~$a_0$ a $d$ d�l�~$a_n$. 

\dukaz
Proto�e $c\over d$ je ko�en, plat�
$$
  a_0 + a_1\,{c\over d} + a_2\,\left({c\over d}\right)^2 + 
  \cdots + a_n\,\left({c\over d}\right)^n 
  = 0.
$$
Po p�eveden� $a_0$ na druhou stranu rovnosti, vyn�soben�
rovnosti ��slem $d^n$ a vytknut� ��sla $c$ dost�v�me
$$
  c\,(a_1 d^{n-1} + a_2 cd^{n-2} + a_3 c^2d^{n-3} + \cdots + a_n c^{n-1}) 
  = -a_0 d^n.
$$
��slo $e=-d^n$ je nesoud�ln� s $c$ a uveden� z�vorka obsahuje cel� ��slo,
kter� ozna��me~$k$. V��e uveden� rovnost m� tvar $c\cdot k = a_0\cdot e$. 
��slo $c$ tedy mus� d�lit $a_0$.
Nyn� vyj�d��me z p�vodn� rovnosti $a_n$:
$$
  d\,(a_0 d^{n-1} + a_1 cd^{n-2} + a_2 c^2d^{n-3} + \cdots + a_{n-1} c^{n-1}) 
  = -a_n c^n.
$$
Podobnou �vahou jako p�ed chv�l� dosp�v�me k z�v�ru, �e $d$ mus� d�lit
$a_n$.

\priklad [polyn360]
%%%%%%%%
Najdeme rozklad na ko�enov� �initele polynomu 
z p��kladu\cite[nasobnost2], kter� je d�n vzorcem 
$$
  p(x) = x^6-5x^5-15x^4+85x^3+10x^2-372x+360.
$$
Podle v�ty\cite[delia0] je mo�no celo��seln� ko�eny hledat jen mezi
d�liteli ��sla~360. 
Bohu�el d�litel� ��sla 360 je mnoho. �ten�� si za dom�c� cvi�en� zkus�
v�echny d�litele vypsat. Shled�, �e jich je 48, pokud ov�em nezapomene
zapsat i z�porn� d�litele. Obvykle za��n�me dosazovat takov� d�litele,
kter� jsou v~absolutn� hodnot� co nejmen��. Tedy $p(1)=64$ (nen�
ko�en), $p(-1)=648$ (nen� ko�en), 
$p(2)=0$ (ejhle, je to ko�en)! Nav�c, jak ukazuje
p��klad\cite[nasobnost2], je tento ko�en dokonce trojn�sobn�, tak�e
s~vyu�it�m v�sledku toho p��kladu m�me $p(x) = (x^3+x^2-21x-45)(x-2)^3$.

Dal�� ko�eny polynomu $p$ jsou ur�it� i ko�eny polynomu
$x^3+x^2-21x-45$. D�le tedy hled�me ko�eny jen tohoto kubick�ho
polynomu~$r$. H�d�me d�le cel� ��sla (proto�e v modelov�ch p��kladech
n�s nikdo nebude nutit pou��t Cardanovy vzorce). Sta�� se omezit na d�litele
��sla~45, tedy na ��sla z~mno�iny 
$\{-45, -15, -9, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 9, 15, 45\}$.
Jedni�ku a m�nus jedni�ku u� jsme testovali s~negativ�m v�sledkem
v~p��pad� polynomu~$p$,
nemus�me ji tedy zkou�et znovu. Vyzkou��me $r(3)=-72$ (nen� ko�en), 
$r(-3)=0$ (ejhle ko�en)! Hornerovo sch�ma pro $-3$ vypad� takto:
$$
  \def\rule#1{\noalign{\vskip-5pt}\multispan#1 \hrulefill \cr}
  \vbox{\halign{&\quad \hfil$#$\cr
               & 1 &  1 & -21 & -45 \cr
  \llap{$-3$}: &   & -3 &   6 &  45 \cr \rule 5
               & 1 & -2 & -15 &  0  \cr
  \llap{$-3$}: &   & -3 &  15       \cr  \rule 4
               & 1 & -5 &   0       \cr
   }}         
$$
Vid�me, �e ��slo $-3$ je dvojn�sobn� ko�en a �e je
$x^3+x^2-21x-45=(x+3)^2(x-5)$, tak�e~5 je posledn� ko�en vy�et�ovan�ho
polynomu. M�me rozklad:
$$
   x^6-5x^5-15x^4+85x^3+10x^2-372x+360 = (x-2)^3(x+3)^2(x-5).
$$
Polynom $p$ m� tedy n�sleduj�c� ko�eny: 2 (trojn�sobn� ko�en), 
$-3$ (dvojn�sobn� ko�en) a~$5$ (jednon�sobn� ko�en).

\priklad [polyn26]
%%%%%%%%
Najdeme rozklad polynomu
$3x^6-8x^5+22x^4+54x^3-5x^2-26x$ na ko�enov� �initele.

Ozna�me vy�et�ovan� polynom p�smenem~$p$.
P�edev��m, tento polynom m� koeficient $a_0=0$, tak�e nula je ko�enem
polynomu. Ko�enov� �initel $x-0$ p��eme stru�n� jako $x$ a vznikne
jednodu�e vytknut�m prom�nn� $x$ ze zadan�ho v�razu:
$$
  p(x) = x\,(3x^5-8x^4+22x^3+54x^2-5x-26).
$$
D�le sta�� naj�t rozklad polynomu $3x^5-8x^4+22x^3+54x^2-5x-26$, kter�
ozna��me~$q$. Nejprve h�d�me celo��seln� ko�eny mezi d�liteli ��sla
26: $q(1)=40$ (nen� ko�en), $q(-1)=0$ (ejhle, ko�en)! Navazuj�c�m
Hornerov�m sch�matem vyzkoum�me jeho n�sobnost:
$$
  \def\rule#1{\noalign{\vskip-5pt}\multispan#1 \hrulefill \cr}
  \vbox{\halign{&\quad \hfil$#$\cr
               & 3 &  -8 &  22 &  54 &  -5 & -26 \cr
  \llap{$-1$}: &   &  -3 &  11 & -33 & -21 &  26 \cr \rule 7
               & 3 & -11 &  33 &  21 & -26 &   0 \cr
  \llap{$-1$}: &   &  -3 &  14 & -47 &  26       \cr \rule 6
               & 3 & -14 &  47 & -26 &   0       \cr
  \llap{$-1$}: &   &  -3 &  17 & -64             \cr \rule 5
               & 3 & -17 &  64 & -90             \cr
   }}         
$$
��slo $-1$ je tedy dvojn�sobn�m ko�enem a m�me 
$q(x)=(x+1)^2(3x^3-14x^2+47x-26)$ D�le budeme rozkl�dat uveden�
kubick� polynom, kter� ozna��me $r$. Pokra�ujeme ve zkoum�n� d�litel�
��sla 26: \hbox{$r(2)=36$} (nen� ko�en), $r(-2)=-200$ (nen� ko�en),
$r(13)=4810$ (nen� ko�en), $r(-13)=-9594$ (nen� ko�en),
$r(26)=44460$ (nen� ko�en), $r(-26)=-63440$ (nen� ko�en).
Z v�ty\cite[delia0] plyne, �e polynom $r$ nem� ��dn� celo��seln�
ko�en. Proto�e koeficient u nejvy��� mocniny je $a_3=3\not=1$, podle
v�ty\cite[delirac] je mo�n�, �e ko�enem bude zlomek, jeho� �itatel 
d�l� 26 a jmenovatel d�l�~3. Vyzkou��me $r(1/3)\doteq -11{,}777$ (nen�
ko�en), $r(-1/3)\doteq -43{,}333$ (nen� ko�en), $r(2/3)=0$ (ejhle ko�en)!
Pomoc� Hornerova sch�matu m��eme naj�t rozklad:
$$
  \def\rule#1{\noalign{\vskip-5pt}\multispan#1 \hrulefill \cr}
  \vbox{\halign{&\quad \hfil$#$\cr
                & 3 & -14 & 47 & -26 \cr
  \llap{$2/3$}: &   &   2 & -8 &  26 \cr \rule 5
                & 3 & -12 & 39 &   0 \cr
   }}         
$$
Tak�e $r(x)=(x-{2\over3})(3x^2-12x+39)$. Ko�eny kvadratick�ho polynomu
um�me naj�t:
$$
  {12\pm\sqrt{144-468}\over 6} = {12\pm i\sqrt{324}\over 6} =
  {12\pm 18i\over 6} = 2\pm 3i.
$$
Hledan� rozklad tedy je
$$
  \textstyle
  p(x) = 3x\,(x+1)^2(x-{2\over3})(x-2+3i)(x-2-3i).
$$
Pov�imn�te si, �e v rozkladu je krom� ko�enov�ch �initel� uveden 
koeficient u nejvy��� mocniny $a_6$ polynomu $p$. Na n�j nesm�me
zapomenout. Polynom~$p$ 
m� nulu jako jednon�sobn� ko�en, $-1$ je dvojn�sobn� ko�en,
$2\over3$ je jednon�sobn� ko�en a kone�n� ��sla
$2+3i$ a $2-3i$ jsou vz�jemn� komplexn� sdru�en� 
jednon�sobn� ko�eny.

\priklad [nenajdukoreny]
%%%%%%%%
Pokus�me se naj�t rozklad na ko�enov� �initele polynomu z p��kladu\cite[horner1], tedy
$$
  p(x) = 2x^8-3x^7-11x^6+5x^5+11x^3-2x^2-9x-2.
$$
Pokud m� tento polynom racion�ln� ko�eny, pak podle v�ty\cite[delirac]
jejich �itatel mus� d�lit dvojku a jmenovatel mus� tak� d�lit dvojku.
Ko�eny budeme tedy h�dat z mno�iny
$\{-2,-1,-{1\over2},{1\over2},1,2\}$.
Pus�me se do toho: $p(1)=-9$ (nen� ko�en), $p(-1)=-17$ (nen� ko�en),
$p(2)=-356$ (nen� ko�en), $p(-2)=-48$ (nen� ko�en), 
$p(1/2)\doteq -5{,}656$ (nen� ko�en), $p(-1/2)\doteq 0{,}328$ (nen� ko�en).
Zjistili jsme, �e tento polynom nem� racion�ln� ko�eny. Podle
fundament�ln� v�ty algebry\cite[fund] tento polynom ko�en m�, podle
jednoduch�ch d�sledk� t�to v�ty tento polynom dokonce m� osm ko�en�,
pokud ka�d� po��t�me tolikr�t, kolik je jeho n�sobnost. 
Tyto ko�eny jsou z�ejm� iracion�ln� ��sla nebo se jedn� o
komplexn� ko�eny s nenulovou imagin�rn� ��st�. 
Bohu�el, ani jeden takov� ko�en neum�me naj�t, 
a�koli koeficienty toho polynomu vypadaj�
celkem nevinn� (jsou to mal� cel� ��sla). M��eme tedy pouze prohl�sit,
�e rozklad na ko�enov� �initele tohoto polynomu existuje, ale nev�me,
jak tento rozklad vypad�.

Cht�l bych velmi upozornit, �e toto je obvykl� jev. Pokud n�hodn�
vybereme z osud�, ve kter�m jsou v�echny polynomy, jeden, pak skoro 
jist� neum�me naj�t jeho ko�eny.
Des�tky, mo�n� stovky, p��klad�, kter� se 
vyskytuj� v u�ebnic�ch z�kladn�ho kurzu o polynomech, jsou
vyum�lkovan� a voleny tak, aby bylo mo�n� n�jak ko�eny naj�t. Daleko
typi�t�j�� je ov�em p��klad tento: ko�eny naj�t neum�me.

V praxi se m��eme setkat nav�c s polynomy vysok�ch stup��, 
jejich� koeficienty ani nejsou
cel� ��sla. Pak si m��eme b�t skoro jisti, �e ko�eny naj�t
nelze. Proto�e ale �loha rozkladu na ko�enov� �initele a hled�n� ko�en�
je pro dal�� v�po�ty v�t�inou pot�ebn�, je nutn� p�istoupit k hled�n�
ko�en� alespo� p�ibli�n� numerick�mi metodami. Tato problematika ale
nespad� do n�pln� tohoto textu.

Pro ilustraci jsem pou�il �e��tko v~Maple, kter� m� v sob� zabudov�ny
numerick� metody hled�n� ko�en�. Pro dan� polynom vy�el tento
p�ibli�n� v�sledek:
$$
  \eqalign{
  &x_1 \doteq -2{,}05376,\quad
  x_2 \doteq -0{,}55262,\quad
  x_3 \doteq -0{,}25957,\quad
  x_4 \doteq  2{,}99882, \cr
  &x_{5,6} \doteq -0{,}26936 \pm 1{,}00279\,i,\quad
  x_{7,8} \doteq   0{,}95292 \pm 0{,}37662\,i, \cr
  &p(x) = 2 \,(x-x_1)\,(x-x_2)\,(x-x_3)\,(x-x_4)\,(x-x_5)\,(x-x_6)\,(x-x_7)\,(x-x_8).
}
$$
\par\inl[Maple]


\priklad
%%%%%%%%
Najdeme rozklad polynomu $x^n-a$ na ko�enov� �initele.

Vyu�ijeme v�sledku p��kladu\cite[binomp]. Rozklad na ko�enov� �initele je
$$
  x^n-a = \prod_{k=0}^{n-1} \left(x-\root n\,\of {|a|}\,\left(\cos{\alpha+2k\pi\over n} + 
                         i\sin{\alpha+2k\pi\over n}\right)\right),
  \rce(birozklad)
$$
kde symbol $\prod$ zna�� sou�in v�raz�, kter� n�sleduj�, pro $k$ od
nuly do $n-1$.

\priklad [binom8]
%%%%%%%%
Najdeme rozklad polynomu $x^8-1$ na ko�enov� �initele.

Je pot�eba naj�t osm� odmocniny z jedn�. Jedni�ku pi�me jako $1=1\,e^{i(0+2k\pi)}$.
V�echny ko�eny jsou ve tvaru
$$
  \root 8\,\of 1 = e^{i{2k\pi\over8}} = \cos{k\pi\over4} + i\sin{k\pi\over4},
  \quad k\in\{0,1,2,3,4,5,6,7\}.
$$
Pro $k=0$ je $\root8\,\of1=1$, pro $k=1$ a $k=7$ je 
$\root8\,\of1={\sqrt2\over2}\pm i{\sqrt2\over2}$, pro
$k=2$ a $k=6$ je $\root8\,\of1=\pm i$, pro $k=3$ a $k=5$
je $\root8\,\of1=-{\sqrt2\over2}\pm i{\sqrt2\over2}$ a kone�n� pro $k=4$
je $\root8\,\of1=-1$. Z tohoto hlediska je nutno tento p��klad pova�ovat
za modelov�, nebo� pot�ebn� hodnoty funkc� sinus a kosinus byly
tabulkov�. Kdybychom po��tali nap�.~$\root7\,\of1$, tabulkov�ch hodnot
bychom nemohli vyu��t a museli bychom nechat v�sledek ve
tvaru\cite(birozklad) nebo jej vy��slit numericky.
Rozklad polynomu $x^8-1$ na ko�enov� �initele je
$$
  \textstyle
  x^8-1 = \bigl(x-1\bigr) \,\bigl(x-{\sqrt2\over2}-i{\sqrt2\over2}\bigr) 
                \,\bigl(x-{\sqrt2\over2}+i{\sqrt2\over2}\bigr)
          \,\bigl(x-i\bigr)\,\bigl(x+i\bigr)
                \,\bigl(x+{\sqrt2\over2}-i{\sqrt2\over2}\bigr) 
                \,\bigl(x+{\sqrt2\over2}+i{\sqrt2\over2}\bigr)
          \,\bigl(x+1\bigr).
$$


\okraj Re�ln� rozklad | Realny rozklad

\poznamka
%%%%%%%%%
V p��kladech\cite[polyn26],\cite[nenajdukoreny],\cite[binom8] vy�ly
komplexn� ko�eny vz�jemn� po dvou komplexn� sdru�en�. N�sleduj�c� v�ty
ukazuj�, �e se nejedn� o n�hodu, ale pro polynomy s re�ln�mi koeficienty
je to z�konit� vlastnost.

\veta [alphaspruhem]
%%%%%
Je-li $\alpha$ ko�en polynomu $p$ s re�ln�mi koeficienty, pak
komplexn� sdru�en� ��slo $\overline\alpha$ je tak� ko�enem polynomu~$p$.

\dukaz
P�ipomenu, �e komplexn� sdru�en� ��slo zna��me pruhem nad ��slem a
definujeme jako ��slo s~opa�nou imagin�rn� ��st�, tj.
$\overline{a+ib}=a-ib$. D�le je pot�eba p�ipomenout z�kladn�
vlastnosti:

\medskip

$x=\overline x$ pr�v� kdy� $x\in\R$,  proto�e $\overline{a+0i}=a-0i=a$.

$\overline x + \overline y = \overline {x+y}$, proto�e
$\overline{a+ib}+\overline{c+id} = a+c-i(b+d) = \overline{a+ib+c+id}$.

$\overline x\,\overline y = \overline{xy}$, proto�e
$(a-ib)(c-id)=ac-bd-i(bc+ad)=\overline{ac-bd+i(bc+ad)} =
\overline{(a+ib)(c+id)}$.

$\overline {x^n}= {\overline x}^n$, proto�e 
$\overline {x \vphantom{X}}\cdot\overline {x^{n-1}} = \overline {x\,x^{n-1}} = \overline {x^n}$.

\medskip
\noindent
Jeliko� $\alpha$ je ko�en, plat� $p(\alpha)=0$. M�me dok�zat, �e 
$p(\overline\alpha)=0$.
$$
  \eqalign{
  p(\overline\alpha) &= a_0 + a_1\overline\alpha + 
       a_2\overline\alpha^2 + \cdots + a_n\overline\alpha^n
  = \overline{a_0} + \overline{a_1}\,\,\overline\alpha + 
       \overline{a_2}\,\,\overline\alpha^2 + \cdots + \overline{a_n}\,\,\overline\alpha^n
  = \cr 
  &= \overline{a_0} + \overline{a_1}\,\,\overline\alpha + 
       \overline{a_2}\,\,\overline{\alpha^2} + \cdots + \overline{a_n}\,\,\overline{\alpha^n}
  = \overline{a_0} + \overline{a_1\,\alpha} + 
       \overline{a_2\,\alpha^2} + \cdots + \overline{a_n\,\alpha^n}
  = \cr 
  &= \overline{a_0 + a_1\alpha + 
       a_2\alpha^2 + \cdots + a_n\alpha^n}
  = \overline{p(\alpha)} = \overline 0 = 0.
}
$$
Nejprve jsme vyu�ili toho, �e koeficienty $a_0,a_1,\ldots,a_n$ jsou
re�ln�. Dal�� rovnosti plynou ze z�kladn�ch vlastnost� komplexn� 
sdru�en�ho ��sla.

V�ta nevylu�uje p��pad, �e $\alpha$ je re�ln� ko�en. Pak ale
$\overline\alpha=\alpha$, co� je tak� (tent��) ko�en.

\veta [nasobnostpruhu]
%%%%%
Nech� $\alpha$ je ko�en nenulov�ho polynomu $p$ s re�ln�mi koeficienty. Pak ko�eny
$\alpha$ a $\overline\alpha$ maj� stejnou n�sobnost.

\dukaz
%%%%%%
P�edpokl�dejme, �e n�sobnost ko�ene $\alpha$ je $k$ a n�sobnost
$\overline\alpha$ je $k'$. Bez �jmy na obecnosti je mo�no p�edpokl�dat
$k\le k'$.
V rozkladu na ko�enov� �initele polynomu $p$ se vyskytuje krom�
$(x-\alpha)$ tak� �initel $(x-\overline\alpha)$. Sou�in t�chto dvou
�initel�
$$
  (x-\alpha)(x-\overline\alpha) = (x-a-ib)(x-a+ib) = x^2 -2ax + a^2+b^2
$$
je polynom s re�ln�mi koeficienty. Ozna�me jej $q$. Polynom $q^k$ m�
tak� re�ln� koeficienty a nav�c d�l� polynom $p$ beze zbytku. 
Ozna�me $p/q=r$. Polynom $r$ m� (d�ky algoritmu 
pro d�len� polynomu polynomem) re�ln�
koeficienty. Nem��e se tedy st�t, aby $r$ m�l jen ko�en
$\overline\alpha$, a p�itom nem�l ko�en $\alpha$. N�sobnosti tedy
musej� b�t stejn�.

\poznamka [realrozklad]
%%%%%%%%%
Pokud je d�n polynom s re�ln�mi koeficienty, pak podle p�edchoz� v�ty
m� stejn� po�et ko�enov�ch �initel� tvaru $x-\alpha$ jako �initel�
tvaru $x-\overline\alpha$. Tyto �initele m��eme po dvou rozn�sobit a
vytvo�it tak kvadratick� polynomy s re�ln�mi koeficienty
$$
  (x-\alpha)\,(x-\overline\alpha) = (x-a-ib)\,(x-a+ib) 
  = x^2 -2ax + a^2+b^2 = x^2 + cx + d.
$$
T�m se v rozkladu na sou�in polynom� vyhneme pr�ci s komplexn�mi
��sly. To m��e b�t pro u�ivatele, kter� pracuje s re�ln�mi polynomy a
o�ek�v� tedy re�ln� rozklady, d�le�it�. Zformulujeme proto v�tu 
o~re�ln�m rozkladu na sou�in polynom�.

\veta [rrozkladp]
%%%%%
Nech� nenulov� polynom $p$ stupn� $n$ m� re�ln� koeficienty. Nech�
$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s$ jsou v�echny jeho vz�jemn� r�zn� re�ln�
ko�eny s n�sobnostmi po �ad� $k_1,k_2,\ldots,k_s$. Nech�
$\beta_1,\overline{\beta_1}, \ldots, \beta_t, \overline{\beta_t}$
jsou v�echny vz�jemn� r�zn� komplexn� ko�eny polynomu $p$
s nenulovou imagin�rn� ��st�, kter� maj� v~souladu 
s~v�tou\cite[nasobnostpruhu] 
n�sobnosti po �ad� $r_1,r_1,r_2,r_2,\ldots,r_t,r_t$.
Pak je
$$
  n = k_1 + k_2 + \cdots + k_s + 2\,(r_1 + r_2 + \cdots + r_t)
$$
a existuj� re�ln� ��sla
$c_i, d_i$, pro $i\in\{1,\ldots,t\}$ tak, �e pro v�echna $x\in\R$ 
je
$$
  p(x) = a_n\,(x-\alpha_1)^{k_1} (x-\alpha_2)^{k_2} \cdots
              (x-\alpha_s)^{k_s}
              (x^2 + c_1 x + d_1)^{r_1}
              (x^2 + c_2 x + d_2)^{r_2} \cdots
              (x^2 + c_u x + d_t)^{r_t}.
$$
Uveden� vzorec se naz�v� {\em re�ln� rozklad polynomu $p$}.
\inl[rozklad: re�ln�, re�ln�: rozklad]

\dukaz
Je $(x-\beta_i)(x-\overline{\beta_i}) = x^2 + c_i x + d_i$, viz
pozn�mku\cite[realrozklad]. V�e ostatn� plyne z v�ty\cite[komplrozklad].

\priklad
%%%%%%%%
Rozklad na ko�enov� �initele v p��kladu\cite[polyn360] je sou�asn�
re�ln�m rozkladem, proto�e polynom nem� komplexn� ko�eny s nenulovou
imagin�rn� ��st�.

Polynom z p��kladu\cite[polyn26] m� re�ln� rozklad
$p(x)=3x\,(x+1)^2(x-{2\over3})\,(x^2-4x+13)$.

Polynom z p��kladu\cite[binom8] m� re�ln� rozklad
$ p(x) = (x-1)\, (x+1)\, (x^2+1)\, (x^2+\sqrt2\,x+1)\, (x^2-\sqrt2\,x+1)$.

Kone�n� polynom z p��kladu\cite[nenajdukoreny] m� re�ln� rozklad p�ibli�n�:

$
  p(x)\doteq 2 \,(x-x_1)\,(x-x_2)\,(x-x_3)\,(x-x_4)\,
  (x^2+0{,}53872\,x + 1{,}07814)\, (x^2-1{,}90584\,x + 1{,}0499).
$

\priklad
%%%%%%%%
Rozlo��me polynom $x^5-10x^4+32x^3-8x^2-140x+200$ na re�ln� 
ko�enov� �initele. Vyu�ijeme p�itom n�pov�dy, �e ��slo $3+i$ je
ko�enem tohoto polynomu.

P�edev��m je z�ejm�, �e se jedn� o modelov� p��klad. 
Je toti� nere�ln�, aby n�m v~re�ln�m �ivot�
n�kdo napov�dal nere�ln� ko�en re�ln�ho polynomu.

Proto�e m� polynom re�ln� koeficienty, je podle 
v�ty\cite[alphaspruhem] tak� ��slo $3-i$ ko�enem. 
Zn�me tedy dva ko�eny.
Nyn� m�me dv� mo�nosti, jak d�le postupovat. 
M��eme nap��klad pomoc� Hornerova sch�matu dosadit jednak
$3+i$ a n�sledn� $3-i$ do polynomu. Druhou mo�nost� je rozn�sobit
ko�enov� �initele p��slu�ej�c� zn�m�m ko�en�m a pod�lit v�sledn�m
kvadratick�m polynomem dan� polynom. Vyzkou��me si ob� metody.

Nejprve zkus�me dosazovat ko�eny do Hornerova sch�matu. Zpo��tku
to p�jde ztuha, proto�e �lov�k nen�sob� dv� komplexn� ��sla mezi sebou
denn�.
$$
  \def\p{\phantom{{}-2i}}\def\pp{\phantom{{}+20i}}
  \def\i{\phantom{{}-i}}
  \def\rule#1{\noalign{\vskip-5pt}\multispan#1 \hrulefill \cr}
  \vbox{\halign{&\qquad \hfil$#$\cr
                & 1 & -10\i &  32\p  &  -8\p & -140\pp &  200 \cr
  \llap{$3+i$}: &   &  3+i  & -22-4i & 34-2i &  80+20i & -200 \cr \rule 7
                & 1 & -7+i  &  10-4i & 26-2i & -60+20i &   0 \cr
  \llap{$3-i$}: &   &  3-i  & -12+4i & -6+2i &  60-20i       \cr \rule 6
                & 1 & -4\i  &  -2\p  & 20\p  &   0\pp        \cr
   }}         
$$
Ne n�hodou m�me na posledn�m ��dku sch�matu re�ln� ��sla. 
Tento ��dek toti�
obsahuje koeficienty polynomu $r$, pro kter� je
$p(x) = (x-3-i)\,(x-3+i)\, r(x)$. Jak jsme uk�zali v d�kazu 
v�ty\cite[nasobnostpruhu], polynom~$r$ m� re�ln� koeficienty.
Je tedy $p(x)=(x-3-i)\,(x-3+i)\,(x^3-4x^2-2x+20)$. 

Ne� za�neme rozkl�dat polynom $r$, zkus�me se ke stejn�mu meziv�sledku
dostat druhou metodou. Rozn�sob�me nejd��ve ko�enov� �initele
$(x-3-i)\,(x-3+i) = x^2-6x+10$. T�m jsme se hned na za��tku zbavili
mal�ho m�kk�ho~$i$. Abychom z�skali polynom $r$, mus�me bohu�el d�lit
polynom $p$ polynomem $x^2-6x+10$.
$$
  \def\0{\phantom0}
  \setbox0=\hbox{$(x^5-10x^4+32x^3-\08x^2-140x+200\rlap)$}
  \def\r#1{\setbox2=\hbox{$#1$}\hbox to\wd0{\hss\copy2}}
  \def\l#1{\hbox to\wd0{$#1$\hss}}
  \def\rule{\vskip-5pt\hbox to\wd0{\hss\hbox to\wd2{\hrulefill}}}
  \def\-{\llap{$-$}}
  \hbox{\vtop{
    \hbox{\copy0}
    \l{\llap{$-$}(x^5-\06x^4+10x^3)}
    \smallskip\hrule\smallskip
    \r{-4x^4+22x^3-\08x^2-140x+200}
    \r{\-(-4x^4+24x^3-40x^2\rlap)\phantom{{}-140x+200}}
    \rule
    \r{-2x^3+32x^2-140x+200}
    \r{\-(-2x^3+12x^2-\020x\rlap)\phantom{{}+200}}
    \rule
    \r{20x^2-120x+200}
    \r{\-(20x^2-120x+200\rlap)}
    \rule
    \r{0}
  }$\hskip8pt:(x^2-6x+10) = x^3-4x^2-2x+20$}
$$
Ne n�hodou vy�el zbytek po d�len� nula. Polynom $x^2-6x+10$ mus� d�lit
polynom $p$, proto�e se jedn� o sou�in ko�enov�ch �initel�.

Nyn� se n�m ob� metody setk�vaj�. Pot�ebujeme rozlo�it polynom
$r$ na ko�enov� �initele. H�d�me mezi d�liteli ��sla~$20$:
$r(1)=15$ (nen� ko�en), $r(-1)=17$ (nen� ko�en),
$r(2)=8$ (nen� ko�en), $r(-2)=0$ (ejhle ko�en)!
Po vyd�len� ko�enov�m �initelem $x+2$ (nebo pou�it�m Hornerova
sch�matu) dost�v�me $r(x)=(x+2)\,(x^2-6+10)$. Proto�e
polynom $x^2-6+10$ u� v rozkladu jednou m�me, shled�v�me, �e ko�eny
$3\pm i$ jsou dvojn�sobn�. Re�ln� rozklad polynomu $p$ tedy je
$$
  p(x) = (x+2) \, (x^2-6+10)^2.
$$

\okraj Parci�ln� zlomky | Parcialni zlomky

\poznamka
%%%%%%%%%
V kalkulu jedn� prom�nn� se studenti v�t�inou seznamuj� se
skute�nost�, �e funkce dan� pod�lem polynom� lze integrovat tak, �e se
tento pod�l rozep��e na sou�et polynomu a parci�ln�ch zlomk�. P�itom
polynomy se integruj� snadno a pro ka�d� typ parci�ln�ho zlomku
existuje integra�n� vzore�ek. 

Podl� v�ty\cite[delenip] je mo�n� funkci danou pod�lem polynom�
��ste�n� pod�lit. Plat� $p/q = r + z/q$, p�itom stupe� $z$ je men��
ne� stupe� $q$.
Zlomek $z/q$ je d�le mo�no rozepsat na sou�et parci�ln�ch zlomk�, jak
uvid�me v n�sleduj�c� v�t�\cite[parczl]. Nejprve ov�em pot�ebujeme
dok�zat pomocnou v�tu:

\veta [parczlpom]
%%%%%
Nech� stupe� polynomu $p$ je men�� ne� stupe� polynomu $q$ 
a nech� $\alpha\in\C$ je
$k$-n�sobn�m ko�enem polynomu $q$. Symbolem $q_1$ ozna�me polynom,
kter� spl�uje $q(x) = (x-\alpha)^k q_1(x)$ pro v�echna $x\in\C$.
Pak existuje ��slo $a\in\C$ a polynom $p_1$ tak, �e plat�
$$
  {p(x) \over q(x)} = {a\over (x-\alpha)^k} + 
  {p_1(x) \over (x-\alpha)^{k-1} q_1(x)}
$$
pro v�echna $x\in\C$ s v�jimkou ko�en� polynomu $q$.
P�itom stupe� $p_1$ je men�� ne� stupe� $(x-\alpha)^{k-1} q_1(x)$.

\dukaz
Vyn�soben�m dokazovan� rovnosti polynomem $q$ dostaneme 
ekvivalentn� rovnost:
$$
  p(x) = a\,q_1(x) + p_1(x)\,(x-\alpha).
$$
Dosazen�m $x=\alpha$ dost�v�me $p(\alpha) = a\,q_1(\alpha)$, tedy
$a = p(\alpha)/q_1(\alpha)$. Tento v�po�et lze prov�st, proto�e
d�ky v�t�\cite[nasobnostk] je $q_1(\alpha)\not = 0$.

Polynom  $p(x) - a\,q_1(x)$ m� ko�en $\alpha\in\C$, proto�e
$p(\alpha) - \bigl(p(\alpha)/q_1(\alpha)\bigr)\,q_1(\alpha) = 0$.
Existuje tedy podle v�ty\cite[korencdeli] polynom $p_1$ tak, �e
$ p(x) - a\,q_1(x) = p_1(x)\,(x-\alpha)$. P�i�ten�m 
$a\,q_1(x)$ a vyd�len�m polynomem $q$ dost�v�me dokazovanou rovnost.

Proto�e ${\rm St}(p_1)+1 \le \max\bigl({\rm St}(p),{\rm St}(q_1)\bigr)
< {\rm St}(q)$, \ je $\ {\rm St}(p_1) < {\rm St}(q) - 1$. Tak�e plat� i
tvrzen� o~stupni polynomu~$p_1$.

\veta [parczl2]
%%%%%
Nech� stupe� polynomu $p$ je men�� ne� stupe� polynomu $q$ a nech� $\alpha$ je
$k$-n�sobn�m ko�enem polynomu $q$. Symbolem $q_1$ ozna�me polynom,
kter� spl�uje $q(x) = (x-\alpha)^k q_1(x)$ pro v�echna $x\in\C$.
Pak existuj� ��sla $a_1,a_2,\ldots, a_k\in\C$ a polynom 
$p_2$ tak, �e plat�:
$$
  {p(x) \over q(x)} = {a_k\over (x-\alpha)^k} +
  {a_{k-1}\over (x-\alpha)^{k-1}} + \cdots +
  {a_1\over (x-\alpha)} + 
  {p_2(x) \over q_1(x)}
$$
pro v�echna $x\in\C$ s v�jimkou ko�en� polynomu $q$.
P�itom stupe� $p_2$ je men�� ne� stupe� $q_1$.

\dukaz
Opakovan�m pou�it�m v�ty\cite[parczlpom].  

\veta [parczl]
%%%%%
Pod�l polynom� $p/q$, kde stupe� $p$ je men�� ne� stupe� $q$, je roven
sou�tu kone�n� mnoha tzv.~{\em parci�ln�ch zlomk�\/} tvaru:
$$
  {a\over (x-\alpha)^u}
$$
kde $a\in\C$ je konstanta, $\alpha\in\C$ je ko�en 
$q$ n�sobnosti $k$ a $u\le k$, $u\in\N$.

\dukaz
Pou�ijeme v�tu\cite[parczl2] postupn� na v�echny ko�eny polynomu $q$.

\poznamka
%%%%%%%%%
D�kazy v�t\cite[parczlpom] a\cite[parczl2] jsou konstruktivn�, 
tj. poskytuj� n�vod, jak
spo��tat konstanty, kter� se vyskytuj� v �itatel�ch v�ech parci�ln�ch zlomk�.
�ten�� by m�l um�t po pe�liv�m p�e�ten� t�chto d�kaz� implementovat algoritmus,
kter� pro ka�d� dva polynomy $p$ a $q$ (stupe� $p$ je men�� ne�
stupe�~$q$ a u polynomu $q$ jsou zn�my ko�eny) sestav� sou�et 
parci�ln�ch zlomk�.

V kurzech kalkulu jedn� prom�n� se p�i integrov�n� lomen�ch funkc�
(tj. funkc� ve tvaru pod�lu polynom�) pracuje s~vybran�mi p��klady, 
ve kter�ch se poda�� naj�t ko�eny
jmenovatele. Je t�eba si ale uv�domit, �e pokud se nepoda�� ko�eny
jmenovatele p�esn� naj�t (co� je u polynom� stupn� p�teho a vy���ho
obvykl�), pak nelze p�esn� sestavit ani parci�ln� zlomky a integrovat m��eme
jen \uv{teoreticky}.

\poznamka
%%%%%%%%%
Abychom se p�i integraci vyhnuli komplexn�m ��sl�m, rozepisuj� se pod�ly
polynom� s~re�ln�mi koeficienty na sou�et parci�ln�ch zlomk� dvou
druh�. V�ta o sou�tu {\it re�ln�ch\/} parci�ln�ch zlomk� m� tvar:

\veta [parczlrell]
%%%%%
Pod�l polynom� $p/q$, kde stupe� $p$ je men�� ne� stupe� $q$ a oba
maj� re�ln� koeficienty, je roven sou�tu 
kone�n� mnoha tzv.~{\em parci�ln�ch zlomk�\/} tvaru:
$$
  {a\over (x-\alpha)^u} \quad\hbox{nebo}\quad {bx+c \over (x^2+s x + t)^v},
$$
kde $a\in\R$ je konstanta, $\alpha\in\R$ je ko�en polynomu $q$ n�sobnosti $k$ a 
$u\le k$, $u\in\N$. D�le $b,c\in\R$ jsou konstanty,
kvadratick� polynom
$(x^2+s x + t)$ m� re�ln� koeficienty a je sou�inem 
$(x-\beta)\cdot(x-\overline\beta)$, kde $\beta\in\C$,
$\beta\not\in\R$ je ko�en
polynomu $q$ n�sobnosti $r$ a plat� $v\le r$, $v\in\N$.

\dukaz Ve v�t�ch\cite[parczlpom] a\cite[parczl2] nahrad�me v�ude
mno�inu $\C$ mno�inou $\R$. V�ty pak plat�
za p�edpokladu, �e $p$ a $q$ jsou polynomy s re�ln�mi koeficienty.
K tomu mus�me pou��t je�t� n�sleduj�c� v�tu:

\veta [parczlrel]
%%%%%
Nech� $p$ a $q$ jsou polynomy s re�ln�mi koeficienty a 
nech� stupe� $p$ je men�� ne� stupe� $q$. P�edpokl�dejme, �e 
$\beta\in\C$, $\beta\not\in\R$ je
$k$-n�sobn�m ko�enem polynomu $q$. Symbolem $q_1$ ozna�me polynom,
kter� spl�uje $q(x) = (x-\beta)^k(x-\overline\beta)^k q_1(x)$ 
pro v�echna $x\in\C$.
Pak existuj� ��sla $b\in\R$, $c\in\R$ a polynom $p_1$ s re�ln�mi
koeficienty tak, �e plat�
$$
  {p(x) \over q(x)} = {bx+c\over (x-\beta)^k(x-\overline\beta)^k} + 
  {p_1(x) \over (x-\beta)^{k-1}(x-\overline\beta)^{k-1} q_1(x)}
$$
pro v�echna $x\in\C$ s v�jimkou ko�en� polynomu $q$.
P�itom stupe� polynomu $p_1$ je men�� ne� stupe� 
$(x-\beta)^{k-1}(x-\overline\beta)^{k-1} q_1(x)$.

\dukaz
Vyn�soben�m dokazovan� rovnosti polynomem $q$ dostaneme 
ekvivalentn� rovnost:
$$
  p(x) = (bx+c)\,q_1(x) + p_1(x)\,(x-\beta)\,(x-\overline\beta).
$$
Dosazen�m $x=\beta$ dost�v�me $p(\beta) = (b\,\beta+c)\,q_1(\beta)$.
Mus� tedy platit $b\,\beta+c = p(\beta)/q_1(\beta)$.
Tento v�po�et lze prov�st, proto�e d�ky v�t�m\cite[nasobnostk] 
a\cite[nasobnostpruhu] je $q_1(\beta)\not = 0$.

Ozna�me $\beta = u+iv$ a $p(\beta)/q_1(\beta) = t+is$,
kde $u,v,t,s\in\R$. Je $b\,(u+iv)+c = t+is$, tak�e
$b=s/v$ a $c=t-(s/v)\,u$. Z v�po�tu plyne, �e ��sla $b, c$ existuj� a
jsou re�ln�.

Polynom  $p(x) - (bx+c)\,q_1(x)$ m� ko�en $\beta\in\C$, proto�e
$p(\beta) - \bigl(p(\beta)/q_1(\beta)\bigr)\,q_1(\beta) = 0$.
Tento polynom m� tak� ko�en $\overline\beta$,
proto�e m� re�ln� koeficienty a plat� v�ta\cite[alphaspruhem].
Existuje tedy podle v�ty\cite[korencdeli] polynom $p_1$ s re�ln�mi
koeficienty tak, �e
$ p(x) - (bx+c)\,q_1(x) = p_1(x)\,(x-\beta)(x-\overline\beta)$. P�i�ten�m 
$(bx+c)\,q_1(x)$ a vyd�len�m polynomem $q$ dost�v�me dokazovanou rovnost.

Proto�e ${\rm St}(p_1)+2 \le \max\bigl({\rm St}(p),{\rm St}(q_1)+1\bigr)
< {\rm St}(q)$, \ je $\ {\rm St}(p_1) < {\rm St}(q) - 2$. Tak�e plat� i
tvrzen� o~stupni polynomu~$p_1$.

\poznamka
%%%%%%%%%
Uk�zkov� p��klady na p�evod lomen� funkce na sou�et parci�ln�ch zlomk� najde
�ten�� v~mnoha jin�ch u�ebn�ch textech ke kalkulu. Nebo m��e pou��t matematick�
software, kter� zvl�d� rozpis na sou�et parci�ln�ch zlomk�.
N�s zde hlavn� zaj�malo zd�vod�n� vysloven�ch v�t.


\okraj Ireducibiln� polynomy | Ireducibilni polynomy

\definice [polireduc]
%%%%%%%%%
Nech� polynom $p$ m� koeficienty z n�jak�ho t�lesa~$T$.
Pokud vyhodnocujeme polynom jen pro $x\in T$ a operace 
$+$, $\cdot$ ve vzorci pro hodnotu polynomu jsou operace 
definovan� v~t�lese $T$, pak ��k�me, �e polynom $p$ je
{\em nad t�lesem $T$}.

Nech� $p$ je polynom nad t�lesem $T$.
��k�me, �e {\em $p$ je reducibiln� v~$T$}, pokud existuj�
polynomy $q$, $r$ stupn� aspo� prvn�ho nad~$T$ tak, 
�e $p=q\,r$. Polynom $p$ je {\em ireducibiln� v~$T$}, 
jestli�e nen� reducibiln� v~$T$.
\inl[polynom: reducibiln�, reducibiln�: polynom]
\inl[polynom: ireducibiln�, ireducibiln�: polynom]

\poznamka
%%%%%%%%%
Slovo {\em ireducibiln�\/} m��eme p�elo�it jako 
{\em nerozlo�iteln�\/} na sou�in polynom� ni���ho stupn� 
v~��seln�m oboru koeficient�, kter� 
je stanoven t�lesem~$T$. Nap��klad polynom $x^2+1$ je ireducibiln� v~$\R$, ale
nen� ireducibiln� v~$\C$, proto�e $x^2+1=(x-i)(x+i)$.

Z definice je z�ejm�, �e konstantn� polynomy a polynomy stupn� prvn�ho
jsou ur�it� ireducibiln� v~libovoln�m t�lese, proto�e podle 
v�ty\cite[pstupen] nemohou
existovat dva polynomy stupn� aspo� prvn�ho, jejich� sou�in je polynom
stupn� nejv��e prvn�ho.

Z fundament�ln� v�ty algebry plyne tento d�le�it� poznatek:
{\it ireducibiln� polynomy v~$\C$ jsou pouze polynomy stupn� nejv��e
prvn�ho}, nebo jinak: {\it v�echny polynomy stupn� aspo� druh�ho jsou
v~$\C$ reducibiln�}, nebo je�t� jinak: {\it pro ka�d� nenulov� polynom
existuje rozklad na ko�enov� �initele, co� je
rozklad na sou�in ireducibiln�ch polynom� v~$\C$}.

Re�ln� rozklad popsan� ve v�t�\cite[rrozkladp] je rozkladem na 
sou�in ireducibiln�ch polynom� v~$\R$. Z~t�to v�ty plyne, 
�e {\it ireducibiln� polynom v $\R$ m� stupe� nejv��e~$2$}.
Ireducibiln� polynom $ax^2+bx+c$ v~$\R$ stupn� 
druh�ho pozn�me tak, �e m� z�porn� diskriminant $D=b^2-4ac$.

M�-li polynom stupn� aspo� druh�ho nad t�lesem $T$ ko�en 
v t�lese~$T$, pak je reducibiln� v~$T$. Obr�cen� tvrzen� 
\uv{nem�-li polynom v~t�lese $T$ ko�en, pak je ireducibiln� v~$T$\/}
neplat�. Nap��klad $(x^2+1)^2$ nem� v $\R$ ko�en, ale lze jej rozlo�it
na sou�in polynom� $(x^2+1)\,(x^2+1)$ s~re�ln�mi koeficienty.

\priklad
%%%%%%%%
Polynom $x^8-1$ z p��kladu\cite[binom8] m� rozklad na
sou�in ireducibiln�ch polynom� v $\C$:
$$
  \textstyle
  x^8-1 = \bigl(x-1\bigr) \,\bigl(x-{\sqrt2\over2}-i{\sqrt2\over2}\bigr) 
                \,\bigl(x-{\sqrt2\over2}+i{\sqrt2\over2}\bigr)
          \,\bigl(x-i\bigr)\,\bigl(x+i\bigr)
                \,\bigl(x+{\sqrt2\over2}-i{\sqrt2\over2}\bigr) 
                \,\bigl(x+{\sqrt2\over2}+i{\sqrt2\over2}\bigr)
          \,\bigl(x+1\bigr),
$$
zat�mco rozklad t�ho� polynomu na sou�in ireducibiln�ch polynom�
v~$\R$ je
$$
  x^8-1 = (x-1)\, (x+1)\, (x^2+1)\, (x^2+\sqrt2\,x+1)\, (x^2-\sqrt2\,x+1)
$$
a kone�n� rozklad na sou�in ireducibiln�ch polynom� v~$\Q$ (t�lese
racion�ln�ch ��sel) vypad� n�sledovn�:
$$
  x^8-1 = (x-1)\, (x+1)\, (x^2+1)\, (x^4+1).
$$

\shrnuti
%%%%%%%%
Polynom jsme zavedli jako funkci danou vzore�kem\lcite[dpolf] nebo
jako vzore�ek samotn�\lcite[dpolv]. Definovali jsme sou�et a
skal�rn� n�sobek t�chto vzore�k�\lcite[polvplus] a uk�zali, �e
tvo�� line�rn� prostor\lcite[PX], kter� je izomorfn� s prostorem
polynom� jako funkc�\lcite[polyniso].

Krom� s��t�n� polynom� a n�soben� polynomu konstantou um�me polynomy
tak� n�sobit mezi sebou\lcite[psoucin] a hledat ��ste�n� pod�l\lcite[delenip]. 

Uvedli jsme si\lcite[horner3], �e Hornerovo sch�ma umo�n� nejen efektivn�
vyhodnocovat polynomy ve zvolen�ch bodech $\alpha$, ale meziv�po�ty
nav�c tvo�� koeficienty ��ste�n�ho pod�lu vyhodnocovan�ho polynomu
polynomem $(x-\alpha)$.

Definovali jsme ko�en polynomu\lcite[dkoren] a dok�zali, �e polynom
je d�liteln� sv�m ko�enov�m �initelem beze zbytku\lcite[korencdeli].
Z toho vyplynul rozklad polynomu na sou�in ko�enov�ch
�initel�\lcite[prozklad]. Z�kladn� v�ta algebry\lcite[fund]
zaru�uje, �e tento rozklad lze prov�st v oboru komplexn�ch ��sel. 
P�itom si mus�me b�t v�domi, �e pro obecn� polynomy stupn� p�t�ho a
vy���ho vzorce na p�esn� v�po�et ko�en� z koeficinet� 
neexistuj�\lcite[hledanikorenu],
tak�e rozklad je mo�n� ps�t jen teoreticky.
 
Uvedli jsme si v�ty~/\ncite[delia0], \ncite[delirac]/, kter� uv�d�j�,
�e v p��pad� celo��seln�ch koeficient� d�l� p��padn� celo��seln� 
ko�eny koeficient $a_0$ resp. p��padn� racion�ln� ko�en m� jist�
vztak ke koeficient�m $a_0$ a $a_n$. Ov�em probl�m je v tom, �e polynom
s celo��seln�i koeficienty nemus� m�t ��dn� racion�ln� ko�en (co� je
nav�c typick� vlastnost). Pom��e n�m to ke hled�n� ko�en� jen
pro \uv{modelov� p��klady}.

V�ty~/\ncite[alphaspruhem], \ncite[nasobnostpruhu]/ ��kaj�, �e
polynomy s re�ln�mi koeficienty maj� sv� nere�ln� komplexn� ko�eny
v p�rech vz�jemn� komplexn� sdru�en� a stejn� n�sobnosti.
To inspiruje k re�ln�mu rozkladu polynomu na sou�in: sta�� sn�sobit
ko�enov� �initele typu $(x-\alpha)(x-\overline\alpha)$, co� je
kvadratick� polynom s re�ln�mi koeficienty a se z�porn�m
diskriminantem. 

Kr�tce jsme zm�nili rozklad racion�ln� lomen� funkce na parci�ln�
zlomky~/\ncite[parczl],\cite[parczl2]/ v�etn� re�ln� 
alternativy~/\ncite[parczlrell],\cite[parczlrel]/.

Definovali jsme pojem ireducibiln� polynom\lcite[polireduc].



% LocalWords:  Polynomy polynomy




%% zarazeno nove od zari 2006

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola [grupy] Grupa, t�leso | Grupa, teleso
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\pozn [pteleso]
%%%%%
N�sleduj�c� text a� do konce kapitoly je pon�kud abstrakn�j�� povahy.
P�itom se jeho znalost nep�edpokl�d� pro pochopen� dal��ch kapitol.
Pokud tedy �ten�� nechce b�t hned v~po��tku studia zahlcen
pojmy o algebraick�ch struktur�ch, m��e tento text p�esko�it.

\pozn
Re�ln� ��sla jsou mno�ina prvk�, kter� um�me vz�jemn� s��tat a
vz�jemn� n�sobit. P�esn�ji, je to mno�ina $\R$, na kter� jsou definov�ny
obvykl� operace $+: \R\times\R\to\R$ a $\cdot:
\R\times\nobreak\R\to\nobreak\R$\penalty-500 \space s~jist�mi
vlastnostmi (asociativn� z�kon, distributivn� z�kon, atd.). 
T�mito vlastnostmi se budeme inspirovat a pokus�me se
vybudovat abstraktn� algebraickou strukturu, tzv. {\it t�leso}. Jedn�m
z mo�n�ch konkr�tn�ch p��klad� t�lesa pak samoz�ejm� budou re�ln� ��sla.
Jenom�e krom� nich budeme nach�zet i jin� p��klady t�les.
Za�neme nejprve strukturou s~jedinou operac�.

\okraj Grupa  | Grupa

\definice [dgrupa]
%%%%%%%%%
Mno�inu $G$, na kter� je definov�na operace $\Circ: G\times G\to G$
naz�v�me {\em grupou}, pokud pro tuto operaci plat�:
$$\eqalign{
\bod (1) \forall x, y, z \in G: (x\Circ y)\Circ z = x\Circ (y\Circ z)
         \quad\hbox{ (asociativn� z�kon)}, \cr
\bod (2) \exists e\in G, \hbox{ pro kter� plat� }\forall x\in G: e\Circ x = x\Circ e = x
         \quad\hbox{ (existence neutr�ln�ho/jednotkov�ho prvku)}, \cr
\bod (3) \forall x\in G \ \exists y\in G: x\Circ y = y\Circ x = e
         \ \hbox{ (existence opa�n�ho/inverzn�ho prvku $y$ pro ka�d� prvek $x$)}. \cr
\noalign{\medskip\hbox{\kern-5pt Pokud nav�c plat�}\medskip}
\bod (4)  \forall x, y \in G: x\Circ y = y\Circ x
         \quad\hbox{ (komutativn� z�kon)}, \cr}
$$
pak grupu $G$ naz�v�me {\em komutativn� grupou}. Z historick�ch d�vod�
a z �cty k norsk�mu matematikovi, kter� rozpracoval teorii grup a 
bohu�el zem�el ml�d na z�ke�nou nemoc ve v�ku 26 let, 
se komutativn� grupa naz�v� t� {\em Abelova grupa}.
\inl[grupa, axiomy: grupy]
\inl[grupa: Abelova, Abelova grupa]
\inl[Abel: Niels Henrik]
\inl[grupa: komutativn�, grupa: nekomutativn�]
\inl[prvek: neutr�ln�, prvek: jednotkov�, prvek: inverzn�, prvek: opa�n�]
\inl[neutr�ln�: prvek, jednotkov�: prvek, inverzn�: prvek, opa�n�: prvek]
\inl[z�kon: asociativn�, z�kon: komutativn�, komutativn�: z�kon, asociativn�: z�kon]

\poznamka
%%%%%%%%%
Niels Abel mimo jin� pomoc� teorie grup dok�zal, �e nelze pro obecn� polynom stupn�
vy���ho ne�~4 naj�t vzorec na v�po�et jeho ko�en� z~jeho
koeficient�. Pro polynomy stupn� 1, 2, 3 a 4 p�itom takov� vzorce
existuj�. Pro stupe� 2 se jej ��ci u�� zpam�ti: 
$x_{1,2}=(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})/2a$.
\inl[Abel: Niels Henrik]
\inl[ko�en: polynomu]

\priklad
%%%%%%%%
Jednoprvkov� mno�ina $G=\{e\}$ s operac� $e\Circ e=e$ je nejmen��
mo�nou grupou.
\inl[grupa: jednoprvkov�]

\priklad
%%%%%%%%
Mno�ina $\R$ s operac� s��t�n� tvo�� grupu. Skute�n� plat�
asociativn� z�kon pro s��t�n� re�ln�ch ��sel: $(x+y)+z=x+(y+z)$,
d�le existuje neutr�ln� prvek 0, pro kter� $0+x=x+0=x$
a kone�n� pro ka�d� $x\in\R$ existuje $y= -x$ tak, �e $x + y = y + x = 0$.
Nav�c se jedn� o grupu komutativn�, proto�e s��t�n� re�ln�ch ��sel je
komutativn�. 
\inl[grupa: R]

Pokud operaci grupy zna��me symbolem \uv{$+$} (jako v tomto p��klad�),
pak obvykle o prvku $e$ z~vlastnosti~(2) mluv�me jako o neutr�ln�m prvku 
a zna��me ho symbolem \uv{0} (t� nula, nulov�
prvek) a prvek $y$ z vlastnosti (3) naz�vame {\em opa�n�\/} a zna��me
$-x$. P�i�ten� opa�n�ho prvku v komutativn� grup� pak naz�v�me {\em ode��t�n�\/}
a m�sto $a+(-b)$ p��eme $a-b$.
\inl[opa�n�: prvek, prvek: opa�n�, ode��t�n�]

\priklad
%%%%%%%%
Mno�ina $\R\setminus\{0\}$ s operac� n�soben� tvo�� grupu.
Skute�n� plat�
asociativn� z�kon pro n�soben� re�ln�ch ��sel: $(x\cdot y)\cdot
z=x\cdot (y\cdot z)$,
d�le existuje jednotkov� prvek 1, pro kter� $1\cdot x=x\cdot 1=x$
a kone�n� pro ka�d� $x\in\R\setminus\{0\}$ existuje 
$y= x^{-1}$ tak, �e $x\cdot y = y\cdot x = 1$.
Nav�c se jedn� o grupu komutativn�, proto�e n�soben� re�ln�ch ��sel je
komutativn�.
\inl[grupa: R]

Pokud operaci grupy zna��me symbolem \uv{$\cdot$},
pak obvykle prvek $e$ z vlastnosti~(2) zna��me symbolem~\uv{1} 
(jedna, jednotkov� prvek). 
Prvek $y$ z vlastnosti (3) naz�vame {\em inverzn�\/} a zna��me $x^{-1}$.
N�soben� inverzn�m prvkem v komutativn� grup� naz�v�me {\em d�len�\/}
a m�sto $a\cdot b^{-1}$ p��eme $a/b$ nebo $a\over b$.
\inl[inverzn�: prvek, prvek: inverzn�]

\priklad
%%%%%%%%
Mno�ina $\R$ s operac� n�soben� netvo�� grupu, proto�e 0 nem� inverzn�
prvek.

\priklad
%%%%%%%%
Mno�ina v�ech re�ln�ch funkc� $F=\{f: \R\to\R,\,\hbox{$f$ je prost� a \uv{na}}\}$ 
s operac� {\it skl�d�n� funkc�} $\circ:F\times F\to F$, definovanou pomoc� 
$(g\circ f) (x)$ = $g\bigl(f(x)\bigr)$ $\forall x\in\R$, tvo��
grupu. Skute�n� plat� asociativn� z�kon $(f\circ g)\circ h = f\circ(g\circ h)$
a existuje jednotkov� prvek: identick� zobrazen� $i$, pro kter� $i(x)=x$.
Ke ka�d� prost� funkci $f$ lze setrojit funkci inverzn� $f^{-1}$ tak, �e
$f\circ f^{-1} = f^{-1}\circ f = i$. P�itom se nejedn� o grupu
komutativn�, proto�e nap��klad pro $f(x)=x^3$, $g(x)=1+x$ je
$(f\circ g) (x) = (1+x)^3$, zat�mco $(g\circ f) (x) = 1+x^3$.
\inl[grupa: funkc�, grupa: nekomutativn�]

\priklad [gpermutaci]
%%%%%%%%
Kdybychom v p�edchoz�m p��klad� m�sto funkc� $f$ z $\R$ na $\R$ uva�ovali
prost� zobrazen� $p$ z n�jak� mno�iny $M$ na $M$, 
dost�v�me znovu grupu, kter� nemus� b�t komutativn�.
V p��pad� kone�n� mno�iny $M$ se jedn� o grupu permutac�.
\inl[grupa: permutac�, grupa: nekomutativn�, permutace]

\priklad
%%%%%%%%
Mno�ina $M\subseteq\R^{n,n}$ v�ech regul�rn�ch matic (viz\cite[dregul]) 
s~operac� n�soben� matic tvo�� p��klad nekomutativn� grupy.
\inl[grupa: regul�rn�ch matic, grupa: nekomutativn�]

\priklad [Gcyclic]
%%%%%%%%
Mno�ina ��sel $\{0,1,2,\ldots,k-1\}$ s operac� $a\oplus b=a+b$ modulo $k$
tvo�� komutativn� grupu. P�ipom�n�me, �e \uv{$x$ modulo $y$} je zbytek p�i
d�len� ��sla~$x$ ��slem~$y$. 
Neutr�ln�m prvkem t�to grupy je 0 a opa�n�m prvkem 
k~prvku $a\not=0$ je prvek $k-a$. Samoz�ejm�, opa�n�m prvkem k prvku
neutr�ln�mu je prvek neutr�ln�, co� ostatn� plat� v~libovoln� grup�.
\inl[grupa: komutativn�]

\priklad
%%%%%%%%
Line�rn� prostor se svou operac� s��t�n� vektor� (podle definice\cite[dlp])
tvo�� komutativn� grupu. Skute�n�, asociativn� z�kon je postulov�n
vlastnost� (2) v~definici\cite[dlp], neutr�ln�m prvkem je nulov�
vektor (viz vlastnost (1) v�ty\cite[nulprvek]) a opa�n� vektor
k vektoru $\vec x$ je vektor $-\vec x = (-1)\cdot \vec x$, proto�e
$$
(-1)\cdot\vec x + \vec x = (-1)\cdot\vec x + 1\cdot\vec x =
(-1+1) \cdot \vec x = 0\cdot \vec x = \vec o.
$$
Kone�n� z vlastnosti (1) definice\cite[dlp] plyne, �e se jedn� o grupu
komutativn�.
\inl[grupa: komutativn�]

\pozn [gdlp]
%%%%%
Obr�cen�, pomoc� pojmu grupa m��eme v�znamn� zkr�tit na�� definici
line�rn�ho prostoru\cite[dlp]:

{\em Line�rn�m prostorem} je mno�ina $L$, kter� s operac� $+:L\times L\to L$
tvo�� komutativn� grupu. D�le mus� b�t na mno�in� $L$ definov�na
operace $\cdot:\R\times L\to L$, s vlastnostmi
$\forall \alpha, \beta\in\R, \forall \vec x, \vec y\in L$:
$$\eqalign{
\bod (A) \alpha\cdot(\beta\cdot\vec x) = (\alpha\beta)\cdot\vec x, \cr
\bod (B) \alpha\cdot(\vec x + \vec y) = \alpha\cdot\vec x + \alpha\cdot\vec y, \cr
\bod (C) (\alpha+\beta)\cdot\vec x = \alpha\cdot\vec x + \beta\cdot\vec x, \cr
\bod (D) 1\cdot \vec x = \vec x. \cr}
$$
\par\inl[prostor: line�rn�, line�rn�: prostor, axiomy: line�rn�ho prostoru]

Vzhledem k tomu, �e vlastnosti (1), (2) definice\cite[dlp] p��mo
koresponduj� s vlastnostmi komutativn� grupy, sta�� ov��it, �e n�m z t�to nov�
definice vyplyne vlastnost (7) definice\cite[dlp], kter� jedin� zde
chyb�. Existence nulov�ho
vektoru je zaji�t�na jako existence neutr�ln�ho prvku $\vec o$ v grup�.
Je pot�eba uk�zat, �e pro libovoln� $\vec x\in L$ je 
vektor $0\cdot \vec x$ roven neutr�ln�mu prvku $\vec o$. 
K vektoru $0\cdot\vec x$ ov�em existuje v grup� prvek opa�n�
$-\,0\cdot\vec x$. Ten p�i�teme k ob�ma stran�m rovnice
$0\cdot\vec x=(0+0)\cdot\vec x = 0\cdot\vec x+0\cdot\vec x$. Na lev� stran�
dost�v�me $0\cdot\vec x + (-\,0\cdot\vec x) = \vec o$. Na prav� stran�
je $ 0\cdot\vec x+0\cdot\vec x + (-0\cdot\vec x) = 0\cdot\vec x + \vec o
= 0\cdot\vec x$. Porovn�n�m lev� a prav� strany m�me v�sledek
$\vec o = 0\cdot\vec x$.
\inl[vektor: nulov�, nulov�: vektor]

\poznamka
%%%%%%%%%
Axiomy grupy v definici\cite[dgrupa] explicitn� 
neuv�d�j�, �e v grup� existuje jen jedin� neutr�ln� prvek 
a ke ka�d�mu prvku existuje jen jedin� prvek opa�n�. 
N�sleduj�c� v�ta ukazuje, �e to nicm�n� plat� jako jednoduch� d�sledek
axiom�.

\veta [jedinye]
%%%%%
{}(A) Ka�d� grupa m� jen jedin� neutr�ln�/jednotkov� prvek. 
(B) Ke ka�d�mu prvku grupy existuje jedin� opa�n�/inverzn� prvek.
\inl[prvek: neutr�ln�, neutr�ln�: prvek, prvek: jednotkov�, jednotkov�: prvek]
\inl[prvek: opa�n�, opa�n�: prvek, prvek: inverzn�, inverzn�: prvek]

\dukaz
%%%%%%
(A) P�edpokl�d�me dva neutr�ln� prvky $e_1$, $e_2$. Mus� platit
$e_1=e_1\Circ e_2$, proto�e $e_2$ je neutr�ln�. Mus� tak� platit
$e_2=e_1\Circ e_2$, proto�e $e_1$ je neutr�ln�. Tak�e $e_1=e_1\Circ
e_2=e_2$ a neutr�ln� prvky se neli��.

(B) Nech� $x\in G$ m� dva inverzn�/opa�n� prvky $y_1$ a $y_2$. Ozna�me
$e$ neutr�ln� prvek.
Pak plat�: $y_1 = e\Circ y_1 = (y_2\Circ x)\Circ y_1 = y_2\Circ(x\Circ y_1) = 
y_2\Circ e = y_2$, tak�e $y_1=y_2$.

\veta [gruparesirovnice]
%%%%%
Nech� na nepr�zdn� mno�in� $G$ je d�na operace $\Circ:G\times G\to
G$, pro kterou plat� asociativn� z�kon (1) z definice grupy\cite[dgrupa]. Pak
vlastnosti (2) a (3) z definice grupy jsou ekvivalentn� s vlastnost�:
pro ka�d� $a, b\in G$ existuj� $x, y\in G$, kter� �e�� rovnice
$a\Circ x = b$ a $y\Circ a = b$.

\dukaz
Nech� nejprve plat� vlastnosti (1), (2), (3) z definice grupy\cite[dgrupa].
Ozna�me $a^{-1}$ inverzn� prvek k~prv\-ku~$a$. Pak $x=a^{-1}\Circ b$
�e�� rovnici $a\Circ x = b$, proto�e $a\Circ(a^{-1}\Circ b) 
= (a\Circ a^{-1})\Circ b = e\Circ b = b$. Z~podobn�ch d�vod�
$y=b\Circ a^{-1}$ �e�� rovnici $y\Circ a = b$.

Nech� nyn� plat� asociativn� z�kon (1) a um�me �e�it uveden� rovnice.
Volme $a\in G$. Ozna�me $e_a$ �e�en� rovnice $a\Circ x = a$, tj. plat�
$a\Circ e_a=a$. Uk�eme nejprve, �e pro libovoln� $b\in G$ je 
$b\Circ e_a=b$. Nech� $y\in G$ �e�� rovnici $y\Circ a=b$. Pak plat�
$b\Circ e_a=(y\Circ a)\Circ e_a=y\Circ(a\Circ e_a)=y\Circ a=b$. Vid�me
tedy, �e �e�en� $e_a$ rovnice $a\Circ x = a$ nez�vis� na volb� 
prvku $a$, tak�e sta��
prvek $e_a$ ozna�ovat $e$. Podobn� lze uk�zat, �e tak� �e�en� rovnice
$y\Circ a=a$ nez�vis� na volb� prvku $a$. Ozna�me toto �e�en� $f$.
Nyn� podobn� jako v~d�kazu v�ty\cite[jedinye] je $f\Circ e=f$,
proto�e $e$ �e�� $a\Circ e=a$ a plat� $f\Circ e=e$, proto�e $f$ �e��
$f\Circ a=a$. Tak�e $e=f$ a toto je jednotkov� prvek grupy.

Sestroj�me inverzn� prvek k prvku $x\in G$. Nech� $u$ �e�� rovnici 
$x\Circ u=e$ a $v$ �e�� rovnici $v\Circ x=e$. Plat�
$v=v\Circ e=v\Circ(x\Circ u)=(v\Circ x)\Circ u=e\Circ u=u$, tak�e
$u=v$ je inverzn� prvek k prvku $x$.

%a $e_b$ �e�en� rovnice
%$y\Circ b = b$. Uk�i nejprve, �e $e_a=e_b$.
%Ozna��m $u$ �e�en� rovnice $u\Circ a=e_b$ a $v$ �e�en� rovnice
%$b\Circ v=e_a$.
%Rovnost $a\Circ e_a = a$  vyn�sob�m $u$ zleva a rovnost
%$e_b\Circ b = b$ vyn�sob�m 
%$v$ zprava: $u\Circ a\Circ e_a = u\Circ a$, $e_b\Circ b \Circ v =
%b\Circ v$. Proto�e $u$ �e�� rovnici $u\Circ a=e_b$ a $v$ �e�� rovnici $b\Circ
%v=e_a$, dost�v�m: $e_b\Circ e_a = e_b$ a $e_b\Circ e_a =
%e_a$. Tak�e $e_b = e_b\Circ e_a = e_a$. Z~p��padu $a=b$ vypl�v�, �e
%�e�en� rovnice $a\Circ x = a$ je stejn� jako �e�en� rovnice $x\Circ a = a$, tak�e v
%tomto p��pad� nez�le�� na po�ad� n�soben�. P�i $a\not=b$ dost�v�me, �e
%�e�en� rovnic $a\Circ x = a$, $x\Circ a = a$ nez�vis� na volb� prvku
%$a$. Toto �e�en� je neutr�ln� prvek $e$. Nyn� sestroj�m inverzn�
%prvek k prvku $x$. Nech� $u$ �e�� rovnici $x\Circ u=e$ a $v$ �e��
%rovnici $v\Circ x=e$. Vyn�soben�m prvn� rovnice prvkem $v$ zleva
%a druh� prvkem $u$ zprava dost�v�me $v\Circ x\Circ u=v$, $v\Circ
%x\Circ u=u$. Tak�e $u=v$ a toto je hledan� inverzn� prvek k prvku $x$.

\okraj Pologrupa, grupoid | Pologrupa, grupoid

\pozn
%%%%%
Vzhledem k p�edchoz� v�t� se v n�kter� literatu�e definuje grupa jen
pomoc� asociativn�ho z�kona a �e�itelnosti rovnic (jen dv�
vlastnosti). Pokud plat� jen asociativn� z�kon a �e�itelnost rovnic
nen� po�adov�na, mluv� se o {\em pologrup�}. 
Pokud je pouze d�na operace $\Circ:G\times G\to G$ bez dal��ch
vlastnost�, mluv� se v n�kter� literatu�e o {\em grupoidu}.
Tak�e mno�ina s operac� je grupoid. Grupoid s~asociativn�m z�konem je
pologrupa. Pologrupa s �e�itelnost� rovnic je grupa. 
\inl[pologrupa, grupoid, grupa]

\okraj Podgrupa | Podgrupa

\definice
%%%%%%%%%
Nech� $G$ je grupa s operac� $\Circ$. Pokud $G_1\subset G$ je sama o sob� 
grupou se stejnou operac� (tj. speci�ln� $\Circ:G_1\times G_1\to G_1$
a plat� vlastnosti (1)--(3) definice grupy\cite[dgrupa]), naz�v�me $G_1$ 
{\em podgrupou} grupy~$G$.
\inl[podgrupa]

\pozn [podstruktura]
%%%%%
V��e uvedenou definici uv�d�m hlavn� proto, aby m�l �ten�� mo�nost ji porovnat 
s~definic� podprostoru\cite[dlpp] a shledal, �e z�kladn� my�lenka definice
podstruktury je po��d stejn�. V~p��pad� ov��ov�n� podgrupy je kontrola
asociativn�ho z�kona (1) zbyte�n� (je zaru�en u� ve vn�j�� grup�), ale
vlastnosti $x\Circ y\in G_1$, $e\in G_1$ a existence inverzn�ho prvku
v $G_1$ jsou podstatn�.

\priklad
%%%%%%%%
Mno�ina $\bf Z$ cel�ch ��sel s operac� s��t�n� \uv{$+$} je podgrupou grupy $\R$
re�ln�ch ��sel se stejnou operac�.

\priklad
%%%%%%%%
Mno�ina ${\bf Z}\setminus\{0\}$ cel�ch nenulov�ch ��sel s operac� n�soben� 
\uv{$\cdot$} nen� podgrupou grupy $\R\setminus\{0\}$
re�ln�ch ��sel se stejnou operac�, proto�e k ��sl�m r�zn�m od $-1$ a
$1$ neexistuje na mno�in� ${\bf Z}\setminus\{0\}$ inverzn� prvek.
Na druh� stran� se jedn� o pologrupu, proto�e n�soben� je uzav�eno na
nenulov� cel� ��sla a je samoz�ejm� asociativn�.

\okraj T�leso | Teleso

\definice [dteleso]
%%%%%%%%%
{\em T�leso\/} je mno�ina $T$ se dv�ma operacemi obvykle ozna�ovan�mi
$+:T\times T\to T$ a $\cdot:T\times T\to T$, kter� maj� n�sleduj�c� vlastnosti:

(1) $T$ s operac� \uv{$+$} je komutativn� grupa. Neutr�ln� prvek t�to grupy
je ozna�en symbolem $0$.

(2) $T\setminus\{0\}$ s operac� \uv{$\cdot$} je komutativn�
grupa. Jednotkov� prvek t�to grupy se zna�� symbolem $1$.

(3) Operace \uv{$+$} a \uv{$\cdot$} spl�uj� distributivn� z�kon:
$a\cdot(b+c) = a\cdot b + a\cdot c$.
\inl[t�leso, axiomy: t�lesa, z�kon: distributivn�, distributivn�: z�kon]

\poznamka
%%%%%%%%%
N�kte�� auto�i v definici t�lesa nepo�aduj� komutativitu grupy
vzhledem k n�soben� a pokud je spln�na, mluv� o {\em komutativn�m
t�lese}. Existuj� p��klady, kdy komutativita n�soben� nen� spln�na
D�le�it�m p��kladem jsou {\em kvaterniony\/}: 
��sla podobn� komplexn�m, ale se t�emi nez�visl�mi
imagin�rn�mi jednotkami. Kvaterniony se u��vaj�
nap��klad p�i popisu 3D~transformac� v po��ta�ov� 
grafice\bcite[zara]. V~na�em textu budeme u t�les v�dy p�edpokl�dat
komutativitu obou operac�.
\inl[t�leso: komutativn�, komutativn�: t�leso]
\inl[t�leso: nekomutativn�, nekomutativn�: t�leso]
\inl[kvaterniony]

\priklad
%%%%%%%%
Re�ln� ��sla s operacemi s��t�n� a n�soben� tvo�� t�leso.
\inl[t�leso: R]

\priklad
%%%%%%%%
Racion�ln� ��sla jsou podt�lesem t�lesa re�ln�ch ��sel. Podt�leso je
definov�no v~souladu s~pozn�mkou\cite[podstruktura] jako podmno�ina
t�lesa, kter� sama o sob� se stejn�mi operacemi tvo�� t�leso.
\inl[podt�leso]

\priklad
%%%%%%%%
Mno�ina cel�ch ��sel s operacemi s��t�n� a n�soben� netvo�� t�leso,
proto�e pro operaci n�soben� neexistuje pro v�echna nenulov� cel�
��sla inverzn� prvek jako cel� ��slo.
Toto je p��klad struktury, kter� m� v�echny vlastnosti t�lesa s v�jimkou jedin�:
nen� zaru�ena existence inverzn�ho prvku pro~n�soben�. Takov�
struktura se naz�v� {\em okruh}. 
\inl[okruh]

\priklad
%%%%%%%%
Mno�ina komplexn�ch ��sel s operacemi s��t�n� a n�soben� tvo�� t�leso.
\inl[t�leso: C]

\veta [vteleso]
%%%%%
Pro libovoln� prvky $a, b$ z t�lesa plat�: 
$a\cdot b = 0$ pr�v� tehdy, kdy� $a=0$ nebo $b=0$.

\dukaz
($\Rightarrow$):
$T\setminus\{0\}$ mus� b�t podle vlastnosti (2) definice\cite[dteleso]
vzhledem k n�soben� grupa, tj. sou�in
dvou nenulov�ch prvk� mus� b�t prvek nenulov�. Jin�mi slovy, pokud
sou�in vych�z� nulov�, mus� aspo� jeden z �initel� b�t nula.

($\Leftarrow$): Je t�eba dok�zat, �e $0\cdot a = 0$.
Proto�e 0 je neutr�ln� prvek vzhledem ke s��t�n�, plat� $0+0=0$. 
D�ky distributivn�mu z�konu je 
$0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a$. K ob�ma stran�m
rovnosti p�i�teme opa�n� prvek k prvku $0\cdot a$, tedy prvek $-\,0\cdot a$.
Na lev� stran� dost�v�me 0 a na prav� $0\cdot a$.

\okraj Galoisovo t�leso se dv�ma prvky | Galoisovo teleso se dvema prvky

\priklad [pZ2]
%%%%%%%%
T�leso mus� podle definice obsahovat 0 a 1 a tyto dva prvky musej� b�t
r�zn�. Tak�e t�leso mus� obsahovat aspo� dva prvky. Uk�eme, �e
existuje t�leso, kter� obsahuje jen tyto dva prvky, tedy $T=\{0,1\}$.

\penalty-200

Operaci \uv{$+$} definujeme: $0+0=0, \ 0+1=1+0=1, \ 1+1=0$. Operaci
\uv{$\cdot$} definujeme jako obvykl� n�soben�:
$0\cdot0=0\cdot1=1\cdot0=0, \ 1\cdot1=1$. Mno�ina $T=\{0,1\}$ s takto
zaveden�mi operacemi tvo�� t�leso.

Skute�n�, pro operaci \uv{$+$} plat� asociativn� z�kon, 0 je neutr�ln�
prvek, opa�n� prvek k $0$ je $0$ a opa�n� prvek k $1$ je $1$. Grupa
$T\setminus\{0\}$ vzhledem k n�soben� je jednoprvkov� a v�echny
vlastnosti grupy zde plat� zcela samoz�ejm�. Je rovn� spln�n
distributivn� z�kon. 

S��t�n� je v tomto t�lese tot� co ode��t�n�. Inverzn� prvek k 1 je 1.

T�lesa s kone�n� mnoha prvky se z historick�ch d�vod� naz�vaj� {\em
Galoisova t�lesa}. 
V na�em p��klad� $T=\{0,1\}$ se tedy jedn� o
Galoisovo t�leso se dv�ma prvky.

�variste Galois byl francouzsk� matematik, kter� bohu�el zem�el
ml�d  ve v�ku 20 let na n�sledky zran�n� v souboji.
I jeho teorie dokazuje mimo jin�
nemo�nost algebraick�ho popisu ko�en� polynom� stupn� v�t��ho ne� 4. Tato teorie
je zn�m�j�� ne� Abelova, ov�em byla zve�ejn�na o p�t let pozd�ji.
\inl[t�leso: Galoisovo, Galoisovo: t�leso, t�leso: kone�n�, kone�n�: t�leso]
\inl[t�leso: Z2, Z2, t�leso: GF2, GF2]
\inl[Galois �variste]
\inl[Avel: Niels Henrik]

\poznamka
%%%%%%%%%
Je-li t�eba na dvouprvkov� mno�in� definovat operace s��t�n� a n�soben�
tak, abychom z�skali t�leso, nen� mo�n� to ud�lat jinak, ne� 
v p��kladu\cite[pZ2]. P�edev��m 0 je neutr�ln� prvek vzhledem ke
s��t�n�, tak�e podle vlastnosti~(2) definice grupy\cite[dgrupa]
mus� $0+0=0$, $0+1=1+0=1$. D�le mno�ina $\{1\}$ mus� b�t grupou
vzhledem k n�soben�, tak�e mus� $1\cdot1=1$. D�le mus� platit
$0\cdot a=a\cdot 0=0$, jinak by nebyla spln�na v�ta\cite[vteleso].
Zb�v� ot�zka, zda m��eme definovat $1+1=1$. Nem��eme, proto�e
pak by prvek~1 nem�l prvek opa�n�.

\okraj {\tenrm GF($p$)}, ${\bf Z}_p$ | GF(p), Zp

\priklad [modulo]
%%%%%%%%
Na mno�in� $\{0, 1, \ldots, p-1\}$ definujme operace \uv{$+$} a
\uv{$\cdot$} jako obvykl� s��t�n� a n�soben�, ov�em na v�sledek 
aplikujme proces \uv{modulo $p$}. Tak�e nap��klad pro $p=5$
pracujeme s mno�inou $\{0,1,2,3,4\}$ a plat�
$4+3 = 2$, proto�e zbytek po d�len� ��sla 7 ��slem 5 je 2.
Nebo $4\cdot4 = 1$, proto�e zbytek po d�len� ��sla 16 ��slem 5 je 1.

Nech� nejprve $p$ nen� prvo��slo, tj. je tvaru sou�inu $p=m\,n$.
Pak $m\cdot n=0$ modulo $p$, a p�itom ��sla $m$ a
$n$ jsou nenulov�. Podle v�ty\cite[vteleso] se nem��e jednat o t�leso,
proto�e sou�in nenulov�ch ��sel mus� v~t�lese vyj�t jako ��slo
nenulov�.

Nech� $p$ je prvo��slo. Uk�eme, �e $M=\{0, 1, \ldots, p-1\}$
s~operacemi \uv{$+$, $\cdot$ modulo $p$} tvo�� t�leso. 
P�edev��m $M$ se s��t�n�m modulo $p$ je komutativn� grupa 
(viz p��klad\cite[Gcyclic]). Operace n�soben� modulo~$p$ je
asociativn�, komutativn� a jednotkov�m prvkem je ��slo~$1$.
Distributivn� z�kon plyne z~distributivn�ho z�kona b�n�ch operac� 
\uv{$+$} a \uv{$\cdot$}.
Nejv�ce pr�ce d� nalezen� inverzn�ho prvku pro
$a\in M\setminus\{0\}$. Prvek $a$ nechme pevn� a uva�ujme 
v�echna ��sla \uv{$ak$ modulo $p$} pro $k\in\{1, 2, \ldots, p-1\}$. 
Tato ��sla jsou pro r�zn�~$k$ vz�jemn� r�zn� (viz n��e) a pokr�vaj� 
tedy celou mno�inu 
$\{1, 2, \ldots, p-1\}$. Mus� tedy existovat takov�~$k$, 
�e $ak=1$~mod~$p$. Toto~$k$ je inverzn�m prvkem k~prvku $a$. 
V~�vaze je�t� chyb� obh�jit, �e ��sla \uv{$ak$~modulo~$p$} 
jsou pro r�zn�~$k$ vz�jemn� r�zn�. 
P�edpokl�dejme, �e existuj� ��sla $k_1, k_2\in M\setminus\{0\}$,
$k_1\geq k_2$ takov�, �e $ak_1=ak_2$~mod~$p$, tj. $a(k_1-k_2)=mp$ 
pro n�jak� $m\geq0$. Rovnost vyd�l�me ��slem $a$.
Proto�e $a<p$ a $p$ je prvo��slo, existuje $m_1\geq0$, �e
po vyd�len� ��slem~$a$ dost�v�me $k_1-k_2=m_1p$. 
Vlevo je ��slo men�� ne� $p$,
tak�e mus� b�t $m_1=0$, tj. $k_1=k_2$.

Podle po�tu prvk� $p$ se toto t�leso
ozna�uje GF($p$). Jin� zna�en� ${\bf Z}_p$ d�v� najevo, �e se jedn� o
cel� ��sla \uv{modulo $p$}.
%
P�edchoz� p��klad\cite[pZ2] definuje kone�n� t�leso ${\bf Z}_p$ pro $p=2$.
\inl[t�leso: Z9p, Z9p, t�leso: GFp, GFp]

\definice
%%%%%%%%%
{\em Charakteristika t�lesa\/} ud�v� nejmen�� kladn� po�et jedni�ek, 
jejich� sou�et d�v� nulu. Tedy pokud je 
$\sum_1^\lambda 1=0$ a $\lambda$ je nejmen�� kladn� ��slo s
touto vlastnost�, pak t�leso m� charakteristiku $\lambda$.
Pokud tato vlastnost nen� spln�na pro ��dn�
po�et jedni�ek, je charakteristika rovna~$\infty$.
\inl[charakteristika t�lesa]

\priklad
%%%%%%%%
Charakteristika t�lesa re�ln�ch ��sel je $\infty$. Charakteristika
t�lesa $\Z_p$ je $p$.

\veta [vcharakter]
%%%%%
Charakteristika t�lesa je nekone�n� nebo to je prvo��slo.
\inl[charakteristika t�lesa]

\dukaz
%%%%%%
Sporem. Nech� pro charakteristiku $\lambda$ plat� $\lambda=mn$, $m\not=\lambda$,
$n\not=\lambda$. Z~distributivn�ho z�kona plyne
$\left(\sum_1^m 1\right)\cdot\left(\sum_1^n 1\right) = 
 \sum_1^{mn} 1 = \sum_1^\lambda 1=0$.
Podle v�ty\cite[vteleso] mus� b�t aspo� jedna suma v z�vorce rovna
nule, proto�e jejich sou�in je nulov�.
To je spor s~t�m, �e $\lambda$ je nejmen�� po�et jedni�ek,
jejich� sou�et je nulov�.

\pozn
%%%%%
Krom� GF($p$), kde $p$ je prvo��slo, existuj� kone�n� t�lesa s po�tem
prvk� $p^m$, kde $p$ je prvo��slo, $m$ je libovoln� mocnina, zna�en�:
GF($p^m$). Jak jsme uk�zali v p��klad�\cite[modulo], konstrukce operac� pro
GF($p^m$) nem��e vych�zet jen z my�lenky \uv{modulo $p$}. Ve
skute�nosti je konstrukce t�lesa GF($p^m$) v�razn� komplikovan�j��.
V n�sleduj�c�m p��klad� je pro ilustraci pops�no t�leso GF($2^3$).

Z v�ty\cite[vcharakter] plyne, �e i t�lesa  GF($p^m$)
musej� m�t charakteristiku ve tvaru prvo��sla. Kdybychom zde m�li
prostor na podrobn�j�� popis t�les GF($p^m$), shledali bychom, �e maj�
charakteristiku~$p$.

D� se d�le uk�zat, �e pokud m� m�t t�leso kone�n� po�et prvk�, pak
tento po�et nem��e b�t jin� ne� $p^m$, kde $p$ je prvo��slo a $m$
p�irozen� ��slo. Nav�c operace na kone�n�m t�lese lze definovat 
jedin�m mo�n�m zp�sobem (li�it se m��e jen zp�sob ozna�en� prvk�).
\inl[t�leso: GFpm, GFpm]

\priklad [teleso6]
%%%%%%%%
Uva�ujme mno�inu v�ech uspo��dan�ch trojic prvk� ze $\Z_2$ indexovan�ch ��sly. 
Nulov� trojice nem� ��dn� index a ostatn� trojice maj� p�i�azeny
indexy 0 a� 6:
$$
\{(0,0,0)_\ast,\ (1,0,0)_0,\ (0,1,0)_1,\ (0,0,1)_2,\ (1,1,0)_3,\ 
(0,1,1)_4,\ (1,1,1)_5,\ (1,0,1)_6\}.
$$
Prvky t�to mno�iny budeme s��tat tak, �e si index�
nebudeme v��mat a budeme s��tat jen uspo��dan� trojice v aritmetice
$\Z_2$. Nap��klad $(1,1,0)_3+(0,1,1)_4=(1,0,1)_6$, proto�e 
je $(1,1,0)+(0,1,1)=(1,0,1)$ v aritmetice $\Z_2$.

V�sledek n�soben� kter�hokoli prvku s prvkem $(0,0,0)_\ast$ definujeme
jako $(0,0,0)_\ast$. Jedn� se o~nulov� prvek t�lesa. N�soben�
nenulov�ch prvk� definujeme tak, �e si nev��m�me uspo��dan�ch trojic,
ale jen index�. Ty se�teme a provedeme operaci 
modulo 7. 
Nap��klad $(0,1,1)_4 \cdot(1,1,1)_5=(0,0,1)_2$, 
proto�e $4+5$\hbox{ modulo 7 = 2}.
%
D� se uk�zat, �e tento p��klad spl�uje axiomy t�lesa. Obsahuje $2^3$
prvk�, tak�e se jedn� o p��klad t�lesa GF($2^3$). 

Jak ji� bylo �e�eno, je $(0,0,0)_\ast$ nulov� prvek. Rovn� je z�ejm�,
�e $(1,0,0)_0$ je jednotkov� prvek tohoto t�lesa. Inverzn� prvek
nap��klad k~$(0,0,1)_2$ je $(1,1,1)_5$, proto�e 
$2+5$\hbox{ modulo 7 = 0}. Opa�n� prvek k libovoln�mu prvku $x$ je
prvek $x$, proto�e v aritmetice $\Z_2$ je $1+1=0$.
Charakteristika tohoto t�lesa je~2.

Pros�m �ten��e, aby se nesna�il hrubou silou ov��it platnost
distributivn�ho z�kona tohoto t�lesa (jde to, ale nen� to p��li�
��eln�) ani p��li� nehloubal nad t�m, pro�
nap��klad trojice $(1,1,1)$ m� index~5.
Pro odpov�di na tyto ot�zky je pot�eba pou��t vlastnosti
ireducibiln�ch polynom� nad t�lesem $\Z_2$ (obecn� nad t�lesem 
$\Z_p$), co� bohu�el p�ekra�uje r�mec tohoto �vodn�ho textu.


\okraj Line�rn� prostor nad t�lesem | Linearni prostor nad telesem

\pozn
%%%%%
V definici line�rn�ho prostoru\cite[dlp] jsme sice byli dostate�n�
abstraktn� (vektory, ani operace s nimi jsme bl��e nespecifikovali),
ale pracovali jsme tam s docela konkr�tn� mno�inou $\R$ re�ln�ch
��sel. Pokud v t�to definici nahrad�me mno�inu $\R$ pojmem t�leso (s
bl��e nespecifikovan�mi prvky a operacemi), dost�v�me line�rn� prostor
nad t�lesem. M��eme pak pracovat s line�rn�m prostorem nad t�lesem
komplexn�ch ��sel, line�rn�m prostorem nad t�lesem ${\bf Z}_2$ atd.

Pokus�me se tedy do t�etice p�epsat definici line�rn�ho prostoru,
tentokr�t nad libovoln�m t�lesem.

\definice [dlpT]
%%%%%%%%%
Mno�inu $L$ naz�v�me {\em line�rn�m prostorem nad t�lesem $T$}, pokud
jsou definov�ny operace $+:L\times L\to L$ a $\cdot:T\times L\to L$
tak, �e $L$ tvo�� s operac� $+$ komutativn� grupu, a d�le
$\forall \alpha, \beta\in T, \forall \vec x, \vec y\in L$:
$$\eqalign{
\bod (A) \alpha\cdot(\beta\cdot\vec x) = (\alpha\cdot\beta)\cdot\vec x, \cr
\bod (B) \alpha\cdot(\vec x + \vec y) = \alpha\cdot\vec x + \alpha\cdot\vec y, \cr
\bod (C) (\alpha+\beta)\cdot\vec x = \alpha\cdot\vec x + \beta\cdot\vec x, \cr
\bod (D) 1\cdot \vec x = \vec x. \cr}
$$
\par\inl[line�rn�: prostor, prostor: line�rn�, axiomy: line�rn�ho prostoru]
\inl[line�rn�: prostor: nad t�lesem]

\pozn
%%%%%
Vol�me-li za t�leso $T$ v t�to definici mno�inu re�ln�ch ��sel $\R$,
dost�v�me vzhledem k~pozn�mce\cite[gdlp] definici 
line�rn�ho prostoru\cite[dlp]. Abych uklidnil
�ten��e, tak konstatuji, �e v dal��ch kapitol�ch
tohoto textu nebudeme pot�ebovat line�rn� prostor v takov� obecnosti
(nad libovoln�m t�lesem) a vysta��me si v�t�inou s~line�rn�m prostorem
nad re�ln�mi ��sly. Pokud tedy nebude v�slovn� �e�eno jinak (nap��klad
line�rn� prostor nad $\Z_2$ studovan� v kapitole\kcite\ktere[kodovani]), pak
pojmem {\em line�rn� prostor\/} mysl�me line�rn� prostor nad $\R$
a sta�� pou��t definici\cite[dlp].

\priklad [LPTn]
%%%%%%%%
Vr�t�me se k p��kladu line�rn�ho prostoru re�ln�ch uspo��dan�ch
$n$-tic\cite[LPRn] a zobecn�me ho na line�rn� prostor
uspo��dan�ch $n$-tic prvk� libovoln�ho t�lesa.

Nech� $T$ je t�leso.
Uva�ujme mno�inu uspo��dan�ch $n$-tic prvk� z t�lesa $T$ (ozna�me ji
$T^n$) a definujme na ni operace 
$+: T^n\times T^n \to T^n$, $\cdot: T\times T^n \to
T^n$ takto: pro ka�d� $(a_1,\ldots,a_n)\in T^n$,
$(b_1,\ldots,b_n)\in T^n$, $\alpha\in T$ je
\vskip-12pt
$$\eqalign{
(a_1,\ldots,a_n) + (b_1,\ldots,b_n) &\df= (a_1+b_1,\ldots,a_n+b_n),\cr
\alpha\cdot (a_1,\ldots,a_n) &\df= (\alpha\cdot a_1,\ldots,\alpha\cdot a_n).\cr}
$$
Snadno se d� ov��it, �e
mno�ina $T^n$ s~takto definovan�mi operacemi tvo�� line�rn� prostor
nad t�lesem~$T$.

\pozn
%%%%%
Vol�me-li za t�leso $T = {\bf Z}_2$, je $T^n$ podle p�edchoz�ho p��kladu
diskr�tn� line�rn� prostor, kter� je pou��v�n v teorii
k�dov�n�. Jednotliv� vektory (tzv.~bin�rn� slova) jsou uspo��dan� 
$n$-tice jedni�ek a nul. Tento line�rn� prostor m� celkem 
$2^n$ r�zn�ch vektor�.

\pozn
%%%%%
V p��pad� line�rn�ho prostoru nad kone�n�m t�lesem dost�v�me kone�n�
line�rn� prostor. V tomto p��pad� tedy neplat� tvrzen�
pozn�mky\cite[dvoubodovy]. M��ete si v�imnout, �e toto tvrzen� se
op�ralo o skute�nost, �e \uv{re�ln�ch ��sel je nekone�n� mnoho}.
Pozn�mka\cite[dvoubodovy] z�st�v� v platnosti pro line�rn� prostory nad
nekone�n�mi t�lesy.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\kapitola [kodovani]
          Line�rn� algebra v teorii k�dov�n� | 
          Linearni algebra v teorii kodovani
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\pozn
%%%%%
Teorie k�dov�n� �e�� ot�zku, jak p�ev�st danou informaci do slov,
kter� pou��vaj� znaky n�jak� abecedy (obvykle abecedy jedni�ek a nul)
pokud mo�no efektivn�, tj. bez zbyte�n�ho zat�ov�n� p�enosov�ch linek
a pam�ov�ch m�di� nadbyte�n�mi informacemi. Typick�m p��kladem
k�dov�n� je ASCII k�d, kter� p�smen�m anglick� abecedy a b�n�m znak�m
p�i�azuje sedmibitov� slova.  Nav�c se p�i k�dov�n� �asto �e�� ot�zka,
jak�m zp�sobem efektivn� p�idat k zak�dovan� informaci dodate�n� bity
tak, aby byla informace odoln� v��i �umu na p�enosov� lince nebo men��m chyb�m
na pam�ov�m m�diu. Dekod�r, tj. za��zen�, kter� m� za �kol
restaurovat p�vodn� informaci, m��e b�t postaven za nekvalitn� linkou
a m��e tedy dostat informaci zkreslenou. Z vhodn� navr�en�ch
dodate�n�ch bit� m��e dekod�r zjistit, zda informace p�i
pr�chodu linkou byla po�kozena a v lep��m p��pad� dok�e chybu tak�
opravit.

P�i n�vrhu vhodn�ho k�dov�n� s mo�nost� detekce a opravy chyb se u� od
pades�t�ch let minul�ho stolet� pou��vala line�rn� algebra. Tuto
kapitolu zavr��me p��kladem konstrukce tzv. line�rn�ch Hammingov�ch k�d�. 
To samoz�ejm� zdaleka nepokr�v� ve�kerou problematiku teorie k�dov�n�,
z�jemce o dal�� studium t�to problematiky m��e pou��t t�eba\bcite[adamek].

N�kte�� laici mo�n� nerozli�uj� slovo k�dov�n� od slova
�ifrov�n�. �ifrov�n� je p�evod informace do takov�ho stavu, aby ji
bylo mo�n� zp�tn� zrestaurovat jen pov��en�mi osobami. Tuto
problematiku, a�koli matematicky rovn� velmi zaj�mavou a ze
strategick�ho hlediska velmi d�le�itou, zde 
�e�it nebudeme.
\inl[k�dov�n�, �ifrov�n�]

\okraj T�leso $\Z_2$ | Teleso Z2

\pozn
%%%%%
Definice line�rn�ho prostoru\cite[dlp] p�edpokl�d�, �e skal�ry (��sla,
kter�mi n�sob�me vektory) jsou re�ln� ��sla. V t�to kapitole
budeme pracovat s modifikovanou definic� line�rn�ho prostoru, kde
re�ln� ��sla nahrad�me t�lesem $\Z_2$. 
\inl[skal�r, t�leso]

Poznamen�v�m, �e pojem t�lesa jsem p�esn� zavedl v textu
za pozn�mkou\cite[pteleso]. Pokud �ten�� tuto ��st textu p�esko�il,
m��e si pod pojmem t�leso zhruba p�edstavit mno�inu s operacemi
s��t�n� a n�soben�. Tyto operace maj� podobn� vlastnosti, jako s��t�n� a
n�soben� re�ln�ch ��sel (komutativita, asociativita, distributivita, atd.).

\definice [dZ2]
%%%%%%%%%
{\em T�leso $\Z_2$} je dvoubodov� mno�ina $\{0, 1\}$, na kter� je
definov�no s��t�n� $+:\Z_2\times\Z_2\to\Z_2$ a n�soben� 
$\cdot:\Z_2\times\Z_2\to\Z_2$ takto:
$$
  \def\|{\kern6pt\strut\vrule&\kern-3pt}
  \matrix { \phantom0\llap{+}  \| 0 & 1 \cr \noalign{\hrule}
             0 \| 0 & 1 \cr
             1 \| 1 & 0 \cr} \qquad \qquad
  \matrix { \phantom0\llap{$\cdot$}  \| 0 & 1 \cr \noalign{\hrule}
             0 \| 0 & 0 \cr
             1 \| 0 & 1 \cr}
$$
Tedy: \ $0+0=0$, \quad $0+1=1+0=1$, \quad $1+1=0$, \quad
$0\cdot0=0\cdot1=1\cdot0=0$, \quad $1\cdot1=1$.
\inl[t�leso: Z2, Z2, t�leso: kone�n�, kone�n�: t�leso]

\pozn
%%%%%
S��t�n� na $\Z_2$ je shodn� s logickou operac� XOR (vylu�ovac� nebo) 
a n�soben� na $\Z_2$ je shodn� s operac� AND (logick� konjunkce).

Nebo jinak: N�soben� na $\Z_2$ je stejn�, jako jsme zvykl� n�sobit
cel� ��sla, a s��t�n� skoro taky, a� na jedinou v�jimku: $1+1=0$.

Nebo je�t� jinak: Prvek 0 v $\Z_2$ si m��eme p�edstavit jako jak�koli sud�
��slo a prvek 1 jako jak�koli ��slo lich�. S��t�me a n�sob�me pak sud�
��sla se sud�mi, s lich�mi atd. Tyto operace pak d�vaj� jako v�sledek
��sla sud� nebo lich� p�esn� podle pravidel po��t�n� v $\Z_2$.

Nebo je�t� jinak: provedeme operaci s��t�n� a n�soben� jako v p��pad�
cel�ch ��sel, ale pokud v�sledek padne mimo mno�inu $\{0, 1\}$,
pou�ijeme zbytek p�i d�len� v�sledku ��slem 2.
\inl[sou�et: v: Z2, n�soben�: v: Z2]

\priklad
%%%%%%%%
Na mno�in� uspo��dan�ch $n$-tic prvk� ze $\Z_2$, tj. na mno�in�
$\Z_2^n$, zavedeme operaci s��t�n� $+:\Z_2^n\times\Z_2^n\to\Z_2^n$ analogicky,
jako v p��pad� s��t�n� uspo��dan�ch $n$-tic re�ln�ch ��sel, jen
samoz�ejm� pracujeme se s��t�n�m podle definice\cite[dZ2]. Pro
$(a_1,\ldots,a_n)\in \Z_2^n$ a
$(b_1,\ldots,b_n)\in \Z_2^n$ definujeme
$$
(a_1,\ldots,a_n) + (b_1,\ldots,b_n) \df= (a_1+b_1,\ldots,a_n+b_n).
$$
Nap��klad $(1,0,0,1,1) + (1,1,0,0,1) = (0,1,0,1,0)$.

D�le definujeme n�soben� t�chto uspo��dan�ch $n$-tic jedni�kou a nulou
p�irozen�m zp�sobem:
$$
1\cdot (a_1,\ldots,a_n) \df= (a_1,\ldots,a_n), \qquad
0\cdot (a_1,\ldots,a_n) \df= (0,\ldots,0).
$$
Pov�imn�te si analogie s p��klady\cite[LPRn] a\cite[LPTn].

Pokud nahrad�me v definici line�rn�ho prostoru\cite[dlp] mno�inu
re�ln�ch ��sel $\R$
n�jak�m t�lesem, pak takov�mu line�rn�mu prostoru ��k�me, �e je
definov�n \uv{nad
t�lesem} (podrobn�ji viz definici\cite[dlpT]). V~tomto p��klad� 
jsme zavedli na mno�in� $\Z_2^n$ operace tak, �e dost�v�me
{\em line�rn� prostor nad t�lesem~$\Z_2$}. 
\inl[prostor: Z2n]

Nulov� vektor tohoto line�rn�ho prostoru je vektor 
$(0,\ldots,0)$. Tento line�rn� prostor m� celkem $2^n$ vektor�, kter�
mezi sebou um�me s��tat a samoz�ejm� tyto vektory um�me
n�sobit jedni�kou nebo nulou.

\okraj Po��t�n� v~$\Z_2$ | Pocitani v Z2

\pozn
%%%%%
Na rozd�l od line�rn�ch prostor� nad $\R$ n� nov� zaveden� line�rn�
prostor nad $\Z_2$ m� kone�n� mnoho prvk�. To je jedin� rozd�l
vzhledem k line�rn�m prostor�m, kter� jsme dosud studovali. V�echny
ostatn� vlastnosti z�st�vaj� stejn�.

\poznamka
%%%%%%%%%
Ka�d� vektor z $\Z_2^n$ je s�m sob� opa�n�m vektorem, tj.
$\forall \vec x\in\Z_2^n: \vec x = -\vec x$, neboli $\vec x+\vec x =
\vec o$. D�ky tomu v t�lese $\Z_2$ a v line�rn�m prostoru nad t�mto
t�lesem nemus�me rozli�ovat mezi s��t�n�m a od��t�n�m. 

\priklad [Z2M]
%%%%%%%%
Najdeme dimenzi a b�zi line�rn�ho obalu �ty� vektor� v $\Z_2^5$:
$$
  M = \lob< (1,0,1,0,1), (1,1,0,0,1), (1,0,0,1,1), (0,1,1,0,0) >.
$$

{\bf �e�en�:}
Proto�e Gaussova eliminace nem�n� line�rn� obal, najdeme b�zi
eliminac�:
$$
  \matice {1&0&1&0&1\cr
           1&1&0&0&1\cr
           1&0&0&1&1\cr
           0&1&1&0&0} \sim
  \matice {1&0&1&0&1\cr
           0&1&1&0&0\cr
           0&0&1&1&0\cr
           0&1&1&0&0} \sim
  \matice {1&0&1&0&1\cr
           0&1&1&0&0\cr
           0&0&1&1&0\cr
           0&0&0&0&0}.
$$
B�ze $M$ je tedy nap��klad $(1,0,1,0,1), (0,1,1,0,0), (0,0,1,1,0)$.
Dimenze $M$ je t�i.

\poznamka
%%%%%%%%%
Proto�e $\Z_2^n$ obsahuje kone�n� po�et vektor�, m��eme (na rozd�l od
line�rn�ch prostor� nad $\R$) vypsat podprostor nebo line�rn� obal
v��tem prvk�. Pro podprostor $M$ z p�edchoz�ho p��kladu plat�:
$$
\eqalign{
  M &= \{ (0,0,0,0,0), (1,0,1,0,1), (0,1,1,0,0), (0,0,1,1,0),\cr 
    & \qquad      (1,1,0,0,1), (1,0,0,1,1), (0,1,0,1,0), (1,1,1,1,1) \}. \cr}
$$
Jak se d� takov� v��et prvk� naj�t? P�edev��m pro $\vec x \not=\vec o$
je $\lob<\vec x> = \{\vec o, \vec x\}$. Skute�n�, vektor $\vec x$
m��eme n�sobit jen jedni�kou nebo nulou. To jsou v�echny line�rn�
kombinace, kter� m��eme s~vektorem~$\vec x$ vytvo�it.
Mno�ina $M$ m� t��prvkovou b�zi $\{\vec a, \vec b, \vec c\}$. Tak�e
pro sestaven� line�rn�ho obalu sta�� naj�t v�echny line�rn� kombinace
t�chto t�� vektor�:
$\vec o, \ \vec a, \ \vec b, \ \vec c, \ \vec a+\vec b, \ \vec a+\vec c, 
\ \vec b+\vec c, \ \vec a+\vec b+\vec c$. 

\priklad
%%%%%%%%
Zjist�te po�et prvk� line�rn�ho 
(pod)prostoru nad $\Z_2$, kter� m� dimenzi~$n$.

{\bf �e�en�:}
M�-li (pod)prostor dimenzi $n$, pak m� $n$ prvkovou b�zi $\vecc b_n$. 
Abychom z�skali v�echny line�rn� kombinace t�chto vektor�, 
mus�me ka�d� vektor n�sobit jedni�kou nebo nulou. M�me tedy $2^n$
line�rn�ch kombinac�. Tyto kombinace vypl�uj� cel� line�rn� (pod)prostor a
jsou navz�jem r�zn�. Kdyby se toti� dv� 
line�rn� kombinace s~r�zn�mi koeficienty
rovnaly, pak jejich ode�ten�m dost�v�me netrivi�ln� line�rn� kombinaci
rovnu nulov�mu vektoru. To je spor se skute�nost�, �e $\vecc b_n$
je b�ze. 

Z�v�r: po�et prvk� line�rn�ho (pod)prostoru nad $\Z_2$ dimenze $n$ je
$2^n$. Nap��klad podprostor $M$ z~p��kladu\cite[Z2M] m� dimenzi~3
a m� tedy $2^3=8$ prvk�.  

\priklad
%%%%%%%%
Najd�te v�echna �e�en� $\vec x\in \Z_2^6$ homogenn� soustavy rovnic 
$\A\,\vec x = \vec o$, je-li
$$
 \A = \pmatrix { 1&1&0&1&0&1\cr 1&0&1&1&0&0\cr 0&1&0&0&1&1\cr 
                 1&0&0&1&1&0\cr 1&1&1&0&0&1}.
$$

{\bf �e�en�:} Najdeme matici ekvivalentn� soustavy s line�rn�
nez�visl�mi ��dky:
$$
\pmatrix { 1&1&0&1&0&1\cr 1&0&1&1&0&0\cr 0&1&0&0&1&1\cr 
                 1&0&0&1&1&0\cr 1&1&1&0&0&1} \sim
\pmatrix { 1&1&0&1&0&1\cr 0&1&1&0&0&1\cr 0&1&0&0&1&1\cr 
                 0&1&0&0&1&1\cr 0&0&1&1&0&0} \sim
\pmatrix { 1&1&0&1&0&1\cr 0&1&1&0&0&1\cr 0&0&1&0&1&0\cr 
                 0&0&0&1&1&0}.
$$
Hodnost matice soustavy je 4, dimenze prostoru je 6, tak�e dimenze
mno�iny �e�en� je 2. Hled�me tedy dv� line�rn� nez�visl� �e�en�:
$(?,?,?,?,1,0)$ a $(?,?,?,?,0,1)$. Dosazen�m \uv{zespoda nahoru}
dost�v�me n�sleduj�c� �e�en�: $(0,1,1,1,1,0)$, $(0,1,0,0,0,1)$.

Mno�ina v�ech �e�en� je line�rn�m obalem t�chto dvou �e�en� a obsahuje
$2^2=4$ vektory:
$$
  \lob<(0,1,1,1,1,0), (0,1,0,0,0,1)> =
  \{(0,0,0,0,0,0), (0,1,1,1,1,0), (0,1,0,0,0,1), (0,0,1,1,1,1)\}.
$$

\poznamka
%%%%%%%%%
P�i hled�n� b�ze prostoru �e�en� m��eme tak� vyu��t
v�tu\cite[genbasehomo]. V p�edchoz�m p��klad� bychom pak pokra�ovali 
v eliminaci zp�tn�m chodem:
$$
\pmatrix { 1&1&0&1&0&1\cr 0&1&1&0&0&1\cr 0&0&1&0&1&0\cr 
                 0&0&0&1&1&0} \sim
\pmatrix { 1&0&0&0&0&0\cr 0&1&0&0&1&1\cr 0&0&1&0&1&0\cr 
                 0&0&0&1&1&0}.
$$
Tvar matice $(\E|\C)$ odpov�d� p�edpokladu v�ty\cite[genbasehomo], tak�e ��dky
b�ze �e�en� tvo�� matici:
$$
\pmatrix {0&1&1&1&1&0 \cr 0&1&0&0&0&1}.
$$
Poznamenejme, �e nemus�me p�ech�zet od matice $\C$ 
k~matici $-\C$, proto�e v aritmetice $\Z_2$ jsou ob� matice stejn�.

\okraj K�d, k�dov� slovo | Kod, kodove slovo

\definice [dkod]
%%%%%%%%%
Nech� $A$ je kone�n� mno�ina (tzv. {\em abeceda}). Pak {\it slovo} je
libovoln� kone�n� posloupnost prvk� z $A$.

{\it K�dov�n�\/} v obecn�m smyslu zahrnuje
(1) algoritmus,
kter�m informace p�ev�d�me do posloupnosti slov (tzv. {\em kod�r\/}) a
(2) algoritmus, kter�m 
zp�tn� z~t�chto slov z�sk�v�me p�vodn� informaci ({\em dekod�r\/}).

Slova, kter� vytv��� kod�r, se naz�vaj� {\em k�dov� slova}. 
Mno�ina v�ech k�dov�ch slov se naz�v� {\em k�d}.

Je-li k�d mno�inou slov stejn� d�lky (ka�d� k�dov� slovo m�
stejn� po�et znak� abecedy), mluv�me o~tzv. {\it blokov�m k�du}.
Blokov� k�d {\em d�lky $n$} zna��, �e v�echna k�dov� slova maj� $n$ znak� abecedy.
\inl[abeceda, slovo, k�dov�n�, kod�r, dekod�r, slovo: k�dov�, k�dov�: slovo]
\inl[k�d, k�d: blokov�, blokov�: k�d]

\poznamka
%%%%%%%%%
Typicky $A=\{0,1\}$, tj. abeceda se skl�d� jen ze dvou znak�
(tzv. bit�, anglicky bits, co� je p�vodn� zkratka z BInary digiTS) a
slova jsou posloupnosti t�chto bit�. 
\inl[bit]

\priklad
%%%%%%%%
ASCII k�d je mno�ina 7bitov�ch slov, kter� reprezentuj� jednotliv�
p�smena anglick� abecedy a dal�� b�n� znaky (��slice,
te�ku, vyk�i�n�k, otazn�k, mezeru, {\tt\#} neboli v�zen� atd.). Tato mno�ina
obsahuje 91 slov, proto�e v dob� vzniku tohoto k�du byl po�adavek na
k�dov�n� 91 znak�. Kod�r i dekod�r pak pracuj� s tabulkou
t�chto znak�, u kter�ch jsou uvedena odpov�daj�c� k�dov� slova. Tato
tabulka m��e b�t na stran� kod�ru technicky realizov�na t�eba
ovlada�em kl�vesnice a na stran� dekod�ru fontem.

Jedn� se o blokov� k�d. Od po��tku existence po��ta�� byl tento
blokov� k�d roz���en o redundantn� nulov� bit na za��tku, tak�e �asto
je ASCII k�d prezentov�n jako mno�ina 8bitov�ch slov. Pozd�ji za�al
b�t tento bit vyu��v�n pro r�zn� roz���en� ASCII k�du, kter� zahrnuj�
i reprezentaci n�kter�ch p�smen s diakritick�mi znam�nky.
\inl[k�d: ASCII, ASCII: k�d]

\poznamka
%%%%%%%%%
Je pot�eba si uv�domit, �e slova jsou do pam�ov�ho m�dia nebo do
p�enosov� linky vkl�d�na za sebou bez odd�lova��. Blokov� k�d m� tu v�hodu,
�e dekod�r dok�e snadno rozd�lit tento \uv{tok znak� abecedy} na slova a
t�m pak p�id�lit v�znam nap��klad pomoc� n�jak� tabulky. Nev�hoda
blokov�ho k�du spo��v� v tom, �e pl�tv� m�stem, nebo� tu��me, �e pokud
navrhneme pro �ast�ji se vyskytuj�c� slova krat�� posloupnosti znak�,
celkov� po�et znak� abecedy pro p�en�en�/ukl�dan� informace m��e b�t
men��. To ostatn� je (alespo� zhruba) i vlastnost p�irozen�ho jazyka.
Tam m�me ov�em abecedu rozs�hlej�� (nebin�rn�) a za prvek abecedy
m��eme pova�ovat i mezeru: odd�lova� mezi slovy, kter� dekod�ru pom��e.
Nebo v Morseov� abeced� m�me tak� t�i znaky: te�ka, ��rka a mezera.
Bez mezery by bylo dek�dov�n� morseovky nemo�n�.
M�me-li k dispozici jen bin�rn� abecedu $A=\{0,1\}$, pak je pot�eba
p�i n�vrhu k�du se slovy nestejn� d�lky myslet na mo�nosti dekod�ru.
Je to technicky mo�n�, ale nen� to obsahem tohoto textu.
P��kladem neblokov�ho k�du je UTF8, kter� k�duje znaky abeced v�ech
jazyk� sv�ta. P�smena anglick� abecedy a b�n� znaky jsou 
reprezentov�ny 8bitov�m slovem, ale p�smena dal��ch 
jazyk� jsou k�dov�na 16bitov�m slovem nebo i del��m 
(24 bit� a 32 bit�).
\inl[UTF8: k�d, k�d: UTF8]

Nad�le budeme pracovat jen s blokov�mi k�dy nad bin�rn� abecedou.

\okraj K�dov�n� s~detekc� a opravou chyb | Kodovani s detekci a opravou chyb

\poznamka
%%%%%%%%%
Nech� $K$ je blokov� k�d d�lky~$n$ nad bin�rn� abecedou $A$.
Pak plat� $K\subseteq A^n$.

Pokud $K\not=A^n$, pak mezi uspo��dan�mi $n$-ticemi z~$A$ existuj�
nek�dov� slova, tj. takov�, kter� kod�r nikdy nevytvo��
a kter� nemaj� p�id�len v�znam. P�ijme-li dekod�r (nap�. za nekvalitn�
linkou) nek�dov� slovo, je si jist, �e p�i p�enosu linkou do�lo 
k chyb�. M��e nap��klad v takov�m p��pad� po��dat pomoc� jin�ch
technick�ch prost�edk� kod�r, aby vyslal slovo znovu. 
Nebo se m��e pokusit chybu opravit.

Tu��me jist� probl�my: �um na lince m��e zp�sobit tak ne��asnou chybu,
�e se z jednoho k�dov�ho slova stane jin� k�dov� slovo a dekod�r nic
nepozn�. Je tedy rozumn� k�dov�n� navrhnout tak, aby nap��klad omezen�
po�et chyb v jednom slov� (tj. z�m�n nuly za jedni�ku a naopak)
zaru�il, �e se z~k�dov�ho slova stane slovo nek�dov�. 

Znovu m��eme hledat analogii v p�irozen�m jazyce. P�eklep ve slov�
jsme velmi �asto schopni detekovat i opravit. N�kdy ale p�eklep m��e
zp�sobit, �e vznik� jin� b�n� slovo jazyka. �lov�k jako dekod�r 
ani s t�mto druhem chyby nem� v�t�inou probl�m, proto�e pracuje 
s kontextem cel� v�ty (v�t�� skupiny slov). Takto inteligentn� dekod�r
ale nebude na��m c�lem. Vysta��me si s detekov�n�m a opravov�n�m chyb
jen na �rovni jednotliv�ch slov.

\definice [hammingd]
%%%%%%%%%
Nech� $A=\{0,1\}$.
{\em Hammingova velikost slova $\vec u\in A^n$} je po�et
jedni�ek v tomto slov� a zna��me ji $\|\vec u\|$. 
{\em Hammingova vzd�lenost slov $\vec v\in A^n$ a $\vec w\in A^n$}
je po�et bit�, ve kter�ch se tato dv� slova li��. Zna��me ji
$\d(\vec v,\vec w)$.
\inl[velikost: slova: Hammingova, Hammingova: velikost slova]
\inl[vzd�lenost: Hammingova, Hammingova: vzd�lenost slov]

\poznamka [hammingp]
%%%%%%%%%
Nech�  $A=\{0,1\}$ a $\vec v, \vec w\in A^n$.
Pak $\vec v+\vec w$ (v aritmetice $\Z_2$) je slovo,
kter� m� jedni�ky pr�v� v~m�stech, kde se $\vec v$ a
$\vec w$ li��. Tak�e plat�: $\d(\vec v,\vec w)= \|\vec v+\vec w\|$.

\poznamka
%%%%%%%%%
P�edpokl�dejme, �e $\vec v$ je slovo vyslan� kod�rem a $\vec w$
slovo p�ijat� dekod�rem. Pak $\d(\vec v,\vec w)$ ud�v� po�et chyb ve
slov�, kter� vznikly b�hem p�enosu.

Pozn�mka v pozn�mce: p�edpokl�d�me, �e d�ky technick�m parametr�m
za��zen� nikdy nedojde k~chyb�, kdy se jedni�ka nebo nula ze slova
zcela vytrat� nebo vznikne nov�, tj. nikdy nehroz� riziko, �e by na
stran� dekod�ru byl p�e�ten jin� po�et jedni�ek a nul ne� byl vysl�n
kod�rem.

\priklad [kod2]
%%%%%%%%
Je d�n tento k�d: 
$K=\{0000, 0011, 0101, 1001, 0110, 1010, 1100, 1111\}$. Jedn� se
o~blokov� bin�rn� k�d d�lky 4. Pro pot�eby
tohoto p��kladu nebudeme specifikovat druh informace, kterou
pot�ebujeme p�en�et. Proto�e k�d obsahuje jen 8 slov, m��e b�t
p�vodn� informace zaps�na pomoc� n�jak� 8 znakov� abecedy.

Zaj�mav� na tomto k�du je, �e ka�d� k�dov� slovo obsahuje sud� po�et
jedni�ek. Pokud dojde k~jedin� chyb� ve slovu, m�me jistotu, �e
dekod�r p�ijme nek�dov� slovo (s lich�m po�tem jedni�ek) 
a ohl�s� chybu. Je-li pravd�podobnost v�skytu dvou nebo v�ce chyb v
jednom slov� zanedbateln� a n�m posta�uje jen detekovat chyby (neopravovat
je), je toto rozumn� n�vrh k�du.

Pov�imneme si, �e minim�ln� Hammingova vzd�lenost mezi dv�ma r�zn�mi
k�dov�mi slovy tohoto k�du je 2, tak�e jedna chyba zp�sob� vytvo�en�
nek�dov�ho slova. 

\priklad [kod4]
%%%%%%%%
Je d�n blokov� k�d d�lky 8 bit�: 
$K=\{00000000, 00001111, 11110000, 11111111\}$.
Minim�ln� Hammingova vzd�lenost mezi k�dov�mi slovy je~4, tak�e ani t�i
chyby ve slov� nezp�sob� p�echod na jin� k�dov� slovo a dekod�r
spr�vn� detekuje chybu p�enosu. Dekod�r dokonce dok�e v tomto k�du opravit
jednu chybu a detekovat v�skyt dvou chyb ve slov�. Chybu
oprav� tak, �e se od p�ijat�ho slova $\vec w$ vr�t� ke k�dov�mu
slovu $\vec v$ takov�mu, �e Hammingova vzd�lenost 
$\d(\vec v,\vec w)=1$. Samoz�ejm�, nau��me-li dekod�r 
opravovat jednu chybu ve slov�, pak u� nemus� b�t schopen 
v�dy spr�vn� detekovat t�i chyby. M��e se toti� st�t, �e m�sto
toho oprav� jeden bit a dostane jin� k�dov� slovo.

\priklad [vzdalenost+oprava]
%%%%%%%%
Nech� minim�ln� Hammingova vzd�lenost mezi k�dov�mi slovy je $d>2$.
Rozhodn�te (A)~kolik chyb ve slov� m��e dekod�r detekovat, pokud po
n�m nechceme, aby chyby opravoval, a (B)~kolik chyb ve slov� m��e
opravit a kolik jich m��e aspo� detekovat bez opravy.

Odpov��: (A) Dekod�r m��e spolehliv� detekovat nejv��e $d-1$ chyb. 
(B) Je-li $d$ sud�, m��e dekod�r opravit jednu a� $d/2-1$ chyb a detekovat 
$d/2$ chyb bez opravy. Je-li $d$ lich�, m��e
opravit jednu a� $(d-1)/2$ chyb a ��dn� mno�stv� chyb nedetekuje bez opravy.
Je samoz�ejm� mo�n� i jin� rozvr�en�. Nap�. pro $d$ lich� nech�me
dekod�r opravit nejv��e $(d-3)/2$ chyb a p�i v�skytu $(d-1)/2$ nebo
$(d+1)/2$ chyb ve slov� jen chyby detekujeme bez opravy.
\inl[detekce chyb, oprava chyb]

\okraj Line�rn� k�d | Linerani kod

\poznamka
%%%%%%%%%
P�i n�vrhu dekod�ru s detekc� nebo opravou chyb se s v�hodou vyu�ij�
n�stroje line�rn� algebry, jako je n�soben� matic, vymezen�
podprostor� a b�z�, �e�en� homogenn�ch soustav atd. Bin�rn� slova
d�lky $n$ budeme v tomto p��pad� pova�ovat za vektory z~line�rn�ho
prostoru $\Z_2^n$, tak�e je m��eme s��tat. Ostatn�, u� v
pozn�mce\cite[hammingp] jsem zm�nil s��t�n� slov $\vec v$ a $\vec
w$. V teorii k�dov�n� se bin�rn� slova zapisuj� jedni�kami a nulami
bez mezer (viz p��klady\cite[kod2] a\cite[kod4]), 
zat�mco v line�rn� algeb�e jsme
dosud zapisovali vektory do z�vorek a jejich slo�ky odd�lovali ��rkami.
V���m, �e nedojde k~nedorozum�n�, pokud d�le v textu o k�dov�n� budu
zapisovat vektory zp�sobem, jako v p��kladu\cite[kod2].

\definice [dlkod]
%%%%%%%%%
Bin�rn� blokov� k�d $K$ d�lky $n$ je {\em line�rn�}, pokud $K$
tvo�� line�rn� podprostor line�rn�ho prostoru $\Z_2^n$.
Jestli�e dimenzi tohoto podprostoru ozna��me $k$, pak mluv�me o 
{\em line�rn�m $(n,k)$ k�du}.
\inl[k�d: line�rn�, line�rn�: k�d]

\veta [nejmhm]
%%%%%
Nejmen�� Hammingova vzd�lenost mezi slovy line�rn�ho k�du $K$ je rovna
nejmen�� Hammingov� velikosti nenulov�ho k�dov�ho slova.

\dukaz
Sta�� si uv�domit, �e pro $\vec v_1, \vec v_2\in K$ je 
$\|\vec v_1+\vec v_2\| = \d(\vec v_1,\vec v_2)$, a p�itom
$\vec v_1+\vec v_2\in K$, proto�e $K$ je line�rn� k�d.
Nav�c $\|\vec v\| = \d(\vec v, \vec o)$.

\priklad
%%%%%%%%
K�d z p��kladu\cite[kod2] je line�rn�, proto�e $K$ tvo�� podprostor
line�rn�ho prostoru $\Z_2^4$. Skute�n�, se�teme-li dva vektory se
sud�m po�tem jedni�ek, dostameme vektor se sud�m po�tem jedni�ek.
V�sledek n�soben� vektoru z~$K$ konstantou $\alpha$ z�stane v~$K$, proto�e
v~$\Z_2$ ��slo $\alpha$ m��e b�t jen~0 nebo~1.

B�ze k�du z p��kladu\cite[kod2] je nap��klad 
$\{0011, 0101, 1100\}$, tak�e dimenze k�du je 3 a jedn� se tedy o
{\it line�rn� $(4,3)$ k�d}.

\poznamka
%%%%%%%%%
P��klad\cite[kod2] ilustruje tzv. k�dov�n� s kontroln�m
bitem parity. P�vodn� informaci s osmi znaky je mo�n� k�dovat blokov�m
bin�rn�m k�dem $\{000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111\}$, tedy
sta�� n�m t�i bity. Pokud chceme detekovat jednu chybu ve slov�,
p�id�me �tvrt� tzv. {\em kontroln� bit}, kter� nastav�me na 0, 
pokud je v p�vodn�m t��bitov�m slov� sud� po�et jedni�ek a 
nastav�me ho na 1, pokud je v p�vodn�m slov� lich� po�et jedni�ek. 
Dost�v�me tak k�d z~p��kladu\cite[kod2].
\inl[kontroln�: bit]
\inl[k�d: s kontroln�m bitem parity]

Tento postup m��eme pou��t na jak�koli \uv{v�choz�} bin�rn� blokov�
k�d d�lky~$k$ se v�emi $2^k$ k�dov�mi slovy. P�id�n�m kontroln�ho bitu 
parity dost�v�me line�rn� $(k+1,k)$ k�d, kter�m jsme schopni detekovat jednu
chybu ve slov�. Dekod�r pak odstran� kontroln� bit z ka�d�ho p�ijat�ho
slova a z�sk� t�m p�vodn� k�dovanou informaci.

\poznamka
%%%%%%%%%
Vstupn� informace je �asto p�ipravena u� jako posloupnost slov 
bin�rn�ho blokov�ho k�du
d�lky $k$, ve kter�m v�echna slova jsou k�dov�. Na��m �kolem je pak
roz���it tento k�d o dal��ch $n-k$ tzv. {\em kontroln�ch bit�}, abychom
dostali line�rn� $(n,k)$ k�d. Kod�r tedy o�ek�v� na vstupu libovoln�
slovo d�lky $k$ a jeho �kolem je zkop�rovat bity vstupu do v�stupu
(tzv. {\em informa�n� bity\/}) a p�idat $n-k$ kontroln�ch bit�.
Dekod�r pak pou�ije tyto kontroln�
bity pro detekci a p��padnou opravu chyb a pot� je odstran� a ponech�
jen informa�n� bity. C�lem je navrhnout k�dov�n�, kter� m� co nejmen��
{\em redundanci\/} (tj. pom�r po�tu kontroln�ch bit� ku po�tu
v�ech p�en�en�ch bit� ve slov�), proto�e ta zat�uje linku 
nebo pam�ov� m�dium re�ijn�mi informacemi, kter� u�ivatel ze sv�ho
pohledu nevyu�ije. 
P�itom ale chceme co nejschopn�j�� dekod�r, kter� by detekoval a 
opravoval chyby a nav�c by m�l pracovat efektivn�.
\inl[informa�n�: bit, redundance]
\inl[kontroln�: bit]

Z pohledu line�rn� algebry je v��e popsan� p�echod od k�du 
d�lky $k$ na line�rn� k�d d�lky $n>k$ line�rn� zobrazen� $\a:\Z_2^k\to\Z_2^n$, 
kter� je prost� (jinak by doch�zelo ke ztr�t� informace). 
Podle pozn�mky\cite[poznalob] mno�ina obraz� tohoto zobrazen� (neboli k�d) tvo��
line�rn� podporostor v~$\Z_2^n$. B�zi tohoto podprostoru m��eme hledat
tak, �e sep��eme b�zi ve v�choz�m prostoru $\Z_2^k$ a najdeme jej�
obraz za pou�it� zobrazen�~$\a$. Tento obraz podle v�ty\cite[zobnabasi]
jednozna�n� ur�uje zobrazen� $\a$ na cel�m $\Z_2^k$.

Kod�rem je p��mo zobrazen� $\a$ a mo�n�m
dekod�rem je zobrazen� inverzn� k $\a$ definovan� na
$\a(Z_2^k)$. Ov�em dekod�r se mus� um�t vyrovnat i se slovy, kter�
jsou nek�dov�, tj. nele�� v~mno�in� $\a(Z_2^k)$. 
To inverzn� zobrazen� k~$\a$ neum�.

\priklad [doublekod]
%%%%%%%%
Nech� je vstupn� informace k�dov�na bin�rn�m blokov�m k�dem d�lky
$k$ se v�emi $2^k$ slovy.
Kod�r t�to informace navrhneme tak, �e ka�d� vstupn� slovo zopakuje a vytvo��
v�stupn� slovo d�lky $2k$. T�m vznik� line�rn� $(2k,k)$ k�d.
Minim�ln� Hammingova vzd�lenost mezi dv�ma k�dov�mi slovy je~2, tak�e
dekod�r spolehliv� detekuje jednu chybu ve slov�. Za jist�ch okolnost�
m��e detekovat i v�ce chyb ve slov�, pokud chyba v prvn� polovin�
slova se nezopakuje na stejn�m bitu druh� poloviny slova. V~��dn�m
p��pad� ale dekod�r nem��e odhalenou chybu spolehliv� opravit. Redundance je
p��li� vysok�, a p�itom neum�me ani opravit chyby. Asi to nebude
nejlep�� mo�n� n�vrh k�dov�n�.
\inl[k�d: opakovac�]

\priklad
%%%%%%%%
K�d z p��kladu\cite[kod4] je line�rn�.
Nev�hoda tohoto k�du ale spo��v� v tom, �e k�dov� slova mohou
reprezentovat jen �ty�i rozd�ln� stavy p�vodn� informace, ale maj�
p��li� mnoho bit�, kter� zbyte�n� zat�uj� pam�ov� m�dium nebo
p�enosov� linky. Proto se Hamming zam��il na hled�n� jin�ch
vhodn�j��ch line�rn�ch k�d�.

\okraj Generuj�c� a kontroln� matice | Generujici a kontrolni matice

\definice [dHG]
%%%%%%%%%
{\em Generuj�c� matice line�rn�ho k�du $K$} je po ��dc�ch zapsan� b�ze
tohoto k�du.

{\em Kontroln� matice line�rn�ho k�du $K$} je takov� matice $\H$ 
s line�rn� nez�visl�mi ��dky, pro kterou plat�: mno�ina �e�en� 
homogenn� soustavy $\H\,\vec x=\vec o$ je rovna k�du $K$.
\inl[matice: generuj�c�, generuj�c�: matice, matice: kontroln�, kontroln�: matice]

\veta [vlHG]
%%%%%
Nech� $\G$ je generuj�c� matice a $\H$ kontroln� matice line�rn�ho
$(n,k)$ k�du. Pak $\G$ m� $k$~��dk� a $\H$ m� $n-k$ ��dk�. Ob� matice
maj� $n$ sloupc�. Jin�mi slovy, generuj�c� matice m� tolik ��dk�, kolik
je v k�du informa�n�ch bit�, kontroln� matice m� tolik ��dk�, kolik 
m� k�d kontroln�ch bit� a po�et sloupc� obou matic je roven po�tu
p�en�en�ch bit� v jednom slov�.

\dukaz
Matice $\G$ m� $k$ ��dk�, proto�e b�ze prostoru dimenze
$k$ obsahuje $k$ vektor�. 
Po�et ��dk� matice $H$ plyne z~v�ty\cite[dimhomo].
Kone�n� $n$ sloupc� obou matic plyne p��mo z definice t�chto matic.

\priklad [kod22]
%%%%%%%%
K�d z p��kladu\cite[kod2] m��e m�t n�sleduj�c� generuj�c� matici:
$$
  \G = \pmatrix {1 & 0 & 0 & 1 \cr 0 & 1 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 1 & 1},
$$
proto�e $\{1001, 0101, 0011\}$ je b�ze k�du $K$. Pop��u, jak se
obvykle tato b�ze sestavuje. Vyjde se ze standardn� b�ze vstupn�ho k�du: 
$\{100, 010, 001\}$ a aplikuje se na n� zobrazen� kod�ru.
V�echny t�i prvky t�to b�ze maj� lich� po�et jedni�ek, tak�e 
posledn� kontroln� bit kod�r nastav� na jedni�ku.

Kontroln� matice na�eho k�du je
$$
  \H = \pmatrix {1 & 1 & 1 & 1},
$$
proto�e mno�ina �e�en� rovnice $x_1+x_2+x_3+x_4=0$ je shodn� s
mno�inou slov, kter� maj� sud� po�et jedni�ek (s��t�me jedni�ky modulo~2),
a to jsou pr�v� v�echna k�dov� slova.

\priklad [doublekod2]
%%%%%%%%
K�dujme vstupn� informaci v blokov�m k�du d�lky 4 podle
p��kladu\cite[doublekod] (zdvojen� slova). Dost�v�me line�rn� 
(8,4) k�d. Jeho generuj�c� matice je
$$
  \G = \pmatrix {
                 1&0&0&0&1&0&0&0\cr
                 0&1&0&0&0&1&0&0\cr 
                 0&0&1&0&0&0&1&0\cr 
                 0&0&0&1&0&0&0&1\cr }.
$$
K vytvo�en� t�to b�ze jsem pou�il stejn� postup, jako v p�edchoz�m
p��klad�. Na standardn� b�zi prostoru $\Z_2^4$ jsem aplikoval
zobrazen� kod�ru. Kontroln� matice je v�jime�n� v tomto p��klad�
$\H=\G$, proto�e soustava rovnic
$$
\eqalign{
   x_1+x_5 &= 0 \cr x_2+x_6 &= 0 \cr x_3+x_7 &= 0 \cr x_4+x_8 &= 0
}
$$
m� za �e�en� pr�v� takov� slova, pro kter� prvn� bit je roven p�t�mu, druh�
�est�mu, t�et� sedm�mu a �tvrt� osm�mu, tj. ob� ��sti slova se rovnaj�
a jedn� se o k�dov� slovo.

\poznamka
%%%%%%%%%
Generuj�c� matice sama o sob� jednozna�n� ur�uje line�rn�
k�d. Kontroln� matice sama o sob� tak� jednozna�n� ur�uje line�rn� k�d. 
Tyto dv� matice jsou v n�sleduj�c�m \uv{du�ln�m} vztahu:

\veta [vlHG2]
%%%%%
Nech� $\G$ je generuj�c� a $\H$ je kontroln� matice line�rn�ho $(n,k)$
k�du.  Pak $\H\cdot\G^T = \O_1$ a tak� $\G\cdot\H^T = \O_2$, kde
$\O_1$ je nulov� matice s $n-k$ ��dky a $k$ sloupci a $\O_2=\O_1^T$.

\dukaz
K�d s uveden�mi maticemi ozna��me p�smenem $K$.
��dky matice $\G$ alias sloupce matice $\G^T$ jsou podle definice
generuj�c� matice prvky k�du~$K$. Podle definice kontroln� matice mus�
tyto sloupce matice $\G^T$ alias prvky k�du $K$ b�t �e�en�m soustavy 
$\H\,\vec x=\vec o$.
P�esn� to ��k� vztah $\H\cdot\G^T = \O_1$, pokud jej rozep��eme po
jednotliv�ch sloupc�ch matice $\G^T$.

Vztah $\G\cdot\H^T = \O_2$ vznik� transponov�n�m matic na lev� i prav�
stran� vztahu $\H\cdot\G^T = \O_1$.

\poznamka [odGkH]
%%%%%%%%%
P�edchoz� v�ta ukazuje, �e nejen ��dky matice $\G$ �e�� soustavu
$\H\vec x=\vec o$, ale tak� ��dky matice $\H$ �e�� soustavu $\G\vec
x=\vec o$. Zn�me-li jen jednu z t�chto matic, pak druhou lze naj�t
tak, �e najdeme b�zi mno�iny �e�en� odpov�daj�c� homogenn� soustavy rovnic a
zap��eme ji do ��dk�.

Proto�e velmi �asto je generuj�c� matice vytvo�ena za pou�it�
standardn� b�ze vstupn�ho prostoru $\Z_2^k$ a aplikac� algoritmu kod�ru
na tuto b�zi, kter� kop�ruje informa�n� bity a 
p�id�v� kontroln� bity na konec slova,
je matice $\G$ �asto ve tvaru 
$\G = (\E|\C)$, kde $\E$ je jednotkov� matice typu $(k,k)$.
Matici $\H$ pak m��eme snadno naj�t podle v�ty\cite[genbasehomo],
p�itom m�sto matice $-\C^T$ sta�� pou��t matici $\C^T$, proto�e 
v~aritmetice $\Z_2$ je $\C=-\C$. Dost�v�me $\H=(\C^T|\E')$, kde $\E'$ je
jednotkov� matice typu $(n-k,n-k)$.

\priklad
%%%%%%%%
S vyu�it�m v�ty\cite[genbasehomo] zkus�me sestavit kontroln� matice 
z p��klad�\cite[kod22] a\cite[doublekod2], pokud je d�na 
jen generuj�c� matice.

P��klad\cite[kod22]. Matice $\C$ z rovnosti $\G=(\E|\C)$ obsahuje
sloupec jedni�ek. $\C^T$ je tedy ��dek jedni�ek, ke kter�mu podle
v�ty\cite[genbasehomo] vpravo p�ip��eme jednotkovou matici typu
$(1,1)$. Dost�v�me matici $\H$.

P��klad\cite[doublekod2]. Matice $\C$ z rovnosti $\G=(\E|\C)$ je
jednotkov� matice, tak�e $\C^T=\C$. K t�to jednotkov� matici podle
v�ty\cite[genbasehomo] p�ip��eme jednotkovou matici typu $(4,4)$. Dost�v�me t�m
matici $\H$, kter� je v�jime�n� rovna matici $\G$.

\definice [dsystemkod]
%%%%%%%%%
Pokud existuje generuj�c� matice line�rn�ho k�du ve tvaru
$\G=(\E|\C)$, kde $\E$ je jednotkov� matice, naz�v�me takov� k�d {\em
systematick�}. 
\inl[k�d: systematick�, systematick�: k�d]

\poznamka [HGprechod]
%%%%%%%%%
P�edchoz� pozn�mka\cite[odGkH] ukazuje, �e pro systematick� k�dy m��eme z generuj�c�
matice snadno sestavit matici kontroln� ve tvaru $\H=(\C^T|\E')$.
Tak� obr�cen�, pokud je d�na kontroln� matice ve tvaru
$\H=(\C^T|\E')$, je mo�n� snadno p�ej�t k matici generuj�c� tvaru
$\G=(\E|\C)$. 

\poznamka
%%%%%%%%%
Nech� je d�na generuj�c� matice, kter� nen� tvaru $(\E|\C)$. Proto�e
generuj�c� matice obsahuje v ��dc�ch b�zi k�du, je mo�n� eliminac�
t�to matice p�ej�t k jin� generuj�c� matici t�ho� k�du. Sta�� si
uv�domit, �e Gaussova eliminace nem�n� line�rn� obal ��dk�. M��e se
tedy st�t, �e po eliminaci dostaneme novou generuj�c� matici ve tvaru
$\G=(\E|\C)$ a shled�me, �e k�d je systematick�. 

Pokud ani po eliminaci generuj�c� matice nelze dos�hnout tvaru
$(\E|\C)$, jedn� se o nesystematick� k�d. I v tomto p��pad� je ov�em
eliminac� mo�n� dosp�t k matici, kter� se od matice $(\E|\C)$ li�� jen
prohozen�m n�kter�ch sloupc�. Nesystematick� k�d se tedy od
systematick�ho li�� jen po�ad�m bit� v~jednotliv�ch k�dov�ch slovech.
P�echod od generuj�c� matice ke kontroln� (nebo obr�cen�) je u
nesystematick�ho k�du obt��n�j��, proto�e nelze p��mo pou��t
v�tu\cite[genbasehomo], 
ale p�ed jej�m pou�it�m mus�me prohodit sloupce generuj�c�
matice, pak p�ej�t ke kontroln� matici a u n� prohodit sloupce zp�t. 
Podobn� bychom postupovali, pokud p�ech�z�me od kontroln� matice
nesystematick�ho k�du k matici generuj�c�.
\inl[systematick�: k�d, k�d: systematick�, nesystematick�: k�d, k�d: nesystematick�]

Systematick� k�d z�sk�me zaru�en� v p��pad�, kdy nech�me kod�r kop�rovat
informa�n� bity vstupn�ho slova do v�stupu 
a pak p�idat bity kontroln�. Pokud ale kod�r informa�n� 
bity \uv{prom�ch�} s bity kontroln�mi, pak k�d nemus� b�t 
systematick�.

\veta [HDE]
%%%%%
K�d je systematick� pr�v� tehdy, kdy� existuje kontroln� matice tohoto
k�du tvaru $(\C^T|\E')$, kde $\E'$ je jednotkov� matice.

\dukaz
Tvrzen� v�ty je d�sledkem skute�nosti, �e k�d m�
generuj�c� matici tvaru $\G=(\E|\C)$ pr�v� tehdy, kdy� m� kontroln�
matici tvaru $\H=(\C^T|\E')$.

\poznamka [elimH]
%%%%%%%%%
Je-li d�na kontroln� matice v jin�m tvaru ne� $(\C^T|\E')$, pak z toho
je�t� neplyne, �e k�d nen� systematick�. Eliminac� kontroln� matice
m��eme z�skat jinou kontroln� matici, kter� ov�em p��slu�� stejn�mu
k�du. Sta�� si uv�domit, �e eliminac� matice soustavy dost�v�me
p��padn� matici jin� soustavy, ale se stejnou mno�inou �e�en�.
Pokud tedy po eliminaci kontroln� matice z�sk�me matici tvaru
$(\C^T|\E')$, pak je k�d systematick�. 


\okraj Kod�r line�rn�ho k�du | Koder linearniho kodu

\veta [koderzob]
%%%%%
Nech� $\G$ je generuj�c� matice line�rn�ho $(n,k)$ k�du.
Nech� d�le $\a: \Z_2^k\to\Z_2^n$ je line�rn� zobrazen�,
kter� zobrazuje standardn� b�zi prostoru $\Z_2^k$ na ��dky matice $\G$.
Pak matice $\G^T$ je matic� line�rn�ho zobrazen� 
$\a$ vzhledem ke standardn�m b�z�m.
\inl[kod�r]

\dukaz
Matice line�rn�ho zobrazen� obsahuje podle definice\cite[matzob] 
ve sloupc�ch sou�adnice obraz� b�ze vstupn�ho prostoru 
vzhledem k b�zi v�stupn�ho prostoru. V na�em p��pad� generuj�c� matice
$\G$ obsahuje v ��dc�ch sou�adnice obraz� (p�i zobrazen� $\a$)
standardn� b�ze $\Z_2^k$ vzhledem ke standardn� b�zi v $\Z_2^n$.
Abychom z ��dk� matice dostali sloupce podle definice matice 
line�rn�ho zobrazen�, sta�� matici $\G$ transponovat.

\poznamka
%%%%%%%%%
Zobrazen� $\a$ z p�edchoz� v�ty matematicky popisuje
kod�r line�rn�ho k�du. Jeho generuj�c� matice je $\G$. 
V�ta ��k�, �e $\G^T$ je matice zobrazen�
tohoto kod�ru vzhledem ke standardn�m b�z�m. 
Vstupuje-li vektor $\vec u\in\Z_2^k$ do kod�ru, 
pak jeho v�stupem je
vektor~$\vec v\in\Z_2^n$, kter� spo��t�me podle v�ty\cite[Aasour] jako sou�in
matice zobrazen� a vstupn�ho vektoru:
$$
  \vec v^T = \G^T \cdot \vec u^T, \qquad \hbox{neboli:} \quad
  \vec v = \vec u \cdot \G.
$$

\poznamka [jenkontrolni]
%%%%%%%%%
Pokud kod�r kop�ruje $k$ vstupn�ch bit� do v�stupu 
a pak p�id� kontroln� bity, 
nemus�me prvn�ch $k$ bit� v�stupu po��tat maticov�m
n�soben�m. Sta�� t�mto n�soben�m po��tat kontroln� bity.
Generuj�c� matice m� v tomto p��pad� tvar $\G=(\E|\C)$.
Ozna��me-li $\vec u$ slovo, kter� vstupuje do kod�ru a $\vec v'$ vektor,
kter� obsahuje jen kontroln� bity v�stupn�ho slova, pak
plat�:
$$
  \vec v' = \vec u \cdot \C.
$$

\okraj Dekod�r line�rn�ho k�du | Dekoder linearniho kodu

\poznamka
%%%%%%%%%
Dekod�r p�i kontrole, zda se jedn� o k�dov�
slovo, pou�ije kontroln� matici. Nech� dekod�r p�ijme slovo $\vec w$. 
Pak $\H\cdot\vec w^T$ je
nulov� vektor pr�v� tehdy, kdy� je slovo $\vec w$ k�dov�. V takov�m
p��pad� dekod�r p�edpokl�d�, �e nedo�lo p�i p�enosu slova k chyb�,
odstran� kontroln� bity a t�m z�sk� p�vodn�
informaci. 

Pokud $\H\cdot\vec w^T$ nen� nulov� vektor,
dekod�r m� jistotu, �e do�lo k chyb� a �e $\vec w$ nen� k�dov� slovo.
M�-li chybu opravit, pak �daj $\H\cdot\vec w^T$ bude p�i oprav�
pot�ebovat. Nap��eme-li v�sledek n�soben� $\H\cdot\vec w^T$ do ��dku, 
dost�v�me tzv. {\em syndrom} vektoru $\vec w$.
\inl[dekod�r]

\definice [dsyndrom]
%%%%%%%%%
Nech� $\H$ je kontroln� matice line�rn�ho k�du. {\em Syndrom\/} slova
$\vec w$ je vektor $\vec s$, pro kter� plat� $\vec s^T=\H\cdot\vec w^T$.

Nech� $\vec v$ je slovo vyslan� kod�rem a $\vec w$ je slovo p�ijat�
dekod�rem. Pak $\vec e=\vec w-\vec v$ je {\it chybov� slovo}.
Proto�e v $\Z_2^n$ je $-\vec v= \vec v$, chybov� slovo
lze po��tat jako $\vec w+\vec v$.
\inl[syndrom]

\poznamka
%%%%%%%%%
Jedni�kov� bity chybov�ho slova ozna�uj� m�sta, kde do�lo k
po�kozen� slova $\vec v$. �kolem dekod�ru je na z�klad� znalosti 
$\vec w$ zjistit chybov� slovo $\vec e$. Pokud se mu to poda��, pak
vypo�te p�vodn� informaci jako $\vec v=\vec w-\vec e$.

Ne� se pust�me do sestavov�n� tabulky, podle kter� bude dekod�r
opravovat chyby, je pot�eba
si uv�domit platnost dvou tvrzen�. 
Prvn� z nich plat� dokonce obecn� na
libovoln�m line�rn�m prostoru.

\veta [afinM1M2]
%%%%%
Nech� $K$ je line�rn� podprostor line�rn�ho prostoru $L$ a
nech� $\vec e_1\in L$, $\vec e_2\in L$.
Pak mno�iny 
$
    M_1=\{\vec e_1+\vec v; \  \vec v\in K\} $, $
    M_2=\{\vec e_2+\vec v; \  \vec v\in K\} 
$
jsou bu� disjunktn� nebo toto�n�.

\dukaz
Sporem. P�edpokl�d�me, �e mno�iny $M_1$ a $M_2$ maj� spole�n� bod
$\vec a$ a p�itom nejsou toto�n�, tj. existuje vektor $\vec b\in M_1$,
kter� nele�� v $M_2$.
Proto�e $\vec a$ i $\vec b$ le�� v mno�in� $M_1$, je 
$\vec a=\vec e_1+\vec u$, $\vec b=\vec e_1+\vec v$, kde 
$\vec u$ i $\vec v$ le�� v $K$.
Pak $\vec w=\vec b-\vec a=\vec v-\vec u$ le�� v $K$, proto�e $K$
je podprostor. Je tedy $\vec b=\vec a+\vec w$.
Proto�e $\vec a$ le�� i v mno�in� $M_2$, je $\vec a=\vec e_2+\vec x$,
kde $\vec x\in K$. Dosad�me-li tento poznatek do vztahu pro $\vec b$,
dostaneme $\vec b=\vec e_2+\vec x+\vec w$. Proto�e $K$ je podprostor,
$\vec x+\vec w$ le�� v~$K$. Je tedy $\vec b=\vec e_2+\vec z$,
kde $\vec z\in K$. To ale znamen�, �e $\vec b\in M_2$,
co� je sporu s p�edpokladem.

\veta [osyndromu]
%%%%%
Nech� $\vec v$ je k�dov� slovo a $\vec e$ je libovoln� slovo. 
Pak slova $\vec e$ i $\vec e+\vec v$ maj� stejn� syndrom.
Jin�mi slovy k�dov� slova modifikovan� stejnou chybou
vytv��ej� skupinu slov se spole�n�m syndromem.

\dukaz
$\H\cdot(\vec e+\vec v)^T=\H\cdot\vec e^T+\H\cdot\vec v^T=
\H\cdot\vec e^T+\vec o^T=\H\cdot\vec e^T$.

\poznamka
%%%%%%%%%
Pokud po�adujeme nejen detekci, ale i opravu chyb line�rn�ho k�du, m��e dekod�r 
pracovat s n�sleduj�c� {\em tabulkou pro opravov�n� chyb\/}:
\medskip\hbox to\hsize{\hfil\vbox{\offinterlineskip
  \halign{\hfil$#$\hfil \qquad \vrule height10pt depth5pt&&\qquad\hfil$#$\hfil\cr
     \vec o & \vec o & \vec v_2 & \vec v_3 & \dots & \vec v_{2^k} \cr
     \vec s_2 & \vec e_2 & \vec e_2+\vec v_2 & \vec e_2+\vec v_3 &
                \dots & \vec e_2+\vec v_{2^k} \cr
     \vec s_3 & \vec e_3 & \vec e_3+\vec v_2 & \vec e_3+\vec v_3 &
                \dots & \vec e_3+\vec v_{2^k} \cr
     \dots    & \dots \cr
     \vec s_{2^{(n-k)}} & \vec e_{2^{(n-k)}} & \vec e_{2^{(n-k)}}+\vec v_1 
             & \vec e_{2^{(n-k)}}+\vec v_2 &
               \dots & \vec e_{2^{(n-k)}}+\vec v_{2^k}\cr
  }}\hfil}\medskip

Vlevo od svisl� ��ry jsou syndromy, k t�m se vr�t�m pozd�ji.  Nejprve
vysv�tl�m obsah tabulky vpravo od svisl� ��ry.  Tam jsou rozm�st�na
v�echna slova line�rn�ho prostoru $\Z_2^n$.  V prvn�m ��dku jsou
k�dov� slova (je jich $2^k$) a v ostatn�ch ��dc�ch jsou slova
nek�dov�. Po�et ��dk� je $2^{(n-k)}$, proto�e tak z�sk�me celkov�
po�et slov $2^n=2^k\cdot2^{(n-k)}$.  V prvn�m sloupci (vpravo od ��ry)
je naho�e um�st�no nulov� slovo a pod n�m jsou postupn�
v�echna chybov� slova, kter� chceme, aby dekod�r um�l odhalit a chybu
opravit. Na ostatn�ch pozic�ch tabulky jsou sou�ty chybov�ho slova 
v~��dku s k�dov�m slovem ve sloupci.

Tabulku vytvo��me tak, �e zap��eme nejprve do prvn�ho ��dku 
nulov� k�dov� slovo a pak ostatn� k�dov� slova (na po�ad�
nez�le��). Do druh�ho ��dku nap��eme nejprve chybov� slovo, kter�
chceme dekod�rem opravovat, a d�le p��slu�n� sou�ty. Chybov� slovo
nesm� b�t slovem k�dov�m.
Na t�et�m ��dku nap��eme dal�� chybov� slovo. Toto chybov� slovo se
{\it nesm� vyskytovat nikde na p�edchoz�ch ��dc�ch}. K~n�mu do ��dku
dopln�me p��slu�n� sou�ty. Tak postupujeme d�le, a� vytvo��me tabulku
s $2^{(n-k)}$ ��dky.

Prvn� ��dek tabulky obsahuje line�rn� prostor $K$, druh� ��dek tabulky
obsahuje mno�inu $K+\vec e_2$, kter� je podle v�ty\cite[afinM1M2] 
disjunktn� s $K$. Plat� toti� $\vec e_2\not\in K$. T�et� ��dek
obsahuje mno�inu $K+\vec e_3$, kter� je disjunktn� s $K$ i s $K+\vec
e_2$, proto�e $\vec e_3\not\in K$ a $\vec e_3\not\in K+\vec e_2$,
tak�e m��eme dvakr�t pou��t v�tu\cite[afinM1M2].
A~tak d�le. Slova v jednom ��dku jsou samoz�ejm� r�zn�.
M�me tedy zaru�eno, �e ��dn� slovo se v~tabulce neopakuje
a �e jsou vy�erp�na v�echna slova prostoru $\Z_2^n$.

Pokud nyn� dekod�r p�ijme slovo $\vec w$, vyhled� ho v
tabulce. Nap��klad slovo na�el na $i$-t�m ��dku tabulky. Dekod�r na
z�klad� toho rozhodne, �e do�lo k chyb� $\vec e_i$ a oprav� ji tak, �e
provede $\vec w-\vec e_i$. (M�sto od��t�n� m��e vykonat $\vec w+\vec
e_i$, proto�e v aritmetice $\Z_2$ to dopadne stejn�). 
Pokud $\vec w$ bylo na $j$-t�m sloupci tabulky,
dekod�r se t�mto postupem vrac� ke k�dov�mu slovu $\vec v_j$.

Aby dekod�r nemusel prohled�vat celou tabulku o $2^n$ slovech, vypo�te
nejd��ve syndrom p�ijat�ho vektoru: $\vec s^T = \H\cdot\vec w^T$.
Vlevo od svisl� ��ry jsou syndromy v�ech slov, kter� jsou naps�ny 
vpravo na stejn�m ��dku (viz v�ta\cite[osyndromu]). Prohled�n�m 
tabulky syndrom� a porovn�n�m se syndromem slova $\vec w$ 
dekod�r odhal� spr�vn� ��dek tabulky, ve kter�m slovo $\vec w$ le��. 
Dekod�r tedy nemus� pracovat s celou tabulkou, ale jen se sloupcem syndrom� a
sloupcem chybov�ch slov.

\priklad
%%%%%%%%
Ne� se pust�me do formulace po�adavk� na ide�ln� k�d pro opravu chyb,
zkus�me sestavit tabulku pro opravov�n� chyb pro p��pad k�d�, kde to
nebude p��li� u�ite�n�: k�d s kontroln�m bitem parity a opakovac� k�d. T�m
odhal�me probl�my, kter�ch bychom se m�li p�i n�vrhu k�d� s opravou
chyb vyvarovat.

{\bf Line�rn� (4,3) k�d s kontroln�m bitem parity} m� nap��klad
tuto tabulku pro opravov�n� chyb:

\medskip\hbox to\hsize{\hfil\vbox{\offinterlineskip
  \halign{\hfil$#$\hfil \quad 
          \vrule height10pt depth5pt&&\quad\hfil$#$\hfil\cr
%\hbox{syndrom} & \vbox{\hbox{chybov�}\smallskip\hbox{ slovo}} & \rlap{ostatn� slova} \cr
0 & 0000 & 0011 & 0101 & 0110 & 1001 & 1010 & 1100 & 1111 \cr
1 & 1000 & 1011 & 1101 & 1110 & 0001 & 0010 & 0100 & 0111 \cr
  }}\hfil}\medskip
V t�to tabulce jsme zvolili chybov� slovo 1000. Proto dekod�r p�i
obdr�en� nek�dov�ho slova oprav� prvn� bit.
Kdybychom zvolili jin� chybov� slovo (nap�. 0100), 
dostaneme jinou tabulku: druh� ��dek bude obsahovat slova v jin�m
po�ad�. Dekod�r podle takov� pozm�n�n� tabulky bude po p�ijet�
nek�dov�ho slova opravovat jin� bit. Bohu�el, nem�me ��dnou z�ruku, �e
dekod�r oprav� spr�vn� bit. Tabulka ur�uje pevn� jeden bit, kter� bude
dekod�r opravovat. Lep�� by bylo, kdybychom 
v prvn�m sloupci s chybov�mi slovy m�li zaps�na v�echna chybov� slova
tvaru 1000, 0100, 0010, 0001. To bychom ale pot�ebovali m�t v tabulce
p�t ��dk� a ne jen dva. Dva ��dky v tabulce jsou d�sledkem toho, �e
k�d pracuje jen s jedn�m kontroln�m bitem a �e $2^1=2$. M��eme tedy
��ci, �e pro �sp�nou opravu chyb je jeden kontroln� bit m�lo. To
ostatn� �lov�k intuitivn� tu�� i bez sestavov�n� tabulek pro
opravov�n� chyb.

{\bf Line�rn� (6,3) opakovac� k�d} s kontroln� i generuj�c� matic�
$$
  \H = \G =\pmatrix {1&0&0&1&0&0\cr0&1&0&0&1&0\cr0&0&1&0&0&1}
$$
m��e m�t nap��klad n�sleduj�c� tabulku pro opravov�n� chyb:
 
\medskip\hbox to\hsize{\hfil\vbox{\offinterlineskip
  \halign{\hfil$#$\hfil \quad 
          \vrule height10pt depth5pt&&\quad\hfil$#$\hfil\cr
000 & 000000 & 100100 & 010010 & 001001 & 110110 & 011011 & 101101 & 111111 \cr
100 & 100000 & 000100 & 110010 & 101001 & 010110 & 111011 & 001101 & 011111 \cr
010 & 010000 & 110100 & 000010 & 011001 & 100110 & 001011 & 111101 & 101111 \cr
001 & 001000 & 101100 & 011010 & 000001 & 111110 & 010011 & 100101 & 110111 \cr
110 & 110000 & 010100 & 100010 & 111001 & 000110 & 101011 & 011101 & 001111 \cr
101 & 101000 & 001100 & 111010 & 100001 & 011110 & 110011 & 000101 & 010111 \cr
011 & 011000 & 111100 & 001010 & 010001 & 101110 & 000011 & 110101 & 100111 \cr
111 & 111000 & 011100 & 101010 & 110001 & 001110 & 100011 & 010101 & 000111 \cr
  }}\hfil}\medskip

Pokud dekod�r pracuje podle t�to tabulky a p�ijme nap��klad slovo
111110, vypo�te nejd��ve syndrom $\H\cdot(111110)^T=(001)^T$,
Dekod�r zjistil, �e slovo le�� ve �tvrt�m ��dku tabulky. Tam je zvoleno
chybov� slovo 001000, tak�e dekod�r oprav� t�et� bit a z p�ijat�ho
slova 111110 dost�v� k�dov� slovo 110110.

Jestli�e p�edpokl�d�me, �e p�ijat� slovo obsahuje jednu chybu, pak
v��e uveden� oprava nemus� b�t jedin� mo�n�. Opravou posledn�ho bitu
ve slov� 111110 tak� dost�v�me k�dov� slovo 111111. Probl�m tohoto
k�du z pohledu tabulky pro opravov�n� chyb je, �e chybov� slova s
jednou jedni�kou se objev� dv� na spole�n�m ��dku tabulky. Na dal��ch
��dc�ch (za �tvrt�m ��dkem) u� nem��eme pou��t chybov� slovo 000001,
proto�e toto slovo se na �tvrt�m ��dku u� objevilo. Pokud bychom na
�tvrt�m ��dku pou�ili chybov� slovo 000001, pak by se na tomto ��dku
zase vyskytlo i 001000. Mno�ina slov vedle konkr�tn�ho syndromu se
toti� nem��e zm�nit, proto�e se jedn� o mno�inu �e�en� soustavy
$\H\vec x^T =\vec s^T$.  Tak�e bychom dostali sice jinou tabulku pro
opravov�n� chyb, ale chybov� slova s jednou jedni�kou by se ani tak
nepoda�ilo odd�lit do jednotliv�ch ��dk�. A�koli (na rozd�l od k�du s
kontroln�m bitem parity) m�me v tabulce dostate�n� po�et ��dk�,
nem�me mo�nost dostat v�echna chybov� slova s jednou jedni�kou do
prvn�ho sloupce tabulky. Dokonce jsme nuceni na posledn�m ��dku
tabulky pou��t chybov� slovo se t�emi jedni�kami.

\poznamka [podminkykodu]
%%%%%%%%%
Nezdary p�i opravov�n� chyb v p�edchoz�m p��klad� n�s inspiruj� 
k~formulaci podm�nek na k�d, kter� spolehliv� opravuje jednu chybu.

P�edpokl�d�me line�rn� $(n,k)$ k�d. Chybov�ch slov s jednou jedni�kou
je $n$ a pot�ebujeme je v�echna rozm�stit do prvn�ho sloupce tabulky
pro opravov�n� chyb. ��dn� jin� chybov� slova se v tomto sloupci
nesm�j� objevit.  Z toho vypl�v�, �e po�et ��dk� tabulky mus� b�t
$n+1$ (prvn� ��dek tabulky obsahuje samotn� k�d). Proto�e po�et ��dk�
tabulky je $2^{(n-k)}$, m�me podm�nku $2^{(n-k)}=n+1$. Ozna��me-li
po�et kontroln�ch bit� $c=n-k$, pak je uveden� podm�nka asi l�pe
�iteln� ve tvaru $n=2^c-1$. Celkov� po�et bit� $n$ tedy mus� b�t o
jedni�ku men�� ne� mocnina dvojky a hodnota t�to mocniny ud�v� po�et
kon\-troln�ch bit�. Postupn� pro $c=2,3,4,5,6,\dots$ dost�v�me (3,1),
(7,4), (15,11), (31,26), (63,57),~\dots k�dy.

Abychom mohli rozm�stit v�echna chybov� slova s jednou jedni�kou 
do prvn�ho sloupce, pot�ebujeme je�t� zaru�it, �e ��dn� slovo s
jednou jedni�kou nen� k�dov� slovo a �e
dv� slova s jednou jedni�kou nebudou m�t stejn� syndrom.
Tuto podm�nku nejl�pe charakterizuje n�sleduj�c� v�ta.

\veta [syndrom1]
%%%%%
Slovo s jednou jedni�kou je k�dov� pr�v� tehdy, kdy� kontroln�
matice obsahuje nulov� sloupec. Dv� r�zn� slova s jednou jedni�kou
maj� spole�n� syndrom pr�v� tehdy, kdy� kontroln� matice obsahuje
aspo� dva stejn� sloupce.

\dukaz
Sta�� si uv�domit, �e syndrom slova s jednou jedni�kou na $i$-t�m
m�st� je roven $i$-t�mu sloupci kontroln� matice. To vypl�v� 
z maticov�ho n�soben� $\H\cdot\vec w^T=\vec s^T$.

\okraj {}Hamming�v k�d | Hamminguv kod

\poznamka
%%%%%%%%%
Aby line�rn� $(n,k)$ k�d opravoval v�echny jednoduch� chyby ve slov�,
je podle pozn�mky\cite[podminkykodu] nutn�, aby $n=2^c-1$, kde
$c=n-k$, a d�le podle v�ty\cite[syndrom1] je nutn�, aby kontroln�
matice nem�la ��dn� sloupec nulov� a v�echny sloupce od sebe vz�jemn�
r�zn�. T�ch sloupc� mus� b�t $n=2^c-1$, a p�itom v��ka sloupce je $c$.
Z toho n�m vypl�v� jedin� mo�n� tvar kontroln� matice (a� na po�ad� sloupc�): 
v jednotliv�ch sloupc�ch kontroln� matice nap��eme ve dvojkov�
soustav� v�echna ��sla $1,2,3,\ldots, n$. Line�rn�mu k�du s takovou
kontroln� matic� ��k�me {\em Hamming�v k�d}.
\inl[k�d: Hamming�v, Hamming�v: k�d]

\priklad [hamming74]
%%%%%%%%
Uk�eme si Hamming�v $(7,4)$ k�d. Podle p�edchoz� pozn�mky nap��eme
ve dvojkov� soustav� do sloupc� kontroln� matice ��sla 1,2,3,4,5,6,7:
$$
  \H=\matice{0&0&0&1&1&1&1\cr
             0&1&1&0&0&1&1\cr
             1&0&1&0&1&0&1\cr}.
$$
Syndromy a prvn� sloupec tabulky pro opravov�n� chyb nap��eme (kv�li
�spo�e m�sta v tomto textu) m�sto do
sloupc� do ��dk�:

\medskip
\line{\hss\vbox{\halign{&\quad\hfil#\hfil\quad\cr
000    &001    &010    &011    &100    &101    &110    &111 \cr
0000000&1000000&0100000&0010000&0001000&0000100&0000010&00000001 \cr
}}\hss}
\medskip

Vid�me, �e p�i t�to volb� po�ad� sloupc� kontroln� matice m� dekod�r
v�razn� usnadn�nou pr�ci: nemus� prohled�vat v tabulce syndrom�, aby
zjistil odpov�daj�c� chybov� slovo. Sta��, aby interpretoval syndrom
jako ��slo zapsan� ve dvojkov� soustav�. Toto ��slo ud�v� pozici bitu
chybov�ho slova, kde se nal�z� jedni�ka.

Jak tedy bude dekod�r postupovat p�i obdr�en� slova $\vec w$? Vypo�te
syndrom pomoc� $\vec s^T=\H\cdot\vec w^T$ a interpretuje jej jako ��slo
$i$ ve dvojkov� soustav�. Je-li $i=0$, je $\vec w$ k�dov� slovo a
dekod�r nic neopravuje. Je-li $i>0$, pak dekod�r oprav� v obdr�en�m
slov� $i$-t� bit.

T�m je kompletn� navr�en dekod�r Hammingova $(7,4)$ k�du a zb�v� je�t�
navrhnout kod�r. Eliminac� kontroln� matice p�ech�z�me
ke kontroln� matici stejn�ho k�du (pozn�mka\cite[elimH]):
$$
  \H=\matice{0&0&0&1&1&1&1\cr
             0&1&1&0&0&1&1\cr
             1&0&1&0&1&0&1\cr} \sim
     \matice{1&0&1&1&0&1&0\cr
             1&1&0&0&1&1&0\cr
             1&0&1&0&1&0&1\cr} \sim
     \matice{0&1&1&1&1&0&0\cr
             1&1&0&0&1&1&0\cr
             1&0&1&0&1&0&1\cr} \sim
     \matice{0&1&1&1&1&0&0\cr
             1&0&1&1&0&1&0\cr
             1&1&0&1&0&0&1\cr} = \H'.
$$
Podle v�ty\cite[HDE] se tedy jedn� o systematick� k�d, proto�e
$\H'=(\C^T|\E')$. Podle pozn�mky\cite[HGprechod] nyn� p�ejdeme ke generuj�c�
matici $\G=(\E|\C)$:
$$
  \G=\matice{1&0&0&0&0&1&1\cr
             0&1&0&0&1&0&1\cr
             0&0&1&0&1&1&0\cr
             0&0&0&1&1&1&1\cr}.
$$
Kod�r nech�me nejprve kop�rovat prvn� �ty�i informa�n� bity do v�stupu
a dal�� t�i kontroln� bity $\vec v'$ po��t�me ze vstupn�ho slova $\vec u$
podle pozn�mky\cite[jenkontrolni]:
$$
  \vec v' = \vec u \cdot \matice{0&1&1\cr
                                 1&0&1\cr
                                 1&1&0\cr
                                 1&1&1\cr}.
$$

\poznamka
%%%%%%%%%
Analogicky se postupuje p�i n�vrhu $(15,11)$, $(31,26)$, $(63,57)$
atd. Hammingov�ch k�d�. V�imn�te si, �e s rostouc�m $n$ se v�razn�
zlep�uje pom�r informa�n�ch bit� ku celkov�mu po�tu p�en�en�ch bit�.
To je pro u�ivatele, kte�� se zaj�maj� jen o informa�n� bity, dobr�
zpr�va. Ov�em prodlu�ov�n�m d�lky p�en�en�ch slov se zase zvy�uje
pravd�podobnost v�skytu v�ce ne� jedn� chyby ve slov�. Dekod�r Hammingova
k�du v takov�m p��pad� sel�e.

\okraj Roz���en� Hamming�v k�d | Rozsireny Hamminguv kod

\poznamka
%%%%%%%%%
Ve v�po�etn� technice se pracuje s p�enosy 8 bit�, 16 bit�, 32 bit�
atd. Hamming�v k�d p�edpokl�d� p�enos slov d�lky o jeden bit krat��. 
Co se zbyl�m bitem? Pou�ijeme jej pro kontrolu parity.
T�m dost�v�me {\em roz���en� Hamming�v k�d}, kter� umo�n� spolehliv� 
opravit jednu chybu a detekovat chyby dv�.
\inl[k�d: Hamming�v: roz���en�, roz���en�: Hamming�v: k�d]

\priklad
%%%%%%%%
K Hammingovu k�du $(7,4)$ p�id�me kontroln� bit parity a dost�v�me
line�rn� $(8,4)$ k�d s~n�sleduj�c� kontroln� matic�:
$$
  \H=\matice{0&0&0&1&1&1&1&0\cr
             0&1&1&0&0&1&1&0\cr
             1&0&1&0&1&0&1&0\cr
             1&1&1&1&1&1&1&1\cr}.
$$
Tento k�d um� opravit jednu chybu ve slov� a detekovat chyby dv�.
Jak dekod�r m��e postupovat? P�ijme slovo $\vec w$ a vypo�te syndrom
$\vec s^T=\H\cdot\vec w^T$. Je-li syndrom nulov� vektor, je slovo
$\vec w$ k�dov� a dekod�r nic neopravuje. Jsou-li prvn� t�i bity
syndromu nulov� a posledn� nenulov�, do�lo p�i p�enosu jen k~chyb�
posledn�ho kontroln�ho bitu parity.
Je-li na prvn�ch t�ech pozic�ch syndromu aspo� jeden bit nenulov� a
posledn�
bit syndromu je rovn� nenulov�, do�lo k lich�mu po�tu chyb ve
slov�. Dekod�r p�edpokl�d�, �e do�lo k jedin� chyb� a podle prvn�ch
t�ech bit� syndromu zjist�, kter� bit ve slov� m� opravit (stejn� jako
v~p��kladu\cite[hamming74]). Je-li kone�n� posledn� bit syndromu
nulov�, ale syndrom obsahuje aspo� jeden nenulov� bit,
pak do�lo k sud�mu po�tu
chyb. Tento po�et chyb neum� dekod�r opravit, ale detekuje
tento stav jako dvojn�sobnou chybu.

\poznamka
%%%%%%%%%
V�imn�te si, �e nejmen�� Hammingova vzd�lenost mezi dv�ma 
slovy roz���en�ho Hammingova k�du je 4. To je v~souladu
s~v�sledky p��kladu\cite[vzdalenost+oprava]. 

\icviceni 10

\ifbook
  \input polynomy
\fi

\kapitola [literatura] Literatura | Literatura

\bib [adamek] J. Ad�mek, {\it Foundations of Coding.}
     A Wiley-Interscience publication, New York 1991.
\bib [bartik] V. Bart�k, {\it �vod do algebry.}
     Text k p�edn�ce 1996 na
     \urllink{http://math.feld.cvut.cz/bartik/}.
\bib [bartsch] H.--J. Bartsch, {\it Matematick� vzorce.}
     Academia, Praha 2006 (4. vyd�n�).
\bib [beezer] R. A. Beezer, {\it A First Course in Linear Algebra.}
     Tacoma, Washington, USA 2007. Text je mj. voln� dostupn�
     na \urllink{http://linear.ups.edu/}.
\bib [bican] L. Bican, {\it Line�rn� algebra a geometrie.}
     Academia, Praha 2002.
\bib [birkhoff] G. Birkhoff, S. MacLane, {\it Algebra.}
     Chelsea Pub Co, (3rd edition) 1993.
     Existuje slovensk� p�eklad star��ho vyd�n�
     {\it Preh�ad modernej algebry}, Alfa, Bratislava, 1979.
\bib [cw]  Don Coppersmith and Shmuel Winograd. 
     {\it Matrix multiplication via arithmetic progressions.} 
     Journal of Symbolic Computation, 9:251?280, 1990.
\bib [demlova] M. Demlov�, B. Pond�l��ek, {\it �vod do algebry.}
     Vydavatelstv� �VUT, Praha 1996.
\bib [dont] M. Dont, {\it Elementy numerick� line�rn� algebry.}
     Vydavatelstv� �VUT, Praha 2004. 
\bib [gelfand] I. M. Gelfand, {\it Line�rn� algebra.} P�eklad
     M. Fiedler, �SAV, Praha 1953.
\bib [hefferon] J. Hefferon, {\it Linear Algebra.}
     Colchester, Vermont USA, voln� dostupn� na \hfil\break
     \urllink{http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/}.
\bib [jilkova] S. J�lkov�, V. Ma�asov�, Z. Tischerov�,
     {\it Line�rn� algebra -- �lohy.}
     Vydavatelstv� �VUT, Praha 1987.
\bib [kalousova] A. Kalousov�, {\it Skripta z algebry.}
     Text voln� dostupn�  nap��klad\hfil\break 
     z~\urllink{http://math.feld.cvut.cz/kalous/algebra.html}
\bib [kepka] T. Kepka, {\it Algebra.} Pozn�mky z p�edn�ek
     na MFF UK dostupn� nap�. na\hfil\break 
     \urllink{http://lucy.troja.mff.cuni.cz/labtf/poznamky/}.
\bib [korinek] V. Ko��nek, {\it Z�klady algebry.}
     Klasick� u�ebnice algebry, Academia, Praha 1956 (2. vyd�n�).
\bib [krajnik] E. Krajn�k, {\it Z�klady maticov�ho po�tu.}
     Vydavatelstv� �VUT, Praha 2006.
\bib [mahel] V. Mahel \& kol. kat. matematiky, 
     {\it Sb�rka �loh z line�rn� algebry a analytick� geometrie.}
     Vydavatelstv� �VUT, Praha 1986.
\bib [matousek] J. Matou�ek, {\it �estn�ct miniatur.}
     Voln� dostupn� text s aplikacemi line�rn� algebry tam, kde bychom
     to mo�n� ne�ekali, \urllink{http://kam.mff.cuni.cz/~matousek/la1.html}.
\bib [zahradnik] L. Motl, M. Zahradn�k, {\it P�stujeme line�rn� algebru.}
     MFF UK, Praha 1994 (skriptum p��stupn� na
     \urllink{http://www.kolej.mff.cuni.cz/\~{}lmotm275/skripta/}).
\ifbook
\bib [olsak] P. Ol��k, {\it Line�rn� algebra.}
     Voln� dostupn� text na \urllink{http://petr.olsak.net/linal.html}.
\else
\bib [olsak-ua] P. Ol��k, {\it �vod do algebry, zejm�na line�rn�.}
     FEL �VUT, Praha 2007.
\fi
\bib [TBN] P. Ol��k, {\it \TeX{}book naruby.}
     Konvoj, Brno 2001 (2. vyd�n�). Text voln� dostupn� nap��klad na\hfil\break 
     \urllink{http://petr.olsak.net/tbn.html}.
\bib [prochazka] L. Proch�zka, {\it Algebra.} Academia, Praha 1990.
\bib [proskurjakov] I. V. Proskurjakov, {\it Sbornik zada� po lin�jnoj algebre.}
     Uzdavat�lstvo Nauka, Moskva 1970.
\bib [ptak]  P. Pt�k, {\it Introduction to Linear Algebra.}
     Vydavatelstv� �VUT, Praha 2006.
\bib [rektorys] K. Rektorys, {\it P�ehled u�it� matematiky.}
     Prometheus, Praha 2003 (6. vyd�n�).
\bib [vopenka] P. Vop�nka, {\it �heln� k�men evropsk� vzd�lanosti a
     moci -- rozpravy s geometri�.}
     Pr�h, Praha 2003.
\bib [vyborny] K. V�born�, M. Zahradn�k \& kol. {\it Sb�rka p��klad� z
     line�rn� algebry.} Voln� dostupn� text k nalezen� nap��klad na 
     \urllink{http://www.kolej.mff.cuni.cz/\~{}lmotm275/skripta/}.
\bib [zara] J. ��ra, B. Bene�, J. Sochor, P. Felkel,
     {\it Modern� po��ta�ov�  grafika.} 
     Computer Press, 2005 (2. vyd�n�).
\bib [rozcestnik] Rozcestn�k voln� dostupn�ch text� k algeb�e 
     v �e�tin�:\hfil\break 
     \urllink{http://home.pf.jcu.cz/\~{}novakp08/Matematika/Algebra.htm}.

% \delejrejstrik

\end
















